Cho tø diÖn OABC, ®Ønh S cã ba mÆt vu«ng.[r]
(1)§Ị thi chän häc sinh giái tØnh môn toán lớp 12 1:
(Thời gian làm bµi 180’)
Câu 1: Chứng minh hàm số y = x4- 6x2 + 4x + ln có cực trị đồng thời
gốc toạ độ O trọng tâm tam giác tạo đỉnh điểm cực trị đồ th hm s
Câu 2: Giải hệ phơng tr×nh.
x+y = √4z −1 y + z = √4x −1 z + x = √4y −1
Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề vng góc oxy cho parabol (P): y2 = 4x.
M điểm di động (P) M 0, T điểm (P) cho T 0, OT vng góc với OM
a Chứng minh M di động (P) đ ờng thẳng MT ln qua điểm cố định
b Chứng minh M di động (P) thì trung điểm I MT chạy pa ra bol c nh
Câu 4: Giải phơng tr×nh sau:
sinx + siny + sin (x+y) = 3√3
C©u 5: Cho d·y sè In =
∫
2nπ
4nπ
cosx
x dx , nN*
TÝnh n →lim +∞ In
C©u : Cho a > 0, chøng minh r»ng lna
a−1 <
1+√3 a a+√3 a
2:
Bài 1: ( điểm )
Cho hµm sè : y=x+1+
x −1 ( C ) 1/ Khảo sát hàm số
2/ Tìm điểm đồ thị (C) có hoành độ lớn cho tiếp tuyến diểm tạo với đờng tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ
(2)BiÖn luËn theo m sè nghiệm dơng phơng trình :
1
x
(
t −1t
)
dt=m−1
Bài : (2 điểm )
Giải phơng trình : x=3 x.4 x+4 x.5 x+5 x.3 x
Bài 4: (2 điểm )
Tìm giá trị thực m để phơng trình sau có nghiệm x∈
[
0;π4
]
: (4−6m)Sin3x+3(2m−1)Sinx+2(m−2)Sin2xCosx−(4m −3)Cosx
=0 Bài 5: (2 điểm )
Tìm tam giác ABC có B = 2A ba cạnh có số đo ba số nguyên liên tiếp
Bài 6: (2 điểm )
Tìm đa thức P(x) có bậc lớn thoả mÃn hệ điều kiện sau :
{
(x+2)(x2−4)P''
(x)−2x(x+2)P'(x)+12P(x)=0
P(1)=27 ;∀x∈R
Bµi 7: (2 ®iĨm )
Gi¶i hƯ sau :
{
3+Cos 2x −log23
=3−(y+4)
2|y|−|y 1|+(y+3)28 Bài : (2 điểm )
Hai hình chóp tam giác có chung chiều cao , đỉnh hình chóp trùng với tâm đáy hình chóp Mỗi cạnh bên hình chóp cắt cạnh bên hình chóp Cạnh bên l hình chóp thứ tạo với đờng cao góc α .Cạnh bên hình chóp thứ tạo với đờng cao góc β
T×m thĨ tÝch phần chung hai hình chóp
Bài 9: (2®iĨm )
Cho số thực a , b , c ≥2 chứng minh bất đẳng thức sau : log ab c 2log bc a 2log ca b 3
.
Họ tên thí sinh : Sè b¸o danh
Đề 3: Bài 1: (4 điểm)
1) Tỡm trờn thị hàm số y = x
2
x −1 hai điểm A B đối xứng qua đờng thẳng y = x -1
2) Cho a, b, c R víi a m N* thoả mÃn:
a m+4+
b m+2+
c
m=0 .
Chøng minh rằng:Đồ thị hàm số: y = ax4 + bx2 + c cắt trục ox điểm thuộc
khoảng (0;1).
Bài 2: (5 điểm)
1) Tìm tổng tất nghiệm x [1;2010] phơng trình: Sin4x + Sin4 ( x + π
4 ) + Sin4 (x +
π
2 ¿+sin
4
(x+3π
4 )= 2Sin
4
4x 2) Cho tam giác ABC góc tù thoả mÃn hệ thøc:
1
3(cos 3A+cos 3B)−
2(cos 2A+cos 2B)+cosA+cosB=
Hãy tính góc tam giác đó.
