Sóng đàn hồi và ứng dụng trong địa chấn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THÙY LINH SÓNG ĐÀN HỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỊA CHẤN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THÙY LINH SÓNG ĐÀN HỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỊA CHẤN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN NGỌC THÁI NGUYÊN, 2014 i Mục lục Mở đầu 1 Thiết lập phương trình sóng đàn hồi 1.1 Biến dạng ứng suất đàn hồi 1.1.1 Trạng thái đàn hồi vật 1.1.2 Khái niệm ứng suất (Stress) 1.1.3 Khái niệm biến dạng (Strain) 1.2 Các số đàn hồi định luật Hooke suy rộng 1.2.1 Các số đàn hồi 1.2.2 Định luật Hooke suy rộng 1.3 Mật độ lượng biến dạng 1.4 Phương trình cân sóng đàn hồi 1.4.1 Lực tạo ứng suất 1.4.2 Định luật hai Newton - Hệ phương trình cân Navier Cauchy - Hệ phương trình Lame 1.4.3 Tọa độ trụ 1.4.4 Tọa độ cầu 1.5 Điều kiện đầu, điều kiện biên toán liên quan phương trình sóng đàn hồi Định lý nghiệm 1.5.1 Điều kiện đầu 1.5.2 Điều kiện biên 1.5.3 Bài toán Cauchy 1.5.4 Bài toán biên-giá trị ban đầu 1.5.5 Định lý nghiệm 4 4 6 8 Sóng điều hịa-Các sóng đàn hồi điều hòa 2.1 Một số kiến thức bổ trợ 2.1.1 Khái niệm sóng điều hịa 2.1.2 Khái niệm δ hàm Dirac hàm Heaviside 2.2 Biểu diễn nghiệm phương trình sóng đàn hồi 2.2.1 Hệ khơng có nguồn 2.2.2 Hệ có nguồn 2.3 Sóng P, sóng S, sóng SV, sóng SH sóng PSV 2.3.1 Sóng P sóng S (P-sóng S-sóng) 2.3.2 Sóng SV, sóng SH sóng PSV 2.4 Vận tốc pha vận tốc nhóm 2.4.1 Vận tốc pha H(x) 10 10 11 11 11 12 12 12 13 13 13 14 15 15 17 19 19 20 20 20 ii 2.5 2.6 2.7 2.4.2 Vận tốc nhóm 2.4.3 Vận tốc tốc pha vận tốc nhóm số mơi trường Sóng khối phẳng 2.5.1 Phát biểu toán 2.5.2 Bài toán giá trị ban đầu (Bài tốn Cauchy)đối với sóng khối phẳng 2.5.3 Bài tốn giá trị biên đơn giản sóng phẳng Sóng cầu đối xứng sinh hệ Sóng cầu sinh nguồn điểm đơn 2.7.1 Các vị nguồn 2.7.2 Phương trình vị 2.7.3 Công thức chuyển vị Sự phản xạ khúc xạ sóng đàn hồi 3.1 Các phương trình 3.1.1 Các phương trình liên quan tới hai nửa 3.1.2 Thế vị phẳng điều hòa 3.2 Phản xạ khúc xạ sóng SH 3.2.1 Hệ số phản xạ khúc xạ 3.2.2 Phản xạ toàn phần 3.3 Phản xạ sóng P bề mặt tự phẳng không gian 21 22 22 22 23 24 25 28 28 29 30 34 34 34 35 36 36 39 40 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Mở đầu Dưới tác dụng ngoại lực vật rắn bị biến dạng Nếu vật khơi phục hình dạng kích thước ban đầu trạng thái biến dạng nói gọi trạng thái đàn hồi Ngược lại, trạng thái biến dạng gọi dẻo, dư Lý thuyết đàn hồi (LTĐH) môn học nghiên cứu chuyển vị, biến dạng ứng suất xuất vật thể đàn hồi tác dụng tải trọng, hay va chạm với vật khác Nội dung LTĐH bao gồm vấn đề sau đây: • Thiết lập quy luật vật lý LTĐH (Định luật Hooke) ứng suất biến dạng • Thiết lập phương trình LTĐH, điều kiện biên điều kiện đầu • Năng lượng đàn hồi • Định lý tồn nghiệm, v.v Lý thuyết đàn hồi sở để tính toán độ bền biến dạng ổn định kỹ thuật xây dựng, chế tạo máy, khai khoáng lĩnh vực khác kỹ thuật, địa chấn v.v Một ứng dụng quan trọng việc nghiên cứu sóng đàn hồi ứng dụng địa chấn học Sóng địa chấn dạng sóng lượng hình thành lan truyền va chạm lớp địa tầng xảy động đất Sóng địa chấn có nhiều dạng với nhiều cách lan truyền khác nhau, phân hai nhóm lớn sóng khối sóng bề mặt Sóng khối lan truyền tầng đất phía sâu, cịn sóng bề mặt lan truyền lớp đất phía vỏ trái đất Có hai dạng sóng khối sóng P (premier wave-sóng sơ cấp) sóng S (secondary wave-sóng thứ cấp) Thăm dị địa chấn phương pháp địa vật lý nghiên cứu đặc điểm trường sóng dao động đàn hồi mơi trường đất đá nhằm giải nhiệm vụ địa chất khác nhau, nghiên cứu cấu trúc vỏ đất, tìm kiếm thăm dị dầu khí tài ngun khống sản, nghiên cứu móng cơng trình Trong thăm dị địa chấn, kích động nhân tạo nổ mìn, rung, đập người ta kích thích vào mơi trường địa chất xung lực Sự kích thích lực làm đất đá rung động làm xuất sóng đàn hồi Các sóng truyền qua hay phản xạ lớp đất đá máy thu ghi nhận thời gian sóng phản xạ truyền đến dạng băng địa chấn phản ánh thơng tin lớp đất cần thăm dị Luận văn tập trung nghiên cứu chất sóng đàn hồi, loại sóng đàn hồi số ứng dụng vấn đề của địa chấn học Bố cục luận văn gồm có chương: Chương 1: Thiết lập phương trình sóng đàn hồi tuyến tính cổ điển Trong chương có trình bày số kiến thức biến dạng ứng suất đàn hồi, định luật Hooke, mật độ lượng vấn đề chương này, phương trình cân sóng đàn hồi Đã trình bày điều kiện biên điều kiện đầu hệ phương trình sóng đàn hồi Chương 2: Sóng điều hịa - Các sóng đàn hồi Nội dung chương gồm có phần sau • Phần thứ trình bày cách tìm nghiệm hệ phương trình sóng đàn hồi phương pháp vị, đưa hệ phương trình đàn hồi phương trình sóng tuyến tính cấp hai thuộc lớp phương trình hyperbolic lý thuyết phương trình đạo hàm riêng • Phần thứ hai trình bày sóng điều hịa loại sóng đàn hồi, sóng P (sóng sơ cấp), sóng S (sóng thư cấp), sóng thứ cấp đứng ( SV), thứ cấp ngang ( SH), sóng sơ-thứ cấp đứng (PSV), v.v • Phần thứ ba trình bày ba tốn phương trình sóng Đó toán Cauchy toán biên giá trị ban đầu sóng khối phẳng; tốn biên giá trị ban đầu sóng cầu đối xứng biết điều kiện đầu điều kiện biên mặt cầu nhỏ cho trước; tốn Cauchy sóng cầu có nguồn điểm gốc tọa độ Chương 3: Sự phản xạ khúc xạ sóng đàn hồi phẳng Chương trình bày phản xạ khúc xạ sóng SH, sóng P sóng SV bề mặt phân cách z = cửa hai nửa không gian môi trường đàn hồi khác Các vấn đề đề cập luận văn tìm thấy ứng