+ Nếu các số nguyên tố với nhau từng đôi một thì BCNN của chúng là tích của các số đó.. + Muốn tìm BC của các số đã cho, ta tìm bội của BCNN của các số đó.[r]
(1)Gi¸o ¸n «n thi häc sinh giái to¸n Chuyên đề 1: Tập hợp, cách ghi số tự nhiên I, Môc tiªu: - HS ®îc hÖ thèng tæng qu¸t c¸c kh¸i niÖm vÒ tËp hîp vµ bæ sung thªm mét sè kh¸I niÖm vÒ tËp hîp - HiÓu s©u vÒ tËp hîp sè tù nhiªn vµ c¸ch ghi sè tù nhiªn - HS làm thành thạo các bài tập trên tập hợp đặc biệt là cách ghi số tự nhiªn hÖ thËp ph©n - HS t thµnh th¹o vµ lµm c¸c bµi t©p thay sè vµ ®iÒn sè II, Néi dung Bài toán1 Viết các tập hợp sau tìm số phần tử tập hợp đó a) TËp hîp A c¸c sè tù nhiªn x mµ 8: x = b) TËp hîp B c¸c sè tù nhiªn x mµ x + < c) TËp hîp C c¸c sè tù nhiªn x mµ x – = x + d)TËp hîp D c¸c sè tù nhiªn mµ x + = x Hưỡng dẫn: a, A = 4 ; b, B = 1; 2 c, C = ; d, D = N Bµi to¸n Cho tËp hîp A = { a,b,c,d} a) ViÕt c¸c tËp hîp cña A cã mét phÇn tö b) ViÕt c¸c tËp hîp cña A cã hai phÇn tö c) Cã bao nhiªu tËp hîp cña A cã ba phÇn tö? cã bèn phÇn tö? d) TËp hîp A cã bao nhiªu tËp hîp con? Hưỡng dẫn: a, C¸c tËp hîp cña A lµ: a ; b ;c ;d ;a; b ;a; c ;a; d ;b; c ;b; d ;c; d ; a; b; c ;a; b; d ;a; c; d ;b, c; d ;a; b; c; d b, a; b ;a; c ;a; d ;b; c ;b; d ;c; d c, cã tËp hîp cña A cã phÇn tö, cã tËp hîp cña A cã phÇn tö d, tËp hîp A cã 15 tËp hîp Bµi to¸n XÐt xem tËp hîp A cã lµ tËp hîp cña tËp hîp B kh«ng các trường hợp sau a, A={1;3;5}, B = { 1;3;7} b, A= {x,y}, B = {x,y,z} c, A lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn cã tËn cïng b»ng 0, B lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn ch½n hưỡng dẫn: a, A B ; b, A B c, A B (v× A cã phÇn tö 0) Bµi to¸n Ta gäi A lµ tËp thùc sù cña B nÕu A B ; A B H·y viÕt c¸c tËp thùc sù cña tËp hîp B = {1;2;3} 3– -Lop6.net (2) Gi¸o ¸n «n thi häc sinh giái to¸n Hưỡng dẫn: 1 ;2 ;3 ;1; 2 ;1;32;3 Bµi to¸n Cho tËp hîp A = {1;2;3;4} vµ B = {3;4;5} H·y viÕt c¸c tËp hîp võa lµ tËp cña A, võa lµ tËp cña B Hưỡng dẫn: 3 ;4 ;3; 4 Bµi to¸n Chøng minh r»ng nÕu A B, B C th× A C Hưỡng dẫn: LÊy x A => x B (v× mäi phÇn tö cña A dÒu thuéc B) => x C (v× mäi phần tử B thuộc C => A C Bµi to¸n Cã kÕt luËn g× vÒ hai tËp hîp A,B nÕu biÕt a, x B th× x A b, x A th× x B , x B th× x A Hưỡng dẫn: a, B A b, A = B Bµi to¸n Cho H lµ tËp hîp ba sè lÏ ®Çu tiªn, K lµ tËp hîp sè tù nhiªn ®Çu tiªn a, ViÕt c¸c phÇn tö thuéc K mµ kh«ng thuéc H b,CMR H K c, TËp hîp M víi H M , M K - Hái M cã Ýt nhÊt bao nhiªu phÇn tö? nhiÒu nhÊt bao nhiªu phÇn tö? - Cã bao nhiªu tËp hîp M cã phÇn tö tháa m·n ®iÒu kiÖn trªn? Hưỡng dẫn a, 0; 2; 4 b, V× H = 1;3;5 vµ K = 0;1; 2;3; 4;5 => H K c, M cã Ýt nhÊt lµ phÇn tö , NhiÒu nhÊt lµ phÇn tö cã tËp hîp M tháa m·n ®iÒu kiÖn trªn (yªu cÇu HS viÕt cô thÓ) Bài toán Cho a 18;12;81 , b 5;9 Hãy xác định tập hợp M = {a - b} Hưỡng dẫn: M = 13;9;7;3;76;72 Bµi to¸n 10 Cho tËp hîp A = {14;30} §iÒn c¸c ký hiÖu , vµo « trèng a, 14 A ; b,{14} A; c, {14;30} A Hưỡng dẫn: a, b, c, Bµi 11: Thay c¸c ch÷ bëi c¸c sè thÝch hîp a, abc + acb = cba b, abcd = a0bcd c, (ab c + d) d = 1977 Chuyên đề 4– -Lop6.net (3) Gi¸o ¸n «n thi häc sinh giái to¸n C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp sè tù nhiªn I, Môc tiªu: - HÖ thèng vµ kh¸c s©u c¸c kiÕn thøc vÒ c¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp sè tù nhiªn - HS tÝnh to¸n thµnh th¹o, rÌn kü n¨ng tÝnh to¸n - h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn kü n¨ng suy luËn, lËp luËn II Néi dung Bài toán Viết tập hợp các số tự nhiên có chữ số đó số: a, Chữ số hàng đơn vị gấp lần chữ số hàng chục b, Chữ số hàng đơn vị nhỏ chữ số