CHỦ ĐỀ : Haøm soá lieân tuïc & CH ỨNG MINH PHƯƠNG. TRÌNH CÓ NGHIỆM TRÊN KHOẢNG (a;b)[r]
(1)
CHỦ ĐỀ : Hàm số liên tục & CHỨNG MINH PHƯƠNG
TRÌNH CĨ NGHIỆM TRÊN KHOẢNG (a;b)
1 Hàm số liên tục điểm:y = f(x) liên tục x0 0 lim ( ) ( )
x x f x f x
LOẠI 1 LOẠI 2
DẠNG 1:
1
2
, ( )
,
f x x x
f x
f x x x
DẠNG :
1
2
, ( )
,
f x x x
f x
f x x x
(*) dạng khác có dấu( ; ; ; PHƯƠNG PHÁP
Tìm tập xác định Tính f(x0).
Tính
lim ( )
x x f x So saùnh
lim ( )
x x f x với f(x 0)
+ Nếu
0
lim ( ) ( )
x x f x f x hàm số liên tục x 0
+ Nếu
0
lim ( ) ( )
x x f x f x hàm số gián đoạn ( không liên tục) x0
PHƯƠNG PHÁP Tìm tập xác định Tính f(x0).
Tính
0 0 lim ( ), lim ( )
x x f x x x f x
So saùnh
0 0 lim ( ), lim ( )
x x f x x x f x với f(x 0)
+ Nếu
0
0 x xlim ( ) x xlim ( )
f x f x f x
hàm số liên tục x0
+ Nếu
0
0 x xlim ( ) x xlim ( )
f x f x f x
hàm số
gián đoạn ( không liên tục) x0
Lưu ý: Hàm số gián đoạn giá trị
0 0 lim ( ), lim ( )
x x f x x x f x , f(x
0) không
2 Hàm số đa thức
1
1
n n
n n
f x a x a x a
liên tục R.
Hàm số phân thức
1
1
1
1
n n
n n
m m
m m
a x a x a
f x
b x b x b
, hàm số lượng giác liên tục từng
khoảng xác định chúng.
3. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục điểm x0 Khi đó:
Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) lieân tục x0.
Hàm số y =
( ) ( ) f x
g x liên tục x0 g(x0) 0.
(2)
4. Neáu y = f(x) liên tục [a; b] f(a).f(b) < 0 tồn số c (a; b): f(c) =
0.
Chứng minh phương trình có nghiệm (a;b)
+ Đặt f(x)=……….
+ ChỈ y = f(x) liên tục [a; b]
+ Tính f(a, f(b) f(a) f(b)< 0
c a b; sao cho f c( ) 0 ( hay c nghiệm phương trình f(x) = 0)
Thì phương trình f(x) = có nghiệm c (a; b).
Bài tập:
Bài 1: Xét tính liên tục hàm số điểm ra:
a)
3 1
( ) 1
1
x khi x
f x x taïi x
khi x
b)
3 1
1
( )
1 1
4
x khi x
x
f x taïi x
khi x
c)
2
2
2 2
( ) 3 2
1
x x x khi x
f x x x taïi x
khi x d)
5 5
( )
( 5)
x khi x
f x x taïi x
x khi x
e)
1 cos
( )
1
x x
f x taïi x
x khi x
f)
1 1
( ) 2 1
2
x khi x
f x x taïi x
x khi x
g)
2
4
1
( ) 1
1
x x
khi x
f x x
khi x
h)
2 4 2
( ) 2
2
x x khi x
f x x
khi x x
i)
3 2 2
1
( ) 1
4
x x x
khi x
f x x
khi x
Bài 2: Tìm m, n để hàm số liên tục điểm ra:
a)
2 1
( )
2x khi x
f x taïi x
mx khi x
b)
3 2 2
1
( ) 1
3
x x x khi x
f x x taïi x
x m khi x
c)
2 6
( ) 0, 3
( 3)
3
m khi x x x
f x khi x x tại x và x x x
n khi x
(3)
d)
2 2
2
( ) 2
2
x x khi x
f x x taïi x
m khi x
e) 2 1
( )
1
x
khi x
f x x
m x khi x
taïi x = 1 f)
2 2
( )
3
mx khi x
f x
khi x
taïi x = 2
g) 2 1
( )
1
x
khi x
f x x
m x khi x
taïi x = 1
Bài 3: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định chúng:
a) 3 1 ( ) 1
x x khi x x f x khi x b)
2 3 4 2
( )
2
x x khi x
f x khi x
x khi x
c) 4
( ) 2
4
x khi x
f x x
khi x d) 2
( ) 2
2 2
x khi x
f x x
khi x
Bài 4: Tìm giá trị mđể hàm số sau liên tục tập xác định chúng:
a)
2 2
2
( ) 2
2
x x khi x
f x x
m khi x
b) 1
( )
1
x x khi x
f x khi x
mx khi x
c)
3 2 2
1
( ) 1
3
x x x khi x
f x x
x m khi x d)
2 1
( )
2x khi x
f x
mx khi x
f) 6
( ) ( 3)
2
x x
khi x
f x x x
mx khi x
g)
33 2 2
2 ( ) x khi x x f x
mx khi x
h)
4
( )
2
x khi x
f x
m x
i) 2 ( )
(1 )
ax khi x
f x
a x x
k) 2 2
( ) 2
1
x x
khi x
f x x x
mx m khi x
Bài 5: Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt:
(4)
a) x3 3x 1 b) x36x29x 1 c) 2x6 13 x 3 Bài 6: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm:
a) x5 3x 3 0 b) x5 x 0 c) x4x3 3x2 x d) x4 – 3x + = Bài 7: Chứng minh phương trình: x5 5x34x 0 có nghiệm (–2; 2). Bài 8: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với giá trị tham
soá:
a) m x( 1) (3 x 2) 2 x 0 b) x4 mx2 2mx 0
c) a x b x c( )( )b x c x a( )( )c x a x b( )( ) 0
d) (1 m2)(x1)3x2 x 0 e) cosx m cos2x 0
f) m(2 cosx 2) 2sin 5 x1 g) x3 – 3mx2 +4(m-2)x + – m = 0
Bài 9: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm:
a) ax2 bx c 0 với 2a + 3b + 6c = 0 b) ax2bx c 0 với a + 2b + 5c = 0
c) x3ax2bx c 0
Bài 10: Chứng minh phương trình: ax2 bx c 0 ln có nghiệm x 0;
3 với
a vaø 2a + 6b + 19c =