Đang tải... (xem toàn văn)
Câu 7: Qua đỉnh A của hình vuông ABCD ta kẻ hai đường thẳng Ax, Ay vuông góc với nhau.. Ax cắt cạnh BC tại điểm P và cắt tia đối của tia CD tại điểm Q.[r]
(1)đề cương ôn tập hè năm 2011 lớp – lên lớp Phần I: ĐẠI SỐ LÝ thuyÕt: Học thuộc các quy tắc nhân,chia đơn thức với đơn thức,đơn thức với đa thức,phép chia hai ®a thøc biÕn Nắm vững và vận dụng đẳng thức - các phương pháp phân tích đa thức thành nh©n tö Nêu tính chất phân thức,các quy tắc đổi dấu - quy tắc rút gọn phân thức,tìm mẫu thức chung,quy đồng mẫu thức Học thuộc các quy tắc: cộng,trừ,nhân,chia các phân thức đại số Thế nào là hai phương trình tương đương? Cho ví dụ Hai quy tắc biến đổi phương trình Phương trình bậc ẩn Cách giải Cách giải phương trình đưa dạng ax + b = Phương trình tích Cách giải 10 Cách giải phương trình đưa dạng phương trình tích 11 Phương trình chứa ẩn mẫu 12 Các bước giải bài toán cách lập phương trình 13 Thế nào là hai bất phương trình tương đương 14 Hai quy tắc biến đổi bất phương trình 15 Bất phương trình bậc ẩn 16 Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Bµi tËp Dạng 1: Nhân đơn thức với đa thức Nhân đa thức với đa thức A / c¸c bµi tËp c¬ b¶n C©u 1: Thùc hiÖn phÐp tÝnh : a, x(4x3 - 5xy + 2x) c, (5x - 2y)(x2 - xy + 1) b, (x - 2)(x + 2)(x + 1) d, x2(x + y) + 2x(x2 + y) C©u 2: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc : a, B = x2(x + y) - y(x2 - y2) t¹i x = -6 vµ y = b, A= (x2 - xy + y2)(2x + 3y) C©u 3: T×m x biÕt : a, 3x(12x - 4) - 9x(4x -3) = 30 b, 2x(x - 1) + x(5 - 2x) = 15 C©u 4: Thu gän biÓu thøc råi t×m x: (12x - 5)(4x - 1) + (3x - 7)(1 - 16x) = 81 B / Bµi tËp bæ sung 1/ Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau: a) (2x - y)(4x2 - 2xy + y2) c) (2x3 - 21x2 + 67x - 60): (x - 5) d) (x4 + 2x3 +x - 25):(x2 +5) b) (6x5y2 - 9x4y3 + 15x3y4): 3x3y2 GV : Nguyễn Thị Xuyến – Trường : THCS Nam Phương Tiến B _ Chương Mỹ - Hà Nội Lop8.net (2) đề cương ôn tập hè năm 2011 lớp – lên lớp e) (27x3 - 8): (6x + 9x2 + 4) 2/ T×m x biÕt: a) 2x(x-5)-x(3+2x)=26 b) 5x(x-1) = x-1 c) 2(x+5) - x2-5x = d) (2x-3)2-(x+5)2=0 3 e) 3x - 48x = f) x + x - 4x = 3/ Chøng minh r»ng biÓu thøc: A = x(x - 6) + 10 luôn luôn dương với x B = x2 - 2x + 9y2 - 6y + 4/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A,B,C vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc D,E: A = x2 - 4x + B = 4x2 + 4x + 11 C = (x -1)(x + 3)(x + 2)(x + 6) 2 D = - 8x - x E = 4x - x +1 5/ Xác định a để đa thức: x3 + x2 + a - x chia hết cho(x + 1)2 6/ Chøng minh biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn x,y A= (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) B = (2x + 3)(4x2 - 6x + 9) - 2(4x3 - 1) C = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6(x + 1)(x - 1) 7/ Chøng minh r»ng: 52005 + 52003 chia hÕt cho 13 b) a2 + b2 + ab + a + b Cho a + b + c = chøng minh: a3 + b3 + c3 = 3abc 8/ a) T×m gi¸ trÞ cña a,b biÕt: a2 - 2a + 6b + b2 = -10 b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc; A= x y xz yz 1 nÕu z y x x y z Dạng 2: Những đẳng thức đáng nhớ A / c¸c bµi tËp c¬ b¶n Câu 1: Viết các đa thức sau dạng bình phương tổng, tích: a, (2x + 3y)2 + 2(2x + 3y) + c, 8x3 - y3 b, 27x3 + d, x2 + 4xy + 4y2 C©u 2: TÝnh (a + b)2 biÕt a2 = vµ ab = C©u 3: Chøng minh d¼ng thøc: a) (a - b)2 = (a + b)2 - 4ab b) (a + b)3 - 3ab(a + b) = a3 + b3 : c) a3 - b3=(a - b3)+(a - b)3+3ab(a - b) C©u 4: Rót gän biÓu thøc : a) A = (x - 3x + 9)(x + ) - (54 + x3) b) B = (x + 3)(x2 - 3x + 9) - (54 + x3) C©u : TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : y2 + 4y + t¹i y=98 B / Bµi tËp bæ sung 1/Rót gän c¸c biÓu thøc sau: a) (x + y)2 - (x - y)2 b) (a + b)3 + (a - b)3 - 2a3 c) 98.28 - (184 - 1)(184 + 1) GV : Nguyễn Thị Xuyến – Trường : THCS Nam Phương Tiến B _ Chương Mỹ - Hà Nội Lop8.net (3) đề cương ôn tập hè năm 2011 lớp – lên lớp D¹ng : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö A / c¸c bµi tËp c¬ b¶n C©u 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) 2 x(y-1) - y(1-y) 3 b) -x3 + 9x2 - 