Đang tải... (xem toàn văn)
Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một hàm biến t trên miền giá trị của t.. B..[r]
(1)TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
§1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số A Tóm tắt lý thuyết
Để tìm giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) hàm số, ta có hai quy tắc sau đây:
1 Quy tắc (Sử dụng định nghĩa) Giả sử f xác định D Ta có
max
x D
M f x
0 :
f x M x D
x D f x M
; mminx D f x
0 :
f x m x D
x D f x m
.
2 Quy tắc (Quy tắc tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn): Để tìm giá GTLN, GTNN hàm số f xác định đoạn a b; , ta làm sau:
B1 Tìm điểm x1, x2, …, xm thuộc khoảng a b; mà hàm số f có đạo
hàm khơng có đạo hàm
B2 Tính f x 1 , f x 2 , …, f x m, f a , f b
B3 So sánh giá trị tìm bước Số lớn giá trị GTLN f đoạn a b; ; số nhỏ giá trị GTNN
f đoạn a b; .
; 1 2
max max , , , m , ,
x a b f x f x f x f x f a f b .
; 1 2
min , , , m , ,
x a b f x f x f x f x f a f b .
Quy ước. Khi nói đến GTLN, GTNN hàm số f mà không rõ GTLN, GTNN tập
thì ta hiểu GTLN, GTNN tập xác định f B Một số ví dụ
Ví dụ [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN hàm số
2
2 3
1
x x
y
x
(2)Giải Ta có
2 2
2
4 3 2 4
'
1
x x x x x x
y
x x
x 0; 2
Lại có y 0 3, 2 17
3
y
Suy xmin0;2y3, 0;2
17 max
3
x y .
Nhận xét
f đồng biến a b;
; ; max
x a b
x a b
f x f a f x f b ;
f nghịch biến a b;
; ; max
x a b
x a b
f x f b f x f a .
Ví dụ [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN hàm số y x 4 x2
Giải.TXĐ 2; 2 Ta có
2
2
4 '
4
x x x
y
x x
(x 2; 2) Với x 2; 2, ta có
'
y 4 x2 x0 4 x2 x 2
0 x x x
x 2.
Vậy
minymin y 2 ;y ;y min 2;2;2 2 2
, đạt x2;
maxymax y 2 ;y ;y min 2; 2; 2 2
, đạt 2.
Ví dụ [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN hàm số
1 x y x
đoạn 1; 2.
Giải. Ta có
2
2
2 2 2
1
1
'
1 1 1
x x x
x x
y
x x x
(3)Với x 1; 2 ta có
Vậy
, đạt ;
, đạt
Ví dụ [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn
Giải. Ta có
Với ta có
( )
Vậy , đạt
3 2
9 4
maxy max y ;y e ;y e max 0; ;
e e e
, đạt x e 2.
Ví dụ [ĐHD10] Tìm GTNN hàm số y x24x21 x23x10
Giải. xTXÑ
2
4 21 10
x x
x x
3
2
x x
2 x 5, suy TXÑ=2;5 Ta có
2
2
'
4 21 10
x x
y
x x x x
(4)'
y 2
2
4 21 10
x x
x x x x
2
2
4 4 12
4 21 10
x x x x
x x x x
2 2
4 x 3x10 x 4x4 x 4x21 4x 12x9
51x2104x29 0
1
x
29 17
x
Thử lại, ta thấy có
1
x
nghiệm y'
2
y
, y 5 4,
1
y
miny 2, đạt
1
x C Bài tập
Tìm GTLN, GTNN hàm số 1) y 4 x2 .
2) y x 22x 5 đoạn 2;3 . 3) yx22x4 đoạn 2; 4 . 4) y x 3 3x3 đoạn
3 3;
2
.
5)
3
1
2
3
y x x x
đoạn 4;0 6) y x 33x2 9x1 đoạn 4; 4. 7) y x 35x 4 đoạn 3;1 . 8) y x 4 8x216 đoạn 1;3 . 9)
1
y x x
khoảng 0;
10)
1
y x x
khoảng 1;.
