Sóng âm và ứng dụng trong địa chấn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THU HƯƠNG SÓNG ÂM VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỊA CHẤN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THU HƯƠNG SÓNG ÂM VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỊA CHẤN Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN NGỌC THÁI NGUYÊN, 2014 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Cơ sở vật lý sóng âm 1.1 Khái niệm 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các đặc trưng vật lý sóng 1.2 Hiệu ứng Doppler ứng dụng 1.2.1 Hiện tượng Doppler 1.2.2 Tần số Doppler 1.2.3 Súng bắn tốc độ 1.2.4 Siêu âm Doppler 1.3 Các sóng AM FM 1.3.1 Nguyên lý phát thu sóng AM 1.3.2 Nguyên lý phát thu sóng FM 1.4 Các sóng siêu âm hạ âm 1.4.1 Sóng siêu âm 1.4.2 Sóng hạ âm Phương trình sóng âm Sóng âm điều hịa Địa chấn khúc xạ 2.1 Các định luật phương trình sóng âm 2.1.1 Các ký hiệu toán học 2.1.2 Các ký hiệu học 2.1.3 Định luật Hooke (The Hooke’s Law) 2.1.4 Định luật hai Newton (The Second Newton’s Law) 2.2 Phương trình sóng âm (Acoustic Wave Equation) 2.3 Sóng âm điều hồ 2.3.1 Sóng điều hồ chiều mơi trường đồng 2.3.2 Sóng hai chiều mơi trường đồng 4 4 6 7 9 10 11 11 11 14 14 14 15 15 15 16 16 16 17 2.4 2.5 2.6 2.7 2.3.3 Sóng ba chiều mơi trường đồng Vận tốc pha vận tốc nhóm 2.4.1 Vận tốc pha 2.4.2 Vận tốc nhóm Năng lượng trình truyền sóng âm 2.5.1 Mật độ lượng sóng đàn hồi 2.5.2 Véctơ mật độ thơng (mật độ dịng lượng ) Truyền sóng phẳng hai nửa khơng gian 2.6.1 Sóng tới thẳng góc với bề mặt phân cách 2.6.2 Sóng tới xiên góc với bề mặt phân cách Định luật Snell (Snell’s Law) 2.6.3 Hệ số phản xạ vận tốc hạt Phương pháp địa chấn khúc xạ nghiên cứu môi trường địa tầng 2.7.1 Khái niệm 2.7.2 Môi trường hai lớp song song 2.7.3 Môi trường ba lớp song song Bài tốn Cauchy phương trình sóng 3.1 Hàm suy rộng 3.1.1 Khái niệm δ hàm Dirac hàm suy rộng 3.1.2 Các không gian hàm D S 3.1.3 Không gian hàm suy rộng D S 3.1.4 Đạo hàm hàm suy rộng 3.2 Biến đổi Fourier 3.2.1 Biến đổi Fourier hàm thông thường 3.2.2 Biến đổi Fourier hàm suy rộng 3.3 Nghiệm tốn tử sóng ứng dụng 3.3.1 Nghiệm tốn tử sóng 3.3.2 Nghiệm suy rộng toán Cauchy toán tử 3.3.3 Nghiệm cổ điển toán Cauchy 17 18 18 20 20 20 21 21 21 23 26 28 28 29 31 sóng 33 33 33 34 35 36 36 36 37 37 37 38 39 Phương pháp sai phân giải phương trình sóng 41 4.1 Phép tính gần sai phân hữu hạn 41 4.2 Các thuật toán số cho phương trình sóng 46 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa hoc - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Nguyễn Văn Ngọc, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt q trình hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học, người trực tiếp giảng dạy giúp đỡ tác giả trình học tập trường toàn thể bạn bè người thân đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tác giả q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tuy nhiên, hiểu biết thân hạn chế, nên luận văn khơng tránh khỏi khiếm khuyết Kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy, bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, ngày 10 tháng 08 năm 2014 Tác giả Phạm Thị Thu Hương MỞ ĐẦU Âm học nhánh vật lý học, nghiên cứu lan truyền sóng âm mơi trường khác tác động qua lại chúng với môi trường vật chất Âm phát sinh từ nhiều nguồn, thí dụ tiếng nói người, tiếng động vật kêu, tiếng trống tiếng đàn phát từ nhạc cụ v.v Nói chung, âm phát có va chạm vật Trong thực tế, âm tạo từ nhiều cách khác Trong khơng gian rộng mở sóng âm truyền tự theo hướng Trong không gian hạn hẹp hay bị vật cản, sóng âm bị phản hồi giao thoa với sóng khác, tạo nên giao thoa sóng Sóng âm ứng dụng nhiều ngành kỹ thuật y học Người ta sử dụng sóng âm để tìm vị trí dị tật khối đó, vị trí mỏ lịng đất Sóng âm bị vật cản bị phản xạ, sóng phản xạ cho biết vị trí vật bên khối hay lịng Quả Đất Các sóng hạ âm siêu âm ứng dụng nhiều y học kỹ thuật cao Âm học đóng vai trị quan trọng hệ thống thông tin viễn thông, radio, tivi, điện thoại, máy tính, v.v Một ứng dụng quan trọng âm học phương pháp địa chấn khúc xạ để nghiên cứu bên lòng Quả Đất Các tượng âm mơ tả phương trình tốn học ∂ 2P − c2 ∆P = f, (1) ∂t P = P (x, t), x = (x1 , x2 , , xn ) biểu thị áp suất mơi trường sóng âm gây ra, c vận tốc truyền âm mơi trường Phương trình (1) phương trình quan trọng vật lý tốn Mục đích luận văn tìm hiểu học tập sâu thêm tượng âm ứng dụng chúng địa chấn,tìm hiểu phương pháp tốn học hữu hiệu giải phương trình sóng âm Bố cục luận văn gồm Mở đầu, bốn chương nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương : Cơ sở vật lý sóng âm Chương trình bày sở vật lý sóng âm, bao gồm khái niệm âm học, đặc trưng vật lý sóng âm, hiệu ứng Doppler ứng dụng Nguyên lý phát thu sóng AM FM Các sóng siêu âm hạ âm v.v Chương : Phương trình sóng âm Sóng âm điều hịa Địa chấn khúc xạ Chương trình bày Định luật Hooke, Định luật hai Newton thành lập phương trình sóng âm sở hai định luật Xét phương trình sóng âm điều hịa, định luật sóng khúc xạ phản xạ, vận tốc pha, vận tốc nhóm, lượng sóng v.v Các ứng dụng sóng âm địa chấn học Chương : Bài toán Cauchy phương trình sóng Chương trình bày tốn Cauchy cho phương trình sóng âm Đã tiếp cận lý thuyết hàm suy rộng biến đổi tích phân Fourier trình bày nghiệm suy rộng nghiệm cổ điển tường minh tốn Cauchy phương trình sóng với số chiều n = 1, Chương : Phương pháp sai phân giải phương trình sóng Chương trình bày phương pháp sai phân hữu hạn giải gần toán biên giá trị ban đầu phương trình sóng chiều khoảng hữu hạn Chương Cơ sở vật lý sóng âm Chương trình bày sở vật lý tượng âm ứng dụng thường nhật tượng âm Nội dung chương hình thành từ nhiều tài liệu khác nhau, đặc biệt tài liệu [2] 1.1 Khái niệm 1.1.1 Định nghĩa Sóng âm sóng áp suất mơi trường vật chất(sóng học) dao động nén-giãn theo phương truyền sóng (sóng dọc) Tai người cảm nhận sóng âm có tần số từ 16 Hz đến 20000 Hz Sóng có tần số 16 Hz gọi sóng hạ âm (ví dụ, sóng địa chấn, sóng sinh học, v.v ) Sóng có tần số cao 20 000 Hz gọi sóng siêu âm Tai người nghe thính với âm có tần số từ 1000 Hz đến 000 Hz 1.1.2 