Tìm lời giải các bài toán bất đẳng thức, giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất nhờ dự đoán dấu bằng

TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, GTLN – GTNN NHỜ DỰ ĐOÁN DẤU BẰNG Lê Anh Dũng G/v THPT chuyên Huỳnh Mẫn Đạt – Kiên Giang Các em h/s và các bạn thân mến, trong các đề thi TSĐH thư[r]

TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, GTLN – GTNN NHỜ DỰ ĐOÁN DẤU BẰNG Lê Anh Dũng (G/v THPT chuyên Huỳnh Mẫn Đạt – Kiên Giang) Các em h/s và các bạn thân mến, các đề thi TSĐH thường có câu V là câu khó (để chọn các cao thủ võ lâm) câu này năm gần đây thường cho dạng các bài toán BĐT Và thường thì các sĩ tử không biết đâu để giải nó Bài viết này tôi truyền đạt cho các bạn “tuyệt chiêu” võ công độc đáo (chỉ cần chiêu thôi) Sau học “tuyệt chiêu” này các bạn thấy các vấn đề trở nên đơn giản Để lĩnh hội “tuyệt chiêu” mà tôi tổng hợp từ vô số các chiêu thức các môn phái khác thì trước tiên các bạn phải nắm số “chiêu thức” đã Bất Đẳng thức Côsi (các chiêu này xem “Đại số 10”) a Bất Đẳng thức Cauchy cho số : Cho số a, b ≥ Khi đó: a + b ≥ ab Dấu ‘=’ xảy a = b b Bất Đẳng thức Cauchy cho số : Cho số a, b, c ≥ Khi đó ta có: a + b + c ≥ 3 abc Dấu ‘=’ xảy a = b = c Nhận dạng: + Tìm nhỏ tổng biết tích + Tìm lớn tích biết tổng, tổng bình phương + Chứng minh tổng lớn tích, tích chia tổng (tổng bình phương, ) + Dùng nhập các tổng, tổng nghịch đảo, thành Các BĐT liên quan hay dùng : a2 + b2 ≥ 2ab a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc Dấu ‘=’ a = b = c 3 a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c)2 ≥ ab + ac + bc Dấu ‘=’ xảy a = b = c a b Với a, b > Ta có : (a + b)( + ) ≥ Dấu ‘=’ xảy a = b (hay : a b 1 + ≥ ) a b a+ b c Với a, b, c > Ta có : (a + b + c)( + + ) ≥ Dấu ‘=’ xảy a = b = c (hay : 1 + + ≥ ) a b c a+ b + c Ý nghĩa các bất đẳng thức 4, là cho phép ta nhập các phân số thành đó thuận lợi cho việc xét hàm với ẩn Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki –BĐT Trị Tuyệt Đối : Trong chương trình thi Đại Học chúng ta áp dụng BĐT Cauchy cho và số không âm và bất đẳng thức Bunhiacopxki cho cặp số a1 b1 + a2 b2 ≤ (a12 + a22 )(b12 + b22 ) Dấu ‘=’ xảy a1 a2 = (Nếu bỏ dấu b1 b2 thì cần thêm ≥ nữa) b Nhận dạng: + Tổng các cặp số có tích không đổi + Tổng bình phương số không đổi LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG Lop10.com PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com c Ứng dụng + Nhập các tổng bình phương thành Khảo sát hàm số Trên đây là các vấn đề mà Đại Hội Anh Hùng thường để chọn cao thủ Hi vọng các sĩ tử nắm các chiêu thức này để lĩnh hội cho tốt Khi tìm GTNN, GTLN các em thường mắc phải sai lầm phổ biến việc tìm giá trị biến các điểm đạt max, đó là : thực liên tiếp nhiều bước đánh giá dấu ‘=’ bước là không đó không có dấu ‘=’ để xảy đẳng thức cuối Xét bài toán: Tìm GTLN f(x) = sin5x + cosx, có bạn đã giải sau: π Chỉ cần xét x ∈ [0 ; ].Ta có:sin5x Mặt khác : sinx + cosx = 2sin(x + ≤ sinx suy : f(x) ≤ sinx + cosx π )≤ Vậy f(x)max = Nhận xét : bài giải trên sai (bài giải đúng xem dưới) đã vướng sai lầm tìm dấu ‘=’ f(x) không thể đạt giá trị vì để tới BĐT cuối chúng ta đã thực phép biến đổi : + lần 1: sin5x ≤ sinx ; dấu ‘=’ x = 0, π /2 + lần 2: 2sin(x + π / ) ≤ ; dấu ‘=’ x= π / Như vậy, thực