27x + 27 c) 36 - 4x2 + 8xy - 4y2 d) 3x2 - 12y2 e) 5xy2 - 10 xyz + 5xz2 g) x4 + 64 C©u : TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc : a) A= a(a-1) - b(1-a) t¹i a =2001 vµ b =1999 b) B = x2 + 4x + t¹i x=80 c) C = (x2+3)2 - (x+2)(x-2) t¹i x =3 C©u : T×m x biÕt : a) (x-1)2 =x - b) - 25x2 = c) 2(x + 3) - x2 - 3x = d) x(2x-7) - 4x +14 =0 B / Bµi tËp bæ sung Bµi 10 Bµi 9 10 11 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 16x3y + 0,25yz3 x – 4x3 + 4x2 2ab2 – a2b – b3 a + a2b – ab2 – b3 x + x2 – 4x - x – x2 – x + x + x3 + x2 - x 2y2 + – x2 – y2 x – x2 + 2x - 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö x2 – 6x + x2 – 7xy + 10y2 a2 – 5a - 14 2m2 + 10m + 4p2 – 36p + 56 x3 – 5x2 – 14x x2 – 7x + 12 x2 – 5x – 14 x4 + 4x2 + x3 – 10x - 12 x3 – 7x - x2 – 3x – 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3a – 3b + a2 – 2ab + b2 a + 2ab + b2 – 2a – 2b + a – b2 – 4a + 4b a – b3 – 3a + 3b x + 3x2 – 3x - x – 3x2 – 3x + x – 4x2 + 4x - 4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2 (xy + 4)2 – (2x + 2y)2 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 x3 – 5x2y – 14xy2 4x2 – 17xy + 13y2 - 7x2 + 5xy + 12y2 x2 + 8x + x2 – 13x + 36 x2 + 3x – 18 x2 – 5x – 24 3x2 – 16x + 8x2 + 30x + 2x2 – 5x – 12 6x2 – 7x – 20 x2 – 7x + 10 GV : Nguyễn Thị Xuyến – Trường : THCS Nam Phương Tiến B _ Chương Mỹ - Hà Nội Lop8.net (4) 12 13 14 15 16 đề cương ôn tập hè năm 2011 lớp – lên lớp x2 – 7x + 29 x2 – 10x + 16 x2 – 7x + 30 3x2 – 14x + 11 x4 + 4x2 - 31 5x2 + 8x – 13 x3 – 19x + 30 32 x2 + 19x + 60 x3 + 9x2 + 26x + 24 Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12 (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20 x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35 (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) – 3x2 Bµi 4/ Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) x2 - y2 - 2x + 2y b) 2x + 2y - x2 - xy c) 3a2 - 6ab + 3b2 - 12c2 d) x2 - 25 + y2 + 2xy 2 e) a + 2ab + b - ac - bc f) x2 - 2x - 4y2 - 4y g) x2y - x3 - 9y + 9x h) x2(x-1) + 16(1- x) n) 81x2 - 6yz - 9y2 - z2 m) xz-yz-x2+2xy-y2 p) x2 + 8x + 15 k) x2 - x - 12 l) 81x2 + Dạng : Chia đơn thức cho đơn thức Chia đa thức cho đơn thức Chia đa thức biến đã xếp A / c¸c bµi tËp c¬ b¶n C©u 1: Lµm tÝnh chia: a) x y : 5xy c) (-8x3y2 -12x2y + 4x2y2):4xy b) (15x2y5 - 10xy3+12x3y2):5xy2 d) (10x4 - 19x3 + 8x2 - 3x):(2x2 - 3x) C©u 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 20x3y4z4 : 10xy2z4 t¹i x = 1, y = - 1, z = 2006 C©u 3: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : (15x3y5 - 20x4y4 - 25x5y3):5x3y3 t¹i x=1; y=-1 Câu 4: Xác định a để (6x3 - 7x2 – x + a) chia hết cho đa thức (2x+1) B / Bµi tËp bæ sung 1/ Xác định a để đa thức: x3 + x2 + a - x chia hết cho(x + 1)2 2/ Chøng minh r»ng: 52005 + 52003 chia hÕt cho 13 GV : Nguyễn Thị Xuyến – Trường : THCS Nam Phương Tiến B _ Chương Mỹ - Hà Nội Lop8.net (5) đề cương ôn tập hè năm 2011 lớp – lên lớp Dạng : phân thức đại số A / c¸c bµi tËp c¬ b¶n Câu 1: Dùng định nghĩa hai phân thức hãy tìm đa thức A đẳng thức sau a) A 10 x x 2x 4x b) C©u 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : a) A = 5x x víi x = 0,2 25 x 10 x x 16 x 16 A x2 x 4 b) B = 3x y biÕt 9x2 + 4y2 = 20xy vµ 2y < 3x< 3x y C©u : So s¸nh: A 2012 200 201 200 vµ B 201 200 2012 200 C©u 4:Thùc hiÖn phÐp tÝnh a, 3x x xy xy b, 5x y x2 y x2 y xy c, x x2 y3 xy 21x d, 16 xy x x 12 xy x2 5x C©u 5: Cho ph©n thøc A= x 7x a) Tìm x để phân thức xác định b) Tìm x Z để A Z C©u 6: Cho ph©n thøc B = x x 16 x4 a) Tìm x để phân thức B xác định b) Tìm x để B = c) Rót gän B C©u 7: Cho biÓu thøc: A= ( x2 2 x x 1 ): 2x 2x x x a, Với giá trị nào x thì biểu thức xác định b, H·y rót gän biÓu thøc A c,Tìm giá trị x để biểu thức A có giá trị bằng1 x 2 C©u 8: Cho biểu thức: P = 1 x 1 x x a/ Tìm các giá trị x để biểu thức P xác định b/ Rút gọn P C©u 9: Cho biểu thức: A x x2 2x 2 2x2 GV : Nguyễn Thị Xuyến – Trường : THCS Nam Phương Tiến B – Chương mỹ - Hà nội Lop8.net (6) đề cương ôn tập hè năm 2011 lớp – lên lớp