Chương I. §3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

 Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một hàm biến t trên miền giá trị của t.. B..[r]

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

§1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số A Tóm tắt lý thuyết

Để tìm giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) hàm số, ta có hai quy tắc sau đây:

1 Quy tắc (Sử dụng định nghĩa) Giả sử f xác định D  Ta có

  max

x D

M f x

 



 

 

0 :

f x M x D

x D f x M

  

  

  



 ; mminx D f x  

 

 

0 :

f x m x D

x D f x m

  

  

  



 .

2 Quy tắc (Quy tắc tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn): Để tìm giá GTLN, GTNN hàm số f xác định đoạn a b;  , ta làm sau:

 B1 Tìm điểm x1, x2, …, xm thuộc khoảng a b;  mà hàm số f có đạo

hàm khơng có đạo hàm

 B2 Tính f x 1 , f x 2 , …, f x m, f a , f b 

 B3 So sánh giá trị tìm bước Số lớn giá trị GTLN f đoạn a b;  ; số nhỏ giá trị GTNN

f đoạn a b;  .

 ;     1  2      

max max , , , m , ,

x a b f x  f x f x  f x f a f b .

 ;      1  2      

min , , , m , ,

x a b f x  f x f x  f x f a f b .

Quy ước. Khi nói đến GTLN, GTNN hàm số f mà không rõ GTLN, GTNN tập

thì ta hiểu GTLN, GTNN tập xác định f B Một số ví dụ

Ví dụ [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN hàm số

2

2 3

1

x x

y

x

 



Giải Ta có

     

   

2 2

2

4 3 2 4

'

1

x x x x x x

y

x x

     

  

   x 0; 2

Lại có y 0 3,  2 17

3

y 

Suy xmin0;2y3, 0;2

17 max

3

x y .

Nhận xét

 f đồng biến a b;  

            ; ; max

x a b

x a b

f x f a f x f b          ;

 f nghịch biến a b;  

            ; ; max

x a b

x a b

f x f b f x f a          .

Ví dụ [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN hàm số y x  4 x2

Giải.TXĐ  2; 2 Ta có

2

2

4 '

4

x x x

y

x x

 

  

  (x  2; 2) Với x  2; 2, ta có

'

y   4 x2  x0  4 x2 x  2

0 x x x     

  x 2.

Vậy

     

   

minymin y 2 ;y ;y min 2;2;2 2 2

, đạt  x2;

     

   

maxymax y 2 ;y ;y min 2; 2; 2 2

, đạt  2.

Ví dụ [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN hàm số

1 x y x  

 đoạn 1; 2.

Giải. Ta có

 

 

2

2

2 2 2

1

1

'

1 1 1

x x x

x x

y

x x x

Với x  1; 2 ta có

Vậy

, đạt ;

, đạt

Ví dụ [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn

Giải. Ta có

Với ta có

( )

Vậy , đạt

     

 

3 2

9 4

maxy max y ;y e ;y e max 0; ;

e e e

 

   

  , đạt  x e 2.

Ví dụ [ĐHD10] Tìm GTNN hàm số y x24x21 x23x10

Giải. xTXÑ 

2

4 21 10

x x

x x

   

 

   



 

3

2

x x    



  

  2 x 5, suy TXÑ=2;5 Ta có

2

2

'

4 21 10

x x

y

x x x x

 

 

'

y   2

2

4 21 10

x x

x x x x

 



        

2

2

4 4 12

4 21 10

x x x x

x x x x

   



     

        

2 2

4  x 3x10 x  4x4  x 4x21 4x  12x9

 51x2104x29 0 

1

x

29 17

x

Thử lại, ta thấy có

1

x

nghiệm y'

 2

y  

, y 5 4,

1

y  

   miny 2, đạt 

1

x C Bài tập

Tìm GTLN, GTNN hàm số 1) y 4 x2 .

2) y x 22x 5 đoạn 2;3 . 3) yx22x4 đoạn 2; 4 . 4) y x 3 3x3 đoạn

3 3;

2

 



 

  .

5)

3

1

2

3

y x  x  x

đoạn 4;0 6) y x 33x2 9x1 đoạn 4; 4. 7) y x 35x 4 đoạn 3;1 . 8) y x 4 8x216 đoạn 1;3 . 9)

1

y x x  

khoảng 0;

10)

1

y x x  

 khoảng 1;.