hàng chục là c, Chữ số hàng đơn vị lớn chữ số hàng chục Bµi to¸n Cho ch÷ sè a,b,c Gäi A lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn gåm ch÷ sè nãi trªn a, ViÕt tËp hîp A b, TÝnh tæng c¸c phÇn tö cña tËp hîp A Bài toán Cho số có chữ số là abc (a,b,c khác và khác 0) Nếu đỗi chç c¸c ch÷ sè cho ta ®îc mét sè míi Hái cã tÊt c¶ bao nhiªu sè cã ch÷ sè nh vËy? (kÓ c¶ sè ban ®Çu) Bµi to¸n Cho ch÷ sè a,b,c vµ (a,b,c kh¸c vµ kh¸c 0).Víi cïng c¶ sè nµy cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè cã ch÷ sè? Bµi to¸n Cho ch÷ sè kh¸c Víi cïng c¶ ch÷ sè nµy cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè cã ch÷ sè? Bµi to¸n QuyÓn s¸ch gi¸o khoa To¸n cã tÊt c¶ 132 trang.Hai trang ®Çu không đánh số Hỏi phải dùng tất bao nhiêu chữ số để đánh số các trang quyÓn s¸ch nµy? Bài toán Tìm hai số biết tổng là 176 ; số có hai chữ số khác và số này là số viết theo thứ tự ngược lại Bµi to¸n Cho ch÷ sè kh¸c vµ kh¸c a) Chøng tá r»ng cã thÓ lËp ®îc 4! sè cã ch÷ sè kh¸c b) Có thể lập bao nhiêu số có hai chữ số khác chữ số đó Bµi to¸n TÝnh c¸c tæng sau a) + + + + + n b) + + + + + 2.n c) 1+ + + + + (2.n + 1) d) + + + 10 + + 2005 e) + + + + 2006 f) 1+ + + + 2001 Bµi to¸n 10 TÝnh nhanh tæng sau A = + + + + 16 + + 8192 Bµi to¸n 11 a) TÝnh tæng c¸c sè lÏ cã hai ch÷ sè b) TÝnh tæng c¸c sè ch½n cã hai ch÷ sè Bµi to¸n 12 a) Tổng 1+ + + + + n có bao nhiêu số hạng để kết 190 b) Cã hay kh«ng sè tù nhiªn n cho + + + + + n = 2004 5– -Lop6.net (4) Gi¸o ¸n «n thi häc sinh giái to¸n Bµi to¸n 13 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc a) A = (100 - 1).(100 - 2).(100 - 3) (100 - n) với n N * và tích trên có đúng 100 thõa sè b) B = 13a + 19b + 4a - 2b ví a + b = 100 Bµi to¸n 14.T×m c¸c ch÷ sè a, b, c, d biÕt a.bcd abc abcabc Bµi to¸n 15 Chøng tá r»ng hiÖu sau cã thÓ viÕt ®îc thµnh mét tÝch cña hai thõa sè b»ng nhau: 11111111 - 2222 Bµi to¸n 16 Hai sè tù nhiªn a vµ b chia cho m cã cïng sè d, a b Chøng tá r»ng a - b : m Bài toán 17 Chia 129 cho số ta số dư là 10 Chia 61 cho số đó ta ®îc sè d lµ 10 Tim sè chia Bµi to¸n 18 Cho S = + 10 + 13 + + 97 + 100 a) Tæng trªn cã bao nhiªu sè h¹ng? b) Tim sè h¹ng thø 22 c) TÝnh S Bai to¸n 19 Chøng minh r»ng mçi sè sau cã thÓ viÕt ®îc thµnh mét tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp: a) 111222 ; b) 444222 Bài toán 20 Tìm số chia và số bị chia, biết rằng: Thương 6, số dư 49, tæng cña sè bÞ chia,sè chia vµ d b»ng 595 Bµi to¸n 21 TÝnh b»ng c¸ch hîp lý 44.66 34.41 200 b) B 11 79 10 34 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54 c) C 1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45 a) A Bµi to¸n 22 T×m kÕt qu¶ cña phÐp nh©n a) A 33 3.99 b) B 33 3.33 2005 c s 2005 c s 2005 c s 2005 c s Bµi to¸n 23 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 2009 – 1005 : (999 - x) víi x N Chuyên đề (buổi 2) luü thõa víi sè mò trªn tù nhiªn 6– -Lop6.net (5) Gi¸o ¸n «n thi häc sinh giái to¸n A KiÕn thøc c¬ b¶n: + a n a.a a ( n thõa sè a, n o ) + Quy íc: a1 = a, a0 = + am an = am+n (m, n N*); am: an = am-n (m, n N*, m n, a 0); - N©ng cao: + Luü thõa cña mét tÝch: (a.b)n = an.bn + Luü thõa cña luü thõa: (am)n = am.n + Luü thõa tÇng: a m = a ( m ) ( luỹ thừa tầng ta thực phép luỹ thừa từ trên xuống ) + Số chính phương là bình phương số tự nhiên - So s¸nh hai luü thõa: + NÕu hai luü thõa cã cïng c¬ sè ( lín h¬n ) th× luü thõa nµo cã sè mò l¬n h¬n sÏ lín h¬n n n NÕu m > n Th× am > an (a > 1) + NÕu hai luü thõa cã cïng sè mò lín h¬n th× luü thõa nµo cã c¬ sè l¬n h¬n sÏ lín h¬n NÕu a > b Th× am > bm (m > o) B Bµi t©p Bài toán Viết các