Sè nguyªn tè ®îc nghiªn cøu tõ nhiÒu thÕ kû tríc c«ng nguyªn, nhng cho ®Õn nay nhiÒu bµi to¸n vÒ sè nguyªn tè vÉn cha ®îc gi¶i quyÕt trän vÑn, c¸c nhµ to¸n häc còng cha t×m ®îc mét d¹ng[r]
(1)Số nguyên tố đợc nghiên cứu từ nhiều kỷ trớc công nguyên, nhng nhiều toán số nguyên tố cha đợc giải trọn vẹn, nhà toán học cha tìm đợc dạng tổng quát số nguyên tố, mà việc nhận biết số có số ngun tố hay khơng phức tạp Nhng việc sử dụng số nguyên tố số học lại cần thiết, đặc biệt việc bồi d ỡng học sinh giỏi Qua tham khảo, học hỏi thử nghiệm tơi có số khái qt số nguyên tố ứng dụng việc bồi dỡng học sinh giỏi Rất mong đợc tham khảo, góp ý đồng nghiệp
A : Nội dung
I) Khái niệm số nguyên tố
1.Định nghĩa :
Số nguyên tố số tự nhiên lớn có hai ớc Hợp số số tự nhiên lớn có nhiỊu h¬n íc
Số tự nhiên lớn khơng số ngun tố số hợp số N = { 0; } U P U A
Trong P tập hợp số nguyên tố , A tập hợp hợp hợp số * Nhận xét:
+ p số nguyên tố p > 1; q\ p ⇒ q = hc q = p
+ a hợp số a > vµ ∃ q cho q\a ; 1< q < a
+ Số số nguyên tố chẵn nhất, số nguyên tố lớn số lẻ Dựa vào nhận xét trên, học sinh dễ dàng nhận biết đợc số số
nguyên tố hay hợp số số trờng hợp đơn giản Ví dụ : Chứng tỏ số sau hợp số
a) A = 31111411111 b) B = 7.9.11.13.15 -17 c) C = 7.19.23.29 - 14
*Híng dÉn gi¶i
a) A=31111411111 =31111100000 +311111 = 311111 ( 100000 + ) = 311111 100001
⇒A ⋮ 311111 , mµ A > 311111 A hợp số
b) B = 7.9.11.13.15 - 17
Ta cã tÝch 7.9.11.13.15 lµ số lẻ B =7.9.11.13.15 - 17 số chẵn ,
mà B > B hỵp sè
c ) C = 7.19.23.29 - 14
Ta chøng minh C⋮ mµ C > C hợp số
(2)Chứng minh: Giả sử a N; a > 1; p íc nhá nhÊt kh¸c cđa a; p > ta chứng minh p số nguyên tố
Giả sử p không số nguyên tố p hỵp sè ⇒ ∃ q N cho < q < p; q\p
mµ p\a ⇒ q\a
VËy ∃ q; < q < p; q\a tr¸i với giả thiết p ớc nhỏ khác a p
phải số nguyên tố
* HƯ qu¶:
Mọi số tự nhiên lớn có ớc ngun tố
3
Định lý Ơclít: Có vô sè sè nguyªn tè
Chứng minh: Tồn số nguyên tố khác n số nguyên tố cho Giả sử P1; P2 ; ; Pn n số nguyên tố biết
XÐt sè A = P1 P2 Pn + >
Suy tồn số nguyên tố P cho P íc cña A + NÕu P = Pi; i = 1;2; ; n
Suy P\P1P2 Pn
Mà P\ A suy P\1 ( Điều vô lý) P phải số nguyên tố Vậy P Pi Do tồn số nguyên tố khác n số nguyên tố cho
VËy cã v« sè sè nguyên tố hay tập số nguyên tố tập vô hạn
iI) Sàng Ơratôxten:
( Thut toỏn tìm tất số ngun tố khơng vợt q số tự nhiên n đó)
1 Bổ đề: Mỗi hợp số a có ớc nguyên tố nhỏ √a Chứng minh: Giả sử P ớc nhỏ khác a ⇒ P số nguyên tố
P\a ⇒ a = P q ⇒ q\a ; q > ( v× nÕu q = ⇒ a = P, điều vô lý a hợp số
còn P số nguyên tố )
Vậy q P ⇒ a = P.q P2 ⇒ P √a ( Điều cần chứng minh)
* H qu : Nêú số tự nhiên n > khơng có ớc nguyên tố từ đến bậc hai n n số nguyên tố
VÝ dụ: Số 113 có số nguyên tố hay không
Các số nguyên tố nhỏ 113 2; 3; 5;
113 không chia hết cho hc hc hc vËy 113 không số nguyên tố
2 Sàng Ơratôxten:
Cách tìm tất số nguyên tố khoảng
+ Ta biết số tự nhiên từ đến n gạch số khơng phải số ngun tố số cịn lại số nguyên tố
(3)- Gạch số
- Số số nguyên tố gạch bội
- Số không bị gạch số số số nguyên tố; gạch bội
- Số số không bị gạch ( sau bớc 2) số số nguyên tố; gạch
các bội
Sau gạch bội số nguyên tố lớn nhất, nhỏ √n tất số cịn lại số nguyên tố
* Nhà toán học cổ Hy Lạp Ơratơxten ngời tìm cách Ông viết số lên giấy cỏ sậy căng khung dùi thủng hợp số đ ợc một vật tơng tự nh sàng; số khơng phải số ngun tố đợc qua sàng, cịn số ngun tố đợc giữ li.
