Các bài Luyện tập

CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP TRONG HINH HỌC PHẲNG I.Kiến thức cơ bản(phương trình đường phân giác trong tam giác).. II.Ví dụ minh hoạ.[r]

CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP TRONG HINH HỌC PHẲNG

I.Kiến thức bản(phương trình đường phân giác tam giác)

II.Ví dụ minh hoạ

Ví dụ Cho tam giác ABC, phương trình cạnh AB: 2x+y-5=0; BC: x+2y+2=0; CA: 2x-y+9=0.Viết phương trình đường phân giác A, B tìm tâm, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

Lời giải



1;7



A AB AC A 



4; 3



BABBC B 



4;1



C BCAC C 

*) Các đường phân giác góc B

2 2

4 1

x y  x y 

 

 

 

1

7

2 2

2 2

x y l

x y x y

x y x y x y l

   

    



   

       

 

Với

 

l1 :



 1 7

 

  4 7



0

 Đường phân giác góc B

 

l2 :x y  0

*) Các đường phân giác góc A

2

4

x y  x y  

 

 

 

3

7

2

2

y l

x y x y

x y x y x l

  

    



   

      

 

Với

 

l3 :



 3 7

 





0

 Đường phân giác góc A

 

l4 :x 1

   

2



1;2



I  l  l  I 



,



2.( 1) 5

r d I AB      

Ví dụ Cho tam giác ABC, phương trình cạnh BC: 4x-y-3=0; đường phân giác kẻ từ B,C có phương trình: dB:x 2y 1 0;dC:x y  3 0 Viết phương trình cạnh AB, AC.

Lời giải



B





1;1



B BC  d  B



C





0; 3



B BC  d  C 

1

BB

B C qua

d  



  BB1

B(1;1)

BB (1; 1) qua

VTPT n 

 

 

 



1

BB

 :1(x1) 1( y1) 0  x y 0





1

3

;

2

C

E BB  d  E  

 

E trung điểm BB1





1

3

2.( ) 1;2.( ) 4;

2

B   B

        

 













1

C 0; C 0;

B 4; ( 4; 1)

qua qua

AC AC

qua VTCP CB

 

 

 



 

    

 

 



AC: 1(x-0)-4(y+3)=0 x-4y-12=0

*) Gọi C1 điểm đối xứng với C qua dB, F trung điểm CC1

CC

 :2(x 0) 1( y3) 0  2x y  3





1

7

;

5

B

F CC  d  F  

 

Vì F trung điểm CC1

1

7 14 13

2.( ) 0;2.( ) ;

5 5

C   C  

        

   

AB: 8x+19y-27=0

Ví dụ Cho tam giác ABC, A(2;-4), đường phân giác kẻ từ B,C có phương trình: dB:x y  0; dC:x 3y 0 Viết phương trình cạnh BC.

Lời giải

*) Gọi Gọi A1 điểm đối xứng với A qua dB, D trung điểm AA1

AA

 :x y  0













1

AA B 4; 6;0

D  d  D   A

*) GọiA2 điểm đối xứng với A qua dC, E trung điểm AA2

AA

 :3x y  0





2

6

AA ; ;

5 5

C

E  d  D   A  

   









1

2

A 6;0 C 6;0

2 28

A ; ( ; )

5 5

qua qua

BC BC

qua VTCP A A

 

 



   

 

 

 



 





BC: 1(x 6) 7( y 0) 0  x7y 0

Ví dụ Cho tam giác ABC, A(-1;3), đường cao BH: y=x,đường phân giác CD có phương trình: x3y 2 0 Viết phương trình cạnh BC.