11)
1
y x x
nửa khoảng 0; 2
12)
x y
x
nửa khoảng 2; 4 . 13)
2
2
2
x x
y
x
(5)15) y2sin2x2sinx1. 16) ycos 22 x sin cosx x4. 17) ycos3x 6cos2x9cosx5. 18) ysin3x cos 2xsinx2. 19) y sin 3x 3sin3x
20)
2
2cos cos cos
x
y
(6)§2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A Nguyên tắc chung
Việc giải toán dạng gồm bước sau: Xác định ẩn phụ t
Từ giả thiết, tìm miền giá trị t
Đưa việc tìm GTLN, GTNN biểu thức cần xét việc tìm GTLN, GTNN hàm biến t miền giá trị t
B Một số ví dụ
Ví dụ Cho x, y0 thỏa mãn x y 4 Tìm GTLN, GTNN S x31 y31 .
Giải. Đặt txy, suy
2
0
4
x y
t
Ta có
S
3
3
xy x y x y xy
3 4 42 3 1
t t
t312t 63. Xét hàm
3 12 63
f t t t
, với t0; 4 Ta có
2
' 12
f t t t 0; 4 f t đồng biến 0;4 Do
0;4
min 63
t
S f t f
, đạt
4
x y xy
x y; 4;0 x y; 0; 4
0;4
max max 49
t
S f t f
, đạt
4
x y xy
x y; 2; 2
Ví dụ Cho x, y0 thỏa mãn x2y2 2 Tìm GTLN, GTNN S x y xy.
Giải.Đặt t x y t0 Ta có
2
2 2 2 4
t x y x y t2 , 2
2 2 2 2 2
t x y x y xy x y t 2
Suy t 2; 2 Lại có
(7)Ta có với , , Do
minS f 2 1, đạt
2 2
2
x y x y
1
x y
.
3
max
2
S f
, đạt 2
1
x y x y
1
2
1
2
x y
hoặc
1
2
1
2
x y
Ví dụ Cho x, y0 thỏa mãn x2y2 8 Tìm GTLN, GTNN 1
x y
S
y x
.
Giải Đặt t x y, ta có
x y 22x2y2 2 16 t4
,
x y2 x2 y2 2xy x2 y2 8
t2 2
Suy 2 t 4 Lại có
2 2 2
8
2
x y x y t
x y Ta có biến đổi sau
Xét hàm với Ta có
,
Suy nghịch biến Do
+) , dấu xảy Vậy , đạt
(8)+) , dấu xảy
Vậy , đạt
Ví dụ Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN
Giải Đặt
t x y
2
3
3
4
xy t
t t
3
2
xy t
t
.
Ta có
S
3 2 1
1
x y x y
x y x y
3
3
1
x y xy x y x y xy
xy x y x y
3 3 3 2 3
1
3
t t t t t
t t t
3
2
4
t t
t
t
.
Xét hàm
3
2
4
t t
f t t
t
, t2;3.
Ta có
2
2
3
'
4
t
f t t
t
, t 2;3 f 1 đồng biến 2;3. Do
4
5
S f t f
Dấu “” xảy
3
x y xy x y
x y
, Đạt
(9), Đạt
Ví dụ Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN
Giải.
Cách 1. Từ giả thiết suy Do đó, đặt
, hay
Ta có , suy
Xét hàm với Ta có , có nghiệm
Ta có ,
Do
, đạt chẳng hạn
, đạt
(10)Cách 2. Ta có
2
2
x xy y S
x xy y
.
Xét y0 Khi S1
Xét y0 Chia tử mẫu S cho
2
y đặt
x t
y
, ta
2
2
1
1
1
t t t
S
t t t t
.
Xét hàm
2 1 t f t t t
, ta có
2 2 ' t f t t t
Bảng biến thiên hàm f t :
2
lim lim 1
1 1 t t t f t t t . Suy ra: +) S
, đạt
2
1
1
x y
x xy y 1 ; ; 3
x y
1
; ;
3
x y
.