a) Với giá trị nào x thì biểu thức A có nghĩa? b) Rút gọn biểu thức A x 1 x 1 2x ): C©u 10: Cho biểu thức: A = ( x x 5x c) Tìm giá trị x để A = ? a) Rút gọn A b) Tìm giá trị A x=3; x = -1 c) Tìm x để A = C©u 11: Cho biểu thức B = ( x 2x 3x x ) 3x 3x x x x a) Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức xác định b) Rút gọn B x 2 1 x 1 x x C©u 12: Cho biểu thức: P = a/ Tìm các giá trị x để biểu thức P xác định b/ Rút gọn P C©u 13: Cho biểu thức : M = x2 x3 x x6 2 x a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức b) Tìm x nguyên để M có giá trị nguyên C©u 14: Cho biểu thức: Q = x3 x7 2x 1 2x 1 a) Thu gọn biểu thức Q b) Tìm các giá trị nguyên x để Q nhận giá trị nguyên 1 x2 C©u 15: Cho biểu thức: A= ( với x 2 ) x x x2 a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng tỏ với x thỏa mãn 2 x , x -1 phân thức luôn có giá trị âm C©u 16: Cho biểu thức: P = : x 16 x x x Rút gọn biểu thức P Tính giá trị biểu thức P x thỏa mãn x2 – 9x + 20 = C©u 17: Cho phân thức: 1 x2 4x M= x x x2 a) Rút gọn M b) Tìm các giá trị nguyên x để M nhận giá trị nguyên C©u 18: Cho biểu thức: P= x2 x2 ( với x ; x 0) x2 x a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị x để P có giá trị bé Tìm giá trị bé đó GV : Nguyễn Thị Xuyến – Trường : THCS Nam Phương Tiến B – Chương mỹ - Hà nội Lop8.net (7) đề cương ôn tập hè năm 2011 lớp – lên lớp B / Bµi tËp bæ sung Bµi1/: Cho biÓu thøc : 2x 2 A 1 2 x x x2 4 x a) Rót gän A b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A t¹i x tho¶ m·n: 2x2 + x = c) Tìm x để A= d) Tìm x nguyên để A nguyên dương Bµi Cho biÓu thøc : x x 1 21 B : 1 x 3 x 3 x x 3 a) Rót gän B b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc B t¹i x tho¶ m·n: 2x + 1 = c) Tìm x để B = d) Tìm x để B < Bài 3: Tìm các giá trị nguyên x để phân thức M có giá trị là số nguyên: 10 x x M 2x x x Bµi : A= ( + – ) : (1 – ) x2 x2 x2 x 4 3 a) Rót gän A= ; x2 b) TÝnh gi¸ trÞ cña A x= - ; c) Tìm xZ để AZ x 1 x 1 x : x 1 x 1 x 1 x x 1 Bµi : M= a)Rót gän M= 4x ; x 2x 1 b)Tìm x để M=1/2 ; c)TÝnh M t¹i x 3 8; d)Chøng minh M 0; e)So s¸nh M víi GV : Nguyễn Thị Xuyến – Trường : THCS Nam Phương Tiến B – Chương mỹ - Hà nội Lop8.net (8) đề cương ôn tập hè năm 2011 lớp – lên lớp 2x 3x 2x : Bµi : Cho P= 1 x3 x3 x 9 x3 a)Rót gän P= x 3 ; x3 b)Tìm x Z để P Z ; c)TÝnh P t¹i x x2 x 1 x 1 x x 1 x 1 Bµi 7: Cho R=1: a)Rót gän R ; b)So s¸nh R víi ; c)T×m GTNN cña R; d)Tìm x Z để R>4 ; e)TÝnh R t¹i x=1/4 x 6x x 1 x 1 x 1 Bµi : Cho P = a) Rót gän P= x 1 ; x 1 b)Tìm x Z để P Z ; c) TÝnh P t¹i x=3 x 1 x 1 x Bµi : Cho P = x 1 a)Rót gän P= x 2x 2 1 x2 x b)TÝnh P víi 3x c)Tìm x để P > - ; d)Tìm x Z để P Z ; e)Tìm x để P = -3/2 x Bµi 10 : Cho P = x2 a) Rót gän P= 4x 2x x x x 4 : x 2 x x4 ; x3 GV : Nguyễn Thị Xuyến – Trường : THCS Nam Phương Tiến B – Chương mỹ - Hà nội Lop8.net (9) đề cương ôn tập hè năm 2011 lớp – lên lớp b) Tìm x để P = -1 ; c) TÝnh P t¹i ; d)Tìm x để P > ; e) So s¸nh P víi Bµi 11 : Cho P= a) Rót gän P = x 1 ; x 1 x 6x x 1 x 1 x 1 b) Tìm x để P < ; c)Tìm x Z để P Z ; d)Tìm x để P= - Dạng : Phương trình bậc ẩn A / c¸c bµi tËp c¬ b¶n Câu : Chứng minh x = là nghiệm phương trình 2mx - = -x + 6m - víi mäi m Câu : Giải phương trình : a) 6,36 - 5,3x = b) x 2 c) x x Câu : Cho phương trình ( m2 - )x + = m a) Giải phương trình với m = b) Với giá trị nào m thì phương trình có nghiệm Dạng : Phương trình đưa dạng ax + b = Câu : Giải các phương trình sau a) x3 1 2x 6 b) 12- (x-8) = -2 ( + x ) c) 2 x 1 x x 1 2009 2010 2011 Câu : Tìm giá trị k cho phương trình 3( k + ) - = 2k + x cã nghiÖm lµ x = Dạng : Phương trình tích - Phương trình chứa ẩn mẫu: : Câu : :Giải phương trình: a) (x-5)(7x+4) = ; b) x(2x - 7) - 4x + 14 = 2 c) (2x - 5) - (x +2) = d)3x2 + 5x + - 2x2 + 4x + = Câu : Giải phương trình: GV : Nguyễn Thị Xuyến – Trường : THCS Nam Phương Tiến B – Chương mỹ - Hà nội Lop8.net (10) đề cương ôn tập hè năm 2011 lớp – lên lớp a) 5 1 x 1 1 d) x+1+ = x-1- x x b) 0 x x2 e) x 2x x2 x2 x 4 c) 12 2 x x 8 B / Bµi tËp bæ sung Bài 1.Giải