a) Cã thÓ tÝnh trùc tiÕp diÖn tÝch tõng phÇn nhá cña h×nh. Cho biÕt gi¸ trÞ diÖn tÝch cña mét phÇn nµo ®ã vµ yªu cÇu ta tÝnh diÖn tÝch toµn h×nh hoÆc diÖn tÝch cña c¸c phÇn h×nh kh¸c tro[r]
(1)linh hoạt sáng tạo
trong giải tốn tính diện tích hình tam giác A. đặt vấn đề
Trong chơng trình tốn Tiểu học, tốn tính diện tích hình tam giác đợc nhiều học sinh a thích Nhiều tốn tính diện tích hình tam giác đợc giải phơng pháp số học độc đáo Nhng khơng toán qua thao tác kẻ thêm đờng phụ tìm hớng giải tốn Giải tốt tốn tính diện tích hình tam giác khơng giúp em học giỏi hình học m cũn hc gii v s hc
Đặc biệt có nhiều toán tính diện tích hình tam gi¸c mang tÝnh thùc tÕ cao, gióp c¸c em cã thªm vèn kinh nghiƯm cc sèng
Tìm đáp số toán thú vị nhng thật thú vị ta tìm nhiều đờng đến đáp số Mỗi đờng, hớng giải “nghệ thuật” vận dụng kiến thức học cách linh hoạt sáng tạo Chính lý thơi thúc tơi chọn đề tài “Linh hoạt sáng tạo giải tốn tính diện tích hình tam giác”, với mong muốn giúp em học sinh phần tìm thấy kinh nghiệm suy nghĩ, cách thức tìm lời giải tốn tính diện tích hình tam giác Từ giúp em học sinh u thích mơn tốn nói chung u thích tốn tính diện tích hình tam giác nói riêng nhằm nâng cao chất l-ợng dạy học
B giải vấn đề
I Một toán hình học có yêu cầu tính diƯn tÝch thêng cã d¹ng :
D¹ng 1. Cho diện tích toàn hình yêu cầu tính diện tích hình nhỏ hình Trờng hợp có hai khả xẩy :
a) Cã thĨ tÝnh trùc tiÕp diƯn tÝch tõng phÇn nhỏ hình Chẳng hạn, tính
2 diện tÝch,
3 diƯn tÝch, cđa h×nh lín
b) Phải chọn hình nhỏ đó, lấy diện tích hình làm đơn vị để tính xem phần diện tích cịn lại cần tính lần diện tích hình ta vừa chọn làm đơn vị quy ớc Sau tính xem diện tích tồn hình cho lần diện tích chọn làm đơn vị quy ớc, diện tích lấy làm đơn vị quy ớc đơn vị cho Từ tính diện tích phần hình cịn lại
(2)a) Diện tích tồn hình gấp lần diện tích hình cho b) Mỗi hình nhỏ cịn lại hình gấp lần diện tích phần hình cho Từ đó, ta tính đợc trọn vẹn u cầu tốn
Dạng 3. Đề khơng cho số đo diện tích nào, thay vào đề cho biết tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số diện tích hai hình thành phần để làm sở thực yêu cầu tính tốn (diện tích phần có tỉ số a
b , hai đoạn thẳng có tỉ số c
d ch¼ng h¹n)
Trờng hợp cần xét xem hai đoạn thẳng, hai diện tích hình đề cho tỉ số có liên quan đến đoạn thẳng, hình thành phần cịn lại
II Các kiến thức cần sử dụng để giải toán có dạng nêu cũng rất gần gũi, quen thuộc với em học sinh Đó :
1) Hai tam giác có đáy (hoặc chung đáy) có chiều cao nhau (hoặc chung chiều cao) diện tích hai tam giác
VÝ dơ : Cho tam gi¸c ABC, D trung điểm cạnh BC HÃy so sánh diện tích hai tam giác ABD ADC
Nhn xét : Hai tam giác ABD ADC có chung chiều cao hạ từ đỉnh A Muốn so sánh diện tích chúng ta phải so sánh hai cạnh đáy
H D
C B
A
Gi¶i
Hai tam giác ABD ADC có đáy BD = DC (vì tốn cho D điểm BC ) chiều cao AH chung
VËy : SABD = SADC
2) Hai tam giác có đáy (hoặc chung đáy), tam giác có chiều cao gấp 2, 3, 4, lần diện tích gấp 2, 3, 4, lần
(3)Nhận xét : Hai tam giác ABC EBC có chung đáy BC nên để so sánh diện tích tam giác ABC diện tích tam giác EBC ta phải so sánh chiều cao hạ từ đỉnh E A xuống đáy BC
E
H
C B
A
Gi¶i Nèi E víi B, E víi C
Hai tam giác ABC EBC có chung đáy BC có chiều cao AH = EH
VËy SABC = SEBC
3) Hai tam giác có chiều cao (hoặc chung chiều cao), tam giác nào có đáy gấp 2, 3, 4, lần diện tích gấp 2, 3, 4, lần