(3)1) T×m hä nguyên hàm hàm số f(x) = x x4
+3x2+2
2) Giải phơng trình: 3x2 + + log
2010 4x
+2
x6+x2+1=x
6
Bài 4: (4 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy
1) Cho điểm A(4;0) đờng thẳng : 4x - = Chứng minh tập hợp điểm M có tỷ số
khoảng cách từ đến điểm A từ đến đờng thẳng
3 lµ mét Hypebol H·y viÕt
ph-ơng trình Hypebol đó.
2) Cho Parabol y2 = 2px (p > 0) đờng thẳng d di động nhng qua tiêu điểm F của
Parabol Gọi M, N giao điểm parabol với đ ờng thẳng d Chứng minh đờng tròn đ-ờng kính MN ln tiếp xúc với đđ-ờng thng c nh.
Bài 5: (3 điểm)
Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Gọi K trung điểm SC Mặt
phẳng qua AK cắt cạnh SB, SD lần lợt M N Gọi V1, V thứ tự lµ thĨ tÝch cđa khèi
chãp SAMKN vµ khèi chóp SABCD Tìm giá trị nhỏ giá trị lín nhÊt cđa tû sè V1
V .
4:
Câu I (5 điểm) Cho hµm sè y=x
2
−2x+2
x −1
1, Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số trên. 2, Chứng minh đờng thẳng (d): x
2+
y
−1=1 có hai điểm mà từ điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vng góc Xác định toạ độ hai điểm đó.
C©u II (4 ®iĨm)
1) BiƯn ln theo m số nghiệm hệ phơng trình
x+my=m
x2
+y2=x
¿{
¿
Khi hệ có hai nghiệm (x1;y1), (x2;y2) tìm m để
y2− y1¿2 x2− x1¿
2
+¿ P=¿
lớn nhất. 2) Giải phơng trình: 2
1−x2 x2
−2 1−2x
x2 =1
2
x Câu III (5 điểm)
1) Đờng thẳng (d) cắt Parabol (P): y=− x2
+2x+3 hai điểm phân biệt A, B lần lợt có hồnh độ x1; x2 giả sử x1<x2 AB=2 Tìm x1; x2 để hình phẳng giới hạn đờng thẳng (d)
vµ Parabol cã diƯn tÝch lín nhÊt.
2) Tam giác ABC góc tù sin2A+sin2B=sinC Chứng minh tam giác ABC
tam giác vu«ng
(4)1) Tính đạo hàm hàm số:
cos2010 cos2011 1
,
0,
x x
e
neu x
y x
neu x
t¹i x=0
2) Hình chóp S.ABC, đáy ABC tam giác cạnh a Mặt bên hợp với đáy góc α,
0°
<α<90° Chøng minh Rr ≤13 ( với r, R lần lợt bán kính mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp).
Câu V (2 điểm) Qua đờng cao hình tứ diện dựng mặt phẳng cắt ba mặt bên tứ diện theo ba đờng thẳng tạo với đáy tứ diện lần lợt góc α, β, γ.
(5)5:
Bài1 : ( điểm)
Cho hµm sè y=−2x+m
√
x2−2x+21 Tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số m = 3
2 Tìm tất giá trị m để hàm số đạt cực đại điểm xo<-2 Bài : ( 4điểm)
1 Tìm m để nghiệm bất phơng trình sau chứa đoạn [1;2] m|x2−3x+1|−
|x2−3x
+1|
0 2 Giải bất phơng trình:
1+m2¿x
2
+4x+6 1− m2¿x
2
+4x+6 ¿
2m¿x2
+4x+6
+¿ ¿
Víi < m < 1
Bài : ( 4điểm)
1 Giải phơng trình:
1+sinxlogógonxcosx
1+cosxlogcosxsinx
=
2 Cho ABC Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa sinC biÕt: sin2A + sin2B = k sin2C Víi k >
2
Bài : ( điểm)
Tìm đa thức f(x) thoả mÃn: x.f(x-1) = (x-3) f(x)
Bài : ( điểm)
1 Lập phơng trình Parabol (P) có tiêu điểm F(3;2) đỉnh S(2;1).
2 Cho tứ diện OABC, đỉnh S có ba mặt vng Gọi H hình chiếu O lên đáy ABC Chứng minh rằng:
a) OH2=
1 OA2+
1 OB2+
1 OC2 b) S2ΔABC=S2ΔOBC+S2ΔOAC
(6)6:
Câu 1: (6 điểm) Cho hàm sè: y = x3 + 3x2 + 1.
