Đang tải... (xem toàn văn)
M ột hàm Macro không sử dụng nhiều diện tích bảng tính, và chúng ta có thể tãng số các số hạng đã tính đơn giản bằng cách thay đổi một số.. Nhiều hàm số quan trọng trong tín[r]
(1)Chương 7
T Í N H T Ổ N G C Ủ A C H U Ỏ I
Trong chương này, nghiên cứu phương pháp để tính tổng chuỗi bằng bảng tính Phương pháp đơn giản tính số hạng chuỗi theo số hạng ô bảng tính cộng chúng lại Phương pháp khác viết hàm M acro để tính chuỗi cho sô' số hạng M ột hàm Macro khơng sử dụng nhiều diện tích bảng tính, tãng số số hạng tính đơn giản cách thay đổi số.
Nhiều hàm số quan trọng tính tốn khoa học - kỹ thuật có sẵn dạng cơng thức chuỗi Các phương trình vi phân mà khơng có nghiệm giải tích tường minh thường có nghiệm dạng chuỗi Các hàm Bessel, đa thức Legendre đa thức Laguerre ví dụ nghiệm chuỗi phương trình vi phân.
Với Excel, tính tốn giá trị m ột công thức chuỗi theo hai cách Cách thứ tính giá trị số hạng chuỗi theo bang tính sau cộng chúng lại Cách thứ hai mạnh viết hàm M acro để tính tốn chuỗi cho số lượng số hạng bất kỳ.
7.1 TÍNH TỔNG MỘT CHUỖl TRONG BẢNG TÍNH
Phương pháp đơn giản mà có thê sử dụng đề tính tổng m ột chuồi tính tốn số hạng liên tiếp, sau cộng chúng lại Phương pháp có thể sử dụng nhiều chỗ bảng tính cần có nhiều số hạng; nhiên, việc nhìn thấy giá trị tất số hạng cho cảm nhận tốt chuỗi đã hội tụ, hiểu kết tốt hơn.
Hàm tính tổng chuỗi chuẩn bị sẵn Excel hàm SERIESSUM, nó được giới hạn để tính tổng cho chuỗi có dạng sau:
s s u m = a ịX " + a 2x (n+m) + a -,x(n+2m> +
(2)7.1.1 C ác hàm Bessel
Một hàm Bessel [Jn(x)] nghiệm cho phương trình vi phân Bessel: 2 d2y dy
+ x — + ( x2 - n 2) y = v iy = J"(x)
Hy V /
dx dx
Chúng ta thường gặp phương trình Bessel nhiều toán vật lý Chẳng hạn, nghiệm phương trình sóng tọa độ hình trụ dẫn đến phương trình Bessel Các hàm Bessel nghiệm lớp tính phân xác định:
1 K
Jn (x) = —- jc o s ( n v - x s in ( v )) d v ^ 0
Mặc dù hàm Bessel xác định với giá trị n bất kỳ, hầu hết giá trị n những số nguyên Một nghiêm chuỗi tồn với hàm Bessel có giá trị nguyên n:
CO / 1 \S ( Y \ n4 2s
( x ) = X —7~— r = Z G s ( n, x)
nV ; s ! ( n + s ) ! U J ắ J
Đối với giá trị n không nguyên, ta phải thay hàm gama ( r ( « + í +1)) cho giai thừa («+í)!
Chúng ta tìm quan hệ hồi quy cho số hạng (Gs(rt^c)) chuỗi cách kiểm tra:
(-1 ) (xỹ x n
ơ s (n,x) = Gs.,(n,x) — rị ■—
s(n + sj \2 y 2 nn!
Khi sử dụng mối quan hệ hồi quy này, cần tính tốn giai thừa cho số hạng đầu tiên (ơo) Sau tính sơ' hạng cịn lại chuỗi mà khơng cần tính giai thừa khác Mỗi số hạng tạo từ số hạng trước cách nhân với hệ số hồi quy trên.
Trong ví dụ sau đây, tính giá trị hàm Bessel với giá trị tích phân n. Chúng ta cần tính tổng mười số hạng để có sai số nhỏ sai số 1% giá trị X lên tới khoảng Thêm nữa, Excel có m ột hàm bổ sung, hàm Besselj, tính tốn giá trị hàm Bessel H ãy sử dụng để kiểm tra độ xác phép tính Bây thực thao tác sau:
1 Bắt đầu với bảng tính mở rộng hết cỡ. 2 Đặt độ rộng cột A 14.
(3)4 Trong ô A4, B2 B3, lấn lượt gõ nhãn X, n n! phải. 5 Đặt tên ô C2 N, C3 NF, B4 X.
6 Gõ =FA C T (N ) ô C3.
- Đưa vào hàm bổ sung Besselj Nhập vào công thức lấy lổng để cộng tất số hạng.
7 Trong ô A5, gõ Besselj(X,N) phải. 8 Trong ô B5, gõ công thức:
= Besselj(XN)
9 Trong ô A6, gõ Jn (x ) phải.
10 Gõ = SU M (B 8:B 18) B6 Tính mười số hạng chuỗi cho các giá trị biến tổng s. Trong ô B8, đưa vào giá trị số hạng bậc không Trong ô B9:B18, sử dụng quan hệ hồi quy để tính tốn sơ' hạng khác nhau.
11 Trong ô A7, gõ s phải. 12 Trong ô B7, gõ T e rm s phải. 13 Trong ô B8, gõ công thức:
= B AN /(2 AN*NF) 14 Trong ô B9, gõ cổng thức:
= B 8*(-1)*X A2/(4*$A9*(N+$A9)) và chép sang B10:B18.
15 Trong ô A8, gõ 0, ô A9, gõ 1.
16 Chọn ô A8:A9, bối đen phần liệu cần xử lý kéo xuống A18 để tạo mười giá trị s.
17 Định dạng ô B8:B18 0.00E + 00.
Đ ể sử dụng bảng tính, đưa giá trị X (chẳng hạn 0,5), lên tới giá trị tối đa vào trong ô B4, giá trị n (chẳng hạn 1) liong C3 Khi bảng tính cập nhật, giá trị hàm Bessel ô B5 B6 Chú ý số số hạng giảm nhanh cho thấy hội tụ nhanh chuỗi Bảng tính lúc giống hình 7.1.
Sử dụng dạng này, tính hàm B essel cho toàn m ột tập giá trị X.
Lưu ý phần thích hợp tham chiếu tạo hồn tồn, để cơng thức B8:B18 chép vào ô bên phải chúng vẫn tham chiếu ô đúng.
(4)19 Trong ô B4, gõ 0, C4 gõ 0.3.
20 Chọn ô B4:C4, bôi đen phần liệu cần xử lý kéo tới AB4. 21. Đặt tên ô B4:AB4 X
A B c «
1 H m SỐ B e s s e l P h u u n g p h p B n g t ín h
2 n 1;
3 n!
4 X
5 B E S S E U ( X , N ) Ị
ổ J n ( x ) 2 Ổ
7 s T e r m s l
8 Ọ ■ 50 E -01
9 Ị -7 E -Ũ
10 2 E -
lì 3 - 4 E - Ũ
/12 E -
13 s - E -
1 1 E - S I
15 - E -
16 E -
17 9 - E -
.18 1 E - Ị
Hình 7.1: Tính hàm Bessel sử dụng phương pháp bảng tính.
A Ị B I
1 H â m s ố B e s s e l ; P h u u n g p h p B ả n g tín h
2 n
3 11 n!