VÝ dụ : Cho tam giác ABC Kéo dài BC thêm đoạn CD = BC Nối A với D So s¸nh diƯn tÝch hai tam gi¸c ABD vµ ABC
Nhận xét: Hai tam giác ABD ABC có chung chiều cao hạ từ đỉnh A nên để so sánh diện tích cần so sánh hai đáy BC BD
H C
D B
A
Gi¶i
Hai tam giác ABD ABC có chung chiều cao AH đáy BD = BC (vì CD = BC )
VËy SABD = SABC
4) Hai tam giác có diện tích nhau, đáy (hoặc chiều cao) thì chiều cao (hoặc đáy )
Ví dụ 1: Hai tam giác ABC DBC có diện tích Hãy so sánh chiều cao AH DK hạ từ đỉnh A D xuống đáy BC
(4)C D
B
A
H K
D
C B
A
H K
Nhận xét : Hai tam giác ABC DBC có diện tích nên để so sánh chiều cao AH DK ta phải tìm mối liên hệ hai đáy ứng với chiều cao AH v DK
Giải Theo ta cã : SABC = SDBC
Mặt khác, hai tam giác có diện tích lại có chung đáy BC nên suy chiều cao AH DK hạ từ đỉnh A D xuống đáy BC phải
VËy AH = DK
Ví dụ : Cho tam giác ABC Trên AC lấy điểm D cho nối B với D BD chia tam giác ABC thành hai tam giác có diện tích ABD BDC So sánh chiều cao AH CK hạ từ đỉnh A C xuống đáy BD
NhËn xét: Muốn giải toán trớc hết phải tìm vị trí điểm D cạnh AC tức phải so sánh AD với DC
Sau ú so sánh chiều cao AH CK ta phải dựa vào tỉ số diện tích tam giác ABD BDC cạnh đáy tơng ứng
D
C B
A
K
H
Gi¶i
Hai tam giác ABD BDC có diện tích có chung chiều cao hạ từ đỉnh B nên đáy AD = DC hay D điểm AC
Mặt khác hai tam giác ABD BDC lại có chung đáy BD nên chiều cao AH = CK
VÝ dô 3: Hai tam giác ABC ACD có diện tích nhau, chiều cao AH = CK
So sánh BC AD K
(5)Giải Theo ra: SABC = SACD
Mặt khác hai tam giác lại có chiều cao AH = CK nên suy đáy chúng phải Vậy BC = AD
K
H
D
C B
A
5) Hai tam giác có đáy (hoặc chiều cao) nhau, tam giác có diện tích gấp 2, 3, 4, lần chiều cao (hoặc đáy) gấp 2, 3, 4, lần.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Trên BC lấy điểm D cho nối A với D ta đợc tam giác ABD gấp lần diện tích tam giác ADC Hãy so sánh chiều cao BH CK hạ từ đỉnh B C xuống AD
Giải
Theo : SABD = SADC mà hai tam giác
ny li có chung chiều cao hạ từ đỉnh A nên đáy BD = DC Mặt khác, hai tam giác ABD ADC lại có chung đáy AD nên chiều cao BH = CK
H
K D
C B
A
VÝ dô 2: Cho tam giác ABC Trên BC kéo dài phÝa C lÊy mét ®iĨm D cho diƯn tÝch tam giác ABD gấp lần diện tích tam giác ABC So sánh BD BC
Giải
Theo bµi ta cã SABD = SABC
Mặt khác hai tam giác lại có chung chiều cao AH suy đáy BD tam giác ABD phải gấp đáy BC tam giác ABC
VËy BD = BC
A
B H C D
6) Hai tam giác có diện tích nhau, chúng có phần diện tích chung thì phần diện tích cịn lại hai tam giác
(6)Giải
Theo ta có : SABC = SDBC
Mặt khác hai tam giác có diện tích lại có chung diện tích hình IBC nên phần diện tích lại chúng ph¶i b»ng
VËy SAIB = SDIC
I
D A
B C
C
III Hệ thống tập tính diện tính hình tam gi¸c.
Trong nội dung bồi dỡng học sinh giỏi có nhiều tốn phức tạp, khơng có phơng pháp cụ thể để giải mà đòi hỏi học sinh phải tởng tợng, t nhiều, phải qua nhiều bớc trung gian tìm đáp số Nhng nói, hầu hết tốn vận dụng kết luận nêu kết hợp với cách giải tốn điển hình để giải Do vậy, chơng trình khơng nêu dạng so sánh, chứng minh liên quan đến tam giác nhng thông qua hệ thống tập, giáo viên gợi mở để học sinh rút số dạng hớng dẫn cách làm chung C th:
1 Các toán cho số đo cụ thể
Các toán chia làm hai loại:
Loi 1: Nu cỏc s đo đáy chiều cao cần thiết cho sẵn ta tính trực tiếp từ so sánh chứng minh theo yêu cầu toán.
Bài tốn 1: Cho tam giác ABC có đáy BC = 28cm Nếu kéo dài đáy BC phía C thêm đoạn CD = 7cm diện tích tăng thêm 84cm2 Tính diện tích hình tam
giác ABC ?