dụng địa chấn học chủ yếu hình thành từ tài liệu [1], [2], [3], [4], [5] [6] Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với TS Nguyễn Văn Ngọc, người Thầy hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn tới thầy, cô giáo Bộ môn Tốn - Tin, Phịng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế , bạn học viên lớp Cao học Toán K6B trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích, động viên tác giả suốt trình học tập làm luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2014 Học viên Phạm Thùy Linh Chương Thiết lập phương trình sóng đàn hồi Chương trình bày sở lý thuyết lý thuyết đàn hồi tuyến tính, bao gồm Định luật Hooke suy rộng mối liên hệ ứng suất biến dạng, phương trình cân bằng, v.v Nội dung chương chủ yếu hình thành từ tài liệu [1], [2], [3] [4] 1.1 Biến dạng ứng suất đàn hồi 1.1.1 Trạng thái đàn hồi vật Dưới tác dụng ngoại lực vật rắn bị biến dạng Nếu vật khơi phục hình dạng kích thước ban đầu trạng thái biến dạng nói gọi trạng thái đàn hồi Ngược lại, trạng thái biến dạng gọi dẻo, dư Xét ví dụ: Giả sử ta kéo nhẹ lị xo khỏi vị trí cân bng lị xo có hình dạng kích thước ban đầu, ta có trạng thái đàn hồi Nếu ta kéo mạnh mạnh sau bng, lị xo khơng thể lấy lại hình dạng kích thước ban đầu nữa, chí bị phá huỷ (hỏng) hồn tồn, ta có trạng thái dẻo (dư), phá huỷ 1.1.2 Khái niệm ứng suất (Stress) Trong lý thuyết đàn hồi, ứng suất khái niệm quan trọng Ta hình dung qua điểm x môi trường vẽ mặt đủ nhỏ ∆S Lực đàn hồi phần môi trường phía ∆S tác động lên phần tử mơi trường phía bên Hợp lực lực nói độ lớn có chiều ngược (lực trực đối) Để nói chiều lực đó, ta vẽ pháp tuyến n đến mặt ∆S Giả sử rằng, lực tác dụng lên ∆S theo hướng pháp tuyến n tĩnh học tương đương với hợp lực T moment cặp lực M Xét đại lượng τ = T/(∆S), µ = M/(∆S) Giả thiết đại lượng tồn giới hạn ∆S → Các giới hạn phụ thuộc vào điểm x pháp tuyến n Nếu chọn hướng ngược lại n giới hạn đổi dấu Nếu qua điểm x ta chọn mặt khác ∆S ta lại có hình ảnh khác Ta giả thiết giới hạn không thay đổi mặt ∆S qua điểm x có pháp tuyến n Ký hiệu τ (n) = lim T/(∆S), ∆S→0 µ(n) = lim M/(∆S) ∆S→0 Các đại lượng τ (n) , µ(n) phụ thuộc vào điểm x thời điểm t Đại lượng τ (n) gọi ứng suất lực, cịn đại lượng µ(n) đựợc gọi ứng suất moment điểm x theo hướng pháp tuyến n Trong không gian ba chiều Oxyz , điểm x = (x, y, z) xét mặt đủ nhỏ qua x vng góc với trục toạ độ với pháp tuyến có hướng hướng trục toạ độ, có véctơ ứng suất: τ x = (τxx , τxy , τxz ), τ y = (τyx , τyy , τyz ), τ z = (τzx , τzy , τzz ), τxx , τxy , τxz tương ứng toạ độ vectơ τ x trục toạ độ Ox, Oy, Oz Tương tự véc tơ τ y τ z Ứng suất có tính chất τxy = τyx , τxz = τzx , Trong nhiều tài liệu dùng