Toán học - Chuyên đề 7: Parabol

Các bài toán về parabol thường qui về việc xác định các yếu tố của parabol tiêu điểm, đường chuẩn, lập phương trình của parabol và các vấn đề về tiếp tuyến của parabol.. Do đó ta cần nắm[r]

CHUYÊN ĐỀ PARABOL Các bài toán parabol thường qui việc xác định các yếu tố parabol (tiêu điểm, đường chuẩn), lập phương trình parabol và các vấn đề tiếp tuyến parabol Do đó ta cần nắm vững các kiến thức sau đây : Parabol (P) = { M∈ (Oxy) / MF = d M ( Δ ) } F là tiêu điểm và ( Δ ) là đường chuẩn Caùc daïng phöông trình chính taéc : y y (Δ) (Δ) F O −P F( P , 0) O x x P (P) (P) (P) : y2 = 2px (Δ) :x= − (P) : y2 = –2px p (Δ) :x= p ⎛p ⎞ F ⎜ ,0⎟ ⎝2 ⎠ ⎛ p ⎞ F ⎜ − ,0⎟ ⎝ ⎠ M ∈ (P) ⇒ xM ≥ M ∈ (P) ⇒ xM ≤ vaø r = MF = xM + p vaø r = MF = –xM + p (d) : Ax + By + C = tiếp xúc với (P) ⇔ pB2 = 2AC (d) : Ax + By + C = tiếp xúc với (P) ⇔ pB2 = –2AC Tiếp tuyến với (P) tiếp điểm Tiếp tuyến với (P) tiếp điểm Lop6.net M0(x0, y0) coù phöông trình M0(x0, y0) coù phöông trình y0y = p(x0 + x) y0y = –p(x0 + x) y y P (Δ) O (P) P F (P) (Δ) (P) : x2 = 2py (Δ) :y= − x −P F x O (P) : x2 = –2py p (Δ) :y= p ⎛ p⎞ F ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2⎠ p⎞ ⎛ F ⎜ 0, − ⎟ 2⎠ ⎝ M ∈ (P) ⇒ yM ≥ M ∈ (P) ⇒ yM ≤ vaø r = MF = yM + p vaø r = MF = –yM + p (d) : Ax + By + C = tiếp xúc với (P) ⇔ pA2 = 2BC (d) : Ax + By + C = tiếp xúc với (P) ⇔ pA2 = –2BC Tiếp tuyến với (P) tiếp điểm Tiếp tuyến với (P) tiếp điểm M0(x0, y0) coù phöông trình M0(x0, y0) coù phöông trình x0x = p(y0 + y) x0x = –p(y0 + y) Ví duï1 : Cho parabol (P) : y2 – 8x = 1) Xác định tiêu điểm F và đường chuẩn (Δ) (P) 2) Viết phương trình tiếp tuyến với (P) điểm M(2; –4) Lop6.net 3) Viết phương trình tiếp tuyến với (P) biết nó song song với đường thẳng (D) : 2x – y + = Suy tọa độ tiếp điểm 4) Viết phương trình tiếp tuyến với (P) biết nó xuất phát từ điểm I(–3, 0), suy tọa độ tiếp điểm Giaûi 1) Tiêu điểm và đường chuẩn (P) : y2 – 8x = ⇔ y2 = 8x có dạng y2 = 2px với p = ⇒ Tiêu điểm F(2, 0) và đường chuẩn (Δ) : x = –2 2) Phương trình tiếp tuyến với (P) M(2; –4) Tiếp tuyến với (P) : y2 = 8x tiếp điểm M(2, –4) có phương trình cho công thức phân đôi tọa độ : –4(y) = 4(2 + x) ⇔ x+y+2=0 3) Phương trình tiếp tuyến với (P) và song song với (D) Đường thẳng (d) // (D) với (D) : 2x – y + = ⇒ (d) : 2x – y + C = (d) tiếp xúc với (P) : y2 = 8x ⇔ = 2C = 