Giải
Cách 1: Nhìn hình vẽ 84cm2 là
din tớch ca tam giác ACD có đáy CD = 7cm Vậy chiều cao AH tam giác là:
7 84
= 24 (cm)
AH nµy cịng lµ chiỊu cao cđa tam gi¸c ABC VËy diƯn tÝch tam giác ABC là:
2 24 28
= 336 (cm2) Đáp số: 336 cm2
H C D
B
A
C¸ch 2:
(7)đáy BC = CD (vì 28 : = )
VËy : SABC = SACD
Hay diện tích tam giác ABC :
84 = 336 (cm2)
Đáp số: 336 cm2
Bài toán 2; Cho tam giác ABC có BC = 33 cm, H điểm BC cho BH = 18 cm AH vuông góc với BC Kéo dài HA phía A đoạn AM = cm HÃy so sánh diện tích tam giác MAB diện tích tam giác MAC
Giải
Cách 1:
Đoạn CH dài: 33 - 18 = 15(cm) DiƯn tÝch tam gi¸c MAB lµ:
2 BH MA
=
18 4
= 36(cm2)
DiÖn tÝch tam giác MAC là:
2 CH MA
=
15 4
= 30 (cm2)
DiƯn tÝch tam gi¸c MAB so víi diƯn tÝch tam giác MAC :
36 : 30 =
(lần) Đáp số: SMAB =5
6 SMAC
A
B C
M
H
Cách 2 (Ta so sánh trực tiếp nhờ sử dụng kết luận nêu mà không cần tớnh din tớch mi tam giỏc)
Đoạn CH dài: 33 - 18 = 15 (cm)
Đoạn BH so với đoạn CH : 18 : 15 =5
6 (lÇn) SMAB =5
6 SMAC
( Vì chung đáy MA, chiều cao BH =
CH)
Đáp số: SMAB =5
SMAC
(8)Bài toán 3: Cho tam gi¸c ABC cã AB = 9cm, AC = 12cm Trên AB lấy điểm D cho AD = 3cm Trên AC lấy điểm E cho AE = 4cm Nèi B víi E; C víi D So s¸nh diện tích tam giác BDC diện tích tam giác BEC
Giải Đoạn BD dài là:
9 – = 6(cm) SBDC =
2
SABC (1)
( Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh C xuống đáy AB,
đáy BD =
AB)
Đoạn EC dài lµ: 12 – = 8(cm) SBEC =
2
SABC (2)
( Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống đáy AC,
đáy EC =
AC)
Tõ (1) vµ (2), suy ra: SBDC = SBEC
Đáp số: SBDC = SBEC
E
D B
A
C
Bài toán 4: Cho tam giác ABC có cạnh BC dài 9m Trên BC lấy điểm D với BD = 6cm Nối A với D Trên AD lấy điểm E bÊt k× Nèi E víi B, E víi C a So sánh diện tích hai tam giác AEB AEC
b TÝnh chiỊu cao EK cđa tam gi¸c EBD biết chiều cao AH tam giác ABC 7cm E trung điểm AD
Giải a Độ dài đoạn DC là:
9 - = ( cm) SABD = SADC
( Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC, đáy BD = DC )
Mặt khác hai tam giác ABD ADC lại có chung đáy AD nên chiều cao BM = CN
Ta l¹i cã: SAEB = SAEC
(Vì tam giác có chung đáy AE có chiều cao BM = CN)
b Ta cã: SEBD =
SABD
M
H K
N E
A
D
C
(9)( Vì hai tam giác có chung chiều cao BM, đáy ED =
1 AD)
Mặt khác tam giác lại có chung đáy BD nên suy chiều cao EK =
1 AH Vậy độ dài chiều cao EK là:
7 : =3,5(m) Đáp số: a SAEB = SAEC
b EK = 3,5m
Bµi toán 5: Cho tam giác ABC có góc A gãc vu«ng, AB = 30cm,
AC = 45cm M điểm cạch AB cho AM = 20 cm Từ M kẻ đờng thẳng song song với cạch BC, cắt AC điểm N Tính diện tích tam giác AMN Nhận xét: Muốn tính diện tích tam
giác vng AMN biết AM = 20cm ta cần tính AN Mà AC = 45cm nên ta phải tính NC Tam giác BNC có chiều cao AB = 30cm nên để tính đáy NC ta cần biết SBNC
Diện tích tam giác BNC đợc tính thơng qua diện tích tam giác BMC
N M
B
C A
Gi¶i Nèi M víi C , B víi N
DiƯn tÝch tam giác BMC :
45 (30 - 20) : = 225 (cm2)
V× MN // BC nên tứ giác BMNC hình thang SBMC = SBNC
(Vì chung đáy BC, chiều cao hạ từ đỉnh M N xuống đáy BC chiều cao hỡnh thang BMNC)
Đoạn NC dài :
225 : 30 = 15 (cm) DiÖn tích tam giác AMN :
(10)Đáp số: 300 cm2
Bài toán 6: Cho tam giác ABC có diện tích 12cm2 Cạnh AB = cm vµ AC = 5
cm, kéo dài thêm AB đến M AC đến N cho BM = CN = cm Hỏi diện tích tam giác AMN bao nhiêu?