tích sau thương sau dạng luỹ thừa số a) 25 84 ; b) 256.1253 ; c) 6255:257 Bài toán 2: Viết tích , thương sau dạng luỹ thừa: a) 410.230 ; b) 925.27 4.813 ; c) 2550.1255 ; d) 643.48.164 ; e) 38 : 36 ; 210 : 83 ; 127 : 67 ; 215 : 813 f) 58 : 252 ; 49 : 642 ; 225 : 324 ; 1253 : 254 Bµi to¸n TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc 310.11 310.5 a) A 39.24 ; 11.322.37 915 210.13 210.65 723.542 B c) C ; d) D (2.314 ) 28.104 1084 Bài toán 4: Viết các số sau dạng tổng các luỹ thừa 10 abc ; abcde 213; 421; 2009; Bµi to¸n So s¸nh c¸c sè sau, sè nµo lín h¬n? a) 2711 vµ 818 b) 6255 vµ 1257 c) 523 vµ 522 d) 213 vµ 216 Bµi to¸n 6: TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau: a) a3.a9 b) (a5)7 c) (a6)4.a12 d) 56 :53 + 33 32 e) 4.52 - 2.32 Bµi to¸n T×m n N * biÕt 7– -Lop6.net (6) Gi¸o ¸n «n thi häc sinh giái to¸n a) 32.3n 35 ; b) (22 : 4).2n 4; c) 34.3n 37 ; e) 2n 4.2n 9.5n ; g) 32 2n 128; h) 2.16 2n d) 27 n 3n ; Bµi to¸n T×m x N biÕt a) ( x - )3 = 125 ; b) 2x+2 - 2x = 96; c) (2x +1)3 = 343 ; d) 720 : [ 41 - (2x - 5)] = 23.5 e) 16x < 1284 Bµi to¸n TÝnh c¸c tæng sau b»ng c¸ch hîp lý A = + 22 + 23 + 24 + +2100 B = + + 32 +33 + + 32009 C = + + 52 + 53 + + 51998 D = + 42 + 43 + + 4n Bài toán 10: Cho A = + + 22 + 23 + 24 + +2200 Hãy viết A + dạng mét luü thõa Bµi to¸n 11 Cho B = + +32 +33 + + 32005 CMR 2B + lµ luü thõa cña Bµi to¸n Chøng minh r»ng: a) 55-54+53 b) 76 75 11 c) 109 108 107 222 d) 106 57 59 e) 3n 2n 3n 2n 10n N * f) 817 279 913 45 Bµi to¸n 12: a) ViÕt c¸c tæng sau thµnh mét tÝch: 2+22; 2+22+23 ; 2+22+23 +24 b) Chøng minh r»ng: A = + 22 + 23 + 24 + +22004 chia hÕt cho 3;7 vµ 15 Bµi to¸n 13: a) ViÕt tæng sau thµnh mét tÝch 34 +325 +36+ 37 b) Chøng minh r»ng: + B = + + +32 +32 + + 399 40 + A = + 22 + 23 + 24 + +2100 31 + C = 165 + 215 33 + D = 53! - 51! 29 Bµi to¸n 14: Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau mét c¸ch hîp lý: a) (217+172).(915 - 159)(42- 24) b) (71997- 71995):(71994.7) c) (12 23 34 45 ).(13 23 33 43 ).(38 812 ) d) (28 83 ) : (25.23 ) C¸c bµi to¸n vÒ ch÷ sè tËn cïng: * Tãm t¾t lý thuyÕt: - T×m ch÷ sè tËn cïng cña mét tÝch: +TÝch cña c¸c sè lÏ lµ mét sè lÏ + TÝch cña mét sè ch½n víi mét sè bÊt kú sè tù nhiªn nµo còng lµ mét sè ch½n - T×m ch÷ sè tËn cïng cña mét luü thõa + C¸c sè tù nhiªn cã tËn cïng b»ng 0,1,5,6 n©ng lªn luü thõa bÊt k× (kh¸c 0) vÉn gi÷ nguyªn c¸c ch÷ sè tËn cïng cña nã + C¸c sè tù nhiªn tËn cïng b»ng nh÷ng ch÷ 2,4,8 n©ng lª luü thõa 4n (n 0) có tận cùng .24n = ; 44n = ; 84n = + C¸c sè tù nhiªn tËn cïng b»ng nh÷ng ch÷ 3,7,9 n©ng lª luü thõa 4n (n 0) có tận cùng 8– -Lop6.net (7) Gi¸o ¸n «n thi häc sinh giái to¸n 34n = ; 74n = ; 94n = - Một số chính phương thì không có tận cùng 2,3,7,8 * Bµi tËp ¸p dông: Bµi to¸n 1: T×m ch÷ sè tËn cïng cña c¸c sè sau 73 22003 ; 499 ;999 ;399 ;799 ;899 ;7895 ;8732 ;5833 Bµi to¸n 2: Chøng minh r»ng c¸c tæng vµ hiÖu sau chia hÕt cho 10 481n + 19991999 ; 162001 - 82000 ; 192005 + 112004 ; 175 + 244 - 1321 Bµi to¸n 3: T×m ch÷ sè tËn cïng cña tæng: + 52 + 53 + + 596 20042006 9294 ) lµ mét sè tù nhiªn Bµi to¸n 4: Chøng minh r»ng A = (7 10 Bµi to¸n 5: Cho S = + +32 +33 + + 330 T×m ch÷ sè tËn cïng cña S CMR: S không là số chính phương Bµi to¸n 6: Cho A = + 22 + 23 + 24 + +2100 a) Chøng minh A b) Chøng minh A 15 ; c) T×m ch÷ sè tËn cïng cña A n n Bµi to¸n Chó ý: + x01 y 01(n N * ) + x 25 y 25(n N * ) + C¸c sè 320; 815 ; 74 ; 512; 992 cã tËn cïng b»ng 01 + C¸c sè 220; 65; 184;242; 684;742 cã tËn cïng b»ng 76 + 26n (n >1) cã tËn cïng b»ng 76 ¸p dông: T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña c¸c sè sau 9999 2100; 71991; 5151; 99 ; 6666; 14101; 22003 Bµi to¸n T×m ch÷ sè tËn cïng cña hiÖu 71998 - 41998 Bài toán Các tổng sau có là số chính phương không? a) 108 + ; b) 100! + ; c) 10100 + 1050 + Bµi to¸n 10 Chøng minh r»ng a) 20022004 - 10021000 10 b) 1999 2001 + 2012005 10; Bµi to¸n 11 Chøng minh r»ng: a) 0,3 ( 20032003 - 19971997) lµ mét sè tõ nhiªn 20042006 19941998 (1997 1993 ) b) 10 Chuyên đề 3: chia hÕt tËp sè tù nhiªn I KiÕn thøc bæ sung: 9– -Lop6.net (8) Gi¸o ¸n «n thi häc sinh giái to¸n +)TÝNH CHÊT CHIA HÕT CñA MéT TæNG TÝnh chÊt 1: a m , b m , c m (a + b + c) m Chú ý: Tính chất đúng với hiệu a m , b m , (a - b) m TÝnh chÊt 2: a m , b m , c m (a + b + c) m Chú ý: Tính chất đúng với hiệu a m , b m , (a - b) mCác tính chất 1& đúng với tổng(hiệu) nhiều số hạng +)DÊU HIÖU CHIA HÕT CHO 2, CHO DÊu hiÖu chia hÕt cho 2: C¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ ch÷ sè ch½n th× chia hÕt cho vµ số đó chia hết cho DÊu hiÖu chia hÕt cho 5: C¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ hoÆc th× chia hÕt cho vµ chØ số đó chia hết cho Số chia hết cho và có chữ số tận cùng +)DÊU HIÖU CHIA HÕT CHO 3, CHO DÊu hiÖu chia hÕt cho 3: C¸c sè cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho th× chia hÕt cho vµ chØ số đó chia hết cho Chó ý: Sè chia hÕt cho th× chia hÕt cho Sè chia hÕt cho cã thÓ kh«ng chia hÕt cho 2- Sö dông tÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng vµ mét hiÖu a m ; b m k1a + k2b m a m ; b m ; a + b + c m c m II Bµi tËp: * Các phương pháp chứng minh chia hết PP 1: Để chứng minh A b (b ) Ta biểu diễn A = b k đó k N PP Sö dông hÖ qu¶ tÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng NÕu a b m vµ a m th× b m PP §Ó chøng minh mét biÓu thøc chøa ch÷ (gi· sö chøa n) chia hÕt cho b(b kh¸c 0) ta có thể xét trường hợp số dư chia n cho b PP Để chứng minh A b Ta biểu diễn b dạng b = m.n Khi đó + NÕu (m,n) = th× t×m c¸ch chøng minh A m vµ A n suy A m.n hay A b + NÕu (m,n) ta biÓu diÔn A = a1.a2 råi t×m c¸ch chøng minh a1 m; a2 n th× tÝch a1.a2 m.n suy A b PP Dïng c¸c dÊu hiÖu chia hÕt - 10– -Lop6.net (9) Gi¸o ¸n «n thi häc sinh giái to¸n PP §Ó chøng minh A b ta biÓu diÔn A A1 A2 An vµ chøng minh c¸c Ai (i 1, n) b Bài tập 1: Dùng chữ số 0;1;2;5 có tạo thành bao nhiêu số có chữ số, chữ số đã cho dùng lần cho: a, các số đó chia hết cho b,Các số đó chia hết cho c.các số chia hết cho Giải: a các số có chưa số tận cùng gồm các số: 1520; 1250;2150;1250;5120;5210 b các số có chữ số tận cùng gồm các số:5102; 5012; 1502; 1052 c các số chia hết cho gồm các số có tổng các chữ số chia hết cho không có số nào BT 2: Cho A = 12 + 15 + 21 + x víi x N Tìm điều kiện x để A 3, A Gi¶i: - Trường hợp A V× 12 3,15 3,21 nªn A th× x - Trường hợp A V× 12 3,15 3,21 nªn A th× x BT 3:Khi chia STN a cho 24 ®îc sè d lµ 10 Hái sè a cã chia hÕt cho kh«ng, cã chia hÕt cho kh«ng? Gi¶i: Sè a cã thÓ ®îc biÓu diÔn lµ: a = 24.k + 10 Ta cã: 24.k , 10 a 24 k , 10 a BT 4: Chøng tá r»ng: a/ Tæng ba STN liªn tiÕp lµ mét sè chia hÕt cho - 11– -Lop6.net (10) Gi¸o ¸n «n thi häc sinh giái to¸n b/ Tæng bèn STN liªn tiÕp lµ mét sè kh«ng chia hÕt cho Gi¶i: a/ Tæng ba STN liªn tiÕp lµ: a + (a + 1) + (a + ) = 3.a + chia hÕt cho b/ Tæng bèn STN liªn tiÕp lµ: a + (a + 1) + (a + ) + (a + 4)= 4.a + kh«ng chia hÕt cho Bµi tËp Chøng minh r»ng víi mäi n N th× 60n +45 chia hÕt cho 15 nhng kh«ng chia hÕt cho 30 Bµi to¸n 6: Chøng minh r»ng: a) ab ba 11 b) ab ba víi a>b Hưỡng dẫn: Viết các số ab và ba thành tổng các lũy thừa 10 sau đó dưa dạng 11.Q và 9.Q Bµi to¸n : Chøng minh r»ng: a) A =1 + + 22 + 23 + 24 + +239 lµ béi cña 15 b, T = 1257 -259 lµ béi cña 124 c) M = 73 2000 8 d) P = a a a a n a víi a,n N gîi ý : a, nhãm h¹ng tö liªn tiÕp víi cã tæng c¸c h¹ng tö cã thõa sè 15 b, ®a vÒ cïng c¬ sè vËn dông tÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n víi phÐp trõ c, d tương tự cách làm câu a Bµi to¸n 8: CMR: + Tæng cña sè ch½n liªn tiÕp th× chia hÕt cho + Tæng sè lÏ liªn tiÕp kh«ng chia hÕt cho + Tæng cña sè ch½n liªn tiÕp th× chia hÕt cho 10 cßn tæng sè lÏ liªn tiÕp th× chia 10 d Bµi to¸n 9: Cho a,b N vµ a - b CMR 4a +3b Gîi ý: a – b (a – b) 4a – 4b 4a + 3b -7b => 4a + 3b (v× 7b 7) Bài toán 10: Tìm n N để a) n + n ; 4n + n ; 38 - 3n n b) n + n + ; 3n + n - ; 2n + 16 - 3n gîi ý: vËn dông tÝnh chÊt chia hÕt cña tæng vµ hiÖu Bµi to¸n 11 Chøng minh r»ng: (5n)100 125 Gîi ý: (5n)100 = 5100 n100 = 53.597.n100 125 Bµi to¸n 12 Cho A = + 22 + 23 + + 22004 CMR A chia hÕt cho 7;15;3 Gîi ý: - 12– -Lop6.net (11) Gi¸o ¸n «n thi häc sinh giái to¸n Tương tự bài tập Bµi to¸n 13 Cho S = +32 +33 + + 31998 CMR a) S 12 ; b) S 39 Bµi to¸n 14 Cho B = +32 +33 + + 31000; CMR B 120 Bµi to¸n 15 Chøng minh r»ng: a) 3636 - 910 45 ; b) 810 - 89 - 88 55 ; c) 55 - 54 + 53 d) 76 75 11 e) 109 108 107 222 g) 106 57 59 h) 3n 2n 3n 2n 10n N * i) 817 279 913 45 Bài toán 16 Tìm n N để : a) 3n + n - b) n2 + 2n + n + c) n2 + n - d) n + n + e) n + n - g) 4n - 2n - Bµi to¸n 17 CMR: a) TÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho b) TÝch cña sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho c) TÝch cña sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 24 d) TÝch cña sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 120 (Chó ý: Bµi to¸n trªn ®îc sö dông CM chia hÕt, kh«ng cÇn CM l¹i) Bµi to¸n 18 cho sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng chia hÕt cho 5, chia cho ®îc nh÷ng sè d kh¸c CMR tæng cña chóng chia hÕt cho Bµi to¸n 19 Cho sè abc kh«ng chia hÕt cho Ph¶i viÕt sè nµy liªn tiÕp Ýt nhÊt lần để dược số chia hết cho Bµi to¸n 20: Cho n N, Cmr n2 + n + kh«ng chia hÕt cho vµ kh«ng chia hÕt cho Bài toán 21 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết số đó chia hết cho tích các chữ sè cña nã Bµi to¸n 22 Cmr a) n N th× A 2n 11 n.c / s1 (gîi ý: 111….1 cã tæng c¸c ch÷ sè lµ n => A b) a, b, n N th× B 10n 1 a 11 n b n.c / s1 Bài toán 23 Hai số tự nhiên a và 2.a có tổng các chữ số k Chứng minh a Gîi ý: Mọi số tự nhiên viết dạng tổng các chữ số nó cộng với số chia hết cho ( chia hÕt cho 3) a = k + sè => 2a = k + sè => 2a – a = sè – sè => a Bµi to¸n 24 CMR: m + 4n 13 10m + n 13 m, n N Gîi ý: m + 4n 13 10(m + 4n) 13 10m + 40 n 13 10m + n + 39n 13 10m + n 13 (v× 39n 13) - - 13– -Lop6.net (12) Gi¸o ¸n «n thi häc sinh giái to¸n Chuyên đề 4: Số nguyên tố – Hợp số – số chính phương A KiÕn thøc bæ sung: + §Ó kÕt luËn sè a lµ sè nguyªn tè (a > 1), chØ cÇn chøng tèn kh«ng chia hÕt cho mäi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a + §Ó chøng tá mét sè tù nhiªn a > lµ hîp sè , chØ cÇn chØ mét íc kh¸c vµ a + Cách xác định số lượng các ước số: Nếu số M phân tích thừa số nguyên tố M = ax by …cz thì số lượng các ước cña M lµ ( x + 1)( y + 1)…( z + 1) + Khi phân tích thừa số nguyên tố , số chính phương chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn Từ đó suy - Số chính phương chia hết cho thì phải chia hết cho 22 - Số chính phương chia hết cho 23 thì phải chia hết cho 24 - Số chính phương chia hết cho thì phải chia hết cho 32 - Số chính phương chia hết cho 33 thì phải chia hết cho 24 - Số chính phương chia hết cho thì phải chia hết cho 52 + Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố: NÕu tÝch a.b chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× hoÆc a p hoÆc b p §Æc biÖt nÕu an p th× a p + Ước nhỏ khác hợp số là số nguyên tố và bình phương lên không vượt quá nó + Mọi số nguyên tố lớn có dạng: 4n + Mọi số nguyên tố lớn có dạng: 6n + Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố kém đơn vị + Mét sè b»ng tæng c¸c íc cña nã (Kh«ng kÓ chÝnh nã) gäi lµ ‘Sè hoµn chØnh’ VÝ dô: = + + nªn lµ mét sè hoµn chØnh c¸c d¹ng bµi tËp vÒ sè nguyªn tè – hîp sè: - D¹ng B Bµi tËp Bµi T×m hai sè nguyªn tè biÕt tæng cña chóng b»ng 601 Bài Tổng số nguyên tố 1012.Tìm số nhỏ số đó Bµi Cho A = + 52 + 53 + + 5100 a) Sè A lµ sè nguyªn tè hay hîp sè? b) Số A có phải là số chính phương không? Bµi Bµi Tæng (hiÖu) sau lµ sè nguyªn tè hay hîp sè? a) 1.3.5.7…13 + 20 b) 147.247.347 – 13 Bµi6.T×m sè nguyªn tè p cho - 14– -Lop6.net (13) Gi¸o ¸n «n thi häc sinh giái to¸n a) 4p + 11 lµ sè nguyªn tè nhá h¬n 30 b) P + 2; p + là số nguyên tố c) P + 10; p +14 là số nguyên tố Bµi Cho n N*; Chøng minh r»ng: A 111 12111 lµ hîp sè nc / s1 nc / s1 Bµi + Cho n lµ mét sè kh«ng chia hÕt cho CMR n2 chia d + Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n Hái p2 + 2003 lµ sè nguyªn tè hay hîp sè? Bµi Cho n N, n> vµ n kh«ng chia hÕt cho CMR n2 – vµ n2 + kh«ng thÓ đồng thời là số nguyên tố Bµi 10 Cho p lµ sè nguyªn tè vµ mét hai sè 8p + vµ 8p – lµ sè nguyªn tè, sè cßn l¹i lµ sè nguyªn tè hay hîp sè? Bµi 11 Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n CMR (p - 1)(p + 1) chia hÕt cho 24 Bµi 12 Cho p vµ 2p + lµ hai sè nguyªn tè (p > 3) CMR: 4p + lµ hîp sè Chuyên đề: ước chung – ƯCLN – Bội chung – BCNN A KiÕn thøc bæ sung ¦C - ¦CLN + NÕu a b th× (a,b) = b + a vµ b nguyªn tè cïng (a,b) = + Muốn tìm ước chung các số đã cho ta tìm các ước ƯCLN các số đó + Cho ba số a,b,c nguyên tố với đôi (a,b) = 1; (b,c) = 1; (a,c) = Tính chất chhia hết liên quan đến ƯCLN - 15– -Lop6.net (14) Gi¸o ¸n «n thi häc sinh giái to¸n Cho (a,b) = d Nếu chia a và b cho p thì thương chúng là số nguyên tè cïng Cho a.b mµ (a,m) = th× b m BC – BCNN + NÕu sè lín nhÊt mét nhãm chia hÕt cho c¸c sè cßn l¹i th× sè nµy lµ BCNN cña nhóm đó + Nếu các số nguyên tố với đôi thì BCNN chúng là tích các số đó + Muốn tìm BC các số đã cho, ta tìm bội BCNN các số đó N©ng cao TÝch cña hai sè b»ng tÝch cña ¦CLN vµ BCNN cña chóng a.b = ¦CLN(a,b) BCNN(a,b) - Nếu lấy BCNN(a,b) chia cho số a và b thì các thương chúng là sè nguyªn tè cïng - Nếu a m và a n thì a chia hết cho BCNN(m,n) Từ đó suy + NÕu mét sè chia hÕt cho hai sè nguyªn tè cïng th× nã chia hÕt cho tÝch cña chóng + Nếu số chia hết cho các số nguyên tố cùng đôi thì nó chia hết cho tÝch cña chóng B Bµi tËp Bµi T×m ¦CLN råi t×m ¦C cña 48 vµ 120 Bµi T×m sè tù nhiªn a lín nhÊt, biÕt r»ng 120 a vµ 150 a Bµi T×m sè tù nhiªn x biÕt r»ng 210 x , 126 x vµ 10 < x < 35 Bµi T×m sè tù nhiªn a nhá nhÊt kh¸c 0, biÕt r»ng a 120 vµ a 86 Bµi T×m c¸c béi chung nhá h¬n 300 cña 25 vµ 20 Bài Một đội y tế có 24 bác sỹ và 108 y tá Có thể chia đội y tế đó nhiều thành tổ để số bác sỹ và y tá chia cho các tổ? Bài Một số sách xếp thành bó 10 cuốn, 12 cuốn, 15 cuốn, 18 vừa đủ bó Biết số sách khoảng 200 đến 500 Tìm số sách Bài Một liên đội thiếu niên xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng thừa người Tính số đội viên liên đội đó biết số đó khoảng từ 100 đến 150 Bài Một khối học sinh xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng thiếu người, xếp hàng thì và đủ Biết số học sinh đó chưa đến 300 Tính số học sinh đó Bài 10 Một chó đuổi