các phương trình sau: a) – (x – 6) = 4(3 – 2x) b) – 4x(25 – 2x) = 8x2 + x – 300 c) 3x 3x 2x 2x - x x 1 e) x 7 d) 5x 8x x 5 Bài 2.Giải các phương trình sau: a) 2x(x – 3) + 5(x – 3) = b) (x2 – 4) – (x – 2)(3 – 2x) = c) (2x + 5)2 = (x + 2)2 Bài Giải các phương trình sau: d) x2 – 5x + = e) 2x3 + 6x2 = x2 + 3x 3x 2x d) x -1 x 1 x x 1 15 a) x x ( x 1)(2 x) b) x -1 x 5x x x x2 c) x5 x5 x 25 2 x x x 10 x x 50 Bài Giải các phương trình sau: a) x - 5 = b) - 5x = 3x – 16 c) x - 4 = -3x + Bài 5: Giải các phương trình: a) 7x + 21 = e) 5 x x 1 8x x x x( x 2) x 16 d) 3x - 1 - x = e) 8 - x = x2 + x l) (2x - 1)2 – (2x + 1)2 = b) -2x + 14 = m) (2x – 1)(x – 2) = c) 3x + = 7x – 11 n) 3x(2x + 5) – 5(2x + 5) = d) 15 – 8x = – 5x p) (x - 3)(2x - 5)(3x + 9) =0 e) 1,2 – (x – 0,8) = -2 (0,9 + x) f) 3,6 – 0,5 (2x + 1) = x – 0,25(2 – 4x) GV : Nguyễn Thị Xuyến – Trường : THCS Nam Phương Tiến B – Chương mỹ - Hà nội Lop8.net 10 (11) đề cương ôn tập hè năm 2011 lớp – lên lớp x3 2x 2x 1 6 1 r) g) h) 2x 1 2x 1 2( x 7) 3x 5 i) (4x-10)(24 +5x) = j) (x +2) (3 – 4x) + (x2 + 4x + 4) = x2 x3 x4 x5 k) 93 92 91 90 Bài 6: Giải các phương trình chứa ẩn mẫu: 1 x 2x 3 15 7 a) ; b) ; 4( x 5) 50 x 6( x 5) 1 x x 1 c) 13 x ( x 3)(2 x 7) x x d) x 11 ; x x x 1x g) 3x x 1 x 1 x x 2x 3 5x 5 x 2x 2x e) ; f) 4x ; x x 16 x Bài 7: Giải các phương trình sau: 1) 3x x 2) x x 3) x 3x 4) x x Dạng : Giải toán cách lập phương trình A / c¸c bµi tËp c¬ b¶n Câu 1: Một số có tử bé mẫu là 11 Nếu tăng tử lên đơn vị và giảm mẫu đơn vị thì ®îc mét ph©n sè b»ng T×m ph©n sè ban ®Çu ? C©u 2:Tæng hai ch÷ sè cña mét sè cã hai ch÷ sè lµ 12,biÕt r»ng ch÷ sè hµng chôc h¬n ch÷ số hàng đơn vị là 4.Tìm số đó? Câu 3: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B hết h, ngược dòng từ B A hết h Tính vận tốc ca nô, biết vận tốc dòng nước là 10 km/h ? Câu 4: Hai đội công nhân cùng làm công việc thì hoàn thành 12 ngày Hỏi đội thø lµm mét m×nh th× sau bao l©u xÏ hoµn thµnh biÕt r»ng hä lµm chung víi ngày thì đội thứ điều làm việc khác đội thứ hai làm nốt phần công việc còn lại 10 ngµy th× xong C©u 5: Hai thùng đựng dầu : Thùng thứ có 120 lít dầu, thùng thứ hai có 90 lít dầu Sau lấy thùng thứ lượng dầu gấp ba lần lượng dầu lấy thùng thứ hai thì lượng dầu còn lại thùng thứ hai gấp đôi lượng dầu còn lại thùng thứ Hỏi đã lấy bao nhiêu lít dầu thùng ? GV : Nguyễn Thị Xuyến – Trường : THCS Nam Phương Tiến B – Chương mỹ - Hà nội Lop8.net 11 (12) đề cương ôn tập hè năm 2011 lớp – lên lớp C©u 6: Một tổ sản xuất theo kế hoạch ngày phải sản xuất 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ đã sản xuất 57 sản phẩm Do đó tổ đã hoàn thành trước kế hoạch ngày và còn vượt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm? B / Bµi tËp bæ sung Bài1 Lúc sáng, người xe đạp khởi hành từ A với vận tốc 10km/h Sau đó lúc 40 phút, người khác xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 30km/h Hỏi hai người gÆp lóc mÊy giê Bài Hai người khởi hành hai địa điểm cách 4,18 km ngược chiều để gặp Người thứ 5,7 km Người thứ hai 6,3 km xuất phát sau người thứ phút Hỏi người thứ hai bao lâu thì gặp người thứ Bài Lúc giờ, ôtô xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h Khi đến B, người lái xe làm nhiệm vụ giao nhận hàng 30 phút cho xe quay trở A với vận tốc trung bình 30km/h Tính quãng đường AB biết ôtô đến A lúc 10 cùng ngày Bài Hai xe máy khởi hành lúc sáng từ A để đến B Xe máy thứ chạy với vận tèc 30km/h, xe m¸y thø hai ch¹y víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc cña xe m¸y thø nhÊt lµ 6km/h Trªn ®êng ®i xe thø hai dõng l¹i nghØ 40 phót råi l¹i tiÕp tôc ch¹y víi vËn tèc cò Tính chiều dài quãng đường AB, biết hai xe đến B cùng lúc Bài Một canô tuần tra xuôi dòng từ A đến B hết 20 phút và ngược dòng từ B A hết Tính vận tốc riêng canô, biết vận tốc dòng nước là 3km/h .Một tổ may áo theo kế hoạch ngày phải may 30 áo Nhờ cải tiến kĩ thuật, tổ đã may ngày 40 áo nên đã hoàn thành trước thời hạn ngày ngoài còn may thêm 20 áo Tính số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch Bµi Hai c«ng nh©n nÕu lµm chung th× 12 giê sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc Hä lµm chung thì người thứ chuyển làm việc khác, người thứ hai làm nốt công việc 10 Hỏi người thứ hai làm mình thì bao lâu hoàn thành công việc Bài Một tổ sản xuất dự định hoàn thành công việc 10 ngày Thời gian đầu, họ làm mçi ngµy 120 s¶n phÈm Sau lµm ®îc mét nöa sè s¶n phÈm ®îc giao, nhê hîp lý ho¸ số thao tác, ngày họ làm thêm 30 sản phẩm so với ngày trước đó TÝnh sè s¶n phÈm mµ tæ s¶n xuÊt ®îc giao Bµi 8.Hai tæ s¶n xuÊt cïng lµm chung c«ng viÖc th× hoµn thµnh giê Hái nÕu lµm riªng mét m×nh th× mçi tæ ph¶i hÕt bao nhiªu thêi gian míi hoµn thµnh c«ng viÖc, biÕt lµm riªng tæ hoµn thµnh sím h¬n tæ lµ giê GV : Nguyễn Thị Xuyến – Trường : THCS Nam Phương Tiến B – Chương mỹ - Hà nội Lop8.net 12 (13) đề cương ôn tập hè năm 2011 lớp – lên lớp Dạng : Bất phương trình bậc ẩn C©u 1: a) Cho a > b So s¸nh a -2011 vµ b-2011 b) So s¸nh m vµ n biÕt m -1999 ≥ n - 1999 c) Cho a > b.h·y so s¸nh 3a + vµ 3b + C©u 2: Cho x<y a) CMR: 2011x + < 2011y + b) CMR: -2011x – > -2011y - Câu 3: Giải các bất phương trình sau vµ biÓu diÔn tËp nghiÖm trªn trôc sè ? a) x - > b) -3x > -4x + c) 8x + 3(x+2) > 5x - 2(x-11) d) -8x - - 2x + e) 2x 1 x g) 12 x x x 12 Câu 4: Giải các bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trên trục số: a) (x – 3)2 < x2 – 5x + f) x2 – 4x + b) (x – 3)(x + 3) (x + 2)2 + g) x3 – 2x2 + 3x – < 4x - x 2x 5x x d) 3 5x - x x e) 5 x2 0 x2 i) 0 x -3 x -1 k) 1 x -3 c) h) Câu 5: Chøng minh r»ng: a) a2 + b2 – 2ab b) d) m2 + n2 + 2(m + n) a b2 ab 1 1 e) (a b) (víi a > 0, b > 0) a b c) a(a + 2) < (a + 1)2 Câu 6: Cho m < n H·y so s¸nh: a) m + vµ n + c) – 3m + vµ - 3n + b) - + 2m vµ - + 2n d) m n vµ 2 Câu 7: Cho a > b H·y chøng minh: a) a + > b + b) - 2a – < - 2b – c) 3a + > 3b + d) – 4a < – 4b Câu 8: Với giá trị nào m thì phương trình ẩn x : x - =3m + có nghiệm dương ? Câu 9: Cho bất phương trình – 2x 15 – 5x và bất phương trình – 2x < Hãy : a) Giải các bất phương trình đã cho và biểu diễn tập nghiệm BPT trên trục số b) Tìm các giá trị nguyên x thoả mãn đồng thời hai bất phương trình trên ? GV : Nguyễn Thị Xuyến – Trường : THCS Nam Phương Tiến B – Chương mỹ - Hà nội Lop8.net 13 (14) đề cương ôn tập hè năm 2011 lớp – lên lớp Phần II: Hình học Lý thuyÕt 1) §Þnh nghÜa tø gi¸c,tø gi¸c låi,tæng c¸c gãc cña tø gi¸c 2) Nêu định nghĩa,tính chất,dấu hiệu nhận biết hình thang,hình than cân, hình thang vu«ng,h×nh ch÷ nhËt,h×nh b×nh hµnh,h×nh thoi, h×nh vu«ng 3) Các định lí đường trung bình tam giác,của hình thang 4) Nêu định nghĩa hai điểm đối xứng,hai hình đối xứng qua đường thẳng; Hai điểm đối xứng,hai hình đối xứng qua điểm,hình có trục đối xứng,hình có tâm đối xứng 5) Tính chất các điểm cách đường thẳnh cho trước 6) Định nghĩa đa giác đều,đa giác lồi,viết công thức tính diện tích của: hình chữ nhật,hình vu«ng,tam gi¸c,h×nh thang,h×nh b×nh hµnh,h×nh thoi 7) Định lý Talet, định lý Talet đảo, hệ định lý Talet 8) TÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c 9) Các trường hợp đồng dạng tam giác 10) Các trường hợp đồng dạng tam giác vuông 11) C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch cña h×nh hép ch÷ nhËt, diÖn tÝch xung quanh vµ thÓ tÝch cña hình lăng trụ đứng, diện tích xung quanh và thể tích hình chóp Bµi tËp A-CÁC BÀI TẬP VỀ TỨ GIÁC Câu 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H là trung điểm AB, BC, CD, DA Các đường chéo AC, BD tứ giác ABCD phải có điều kiện gì thì EFGH là : a) Hình chữ nhật ? b) Hình thoi ? c) Hình vuông ? Câu 2: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Gọi D là trung điểm AB, M’ là điểm đối xứng với M qua D a) Chứng minh điểm M’ đối xứng với M qua AB b) Các tứ giác AEMC, AEBM là hình gì ? Vì ? c) Cho BC 4,(cm) , tính chu vi tứ giác AM’BM d) Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác AEBM là hình vuông ? Câu 3: Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cao AH Gọi D, E là các hình chiếu H trên AB, AC và M, N theo thứ tự