C¸ch 1:
NhËn xÐt: Tam gi¸c AMN cã AM = + = 10 ( cm )
Để tính đợc diện tích cần tính chiều cao hạ từ đỉnh N xuống đáy AM ( có AN = + = 7( cm ))
Để tính đợc diện tích tam giác ta cần tính chiều cao hạ từ đỉnh M xuống đáy AN
K H
C B
N M
A
Mặt khác chiều cao hạ từ đỉnh N xuống đáy AM lại chiều cao tam giác ABN nên ta cần tìm diện tích tam giác ABN tốn đợc giải
Gi¶i Nèi B víi N ta cã :
ChiỊu cao BH lµ : 12 : = 4,8 (cm) Diện tích tam giác ANB : (5 + 2) 4,8 : = 16,8 (cm2)
ChiÒu cao NK lµ : 16,8 : = 4,2 (cm) Diện tích tam giác AMN : (8 + 2) 4,2 : = 21 (cm2)
Đáp số : 21 cm2
Cách :
Nhận xét : SAMN so sánh đợc với SANB
SANB so sánh đợc với SABC
=> SAMN so sánh đợc với SABC
Mà SABC = 12cm2 nên ta tính đợc SAMN
Gi¶i SANB =
5 SABC
(11)Diện tích tam giác ANB : 12
5 = 16,8 (cm2) SAMN =
4 SANB
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh N, đáy AM = 8+2 AB) Diện tích tam giác AMN :
16,8 54 = 21 (cm2)
Đáp số : 21 cm2
Bài toán 7: Cho tam giác ABC có M trung ®iĨm cđa AB, N lµ trung ®iĨm MB, P lµ trung điểm AC Q trung điểm PC TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c MNQP biÕt diƯn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 16cm2.
NhËn xÐt: SMNQP = SABQ - SAMP
-SNBQ
Nh vËy ta cÇn tÝnh : SABQ = ? cm2;
SAMP = ? cm2;
SNBQ = ? cm2
C B
N Q
P M
A
Gi¶i Nèi B víi Q B víi P ta cã :
SABQ =
4 SABC
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy AQ = AC) Diện tích tam giác ABQ :
16 34 = 12 (cm2)
SNBQ =
4 SABQ
(12)DiÖn tÝch tam giác NBQ : 12
4 = (cm2) SAMP =
2 SABP (1)
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh P, đáy AM =
2 AB) SABP =
2 SABC (2)
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy AP = AC) Từ (1) (2) ta có : SAMP =
4 SABC Diện tích tam giác AMP :
16 14 = (cm2)
DiÖn tÝch tø giác MNQP : 12 - - = (cm2)
Đáp số : cm2
Bài toán : Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác, đờng thẳng AO cắt cnh BC ti M
Đờng thẳng BO cắt CA N Cho biết diện tích AOB cm2 , diÖn tÝch BOM
và AON cm2 Tính diện tích tam giác ABC.
NhËn xÐt:
SABC = SAOB + SAOC + SBOC
Mà SAOB = cm2 nên để tính
SABC ta cần so sánh SAOB với
SABC; SBOC với SABC ⇒ TØ sè
SABC so víi SAOB
TÝnh diÖn tÝch ABC
P Q
H K M
N O
C B
A
Gi¶i Nèi O víi C ta cã :
(13)Ta thÊy : OK = AH (V× SBOM =
4 SABM, chung đáy BM)
SBOC =
4 SABC
(Vì chung đáy BC, chiều cao OK =
4 AH ) OP =
4 BQ (V× SAON =
4 SABN, chung đáy AN)
SAOC =
4 SABC
(Vì chung đáy AC , chiều cao OP =
4 BQ ) Mặt khác : SAOB = SABC - (SAOC + SBOC)
hay SAOB = SABC - (
4 SABC +
4 SABC) SAOB =
2 SABC DiÖn tích tam giác ABC :
3 :
2 = (cm2)
Đáp số : cm2
Bài toán : Cho tam giác ABC có diện tích 420 cm2 N điểm cạnh
(14)Giải
SABN = SBNC (1)
(Vì chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy AN = NC)
SAKN = SNKC (2)
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh K, đáy AN = NC)
Tõ (1) vµ (2) ta cã SABK = SBKC
SPBC =
3 SAPC (3) (Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh C,
đáy PB = AP)
K
N P
C B
A
SPKB =
3 SAPK (4)
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh K, đáy PB = AP) Từ (3) (4) ta có SBKC =
3 SAKC
NÕu gäi SBKC lµ phần SABK phần SAKC phÇn
VËy SABC = + + = (phần)
Diện tích tam giác BKC : 420 : = 84 (cm2)
Đáp số : 84 cm2
Bài toán 10 : Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D, E cho AD = DE = EB, cạnh AC lấy điểm M, N cho AM = MN = NC TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC nÕu biÕt diƯn tÝch tø gi¸c DEMN b»ng cm2.