thỏ cách nó 150 dm Một bước nhảy chó dài dm, bước nhảy thỏ dài dm và chó nhảy bước thì thỏ củng nhảy bước Hỏi chó phải nhảy bao nhiêu bước đuổi kịp thỏ? Bµi 11 T«i nghÜ mét sè cã ba ch÷ sè NÕu bít sè t«i nghÜ ®i th× ®îc sè chia hÕt cho NÕu bít sè t«i nghÜ ®i th× ®îc sè chia hÕt cho NÕu bít sè t«i nghÜ ®i th× ®îc sè chia hÕt cho Hái sè t«i nghÜ lµ sè nµo? Bµi 12 chøng minh r»ng hai sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ hai sè nguyªn tè cïng Bµi 13 CMR c¸c sè sau ®©y nguyªn tè cïng - 16– -Lop6.net (15) Gi¸o ¸n «n thi häc sinh giái to¸n a) Hai sè lÎ liªn tiÕp b) 2n + vµ 3n + Bµi 14 ¦CLN cña hai sè lµ 45 Sè lín lµ 270, t×m sè nhá Bµi 15 T×m hai sè biÕt tæng cña chóng lµ 162 vµ ¦CLN cña chóng lµ 18 Bµi 16 T×m hai sè tù nhiªn a vµ b, biÕt r»ng BCNN(a,b) = 300; ¦CLN(a,b) = 15 Bµi 17 T×m hai sè tù nhiªn a vµ b biÕt tÝch cña chóng lµ 2940 vµ BCNN cña chóng lµ 210 Bµi 18 T×m sè tù nhiªn a nhá nhÊt chia cho 5, cho 7, cho cã sè d theo thø tù lµ 3,4,5 Bµi 19 T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt chia cho 3, cho 4, cho cã sè d theo thø tù lµ 1;3;1 Bµi 20 Cho ¦CLN(a,b)= CMR a) ¦CLN(a+b,ab) = b) T×m ¦CLN(a+b, a-b) Bµi 21 Cã 760 qu¶ vµ cam, võa t¸o, võa chuèi Sè chuèi nhiÒu h¬n sè t¸o 80 qu¶, sè táo nhiều số cam 40 Số cam, số táo, số chuối chia cho các bạn líp Hái chia nh vËy th× sè häc sinh nhiÒu nhÊt cña líp lµ bao nhiªu? mçi phÇn cã bao nhiªu qu¶ mçi lo¹i? Bµi 22 a) ¦íc chung lín nhÊt cña hai sè tù nhiªn b»ng 4, sè nhá b»ng t×m sè lín b) ¦íc chung lín nhÊt cña hai sè tù nhiªn b»ng 16, sè lín b»ng 96, t×m sè nhá Bµi 23 T×m hai sè tù nhiªn biÕt r»ng : a) Hiệu chúng 84,ƯCLN 28, các số đó khoảng từ 300 đến 440 b) HiÖu cña chóng b»ng 48, ¦CLN b»ng 12 Bµi 24 T×m hai sè tù nhiªn biÕt r»ng: a) TÝch b»ng 720 vµ ¦CLN b»ng b) TÝch b»ng 4050 vµ ¦CLN b»ng Bµi 25 CMR víi mäi sè tù nhiªn n , c¸c sè sau lµ hai sè nguyªn tè cïng a) 7n +10 vµ 5n + b) 2n +3 vµ 4n +8 ================ Chuyên đề : - 17– -Lop6.net (16) Gi¸o ¸n «n thi häc sinh giái to¸n C¸c phÐp to¸n víi sè nguyªn A) KiÕn thøc Bæ sung với a, b Z củng có và ba trường hợp a = b a > b hoÆc a < b Víi a, b, c Z nÕu a < b, b < c th× a < c (tÝnh chÊt b¾c cÇu) KÝ hiÖu “ HoÆc”; kÝ hiÖu “ vµ” A nghÜa lµ A hoÆc B B A nghÜa lµ A vµ B B x VÝ dô: x > hoÆc x < -3 lµ x 3 x 5 x x > -5 vµ x < viÕt lµ -5 <x < hay B Bµi tËp: Bài tập Mệnh đề sau đúng hay sai? NÕu a < b th× a b (Để chứng tỏ mệnh đề nào đó là sai ta cần đưa ví dụ cụ thể mà mệnh đề sai Một thí dụ gọi là phản ví dụ) Bµi tËp T×m x Z biÕt a) x b) x c) x >4 Bµi tËp Cho A x Z / x 9 B x Z / x 4 C x Z / x 2 T×m A B; B C ; C A Bài tập các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Mệnh đề nào sai? a) NÕu a = b th× a b b) NÕu a b th× a = b c) NÕu a b th× a < b Bµi tËp T×m x biÕt: a) x 5 7 b) 6 x 54 Bµi tËp T×m x, y, z Z biÕt x y z Trả bài kiểm tra tiết Số học và Hình học - 18– -Lop6.net (17) Gi¸o ¸n «n thi häc sinh giái to¸n PhÐp céng hai sè nguyªn - TÝnh chÊt phÐp céng c¸c sè nguyªn Bµi tËp TÝnh nhanh a) 2004 + [ 520 + (-2004)] b) [(-851) + 5924] + [(-5924) + 851] c) 921 + [97 + (-921) + (-47)] d) 2003 + 2004 + (-2005) + (-2006) Bµi tËp TÝnh tæng c¸c sè nguyªn x tháa m·n a) - < x < b) > x > -5 c) x Bµi tËp TÝnh tæng A = + (-4) + (-6) + + 10 + (-12) + (-14) + 16 + … + 2010 B = + (-3) + (-5 ) + + +(-11) + (-13) + 15 + … + 2009 Bµi tËp Cho x vµ y lµ hai sè nguyªn cïng dÊu TÝnh x + y biÕt x y 10 Bµi tËp T×m c¸c cÆp sè nguyªn (x,y) tháa m·n a) x y b) x y Bài tập Với giá trị nào x và y thì tổng S = x y y 1998 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ đó Bµi tËp T×m