11)

1

y x x  

nửa khoảng 0; 2

12)

x y

x 

 nửa khoảng 2; 4 . 13)

2

2

2

x x

y

x

 



15) y2sin2x2sinx1. 16) ycos 22 x sin cosx x4. 17) ycos3x 6cos2x9cosx5. 18) ysin3x cos 2xsinx2. 19) y sin 3x 3sin3x

20)

2

2cos cos cos

x

y  

§2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A Nguyên tắc chung

Việc giải toán dạng gồm bước sau:  Xác định ẩn phụ t

 Từ giả thiết, tìm miền giá trị t

 Đưa việc tìm GTLN, GTNN biểu thức cần xét việc tìm GTLN, GTNN hàm biến t miền giá trị t

B Một số ví dụ

Ví dụ Cho x, y0 thỏa mãn x y 4 Tìm GTLN, GTNN S x31 y31 .

Giải. Đặt txy, suy

 2

0

4

x y

t 

  

Ta có

S      

3

3

xy  x y  x y  xy

  

3 4 42 3 1

t    t

t312t 63. Xét hàm  

3 12 63

f t  t t

, với t0; 4 Ta có  

2

' 12

f t  t    t 0; 4  f t  đồng biến 0;4 Do

 0;4    

min 63

t

S f t f



  

, đạt

4

x y xy

 

 



  x y;   4;0 x y;   0; 4

 0;4    

max max 49

t

S f t f



  

, đạt

4

x y xy

 

 



  x y;   2; 2

Ví dụ Cho x, y0 thỏa mãn x2y2 2 Tìm GTLN, GTNN S   x y xy.

Giải.Đặt t  x y  t0 Ta có

 2  

2 2 2 4

t  x y  x y   t2 ,  2

2 2 2 2 2

t  x y x y  xy x y   t 2

Suy t 2; 2 Lại có

Ta có với , , Do

 minS f  2 1, đạt 

2 2

2

x y x y

 

 

 

 

1

x y

  



 .

  

3

max

2

S f 

, đạt  2

1

x y x y

 

 

 

 

1

2

1

2

x y

 

   

 

 

 hoặc

1

2

1

2

x y

 

   

 

 



Ví dụ Cho x, y0 thỏa mãn x2y2 8 Tìm GTLN, GTNN 1

x y

S

y x

 

  .

Giải Đặt t x y, ta có

x y 22x2y2   2 16  t4

,

x y2 x2 y2 2xy x2 y2 8

        t2 2

Suy 2 t 4 Lại có

 2  2 2

8

2

x y x y t

x y       Ta có biến đổi sau

Xét hàm với Ta có

,

Suy nghịch biến Do

+) , dấu xảy Vậy , đạt

+) , dấu xảy

Vậy , đạt

Ví dụ Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN

Giải Đặt

t x y 

2

3

3

4

xy t

t t

   

 

  

 

3

2

xy t

t   



 

 .

Ta có

S     

3 2 1

1

x y x y

x y x y

  



    

     

 

3

3

1

x y xy x y x y xy

xy x y x y

     



    



   

 

3 3 3 2 3

1

3

t t t t t

t t t

    



    

3

2

4

t t

t

t

   

 .

Xét hàm  

3

2

4

t t

f t t

t

    

 , t2;3.

Ta có  

 

2

2

3

'

4

t

f t t

t

    



,  t 2;3  f  1 đồng biến 2;3. Do

    

4

5

S f t f 

Dấu “” xảy 

3

x y xy x y

  

 

 

  x y

, Đạt

, Đạt

Ví dụ Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN

Giải.

Cách 1. Từ giả thiết suy Do đó, đặt

, hay

Ta có , suy

Xét hàm với Ta có , có nghiệm

Ta có ,

Do

 , đạt chẳng hạn

 , đạt

Cách 2. Ta có

2

2

x xy y S

x xy y

 



  .

 Xét y0 Khi S1

 Xét y0 Chia tử mẫu S cho

2

y đặt

x t

y



, ta

2

2

1

1

1

t t t

S

t t t t

 

  

    .

Xét hàm  

2 1 t f t t t  

  , ta có

      2 2 ' t f t t t    

Bảng biến thiên hàm f t :

 

2

lim lim 1

1 1 t t t f t t t                   . Suy ra: +) S 

, đạt

2

1

1

x y

x xy y             1 ; ; 3

x y  

   

1

; ;

3

x y    

 .

