Phương trình hàm trong lớp các hàm số lượng giác

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC —————————— NGUYỄN TRUNG NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG LỚP CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 Người hướng dẫn khoa học GS-TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Chương Một số đặc trưng hàm hàm số lượng giác 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Đặc trưng hàm hàm lượng giác 1.3 Đặc trưng hàm hàm hyperbolic 1.4 Đặc trưng hàm hàm lượng giác ngược 4 9 Chương Phương trình hàm lớp hàm lượng giác, lượng giác hyperbolic 10 2.1 Phương trình d’Alembert lớp hàm số liên tục 10 2.2 Phương trình d’Alembert lớp hàm số khơng liên tục 16 2.3 Phương trình hàm sinh hàm sin sin hyperbolic 30 2.4 Phương trình hàm sinh hàm tang, tang hyperbolic 41 2.5 Một số dạng phương trình hàm sinh đặc trưng hàm cặp hàm sin cosin 44 Chương Phương trình hàm lớp hàm lượng giác ngược số tập 3.1 Phương trình hàm sinh hàm arcsin 3.2 Phương trình hàm sinh hàm arccosin 3.3 Phương trình hàm sinh hàm arctang 3.4 Một số dạng phương trình hàm khác 3.5 Một số tập Kết luận 52 52 53 53 54 56 76 Tài liệu tham khảo 77 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Phương trình hàm chuyên đề quan trọng giải tích, đặc biệt chương trình chun tốn bậc THPT Các đề thi học sinh giỏi cấp Quốc gia, thi Olympic khu vực, Olympic Quốc tế thường xuất toán phương trình hàm, tốn khó mẻ học sinh THPT Những sách tham khảo dành cho học sinh lĩnh vực không nhiều Đặc biệt tài liệu sách giáo khoa dành cho học sinh THPT phương trình hàm lớp hàm số lượng giác chưa trình bày cách hệ thống đầy đủ Xuất phát từ thực tế đó, mục tiêu luận văn cung cấp thêm cho em học sinh, đặc biệt em học sinh khá, giỏi, có khiếu u thích mơn tốn tài liệu tham khảo, kiến thức lý thuyết luận văn cịn có thêm hệ thống tập phương trình hàm xuất phát từ công thức biến đổi lượng giác lời giải cho Ngoài ra, kết mà thân tác giả tiếp tục nghiên cứu hồn thiện q trình giảng dạy tốn trường phổ thơng Ngồi mục lục, lời nói đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương Chương Một số đặc trưng hàm số lượng giác Trong chương luận văn trình bày số kiến thức chuẩn bị đặc trưng hàm số lượng giác, hàm số lượng giác hyperbolic, hàm số lượng giác ngược Chương Phương trình hàm lớp hàm số lượng giác, hàm lượng giác hyperbolic Trong chương luận văn trình bày phương trình hàm d’Alembert lớp hàm số liên tục, phương trình hàm d’Alembert lớp hàm khơng liên tục, phương trình hàm sinh đặc trưng hàm sin 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn sin hypebolic, phương trình hàm sinh đặc trưng hàm tang, tang hyperbolic số dạng khác Chương Phương trình hàm lớp hàm số lượng giác ngược số tập Trong chương luận văn trình bày phương trình hàm sinh đặc trưng hàm số lượng giác ngược số tập phương trình hàm sinh cơng thức biến đổi lượng giác Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Nhà giáo nhân dân, GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới GS - Người thầy nghiêm khắc, tận tâm công việc truyền thụ nhiều kiến thức quý báu kinh nghiệm nghiên cứu khoa học cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu đề tài Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng đào tạo sau đại học, khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, thầy cô giáo tham giảng dạy hướng dẫn khoa học cho lớp Cao học toán K3A Tác giả xin chân thành cảm ơn UBND tỉnh, Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Yên Bái, Ban Giám hiệu tập thể giáo viên trường THPT Chu Văn An tỉnh Yên Bái tạo điều kiện cho tác giả có hội học tập nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn quan tâm giúp đỡ nhiệt tình anh chị em học viên lớp cao học toán K2, K3 Trường Đại học Khoa học tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Để hoàn thành luận văn này, tác giả tập trung học tập nghiên cứu suốt khóa học Tuy nhiên, điều kiện thời gian hạn chế thân nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận bảo q thầy góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, tháng 05 năm 2011 Người thực Nguyễn Trung Nghĩa 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số đặc trưng hàm hàm số lượng giác Những công thức biến đổi lượng giác trình bày sách giáo khoa phổ thơng cho ta đặc trưng hàm hàm lượng giác tương ứng Đó sở để ta thiết lập phương trình hàm mà ẩn hàm hàm lượng giác biết Trong chương này, luận văn trình bày số kiến thức chuẩn bị, đặc trưng hàm hàm lượng giác, lượng giác hyperbolic, lượng giác ngược Nội dung chương tổng hợp từ tài liệu tham khảo [2] [4] 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Xét hàm số f (x) với tập xác định Df ⊂ R tập giá trị R(f ) ⊂ R Định nghĩa 1.1 Hàm f (x) gọi hàm chẵn M , M ⊂ Df ( gọi tắt hàm chẵn M) ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M f (−x) = f (x), ∀x ∈ M Định nghĩa 1.2 Hàm f (x) gọi hàm số lẻ M , M ⊂ Df ( gọi tắt hàm chẵn M) ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M f (−x) = −f (x), ∀x ∈ M Định nghĩa 1.3 Cho hàm số f (x) tập M (M ⊂ Df ) Hàm f (x) gọi hàm tuần hoàn M tồn số dương α cho ∀x ∈ M ⇒ x ± α ∈ M, f (x + α) = f (x), ∀x ∈ M ; 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.1) http://www.lrc-tnu.edu.vn số α dương nhỏ thỏa mãn (1.1) gọi chu kỳ sở hàm tuần hoàn f (x) Ví dụ 1.1 Hàm f (x) = cos x hàm tuần hoàn chu kỳ 2π R Thật vậy, ta có ∀x ∈ R x ± 2π ∈ R f (x + 2π) = cos(x + 2π) = cos x = f (x), ∀x ∈ R Định nghĩa 1.4 Cho hàm f (x) tập M (M ⊂ Df ) Hàm f (x) gọi hàm số phản tuần hoàn tập M tồn số dương α cho ∀x ∈ M ⇒ x ± α ∈ M, (1.2) f (x + α) = −f (x), ∀x ∈ M ; số α nhỏ thỏa mãn (1.2) gọi chu kỳ sở hàm phản tuần hồn f (x) Ví dụ 1.2 Hàm f (x) = sin x hàm phản tuần hoàn chu kỳ π R Thật vậy, ta có với ∀x ∈ R x ± π ∈ R f (x + π) = sin(x + π) = − sin x = −f (x), ∀x ∈ R Định nghĩa 1.5 Hàm f (x) gọi hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ α (α ∈ R \ {0, 1, −1}) M M ⊂ Df ∀x ∈ M ⇒ α±1 x ∈ M, (1.3) f (αx) = f (x), ∀x ∈ M ; số α dương nhỏ thỏa mãn (1.3) gọi chu kỳ sở hàm tuần hồn nhân tính f (x) Ví dụ 1.3 Hàm f (x) = sin(2π log2 x) hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ R+ Thật vậy, ta có ∀x ∈ R+ 2±1 x ∈ R+ f (2x) = sin[2π log2 (2x)] = sin[2π(1 + log2 x)] = sin(2π log2 x) = f (x) Định nghĩa 1.6 Hàm f (x) gọi hàm phản tuần hồn nhân tính chu kỳ α (α ∈ R \ {0, 1, −1}) M M ⊂ Df ∀x ∈ M ⇒ α±1 x ∈ R, f (αx) = −f (x), ∀x ∈ R; (1.4) số α nhỏ thỏa mãn (1.4) gọi chu kỳ sở hàm phản tuần hồn nhân tính 