4 X 0
5 B E S S E U ( X , N ) Ị 0 J n ( x ) l 0
7 S i T e rm s T e rm s
8 Qị 0.0Q E+Q Q E -0 ; 1: 0 Ũ E + 0 -1 E -0 10 0.Q Ũ E + 00 3 E -0 11 ị 0 E + 0 -1 E -0 12 ] O.OOE+QO 3 E -1
13 ?i. Q.OQE+ŨQ -1.Ũ Ũ E -14
14
6 ! 0 E + 0 E -1 15 ! Ũ E + Ũ -2 E -2 16 ỉ O.QOE+GŨ E -2 17 91 0 Ũ E + 0 -1 E -2
m Ỉ Ũ.QOE+OŨ 4 E -3 ;
0 1.5 1.8
i 9 8 5 5 9 8 5 5 T e rm s T e r m s T e rm s T e r m s l ị E -0 0 E -0 7.5 Q E -0 0 E -0 ! -4.56 E -Q -1.08 E -Q -2.11 E -G -3 E -0 1 E -0 E -0 E -Ũ E -0 -2.59E -Q -1 E -0 - E -0 -3 E -0 E -0 ; E -0 6 E -0 5 E -0 -Ĩ.7 E -Q -4 E -0 -4 E -0 -3 E -0 Ỡ E -1 ; E -1 Ồ E -0 Q E -0 ! -3 Ũ E -14 -2 E -1 -6 E -1 1 E -Ị E -1 1 E -1 Ỡ 4E -1 Í E - Ĩ Ĩ Í -1 E -1 -4 E -1 -3 E -1 -1 Ũ E -1 Ỉ : Ũ E -2 E -1 E -1 7 5 E -1 Ì
0.6
T e rm s Õ 0E -0 -1 E -0 2 E -0 -1 E -0 6 E -0 -2.Q 5E-11
-8 E -2 2 E -2 ;
(5)L ú c n y b ả n g t í n h c ủ a c h ú n g t a s ẽ g iố n g n h h ì n h Ở đ â y c h ú n g ta đ ã t í n h h m B e s s e l v i n = v v i m ộ t c h u ỗ i c c g i tr ị X l ê n tớ i k h o ả n g t m g i tr ị H ì n h m ộ t đ t h ị c ủ a c c g i tr ị đ ó N ế u c h ú n g ta m u ố n t í n h t o n h m B e s s e l c h o c c g i tr ị X lớ n h n h o ặ c m u ố n t ă n g đ ộ c h í n h x c c h o c c g i t r ị X h i ệ n t h i, c h ú n g ta p h ả i t ă n g th ê m s ố lư ợ n g c c s ố h n g t r o n g c h u ỗ i
B E S S E U (X ,N )
0.8 0.6 0.4 ¥ 0.2 ■"í
0 -0.2 -0.4
-♦— BESSELJ(X,N)
'ị ' 1
ỗ &
1 ! i i i
1 1
X 'I Ĩ T r-.-Wt
1* ^ ệ « ĩ ĩ ịV % ị
-•j Ị- ■ ' V I I ỉ \ * 4}ỷ'
‘b ':Ệ, 'ỷ -;è K
*
p l§| :-:l :<ỹ é ì'ậ 1 %*$ -’' :>•1
ệ. ?•<I ® i l i Ị 1i m _ Jã : 0 Đ :
'ã ‘ ỉ%'d 'A1 ỉi 1i ầ
M ỉ 1® ír ;
- : ^
1 1, 1 I s pM <:;ị
~ ;|; • ;
< ' ỵ ỳ ■ •■* 1- - ì■' í *ĩ ĩ ìt p ■1111 xỉ ilốí ắi ‘4 ‘í*
i : * ầ
H ìn h 7.3: H m B e ssel J,(x).
7 X Ấ P X Ỉ C H U Ỗ I T R O N G B Ả N G T ÍN H
P h n g p h p t h ứ h a i đ ể t í n h c h u ỗ i t r o n g b ả n g t í n h d ù n g n g a y k h ả n ă n g tí n h x ấ p x ỉ s ẵ n c ó c ủ a b ả n g tín h T r c t i ê n b n h ã y t ắ t k h ả n ă n g t í n h t o n lạ i t ự đ ộ n g v c h u y ể n s a n g v iệ c x ấ p x ỉ b ằ n g b ả n t ín h , r i t h ê m k h ả n ă n g k h i d ộ n g lạ i đ ể đ ặ t c c g iá t r ị b a n đ ầ u c h o v iệ c t í n h tổ n g
T h ự c h i ệ n t í n h h m B e s s e l j l ầ n n ữ a , n h n g d ù n g k h ả n ă n g x ấ p x ỉ c ủ a b ả n g t í n h
như sa u :
1 Sao chép bảng tính hình 7.1 đặt tên hình 7.4.
2 C h ọ n v x o n ộ i d u n g c c ô A :B
3 C h ọ n c c ô A :B v d i c h u y ể n c h ú n g v o c c ô A : B 1 T r o n g ô A , g õ First Term r i c ă n lề p h ả i
5 T r o n g ô A , g õ Initialize r i c ă n lề p h ả i T r o n g ô B , g õ = B AN / ( AN * N F ) T ro n g ô B8 gõ TRUE
(6)9 C h ọ n lệ n h T o o ls > O p tio n s, C a lc u la tio n ta b \ C h ọ n c c h tí n h b ằ n g ta y M a n u a l, x o h ộ p k iể m tr a R e c a lc u la te B e fo re S a v e, k i ể m tr a h ộ p I te r a tỉo n v đ ặ t tr ị s ố M a x im u m lìĩte r a tio n b ằ n g 1, rồ i n h ấ n c h u ộ t v o O K
10 T r o n g ô A , g õ = A l l
11 Trong ô A 11, gõ = IF (INIT,0,A10+1) 12 T r o n g ô B , g õ = B l l
13 T r o n g ô B I 1, g õ c ô n g th ứ c :
= ỈF(INIT,Term O,B10*(-l)*XA2 /(4 * $ A ll* (N + $ A ll))) 14 T r o n g ô C , g õ T ổ n g
15 Trong ô CIO gõ = C l l
16 T r o n g ô C 1, g õ = Ĩ F ( I N I T , B , C + B 1 ) 17 T r o n g ô B , g õ = C l l
18 Đ ịn h d n g c c ô B :B C :C 1 N u m b e r , với c h ữ s ố th ậ p p h â n s a u d ấ u p h ẩ y Đ ể d ù n g b ả n g t í n h n y : h ã y c h è n c c g iá trị c h o X v n r i n h ấ n F đ ể k h i đ ộ n g b ả n g tín h , th a y đ ổ i B th n h F A L S F , v n h ấ n F lần n ữ a đ ố i v i m ỗ i g i t r ị m b n m u ố n th ê m v o c h u ỗ i S ố s ố h n g đ ợ c g h i t r o n g ô A , g i t r ị c ủ a s ố h n g ti ế p th e o đ ợ c th ê m v o c h u ỗ i tạ i ô B I 1, v tr ị s ố h iệ n h n h c ủ a c h u ỗ i tr o n g ô C 1 v đ ợ c c h é p s a n g s a n g ô B H ìn h tr ìn h b v k ế t q u ả c ủ a v iệ c g n c h o X = v n = rồ i t ín h x ấ p x ỉ b ả n g tí n h 14 lầ n x ấ p x ỉ
B ả n g t ín h h o t đ ộ n ? b ằ n g c c h tạ o v ò n g th a m c h iế u : g iữ a c c ô A v A I 1, g iữ a B v B I v g iữ a C IO v C l C c c ô n g th ứ c tr o n g c c ô A : C s ẽ c ấ t g iữ c c g i trị h iệ n h n h c ủ a c ô n g tllứ c ,
c ị n c c c n g th ứ c tr o n g c c ô _ _A ị _ B _ _ c [
A 11 :C11 dùng trị số đo để tính J _ Hàm sổ Bessel Phũơng pháp 1 Bảng tính ị
_ n j
s ô x â p xí m i, s h n g m i v 2 - - — : - 1 -tổ n g m i H m IF tro n g ô A I :C 1 g g g ~ x T ~ ~
k h i đ ộ n g tín h to n b ấ t lú c n o B E S S E LJ(X,N) 0.2346 I
m IN I T ( B ) l T R U E - - _ J n (x) ° f 346 .1 _ So hang thu 4.QQE+0Q
Đ ể t í n h t r ị s ố m i ứ n g v i lầ n Khõi dong FAL.SE
k h i đ ộ n g n y : h ã y t h a y đ ổ i X v J L _ s_ị _ ĨẼ n E Ề T °í!9_ A*-. DO u rr U ' T7f> 10 13 3 E -0 2346: n , đ ổ i B t h n h T r u e , n h ì n F , Ũ Ị 2! « 2346 đ ổ i B t h n h F A L S E , lạ i n h ấ n
F lâ n n ữ a c h o đ ê n k h i m t í n h H ìn h 7.4: Tính ch uỗi hà m B essel x o n g T ổ n g khi sử dụng xấp x ỉ bảng tính.
