tranh lịch sử 6 lịch sử 6 trần mạnh thư viện tư liệu giáo dục

Cho tø diÖn OABC, ®Ønh S cã ba mÆt vu«ng.[r]

§Ị thi chän häc sinh giái tØnh môn toán lớp 12 1:

(Thời gian làm bµi 180’)

Câu 1: Chứng minh hàm số y = x4- 6x2 + 4x + ln có cực trị đồng thời

gốc toạ độ O trọng tâm tam giác tạo đỉnh điểm cực trị đồ th hm s

Câu 2: Giải hệ phơng tr×nh.

x+y = √4z −1 y + z = √4x −1 z + x = √4y −1

Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề vng góc oxy cho parabol (P): y2 = 4x.

M điểm di động (P) M  0, T điểm (P) cho T  0, OT vng góc với OM

a Chứng minh M di động (P) đ ờng thẳng MT ln qua điểm cố định

b Chứng minh M di động (P) thì trung điểm I MT chạy pa ra bol c nh

Câu 4: Giải phơng tr×nh sau:

sinx + siny + sin (x+y) = 3√3

C©u 5: Cho d·y sè In = ∫

2nπ

4nπ

cosx

x dx , nN*

TÝnh n →lim +∞ In

C©u : Cho  a > 0, chøng minh r»ng lna

a−1 <

1+√3 a a+√3 a

2:

Bài 1: ( điểm )

Cho hµm sè : y=x+1+

x −1 ( C ) 1/ Khảo sát hàm số

2/ Tìm điểm đồ thị (C) có hoành độ lớn cho tiếp tuyến diểm tạo với đờng tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ

BiÖn luËn theo m sè nghiệm dơng phơng trình :

1

x

(t −1

t)dt=m−

1

Bài : (2 điểm )

Giải phơng trình : x=3 x.4 x+4 x.5 x+5 x.3 x

Bài 4: (2 điểm )

Tìm giá trị thực m để phơng trình sau có nghiệm x∈[0;π

4] : (4−6m)Sin3x

+3(2m−1)Sinx+2(m−2)Sin2xCosx−(4m −3)Cosx

=0 Bài 5: (2 điểm )

Tìm tam giác ABC có B = 2A ba cạnh có số đo ba số nguyên liên tiếp

Bài 6: (2 điểm )

Tìm đa thức P(x) có bậc lớn thoả mÃn hệ điều kiện sau :

{(x+2)(x

2−4)P''

(x)−2x(x+2)P'(x)+12P(x)=0

P(1)=27 ;∀x∈R

Bµi 7: (2 ®iĨm )

Gi¶i hƯ sau : {

3+Cos 2x −log23

=3−(y+4)

2|y|−|y 1|+(y+3)28 Bài : (2 điểm )

Hai hình chóp tam giác có chung chiều cao , đỉnh hình chóp trùng với tâm đáy hình chóp Mỗi cạnh bên hình chóp cắt cạnh bên hình chóp Cạnh bên l hình chóp thứ tạo với đờng cao góc α .Cạnh bên hình chóp thứ tạo với đờng cao góc β

T×m thĨ tÝch phần chung hai hình chóp

Bài 9: (2®iĨm )

Cho số thực a , b , c ≥2 chứng minh bất đẳng thức sau : log ab c 2log bc a 2log ca b 3

.

Họ tên thí sinh : Sè b¸o danh

Đề 3: Bài 1: (4 điểm)

1) Tỡm trờn thị hàm số y = x

2

x −1 hai điểm A B đối xứng qua đờng thẳng y = x -1

2) Cho a, b, c  R víi a  m N* thoả mÃn:

a m+4+

b m+2+

c

m=0 .

Chøng minh rằng:Đồ thị hàm số: y = ax4 + bx2 + c cắt trục ox điểm thuộc

khoảng (0;1).

Bài 2: (5 điểm)

1) Tìm tổng tất nghiệm x [1;2010] phơng trình: Sin4x + Sin4 ( x + π

4 ) + Sin4 (x +

π

2 ¿+sin

4

(x+3π

4 )= 2Sin

4

4x 2) Cho tam giác ABC góc tù thoả mÃn hệ thøc:

1

3(cos 3A+cos 3B)−

2(cos 2A+cos 2B)+cosA+cosB=

Hãy tính góc tam giác đó.