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.4 Hàm f (x) = cos(π log3 x) hàm phản tuần hồn nhân tính chu kỳ R+ Thật vậy, ta có ∀x ∈ R+ 3±1 x ∈ R+ f (3x) = cos[π log3 (3x)] = cos[π(1 + log3 x)] = − cos(π log3 x) = −f (x) Định nghĩa 1.7 Tập A ⊂ R gọi trù mật R ký hiệu [A] = R với x, y ∈ R, (x < y) tồn α ∈ A, cho x < α < y Định nghĩa 1.8 Tập A ⊂ R gọi trù mật R ký hiệu [A] = R với x ∈ R tồn dãy số (an ) ⊂ A, cho an −→ x n −→ ∞ Định nghĩa 1.9 Cho A ⊂ B ⊂ R với x ∈ B, với ε > tồn y ∈ A, cho |x − y| < ε A gọi tập trù mật B, ký hiệu [A] = B Nhận xét 1.1 Định nghĩa 1.7 định nghĩa 1.8 tương đương với Định nghĩa 1.10 Nếu hai hàm số f (x), g(x) hai hàm liên tục R thỏa mãn điều kiện f (x) = g(x) với x ∈ A [A] = R f (x) = g(x) với x ∈ R Ta thường sử dụng số tập trù mật R sau Với Q := tập số hữu tỷ, ta có [Q] = R Với = tập số vô tỷ, ta có [ ] = R Với [A] = R tập {α + r | α ∈ A, r = const , r ∈ R} trù mật R Với [A] = R tập {αr | α ∈ A, r = const , r = 0, r ∈ R} trù mật R Tập { m | n ∈ Z+ ; m ∈ Z} trù mật R 2n Tập {mα − n | a ∈ ; m, n ∈ N} trù mật R Bài tốn 1.1 (Phương trình hàm Cauchy) Tìm hàm f (x) xác định R thỏa mãn điều kiện sau    f (x) + f (y) = f (x + y), ∀x, y ∈ R, f (x) liên tục x = x0 ∈ R,   f (1) = α, (α = 0) 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Giải Giả sử tồn hàm số f (x) thỏa mãn yêu cầu Cho x = y = ta f (0) = f (0) + f (0) ⇔ f (0) = Cho y = −x ta f (0) = f (x) + f (−x) ⇒ f (x) = −f (x), ∀x ∈ R Vậy hàm f (x) hàm số lẻ nên ta cần xác định biểu thức f (x) với x > Cho y = x suy f (2x) = 2f (x) Giả sử f (kx) = kf (x), (k ∈ N∗ ) Ta có f ((k + 1)x) = f (kx + x) = f (kx) + f (x) = kf (x) + f (x) = (k + 1)f (x) Theo nguyên lý quy nạp ta f (nx) = nf (x), ∀x ∈ R, n ∈ N∗ Với n ∈ Z− suy −n ∈ N∗ , ta có f (nx) = f ((−n)(−x)) = −nf (−x) = (−n)(−f (x)) = nf (x) ( f (x) hàm số lẻ) Suy f (nx) = nf (x), ∀n ∈ Z− Kết hợp với f (0x) = f (0) = = 0f (x) ta f (nx) = nf (x), ∀x ∈ R; n ∈ Z Với m ∈ Z ∗ , ta có f (x) = f m x m = mf x m ⇒f Với r ∈ Q, tồn n ∈ Z; m ∈ Z cho r = f (rx) = f n x x = nf m m = x m = f (x) m n Từ kết trên, ta có m n f (x) = rf (x), ∀r ∈ Q m Cho x = ta f (r) = rf (1) = αr, ∀r ∈ Q Với ∀m ∈ R, ta có f (x) = f (x + x0 − m + m − x0 ) = f (x − m + x0 ) + f (m) − f (x0 ) Từ giả thiết hàm số liên tục x = x0 ta có lim f (x) = lim [f (x − m + x0 ) + f (m) − f (x0 )] x→m x→m = lim f (x − m + x0 ) + f (m) − f (x0 ) x→m =f (x0 ) + f (m) − f (x0 ) = f (m) Vậy f (x) liên tục điểm m ∈ R Nói cách khác f (x) liên tục R Với ∀x ∈ R, tồn dãy số (rn ) ⊂ Q, cho rn → x n → +∞ Khi đó, f (x) liên tục R nên ta có f (x) = lim f (rn ) = lim αrn = αx n→+∞ n→+∞ Thử lại, dễ thấy hàm số f (x) = αx thỏa mãn yêu cầu đề 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bài tốn 1.2 (Phương trình hàm Cauchy dạng mũ) Xác định hàm f (x) liên tục R thỏa mãn điều kiện sau f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R (1.5) Giải Dễ thấy f ≡ nghiệm (1.5) Xét trường hợp f ≡ , tồn x0 ∈ R cho f (x0 ) = Theo (1.5) f (x0 ) = f (x + (x0 − x)) = f (x)f (x0 − x) = ∀x ∈ R Suy ra, f (x) = 0, ∀x ∈ R, mặt khác f (x) = f x x + 2 = f x 2 > 0, ∀x ∈ R Đặt ln f (x) = g(x) ⇒ f (x) = eg(x) Khi g(x) hàm liên tục R g(x + y) = ln f (x + y) = ln[f (x)f (y)] = ln f (x) + ln f (y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R