A I B c Ị
1 Hàm s ố B essel P hương p h áp Bảng tính
2 n 1:
3 n!
4 X
5 B ESSELJ(X ,N )
6 Jn(x) 2346
7 So hang thu 0 E + 0 I
8 Khoi dong FALSE Ị
9 s T e rm s Tong!
10 13 32E -05 0.2346)
(7)C h ú n g t a c ũ n g c ó t h ể v i ế t m ộ t th ủ tụ c V i s u a l B a s i c c ủ a E x c e l đ ể t í n h g i tr ị c ủ a p h é p t í n h tổ n g c h u ỗ i T h u ậ t t o n c ũ n g g ầ n t n g tự n h t h u ậ t t o n m c h ú n g t a đ ã s d ụ n g đ ể tín h p h é p tí n h t ổ n g c h u ỗ i b ằ n g m ộ t n g ô n n g ữ b ậ c c a o n h B a s ic , P a s c a l, c h o ặ c F o r t r a n
7.3.1 Các đa thức Legendre
C c đ a th ứ c L e g e n d r e (P „(x)) th n g g ặ p tr o n g b i to n lự c x u y ê n tâ m ( c h ẳ n g h n n h đ iệ n từ ) đ ợ c x c đ ị n h th e o c c t ọ a đ ộ c ầ u V í d ụ , m ộ t lư ỡ n g c ự c đ i ệ n g m h a i đ i ệ n tí c h c ó đ ộ lớ n +q v -q , đ ợ c đ ị n h v ị tạ i +a v -a trong một h ệ tọ a đ ộ c ầ u Đ i ệ n t h ế (ộ ) d o lư ỡ n g c ự c n y k h o ả n g c c h lớ n ( r » a ) x a lư ỡ n g c ự c đ ã đ ợ c m ô t ả b ằ n g m ộ t đ a th ứ c L e g e n d r e :
^ _ a q P i ( c o s ( ) ) n s r
Ở đ â y f l h ằ n g s ố đ iệ n m ô i k h ô n g g ia n tự d o , r v 0 n h ữ n g t ọ a đ ộ tr o n g m ộ t h ệ tọ a đ ộ c ự c c ầ u N h ữ n g đ a th ứ c L e g e n d r e c c n g h i ệ m c ủ a p h n g t r ì n h v i p h â n :
,2
( l - x ) —\ - 2 \ - Y + n ( n + l ) y = v i y = p„(x). v ’ d x d x
S ự b iể u d i ễ n d n g c h u ỗ i c ủ a n h ữ n g đ a th ứ c L e g e n d r e là:
P n ( x ) = ị j c f c M L x -s = n -s ! ( n - -s ) ! ( n - ) ! vớ i h ữ u h n c c s ố h n g tr o n g p h é p tí n h t ổ n g
T r o n g v í d ụ d i đ â y , c h ú n g ta s ẽ tạ o m ộ t h m V i s u a l B a s ic đ ể t í n h c n g th ứ c c h u ỗ i tr ê n C h ú n g ta c ũ n g s ẽ t í n h c c g ia i th a c h o m ỗ i s ố h n g m ộ t c c h c h í n h x c h n s o v i k h i d ù n g m ộ t q u a n h ệ h i q u y s ố h n g H ã y th ự c h i ệ n c c th a o tá c s a u đ â y :
1 Bắt đầu với bảng module mới, đặt tên Functions. G õ n ộ i d u n g d i đ â y :
O p ti o n E x p li c it
' P u n c t i o n to c a lc u l a t e L e g e n d r e P o ly n o m i a l s
F u n ti o n L e g e n d r e ( d b lX A s D o u b le , in tN A s I n t e g e r ) A s V a r i a n t D im in tS A s I n t e g e r ' T h e s u m m a t io n c o u n te r
'Z e r o t h e s u m m a t io n v a r ia b le L e g e n d r e =
(8)'Loop over the number of terms needed to calculate the sum.
F o r in tS = to in tN /2
L e g e n d r e = L e g e n d r e + ( ( (-1 ) A in tS ) * F a c t( * in tN - * in tS ) * d b i x A ( in tN -
2*intS))/ (2AintN Fact(intS) Fact(intN-intS) * Fact(intN-2*intS)) Next intS
End Function
' Function to calculate the íactorial of the argument.
F u n c tio n F a c t ( in tM A s I n te g e r ) A s D o u b le D im in tC tr A s I n te g e r
' I n n i ti a liz e th e p r o d u c t F a c t =
’ L o o p o v e r th e i e r m s , m u ltiỊ ly i n g o a t e a c h h o r ìn tC tr = T o in tM
F a c t = F a c t * in t C t r
Next intCtr End Function
' A S h o rt S u b t o u s e w h ile te s tin g S u b t e s t l
D im in tN A s I n t e g e r Dim dbix As Double ' P ic k s o m e te s t v a lu e s intN = 3
dbix = 0.3
' Print the values and the results in the debug window.
Debug.Print dbix, intN, Legemdre(dblX, intN),0.5 * ( 5* dbix A - * dbix ) Stop
End Sub
X in b n đ ọ c lư u ý r ằ n g tr o n g m o d u le tr ê n c ó t h ủ tụ c : - Một thủ tục tính tốn đa thức Legendre.