III) Định lý bản
1
Bổ đề: Cho p số nguyên tố
a) Víi mäi sè tù nhiªn a a p ( a; p) = b) Nếu p\a.b p\a p\b
Chứng minh:
a) XÐt ( a;p) = hc p
Nếu ( a;p) = Điều cần chứng minh
NÕu (a;p) = p ⇒ a ⋮ p
Vậy với số tự nhiên a a p hc ( a; p) = b) p\a.b
+ NÕu p kh«ng chia hÕt a ⇒ (a;p) = 1 p\b Nếu p\a.b p\a p\b * Më réng: p\a1a2 an ⇒ ∃ ai; i { 1; 2; : n } cho p\ai ; i{1;2; ; n}
2 Định lý bản:
Mi số tự nhiên a lớn phân tích đợc thành tích thừa số nguyên tố phân tích khơng kể đến thứ tự
Chøng minh:
* Chøng minh tån phân tích
+ Vì a>1 P1 nguyên tè; P1\a ⇒ a = P1 a1
NÕu a1 = a = P1 phân tÝch
NÕu a1 > ⇒ ∃ P2 nguyªn tè ; P2\a1 ⇒ a1 = p2 a2
NÕu a2 = ⇒ a = P1 P2 lµ sù phân tích
Nếu a2> ta lại lặp lại nh
(4)Quá trình dừng lại sau hữu hạn bớc có dÃy a > a1 > a2 >
Mà dãy a1 ; a2 ; dãy số tự nhiên giảm dần nên đến bớc thứ n phải
có an = nên a = P1 P2 Pn
* Chøng minh tÝnh nhÊt Gi¶ sử có phân tích a = P1P2 Pn vµ a = q1q2 qm
Ta chøng minh n = m vµ Pi = qi víi i = 1; 2; ; n
P1P2 Pn = q1q2 qm ⇒ q1\P1P2 Pn ⇒ q1\P1 ⇒ P1 = q1 P1; q1 số nguyên
tè
P1 = q1 ⇒ P2P3 Pn= q2q3 qm
Lập lại lập luận trên, suy P2 = q2
Lập luận tiếp tục hai vế khơng cịn thừa số nguyên tố nào, nhng vế hết thừa số nguyên tố ngợc lại xẩy = qn+1 qm = Pm+1 Pn điều vơ lý qn+1; qm s nguyờn t; Pm+1;
Pm số nguyên tố
Vậy n = m Pi = qi
3 Sự phân tích tắc
Sự phân tích tắc số tự nhiên a lớn có dạng: a = P1 P2 Pk
ni 1; i = 1; 2; ; k
Đó phân tích tắc cđa a
VÝ dơ: 360 = 23 32 phân tích tắc số 360
4
ứ ng dụng định lý bản
a) íc cđa sè tù nhiªn
Nếu a = P1 P2 Pk phân tích tắc số a
d\a d = P1.P2 Pk; li ni ; i = 1; 2; ; k
* Hệ quả: Số ớc số tự nhiên a ký hiệu T(a) xác định nh sau: T(a) = ( n1 + 1) (n2 + 1) (nk + 1)
VËy muèn tìm số ớc số số tự nhiên a lớn ta cần phân tích a thừa số nguyên tố dạng tắc råi vËn dơng c«ng thøc:
T(a) = ( n1 + 1) (n2 + 1) (nk + 1)
b) Tìm ƯCLN; BCNN
Giả sử P1; P2; ; Pk tất ớc nguyên tố chung a vµ b
(5)b = P1.P2 Pk
ni 0; mi 0; i = 1; 2; ; k
(a;b) = P1 P2 Pk li = (ni; mi)
[ a ; b] = P1 P2 Pk ; ti = max (n1; mi)
* Hạn chế phơng pháp tìm ƯCLN số tự nhiên lớn phức tạp việc phân tích số thừa số ngun tố
Ví dụ: Tìm ( 137543212; 17354) khơng nên sử dụng phơng pháp mà ta nên dùng thuật toỏn clớt tỡm CLN
IV) Dạng tổng quát cđa mét sè nguyªn tè.