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số.
b) BiÖn luËn theo m sè nghiệm phơng trình: x3 + 3x2 = m3 + 3m2.
c) Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị (C) kẻ từ điểm (1; 5).
d) Trên đờng thẳng y = 9x – 4, tìm điểm kẻ đến (C) tiếp tuyến.
C©u 2: (3 điểm) Giải phơng trình sau: a)
3
cos x cos x
(75 2) (17 12 2) cos3x.
b)
2
x 3x x x
3
.
Câu 3: (4 điểm)
a) Tỡm m bất phơng trình sau có nghiệm nhất:
2
m m
7
log 11log ( x mx10 4) log (x mx12)0
. b) Tìm m để bất phơng trình sau với x.
1 + 2cosx+ 1 + sin2x 2m – 1.
Câu 4: (2,5 điểm)
a) Xỏc nh a, b để hàm số sau có đạo hàm x = 0:
31 ax cosx víi x 0
f(x)
ln(1 2x) b víi x
.
b) TÝnh tÝch ph©n:
1
2
4 x
1
x
I dx
(x x 1)(1 2006 )
∫
.
C©u 5: (2,5 ®iÓm) Cho elÝp (E1):
2
x y
1
15 , (E2):
2
x y
1
6 15 vµ parabol (P): y2 = 12x.
a) Viết phơng trình đờng trịn qua giao điểm elíp trên. b) Viết phơng trình tiếp tuyến chung (E1) (P).
Câu 6: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy nửa lục giác với cạnh a (a> 0) Cạnh SA vng góc với đáy SA = a 3 M điểm khác B SB cho AM MD Tính tỉ số
SM SB .
(7)-Đề 7:
Bài 1 ( điểm)
Cho hàm số f(x) =
Chứng minh
∫
−π
4
π
4
√
1+x2sin xdx = f’(0).Bài 2 ( điểm) Giải phương trình: x3 + 6x2 +9x + 1=0.
Bài 3 ( điểm)
Tìm m để bất phương trình: mx2 + mx + m -2
có nghiệm x(1;2).
Bài 4 ( điểm)
Giải biện luận phương trình: 4x+1+2(m-1)x-1=(m+1)
√
4x2−3x −1 theo tham số mBài 5 ( điểm)
Giải phương trình: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = - 12
Bài 6 ( điểm)
Chứng minh tam giác ABC có: cosA+cosB+cosC+
sinA+
1 sinB+
1 sinC=
3
2+2√3 đều.
Bài 7 ( điểm)
Tìm giới hạn:
2
2
2010 lim
sin 1000
x
x x
Bài 8 ( điểm)
Giải biện luận theo m bất phương trình: x2−(m+1)x+m≥(x −m)log1
3
(x+3)
Bài 9 ( điểm)
Trong mặt phẳng oxy cho hypebol (H): x2 − y
2
=1 đường tròn (C): x2+y2=9.
1 Viết phương trình tiếp tuyến (H) kẻ qua điểm M(3;1). 2 Viết phương trình tiếp tuyến chung (H) (C).
Bài 10 ( điểm)
Cho elip (E): x2 +y
2
=1 hai đường thẳng (d1): x-ky=0, (d2): kx+y=0 (d1) cắt elip (E) A C, (d2) cắt elip (E) B D.
Tìm giá trị lớn nhỏ diện tích tứ giác ABCD.
Đề 8:
x2sin
x2
(8)Câu 1: (4 điểm) Cho hàm sè: y=x
4
2 −3x
2
+5
2(C) và điểm M (C) có hoành độ xM = a Với giá trị a thì tiếp tiếp tuyến (C) M cắt (C) điểm phân biệt khác M.