ký hiệu σx = τxx , σy = τyy , σz = τzz 1.1.3 Khái niệm biến dạng (Strain) • Chuyển vị Ký hiệu rM bán kính véctơ điểm M P (rM , t) ứng suất, áp suất (trong chất lưu) điểm M không gian Euclid Rn thời điểm t Đơn vị ứng suất N/m2 , hay P a (Paxcan) Xét điểm M (x, y, z) ∈ R3 thuộc đối tượng nghiên cứu thời điểm t Dưới tác dụng lực, trạng thái cân điểm M dịch chuyển (rất nhỏ) đến điểm M (x , y , z ) Véc tơ uM = MM gọi véc tơ chuyển vị điểm M : uM = u(x, y, z; t) Ta có hệ thức: rM = rM + uM • Biến dạng Trong giới hạn đàn hồi có ba loại biến dạng bản: 1) Biến dạng nén ( Compressional strain) = Thể tích thay đổi/ Thể tích ban đầu 2) Biến dạng trượt đơn giản (Simple shear strain ) = Số gia độ dài/ Độ dài ban đầu 3) Biến dạng trượt tuý (Pure shear strain)= Bị nén + Bị kéo (diện tích (area) khơng thay đổi, góc thay đổi) Giả sử tác dụng lực véc tơ chuyển vị điểm (x, y, z) u = (u1 , u2 , u3 ) • Độ biến dạng theo phương Cauchy- Navier ∂ui ∂uj εij = + , εij = εji ∂xj ∂xi (1.1) • Độ biến dạng giãn nở 1) Thể tích nguyên tố ban đầu (Original Volume): V = δxδyδz, 2) Thể tích nguyên tố biến dạng (Deformed Volume): V + δV = (1 + εxx )(1 + εyy )(1 + εzz )δxδyδz, 3) Biến dạng giãn (nở) thể tích nguyên tố: δV = (1 + εxx )(1 + εyy )(1 + εzz ) − V ≈ εii ( lấy tổng theo i từ đến 3) = ∂i ui = ∇.u = divu Vậy ta có cơng thức δV = V.εii = V (εxx + εyy + εzz ) = V ( 1.2 1.2.1 ∂u ∂v ∂w + + ) ∂x ∂y ∂z (1.2) Các số đàn hồi định luật Hooke suy rộng Các số đàn hồi • Modun Young E mô tả đàn hồi dạng kéo, nén dọc theo trục(của thanh, hay lò xo) lực tác dụng đặt dọc theo trục đó, định nghĩa tỷ số 32 → − − Phương trình không phụ thuộc vào λ Véc tơ chuyển vị → u = ∇Φ + ∇ Ψ viết tọa độ cầu sau:  ∂Φ ∂ ur = + (sinϑΨλ ),    ∂r rsinϑ ∂ϑ   ∂Φ ∂ (2.80) − (rΨλ ),  uϑ =  r ∂ϑ r ∂r     uλ = Điều cho thấy sóng P suy từ Φ khơng phải hồn tồn theo chiều dọc, chứa thành phần ngang (trong uϑ ) Tương tự, sóng S suy từ Ψλ khơng phải hồn tồn ngang ur chứa thành phần sóng trượt Thành phần uϑ thứ hai ur thành phần trường gần (near field terms [3]) Ở tính tốn thành phần xa ur uϑ :  cosϑ r   ur K t− (sóng P - theo chiều dọc),    4πρcp r cp (2.81)   sinϑ r  (sóng S - theo chiều ngang). uϑ − K t−  4πρc r c s s r Như vậy, trường chuyển vị xa từ lực K(t) giảm theo Nguồn lực điểm đơn gây đặc tính xạ hình 2.5 Hình 2.5: Đặc tính xạ lĩnh vực xa nguồn lực điểm Các đặc tính xạ ( sóng P S ) hai vịng trịn, sóng S có bán kính c2p lớn sóng P Nếu góc xạ ϑ thay đổi cho r cố định, chuyển vị ur c2s tỷ lệ thuận với khoảng cách OP1 , chuyển vị uϑ tỷ lệ thuận với khoảng 33 cách OP2 Các dấu hiệu chuyển ur thay đổi trình chuyển đổi từ vòng tròn đến vòng tròn thứ hai Đặc điểm xạ 3-D đầy đủ thể hình 2.5 xoay