Các đặc trưng vật lý sóng Khoảng thời gian ngắn để thực dao động(động toàn phần) gọi chu kỳ (period) hiệu T, đơn vị chu kỳ giây (s) Số lần dao động thực giây gọi tần số (frequency) ký hiệu f Đơn vị chu kỳ hec (Hz) Như : f= T (1.1) Tần số góc (angular frequency) (rad/s): ω = 2πf = 2π T (1.2) Khoảng cách hai điểm gần môi trường dao động đồng pha phương truyền sóng gọi bước sóng (wavelength) Bước sóng ký hiệu λ có đơn vị mét (m) Nếu c vận tốc sóng (vận tốc truyền pha dao động: wave propagation velocity) c λ = cT = f (1.3) • Vận tốc sóng âm dây kim loại lị xo: c= F , D F lực căng (N ), D khối lượng đơn vị dài(kg/m) • Vận tốc sóng âm chất lưu: 331, √ c≈ √ τ , τ nhiệt độ tuyệt đối (K o ), 273 • Vận tốc trung bình sóng âm số chất: cthép ≈ 4980m/s, cnước ≈ 1450m/s ckhơng khí ≈ 332m/s Độ rời cực đại phần tử dao động so với vị trí cân gọi biên độ (biên độ sóng) Biên độ sóng ký hiệu A (Amplitute), có đơn vị mét (m) Năng lượng sóng khơng định chỗ, ln truyền từ chỗ đến chỗ khác Do người ta đưa khái niệm " cường độ âm" lượng lượng truyền qua đơn vị diện tích vng góc với véctơ vận tốc sóng đơn vị thời gian Như vậy, cường độ âm có thứ ngun ốt/mét vng Dịng lượng sóng cho cơng thức I = ρω A2 c = 2ρπ f A2 c (1.4) • Tiếng nói thầm: I ≈ 10−6 w/m2 • • • • Tiếng cịi ô tô: I ≈ 10−3 w/m2 Tiếng còi báo động: I ≈ 1w/m2 Nếu f = 50Hz, Ingưỡng nghe ≈ 10−7 w/m2 Nếu f = 1000Hz, Ingưỡng nghe ≈ 10−12 w/m2 Mức cường độ âm điểm đại lượng vật lý xác định theo công thức I L = lg , Io I0 = 10−12 w/m2 cường độ âm chuẩn, I − cường độ âm điểm xét (1.5) Đơn vị mức cường độ âm ben (B) Thông thường người ta đo mức cường độ âm dexiben (dB): 1B=10 dB • Tiếng nói thầm: L ≈ 20dB • Tiếng chân người đi: L ≈ 48dB • Tiếng nói to: L ≈ 80dB Sóng âm có mức cường độ âm cao nghe rõ Khi mức cường độ âm lớn đến mức gây cảm giác đau tai Độ to âm nằm phạm vi từ ngưỡng nghe đến ngưỡng đau 1.2 1.2.1 Hiệu ứng Doppler ứng dụng Hiện tượng Doppler Khi di chuyển, nguồn phát âm di chuyển, chúng ta nghe thấy thay đổi âm (cao, thấp) truyền đến tai Hiện tượng gọi hiệu ứng Doppler Hiện tượng vật lý đặt theo tên nhà vật lý người Áo, Christian Andreas (Johann) Doppler, người phát tượng Doppler cho rằng, tiếng động đến gần bạn, nguồn phát tiến lại gần bạn, bạn phía phát âm thanh, cường độ tăng lên cường độ thật Ngược lại, nguồn phát âm xa, bạn xa nguồn âm, âm mà bạn nghe có cường độ thật Hiện tượng Doppler xảy khoảng cách đến nguồn âm thay đổi độ dài ngắn thời gian nghe âm Nếu bạn nghe sóng âm có tần số khơng đổi khoảng thời gian ngắn dài, bạn có cảm giác âm có tần số, cao thấp khác Biểu diễn toán học hiệu ứng Doppler Đối với sóng chuyển động mơi trường, sóng âm, nguồn sóng người quan sát chuyển động tương đối so với mơi trường Hiệu ứng Doppler lúc tổng hợp hai hiệu ứng riêng rẽ gây hai chuyển động Công thức biểu thị tần số thật sóng âm tần số cuả âm Chương Phương pháp sai phân giải phương trình sóng Phương pháp sai phân hữu hạn (SPHH) phương pháp số quan trọng hữu hiệu giải phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt phương