1) T×m hä nguyên hàm hàm số f(x) = x x4

+3x2+2

2) Giải phơng trình: 3x2 + + log

2010 4x

+2

x6+x2+1=x

6

Bài 4: (4 điểm)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy

1) Cho điểm A(4;0) đờng thẳng : 4x - = Chứng minh tập hợp điểm M có tỷ số

khoảng cách từ đến điểm A từ đến đờng thẳng 

3 lµ mét Hypebol H·y viÕt

ph-ơng trình Hypebol đó.

2) Cho Parabol y2 = 2px (p > 0) đờng thẳng d di động nhng qua tiêu điểm F của

Parabol Gọi M, N giao điểm parabol với đ ờng thẳng d Chứng minh đờng tròn đ-ờng kính MN ln tiếp xúc với đđ-ờng thng c nh.

Bài 5: (3 điểm)

Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Gọi K trung điểm SC Mặt

phẳng qua AK cắt cạnh SB, SD lần lợt M N Gọi V1, V thứ tự lµ thĨ tÝch cđa khèi

chãp SAMKN vµ khèi chóp SABCD Tìm giá trị nhỏ giá trị lín nhÊt cđa tû sè V1

V .

4:

Câu I (5 điểm) Cho hµm sè y=x

2

−2x+2

x −1

1, Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số trên. 2, Chứng minh đờng thẳng (d): x

2+

y

−1=1 có hai điểm mà từ điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vng góc Xác định toạ độ hai điểm đó.

C©u II (4 ®iĨm)

1) BiƯn ln theo m số nghiệm hệ phơng trình

x+my=m

x2

+y2=x

¿{

¿

Khi hệ có hai nghiệm (x1;y1), (x2;y2) tìm m để

y2− y1¿2 x2− x1¿

2

+¿ P=¿

lớn nhất. 2) Giải phơng trình: 2

1−x2 x2

−2 1−2x

x2 =1

2

x Câu III (5 điểm)

1) Đờng thẳng (d) cắt Parabol (P): y=− x2

+2x+3 hai điểm phân biệt A, B lần lợt có hồnh độ x1; x2 giả sử x1<x2 AB=2 Tìm x1; x2 để hình phẳng giới hạn đờng thẳng (d)

vµ Parabol cã diƯn tÝch lín nhÊt.

2) Tam giác ABC góc tù sin2A+sin2B=sinC Chứng minh tam giác ABC

tam giác vu«ng

1) Tính đạo hàm hàm số:

cos2010 cos2011 1

,

0,

x x

e

neu x

y x

neu x



 

 



 

 t¹i x=0

2) Hình chóp S.ABC, đáy ABC tam giác cạnh a Mặt bên hợp với đáy góc α,

0°

<α<90° Chøng minh Rr ≤13 ( với r, R lần lợt bán kính mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp).

Câu V (2 điểm) Qua đờng cao hình tứ diện dựng mặt phẳng cắt ba mặt bên tứ diện theo ba đờng thẳng tạo với đáy tứ diện lần lợt góc α, β, γ.

5:

Bài1 : ( điểm)

Cho hµm sè y=−2x+m√x2−2x+2

1 Tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số m = 3

2 Tìm tất giá trị m để hàm số đạt cực đại điểm xo<-2 Bài : ( 4điểm)

1 Tìm m để nghiệm bất phơng trình sau chứa đoạn [1;2] m|x2−3x+1|−

|x2−3x

+1|

0 2 Giải bất phơng trình:

1+m2¿x

2

+4x+6 1− m2¿x

2

+4x+6 ¿

2m¿x2

+4x+6

+¿ ¿

Víi < m < 1

Bài : ( 4điểm)

1 Giải phơng trình:

1+sinxlogógonxcosx

1+cosxlogcosxsinx

=

2 Cho ABC Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa sinC biÕt: sin2A + sin2B = k sin2C Víi k >

2

Bài : ( điểm)

Tìm đa thức f(x) thoả mÃn: x.f(x-1) = (x-3) f(x)

Bài : ( điểm)

1 Lập phơng trình Parabol (P) có tiêu điểm F(3;2) đỉnh S(2;1).

2 Cho tứ diện OABC, đỉnh S có ba mặt vng Gọi H hình chiếu O lên đáy ABC Chứng minh rằng:

a) OH2=

1 OA2+

1 OB2+

1 OC2 b) S2ΔABC=S2ΔOBC+S2ΔOAC

6:

Câu 1: (6 điểm) Cho hàm sè: y = x3 + 3x2 + 1.