Hiện ta cha tìm đợc dạng tổng quát số nguyên tố Ta chứng minh đợc
a) Mọi số nguyên tố lớn có dạng 4n + 4n + 3; n N b) Mọi số nguyên tố lớn có dạng 6n + 6n + 5; n N
Chøng minh:
a) Gọi P số nguyên tố lớn Chia P cho đợc thơng k; d r Suy P = 4k + r ; r <
Vì P số nguyên tố lớn suy P không chia hết cho mà 4k
r không chia hÕt cho ⇒ r = 1;
VËy P chia cho d hc
Hay P có dạng 4n + 4n + 3; nN
b) Gọi P số nguyên tố lớn 3; chia P cho đợc thơng k; d r Ta có P = 6k + r ; r <
Vì P số nguyên tố lớn suy P số lẻ suy P không chia hÕt cho mµ 6k ⋮ suy r không chia hết cho
Vĩ P số nguyên tố lớn suy P không chia hÕt cho mµ 6k chia hÕt cho 3, suy r kh«ng chia hÕt cho
VËy r không chia hết cho mà r < suy r = hc r = VËy P chia cho d hc Hay P có dạng 6n + 6n + 5; n N
V) c¸ch nhËn biÕt số P có số nguyên tố hay không
1 Chia số lần lợt cho số nguyên tố từ nhỏ đến số nguyên tố nhỏ √P
- Nếu có phép chia hết số khơng số ngun tố
- Nếu chia lúc số thơng nhỏ số chia mà phép chia có số d số số ngun tố
(6)VI) Sè nguyªn tè cïng nhau:
1 Kh¸i niƯm:
- Hai hay nhiều số đợc gọi nguyên tố ƯCLN chúng
- Ba số đợc gọi nguyên tố sánh đôi nguyên tố
2 Chú ý: Ba số nguyên tố sánh đơi chúng ngun tố nhau; cịn ngợc lại khơng đúng.❑❑
B : mét sè bµi tËp tham kh¶o
Bài 1:Tìm số ngun tố p :
a) p+10 ; p+14 số nguyên tố b) p+2 ; p+4 số nguyªn tè
c) p=2 ; p +6 ; p+8 ; p+14 số nguyên tố
Bi 2 : tìm tất số tự nhiên k để
a) k+1 ; k+3 ; k+7 ;k+9 ;k+13 ;k+15 số nguyên tố b) k4+4 sè nguyªn tè
c) k❑3- k
❑2+k -1 số nguyên tố
d) k1997+ k
1975+1 số nguyên tố
Bài 3 : Chứng minh
a)mọi số nguyên tố khác có dạng 6m+1 6m-1 b)có vô số số nguyên tố dạng 6m -1
Bài 4:Chứng minh với số nguyên n >1 a) 19.8n + 17 hợp số
b) 222n+1
+3 hợp số c) 224n+1
+7 hợp số
Bài 5 :
a) Cho p p +4 số nguyên tố ( p > ) Chøng minh r»ng p + lµ hợp số b) Cho p 8p -1 số nguyên tố.Chứng minh 8p + hợp sè
Bµi 6: Chøng minh r»ng nÕu 1+2❑n+ 4
n ( nz+) số nguyên tố n =3k
với kN
Bài 7:cho số nguyên dơng a,b,c,d thoả mÃn a b = c.d Chøng minh r»ng A= a❑n +b
❑n + cn + dn hợp số với nN
Bài 8 :Tìm số nguyên tố x ; y ; z tho¶ m·n a) x❑2- 2.y
❑2- =
b) x❑2+ y
(7)c) x.y.z = 3( x + y + z )
Bài 9: Tìm số nguyên tố có bốn chữ số abcd cho ab ; ac số nguyên tố b2 = cd + b - c
Bµi10 :Cho A = n ! + , B = n+1 ( n Z ) Chøng minh AB B số nguyên
VII) KÕt luËn
Trên số kiến thức mở rộng số nguyên tố, sử dụng để bồi dỡng học sinh giỏi phần chuyên đề số nguyên tố Qua thực tiễn giảng dạy tôi thấy học sinh tiếp thu tốt, biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo vào việc giải các bài tập thu đợc kết tốt Chắc chắn vấn đề nêu khơng tránh khỏi thiếu sót, mong đợc góp ý đồng nghiệp cỏc cp lónh o.
Trực Ninh, ngày 20 tháng năm 2004
Ngời viết