trình sóng Phương pháp SPHH thuộc lớp phương pháp điểm lưới (grid-point methods) Trong phương pháp điểm lưới miền tính tốn bao phủ lưới khơng gian Chương trình bày cách tiếp cận phương pháp SSHH phương trình sóng chiều cho khoảng hữu hạn Nội dung chương chủ yếu dựa tài liệu [1] [5] 4.1 Phép tính gần sai phân hữu hạn Phương pháp SPHH áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật kinh tế Nó đưa tốn giải phương trình vi phân (phương trình đạo hàm riêng) việc giải phương trình hệ phương trình sai phân, tức hệ thức nhiều hệ thức liên hệ giá trị hàm số điểm rời rạc Chúng ta bắt đầu với đạo hàm cấp Phép tính gần sai phân hữu hạn đơn giản thường khác Xét lược đồ sai phân tiến u (x + h) − u (x) ≈ u (x) h (4.1) xuất định nghĩa tính tốn ban đầu đạo hàm Thật vậy, u(x) hàm khả vi x, đạo hàm u (x) theo định nghĩa, giới hạn biểu thức bên trái (4.1) h → Về mặt 41 hình học, thương khác biệt đo độ dốc đường cát tuyến qua hai điểm (x, u(x)) (x + h, u(x + h)) đồ thị Trong biểu thức trên, tham số h gọi bước hay kích thước sai phân, giả sử nhỏ : |h| Khi h > 0, (4.1) gọi công thức sai phân tiến Khi h < (4.1) gọi cơng thức sai phân lùi Để tính xấp xỉ đạo hàm cấp hai cao hơn, ta xét công thức Taylor hàm u(x) x, với giả thiết u(x) có đạo hàm cấp khơng nhỏ hai Ta có : (4.2) u(x + h) = u(x) + u (x)h + u (ξ)h2 , ξ phụ thuộc vào x h, điểm nằm x x + h Viết lại (4.2) sau : u(x + h) − u(x) − u (x) = u (ξ)h h Ta thấy, lỗi xấp xỉ sai phân hữu hạn (4.1) bao quanh bội số kích thước bước u(x + h) − u(x) − u (x) ≤ C|h| h với C = max |u (x)| phụ thuộc vào độ lớn đạo hàm thứ hai Vì sai số tỉ lệ thuận với h, ta nói cơng thứ (4.1) xấp xỉ cấp đạo hàm u (x) Khi cơng thức xác cho sai số không quan trọng, nên người ta thường viết u (x) = u(x + h) − u(x) + O(h) h (4.3) Ký hiệu O(h) có nghĩa tỉ lệ thuận với h Ví dụ 4.1 Cho u(x) = sin x Chúng ta cố gắng để tính gần u (1) = cos = 0, 5403023 Dùng máy tính tính tốn sai phân thương số cos ≈ sin(1 + h) − sin h 42 Hình 4.1: Tính gần sai phân hữu hạn Kết thu cho giá trị sai lệch nhỏ h tổng hợp bảng h 0,1 0,01 0,001 0,0001 Xấp xỉ 0,497364 0,536086 0,539881 0,540260 Sai lệch -0,042939 -0,00421 -0,000421 -0,000042 làm 10 giảm kích thước lỗi khoảng yếu tố tương tự Vì vậy, để có 10 chữ số thập phân độ xác, chúng tơi dự kiến cần kích thước bước khoảng h = 10−11 Thực tế sai lệch nhiều tỷ lệ thuận với kích thước bước khẳng định đối phó với thứ tự xấp xỉ số Chúng nhận thấy việc giảm kích thước bước theo hệ số Để tính gần dẫn xuất bậc cao, cần phải đánh giá chức nhiều hai điểm Nói chung, xấp xỉ đạo hàm để thứ n u(n) (x) địi hỏi n + điểm mẫu riêng biệt Để đơn giản, hạn chế tập trung để điểm lấy mẫu cách nhau, để lại trường hợp tổng quát cho tập Ví dụ, cố gắng để tính gần u (x) điểm đặc biệt x, x + h x − h.Ta có khai triển Taylor: h2 h3 u(x + h) = u(x) + u (x)h + u (x) + u (x) + O(h4 ) h h3 u(x − h) = u(x) − u (x)h + u (x) − u (x) + O(h4 ) 43 (4.4) Trong suốt trình, hàm u(x) giả sử đủ liên tục để xác định công thức khai triển hợp lệ, sai số tỉ lệ với h4 Cộng hai công