NhËn xÐt:
SDENM = SDEM + SMEN
Để tính SABC ta cần so sánh
SDEM SMEN với diện tích
tam giỏc có liên quan đến diện tích tam giác ABC
N M
E D
C B
(15)Gi¶i SDEM =
2 SAEM
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy DE =
2 AE) SMEN =
2 SMEC
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh E, đáy MN =
2 MC) SDEM + SMEN =
2 (SAEM + SMEC) Hay SDENM =
2 SAEC (1) Mặt khác SAEC =
3 SABC(2) (Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy AE =
3 AB ) Tõ (1) vµ (2) ta cã : SDENM =
3 SABC Diện tích tam giác ABC :
6 :
3 = 18 (cm2) Đáp số : 18 cm2
Bài toán 11 : Cho tam giác ABC M điểm cạnh BC cho MC =
2 BM, N điểm cạnh CA cho CN = 3NA AM cắt BN D HÃy tính diện tích tam gi¸c ABC nÕu biÕt diƯn tÝch ADB b»ng 20 cm2.
NhËn xÐt : SABC = SADB + SADC + SBDC
Để tính SABC cần tính diện tích tam giác ADC diện tích tam giác BDC
Giải SABN =
3 SBNC (1)
(Vì chung chiều cao hạ từ B, đáy AN =
3 NC)
SAND =
3 SNDC (2)
D
N
M C
B
(16)(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh D, đáy AN = NC) Từ (1) (2) ta có SADB =
3 SBDC DiƯn tích tam giác BDC :
20 :
3 = 60 (cm2) SAMC =
2 SBAM (3)
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh A, đáy MC =
2 BM) SMDC =
2 SBDM (4)
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh D, đáy MC =
2 BM ) Tõ (3) vµ (4) ta cã : SADC =
2 SADB DiƯn tÝch tam gi¸c ADC lµ :
20
2 = 10 (cm2) Vậy diện tích tam giác ABC :
20 + 10 + 60 = 90 (cm2)
Đáp số : 90 cm2
Bài toán 12: Cho tam giác ABC có cạnh AB 9cm cã diƯn tÝch lµ
36 cm2 Trên BC lấy điểm M cho BM = 3MC Qua M ngi ta v mt ng
thẳng cắt BA kéo dài điểm K cho diện tích tam giác KBM 36 cm2.
a Tính đoạn AK
(17)Nhận xét: Muốn tính đoạn AK ta phải tính đợc BK
Theo bµi SABC = SKBM = 36
cm2 nên để tính đợc BK ta cần
so s¸nh SKBM víi SABM dựa vào
mối quan hệ SABM
SABC O
K
M C
B
A
Gi¶i a Nèi M víi A ta cã :
SABM =
4 SABC
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh A, đáy BM = BC) Mà SABC = SKBM = 36 cm2 nên SABM =
4 SKBM
Hai tam giác KBM ABM có chung chiều cao hạ từ đỉnh M nên đáy AB =
4 BK
Đoạn BK dài : :
4 = 12 (cm) Đoạn AK dài lµ :
12 - = (cm) b Theo bµi : SABC = SKBM
Hai tam giác có chung hình tứ giác ABMO nên phần diện tích lại chúng
Vậy SOAK = SOCM
Đáp số : a cm
b SOAK = SOCM
(18)BM =
2 MC cạnh CA lấy điểm N cho NC =
3 NA Đờng thẳng MN cắt cạnh AB kéo dài điểm K
a Đờng thẳng MN cắt tam giác ABC thành phần Tính diện tích phần biết diện tích tam giác ABC 36 cm2
b So sánh đoạn KA KB
Nhn xột: ng thng MN chia tam giác ABC thành phần tam giác MNC tứ giác ABMN Để tính diện tích hai phần trớc hết ta phải tìm diện tích tam giác MNC
Tam giác MNC cha biết số đo cạnh đáy chiều cao nên muốn tính diện tích ta phải tìm mối quan hệ tam giác MNC với tam giác có liên quan
Cơ thĨ : So s¸nh SMNC víi SAMC
So s¸nh SAMC víi SABC
Từ rút kết luận
Gi¶i a Nèi A víi M ta cã :
SACM =
3 SABC (1)
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh A, đáy CM =
3 CB) SMNC =
4 SACM (2)
N
M K
C B
A
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy CN =
4 CA) Tõ (1) vµ (2) ta cã :
SMNC =
6 S ABC
DiƯn tÝch tam gi¸c MNC lµ : 36
6 = (cm2) Diện tích tứ giác ABMN :
36 - = 30 (cm2)
b SKNC =
(19)(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh K, đáy NC =
3 NA) SMNC =
3 SMNA (4)
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy NC =
3 NA) Tõ (3) vµ (4) ta cã :
SKMC =
3 SKMA (5) 27
Mặt khác : SKMC = SKMB (6)
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh K, đáy MB =
2 MC) Tõ (5) vµ (6) ta cã :
3 SKMA = SKMB
Hay SKMB =
6 SKMA
Hai tam giác KMB KMA lại chung chiều cao hạ từ đỉnh M nên đáy KB =
6 KA
Đáp số : a cm2 30 cm2
b KB =
6 KA
Bài toán 14 : Cho tam giác ABC có AB = 1,5 cm Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 3MC Trên cạnh AC lấy điểm N cho AN = 2NC Đờng thẳng MN đờng thẳng AB cắt P
a Tính đoạn thẳng AP
(20)Nhận xét: Muốn tính AP ta phải so sánh SANP víi SABN
Mn so s¸nh diƯn tÝch tam giác ta cần so sánh chúng với tam gi¸c trung gian
Vậy tam giác đóng vai trị tam giác trung gian?