Theo toán 1.1 g(x) = bx, b ∈ R tùy ý, suy f (x) = ebx = ax với a > Kết luận: Nghiệm toán f ≡ f (x) = ax , a > 1.2 Đặc trưng hàm hàm lượng giác a) Hàm f (x) = sin x có tính chất f (x + y)f (x − y) = [f (x)]2 − [f (y)]2 , với ∀x, y ∈ R f (3x) = 3f (x) − 4[f (x)]3 , với ∀x ∈ R b) Hàm f (x) = cos x có tính chất f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), với ∀x, y ∈ R f (2x) = 2[f (x)]2 − 1, với ∀x ∈ R Cặp hàm f (x) = sin x g(x) = cos x có tính chất f (x + y) = f (x)g(y) + f (y)g(x), ∀x, y ∈ R, g(x + y) = g(x)g(y) − f (x)f (y), ∀x, y ∈ R Để đơn giản ký hiệu ta hiểu f ≡ c nghĩa f (x) = c, ∀x ∈ R f ≡ c hiểu ∃ x0 , (x0 ∈ Df ) cho f (x0 ) = c 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn c) Hàm tan x có tính chất f (x + y) = f (x) + f (y) (2k + 1)π , ∀x, y ∈ R, x, y, x + y = (k ∈ Z) − f (x)f (y) d) Hàm f (x) = cot x có tính chất f (x + y) = f (x)f (y) − , ∀x, y ∈ R, x, y, x + y = kπ (k ∈ Z) f (x) + f (y) 1.3 Đặc trưng hàm hàm hyperbolic f (3x) = 3f (x) + 4[f (x)]3 , ∀x ∈ R b) Hàm cosin hyperbolic g(x) = cosh x := (ex + e−x ) có tính chất g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y), ∀x, y ∈ R a) Hàm sin hyperbolic f (x) = sinh x := (ex − e−x ) có tính chất ex − e−x có tính chất ex + e−x h(x) + h(y) , ∀x, y ∈ R h(x + y) = + h(x)h(y) c) Hàm tan hyperbolic h(x) = x := d) Hàm cotan hyperbolic q(x) = coth x := q(x + y) = ex + e−x có tính chất ex − e−x + q(x)q(y) , ∀x, y ∈ R, x + y = q(x) + q(y) 1.4 Đặc trưng hàm hàm lượng giác ngược a) Hàm f (x) = arcsin x có tính chất f (x) + f (y) = f (x − y2 + y − x2 ), với ∀x, y ∈ [−1; 1] b) Hàm g(x) = arccos x có tính chất g(x) + g(y) = g(xy − − x2 − y ), với ∀x, y ∈ [−1, 1] c) Hàm h(x) = arctan x có tính chất h(x) + h(y) = h x+y , với ∀x, y ∈ R, xy = 1 − xy d) Hàm p(x) = arccot x có tính chất p(x) + p(y) = p xy − , với ∀x, y ∈ R, x + y = x+y 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 63 f (x) = a cos x − d sin x + c Kết luận: g(x) = d cos x + a sin x a, d, c = const ∈ R Từ công thức biến đổi sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y, ∀x, y ∈ R Nếu ta thay hàm sin, cos ẩn hàm f, g tương ứng ta tạo tốn Bài tập 3.12 Tìm hàm f : R → R thỏa mãn sin(x + y) = f (x) sin y + f (y) sin x, ∀x, y ∈ R Giải Cho y = (3.30) π thay vào (3.30) ta có sin x + π π = f (x) + f ( ) sin x, π ⇒ cos x = f (x) + f ( ) sin x Thay x = π vào biểu thức trên, ta có π π = 2f ( ) ⇒ f ( ) = 2 Suy f (x) = cos x Thử lại ta thấy hàm f (x) = cos x thỏa mãn yêu cầu đề Kết luận: f (x) = cos x Bài tập 3.13 Tìm hàm f, g : R → R thỏa mãn sin(x + y) = f (x) sin y + g(y) sin x, ∀x, y ∈ R Giải Thay y = (3.31) π vào (3.31) ta π sin x π ⇔ cos = f (x) + g sin x sin x + π = f (x) + g Suy f (x) = cos x + b sin x, b = const ∈ R 64Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 64 Thay f (x) = cos x + b sin x vào (3.31) ta có sin(x + y) = [cos x + b sin x] sin y + g(y) sin x ⇒ sin x cos y = b sin x sin y + g(y) sin x ⇒ g(y) sin x = [cos y − b sin y] sin x, ∀x, y ∈ R Chọn x0 cho sin x0 = g(y) = cos y − b sin y hay g(x) = cos x − b sin x Thử lại ta thấy hàm f (x) = cos x + b sin x g(x) = cos x − b sin x thỏa mãn yêu cầu đề Kết luận: f (x) = cos x + b sin x g(x) = cos x − b sin x b = const ∈ R Bài tập 3.14 Tìm hàm f, g : R → R thỏa mãn f (x + y) = g(x) sin y + g(y) sin x, ∀x, y ∈ R (3.32) Giải Thay y = vào (3.32) ta có f (x) = g(0) sin x = a sin x Thay y = π ta π = g( ) sin x + g(x) π π ⇒ a sin x + = g( ) sin x + g(x) 2 π ⇒ a cos x = g( ) sin x + g(x) π ⇒ g(x) = a cos x − g( ) sin x f x+ Cho x = π π thay vào biểu thức ta có π g( ) = ⇒ g(x) = a cos x Thử lại ta thấy hàm f (x) = a sin x g(x) = a cos x thỏa mãn yêu cầu đề Kết luận: f (x) = a sin x g(x) = a cos x a = const ∈ R 65Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 65 Từ công thức biến đổi sin(x + y) sin(x − y) = sin2 x − sin2 y, ∀x, y ∈ R Nếu ta thay hàm sin vế trái ẩn hàm f (x) tưng ứng ta toán Bài tập 3.15 Tìm hàm f : R → R thỏa mãn f (x + y)f (x − y) = sin2 x − sin2 y, ∀x, y ∈ R (3.33) Giải Theo ta có f (x + y)f (x − y) = sin2 x − sin2 y = sin(x + y) sin(x − y) ⇒ f (u)f (v) = sin u sin v, ∀u, v ∈ R, u = x + y ; v = x − y Nếu f ≡ khơng thỏa mãn đề nên f ≡ Khi tồn v0 cho f (v0 ) = Thay v = v0 ta có f (u) = sin v0 sin u = k sin u, ∀u ∈ R f (v0 ) Thay f (x) = k sin x vào biểu thức ta k = Thử lại ta thấy hàm f (x) = k sin x, k = thỏa mãn yều cầu toán Kết luận: f (x) = k sin x với k = Bài tập 3.16 Tìm hàm f : R → R liên tục thỏa mãn f (x + y)f (x − y) = f (x)2 − sin2 y, ∀x, y ∈ R (3.34) Giải Cho x = y thay vào (3.34) ta f (2x)f (0) = f (x)2 − sin2 x, ∀x ∈ R Nếu f (0) = f (x)2 = sin2 x ⇒ f (x) = ± sin x Thử lại dễ thấy hàm f (x) = sin x, f (x) = − sin x thỏa mãn yêu cầu toán Nếu f (x) = sin x, ∀x ∈ A, − sin x, ∀x ∈ B, với A, B thỏa mãn A = B, A ∩ B = {kπ| k ∈ Z} 66Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 66 Khi f (x) nghiệm tốn hai tập A, B phải thỏa mãn x+y ∈A⇔x−y ∈A x+y ∈B ⇔x−y ∈B Điều vơ lý f (x) hàm liên tục f (x) xác định không nghiệm tốn Nếu f (0) = đặt b = f (0) ta có f (x + y)f (x − y) = f (2x)f (0) + sin2 x − sin2 y = bf (2x) + sin(x + y) sin(x − y) Đặt u = x + y, v = x − y ⇒ 2x = u + v ta có f (u)f (v) = bf (u + v) + sin u sin v ⇒bf (u + v) = f (u)f (v) − sin u sin v, ∀u, v ∈ R Khi với ∀u, v, w ∈ R ta có bf (u + v + w) = f (u + v)f (w) − sin(u + v) sin w = f (u)f (v) − sin u sin v f (w) b − (sin u cos v + cos u sin v) sin w 1 = f (u)f (v)f (w) − f (w) sin u sin v b b − sin u cos v sin w − cos u sin v sin w Mặt khác bf (u + v + w) = f (u)f (v + w) − sin u sin(v + w) = f (u) f (v)f (w) − sin v sin w − sin u(sin v cos w + cos v sin w) b 1 = f (u)f (v)f (w) − f (u) sin v sin w − sin u sin v cos w − sin u cos v sin w b b Suy f (w) sin u sin v + cos u sin v sin w b = f (u) sin v sin w + sin u sin v cos w, ∀u, v, w ∈ R b 67Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 67 Chọn v0 cho sin v0 = 0, f (w) sin u sin v0 + cos u sin v0 sin w b = f (u) sin v0 sin w + sin u sin v0 cos w, ∀u, w ∈ R b 1 ⇒ f (w) sin u + cos u sin w = f (u) sin w + sin u cos w, ∀u, w ∈ R b b 1 ⇒ f (w) − cos w sin u = f (u) − cos u sin w b b b Nếu f (u) − cos u = 0, ∀u ∈ R ⇒ f (u) = b cos u hay f (x) = b cos(x), ∀x ∈ R thay vào (3.34) ta có b cos(x + y)b cos(x − y) = b2 cos2 x − sin2 y ⇔b2 (cos2 x cos2 y − sin2 x sin2 y) = b2 cos2 x − sin2 y ⇔b2 cos2 x cos2 y − (1 − cos2 x)(1 − cos2 y) = b2 cos2 x − sin2 y ⇔b2 (cos2 x − sin2 y) = b2 cos2 x − sin2 y ⇔b2 = Thử lại ta thấy f (x) = ± cos x thỏa mãn điều kiện toán b Nếu tồn w0 