thức lại với nhau, ta : u(x + h) − u(x − h) = 2u(x) + u (x)h2 + O(h4 ) Chia hai vế đẳng thức cho h2 ta có cơng thức sai phân hữu hạn trung tâm đạo hàm bậc hai hàm: u (x) = u(x + h) − 2u(x) + u(x − h) + O(h2 ) h (4.5) Kể từ sai lệch tỉ lệ với h2 , điều tạo thành xấp xỉ đạo hàm thứ hai 2 Ví dụ 4.2 Để u(x) = ux với u (x) = (4x2 + 2)ex Chúng lấy xấp xỉ u (x) = 6e = 16, 30969097 Bằng cách sử dựng thương sai phân hữu hạn (4.5): 2 e(1+h) − 2e + e(1−h) u (1) = 6e ≈ h2 Kết liệt kê bảng h 0,1 0,01 0,001 0,0001 Xấp xỉ 16,48289823 16,31141265 16,30970819 16,309369115 Sai lệch 0,17320726 0,00172168 0,00001722 0,00000018 Mỗi giảm kích thước bước theo hệ số giảm kích thước sai lệch theo hệ số, phải đạt hai chữ số thập phân xác, xác nhận trung tâm khác biệt hữu hạn xấp xỉ đạo hàm thứ hai Tuy nhiên, dự đốn khơng hoàn toàn sinh thực tế Nếu lấy h = 0, 00001 sau cơng thức sản xuất xấp xỉ 16,3097002570, với sai số 0,0000092863 - xác so với xấp xỉ với h = 0, 0001 Vấn đề lỗi làm tròn độ xác hữu hạn số lưu trữ máy tính (trong tính tốn trước , chúng tơi sử dụng xác điểm số học) bắt đầu ảnh hưởng đến việc tính tốn 44 Điều nêu bật khó khăn vốn có với khác biệt số: cơng thức sai lệch hữu hạn chắn yêu cầu phân chia số lượng nhỏ, khơng xác làm trịn tạo sai lệch số đáng ý Như vậy, công thức sai phân hữu hạn thường lấy xấp xỉ hợp lý tốt cho dẫn xuất với kích cỡ vừa phải bước nhỏ, đạt độ xác cao địi hỏi phải chuyển sang cao số học máy tính xác Thật vậy, lời nhận xét tương tự áp dụng cho việc tính tốn trước ví dụ 4.1 Kỳ vọng sai lệch không được, thực tế, hồn tồn hợp lý, bạn phát bạn cố gắng bước kích thước nhỏ Một cách khác để cải thiện thứ tự xác xấp xỉ sai phân hữu hạn sử dụng nhiều điểm lấy mẫu Ví dụ, xấp xỉ thứ tự (4.3), u(x) dựa hai điểm x x + h khơng đủ xác, người ta cố gắng kết hợp giá trị hàm ba điểm x, x + h, x − h Để tìm kết hợp thích hợp giá trị hàm u(x − h), u(x), u(x + h), ta quay trở lại khai triển Taylor (4.4) Để giải cho u(x), chúng tơi loại trừ hai cơng thức, u(x + h) − u(x − h) = 2u (x)h + u (x) h3 + O(h4 ) Viết lại, ta công thức sai phân trung tâm biết u (x) = u(x + h) − u(x − h) + O(h2 ) 2h đạo hàm xấp xỉ thứ hai Về mặt hình học, thương sai phân trung tâm đại diện cho độ dốc đường cát tuyến qua hai điểm (x − h, u(x − h)) (x + h, u(x + h)) đồ thị u trung tâm đối xứng điểm x Hình 4.1 minh họa hai lần xấp xỉ lợi phiên khác làm trung tâm điều hiển nhiên Xấp xỉ bậc cao tìm thấy cách đánh giá chức nhiều điểm lấy mẫu, nói, x + 2h, x − 2h, v.v Ví dụ 4.3 Hàm u(x) = sin x nhắc ví dụ 4.1 45 Sai phân hữu hạn trung tâm cho u (x) = cos = 0, 5403023 sin(1 + h) − sin(1 − h) 2h Kết ghi lại bảng sau cos ≈ h 0,1 0,01 0,001 0,0001 Xấp xỉ 0,53940225217 0,54029330087 0,54030221582 0,54030230497 Sai lệch -0,00090005370 -0,00000900499 -0,00000009005 -0,00000000090 Như nói, kết xác nhiều so với giới hạn xấp xỉ khác biệt chiều sử dụng ví dụ 4.1 kích thước bước Vì xấp xỉ đạo hàm thứ hai, giảm kích thước yếu tố kết hai chữ số thập phân xác - điểm 10 mà tác động vòng - sai lệch loại bỏ Thêm nhiều xấp xỉ sai phân hữu hạn xây dựng thao tác tương tự khai triển Taylor, vài cơng thức bản, với số có nguồn gốc tập, đủ cho mục đích chúng tơi (Đối với tính tốn triệt để sai phân hữu hạn, người đọc tham khảo trang [80].) Trong phần sau, sử dụng công thức sai phân hữu hạn để đưa phương án giải pháp số cho loạt phương trình vi phân phần Ứng dụng tích hợp số phương trình vi phân bình thường tìm thấy, ví dụ, [25, 63, 68] 4.2 Các thuật toán số cho phương trình sóng Bây phát triển kỹ thuật nghiệm số phương trình sóng bậc hai Mặc dù có biểu thức nghiệm d’Alembert dạng tường minh phương pháp tách biến cho nghiệm phương trình sóng dạng chuỗi, học rút việc thiết kế chương trình khả thi mang đến tình phức tạp, bao gồm phương tiện truyền thông không đồng vấn đề bậc cao, cơng thức nghiệm giải tích khơng cịn có sẵn Vì mục trình bày phương pháp SPHH giải phương trình sóng chiều 46 Xét phương trình sóng cấp hai chiều không gian ∂ 2u 2∂ u =c , < x < l, t ≥ (4.6) ∂t2 ∂x2 khoảng bị chặn có chiều dài l với tốc độ sóng khơng đổi c > với điều kiện biên Dirichlet (có thể phụ thuộc thời gian) u(t, 0) = α(t), u(t, l) = β(t); t ≥ (4.7) với điều kiện ban đầu ∂u u(0, x) = f (x), (0, x) = g(x); ≤ x ≤ l (4.8) ∂t Xây dựng lưới thống có khoảng cách l tj = j∆t; xm = m∆x ∆x = n Phép rời rạc hóa thực cách thay đạo hàm cấp hai phương trình sóng phép tính gần sai phân hữu hạn theo công thức (4.5): ∂ 2u u(tj+1 , xm ) − 2u(tj , xm ) + u(tj−1 , xm ) (t , x ) ≈ + O (∆t)2 , j m 2 ∂t (∆t) (4.9) ∂ 2u u(tj , xm+1 ) − 2u(tj , xm ) + u(tj , xm−1 ) (tj , xm ) ≈ + O (∆x) ∂x2 (∆x)2 Từ điều kiện sai số bậc hai, lựa chọn kích cỡ bước thời gian khơng gian để so sánh độ lớn: ∆t ≈ ∆x Thay công thức sai phân hữu hạn (4.9) vào phương trình vi phân phần (4.6), điều kiện xếp, có hệ thống lặp: j j j j−1 uj+1 m = σ um+1 + 2(1 − σ )um + σ um−1 − um ; (4.10) j = 1, 2, ; m = 1, , n − Với phép tính gần ujm ≈ u(tj , xm ) giá trị nghiệm nút lưới (tj , xm ) Tham số c∆t σ= >0 (4.11) ∆x phụ thuộc vào tốc độ sóng tỷ lệ kích thước bước không gian thời gian Điều kiện biên (4.7) yêu cầu là: uj0 = αj = α(tj ); ujn = βj = β(tj ); 47 j = 0, 1, 2, (4.12) Điều cho phép ghi lại hệ thống lặp (4.10) dạng véc tơ u(j+1) = Bu(j) − u(j−1) + b(j) , (4.13) đó: 2(1 − σ ) σ2  σ2 2(1 − σ ) σ  B= σ2   σ2 σ 2(1 −σ )   uj,1 σ αj  uj,1        (j) (j) u =  , b =   u    j,n−2 uj,n−1 σ βj     ,   Lưu ý (4.13) mơ tả chương trình lặp bậc hai, từ tính tốn lặp u(j+1) u cầu đòi hỏi phải biết giá trị hai bước trước đó: u(j) u(j−1) Một cách tối ưu làm để có phương pháp bắt đầu Chúng ta biết u(0) từ mục nhập vào u0,m = fm = f (xm ) xác định vị trí ban đầu Tuy nhiên, cần u(1) để bắt đầu phép lặp tính tốn u(2) , u(3) , Mục nhập vào u1,m ≈ u(∆t, xm ) xấp xỉ nghiệm thời điểm t1 = ∆t, vận tốc ban đầu ut (0, x) = g(x) phải đạo hàm ut (0, xm ) = gm = g(xm ) thời điểm t ban đầu t0 = Để giải khó khăn này, ta sử dụng phép tính gần sai phân hữu hạn u(∆t, xm ) − u(0, xm ) u1,m − fm ∂u (0, xm ) ≈ ≈ ∂t ∆t ∆t để tính giá trị cần thiết gm = (4.14) u1,m = fm + gm ∆t Tuy nhiên, phép gần (4.14) xác