P
M N A
C B
Gi¶i a sPBM = SPMC (1)
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh P, đáy BM = MC) SNBM = SNMC (2)
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh N, đáy BM = MC) Từ (1) (2) ta có : sPBM = SPNC
Mặt khác SPAN = SPNC
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh P, đáy AN = 2 NC)
VËy nÕu gäi SPNC phần SPAN phần SPBN phần
Diện tích tam giác ABN : - = (phần)
Hay SPAN = SABN
Hai tam giác PAN ABN lại có chung chiều cao hạ từ đỉnh N nờn ỏy AP = AB
Đoạn AP dµi lµ : 1,5 = (cm)
b SPAC = SABC (3)
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy PA = 2 AB) SPAN = SABN (4)
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh N, đáy PA = 2 AB) Từ (3) (4) ta có : SPNC = SBNC (5)
Mặt khác : SBNC = SMNC (6)
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh N, đáy BC = MC) Từ (5) (6) ta có : SPNC = SMNC (5)
(21)Đáp số : a cm
b MP = MN
2 Các to¸n cho tØ lƯ
Đối với tốn này, ta áp dụng tính chất, kết luận nêu để giải Tuy nhiên số tốn cho tỉ lệ gián tiếp phải qua bớc trung gian để đa tỉ lệ cần cho bớc giải
Bài toán 15: Cho tam giác ABC, E trung điểm cạnh AB, D trung điểm cạnh AC Nối điểm C với E, nối điểm B với D CE cắt BD G
Chøng tá : SABG= SAGC
Giải
Ta thÊy: SABD = SBDC ( )
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy AD = DC)
SAGD = SGDC ( )
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh G, đáy AD = DC)
Tõ ( ) vµ ( ) ta cã: SABG = SBGC ( 3)
Ta l¹i cã: SACE = SBCE ( )
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy AE = EB)
SAGE = SBGE ( )
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh G, đáy AE = EB)
Tõ ( ) vµ ( ) ta cã: SAGC = SBGC ( 6)
Tõ (3 ) vµ ( ) ta cã: SABG= SAGC
Đáp số: SABG= SAGC
G
E D
B C
A
Bài toán 16: Cho tam giác ABC Trên AB lấy điểm D cho AD = 3
AB, trªn BC lÊy ®iĨm E cho BE =4
1
BC Nèi AE , CD chóng c¾t ë M TÝnh tØ sè : AE
AM
Gi¶i Nèi B víi M, ta cã:
SADM =
SBDM
( Vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy AD =
1 DB ) Hai tam giác lại có chung đáy DM nên chiều cao AH =
1 BK
H
M
E A
B
C
(22)SAMC =
SBMC (1)
( Vì hai tam giác có chung đáy MC, chiều cao AH =
1 BK)
SMEC =
SMBC (2)
( Vì hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy EC =
BC )
Tõ (1) vµ (2), ta cã: SAMC =
SMEC
Mặt khác, hai tam giác lại có chung chiều cao hạ từ đỉnh C nên AM =
ME
Suy :
2 ME AM AM
hay
2
AE AM
Đáp số:
2
AE AM
Bài toán 17 : Cho tam giác ABC có D, E lần lợt trung điểm cạnh AB, AC. a H·y so s¸nh diƯn tÝch tam gi¸c ADE víi diƯn tÝch tam gi¸c ABC
b M điểm BC Đoạn AM cắt đoạn thẳng DE I HÃy so sánh AI IM
Giải a Nối B với E ta cã :
SADE =
2 SABE (1)
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh E, đáy AD =
2 AB) SABE =
2 SABC (2)
K H M C B E D A I
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy AE = AB)
Tõ (1) vµ (2) ta cã : SADE =
(23)b SADM =
2 SABM
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy AD =
2 AB) SAEM =
2 SACM
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy AE =
2 AC) SADM + SAEM =
2 (SABM + SACM)
Hay SADME =
2 SABC
Theo câu ( a) SADE =
4 SABC
Nªn SDME =
4 SABC Hay SADE = SDME
Hai tam giác ADE DME có chung đáy DE nên chiều cao AH = MK SADI = SDIM
(Vì chung đáy DI, chiều cao AH = MK)
Hai tam giác ADI DIM có chung chiều cao hạ từ đỉnh D nên đáy AI = IM Đáp số : a SADE =
4 SABC
b AI = IM
Bài toán 18 : Cho tam giác ABC, D điểm nằm cạnh AB cho AD =
3 AB E lµ điểm nằm cạnh AC cho AE =
3 AC Một đ-ờng thẳng qua A cắt đoạn thẳng DE I cắt cạnh BC M
a So sánh diện tích tam giác ADE ABC b So sánh đoạn thẳng AI AM
(24)a SADE =
3 SABE (1)
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh E, đáy AD =
3 AB)
SABE =
3 SABC (2)
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy AE=
3 AC)
H K
M I
E D
C B
A
Tõ (1) vµ (2) ta cã : SADE =
9 SABC
b SADM =
3 SABM (3)
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy AD= AB) SAEM =
3 SAMC (4)
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy AE= AC) Từ (3) (4) ta có : SADM + SAEM =
3 (SABM + SAMC)
Hay SADME =
3 SABC
Theo câu (a) SADE =
9 SABC
nªn SADE =
3 SADME
hay SADE =
2 SDME
Hai tam giác ADE DME có chung đáy DE nên chiều cao AK = MH Ta lại có : SADI =
1 SDIM
(Vì chung đáy DI, chiều cao AK =
2 MH)
(25)AI =
2 IM hay AI =
3 AM
Đáp sè : a SADE =
9 SABC
b AI =
3 AM
3 So s¸nh, tÝnh diƯn tÝch tam gi¸c mèi quan hệ với hình khác nh: hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình tròn.