cho f (w0 ) − cos w0 = Khi chọn w1 cho sin w1 = ta f (w1 ) − cos w1 b f (u) − cos u = sin u, b sin w1 suy f (u) − cos u = d sin u ⇒ f (u) = b cos u + bd sin u b Hay f (x) = b cos x + c sin x, ∀x ∈ R Thay lại (3.34) ta có b cos(x + y) + c sin(x − y) b cos(x − y) + c sin(x − y) = b cos x + c sin x ⇔ − sin2 y b2 b2 (cos 2x + cos 2y) + bc sin 2x + (cos 2x + cos 2y) 2 68Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 68 − cos 2x − cos 2y + cos 2x + bc sin 2x + c2 + 2 2 2 ⇔ (b + c − 1) cos 2y + (b + c − 1) = 0, ∀y ∈ R = b2 ⇔ b2 + c2 = Suy f (x) = b cos x + c sin x b2 + c2 = 1, b, c ∈ R Thử lại ta thấy hàm f (x) = b cos x + c sin x thỏa mãn yêu cầu tốn Nếu c = f (x) = ±cosx trùng với trường hợp Kết luận: f (x) = a sin x, a2 = 1, f (x) = b cos x + c sin x, b2 + c2 = Bài tập 3.17 Tìm f : R → R thỏa mãn π = b (a, b cho trước ) f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) cos y, ∀x, y ∈ R f (0) = a ; f (3.35) Giải π Cho y = ; x ∈ R thay vào (3.35) ta được: f x+ π +f x− π (3.36) = Cho x = 0; y ∈ R thay vào (3.35) ta được: (3.37) f (y) + f (−y) = 2a cos y π Cho x = ; y ∈ R thay vào (3.35) ta được: π π +y +f − y = 2b cos y 2  π π  f x+ +f x− =0    2  π π π +f Từ (3.36) ; (3.37) ; (3.38) ta có f x − − x = 2a cos x − 2    π π  f x + +f − x = 2b cos x 2 f (3.38) Giải hệ ta f (x) = a cos x + b sin x Thử lại ta thấy hàm f (x) = a cos x + b sin x thỏa mãn yêu cầu đề Kết luận: f (x) = a cos x + b sin x 69Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 69 Bài tập 3.18 Tìm f : R → R thỏa mãn f (x)f (y) = f (x + y) + sin x sin y, ∀x, y ∈ R (3.39) Giải Dễ thấy f (x) = cos x hàm số thỏa mãn yêu cầu toán Cho x = y = thay vào (3.39) ta [f (0)]2 = f (0) suy f (0) = f (0) = Ta xét hai trường hợp Trường hợp 1: f (0) = Cho y = 0, x ∈ R thay vào (3.39) ta f (x) = −f (0) = 0, ∀x ∈ R Thử lại ta có: sin x sin y = ∀x, y ∈ R, ( vô lý ) Vậy f ≡ không nghiệm toán Trường hợp 2: f (0) = Cho x = −y thay vào (3.39) ta f (x)f (−x) = + (− sin2 x) = cos2 x, suy f (x)f (−x) = cos2 x π π π f = f − = 2 π π Nếu f = cho x = , y ∈ R thay vào (3.39) ta có 2 π + sin y = suy f (y) = cos y, ∀y ∈ R f y+ Cho x = Thử lại ta thấy f (x) = cos x thảo mãn đề Nếu f − π = tương tự ta có f (y) = cos y, ∀y ∈ R Vậy hàm số cần tìm là: f (x) = cos x Bài tập 3.19 Tìm f, g : R → R thỏa mãn f (x) − f (y) = cos(x + y)g(x − y), ∀x, y ∈ R (3.40) Giải π − y; y ∈ R thay vào (3.40) π π − y − f (y) = ⇔ f + y = f (y) f 2 π Cho x = + y; y ∈ R thay vào (3.40) π π + y − f (y) = − sin 2yg f 2 Cho x = 70Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.41) (3.42) http://www.lrc-tnu.edu.vn 70 Từ (3.41) (3.42) ta có, f π π π +y −f − y = − sin 2yg 2 (3.43) Mặt khác theo (3.40) ta có, f π π +y −f − y = −g(2y) 2 (3.44) π , ∀y ∈ R Từ (3.43) (3.44) suy ra, g(2y) = sin 2yg ⇒ g(2x) = a sin 2x ⇒ g(x) = a sin x, ∀x ∈ R với a = g π ( cho trước ) Cho y = 0; x ∈ R thay vào (3.40) ta f (x) − f (0) = cos xg(x) ⇒ f (x) = a sin 2x + b, ∀x ∈ R, a sin 2x + b, g(x) = a sin x, f (x) = Thử lại cặp hàm mãn toán Kết luận: Nghiệm tốn (b = f (0)) với a, b số cho trước thỏa a sin 2x + b g(x) = a sin x f (x) = a, b = const ∈ R Bài tập 3.20 Cho dãy số un xác định sau u1 = a > 0, v1 = b > un = un−1 + vn−1 √ , = un vn−1 , n ≥ Tìm un Giải Trường hợp 1: Nếu a = b rõ ràng un = = a Trường hợp 2: Nếu < a < b ta có < a < b Đặt a π = cos α, α ∈ 0; b Suy a = b cos α Ta có u1 = a = b cos α, v1 = b, 71Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 71 √ α α u1 + v1 = b cos2 , v2 = u2 v1 = b cos 2 √ u2 + v2 α α α α u3 = = b cos2 cos2 , v2 = u3 v2 = b cos cos 2 4 u2 = Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh un = b α α α un−1 + vn−1 α = b cos cos · · · cos n−2 cos2 n−1 2 2 α α α √ = b un vn−1 = b cos cos · · · cos n−1 2 Mà sin 2x = sin x cos x, nên ta có biến đổi sau Do α ∈ 0; α π suy sin n−1 = 0, 2 α α α α cos · · · cos n−2 cos2 n−1 2 2 α n sin n−1 α α α α cos cos · · · cos n−2 cos2 n−1 =b α 2 2 2n sin2 n−1 α α b sin α sin 2n−1 cos 2n−1 = n α sin2 n−1 α b = n−1 sin α cot n−1 , 2 un =b cos α α α cos · · · cos n−1 2 α n−1 sin n−1 α α α =b cos cos · · · cos n−1 α 2 2n−1 sin n−1 b sin α = n−1 α sin n−1 =b cos Vậy trường hợp un = b α b sin α sin α cot , v = n 2n 2n−1 2n−1 sin α 2n−1 Trường hợp 3: Nếu a > b > Do cosh α = a a > Đặt = cosh α b b eα + e−α eα − e−α > 1, sinh = , 2 72Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 72 α α α + cosh α = cosh , sinh α = sinh cosh 2 Do tương tự trên, ta có un = b cosh α α α cosh · · · cosh2 n−1 , 2 = b cosh α α α cosh · · · cosh n−1 , 2 hay α α sinh n−1 cosh n−1 b b sinh α 2 un = n sinh α = n−1 α α 2 sinh2 n−1 n−1 2 b sinh α = n−1 α sinh n−1 Kết luận: Nếu a = b un = = a Nếu < a < b un = α b b sin α sin α cot , v = , n 2n 2n−1 2n−1 sin α 2n−1 a b cos α = , α ∈ 0; π Nếu a > b > un = b 2n−1 sinh α b sinh α α , = 2n−1 α , n−1 sinh n−1 2 a b cosh α = Dựa vào kết toán ta sáng tác đề tốn tính giá trị hàm số số điểm toán dãy số toán sau Bài tập 3.21 Cho hàm số f, g : N∗ → R thỏa mãn f (1) = f (n) = √ 3, g(1) = f (n − 1) + g(n − 1) , g(n) = 73Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên f (n)g(n − 1), ∀n ≥ http://www.lrc-tnu.edu.vn 73 Tìm f(2010) g(2011) Giải √ Ta có π π = cos , suy f (1) = g(1) cos Khi ta có 6 √ π f (1) = = cos , v1 = b, π f (1) + g(1) f (2) = = cos , g(2) = 2 π π f (2) + g(2) 6 f (3) = = cos cos , g(2) = 2 f (2)g(1) = cos f (3)g(2) = cos π π cos π Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh f (n) = π π π π f (n − 1) + g(n − 1) 6 = cos cos 62 · · · cos n−2 cos2 n−1 2 2 g(n) = f (n)g(n − 1) = cos π cos π 22 · · · cos π 2n−1 Mà sin 2x = sin x cos x, nên ta có biến đổi sau f (n) π π =2 cos cos 62 2 π 2n sin2 n−1 =2 π 2n sin2 n−1 = = 2 sin 2n 2n−1 · · · cos cos π π n−2 cos π 22 cos π n−1 · · · cos π π 6 sin n−1 cos n−1 2 π sin2 n−1 π π cot n−1 = n−1 2 π 2n−2 cos2 π 2n−1 π sin cot π , n−1 π π 6 · · · cos 22 2n−1 π n−1 π π sin n−1 6 =2 cos cos · · · cos π 2 n−1 sin n−1 π sin = n−1 = π π 6 n−1 sin n−1 sin n−1 2 g(n) =2 cos π cos 74Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên π 2n−1 http://www.lrc-tnu.edu.vn 74 Khi f (2010) = 22009 cot π , 22009 g(2011) = 22010 sin π 22010 Bài tập 3.22 Cho dãy số un xác định sau u1 = e4 + 1, v1 = 2e2 un = un−1 + vn−1 √ , = un vn−1 , n ≥ Chứng minh lim un = lim n→∞ n→∞ Giải Ta có u1 e4 + e2 + e−2 = = = cosh Do v1 2e2 eα − e−α eα + e−α > 1, sinh α = , cosh α = 2 α α α + cosh α = cosh , sinh α = sinh cosh 2 Khi ta có u1 = e4 + = 2e2 cosh 2, v1 = 2e2 , √ u1 + v1 2 = 2e2 cosh2 , v2 = u2 v1 = 2e2 cosh 