bước biến đổi ta thường tự đặt câu hỏi: + Khi thực các bước biến đổi thì liệu dấu ‘=’ có đạt bước cuối cùng không ? + Đánh giá nào để có thể đưa vế còn lại hay không ? Mặc dù bài toán có thể thực liên tiếp nhiều bước biến đổi để dấu ‘=’ đạt thì bước dấu ‘=’ phải giống dấu ‘=’ đẳng thức cuối cùng Vậy thì ta không dự đoán trước dấu ‘=’ BĐT (hoặc giá trị mà đó biểu thức đạt max, min) từ đó định hướng phương pháp đánh giá ? Đây là cách phân tích tìm lời giải mà tôi muốn giới thiệu Để có hướng suy nghĩ đúng chúng ta thực các bước phân tích sau: I.Phân tích –tìm lời giải: 1.Dự đoán dấu ‘=’ BĐT hay các điểm mà đó đạt GTLN, GTNN 2.Từ dự đoán dấu “=”, kết hợp với các BĐT quen thuộc dự đoán phép đánh giá Mỗi phép đánh giá phải đảm bảo nguyên tắc “dấu ‘=’ xảy bước này phải giống dấu ‘=’ dự đoán ban đầu” Để làm rõ, tôi xin phân tích cách suy nghĩ tìm lời giải vài ví dụ sau: II Các thí dụ: Thí dụ 1: (ĐH 2003-A) Cho x, y, z > thỏa mãn : x + y + z ≤ Cmr: P= x2 + 1 + y + + z + ≥ 82 x y z Phân tích: B1 Dự đoán dấu ‘=’: x = y = z = 1/3 LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG Lop10.com PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com B2 Để làm dấu căn, ta có thể suy nghĩ theo hướng: dấu số hạng nhập dấu số hạng thành Nếu suy nghĩ theo hướng dấu số hạng ta dùng BĐT Bunhiacopxki: + x2 x2 + dạng tổng hai bình phương và dấu lệ : = : 9 82 ≥ + + + x+ x y z ‘=’ dự đoán ban đầu là x = còn lại cần điền có tỉ và cộng lại, ta được: P )([?] + [?]) ≥ Dấu x2 1/ x ? ‘=’ đánh giá BĐT BCS là = Như số x ? Ta : (x + )(12 + ) ≥ x + Tương tự với y, z x x → BĐT BCS → ta cần tìm: (x + y+ z + Vế phải là tổng các phân sốquen (BĐT Côsi ) → 1 + + ≥ x y z x+y+z (Dấu ‘=’ đảm bảo) (với t = x + y + x (0 < t t+ 81 ≥ 18 t ≤ ) → 82 P ≥ x + y + z + 81 81 = f (t ) = t + x+y+z t Khảo sát hàm ta đpcm (Tới đây có em dùng BĐT Côsi không thu kết vì đã vi phạm nguyên tắc dấu ‘=’) Nếu suy nghĩ theo hướng nhập các dấu căn: + Ở dấu là dạng bình phương → tổng độ dài ba vectơ + Dự đoán dấu ‘=’ x = y = z = Khi đó vectơ u= (x ; x ), v = (y ; y ) và w= (z ; ) z cùng hướng tức đẳng thức sau xảy : P = 1 u + v + w ≥ u + v + w = (x + y + x ) + ( + + ) x y z + Tới đây thực các bước phân tích Khi thay kiện x + y + z ≤ kiện khác, chẳng hạn: x + y + z ≤ thì vế phải bài toán nào ? Thí dụ 2: (DBĐH - 2003) Tìm GTNN, GTLN : P = sin5x + cosx Phân tích: Ta thấy P chứa ẩn x suy nghĩ đầu tiên ta thường là dùng đạo hàm Thử đạo hàm : f’(x) = 5sin4x.cosx – x + Chúng ta thấy có nghiệm là sinx = các nghiệm còn lại ta không thể tìm Như hướng giải đạo hàm trực tiếp là không khả thi Nhưng qua đây cho ta có dự đoán các điểm mà đó đạt NN, LN là các điểm làm sinx = 0.(thường thì các điểm đạt max, là các điểm tới hạn hàm số) + Từ điều này, ta biến đổi và sử dụng các bất đẳng thức để đánh giá phải luôn luôn có dấu ‘=’ các điểm làm sinx = + Muốn đưa ẩn t, ta đặt t = cosx, sin5x không chuyển t → đánh giá sin5x để hạ bậc (sin2x, sin4x, thì đưa t = cosx được) Phải đánh giá nào để dấu ‘=’có sinx = → sin5x ≤ sin4x → Khi đó : sin4x = (1 – t2)2 f(x) ≤ g(t) = (1 – t2)2 + t , t ∈ [-1 ; 1] LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG Lop10.com PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com + g’(t) = - 4t(1 – t2) → hàm bậc ta không nhẩm nghiệm (thử