- M ộ t th ủ tụ c t í n h g ia i th a
(9)h i ệ n c c h m đ ợ c g ọ i, c h ú n g c h ỉ tạ o c c g iá tr ị s a i N h v iệ c t h k i ể m t r a n g a y t r o n g c ù n g m o d u l e v i h m s ố m c h ú n g ta s ẽ c ó th ể p h t h i ệ n s a i s ó t c ú p h p T h ủ tụ c n y v iế t c c g i tr ị c ủ a X, n , L e g e n d r e ( x ,n ) v g iá trị g iả i t íc h c h o n =
T r o n g t r n g h ợ p đ â y , c c c h u ỗ i c ó h ữ u h n s ố h n g , v i g iớ i h n t r ê n c ố đ ịn h n /2 N h v ậ y c h ú n g ta s ẽ b iế t b a o n h iê u s ố h n g đ ợ c t í n h t o n đ ể đ t đ ợ c trị s ố c h í n h x c đ ủ m ứ c c ầ n th i ế t Đ ố i v i c c c h u ỗ i m c ó v ô s ố s ố h n g , c h ú n g t a c ầ n p h ả i q u y ế t đ ị n h k h i n o t h ì d n g v iệ c c h o th ê m s ố h n g v o B n c ó t h ể t ự c h ọ n s ố lư ợ n g sô' h n g c ố đ ị n h s a o c h o c c th ủ tụ c đ a đ ợ c k ế t q u ả c h ín h x c h n m ứ c c ủ a c c đ ố i s ố m b n q u a n tâ m , g i ố n g n h c c h m b n đ ã m đ ố i v i h m B e s s e l M ộ t c c h k h c b n c ó t h ể đ ặ t v i b i ế n lô g ic t r o n g h m s ố n h ằ m th e o d õ i k í c h c ỡ c ủ a m ỗ i s ố h n g k h i n ó đ ợ c t h ê m v o v s ẽ c a n th iệ p c h ấ m d ứ t tín h to n k h i m k í c h c ỡ đ ó đ ã q u n h ỏ đ ế n m ứ c c ó t h ể b ỏ q u a đ ợ c
B â y g iờ , c h ú n g ta h ã y tạ o m ộ t b ả n g tín h đ ể g ọ i h m v i m ộ t v i g i t r ị c ủ a n v X. Đ ể d ễ s o s n h , s a u đ â y c h o s ẵ n n h ữ n g n g h iệ m g iả i tíc h c h o s u đ a t h ứ c L e g e n d r e đ ầ u tiê n :
P0(x) = 1 P l ( x ) = X
P ( x ) = ( l / ) ( x - ) P ( x ) = ( l / ) ( x - x )
P ( x ) = ( / X x - x + 3) P ( x ) = ( / X x - x + x )
C h ú n g ta s ẽ d ù n g E x c e l đ ể tín h c ũ n g n h ữ n g n g h iệ m n y v s o s n h c h ú n g v i n h ữ n g k ế t q u ả t h m c ủ a V is u a l B a s ic
Trước tiên đưa vào số giá trị X n để tính tốn.
1 C h ọ n lệ n h N e w t r ê n b ả n g c h ọ n F ile v tạ o m ộ t b ả n g t í n h m i đ ặ t t ê n l h ìn h
2 G õ c c đ a th ứ c L e g e n d r e : H m V i s u a l B a s i c t r o n g ô A l G õ n tr o n g ô A
4 T r o n g c c ô B :G , g õ c c s ố n g u y ê n từ đ ế n 5 Đ ặ t t ê n c c ô B :G N
6 G õ X t r o n g ô A
7 T r o n g ô B , g õ v s a o c h é p n ó s a n g c c ô C :G
(10)8 G õ P n ( x ) tro n g ô A rồ i c ă n lề p h ả i
9 T r o n g ô B 5, g õ ( h o ặ c đ a v o b ằ n g lệ n h F u n c tio n W ỉza rd ).
= L e g e n d r e ( B , B ) v s a o c h é p n ó s a n g c c ô C :G
10 G õ G i ả i t í c h tr o n g ô A rồ i c ă n lể p h ả i 11 Đ a c c đ ề m ụ c sa u v o n h ữ n g ô B :G
B6: C6: = C4
D6: = 0.5*(3*D4A2-1) E6: = 0.5*(5*xA3-3*x)
F6: = 0.125*(35*F4A4-30*F4A2+3) G6:=0.125*(63*G4A5- 0*G 4A3+15*G4)
N h c h ú n g ta c ó th ể th ấ y tro n g h ìn h , n h ữ n g g iá trị n g h iệ m g i ả i tí c h v c c g iá trị n g h iệ m h m V is u a l B a s ic tư n g x ứ n g v i n h a u
B y g iờ c h ú n g ta s ẽ lậ p m ộ t b ả n g c c g i tr ị n h đ ã tr ìn h b y p h ầ n c u ố i c ủ a h ìn h 7 vẽ đổ thị cá c kết Đ ầu tiên đưa vào m ột m iền g iá trị X.
1 G õ v o tr o n g ô A v v o tr o n g ô A
2 C h ọ n c c ô A :A , b ô i đ e n p h ầ n d ữ liệ u c ầ n x lý v k é o n ó x u ố n g ô A T h a y đ ổ i g i trị X đ ầ u tiê n v i m ộ t s ố rấ t n h ỏ n h n g k h c k h n g , v ì h m k h ô n g x c đ ịn h tạ i X = S ao c h é p th a m c h iế u h m đ ế n h m V is u a l B a s ic tro n g p h ầ n c h í n h c ủ a b ả n g
3 T h a y đ ổ i ô A th n h 0
4 G õ = L e g e n d r e ( $ A ,B $ ) tro n g ô B
ỗ CÁC ĐA THỬC LEGENDRE : HÀM VISUAL BASIC
4
3 n
X 0.3 0.3 0.3 0.3
Pn(x) 0.3 -0.365 -0.3825 0 0.34539 Giai Tích 0.3 -0.365 -0.3825 0 0.34539 fgg|Ị 0.001 1 - -0.001 -0.5 -0 0015 0.37496 0.00188
0 0.3 -0 -0.3825 Ũ.Ũ7294 Ũ.34Ỗ39
10 0.6 0.6 0 -0.36 -0.408 -0.1526
0.9 0.9 0.715 4725 0.2 -0.0411
1.2 1.2 1.66 047 6.72552
14
1.5 1 2.875 6.1875 14.0859 3 1.8 1.8 4.36 11.88 101.149
15 2.1 2.1 1 0 68.9229 244.527
J Ể _ 2.4 8.14 30.96 123.927 510.597 —
(11)5 Sao chép ô B8 sang ô B8:G30 trước tiên cách chép xuống cột B tới B30, sau chép cột B tới cột c đến G.
6 Tính tốn vẩn dạng Manual, nhấn F9 để tính tốn lại bảng tính.
Bây bảng tính giống hình 7.5 Bạn vẽ đổ thị hình 7.6
f!ar Da Thnr T.pgpndrp
H ìn h 7.6: Sáu bậc đa thức Legendre.
*nn 500 400 3Q0
200 100 n -100
S k i- ỉỉíÊ ữ M M ,
4{&ềấ*. % ? ã ẩ r §
s; \ i ' l , í- Ị
/ í ' - : j ỉ 'ỉ%:
■ '■> • ■ >
- , ■ ’■vp ■■■-ìị
' ‘7 •• • - • - ì ': > - ■• • ; .