quanh đạo lực lượng Trong khn khổ phương trình trường xa ( 2.81) Trong thực tế nguồn lực điểm đơn thường đặt vng góc với bề mặt tự mơi trường cần khảo sát Vì vậy, mơ hình xét phù hợp với vấn đề kích thích rung - địa chấn vụ nổ gần bề mặt tự 34 Chương Sự phản xạ khúc xạ sóng đàn hồi phẳng Chương trình bày phản xạ khúc xạ sóng đàn hồi phẳng mặt phân cách hai nửa khơng gian Các sóng sóng đàn hồi điều hịa Để thuận tiện, chương này, sóng điều hịa cho dạng hàm mũ với đối ảo Nội dung chủ yếu chương hình thành từ tài liệu [3] 3.1 3.1.1 Các phương trình Các phương trình liên quan tới hai nửa khơng gian Chúng ta xét hai nửa không gian ngăn cách mặt phẳng z = Giả thiết sóng không phụ thuộc vào biến y, nên xét tốn mặt phẳng vng góc với trục Oy Ta ký hiệu thơng số nửa không gian (αj , βj , ρj , λj , µj ), với j = ta có nửa khơng gian trên, j = ứng với nửa khơng gian dưới, αj , βj tương ứng vận tốc sơ cấp vận tốc thứ cấp, ρj mật độ khối, λj , µj số Lame: αj = λj + 2µ , ρj βj = µj ρj Véc tơ chuyển vị → − u = (u, v, w); u = u(x, z), v = v(x, z), w = w(x, z) Biểu diễn chuyển vị theo vị → − u = ∇Φ + ∇ × Ψ 35 Ta có ∂Φ ∂Ψ2 − , ∂x ∂z ∂Ψ1 ∂Ψ3 − , v= ∂z ∂x ∂Φ ∂Ψ2 w= + ∂z ∂x u= Rõ ràng thành phần v phụ thuộc vào Ψ1 Ψ3 , thành phần u, w phụ thuộc vào Φ Ψ2 Với giả thiết ∂Ψ1 ∂Ψ3 + = 0, ∂x ∂z viết Ψ thay cho Ψ2 , ta có ∂ 2Φ , α2 ∂t2 ∂ 2Ψ ∇2 Ψ = 2 , β ∂t ∂ 2v ∇2 v = 2 , β ∂t ∂2 ∂ + , ∇ = ∂x2 ∂z ∂Φ ∂Ψ u= − , ∂x ∂z ∂Φ ∂Ψ w= + ∂z ∂x ∇2 Φ = (3.1) (3.2) (3.3) Các công thức cần thiết ứng suất (3.4) τzx (3.5) τzy 3.1.2 ∂ 2Φ ∂ 2Ψ λ ∂ 2Φ + 2µ + , α2 ∂t2 ∂z ∂x∂z ∂ 2Φ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ , + − =µ ∂x∂z ∂x2 ∂z ∂v =µ ∂z τzz = σz = (3.6) Thế vị phẳng điều hịa • Thế vị điều hòa dạng phức → − → − x.k Φ = A exp iω t − α → − → − → − x.k Ψ = B exp iω t − α , (3.7) → − n (3.8) 36 → − − Ở giả thiết A, B số (thực phức), k , → n véc tơ − đơn vị, → x bán bính véc tơ địa phương, ω tần số góc, i đơn vị ảo, α, β tương ứng vận tốc đàn hồi sơ cấp thứ cấp, t biến thời gian • Một số biểu thức vi phân vị điều hòa → − → − iω x.k ∇Φ = − A exp iω t − α α → − → − → − iω x.k ∇ × Ψ = − B exp iω t − β β 3.2 3.2.1 → − k, → − k × n (3.9) (3.10) Phản xạ khúc xạ sóng SH Hệ số phản xạ khúc xạ Chuyển vị v0 cố sóng SH mặt phẳng vng góc với trục Oy v0 = C0 exp iω t − cosϕ sinϕ x− z β1 β1 (3.11) Ở ký hiệu C0 biên độ sóng, β1 (β2 ) vận tốc sóng thứ cấp, ω tần số góc sóng, ϕ góc tới sóng (xem hình 3.1) Hình 3.1: Sự cố nhiễu xạ phản xạ sóng SH Giả sử hai mơi trường đàn hồi khác chiếm hai nửa không gian phân cách mặt phẳng z = Trong môi trường đồng đẳng hướng tia sóng truyền thẳng, gặp bề mặt phân cách với môi trường khác 37 phần sóng tới bị phản xạ trở lại môi trường