bấm máy xem có nghiệm [-1 ; 1] → không có nghiệm → g’(t) mang dấu) đánh giá g’(t) để chứng minh g’(t) có dấu → dùng BĐT đạo hàm : + g”(t) = 12t2 – 4, g’’(t) = ⇔ t = ±1/ Lập BBT để ý g’( ± 1), g’( ± 1/ ) > ⇒ g’(t) > 0, ∀t ∈ [ −1;1] Suy : max g(t) = g(1) (vẫn đảm bảo dấu ‘=’ trên) Thí dụ 3: (ĐH 2004-A) Cho tam giác không tù ABC, thỏa mãn điều kiện: cos2A + 2 cosB + 2 cosC = Tính các góc tam giác ABC Phân tích: Bài toán yêu cầu tính góc đó cho đẳng thức ràng buộc có cách dùng BĐT để đánh giá vế lớn vế còn lại + Dự đoán dấu ‘=’: B = C = 450 và A = 900 (B, C đối xứng nên dự đoán B = C, hệ số cosB là từ đây dự đoán B = 450 thử vào thấy thỏa.) + Ta thực biến đổi biểu thức quen thuộc : cosB + cosC = 2cos B − C cos B + C , với dự đoán B = C thì cos B − C = 1, ta có thể B−C cosC = 2cos sin A ≤ sin A 2 + Vậy : cos2A + sin A − ≥ 2 đánh giá cosB + cosC để chuyển ẩn : cosB + Đây là bài toán ẩn ta có thể H1: Đặt t = sin A (t ∈ (0 ; f(t)=(2(2t2 – 1)2–1) + f’(t)=32t3–16t + có nghiệm → f’(t) 2t ]) chuyển –1= 8t4 –8t2 +4 → không 2t -1 ] thấy không ≥ , ∀t ⇒ f(t) ≤ f ( ) =3( giải nghiệm (bấm máy tìm nghiệm t ∈ (0 ; có dấu ) → f”(t) lập BBT suy f’(t) bài toán thường gặp lớp 12) H2: Đánh giá cos2A để giảm bớt bậc, có thể phân tích theo hướng : cos2A = 2cos2A – 1.Với dự đoán dấu ‘=’ A = 900 trên, ta có thể đánh giá cos2A nào?Đánh giá :cos2A ≤ cosA (để đảm bảo dấu ‘=’ xảy A = 900) + Thu : cosA + hay: –2sin2 A + sin Suy ra: − ( sin sin A −3≥ A −4 ≥ 2 A A − 2) ≥ ⇒ sin = → 2 Thí dụ 4: (ĐH Mỏ Địa Chất - 99) Giả sử A, B, C là góc tam giác Tìm GTNN : P= 1 + + + cos2A + cos2B − cos2C Phân tích: + Dự đoán điểm đạt GTNN: thử số giá trị đặc biệt và dự đoán A = B (A, B đối xứng) LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG Lop10.com PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 150 A,B P 4+ + 300 450 600 6/5 4/3 26/15 Vậy dự đoán A = B= 30 , C = 120 + Với giá trị dự đoán ta để ý : + cos2A = + cos2B = – cos2C, và cần đánh giá ≥ Điều này trùng với cách nhập các phân số trongBĐT Côsi : + Vậy : P ≥ = + cos2A + cos2B − cos2C Q + Mục tiêu bây là chứng minh: R = cos2A + cos2B – cos2C ≤ 3/2 (giá trị điểm dự đoán, chiều ≤ để đảm bảo Q ≥ 6/5) + Biểu thức R chứa tổng quen thuộc tam giác : cos2A + cos2B = 2cos(A – B).cos(A + B) = - 2cos(A – B) cosC và cos2C = 2cos2C – Vậy : R = - 2cos(A – B).cosC – 2cos2C + + Tới đây, có suy nghĩ : H1 : Khi A = B = 300 xảy thì cos(A – B) = và cosC = − 1 = − cos(A − B) 2 Tỉ lệ này giống tỉ lệ phân tích thành bình phương biểu thức R Ta thử phân tích: R = - 2(cosC + cos(A − B) ) + + cos2(A – B) ≤ Đây là mục tiêu cần tới H2 : Đánh giá R đưa ẩn Theo dự đoán thì cos(A – B) = xảy Vậy ta có đánh giá quen thuộc : cos(A – B) ≤ Nếu nhân cosC vào vế ta gặp sai lầm vì chưa biết dấu cosC Ta tránh cách : - cos(A – B).cosC ≤ cos(A − B) cosC ≤ cosC (dấu ‘=’ đạt các điểm dự đoán.) Vậy : R ≤ -2cos2C + cosC + 1= -( cosC − )2 + ≤ (hoặc xét hàm ) 2 Thí dụ 5: (ĐHSP Hà Nội – 99) Cho x, y, z ∈ [0 ; 1] Chứng minh : 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ Phân tích: + Dự đoán dấu ‘=’: hai số 1còn số x = y = z = + Với dự đoán trên làm nào để xuất vế trái ? Để làm xuất x2y ta thử xét tích : ( 1- x2)(1 - y) ≥ (đảm bảo dấu ‘=’ dự đoán) hay : x2y + – x2 – y ≥ Thực tương tự trên ta có : y2z + – y2 – z ≥ z2x + – z2 – x ≥ + Nếu cộng vế ta gần bđt cần chứng minh, thay 2(x3 + y3 + z3) tổng : x2 + y2 + z2 + x + y + z Với giả thiết x, y, z ∈ [0 ; 1] thì ta có thể so sánh các lũy thừa với bậc khác nhau, đó có thể so sánh hai tổng trên: x3 ≤ x2 ≤ x ; y3 ≤ y2 ≤ y và z3 ≤ z2 ≤ z Cộng các bđt ta đích cần phải tới Thí dụ 6: (ĐH- A- 2005) LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG Lop10.com PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Cho : x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 + + = x y z Chứng minh 1 + + ≤1 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Phân tích: + Dự đoán dấu ‘=’ x = y = z = ¾ + Với dự đoán đó thì 2x = y + z, x+ z = 2y, x + y = 2z ; phân số vế phải bây giống vế phải BĐT nhập phân số quen thuộc thức thứ chiêu “Côsi” 1 1 1 1 1 1 ≤ ( + ); ≤ ( + ); ≤ ( + ) 2x + y + z 2x y + z x + 2y + z 2y x + z x + y + 2z 2z y + x đoán x = y =z ta có thể đánh giá : ≤ ( + ); cộng các BĐT này ta x+y x y + Đánh giá: + Với dự đpcm Thí dụ 7: Cho x, y, z > thỏa mãn xyz = Chứng minh : + x + y3 + y + z3 + x + z3 + + ≥3 xy xz yz Phân tích: + Dự đoán dấu “=” : x = = = z = + Với dự đoán này thì = x3= y3, phân số ta thấy có dạng tổn chia tích, ta dùng Côsi để đánh giá tổng đưa tích: + x + y3 3xy ≥ = xy xy xy + x3 + y3 ≥ 3 x y = 3xy ⇒ + y3 + z3 ≥ Suy : VT zy ; + z3 + x ≥ ≥ xy + yz + zx zx + Kết hợp với giả thiết và với dự đoán dấu ‘=’thì BĐT Côsi, đó dùng BĐT Côsi ta được: VT ≥ xy + yz + zx ≥ 33 xy yz zx = 33 xy = yz = zx Điều này trùng với dấu hiệu ( )3 =3 xyz Qua các ví dụ trên chúng ta thấy tầm quan trọng việc đánh giá, dự đoán dấu ‘=’xảy các BĐT.Ngoài việc tránh cho ta sai lầm thường gặp quá trình tìm GTNN, GTLN thì việc dự đoán dấu ‘=’còn cho chúng ta định hướng phương pháp chứng minh(các cách đánh giá là hoàn toàn tự nhiên không phải ‘từ trên trời rơi xuống’).Xin mời các em vận dụng vào các bài tập sau: III.Bài tập đề nghị: 1> Tính các góc tam giác ABC biết : + 3cosC + cos2C C - + sin + cosA cosB 2 2 a sin2A + sin2B + 2sinAsinB = b cosA+cosB – cosC= 2>Tìm GTNN : P = 3sinx + 8cos7x 3> Cho x, y, z > Chứng minh : 3x + 2y + 4z ≥ xy + yz + zx LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG Lop10.com PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com a b c 3 + + ≥ 2 b +c a +c a +b      ≥ 27 1 + 1 + 1 + cosA  cosB  cosC   4> Cho a, b, c > thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh: 5> Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh: 6> Cho số x, y, z > cho xy + yz + zx = xyz Chứng minh : 7> (ĐH 2x + y xy + 2y + z yz + 2z2 + x ≥ zx – A- 2005) Cho x, y, z > thỏa mãn : 1 + + =4 x y z Chứng minh : 1 + + ≤1 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z 8> (ĐH – D – 2005) Cho x, y, z > thỏa : xyz=1 Cmr: + x3 + y3 xy + + y + z3 yz + + z3 + x ≥3 zx Trên đây là số nhiều cách suy nghĩ và dĩ nhiên nó giải vài dạng BĐT cụ thể mà thôi Nhân đây tôi xin chân thành cảm ơn Th.S Nguyễn Quốc Luận đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu giúp tôi hoàn thành bài viết này Rất mong trao đổi các bạn Địa E-mail : rubidragon2005@yahoo.com LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG Lop10.com PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG Lop10.com PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com