+) maxS 3 Đạt khi
2
1
1
x y
x xy y
x y; 1; 1 hoặc x y; 1;1. Ví dụ [ĐHB09] Cho x, y thỏa mãn
3
4
x y xy
Tìm GTNN
4 2 2
3
A x y x y x y
Giải Áp dụng bất đẳng thức
2
2
4
a b ab a b
(11) 4 2 3 22
4
x y x y x y
2
2 2
9
2
4
A x y x y Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức
2 4xy x y , ta có
x y 3x y 2 2
1 2
x y x y x y
x y 1
(do
2
2 1
x y x y x y x, y).
Đặt tx2y2
2 2 x y t
A f t t t
.
Xét hàm
2
9
2
f t t t ,
1
t
Ta có
9
'
2
f t t
2
t
f t đồng biến trên
1 ; 16
f t f t Như 16 S
, dấu “” xảy khi
2
2 x y x y 1 ; ; 2
x y
1
; ;
2
x y
. Vậy 16 S
, đạt
1
; ;
2
x y
1
; ;
2
x y
.
Ví dụ [ĐHB12] Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z 0
2 2 1
x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x 5y5z5.
Giải. Từ x y z 0 suy z x y , thay z x y vào đẳng thức thứ hai giả thiết, ta
2 2 2 2 2
2
1 2
2
x y x y x y xy x y x y x y
Do đó, đặt t x y ta có
2
3 2t
6
;
3
t
,
2
2
2
t xy
Biến đổi
P
5 5
x y x y
x3y3 x2y2 x y x y2 2 x y 5 x y3 3xy x y x y2 2xy x y x y2 2 x y5
(12)2
2 2
3 3 2 2 2
2 2
t t t
t t t t t
3
5 t t
Xét hàm
3
5
f t t t
, với
6 ; 3
t
Ta có
2
5
'
4
f t t
có hai nghiệm
6 6
;
6 3
t
Ta có , , ,
Vậy , đạt chẳng hạn ,
Ví dụ Cho , , thỏa mãn Tìm GTNN biểu thức
Giải Đặt Ta có
Suy
Lại có
,
Xét hàm với Ta có , suy
(13)3
x y z xyz
1
x y z
Ví dụ [ĐHA03] Cho x, y, z0 thỏa mãn x y z 1 Chứng minh rằng:
2 2
2 2
1 1
82
x y z
x y z
1
Giải Xét
1 ;
a x x
,
1 ;
b y y
,
1 ;
c z z
, ta có
1 1 ;
a b c x y z
x y z
Từ a b c a b c
suy
2
2 2
2 2
1 1 1
x y z x y z
x y z x y z
Đến ta có hai cách tiếp:
Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có:
,
Do
, với
Ta có
Xét với Ta có
nghịch biến
(14)Cách 2.
2
2 1
2 81 x y z 80 x y z
x y z
1 2
18 x y z 80 x y z
x y z
18.9 – 80 82
Từ suy điều phải chứng minh C Bài tập
Bài [ĐHD09] Cho x, y0 thỏa mãn x y 1 Tìm GTLN, GTNN
4 3 4 3 25
S x y y x xy Bài Cho x, y0 thỏa mãn x y 1 Tìm GTLN, GTNN
1
x y
S
y x
.
Bài Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN
Bài Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN
Bài Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN biểu thức
Bài Cho , thỏa mãn Tìm GTLN, GTNN biểu thức
Bài [ĐHD12] Cho , thỏa mãn Tìm GTNN
Bài [ĐHA06] Cho , thỏa mãn Tìm giá trị lớn
biểu thức
(15)
2
2
1 2
x xy P
xy y
.
Bài 10 Cho x, y thỏa mãn x2y2xy1 Tìm GTLN, GTNN biểu thức
2 2
S x xy y .
Bài 11 Cho x, y thỏa mãn 2x2y2 xy1 Tìm GTNN biểu thức
2
Sx y .
Bài 12 Cho x, y, z0 thỏa mãn
3
x y z
Tìm GTNN biểu thức
1 1
S x y z
x y z
Bài 13 [ĐHB10] Cho a, b, c0 thỏa mãn a b c 1 Tìm GTNN biểu thức
2 2 2 2
3
M a b b c c a ab bc ca a b a Bài 14 Cho x, y, z0 thỏa mãn
3
x y z
Tìm GTNN biểu thức
5 5
2 2
x y x x y z P
y z z x x y y z x