AC

A(-1;3) qua

BH  



  AC

A(-1;3) (1;1) qua

VTPT n 

 

 





AC

 :1(x1) 1( y 3) 0  x y  0



4; 2



C CD AC C 

*) Gọi Gọi A1 điểm đối xứng với A qua CD, D trung điểm AA1

AA

 :3x y  6









1

AA 2;0 3;

D CD D   A  









1

C 4; A 3; qua

BC qua

 

 

  



BC: x 7y18 0

Ví dụ Cho tam giác ABC, B(3;5),C(4;-3),đường phân giác AD có phương trình:

2

x y  Viết phương trình cạnh tam giác ABC. Lời giải













B 3;5 C 4;

B 3;5 (1; 8)

qua qua

BC BC

qua VTCP BC



 

 



 

 

 

 



BC: 8(x 3) 1( y 5) 0  8x y  29 0

*) Gọi B1 điểm đối xứng với B qua AD, D trung điểm BB1

BB

 :2(x 3) 1( y 5) 0  2x y  0





1 2;3

D BB AD D

D trung điểm BB1 B1



2.2 3;2.3 5 



 B1



1;1















1

1

B 1;1 C 4;

B 1;1 ( 3;4)

qua qua

AC AC

qua VTCP CB



 

 



 

 

 

 

 AC: 4(x-1)+3(y-1)=0 4x+3y-7=0

*) Gọi C1 điểm đối xứng với C qua AD, E trung điểm CC1

CC

 :2(x 4) 1( y3) 0  2x y  11 0





1 6;1

E CC AD E

E trung điểm CC1 C1



2.6 4;2.1 3 



 C1



8;5















1

B 3;5 B 3;5

C 8;5 (5;0)

qua qua

AB AB

qua VTCP BC

 

 



 



 

 

 AB: 1(y-5)=0 y-5=0

Lời giải



3; 5



A AD AH  A 

BC

C(-3;1) qua

AH  



  BC:7(x3) 1( y 1) 0  7x y 22 0





C 3;1 C

A ( 6;6)

qua qua

AC AB

qua VTCP AC

 

 



 

 

 

 AC

 :1(x3) 1( y 1) 0  x y  2

*) Gọi C1 điểm đối xứng với C qua AD, E trung điểm CC1

CC

 :3(x3) 1( y 1) 0  3x y 10 0

1

21 13 ;

5

E CC AD E  

 

E trung điểm CC1

1

21 13 27 31

2.( ) 3;2.( ) ;

5 5

C   C  

         

   









1

A 3; A 3; 5

27; 31 42

( ; )

5 5

qua qua

AB AB

qua C VTCP C A

   

 



   

  

 

 



 





AB: 1(x 3) 7( y5) 0  x 7y 38 0

Ví dụ Cho tam giác ABC, C(4;3), đường phân giác AD: x2y 0 , đường trung tuyến AM: 4x13y 10 0 Viết phương trình cạnh tam giác ABC.

Lời giải



9; 2



A AD AM  A 





C 4;3

( 5;5) qua

AC

VTCP AC 

 

  





AC: 1(x 4) 1( y 3) 0  x y  0

*) Gọi C1 điểm đối xứng với C qua AD, D trung điểm CC1

CC

 :2(x 4) 1( y 3) 0  2x y  0





1 3;1

D CC AD D

D trung điểm CC1 C1



2.3 4;2.1 3 



 C1



2; 1















1

C 2; A 9;

2; (7; 1)

qua qua

AB AB

qua C VTCP C A

 

 

 



 

  

 

 



AB: 1(x 2) 7( y1) 0  x7y 5 ( 5; )

M trung điểm BC

7

( ; )

2

b b

M   



7

4 13 10 28 13 39 20

2

b b

M AM          b  b  

 

1 ( 12;1)

b B

   













C 4;3 C 4;3

B 12;1 ( 16; 2)

qua qua

BC AB

qua VTCP CB

 

 



 

   

 

 



BC: 1(x 4) 8( y 3) 0  x 8y20 0

Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD, điểm C(3; -3) điểm A thuộc đường thẳng d: 3x + y -2 = Gọi M trung điểm BC, đường thẳng DM phương trình : x – y –2 = Xác định tọa độ điểm A, B, D

Giải:

A d  A(t; -3t)

Ta có: d(C; DM) = 12 d(A; DM)  | 4t -4 | = | t - | = ⇔

t=3

¿

t=−1

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ t =  A(3, -7) (loại A, C phải khác phía đối DM)

t = -1  A(-1, 5) (thỏa mãn)

Giả sử D(m; m-2)

AD⊥CD

AD=CD

¿⇒

¿(m+1)(m−3)+(m−7)(m+1)=0

m+1¿2

¿ ¿ ¿

¿ ¿⇔m=5⇒D(5;3)