+) maxS 3 Đạt khi

2

1

1

x y

x xy y 

  

   

  x y;  1; 1  hoặc x y;   1;1. Ví dụ [ĐHB09] Cho x, y thỏa mãn  

3

4

x y  xy

Tìm GTNN

 4 2  2

3

A x y x y  x y 

Giải Áp dụng bất đẳng thức    

2

2

4

a b ab  a b

 4 2 3 22

4

x y x y  x y

    

2

2 2

9

2

4

A x y  x y  Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức  

2 4xy x y , ta có

x y 3x y 2 2       

1 2

x y   x y  x y   

   x y 1

(do      

2

2 1

x y  x y   x y    x, y).

Đặt tx2y2 

    2 2 x y t

A f t t t

              .

Xét hàm  

2

9

2

f t  t  t ,

1

t

Ta có  

9

'

2

f t  t 

2

t  

 f t  đồng biến trên

1 ;          16

f t f     t   Như 16 S

, dấu “” xảy khi

2

2 x y x y            1 ; ; 2

x y  

   

1

; ;

2

x y    

 . Vậy 16 S

, đạt   

1

; ;

2

x y  

   

1

; ;

2

x y    

 .

Ví dụ [ĐHB12] Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z  0

2 2 1

x y z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x 5y5z5.

Giải. Từ x y z  0 suy z x y , thay z x y  vào đẳng thức thứ hai giả thiết, ta

 2  2  2  2  2

2

1 2

2

x y x y x y xy x y x y x y

            

Do đó, đặt t x y ta có

2

3 2t  

6

;

3

t  

  ,

2

2

2

t xy 

Biến đổi

P  

5 5

x y x y

    x3y3 x2y2 x y x y2 2    x y 5 x y3 3xy x y  x y2 2xy x y x y2 2  x y5

   

         

2

2 2

3 3 2 2 2

2 2

t t t

t t t t t

        

          

       

3

5 t t

 

Xét hàm    

3

5

f t  t  t

, với

6 ; 3

t  

  Ta có    

2

5

'

4

f t  t 

có hai nghiệm

6 6

;

6 3

t   

 

Ta có , , ,

Vậy , đạt chẳng hạn ,

Ví dụ Cho , , thỏa mãn Tìm GTNN biểu thức

Giải Đặt Ta có

Suy

Lại có

,

Xét hàm với Ta có , suy

3

x y z xyz

  

 

 

 

1

x y z  

Ví dụ [ĐHA03] Cho x, y, z0 thỏa mãn x y z  1 Chứng minh rằng:

2 2

2 2

1 1

82

x y z

x y z

     

 1

Giải Xét

1 ;

a x x

 

 

 



,

1 ;

b y y

 

 

 



,

1 ;

c z z

 

 

 



, ta có

1 1 ;

a b c x y z

x y z

 

       

 

  

Từ a b  c  a b c

     

suy

 

2

2 2

2 2

1 1 1

x y z x y z

x y z x y z

 

           

 

Đến ta có hai cách tiếp:

Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có:

,

Do

, với

Ta có

Xét với Ta có

nghịch biến

Cách 2.



   

2

2 1

2 81 x y z 80 x y z

x y z

 

        

 

  1  2

18 x y z 80 x y z

x y z

 

        

  18.9 – 80 82

Từ suy điều phải chứng minh C Bài tập

Bài [ĐHD09] Cho x, y0 thỏa mãn x y 1 Tìm GTLN, GTNN

4 3  4 3  25

S  x  y y  x  xy Bài Cho x, y0 thỏa mãn x y 1 Tìm GTLN, GTNN

1

x y

S

y x

 

  .

Bài Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN

Bài Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN

Bài Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN biểu thức

Bài Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN biểu thức

Bài [ĐHD12] Cho , thỏa mãn Tìm GTNN

Bài [ĐHA06] Cho , thỏa mãn Tìm giá trị lớn

biểu thức

 

2

2

1 2

x xy P

xy y

 

  .

Bài 10 Cho x, y thỏa mãn x2y2xy1 Tìm GTLN, GTNN biểu thức

2 2

S x  xy y .

Bài 11 Cho x, y thỏa mãn 2x2y2 xy1 Tìm GTNN biểu thức

2

Sx y .

Bài 12 Cho x, y, z0 thỏa mãn

3

x y z  

Tìm GTNN biểu thức

1 1

S x y z

x y z

     

Bài 13 [ĐHB10] Cho a, b, c0 thỏa mãn a b c  1 Tìm GTNN biểu thức

 2 2 2   2

3

M  a b b c c a  ab bc ca   a b a Bài 14 Cho x, y, z0 thỏa mãn

3

x y z  

Tìm GTNN biểu thức

5 5

2 2

x y x x y z P

y z z x x y y z x

     