là các trung điểm các đoạn thẳng BH, CH a) Chứng minh tứ giác MDEN là hình thang vuông b) Gọi P là giao điểm đường thẳng DE với đường cao AH và Q là trung điểm đoạn thẳng MN Chứng minh PQ DE Câu 4: Cho tam giác ABC và điểm P thuộc miền tam giác Gọi M, N, Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC, BC Gọi A’, B’, C’ là các điểm đối xứng P qua các điểm Q, N, M GV : Nguyễn Thị Xuyến – Trường : THCS Nam Phương Tiến B – Chương mỹ - Hà nội Lop8.net 14 (15) đề cương ôn tập hè năm 2011 lớp – lên lớp a) Xét xem A, A’đối xứng với qua điểm nào ? Gọi điểm là điểm I b) Chứng tỏ hai điểm C, C’ đối xứng với qua I Câu 5: Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cao AH, dựng hình chữ nhật AHBD và AHCE Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm AB, AC Chứng minh : a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng b) PQ là trung trực đoạn thẳng AH c) Ba điểm D, P, H thẳng hàng d) DH EH Câu 6: Cho tam giác ABC phía ngòai tam giác, ta dựng các hình vuông ABDE và ACFG a) Chứng minh BG CE và BG CE b) Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm các đoạn thẳng BC, EG và Q, N theo thứ tự là tâm các hình vuông ABDE, ACFG Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông Câu 7: Qua đỉnh A hình vuông ABCD ta kẻ hai đường thẳng Ax, Ay vuông góc với Ax cắt cạnh BC điểm P và cắt tia đối tia CD điểm Q Ay cắt tia đối tia BC điểm R và cắt tia đối tia DC điểm S a) Chứng minh các tam giác APS, AQR là các tam giác cân b) Gọi H là giao điểm QR và PS; M, N theo thứ tự là trung điểm QR, PS Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật Câu 8: Cho tam giác ABC, đường cao BH, CK cắt E, qua B kẻ Bx AB , qua C kẻ Cy AC Hai đường thẳng Bx, Cy cắt D a) Tứ giác BDCE là hình gì , ? b) Gọi M là trung điểm BC, chứng minh M là trung điểm ED ABC thỏa mãn điều kiện gì đường thẳng DE qua A ? Câu 9: Cho hình bình hành ABCD, có :A 900 ; AB BC Trên đường vuông góc với BC C, lấy hai điểm E, F cho CE CF CB Trên đường vuông góc với CD C, lấy hai điểm P, Q cho CP CQ CD Chứng minh : a) Tứ giác EPFQ là hình bình hành b) ADC = ECP c) AC EP Câu 10: Cho hình bình hành ABCD, phân giác góc A cắt phân giác góc B, D P, Q a) Chứng minh PB // DQ và AP BP; AQ PQ b) Phân giác góc C cắt BP, DQ M, N Tứ giác MNPQ là hình gì ? c) Chứng minh MP // AD; NQ // AB d) Chứng minh AC, BD, MP, NQ đồng quy Câu 11: Cho hình thang ABCD, (AB // CD) Gọi M, N, P, Q là trung điểm AB, AC, CD, BD a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành b) Nếu ABCD là hình thang cân thì MNPQ là hình gì ? c) Với điều kiện gì cho ABCD để MNPQ là hình vuông ? vẽ hình minh họa Câu 12: Cho tam giác ABC vuông A, AC > AB, đường cao AH GV : Nguyễn Thị Xuyến – Trường : THCS Nam Phương Tiến B – Chương mỹ - Hà nội Lop8.net 15 (16) đề cương ôn tập hè năm 2011 lớp – lên lớp Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa C, vẽ hình vuông AHKE a) Chứng minh K nằm H và C b) Gọi P là giao điểm AC và KE Chứng minh ABP vuông cân c) Gọi Q là đỉnh thứ hình bình hành APQB, T là giao điểm BP và AQ Chứng minh H, T, E thẳng hàng d) Chứng minh HEKQ là hình thang B - CÁC BÀI TẬP VỀ DIỆN TÍCH TỨ GIÁC Câu 1: Diện tích hình chữ nhật thay đổi nào : a) Chiều dài tăng hai lần, chiều rộng không đổi b) Chiều dài và chiều rộng tăng ba lần c) Chiều dài tăng bốn lần, chiều rộng giảm lần Câu 2: Vẽ hình chữ nhật ABCD có AB = 5cm, BC = 3cm a) Hãy vẽ hình chữ nhật có diện tích bé có chu vi lớn hình chữ nhật ABCD Vẽ hình ? b) Hãy vẽ hình vuông có chu vi chu vi hình chữ nhật ABCD Có hình vuông ? So sánh diện tích hình chữ nhật với diện tích hình vuông có cùng chu vi vừa vẽ Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 20cm, BC = 12cm.Gọi M là trung điểm cạnh DC và N là trung điểm cạnh AB a) Chứng minh S ADCN S ABCM b) Tính S ADCN Câu 4: Tính diện tích tam giác cạnh a Câu 5: Cho hình bình hành ABCD Từ các đỉnh A, C kẻ AH, CK vuông góc với đường chéo BD Chứng minh AHCK là hình bình hành Câu 6: Tính diện tích hình thang vuông, biết hai đáy có độ dài là 2cm, 4cm, góc