2 Tìm m để phơng trình: (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) – 2m +1 =0 Có nghiệm thỗ mãn: x2 +6x + 0
Câu 2: (4 điểm)
1.Tìm GTLN GTNN hàm số f(x) đoạn [-1; 2] biÕt f(0) = (1) vµ f2(x).f’(x) = 1+ 2x +3x2 (2)
2
3
6
sin sin cos cos3
tan( ) tan( )
x x x x
x x
Câu 3: (4 điểm)
1 Giải phơng trình : log2√2+√3(x2−2x −2)=log2+√3(x2−2x −3)
2 T×m:
2 3
lim ( )
x
x x
x
x x
C©u 4: (4 ®iĨm)
1 Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC tam giác vuông A AB = a, các cạnh bên SA = SB = SC = a tạo với đáy góc α . Xác định cosα để thể tích hình chóp lớn nhất.
2 TÝnh c¸c gãc cđa ΔABC biÕt sin3A
2 +sin
A − C
2 +sin
A − B
2 =
Câu 5: (4 điểm)
1 Tính:
2
2
ln (1 tan )x x
I e dx
∫
2 Trên trục toạ độ Oxy: Cho parabol (P): y=− x
2
16 và đờng thẳng (Δ) : 3x – 4y + 19 = 0. Viết phơng trình đờng trịn có tâm I thuộc đờng thẳng (Δ) có bán kính nhỏ tiếp
xóc víi parabol (P)
Đề 9:
Bµi1: (4 ®iĨm)
Cho hµm sè f(x)=x3- 6x2+9x-1 (C).
1 Khảo sát vẽ đồ thị (C).
2 Từ điểm đờng thẳng x=2 ta kẻ đợc tiếp tuyến đến (C).
Bài2: (4 điểm). 1 Tính I=
0
√
x3−2x2 (9)2 Cho f(x) = 2x + m + log2mx2 - 2(m – 2)x+ 2m-1. Tìm m để f(x) có tập xác định l R.
Bài3: (4 điểm).
Giải phơng trình: ln(sinx+1) = esinx-1
.
Bài4: (2 điểm)Giải hệ phơng trình:
x y=1
y −√z=1
z −√x=1
¿{ {
¿
Bài5: (4 điểm).
Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' cạnh a Lấy M đoạn AD', N
đoạn BD với AM=DN=x, (0<x<a 2 ). 1 Chứng minh với x= a2
3 thì MN ngắn nhÊt.
2 Khi MN ng¾n nhÊt chøng minh: MN đoạn vuông góc chung AD' và DB.
Bài6: (2 điểm). Cho x,y,z
[
6;
π
2
]
Chøng minh: sinx −sinysinz +
siny+sinz
sinx +
sinz+sinx
siny ≤
(
1−1
√2
)
2
Đề 10:
Bài (4 điểm)
1 Tỡm trục hồnh điểm kẻ đến đồ thị hàm số y= x
2
x −1 hai tiÕp tun t¹o víi mét gãc 450.
Cho hµm sè f:Ν❑
→ thoả mÃn điều kiện
i f(1)=2
ii ∀n >1 th× f(1)+f(2)+ +f(n)=n2f(n)
Hãy xác định cơng thức đơn giản tính f (n) ?
Bài (4 điểm) 1 Tìm m để hệ
¿
x2−(m+2)x+2m<0
x2+ (m+7)x+7m<0
¿{
¿
(10)Bµi (4 điểm)
1 Giải phơng trình cos6x – cos4x + 4cos3x + = 0. 2 Trong tam gi¸c ABC, chøng minh r»ng:
cosA+cosB+cosC+
cosA+cosB+cosC ≤
13 .
Bµi (4 điểm)
1 Giải phơng trình (x −3)
[
log3(x −5)+log5(x −3)]
=x+2 . 2 TÝnh limx→0
√1+2x√31+3x −1
x .
Bµi (4 ®iĨm)
1 Lập phơng trình mặt cầu tâm I(1; -1; 1), biết qua đờng thẳng
2
2
x y z
x y z
cã hai mỈt phẳng vuông góc với tiếp xúc với mặt cầu.
2 Với a, b, c dơng R, chøng minh r»ng:
aα bα
+cα+
bα cα
+aα+
cα aα
+bα≥
aα −1 bα −1
+cα −1+
bα−1 cα −1
+aα−1+
cα −1 aα −1
+bα−1