¿ ¿

m−3¿2+¿

m −7¿2=¿

m+1¿2+¿

¿

Gọi I tâm hình vng  I trung điểm AC  I (1; 1)

Do I trung điểm BD  B(-3; -1)

Bài 9: Cho ABC có đỉnh A(2 ; –1) hai đường phân giác góc B, góc C có phương

trình (dB) : x – 2y + = (dC) : x + y + = Lập phương trình cạnh BC Giải

+/ Tìm tọa độ A' (x;y):













2 1

2 AA'

' 0;3

2 2 6

2

2 B x y x y u A

x y x y

I d                                        

+/ Tìm tọa độ A'' (x;y) :













2 1

3 AA''

'' 2;

2 7

3 2 B x y x y u A

x y x y

I d                                          

+/ (BC) qua A'(0;3) có véc tơ phương













3 ' '' 2; // 1;4 :

1 x y A A    u  BC  

 

Bài 10: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + = điểm M (2;4)

Viết phương trình đường thẳng qua M cắt đường tròn điểm A B, cho M trung điểm AB

Giải - Đường tròn (C) :













2

/( )

1 1;3 , 2, M C 1

x  y   I R P       M nằm hình

trịn (C)

- Gọi d đường thẳng qua M(2;4) có véc tơ phương





2 ; :

4 x at u a b d

y bt          

- Nếu d cắt (C) A,B :

















 

2 2 2 2

1 2

at  bt   a b t  a b t  

( có nghiệm t )

Vì điều kiện :









 

2 2 2 2 2

' a b a b 3a 2ab 3b *

        

- Gọi A



2at1;4bt1



,B



2at2;4bt2



 M trung điểm AB ta có hệ :

















1 2

1

1 2

4

0

8

a t t a t t

t t b t t b t t

                      

  Thay vào (1) áp dụng vi ét ta :





1 2

2

0 : :

1

a b x y

t t a b a b d d x y

a b

  

              

 

Bài 11: Viết phương trình cạnh hình vng ABCD biết AB,CD,lần lượt qua điểm P(2;1) Q(3;5), BC AD qua điểm R(0;1) S(-3;-1)

Giải Gọi (AB) có dạng y=kx+b (AD) : y=-1/kx+b'

Cho AB AD qua điểm tương ứng ta có : 2k+b=1 (1)

 

' b

k  

Ta có :









3 '

, ; ,

1

k b k kb

h Q AB h R AD

k k

   

 

  Theo tính chất hình vng :



,





,



25 2 ' '

1

k b k kb

h Q AB h R AD k b k kb

k k

   

       

 

Từ ta có hệ :

2

1

' , , ' 10 , 7, 15, '

3

3 '

k b

k kb k b b k b b

k b k kb

Do : AB x:  3y 1 0,AD x y:  10 0, CD x:  3y12 0, BC: 3x y 1 0 Hoặc : AB: 7x y 15 0, AD x:  7y 0, CD: 7x y  26 0, BC x:  7y 7 III.Bài tập tương tự

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,

1) Cho tam giác ABC, A(3;-3) đường phân giác kẻ từ B C có pt

: 0; :

B C

d x y  d x y  Tìm tọa độ B C.

2) Cho tam giác ABC, A(-1;3) đường phân giác có pt là: x 2y 1 0;x y  3 0. Viết pt cạnh BC.

3) Cho tam giác ABC, AB: 4x3y1 0; AC: 3x4y 0; BC y: 0 a)Viết pt đường phân giác góc A B.

b) Tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC.

4) Cho tam giác A(2;0); (4;1); (1;2)B C Tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC.

5) Cho tam giác A( 6; 3); ( 4;3); (9;2)  B  C Viết pt đường phân giác góc A

6) Cho tam giác ABC, A(0;-1), đường phân giác dB : 3 x4y7;dC: 5x3y8. Viết pt đường phân giác lại.

7) Cho tam giác ABC, A(2;4), đường cao đường phân giác kẻ từ đỉnh có pt: 3x 4y 1 0;2x y  0 .Viết pt cạnh tam giác ABC

8) Cho tam giác MNP, N(2;-1), đường cao MH: 3x 4y27 0 , đường phân giác PD:

2

x y  Viết pt cạnh tam giác MNP