cũ, phần truyền sang môi trường khác với hướng truyền thay đổi gọi tia khúc xạ Trên hình 3.1, v1 ϕ1 tương ứng tia góc phản xạ, cịn v2 ϕ2 tương ứng tia góc khúc xạ Phản xạ : v1 = C1 exp iω t − sinϕ1 cosϕ1 x+ z β1 β1 , β1 = µ1 ρ1 (3.12) Khúc xạ : v2 = C2 exp iω t − sinϕ2 cosϕ2 x− z β2 β2 , β2 = µ2 ρ2 (3.13) Các ẩn số góc ϕ1 ϕ2 , hệ số phản xạ rss = C1 /C0 hệ số khúc xạ bss = C2 /C0 Các điều kiện biên yêu cầu z = tính liên tục chuyển vị (là yêu cầu hợp lý ) liên tục ứng suất pháp tuyến ứng suất tiếp tuyến Điều dẫn đến:  v0 + v1 = v2 ,  z = (3.14) ∂ ∂v2  µ (v + v ) = µ ∂z ∂z Các thành phần ứng suất τzz τzx khơng khắp nơi, khơng có sóng P sóng SV xảy Đưa (3.11), (3.12) (3.13) vào (3.14) Từ điều kiện biên dẫn đến: C0 exp iω t− sinϕ x β1 + C1 exp iω t− sinϕ1 x β1 = C2 exp iω t− sinϕ2 x β2 (3.15) Định luật Snell sóng ϕ1 = ϕ, sinϕ sinϕ1 sinϕ2 = = β1 β1 β2 (3.16) Suy sinϕ2 β2 = sin ϕ β1 Từ (3.15) (3.16) suy C2 − C1 = C0 (3.17) Điều kiện biên thứ hai (3.14) cho: µ1 iω − cosϕ cosϕ1 C0 + C1 β1 β1 = −µ2 iω cosϕ2 C2 β2 38 Với ϕ1 = ϕ µ1,2 /β1,2 = ρ1 1, 2β1,2 , suy ρ1 β1 cosϕ(C1 − C0 ) = −ρ2 β2 cosϕ2 C2 , ρ2 β2 cossϕ2 C2 + C1 = C0 ρ1 β1 cosϕ (3.18) Từ (3.17) (3.18), suy hệ số phản xạ khúc xạ: C1 ρ1 β1 cosϕ − ρ2 β2 cosϕ2 = , C0 ρ1 β1 cosϕ + ρ2 β2 cosϕ2 C2 2ρ1 β1 cosϕ = = C0 ρ1 β1 cosϕ + ρ2 β2 cosϕ2 rss = (3.19) bss (3.20) Chú ý đến (3.16) ta có β2 − 22 sin2 ϕ β1 cosϕ2 = (1 − sin2 ϕ2 ) = (3.21) Đối với trường hợp vng góc (ϕ = 0): rss = ρ1 β1 − ρ2 β2 , ρ1 β1 + ρ2 β2 bss = 2ρ1 β1 ρ1 β1 + ρ2 β2 Trong trường hợp này, rss bss phụ thuộc vào trở kháng ρ1 β1 ρ2 β2 hai nửa không gian Đối với góc tới là mặt phân cách (ϕ = π/2), rss = −1 bss = Các giá trị tuyệt đối biên độ sóng phản xạ khơng lớn sóng tới ; sóng khúc xạ lớn ρ2 β2 < ρ1 β1 (ví dụ cho ϕ = 0) Nếu rss âm, điều có nghĩa điểm mặt phân cách dịch chuyển vector sóng phản xạ theo hướng −y , dịch chuyển vector sóng tới theo hướng +y Với kích thích xung (xem thêm sau ), điều có nghĩa hướng chuyển động sóng tới sóng phản xạ ngược Các số sau cho thấy |rss | hàm ϕ cho tỷ lệ vận tốc khác β1 /β2 > ρ1 = ρ2 39 Hình 3.2: |rss | hàm ϕ cho tỉ lệ vận tốc khác 3.2.2 Phản xạ toàn phần Hiện tượng, sóng khúc xạ là mặt phân cách hai môi trường (ϕ2 = π/2) gọi phản xạ toàn phần Nếu β2 < β1 , hình 3.2 , cosϕ2 thực cho tất góc tới ϕ, cho rss bss Phản xạ toàn phần, tức giá trị góc tới |rss | = Nếu β2 > β1 , cosϕ2 có giá trị thực ϕ ≤ ϕ∗ = arcsin β1 β2 40 Hình 3.3: |rss | hàm ϕ cho tỉ lệ vận tốc khác ϕ∗ góc tới hạn (góc giới hạn phản xạ tồn phần) Theo (3.21), ϕ = ϕ∗ gắn với trường hợp lan truyền là sóng nửa khơng gian thứ hai (ϕ2 = π/2) 3.3 Phản xạ sóng P bề mặt tự Việc nghiên cứu phản xạ sóng sơ cấp P từ bề mặt