để yêu cầu ∆t, phần cịn lại chương trình có sai số tỷ lệ thuận với (∆t)2 Hiệu giới thiệu sai số lớn chấp nhận bước khởi đầu, kết nghiệm không phù hợp với độ xác yếu cầu 48 Để xây dựng phép tính gần ban đầu cho u(1) với sai số bậc (∆t)2 , cần phân tích lỗi phép tính gần (4.14) cụ thể Lưu ý rằng, theo định lý Taylor, u(∆t, xm ) − u(0, xm ) ∂u = (0, xm ) + ∆t ∂t ∂u = (0, xm ) + ∂t ∂ 2u (0, xm )∆t + O((∆t)2 ) 2 ∂t c2 ∂ u (0, xm )∆t + O((∆t)2 ) 2 ∂x Từ u(t, x) giải phương trình sóng Do đó, u1,m = u(∆t, xm ) ≈ u(0, xm ) + c2 ∂ u ∂u (0, xm )∆t + (0, xm )(∆t)2 ∂t ∂x c2 = f (xm ) + g(xm )∆t + f (xm )(∆t)2 c2 (fm+1 − 2fm + fm−1 )(∆t)2 , ≈ fm + gm ∆t + 2(∆x)2 Chúng ta sử dụng phép gần sai phân hữu hạn (4.5) cho hàm bậc hai hàm f (x) công thức dạng tường minh, đến phức tạp để đánh giá trực tiếp Do đó, bắt đầu chương trình cách thiết lập 1 u1,m = σ fm+1 + − σ fm + σ fm−1 + gm ∆t, 2 (4.15) hoặc, dạng vectơ, u(0) = f, 1 u(1) = Bu(0) + g∆t + b(0) , 2 (4.16) f = (f1 , f2 , , fn−1 )T , g = (g1 , g2 , , gn−1 )T giá trị mẫu liệu ban đầu Các phục vụ để trì tính xác bậc hai mong muốn chương trình Ví dụ 4.4 Xem xét vấn đề giá trị ban đầu cụ thể utt = uxx u(0, x) = e−400(x−3) , ut (0, x) = 0, u(t, 0) = u(t, 1) = 0, ≤ x ≤ 1, t ≥ 0, tùy thuộc vào điều kiện biên Dirichlet đoạn [0, 1] Dữ liệu ban đầu tập trung cao x = 0, Theo thời gian, 49 Hình 4.2: Sóng ổn định số Hình 4.3: Sóng khơng ổn định số mong điểm cao ban đầu chia thành hai phần có kích thước nửa nó, sau giảm dần đến 0, đảo chiều tăng tiếp tục Ở phép gần đại số, sử dụng không gian rời rạc = 0, 0111 Nếu chúng gồm 90 điểm cách nhau, ∆x = 90 ta chọn bước thời gian ∆t = 0, 01, σ = 0, 9, nên có giải pháp hợp lý xác phạm vi thời gian dài, vẽ hình 4.2 thời điểm t = 0, 0.1, 0.2, , 0.5 Mặt khác, tăng gấp đôi bước thời gian, thiết lập ∆t = 0, 002, σ = 1, 8, sau đó, vẽ hình 4.3 thời điểm t = 0; 0, 05; 0, 1; 0, 14; 0, 16; 0, 18, quan sát không ổn định lầm lấn át nghiệm số Như vậy, chương trình tính có nghiệm điều kiện ổn định Giải tích ổn định thể đường thẳng trường hợp bậc 50 Điều kiện CFL yêu cầu đặc tính phát từ nút (tj , xm ) phải, cho thời gian ≤ t ≤ tj , trì khoảng phạm vi số phụ thuộc, đó, chương trình số chúng ta, tam giác T˜(tj , xm ) = {(t, x)|0 t tj ; xm − tj + t x xm + tj − t} , Quan sát vẽ hình 4.4 Từ đặc điểm đường dốc ±c, điều kiện CFL σ=c ∆t ∆x ≤ 1, tương đương, < c ≤ ∆x ∆t (4.17) Hình 4.4: Điều kiện CFL cho phương trình sóng Kết tiêu chí ổn định giải thích khác biệt quan sát trường hợp ổn định không ổn định số Tuy nhiên, nói trên, điều kiện CFL nói chung cần thiết cho tính ổn định chương trình số; tức địi hỏi thực giải tích ổn định von Neumann Để kết, tính cho hàm mũ phức tạp eikx Sau bước thời gian, chương trình có tác dụng nhân với (có thể yếu tố phức tạp) hệ số phóng đại λ = λ (k), sau bước thời gian tiếp λ2 , tiếp tục Để xác định λ, thay giá trị mũ lấy mẫu liên quan uj−1,m = eikxm ; uj,m = λeikxm ; uj+1,m = λ2 eikxm , vào chương trình (4.10),sau hủy bỏ mũ thơng thường, thấy hệ số phóng đại đáp ứng phương trình bậc hai