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số.

b) BiÖn luËn theo m sè nghiệm phơng trình: x3 + 3x2 = m3 + 3m2.

c) Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị (C) kẻ từ điểm (1; 5).

d) Trên đờng thẳng y = 9x – 4, tìm điểm kẻ đến (C) tiếp tuyến.

C©u 2: (3 điểm) Giải phơng trình sau: a)

3

cos x cos x

(75 2)  (17 12 2) cos3x.

b)

2

x 3x x x

3

    

.

Câu 3: (4 điểm)

a) Tỡm m bất phơng trình sau có nghiệm nhất:

2

m m

7

log 11log ( x mx10 4) log (x mx12)0

. b) Tìm m để bất phơng trình sau với x.

1 + 2cosx+ 1 + sin2x 2m – 1.

Câu 4: (2,5 điểm)

a) Xỏc nh a, b để hàm số sau có đạo hàm x = 0:

31 ax cosx víi x 0

f(x)

ln(1 2x) b víi x

   

 

   



 .

b) TÝnh tÝch ph©n:

1

2

4 x

1

x

I dx

(x x 1)(1 2006 )



 

 

  

∫

.

C©u 5: (2,5 ®iÓm) Cho elÝp (E1):

2

x y

1

15   , (E2):

2

x y

1

6 15  vµ parabol (P): y2 = 12x.

a) Viết phơng trình đờng trịn qua giao điểm elíp trên. b) Viết phơng trình tiếp tuyến chung (E1) (P).

Câu 6: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy nửa lục giác với cạnh a (a> 0) Cạnh SA vng góc với đáy SA = a 3 M điểm khác B SB cho AM  MD Tính tỉ số

SM SB .

-Đề 7:

Bài 1 ( điểm)

Cho hàm số f(x) =

Chứng minh ∫

−π

4

π

4

√1+x2sin xdx = f’(0).

Bài 2 ( điểm) Giải phương trình: x3 + 6x2 +9x + 1=0.

Bài 3 ( điểm)

Tìm m để bất phương trình: mx2 + mx + m -2

 có nghiệm x(1;2).

Bài 4 ( điểm)

Giải biện luận phương trình: 4x+1+2(m-1)x-1=(m+1) √4x2−3x −1 theo tham số m

Bài 5 ( điểm)

Giải phương trình: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = - 12

Bài 6 ( điểm)

Chứng minh tam giác ABC có: cosA+cosB+cosC+

sinA+

1 sinB+

1 sinC=

3

2+2√3 đều.

Bài 7 ( điểm)

Tìm giới hạn:

2

2

2010 lim

sin 1000

x

x x



Bài 8 ( điểm)

Giải biện luận theo m bất phương trình: x2−(m+1)x+m≥(x −m)log1

3

(x+3)

Bài 9 ( điểm)

Trong mặt phẳng oxy cho hypebol (H): x2 − y

2

=1 đường tròn (C): x2+y2=9.

1 Viết phương trình tiếp tuyến (H) kẻ qua điểm M(3;1). 2 Viết phương trình tiếp tuyến chung (H) (C).

Bài 10 ( điểm)

Cho elip (E): x2 +y

2

=1 hai đường thẳng (d1): x-ky=0, (d2): kx+y=0 (d1) cắt elip (E) A C, (d2) cắt elip (E) B D.

Tìm giá trị lớn nhỏ diện tích tứ giác ABCD.

Đề 8:

x2sin

x2

Câu 1: (4 điểm) Cho hàm sè: y=x

4

2 −3x

2

+5

2(C) và điểm M (C) có hoành độ xM = a Với giá trị a thì tiếp tiếp tuyến (C) M cắt (C) điểm phân biệt khác M.