tự có tầm quan trọng thiết thực cho địa chấn học Sóng P từ trận động đất vụ nổ lan truyền xuyên qua Trái đất tác động đến trạm địa chấn từ bên Di dời đường nằm ngang đường thẳng đứng thay đổi bề mặt tự Hơn nữa, phản xạ sóng P sóng S phản xạ xuống ghi nhận khoảng cách lớn hơn, với biên độ lớn Do đó, hữu ích cần thiết để biết hệ số phản xạ bề mặt trái đất Cho thời điểm này, bỏ qua chất phân tầng vỏ trái đất mơ hình chúng ta, đó, đưa xấp xỉ với thực tế 41 Hình 3.4: Sóng tới P sóng phản xạ P,SV Tương tự sóng điều hịa SH, ta có • Sóng tới P Φ0 = A0 exp iω t − sinϕ cosϕ x− z α α (3.22) • Sóng phản xạ P Φ1 = A1 exp iω t − cosϕ1 sinϕ1 x+ z α α (3.23) t− sinϕ1 cosϕ1 x+ z β β (3.24) • Sóng phản xạ SV Ψ1 = B1 exp iω Ở đây, để thuận tiện ký hiệu α, β tương ứng vận tốc sơ cấp sóng thứ cấp Các điều kiện biên z = yêu cầu triệt tiêu ứng suất pháp ứng suất tiếp τzz = τzx = Khơng địi hỏi điều kiện biên mặt z = chuyển vị Với (3.4), (3.5) Φ = Φ0 + Φ1 , Ψ = Ψ1 suy điều kiện biên sau đây: ∂2 2µ ∂ ∂ Ψ1 (Φ + Φ ) + (Φ + Φ ) + = 0, 1 α2 ∂t2 λ ∂z ∂x∂z z = 0, (3.25) ∂2 ∂ Ψ1 ∂ Ψ1 (Φ0 + Φ1 ) + − = 0, ∂x∂z ∂x2 ∂z z = (3.26) Định luật Snell sinϕ1 sinϕ sinϕ1 = = α α β (3.27) 42 Từ đó, có kết ϕ1 = ϕ ϕ1 = arcsin( αβ sinϕ) < ϕ Với (3.22)-(3.24) µ µ ρβ β2 = = = , λ λ + 2µ − 2µ ρα2 − 2ρβ α − 2β từ (3.25) dẫn đến +2 β2 α2 − 2β (A0 + A1 )(iω)2 α2 −iω iω iω sinϕ1 )( cosϕ1 ) = (A0 + A1 )( cosϕ)2 + B1 ( α β β Suy sinϕ1 cosϕ1 α2 β cos2 ϕ A0 + A1 + 2 (A0 + A1 ) − B1 = α − 2β α β2 Với 1+ γ= 2β 2β 2 cos ϕ = α2 − 2β α2 − 2β α2 − + cos2 ϕ 2β = 2β α2 − 2β α2 − sin2 ϕ 2β = β2 α2 − 2β α2 − 2sin2 ϕ β2 = γ − 2sin2 γ , γ−2 α2 > , ta có β2 2γsinϕ1 cosϕ1 γ − 2sin2 ϕ (A0 + A1 ) − B1 = γ−2 γ−2 Từ đó: (γ − 2sin2 ϕ) B1 A1 − 2sinϕ(γ − sin2 ϕ) = 2sin2 ϕ − γ A0 A0 Phương trình (3.26) cho: 2A0 − iω sinϕ α +B1 − iω iω cosϕ + 2A1 − sinϕ α α iω − sinϕ1 β − B1 iω cosϕ1 β iω cosϕ α = 0, sin2 ϕ1 − cos2 ϕ1 2sinϕcosϕ (A − A ) + B1 = 0 α2 β2 (3.28) 43 Phương trình (3.27) cho: 2sinϕcosϕ B1 A1 + (γ − 2sin2 ϕ) = 2sinϕcosϕ A0 A0 (3.29) Từ (3.28) (3.29) ta có tỷ số biên độ A1 4sin2 ϕ cos ϕ(γ − sin2 ϕ) − (γ − sin2 ϕ)2 = , A0 sin2 ϕ cos ϕ(γ − sin2 ϕ) + (γ − sin2 ϕ)2 B1 sin ϕ cos ϕ(γ − sin2 ϕ) = A0 sin2 ϕ cos ϕ(γ − sin2 ϕ) + (γ − sin2 ϕ)2 (3.30) (3.31) iω Biên độ dịch chuyển sóng tới P − iω α A0 ,của sóng phản xạ P − α A1 Điều sau cung cấp cho ta hệ số phản xạ PP: Rpp = A1 A0 (3.32) Phương trình (3.10) cung cấp cho biên độ dịch chuyển sóng phản xạ SV − iω β B1 Như vậy, hệ số phản xạ PS Rps = α B1 β A0 (3.33) Rpp Rps thực tần số độc lập cho tất góc tới ϕ Rps ln dương Cho ϕ = ϕ = π2 , Rpp = −1 Rps = 0, tương ứng, có sóng P phản xạ Hình 3.5: Hệ số phản xạ khúc xạ sóng P cho góc tới ϕ khác Ý nghĩa dấu