sau đây: λ2 = [2 − 4σ sin2 k∆x ]λ − Khi 51 √ k∆x (4.18) Như vậy, có hai hệ số phóng đại khác kết hợp với hàm mũ phức tạp hệ chương trình bậc hai Các yêu cầu ổn định mà hai mô đun Bây giờ, điều kiện CFL (4.17) giữ nguyên, sau |α| 1, hiểu hai hệ số phóng đại (4.18) mơ đun số phức tạp |λ| = 1, chương trình số thỏa mãn tiêu chí ổn định |λ| Mặt khác, σ > 1, sau cho loạt giá trị k , có α < −1 Điều cho thấy hai hệ số phóng đại (4.18) số thực hai số < −1, vi phạm tiêu chí ổn định Như vậy, điều kiện CFL (4.17) khơng thực phân biệt (có điều kiện) chương trình số ổn định khơng ổn định cho phương trình sóng λ=α± α2 − với α = − 2σ sin2 52 KẾT LUẬN Sau thời gian học tập Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Được thầy cô trực tiếp giảng dạy hướng dẫn, đặc biệt TS Nguyễn Văn Ngọc, tơi hồn thành luận văn với đề tài "Sóng âm ứng dụng địa chấn" Luận văn đạt số kết sau: Luận văn trình bày sở vật lý sóng âm Trình bày định luật Hooke, định luật hai Newton thành lập phương trình sóng âm sở hai định luật đó.Xét phương trình sóng âm điều hịa, định luật sóng khúc xạ phản xạ, vận tốc pha, vận tốc nhóm, lượng sóng ứng dụng sóng âm địa chấn học Trình bày tốn Cauchy cho phương trình sóng âm, cách tiếp cận lý thuyết hàm suy rộng, biến đổi tích phân Fourier trình bày nghiệm suy rộng nghiệm cổ điển tường minh tốn Cauchy phương trình sóng với số chiều n = 1, Trình bày phương pháp sai phân hữu hạn giải gần tốn biên giá trị ban đầu phương trình sóng chiều khoảng hữu hạn Bản luận văn không tránh khỏi khiếm khuyết, nên mong nhận nhiều ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! 53 Tài liệu tham khảo [1] Dugald B Ducan (1995),Diference approximations of acoustic and elastic wave equations , Heriot- Watt University, Edinburgh UK, EH14 4AS [2] Internet: vi wikipedia.org; bachkhoatrithuc.vn [3] Gerhard Muller (2007),Theory of Elastic Waves, Germany [4] Gerard T Schuster (2003), Basic Seismic Wave Theory, University of Utah [5] Peter Olver (2013), Introduction to Partial Differential Equations, Springer Sciences and Business Media [6] V S Vladimirov (1971), Equations of Mathematical Physics, Marcel Dekker, INC, New York 54 Luận văn với đề tài " Sóng âm ứng dụng địa chấn" học viên Phạm Thị Thu Hương chỉnh sửa theo ý kiến đóng góp Hội đồng chấm luận văn họp Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên ngày 11 tháng 10 năm 2014 Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Văn Ngọc 55 ... âm học, đặc trưng vật lý sóng âm, hiệu ứng Doppler ứng dụng Nguyên lý phát thu sóng AM FM Các sóng siêu âm hạ âm v.v Chương : Phương trình sóng âm Sóng âm điều hịa Địa chấn khúc xạ Chương trình... sóng FM cự ly truyền sóng ngắn, vào khoảng vài 10 chục đến vài trăm km, sóng FM thường sử dụng làm sóng phát đài địa phương 1.4 1.4.1 Các sóng siêu âm hạ âm Sóng siêu âm Siêu âm âm có tần số cao... hại sóng hạ âm người 13 Chương Phương trình sóng âm Sóng âm điều hịa Địa chấn khúc xạ Chương trình bày cách thiết lập phương trình sóng âm, sóng âm điều hịa, tượng khúc xạ, phản xạ ứng dụng sóng