Bài toán 19: Cho hình vuông ABCD có cạnh 20cm M trung điểm cạnh BC, N trung điểm cạnh CD Đoạn AM BN cắt O
a TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c AOND
b So s¸nh diƯn tÝch tø gi¸c NOMC víi diện tích tam giác BOM Giải
a Vì M trung điểm BC nên ta có:
BM = MC = BC : = 20 : =10(cm) T¬ng tù ta cịng cã:
DN = NC = DC : = 20 : = 10(cm) Diện tích tam giác ABN là:
20 20 : = 200(cm2)
DiƯn tÝch tam gi¸c BNM lµ : 10 10 : = 50(cm2)
H K
N
M
D C
B A
O
V× 200 : 50 = nªn SABN = SBNM
Mặt khác hai tam giác lại có chung đáy BN nên chiều cao AH = MK SABO = SBOM
(Vì hai tam giác có chung đáy OB có chiều cao AH = MK) Diện tích tam giác ABM là:
20 10 : = 100(cm2)
Diện tích tam giác ABO là: 100 : 5 = 80(cm2)
DiƯn tÝch h×nh thang ABND lµ:
2
20 ) 10 20
(
= 300(cm2)
DiÖn tÝch tứ giác AOND là: 300 80 = 220(cm2)
(26)(Vì có đáy AB = BC, chiều cao BM = NC = 10cm)
Hai tam giác lại có chung tam giác BOM nên SABO= SNOMC
Mặt khác theo chứng minh câu a th× SABO = SBOM
VËy: SNOMC= SBOM
Đáp số: a 200 cm2
b SNOMC= SBOM
Bài toán 20 : Cho hình thang ACBD có đáy AB CD AC BD cắt tại O M trung điểm cạnh đáy AB Đờng thẳng OM cắt cạnh đáy CD N So sánh đoạn CN với ND
Nhận xét : CN ND cạnh đáy tam giác ODN ONC
Hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh O nên để so sánh CN ND ta phải so sánh diện tích hai tam giác
K N
H M
O
D C
B A
Mặt khác hai tam giác lại có chung đáy ON nên để so sánh diện tích ta cần so sánh chiều cao DH CK Hai chiều cao DH CK ta so sánh đợc dựa vào tam giác có liên quan
Gi¶i
SBMD = SAMC (1)
(Vì đáy AM = BM, chiều cao hạ từ đỉnh D C chiều cao hình thang ABCD)
SAOM = SBOM (2)
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh O, đáy AM = BM) Từ (1) (2) ta có : SDOM =SCOM
Hai tam giác DOM COM có chung đáy OM nên chiều cao DH = CK Ta lại có : SODN =SONC
(Vì chung đáy ON, chiều cao DH = CK)
Hai tam giác ODN ONC lại có chung chiều cao hạ từ đỉnh O nên đáy CN = ND
Bài tốn 21: Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp lần đáy AB Hai đờng chéo AC BD cắt O
(27)b Tính diện tích tam giác OAD DCO, nÕu biÕt diƯn tÝch h×nh thang ABCD b»ng 32 cm2.