âm hệ số phản xạ trở nên rõ ràng, vector chuyển 44 vị sóng tới sóng phản xạ biểu diễn thơng qua (3.9) (3.10) iω → − u = ∇Φ0 = − A0 exp iω α t− iω → − u = ∇Φ1 = − A0 Rpp exp iω α iω → − u = ∇ × Ψ = − A0 Rps exp iω α β ϕ1 = arcsin sin ϕ α sin ϕ cos ϕ x− z α α t− → − k 0, sin ϕ cos ϕ x+ z α α t− (3.34) → − k 1, sin ϕ1 cosϕ1 x− z β β (3.35) → − − k1×→ n ,(3.36) Hình 3.6: Chiều phân cực sóng phản xạ P SV Rpp < 0, có nghĩa dịch chuyển sóng phản xạ P điểm → − mặt phân cách (z = 0) hướng k1 , sóng tới → − hướng k0 Đối với trường hợp tia sóng tới, Rps < 0, dịch chuyển → − − sóng phản xạ SV theo hướng k1 × → n 45 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau đây: Thiết lập phương trình sóng đàn hồi tuyến tính cổ điển dạng ứng suất dạng chuyển vị tọa độ Decarthes, tọa độ trụ tọa độ cầu Trình bày điều kiện đầu, điều kiện biên Định lý nghiệm toán biên Trình bày cách tìm nghiệm hệ phương trình sóng đàn hồi phương pháp vị, đưa hệ phương trình đàn hồi phương trình sóng tuyến tính cấp hai thuộc lớp phương trình hyperbolic lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Trình bày sóng điều hịa loại sóng đàn hồi bản, sóng P(sóng sơ cấp), sóng S (sóng thứ cấp), sóng thứ cấp đứng (SV), thứ cấp ngang (SH), sóng sơ - thứ cấp đứng (PSV), v.v Xét ba toán phương trình sóng Đó tốn Cauchy tốn biên giá trị ban đầu sóng khối phẳng; toán biên giá trị ban đầu sóng cầu đối xứng biết điều kiện đầu điều kiện biên mặt cầu nhỏ cho trước; tốn Cauchy sóng cầu có nguồn điểm gốc tọa độ Xét phản xạ khúc xạ sóng đàn hồi phẳng: SH sóng P bề mặt phân cách z = cửa hai nửa không gian môi trường đàn hồi khác 46 Tài liệu tham khảo [1] Đào Huy Bích (1979) , Lý thuyết đàn hồi, NXB ĐH THCN [2] Aki, K and P.G Richards (2000) , Quantitative Seismology: Theory and Methods, Freeman and Co.,San Francisco [3] Gerhard Muller (2007),Theory of Elastic Waves, Germany [4] Gerard T Schuster (2003), Basic Seismic Wave Theory, University of Utah [5] Internet: vi wikipedia.org; bachkhoatrithuc.vn, vatlyphothong.net, vatlyphothong.vn [6] V S Vladimirov (1971), Equations of Mathematical Physics, Dekker, INC, New York Marcel ... dụng quan trọng việc nghiên cứu sóng đàn hồi ứng dụng địa chấn học Sóng địa chấn dạng sóng lượng hình thành lan truyền va chạm lớp địa tầng xảy động đất Sóng địa chấn có nhiều dạng với nhiều cách... trình sóng đàn hồi 2.2.1 Hệ khơng có nguồn 2.2.2 Hệ có nguồn 2.3 Sóng P, sóng S, sóng SV, sóng SH sóng PSV 2.3.1 Sóng P sóng S (P -sóng S -sóng) 2.3.2 Sóng. .. thời gian sóng phản xạ truyền đến dạng băng địa chấn phản ánh thông tin lớp đất cần thăm dò Luận văn tập trung nghiên cứu chất sóng đàn hồi, loại sóng đàn hồi số ứng dụng vấn đề của địa chấn học