J > 1
c ' y X
■/ jx! ■■
'ềÊẾỄmấầí MáMM-ẨiầầÈMỈ^
n = D
n = n = i
(12)Chương 8
PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN
T r o n g c h n g n v , c h ú n g ta tín h c c đ o h m b ằ n g s ố c ủ a d ữ liệ u v c ủ a c c h m s ố Đ ặ c b iẹ t, c h ú n g ta s ẽ x e m x é t p h n g p h p b ả n g t ín h đ ể t ín h c c s a i p h â n tiế n , s a i p h n s a i p h â n lù i v s a i p h â n g iữ a c ủ a d ữ liệ u b ả n g tín h C h ú n g ta s ẽ n g h iê n c ứ u m ộ t s ố v ấ n d ề tro n g k h i tín h to n c c đ o h m b ằ n g s ố , đ ó s ự rú t n g ắ n , s ự m tr ò n , v s ự tă n g s a i sơ' d o v iệ c tín h sa i p h â n
C h ú n g ta c ũ n g s ẽ t ín h tíc h p h â n b ằ n g s ố c ủ a c c h m v c c d ữ liệ u tr ê n b ả n g t ín h vớ i m ộ t h m M a c ro M ộ t v ài p h n g p h p lấ y t í c h p h â n b ằ n g s ố c h u ẩ n m th n g đ ợ c p d ụ n g b ìn h th n g v i m ộ t n g ô n n g ữ m y t ín h b ậ c c a o c ũ n g đ ợ c d ù n g tr ê n b ả n g tín h đ â y C c p h n g p h p n y b a o g m : q u y tắ c h ìn h c h ữ n h ậ t, q u y tắ c h ì n h t h a n g , p h é p lấ y tíc h p h â n R o m b e r g , c c q u y tắ c c ủ a S im s o n v p h é p c ầ u p h n g G a u s s
N ế u b n đ ọ c n o q u a n tâ m đ ế n c s t o n h ọ c c ủ a c c p h n g p h p n y , x in h ã y th a m k h o m ộ t c u ố n s c h v ề c c p h n g p h p số H ầ u h ế t c c p h n g p h p lấ y s a i p h â n , tíc h p h â n c ó th ế đ ợ c m th íc h ứ n g v i k h u ô n d n g b ả n g tín h v c h ỉ g ặ p c ó m ộ t c h ú t k h ó k h ă n m th ô i
C c p h é p tín h vi p h â n v tín h tíc h p h â n th n g đ ợ c th ự c h i ệ n d ự a v o c c p h n g tr ìn h g iả i tíc h T u y n h iê n , n ế u m ộ t h m s ố c h ỉ tồ n tạ i d i d n g m ộ t t ậ p h ợ p c c d ữ liệ u rờ i rạ c th ì c h ú n g ta p h ả i s d u n g p h n g p h p lấ y s a i p h â n v lấ y tíc h p h â n b ằ n g s ố đ ể tính đạo hàm tích phân
C h ú n g ta c ó th ế ứ n g d u n g E x c e l đ ể tín h đ o h m c ũ n g n h đ ể lấ y tí c h p h â n b ằ n g s ố c ú a d ữ liệ u v c c h m C c p h n g p h p n y th n g d ù n g vớ i m ộ t c h n g tr ìn h m y tín h n g ắ n , v í d ụ đ ợ c v iế t tr ê n P A S C A L h o ặ c c , n h n g c h ú n g ta v ẫ n c ó th ể d ễ d n g p d ụ n g c h ú n g với d liệ u t r o n g m ộ t b ả n g tín h T r o n g m ộ t b ả n g t ín h E x c e l, c h ú n g t a c ũ n g c ò n m ộ t lợ i t h ế m ọ i n g i đ ề u c ó th ể t h ấ y c c k ế t q u ả t r u n g g ia n , m ih n g th ì n ế u tín h b ẳ n g m ộ t c h n g tr ìn h P A S C A L c h ẳ n g h n s ẽ k h ó c ó th ể t h e o d õ i q u t r ì n h tín h to n h o n
8 T ÍN H C Á C Đ A O H À M B Ả N G s ố
C ó t h ể th ự c h iê n p h é p lấ y vi p h â n d ữ liệ u rờ i rạ c ( h o ặ c c c h m s ố k h ó g iả i) b ằ n g c c c ô n g th ứ c sa i p h â n C c c ô n g th ứ c sa i p h â n g iữ a c h ín h x c n h ấ t v t h ô n g d ụ n g n h ấ t
Các công thức sai phân tiến sai phân sai phân lùi thường sử dụng trong
(13)C c c ô n g th ứ c " s a i p h â n t i ế n " , " s a i p h â n lù i" v " s a i p h â n g iữ a " c ó t h ể c h o c h ú n g ta d ự đ o n g iá tr ị đ o h m tạ i m ộ t đ i ể m d ự a t r ê n c c tậ p d ữ l iệ u k h c n h a u " S a i p h â n tiế n " s d ụ n g c c đ i ể m d ữ l iệ u m t h e o s a u đ i ể m đ a n g đ ợ c n ó i đ ế n đ ể d ự đ o n đ o h m t i đ i ể m đ ó " S a i p h â n lù i" c ũ n g tư n g t ự n h v ậ y , c h ỉ c ó đ i ề u c h ú n g d ù n g c c đ iể m trư c đ i ể m đ ó C c " sa i p h â n g iữ a " s d ụ n g m ộ t s ố lư ợ n g c c đ i ể m d ữ l iệ u n h n h a u trư c v s a u đ i ể m đ ó D o v ậ y , " s a i p h â n g iữ a " c h o d ự đ o n c â n b ằ n g h n v ề đ o h m c ủ a d ữ l i ệ u tư n g đ ố i l iê n tụ c
C c s a i p h â n tiế n v s a i p h â n lù i th n g t ỏ r a h ữ u íc h t i c c g iớ i h n c ủ a tậ p d ữ liệ u , n i m s a i p h â n g iữ a k h ổ n g t h ể t í n h đ ợ c C c s a i p h â n t i ế n v s a i p h â n lù i c ũ n g th n g c h í n h x c h n tr o n g d ữ liệ u c ó s ự t h a y đ ổ i đ ộ t n g ộ t , v ì c h ú n g l m g i ả m s ự tá c đ ộ n g c ủ a s ự t h a y đ ổ i tr ê n đ o h m đ ố i v i c c đ i ể m g ầ n s ự t h a y đ ổ i đ ó
C h ú n g ta s ẽ s d ụ n g c c s a i p h â n lù i k h i t í n h g ầ n đ ú n g m ộ t t h a y đ ổ i đ ộ t n g ộ t v s d ụ n g c c s a i p h â n t i ế n s a u k h i c h ú n g ta đ ã v ợ t q u a s ự t h a y đ ổ i đ ó
P h n g t r ì n h đ ố i v i đ o h m b ậ c n h ấ t đ ề u g i ố n g n h a u k h i c h ú n g ta x é t c c s a i p h â n t i ế n , s a i p h â n l ù i v s a i p h â n g i ữ a Đ i ể m k h c n h a u g i ữ a c h ú n g g i tr ị c ủ a X m tạ i đ ó đ a n g d ự đ o n đ o h m V í d ụ , đ o h m b ậ c n h ấ t đ ợ c t í n h g ầ n đ ú n g b ằ n g p h n g t r i n h n y :
àỵ_ = y - y i
dx ii
T r o n g đ ó : h = x - X! ià k h o ả n g c c h g iữ a c c đ iể m d ữ liệ u ; (Xị, y ,) v ( x 2, y 2) c c c ặ p d ữ l i ệ u x - y l i ê n tiế p