Gi¶i a SADC = SABC
( Vì DC = AB, chiều cao hạ từ đỉnh A C chiều cao hình thang ABCD) Hai tam giác ADC ABC có chung đáy AC nên chiều cao DH = BK
SAOD = SAOB
K
H A
O
D C
B
(Vì chung đáy OA, chiều cao DH = BK)
Hai tam giác AOD AOB có chung chiều cao hạ từ đỉnh A nên đáy OD = OB
Hoàn toàn tơng tự ta có OC = OA b SACD = SBCD
(Vì chung đáy CD, chiều cao hạ từ đỉnh A B chiều cao hình thang ABCD)
Hai tam gi¸c ACD BCD có chung hình OCD nên ta có SAOD = SBOC
Nếu coi SAOB phần SAOD SBOC phần
Hai tam giác AOD DOC có chung chiều cao DH, OC = OA nªn SDOC = SAOD = = (phÇn)
Nh vËy SABCD = + + + = 16 (phần)
Diện tích tam giác AOD : 32 : 16 = (cm2)
Diện tích tam giác OCD : 32 : 16 = 18 (cm2)
Đáp số : a OD = OB; OC = OA
b cm2 ; 18 cm2
Bài tốn 22 : Cho hình thang ABCD có đáy bé AB = 14 cm , đáy lớn CD = 26 cm Trên AD lấy điểm M, BC lấy điểm N Nối MN a Chứng tỏ MN song song với AB CD
(28)Nhận xét: Muốn chứng tỏ MN song song với CD AB ta phải chứng tỏ chiều cao hạ từ đỉnh M đỉnh N xuống đáy CD ( AB)
F K H
E
N M
C D
B A
Gi¶i a Nèi A víi C , M víi C
Ta cã : SMCD =
2 SACD
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy MD =
2 AD)
Hai tam giác MCD ACD có chung đáy CD nên chiều cao ME = AH Nối D với E , D với N
Ta cã : SNCD =
2 SBCD
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh D, đáy NC = BC)
Hai tam giác NCD BCD có chung đáy CD nên chiều cao NF = BK Mặt khác BK = AH nên NF = ME hay MN song song CD AB
b ChiỊu cao NF lµ :
78 : 26 = (cm)
ChiỊu cao cđa h×nh thang ABCD lµ ; = 12 (cm)
Diện tích hình thang ABCD
(14 + 26) 12 : = 240 (cm2)
Đáp số : a MN song song víi AB vµ CD b 240 cm2
Bài toán 23: Tính tỉ số chu vi hai hình tròn hình bên, biết:
AB = BC = CA; MA = MB, NA = NC, PB = PC; OM, ON, OP bán kính hình tròn bé ; OA, OB, OC bán kính hình tròn lớn
Gi¶i Ta thÊy :
SABN =
SABC (1)
N M
A
(29)(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy AN=2
AC ) SABP =
1
SABC (2)
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh A, đáy BP =
BC ) Tõ (1) vµ (2) ta cã SABN = SABP
Hai tam giác lại có chung hình tam giác OAB nên SOBP = SOAN (3)
Mặt khác ta có : SOBP = SOCP ( 4)
(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh O, đáy BP = PC) SONC = SOAN ( )
(Vì hai đáy AN = NC chung chiều cao hạ từ O xuống AC) Từ (3), (4) (5) ta có : SOBP = SOCP = SONC = SOAN
Hay SONC =
SOBC
Hai tam giác ONC Và OBC có chung chiều cao hạ tõ C nªn ON =2
OB Mà ON bán kính đờng trịn nhỏ, OB bán kính đờng trịn lớn nên chu vi hình trịn lớn gấp đơi chu vi hình trịn nhỏ
III KÕt luËn - KiÕn nghÞ
1 KÕt luËn.
Trên kinh nghiệm việc giúp học sinh vận dụng linh hoạt sáng tạo kiến thức học việc giải toán tính diện tích hình tam giác Nhờ áp dụng kinh nghiệm mà giúp học sinh giải đợc khó khăn gặp tốn tính diện tích hình tam giác Vì học sinh tự tin hứng thú luyện tập giải tốn tính diện tích hình tam giác
Để chất lợng dạy bồi dỡng học sinh giỏi yếu tố hình học nói chung tập liên quan đến tính diện tích hình tam giác nói riêng giáo viên phải giúp học sinh xác lập mối quan hệ diện tích, cạnh đáy chiều cao tơng ứng trờng hợp cụ thể Với trờng hợp cụ thể cần có từ đến ví dụ minh hoạ để học sinh rèn luyện đợc kỹ phơng pháp giải Sau học sinh nắm vững mối quan hệ trên, giáo viên bớc cung cấp hệ thống tập nâng cao nhằm giúp học sinh giải tốt toán tổng hợp
(30)2 Kiến nghị.
- Với giáo viªn.
Chắc rằng, bạn đồng nghiệp sử dụng kinh nghiệm trình dạy học Song hi vọng rằng, phần đó, kinh nghiệm tơi có tác dụng tích cực bạn đồng nghiệp Rất mong đợc đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp kinh nghiệm hồn thiện thân tơi có thêm kinh nghiện đúc rút sáng kiến kinh nghiệm năm học tiếp theo, nhằm góp phần nâng cao chất lợng hiệu giảng dạy ngày tốt
- Với tổ chuyên môn nhµ trêng.
- Cần thờng xuyên tổ chức buổi sinh hoạt chun mơn lồng ghép giải tốn nói chung giải tốn tính diện tích hình tam giác nói riêng để tạo động điều kiện cho giáo viên phát huy hết sở trờng khiếu bổ khuyết cho
- Nhà trờng cần đẩy mạnh phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm có sách động viên, khen thởng hợp lý cho giáo viên có sáng kiến hay mạnh dạn đa sáng kiến vào thực tế giảng dạy