2 Tìm m để phơng trình: (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) – 2m +1 =0 Có nghiệm thỗ mãn: x2 +6x + 0

Câu 2: (4 điểm)

1.Tìm GTLN GTNN hàm số f(x) đoạn [-1; 2] biÕt f(0) = (1) vµ f2(x).f’(x) = 1+ 2x +3x2 (2)

2

3

6

sin sin cos cos3

tan( ) tan( )

x x x x

x  x 



Câu 3: (4 điểm)

1 Giải phơng trình : log2√2+√3(x2−2x −2)=log2+√3(x2−2x −3)

2 T×m:

2 3

lim ( )

x

x x

x

x x

 

 



C©u 4: (4 ®iĨm)

1 Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC tam giác vuông A AB = a, các cạnh bên SA = SB = SC = a tạo với đáy góc α . Xác định cosα để thể tích hình chóp lớn nhất.

2 TÝnh c¸c gãc cđa ΔABC biÕt sin3A

2 +sin

A − C

2 +sin

A − B

2 =

Câu 5: (4 điểm)

1 Tính:

2

2

ln (1 tan )x x

I e dx



 

∫   

2 Trên trục toạ độ Oxy: Cho parabol (P): y=− x

2

16 và đờng thẳng (Δ) : 3x – 4y + 19 = 0. Viết phơng trình đờng trịn có tâm I thuộc đờng thẳng (Δ) có bán kính nhỏ tiếp

xóc víi parabol (P)

Đề 9:

Bµi1: (4 ®iĨm)

Cho hµm sè f(x)=x3- 6x2+9x-1 (C).

1 Khảo sát vẽ đồ thị (C).

2 Từ điểm đờng thẳng x=2 ta kẻ đợc tiếp tuyến đến (C).

Bài2: (4 điểm). 1 Tính I=

0

√x3−2x2

2 Cho f(x) = 2x + m + log2mx2 - 2(m – 2)x+ 2m-1. Tìm m để f(x) có tập xác định l R.

Bài3: (4 điểm).

Giải phơng trình: ln(sinx+1) = esinx-1. Bài4: (2 điểm)

Giải hệ phơng trình:

x y=1

y −√z=1

z −√x=1

¿{ {

¿

Bài5: (4 điểm).

Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' cạnh a Lấy M đoạn AD', N

đoạn BD với AM=DN=x, (0<x<a 2 ). 1 Chứng minh với x= a2

3 thì MN ngắn nhÊt.

2 Khi MN ng¾n nhÊt chøng minh: MN đoạn vuông góc chung AD' và DB.

Bài6: (2 điểm). Cho x,y,z [

6;

π

2] Chøng minh: sinx −siny

sinz +

siny+sinz

sinx +

sinz+sinx

siny ≤(1−

1

√2)

2

Đề 10:

Bài (4 điểm)

1 Tỡm trục hồnh điểm kẻ đến đồ thị hàm số y= x

2

x −1 hai tiÕp tun t¹o víi mét gãc 450.

Cho hµm sè f:Ν❑

→ thoả mÃn điều kiện

i f(1)=2

ii ∀n >1 th× f(1)+f(2)+ +f(n)=n2f(n)

Hãy xác định cơng thức đơn giản tính f (n) ?

Bài (4 điểm) 1 Tìm m để hệ

¿

x2−(m+2)x+2m<0

x2+ (m+7)x+7m<0

¿{

¿

Bµi (4 điểm)

1 Giải phơng trình cos6x – cos4x + 4cos3x + = 0. 2 Trong tam gi¸c ABC, chøng minh r»ng:

cosA+cosB+cosC+

cosA+cosB+cosC ≤

13 .

Bµi (4 điểm)

1 Giải phơng trình (x −3)[log3(x −5)+log5(x −3)]=x+2 . 2 TÝnh lim

x→0

√1+2x√31+3x −1

x .

Bµi (4 ®iĨm)

1 Lập phơng trình mặt cầu tâm I(1; -1; 1), biết qua đờng thẳng

2

2

x y z

x y z

   

 

   

 cã hai mỈt phẳng vuông góc với tiếp xúc với mặt cầu.

2 Với a, b, c dơng   R, chøng minh r»ng:

aα bα

+cα+

bα cα

+aα+

cα aα

+bα≥

aα −1 bα −1

+cα −1+

bα−1 cα −1

+aα−1+

cα −1 aα −1

+bα−1