tạo cạnh bên và đáy lớn 450 C - BÀI TẬP VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG – ĐỊNH LÝ TALET Câu 1: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác AHC Câu 2: Cho tam giác ABC Trên cạnh AB và AC lấy hai điểm M và N Biết AM = 3cm, MB = 2cm, AN = 7,5cm, NC = 5cm a) Chứng minh MN // BC b) Gọi I là trung điểm BC, K là giao điểm AI và MN.Chứng minh K là trung điểm MN Câu 3: Hình thang ABCD (AB // CD) có AB =2,5 cm, AD = 3,5 cm, BD = cm, DAB = DBC a) Chứng minh ADB BCD b) Tính độ dài các cạnh BC, CD GV : Nguyễn Thị Xuyến – Trường : THCS Nam Phương Tiến B – Chương mỹ - Hà nội Lop8.net 16 (17) đề cương ôn tập hè năm 2011 lớp – lên lớp Câu 4: Cho tam giác vuông ABC ( = 900), AB = 12 cm, AC = 16 cm Tia phân giác góc A cắt BC D, AH là đường cao tam giác ABC a) Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABD và ACD b) Tính BC, BD, CD, AH Câu 5: Trên cạnh góc có đỉnh là A đặt đoạn thẳng AE = cm, AC = cm Trên cạnh đặt các đoạn thẳng AD = cm, AF = cm a) Hỏi tam giác ACD và tam giác AEF có đồng dạng không? Vì sao? b) Gọi I là giao điểm CD và EF Tính tỉ số chu vi hai tam giác IDF và IEC Câu 6: Cho tam giác ABC vuông A, AC = cm, BC = cm Kẻ tia Cx BC (tia Cx và điểm A khác phía so với đường thẳng BC), lấy trên tia Cx điểm D cho BD = cm a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác CDB b) Gọi I là giao điểm AD và BC Tính IB, IC Câu 7: Cho hình chữ nhật ABCD có hai AB = cm, BC = cm Vẽ đường cao AH tam giác ADB a) Chứng minh: Tam giác AHB và tam giác ADB đồng dạng b) Chứng minh AD2 = DH DB c) Tính DH và AH Cõu 8: a) Tam giác ABC có B: = C: ; AB = 4cm; BC = 5cm Tính độ dài AC? b) Tính độ dài các cạnh ABC có B: = C: biết số đo các cạnh là số tự nhiên liªn tiÕp Cõu 9: Cho ABH vuông H có AB = 20cm; BH = 12cm Trên tia đối HB lấy ®iÓm C cho AC = : AH TÝnh BAC Câu 10: Cho h×nh thang ABCD(AB // CD) Gäi O lµ giao ®iÓm cña 2®êng chÐo AC vµ BD a) Chøng minh r»ng: OA OD = OB OC b) §êng th¼ng qua O vu«ng gãc víi AB vµ CD theo thø tù t¹i H vµ K Chøng minh: OA AB = OK CD Cõu 11: Cho ABC, AD là phân giác :A ; AB < AC Trên tia đối DA lấy điểm I : cho :ACI BDA Chøng minh r»ng a) ADB đồng dạng với ACI b) AD2 = AB AC - BD DC Cõu 12: Cho ABC; H, G, O là trực tâm, trọng tâm, giao điểm đường trung trùc cña Gäi E, D theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB vµ AC Chøng minh : a) OED đồng dạng với HCB b) GOD đồng dạng với GBH GV : Nguyễn Thị Xuyến – Trường : THCS Nam Phương Tiến B – Chương mỹ - Hà nội Lop8.net 17 (18) đề cương ôn tập hè năm 2011 lớp – lên lớp c) Ba ®iÓm O, G, H th¼ng hµng vµ GH = 2OG Câu 13: Cho ABC cã AB = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm Gäi M lµ trung ®iÓm BC Qua M kẻ đường vuông góc với BC cắt AC, AB D, E a) CMR : ABC đồng dạng với MDC b) TÝnh c¸c c¹nh MDC c) Tính độ dài BE, EC Câu 14: Cho ABC; O lµ trung ®iÓm c¹nh BC : Gãc xOy = 600; c¹nh Ox c¾t AB ë M; Oy c¾t AC ë N a) Chøng minh: OBM đồng dạng với NCO b) Chøng minh : OBM đồng dạng với NOM : : c) Chøng minh : MO vµ NO lµ ph©n gi¸c cña BMN vµ CNM d) Chøng minh : BM CN = OB2 D - MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Câu 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ a) Hãy kể tên các đỉnh, các cạnh, các cặp mặt đối diện nó b) Hãy đường thẳng cắt đường thẳng AB, song song với đường thẳng CD, chéo với đường thẳng AA’ c) Mặt phẳng nào song song với đường thẳng AB d) Đường thẳng nào song song với mặt phẳng (ABCD) e) Mặt phẳng nào song song với mặt phẳng (AA’D’D) f) Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng CD g) Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng (BB’C’C) h) Chứng minh AC '2 AB AD AA '2 , ( hình hộp chữ nhật bình phương đường chéo tổng các bình phương ba kích thước ) Câu 2: Một hình hộp chữ nhật có chiều dài là 10cm , chiều rộng là 8cm , chiều cao là 5cm Tính thể tích hình hộp chữ nhật đó Câu 3: Một lăng trụ đứng có chiều cao cm, đáy là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 3cm và cm 1) Tìm diện tích xung quanh hình lăng trụ 2) Tìm