K i ể u s a i p h â n đ ợ c t í n h p h ụ t h u ộ c v o g i tr ị n o s ẽ đ ợ c t í n h g ầ n đ ú n g :
- N ế u p h n g t r ìn h n y l p h é p t í n h g ầ n đ ú n g đ ố i v i đ o h m tạ i x t h ì n ó s a i p h â n s a i p h â n lù i
- N ếu phương trình phép tính gần đ ố i với đạo hàm X[ n ó sai phân tiến. - Nếu p h n g t r ì n h p h é p t í n h g ầ n đ ú n g đ ố i v i đ o h m t i t â m c ủ a k h o ả n g g i ữ a X| v x th ì n ó s a i p h â n g iữ a
D i đ â y c c c ô n g th ứ c s a i p h â n c h o v i đ o h m b ậ c n h ấ t v b ậ c ( ( h n)) c ủ a sa i s ố l i ê n k ế t v i c h ú n g T ấ t c ả c c c ô n g th ứ c đ ề u t í n h đ o h m tạ i đ i ể m x
C ó t h ể b i ế n đ ổ i c c c ô n g th ứ c s a i p h â n t i ế n th n h c c s a i p h â n lù i b ằ n g c c h t h a y đ ổ i đ i ể m m tạ i đ ó tín h đ o h m s a n g c h i ề u n g ợ c l i c ủ a c ô n g th ứ c
B ậ c c ủ a s a i s ố l u ỹ t h a ( n ) c ủ a k h o ả n g c c h g iữ a c c đ i ể m d ữ l iệ u ( h ) v i c c đ iể m d ữ l iệ u m s a i s ố c â n x ứ n g v i n ó Á p d ụ n g b ậ c n y đ ể k i ể m t r a s ự c h í n h x c tư n g đ ố i c ủ a c c c ô n g th ứ c L u ỹ th a c ủ a h c n g c a o , c ô n g th ứ c c n g c h í n h x c
(14)Đ ạo hàm x() Sai số K iể u sa i p h â n dy _ y, - y 0
d x h
O(h) T iế n , sai p h ân lù i tạ i X! d y
d x h
o ( h 2) G iữ a
d 2y _ y - y i + y o d x : h
O (h ) T iế n , sa i p h ân lù i tạ i x
d 2y _ y, - y + y_i d x : h
o ( h 2) G iữa
d 3y y.1 - y + 3yj - y „
d x ’ h
O (h ) T iế n , sai p h â n l ù i t i X ,
d 33 _ y - y + y _ ( - y _2 d x ' h
0 ( h 2) G iữ a
8 S a i s ô t r o n g c ô n g t h ứ c s a i p h â n
C c c ô n g th ứ c s a i p h â n c ó th ể c ó c c s a i s ố lư ợ c b t v s a i s ố l m t r ò n B ậ c c ủ a s a i s ố đ ã b iể u d iễ n b ằ n g c c p h n g tr ìn h tr ê n v i s a i s ố lư ợ c b t S a i s ố lư ợ c b t d o v iệ c d ự đ o n đ o h m v i m ộ t v i đ iể m d ữ l i ệ u rờ i r c c h ứ k h ô n g p h ả i t m ộ t h m l iê n tụ c V ì s a i s ố lư ợ c b t tư n g ứ n g v i k h o ả n g c c h g iữ a c c đ iể m d ữ l i ệ u ( h ) n ê n d n g n h n ế u c h ứ n g ta g iả m h , c h ú n g ta s ẽ l m g i ả m s a i s ố T u y n h i ê n , đ i ề u n y c h ỉ đ ú n g v i đ iể m d ữ liệ u m đ ó s a i s ố m tr ò n t r n ê n đ n g k ể
Sai s ố m tr ò n d o th ự c t ế m ộ t m y t í n h lư u tr ữ c c s ố v i s ố lư ợ n g c c c h ữ s ố c ố đ ịn h K h i th ự c h iệ n p h é p trừ v i h a i s ố g ầ n b ằ n g n h a u , h iệ u s ố c ó t h ể q u n h ỏ C h ia h i ệ u s ô n y th n h m ộ t tro n g n h n g sô b a n đ ầ u v x e m c ó b a o n h i ê u c h ữ s ố b ê n tr i s ố t h ậ p p h â n N ế u s ố lư ợ n g c c c h ữ s ố c ó th ể s o s n h đ ợ c v i s ố l ợ n g c c c h ữ s ố t h e o s ố c ủ a m y tín h th ì h iệ u đ ó s ẽ v n g h ĩa V í d ụ , n ế u th ự c h iệ n p h é p t r v i h a i s ố c ó c c g i trị g ầ n b ằ n g v h i ệ u s ố d ự a v o b ậ c c ủ a l x l O " 14 t r ê n m y v í đ ộ c h í n h x c c h ữ s ố th ì h iệ u s ố v ô n g h ĩa D o đ ó , s a i s ố m t r ò n t ă n g v i v iệ c g iã m h Đ i ề u n y c ó n g h ĩ a c h ú n g ta c ầ n c â n n h ắ c s ự c â n đ ố i g iữ a v iệ c g iả m h đ ể g iả m s a i s ố lư ợ c b t v t ă n g h đ ể g iả m sai s ố m trò n G iá trị tố i u , g iá tr ị k h c n o đ ó c ủ a h s ẽ l m g i ả m đ ế n m ứ c t ố i th iể u s a i s ố to n p h ầ n
8.1.3 Sử dụng công thức sai phân bảng tính
(15)C ó m ộ t th í n g h i ệ m v ật lý k in h đ iể n đ ố i với c c s in h v iê n n ă m th ứ n h ấ t c ủ a c c trư n g đại học kỹ thuật chuyển động nhanh dần đểu rơi tự Thí nghiệm được th ự c h iệ n b ằ n g c c h th ả m ộ t q u ả c â u k im lo ại d ọ c th e o m ộ t m ả n h g iấ y n ế n D ò n g đ i ệ n x o a y c h iể u đ iệ n p c a o đ ợ c tr u y ề n q u a q u ả c ầ u v sợ i d â y p h ía s a u m ả n h g iấ y C ứ m ỗ i n a c h u k ỳ c u n g c ấ p đ iệ n n ă n g , m ộ t tia lửa p h t g iữ a q u ả c ầ u sợi d â y T i a lưa đ ố t c h y m ộ t lỗ n h ỏ tr ê n g iấ y , đ n h d ấ u vị trí c ủ a q u a c ầ u k h i n ó rơ i B iế t tầ n s u ấ t c u n g c ấ p điện khoáng cách lổ tờ giấy, tính vận tốc và g ia tổ c c ủ a q u ả c ầ u
D ữ liệ u d i đ â y rú t từ th í n g h iệ m rơ i tự d o n ó i tr ê n C c tia lử a p h t r a v i tốc độ 60/giây, đánh dấu lỗ giấy cách 1/60 giây Để tính vận tốc, chúng ta cần tìm đạo hàm bậc cúa liệu Đê tìm gia tốc trọng lực, cần tìm đ o hàm bậc hai, n ó một h ằ n g số
C c g iá irị th ể h iệ n k h o ả n g c c h c ủ a c c lỗ từ m ọ t đ iể m k h i đ ầ u tu ỳ ý ( tín h t h e o c m ) : 8.1.3.1 B i toán vế sư rơ i tụ do
0.00 13,05 31,30
1,55 16.15 35,75
3,25 19,50 40,55
5.30 23,15 45,55
7,55 27,05 50,80
Đưa vào sô đề mục thời gian tia lửa mà tạo lỗ giấy Sau đây thao tác cần thực bảng tính:
1 B đ ầ u vớ i m ộ t b ả n g tín h m i m rộ n g h ế t c ỡ 2 Gõ Free Fall tr o n g ô A 1.
3 T r o n g ô C l , g ỏ D T = v c ă n p h ả i
4 Gõ =1/60 ô D I.
5 Đ ậ t tê n c h o ô D I D T G õ s e c tr o n g ô E
Gán nhãn cho tiêu đề đầu cột.