sè nguyªn x biÕt r»ng a) x + là số nguyên dương nhỏ b) 10 -x lµ sè nguyªn ©m lín nhÊt Bµi tËp T×m c¸c sè nguyªn a, b, c biÕt r»ng: a + b = 11, b + c = 3; c + a = Bµi tËp T×m c¸c sè nguyªn a, b, c, d biÕt r»ng: a + b + c + d = 1, a + c + d =2, a + b + d = 3, a + b + c = Bµi tËp 10 Cho x + x2 + x3 + …+ x49 + x50 + x51 = vµ x1+ x2 = x3 + x4 = …= x47 + x48 = x49 + x50 = x50 + x51 = 1.TÝnh x50 - 19– -Lop6.net (18) Gi¸o ¸n «n thi häc sinh giái to¸n ¤n tËp häc kú i D¹ng Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh Bµi TÝnh nhanh a) 32 47 + 32 53 b) (-24) + + 10 + 24 c) (24 + 42) + (120 - 24 - 42) d) (13 - 145 + 49) - (13 + 49) e) 25 + (15 – 18 ) + (12 - 19 + 10) Bµi Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh (tÝnh nhanh nÕu cã thÓ) a) 3.52 - 16:22 b) 23.17 – 23.14 c) 20 – [ 30 – (5 - 1)] d) 600 : [450 :{ 450 – (4.53 – 23 52 )}] 310.11 310.5 e) A 39.24 D¹ng T×m x Bµi T×m sè tù nhiªn x biÕt a) 6.x – = 613 b) x – 15 = 24 c) 2.x – 138 = 23.32 d) 10 + 2.x = 45 : 43 e) 70 – 5.(x - 3) = 45 g) 315 + (146 – x ) = 401 Bµi T×m sè nguyªn x biÕt a) + x = b) x + = c) 11 – (15 + 21) = x – (25 -9) d) – x = 17 –(- 5) e) x – 12 = (-9) – 15 g) – 25 = (7 –x ) – (25 + 7) D¹ng ¦C - ¦CLN – BC – BCNN Bµi T×m ¦CLN råi t×m c¸c ¦C cña 90 vµ 126 Bµi T×m sè tù nhiªn a lín nhÊt biÕt r»ng 480 a vµ 600 a Bµi T×m sè tù nhiªn x biÕt r»ng 126 x, 210 x vµ 15 < x < 30 Bµi T×m sè tù nhiªn a nhá nhÊt kh¸c biÕt r»ng a 126; a 198 Bµi T×m c¸c béi chung cña 15 vµ 25 mµ nhá h¬n 400 Bài Biết số học sinh trường khoảng 700 đến 800 học sinh, Khi xếp hàng 30, hàng 36, hàng 40 thừa 10 học sinh Tính số học sinh trường đó D¹ng H×nh häc a) VÏ ®o¹n th¼ng AB = cm Trªn AB lÊy hai ®iÓm M, N cho; AM = cm; An = cm b) Tính độ dài các đoạn thẳng MN,NB Hái M cã ph¶i lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AN hay kh«ng? v× sao? - 20– -Lop6.net (19) Gi¸o ¸n «n thi häc sinh giái to¸n ¤n tËp vÒ Quy t¾c dÊu ngoÆc – Quy t¾c chuyÓn vÕ Bµi tËp T×m sè nguyªn x biÕt a) – x = 17 –(-5) ; b) x – 12 = (-9) –(-15) ; c) –25 = (-7 – x ) – (25 - 7) d) 11 + (15 - 11 ) = x – (25 - 9) e) 17 – {-x – [-x – (-x)]}=-16 g) x + {(x + ) –[(x + 3) – (- x - 2)]} = x Bµi tËp TÝnh c¸c tæng sau mét c¸ch hîp lý: a) 2075 + 37 – 2076 – 47 ; b) 34 + 35 + 36 + 37 – 14 – 15 – 16 – 17 c) – 7624 + (1543 + 7624) ; d) (27 – 514 ) – ( 486 - 73) Bµi tËp Rót gän c¸c biÓu thøc - 21– -Lop6.net (20) Gi¸o ¸n «n thi häc sinh giái to¸n a) x + 45 – [90 + (- 20 ) + – (-45)] ; b) x + (294 + 13 ) + (94 - 13) Bµi tËp §¬n gi¶n c¸c biÓu thøc a) – b – (b – a + c) ; b) –(a – b + c ) – (c - a) c) b – (b + a – c ) ; d) a – (- b + a – c) Bµi tËp Bá ngoÆc råi thu gän c¸c biÓu thøc sau a) (a + b ) – (a – b ) + (a – c ) – (a + c) b) (a + b – c ) + (a – b + c ) – (b + c - a) – (a – b – c) Bµi tËp XÐt biÓu thøc N = -{-(a + b) – [(a – b ) – (a + b)]} a) Bá dÊu ngoÆc vµ thu gän b) TÝnh gi¸ trÞ cña N biÕt a = -5; b = -3 Bµi tËp T×m sè nguyªn x biÕt a) x 16 4 b) 26 x 13 Bài tập Chứng minh đẳng thức - (- a + b + c) + (b + c - 1) = (b – c + ) –(7 – a + b ) Bµi tËp Cho A = a + b – B=-b–c+1 C=b–c–4 D=b–a Chứng minh: A + B = C + DBài tập 10 Viết số nguyên vào đỉnh ngôi cánh cho tổng hai số hai đỉnh liền luôn -6 Ngµy so¹n: 19/01/2010 Buổi 14 Ôn tập chương II I ¤n tËp lý thuyÕt Giá trị tuyệt đối số nguyên a là gì? cách tính giá trị tuyệt đối số nguyên dương, số nguyên âm, số Ph¸t biÓu quy t¾c céng hai sè nguyªn cïng dÊu, céng hai sè nguyªn kh¸c dÊu Ph¸t biÓu quy t¾c trõ hai sè nguyªn, nh©n hai sè nguyªn Viết dạng công thức các tính chất phép cộng, phép nhân các số nguyên - 22– -Lop6.net (21)