4C ⇔ C=1 Vậy tiếp tuyến với (P) phải tìm có phương trình 2x – y + = Tiếp tuyến (d) với (P) : y2 = 8x tiếp điểm M0(x0, y0) còn có phương trình y0y = 4(x0 + x) ⇔ 4x – y0y + 4x0 = mà (d) : 2x – y + = 0, đó : 4x0 y = = 1 ⎧ ⎪x0 = ⇒⎨ ⎪⎩ y = ⎛1 ⎞ hay M0 ⎜ , ⎟ ⎝2 ⎠ 4) Phương trình tiếp tuyến với (P) xuất phát từ I(–3, 0) Tiếp tuyến với (P) và cùng phương với 0y là x = Vậy pt tiếp tuyến ( d′ ) qua I(–3, 0) coù daïng: ( d′ ) : y – = k(x + 3) ⇔ kx – y + 3k = Lop6.net ( d′ ) tiếp xúc với (P) : y2 = 8x ⇔ = 2k(3k) = 6k2 ⇔ k = ± = ± Vậy từ điểm I(–3, 0) có tiếp tuyến với parabol (P) là: x–y+ ⇔ =0 x–y+ hay =0 x–y– – hay 6=0 x +3 y +3 = Tiếp tuyến ( d′ ) với (P) tiếp điểm M0(x0, y0) có phương trình 4x – y0y + 4x0 = Do đó với ( d′ ) : x–y+ 4x0 y = = 6 =0 ⇒ ⎧ x0 = ⎪ 12 ⎨ ⎪y0 = = ⎩ ⇒ Với ( d′ ) : x + 3y + = ⇒ 4x0 −y0 = = 6 ⎧x0 = ⎪ ⇒ ⎨ 12 y = − = −2 ⎪ ⎩ Vaäy tieáp ñieåm phaûi tìm laø (3; ) vaø (3; –2 ) Ví du2( ĐỀ DỰ TRỮKHỐI A –2003) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho parabol (P) có phương trình y2 = x và điểm I (0; 2) Tìm tọa độ hai điểm M, N thuộc (P) cho IM = IN Giaûi Goïi M(m2; m) ∈ (P), N(n2; n) ∈ (P) ⎯→ IM = (m2; m – 2) ⎯→ IN = (n2; n – 2) ⎯→ ⇒ IN = (4n2; 4n – 8) Lop6.net 2 ⎯→ ⎯→ ⎪⎧m = 4n Vì IM = IN ⇔ ⎨ ⎪⎩m − = 4n − ⎧⎪m = 4n − ⎡n1 = ⇒ m1 = −2 ⇔ ⎨ ⇒⎢ ⎪⎩n − 4n + = ⎣n = ⇒ m2 = ⇒ M1(4; −2), N1(1; 1), M2(36; 6), N2(9; 3) Ví du ( ĐỀ DỰ TRỮKHỐI A –2003) :Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho x2 y2 elip (E): + = M(−2; 3); N(5; n) Viết phương trình các đường thẳng d1, d2 qua M và tiếp xúc với (E) Tìm n để số các tiếp tuyến (E) qua N có tiếp tuyến song song với d1 d2 Giaûi 1) Viết phương trình các đường thẳng qua M tiếp xúc với E x = ± là tiếp tuyến thẳng đứng (E) Vaäy d1 : x = −2 laø tieáp tuyeán cuûa (E) qua M Phương trình tiếp tuyến d qua M(−2; 3) khác dường thẳng x = −2 coù daïng : y – = k(x + 2) ⇔ kx – y + + 2k d tiếp xúc với (E) ⇔ 4k2 + = (3 + 2k)2 ⇔ 4k2 + = + 4k2 + 12k −8 =− ⇔k= 12 y M −2 O x d2 : 2x + 3y – = 2) dễ thấy tiếp tuyến d (E) qua N(5; n) không song song với : x = −2 Do đó d song song với d2 : 2x + 3y – = và qua N(5; n) có hệ số góc : 2 k = − Vaäy d : y = − ( x − ) + n hay 3 10 d: − x−y+ + n = ⇔ −2x – 3y + 10 + 3n = 3 d tiếp xúc với E ⇔ 4(−2)2 + 1.(−3)2 = (10 + 3n)2 ⇔ 3n2 + 20n + 25 = 0⇔ n = – hay n= − n = − : loại vì đó d trùng với d1 Vaäy N(5; −5) *** Lop6.net