7 T r o n g các ô A : D , g õ các n h ã n t, X, d x / d t , và d x / d t và c ă n p h ả i
8 T r o n g c c ô A :D , g õ c c n h ã u (s), ( c m ) , ( c m / s ) , v ( c m / s A2 ) , v c ã n p h ả i
(16)X Mĩciosoíl Excel - c8
I I Q Ẹlle B alt ỵiew tnsert Parmat Tools gata VM - —
9 G õ tr o n g ô A
10 T r o n g ô A , g õ = A + D T s a o c h é p n ó s a n g c c A : A 11 T r o n g c c ô B :B , g õ c c d ữ liê u v ề s ự rơ i tự d o đ ã liệ t k ê trê n
T r o n g c ộ t c , tín h đ o h m b â c n h ấ t c ủ a d ữ l i ệ u s d ụ n g s a i p h â n g i ữ a đ ợ c đ ị n h tâ in tr ê n k h o ả n g c c h g iữ a h a i đ iể m T r o n g c ộ t D , tín h đ o h m b ậ c h a i s d ụ n g s a i p h â n g iữ a đ ợ c đ ị n h tâ m t r ê n m ỗ i đ iể m T í n h g i t r ị t r u n g b ìn h c ủ a g i a tố c đ ã tìm r a tr o n g c ộ t D
12 T r o n g ô C , g õ = ( B - B ) /D T v s a o c h é p n ó s a n g c c ô C :C
13 T r o n g ô D , g õ = ( B - * B + B ) / ( $ D T A2 ) v s a o c h é p s a n g c c ô D :D 14 T r o n g ô C , g õ A v e = v c ă n p h ả i
15 G õ = A V E R A G E ( D : D ) tr o n g ô D 16 G õ c m / s A2 tr o n g ô E
17 Đ ị n h d n g c c ô B :D v D 0 , v c c ô A :A 0 0
18 C h ọ n l ệ n h D is p la y t r ê n b ả n g c h ọ n O p tio n s v tắ t c c đ n g k h u n g v iề n c ủ a b ả n g tín h
B â y g iờ b ả n g t í n h c ủ a c h ú n g ta s ẽ g i ố n g n h h ìn h , k h ô n g c ó k ế t q u ả h i q u y tr o n g c c ô F :G , m s ẽ đ ợ c th ả o lu ậ n s a u C ộ t c c h ứ a v ậ n tố c c ủ a q u ả c ầ u m v ậ n t ố c đ ó đ ợ c v ẽ đ th ị t r o n g h ìn h R õ r n g đ â y c h u y ể n đ ộ n g n h a n h d ầ n đ ề u , v i m ộ t đ n g c o n g tư n g đ ố i trơ n
2 t ,4 (s) 0.0000 0.0167 0.0333 0.0500 ũ 0667 10 Ũ 0833 11 0.1000 12 ũ 1167 13 0.1333 14 0.1500 15 0.1667 16 0.1833 17 0.2000 18 0.2167 19 0.2333 0.2500 j 21
u ỉ < ► ỉ ►ÌKsheetl
-V
DT = □ 01666667 sec. Ave = 9 51.43 cm /sA2 X dx/dt d2x/dt2 (cm) (cm/s) ( c m /^ ) 0.00 93.00 540.00 1.55 102.00 1260.00 3.25 123 00 720.00 5.30 135.00 1440.ŨQ 7.55 159.00 720 00 10.20 171.00 900.00 13.05 186.00 900.00 16.15 201.00 1080.00 19.50 219.00 900.00 23.15 234.00 1260.00 27.05 255.00 720 ũũ 31.30 267.00 1260.00 35.75 288.00 720.00 40.55 300.00 J00.0U 45.55 315.00
50.80
(17)/
V ì v ậ t đ a n g rơ i t ự d o n ê n g i a t ố c t r o n g c ộ t D s ẽ h ằ n g s ố v b ằ n g g i a t ố c d o tr ọ n g lự c ( c m / s 2) N h c h ú n g t a c ó th ể t h ấ y t r o n g b ả n g t í n h v tr o n g đ t h ị h ì n h , c ó m ộ t lư ợ n g p h â n tá n r ấ t lớ n t r o n g d ữ liệ u , m ặ c d ù s ố t r u n g b ì n h c h o ta m ộ t g i tr ị th íc h h ợ p ( ,4 c m / s 2)
T r o n g p h é p tín h g i a tố c , s a i s ố th ự c n g h i ệ m n g ẫ u n h i ê n t ă n g ỉ ê n m ỗ i l ầ n c h ú n g ta lấ y đ o h m C h ú n g ta đ a n g t í n h s a i p h â n c ủ a d ữ liệ u c ó c h ứ a s a i s ố n g ẫ u n h i ê n K h i c h ú n g ta tr h a i s ố c ó đ ộ lớ n g ầ n b ằ n g n h a u , k ế t q u ả s ẽ n h ỏ h n s o v i c c s ố b a n đ ẩ u Đ ộ lớ n c ủ a s a i s ố k h ô n g b ị p h é p tr l m g i ả m v ì n ó n g ẫ u n h iê n K ế t q u ả c h ú n g t a c ó đ ộ lớ n c ủ a s a i s ố n h n h a u t r o n g c c s ố n h ỏ h n , m tạ o r a s ự tă n g p h ầ n t r ă m s a i s ố t h e o m ỗ i p h é p irừ Đ ể tìm đ ợ c đ o h m b ậ c h a i , c h ú n g ta t r c c h i ệ u s ố , v đ i ề u n y th ậ m c h í c ị n m t ă n g đ ộ lớ n tư n g đ ố i c ủ a s a i s ố h n n ữ a
H ìn h 8.2: Chuyển ấộng nhanh dần đều: vận tốc vật rơi tự do.