2 √ u2 + v2 2 2 u3 = = 2e2 cosh2 cosh2 , v2 = u3 v2 = 2e2 cosh cosh 2 4 u2 = Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh un = 2e2 2 2 un−1 + vn−1 = 2e2 cosh cosh · · · cosh n−2 cosh2 n−1 2 2 2 2 √ = 2e2 un vn−1 = 2e2 cosh cosh · · · cosh n−1 2 Mà sinh 2x = sinh x cosh x, nên ta có biến đổi sau 2 2 cosh · · · cosh n−2 cosh2 n−1 2 2 2n sinh2 n−1 2 2 2 =2e cosh cosh · · · cosh n−2 cosh2 n−1 2 2 2n sinh2 n−1 un =2e2 cosh 75Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 75 2 2e2 sinh sinh 2n−1 cosh 2n−1 = n 2 sinh2 n−1 2 cosh · · · cosh n−1 2 2 2n−1 sinh n−1 2 2 =2e cosh cosh · · · cosh n−1 2 2 2n−1 sinh n−1 2e2 sinh = n−1 2 sinh n−1 =2e2 cosh Ta có 2e2 sinh sinh lim un = lim n→∞ n→∞ 2n−1 2n sinh2 cosh = 2e2 sinh lim n→∞ cosh = e sinh lim n→∞ 2n−1 2n−1 2n−1 2n−1 sinh cosh 2n−1 2n−1 2n−1 sinh 2n−1 = e2 sinh 2, 2e2 sinh 2 n→∞ 2n−1 sinh n−1 lim = lim n→∞ =e2 sinh lim n→∞ 2n−1 sinh 2n−1 = e2 sinh Vậy lim un = lim = e2 sinh n→∞ n→∞ 76Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 76 Kết luận Phương trình hàm lớp hàm lượng giác lớp phương trình hàm quan trọng tập hợp hàm số tuần hoàn Các kỹ thuật biến đổi phương pháp giải lớp phương trình hàm lại hồn tồn khác với cách giải phương trình hàm truyền thống lớp hàm đại số Nội dung luận văn nhằm tổng quan khảo sát lớp phương trình hàm Luận văn đạt kết sau đây: - Trình bày dạng tốn lời giải phương trình hàm xuất phát từ đặc trưng hàm hàm lượng giác bản, lượng giác hyperbolic lượng giác ngược - Đưa lời giải dạng phương trình hàm khác (hàm cộng tính, nhân tính, liên tục, ) lớp hàm lượng giác - Đề xuất số toán phương trình hàm xuất phát từ phép biến đổi lượng giác hàm sin x cos x - Đề xuất số kỹ thuật sáng tác tập dựa công thức biến đổi lượng giác đưa cách giải cho tập cụ thể - Hướng phát triển đề tài xem xét lớp hàm nhóm cộng Albel lấy giá trị tập số phức C nghiên cứu mối liên hệ lớp hàm sin, cosin, tang, cotang Đây vấn đề mở chưa đề cập đến luận văn Tác giả hy vọng tiếp cận giải vấn đề thời gian tới Bên cạnh đó, tác giả nhận thấy số vấn đề đặt nội dung luận văn cần có thêm nhiều thời gian nghiên cứu hoàn chỉnh 77Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 77 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn, 2008, Chuyên đề chọn lọc dãy số áp dụng , NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Văn Tiến, 2009 Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Văn Mậu, 2007, Các toán nội suy áp dụng, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Văn Mậu, 2003, Phương trình hàm, NXB Giáo Dục [5] Tài liệu thao khảo mạng internet 78Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... Một số đặc trưng hàm số lượng giác Trong chương luận văn trình bày số kiến thức chuẩn bị đặc trưng hàm số lượng giác, hàm số lượng giác hyperbolic, hàm số lượng giác ngược Chương Phương trình hàm. .. hàm lớp hàm số lượng giác, hàm lượng giác hyperbolic Trong chương luận văn trình bày phương trình hàm d’Alembert lớp hàm số liên tục, phương trình hàm d’Alembert lớp hàm khơng liên tục, phương trình. .. Chương Phương trình hàm lớp hàm số lượng giác ngược số tập Trong chương luận văn trình bày phương trình hàm sinh đặc trưng hàm số lượng giác ngược số tập phương trình hàm sinh công thức biến đổi lượng