thể tích hình lăng trụ Câu 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có chiều rộng AB = 6cm, đường chéo AC = 10cm và chiều cao AA’ = 12cm Tình diện tích xung quanh (Sxq), diện tích toàn phần (Stp) và thể tích (V) hình hộp này ? Câu 5: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình chóp tứ giác có cạnh bên b, cạnh đáy a Áp dụng cho a = 20cm và b = 24cm c¸c bµi tËp tæng hîp Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A có AB = 6cm; AC = 8cm Kẻ đường cao AH a) CM: ABC ~ HBA b) CM: AH2 = HB.HC GV : Nguyễn Thị Xuyến – Trường : THCS Nam Phương Tiến B – Chương mỹ - Hà nội Lop8.net 18 (19) đề cương ôn tập hè năm 2011 lớp – lên lớp c) Tính độ dài các cạnh BC, AH d) P/giaùc cuûa goùc ACB caét AH taïi E, caét AB taïi D Tính tæ soá dieän tích cuûa hai tam giaùc ACD vaø HCE Baøi 2: Cho xAÂy Treân tia Ax laáy ñieåm B vaø C cho AB = 8cm, AC = 15cm Treân tia Ay laáy ñieåm D vaø E cho AD = 10cm, AE = 12cm a) Cm: ABE : ADC đồng dạng b) Cm: AB.DC = AD.BE c) Tính DC Bieát BE = 10cm d) Goïi I laø giao ñieåm cuûa BE vaø CD Cm: IB.IE = ID.IC Bài3 :Cho ABC vuông A , có AB = 6cm , AC = 8cm Đường phân giác góc ABC cắt cạnh AC D Từ C kẻ CE BD E a) Tính độ dài BC và tỉ số AD DC b) Cm ABD ~ EBC Từ đó suy BD.EC = AD.BC c) Cm CD CE BC BE d) Gọi EH là đường cao EBC Cm: CH.CB = ED.EB Bài : Cho ABC có AB = cm ; AC = 12 cm và BC = 13 cm Vẽ đường cao AH, trung tuyến AM ( H, M thuộc BC ) và MK vuông góc AC.Chứng minh : a ABC vuoâng b AMC caân c AHB ~ AKM d.AH.BM = CK.AB Bài 5: Cho ABC vuông A, đường cao AH, biếtù AB = cm và AC = 12 cm 1) Tính BC vaø AH 2) Tia phân giác góc ABC cắt AH E và cắt AC F Chứng minh : a) ABF ~ HBE b) AEF caân c) EH.FC = AE.AF Bài : Cho hình bình hành ABCD ( AB > BC ), điểm M AB Đường thẳng DM cắt AC K, cắt BC N 1) Chứng minh : ADK ~ CNK 2) Chứng minh : KM KA Từ đó chứng minh : KD KM.KN KD KC 3) Cho AB = 10 cm ; AD = cm ; AM = cm Tính CN vaø tæ soá dieän tích KCD vaø KAM Bài 7: Cho tam giác ABC có góc nhọn và AB < AC Các đường cao AD, BE, CF cắt taïi H 1) Chứng minh : ACD ~ BCE 2) Chứng minh : HB.HE = HC.HF 3) Cho AD = 12 cm ; BD = cm ; CD = cm Tính AB vaø HC Baøi : Cho hình thang ABCD (AB //CD) có CD = 2AB Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD, F là giao điểm hai cạnh bên AD và BC GV : Nguyễn Thị Xuyến – Trường : THCS Nam Phương Tiến B – Chương mỹ - Hà nội Lop8.net 19 (20) đề cương ôn tập hè năm 2011 lớp – lên lớp a) Chứng minh OC = 2OA b) Điểm O là điểm đặc biệt gì ttrong tam giác FCD? Chứng minh c) Một đường thẳng song song với AB và CD cắt các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC M, I, K, N Chứng minh DM CN AD BC d) So sánh MI và NK Bài 9: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Tia phân giác góc AMB cắt AB E, tia phân giác góc AMC cắt AC D a) So sánh AE AD và EB DC b) Gọi I là giao điểm AM và ED Cm I là trung điểm ED c) Cho BC=16cm, CD Tính ED DA d) Gọi F,K là giao điểm EC với AM, DM Cm EF.KC = FK.EC Baøi 10 : Cho tam giác ABC có góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt H a) Cm ABE và ACF đồng dạng b) Cm HE.HB = HC.HF c) Cm góc AEF góc ABC d) Cm EB là tia phân giác góc DEF Baøi 11 : Cho tứ giác ABCD có hai Đường chéo AC và BD cắt O Các đường thẳng AB và CD cắt M Biết AB = 7cm, CD = 11cm, MA = 5cm , MD = 4cm Chứng minh: a) MAD ~ MCB b) góc MAC = góc MDB c) OA.OC = OD.OB d) AOD ~ BOC Baøi 12 : Cho tam giác ABC có góc nhọn, các đường cao AD, BE cắt H a) Cm ADC ~ BEC b) Cm HE.HB = HA.HD c) Gọi F là giao điểm CH và AB Cm AF.AB = AH.AD d) Cm HD HE HF 1 AD BE CF Baøi 13 : Cho góc nhọn xAy Trên cạnh Ax lấy điểm B, C cho AB = 4cm, AC = 6cm Trên cạnh Ay, lấy điểm D, E cho AD = 2cm, AE = 12cm Tia phân giác góc xAy cắt BD I và cắt CE K AD AE và AB AC : : b) So sánh ACE và ADB a) So sánh c) Cm AI.KE = AK.IB d) Cho EC = 10cm Tính BD, BI e) Cm KE.KC = 9IB.ID Baøi 14 :Cho tam giác ABC có AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm GV : Nguyễn Thị Xuyến – Trường : THCS Nam Phương Tiến B – Chương mỹ - Hà nội Lop8.net 20 (21)