C h ú n g ta th n g p h ả i m t r n d ữ liệ u th ự c n g h i ệ m tr c k h i th ự c h i ệ n m ộ t p h é p tín h g ầ n đ ú n g h ợ p ]ý c ủ a đ o h m C c h t ố t n h ấ t đ ể l m tr n d ữ l i ệ u l l m p h ù h ợ p m ộ t d n g c o n g đ ã b iế t v i d ữ l iệ u v l ấ y đ o h m c ủ a đ n g c o n g đ ó N h n g h ã y t h ậ n tr ọ n g đ n g m tr n b ấ t k ỳ c c c h i t i ế t q u a n t r ọ n g n o C h ú n g ta b i ế t r ằ n g đ â y s ẽ c h u y ể n đ ộ n g n h a n h d ầ n đ ề u , v d ữ l iệ u v ậ n t ố c c h o t h ấ y đ i ề u đ ó , c h o n ê n c h ú n g t a h ã y m p h ù h ợ p m ộ t đ n g t h ẳ n g v i d ữ l i ệ u v ậ n tố c Đ ộ d ố c c ủ a đ n g t h ẳ n g đ ó b ằ n g đ o h m c ủ a v ậ n t ố c , h o ặ c g ia tố c
(18)2 C h ọ n c c ô G :H , v g õ c ô n g th ứ c :
= L I N E S T ( C :C , A : A , T R U E T R U E )
2 Đ â y m ộ t c ô n g th ứ c d ã y , d o v ậ y h ã y đ a n ó v o tr o n g t o n b ộ p h m v i b ằ n g c c h ấ n C tr l - S h if t- E n te r k h i c h ú n g ta k ế t t h ú c v iệ c g õ m y
T h ê m m ộ t s ố n h ã n v o k ế t q u ả h i q u y v đ a v o th a m c h i ế u v ù n g đ ể c h u y ể n c c p h ầ n c ủ a k ế t q u ả h i q u y tớ i v ị tr í d ễ n h ậ n b iế t h n C h ú n g ta k h ô n g th ể c h u y ể n c c g iá trị d ễ d n g , v ì c h ú n g m ộ t p h ầ n c ủ a b ả n g , v c h ú n g ta k h ô n g th ể th a y đ ổ i h a y chuyển đ i một p h ầ n c ủ a b ả n g Ẩ n c ộ t H s a u k h i c h ú n g ta đ ã h iể n th ị k ế t q u ả h i q u y t r o n g c ộ t G
2 G õ O f f s e t tr o n g ô F G õ = H tr o n g ô G G õ S t d E r r tr o n g ô F G õ = H tr o n g ô G G õ S l o p e tr o n g ô F G õ S t d E r r tr o n g ô F G õ r A2 tr o n g ô F K Miciosữít Esccl c9
U I - u u ib b b b b i' c c c Ave - 951 <3 urn/VỸ
dx/dt \XlxJ dữ lưrn/s) (uiii/ ^ )
y u u u 51UUU -tegrassic 102.00 12G0 00 wfíset
XJ3W 'J U U U std zrr
1Ũ5.00 1440 00 3lope
159.00 720 00 3td Err
171.00 900 00 *2
186.00 Ũ 0 -2 0 108 G 0 -n e g 1 0 900 00 S -R e s id 0 1260 00 Đtd Err ■ 0 720 00 D O F 0 1260 00
nn 7?n nn
3DŨ.00 900 00
J_lJ :
09.05 973.20571
9 6
0.99071 G7 10117.207 73G77.729
9
26985955
13
(19)2 G õ F t r o n g ô F 1 G õ S S - R e g tr o n g ô F 12 G õ S S - R e s i d t r o n g ô F G õ = H t r o n g ô G I
33 Gõ Std Err y Est ỏ F14. G õ = H t r o n g ô G
3 G õ D O F t r o n g ô F G õ = H 1 tr o n g ô G I
3 T h a y đ ổ i đ ộ r ộ n g c ủ a CỘI H đ ể ẩ n c ộ t n y L u b ả n g tín h
Đ ộ d ố c c ủ a đ n g th ẳ n g đ i q u a d ữ liệ u v ậ n tố c ( c m / s 2) t r o n g ô G , v n ó k h s t v i g i tr ị đ ú n g b ằ n g c m / s
8 L Ấ Y T Í C H P H Â N D Ữ L I Ệ U R Ờ I R Ạ C
V iệ c lấ y tíc h p h â n d ữ liệ u rờ i rạ c đ ò i h ỏ i p h ả i m p h ù h ợ p h m s ố m g ầ n g iố n g m ộ t h m th ự c , v t íc h p h â n c ủ a n ó đ ợ c b iế t đ ế n c c k h o ả n g g iữ a c c đ iể m d ữ liệ u V ì v ậ y , c h ú n g ta c h ỉ c ầ n c ộ n g m ộ t tr o n g c c tíc h p h â n th n h p h ầ n đ ể c ó t í c h p h â n tổ n g c ủ a đ n g c o n g
8.2.1 Các kiểu cơng thức tích phân
C c c ô n g th ứ c t ín h tíc h p h â n p h ổ b iế n n h ấ t đ ố i v i d ữ liệ u rờ i r c q u y tắ c h ìn h c h ữ n h ậ t, c ô n g th ứ c h ìn h t h a n g , p h é p lấ y tíc h p h â n R o m b e r ẹ , c c q u y tắ c c ủ a S im s o n , v c c phép cầu phương Gauss Mỗi cơng thức lai xác cơng thức nêu tên trước n ó , b i v ì n ó đ ặ t m ộ t đ n g c o n g p h ứ c tạ p h n q u a d ữ liệ u đ ể m g ầ n đ ú n g h m g iữ a c c đ iể m d ữ liệ u
8.2.1.1 Q uy tắc h ìn h ch ữ nhật
Q u y tắ c h ìn h c h ữ n h ậ t đ iề n v o k h o ả n g t r ố n g g iữ a h a i đ iể m d ữ liệ u m ộ t h ìn h c h ữ n h ậ t c ó c h i ề u c a o b ằ n g g i trị c ủ a h m s ố tạ i m ộ t tr o n g c c đ iể m d liệ u , v c h i ề u r ộ n g c ủ a n ó b ằ n g c h i ề u r ộ n g c ủ a k h o ả n g c c h Q u y tắ c n y c ó v ẻ n h p h é p tí n h g ầ n đ ú n g r ấ t k é m , n h n g n ó th ự c h i ệ n k h tố t N ó c ũ n g r ấ t d ễ th ự c h i ệ n v ì c h ú n g t a c h ỉ c ầ n n h â n từ n g g iá tr ị d ữ liệ u v i k h o ả n g c c h c ủ a c c g iá trị d ữ liệ u v s a u đ ó c ộ n g lạ i v i n h a u Q u y tắ c n y đ ợ c v iế t n h sa u :
n-1
(20)Q u y t ắ c h ìn h th a n g đ ặ t m ộ t đ n g t h ẳ n g g i ữ a h a i đ i ể m d ữ l i ệ u D i ệ n t í c h c ủ a h ì n h t h a n g đ ợ c t o l ậ p b ằ n g s ố t r u n g b ìn h c a h a i g i tr ị d ữ l i ệ u n h â n v i k h o ả n g c c h c ủ a c h ú n g :
8.2.1.2 Cơng thức hình thang
8.2.1.3 Phép lấy tích p h â n Romberg
C ó t h ể p h t tr iể n q u y tắ c h ìn h Ih a n g b ằ n g c c h sử d ụ n g p h é p lâ y líc h p h â n R o m b e r g P h é p lấ y tíc h p h â n n y k ế t h ợ p h a i s ự u c l ín h tíc h p h â n đ ể c ó k ế t q u ả c t ín h tí c h p h â n c h í n h x c h n T íc h p h â n t h ứ n h ấ t s d ụ n g m ỗ i ( m o i) g iá trị v tíc h p h â n t h ứ h a i s đ ụ n g m ỗ i ( m ọ i) g iá trị k h c :
8.2.1.4 Các quy tắc Sim son
Q u y tắ c 1/3 c ủ a S im s o n đ ặ t m ộ t p h n g t r ìn h c ấ u p lu ro n g ( m ộ t đ o n c ủ a m ộ t p a r a b o l ) q u a g iá trị d ữ li ệ u v s a u đ ó t ín h d iệ n tí c h Q u y tắ c /8 c ủ a S im s o n đ ặ t m ộ t p h c m g tr ì n h b ậ c b a q u a g i tr ị d ữ liệ u C h ú ý c c q u y tắ c c ủ a S im s o n đ ò i h ỏ i c c đ i ể m d ữ liệ u c c h đ ề u n h a u
ở» đ â y h k h o ả n g c c h k h ô n g đ ổ i g iữ a c c đ iể m d ữ liệ u
8 2.1.5 Phép cầu phư n g Gauss
N iêu c h ú n g ta đ a n g t í n h t í c h p h â n m ộ t c ô n g Ih ứ c c h ứ k h ô iiịỉ p h i m ộ t tậ p đ i ể m d ữ liệ u , c h ú n g ta c ó th ể s d ụ n g p h é p c ầ u p h n g G a u s s Đ â> n ị i CƠIH’ th ứ c t ín h tíc h p h â m , m tr o n g đ ó g iá tr ị c ủ a m ộ t tíc h p h â n đ ợ c tìm b ằ n g c c h th i4m v n giii trị c ủ a h m tạ i rm ột v ài d iể m riê n g b iệ t S ố lư ợ n g c c đ iể m c ầ n đ ợ c x c đ ị n h tlie o b ậ c c ủ a đ n g
i=i
n -2 ị