Phương pháp xấp xỉ biên xác định nghiệm gần đúng của phương trình laplace với điều kiện biên kì dị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀM THỊ ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ BIÊN XÁC ĐỊNH NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KÌ DỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀM THỊ ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ BIÊN XÁC ĐỊNH NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KÌ DỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 Các kiến thức 1.1 1.2 1.3 Các kiến thức không gian hàm 1.1.1 Không gian C k (Ω) 1.1.2 Không gian Lp (Ω) 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) 1.1.4 Vết hàm 1.1.5 Không gian Sobolev với số âm Khái niệm nghiệm yếu phương trình Elliptic cấp hai 10 1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu phương trình 10 1.2.2 Phát biểu toán biên 11 1.2.3 Sự tồn nghiệm yếu 13 Phương pháp biến phân xây dựng gần nghiệm yếu 16 Phương pháp xấp xỉ biên đặc biệt (BAMs) tốn biên có biên kì dị 20 2.1 Cơ sở phương pháp 20 2.2 Các phương pháp xấp xỉ biên (BAMs) 22 2.3 2.2.1 Cơ sở phương pháp 22 2.2.2 Các phương pháp BAMs 23 Ứng dụng phương pháp BAMs cho toán Motz 24 2.3.1 2.4 Các phương pháp BAMs 25 Đánh giá sai số 26 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 2.4.1 Penalty BAMs 28 2.4.2 Hybrid BAM 29 2.4.3 Penalty/Hybrid BAM 31 Phương pháp chia miền giải toán biên hỗn hợp mạnh 37 3.1 Cơ sở phương pháp 37 3.2 Sự hội tụ phương pháp 39 3.3 Ứng dụng phương pháp chia miền toán Motz 44 3.4 Mở rộng phương pháp chia miền trường hợp tổng quát 47 Phụ lục 64 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Các ký hiệu L Rn Ω ∂Ω C k (Ω) L2 (Ω) W 1,p (Ω) H 1/2 (∂Ω) H01 (Ω) H −1 (∂Ω) H −1/2 (∂Ω) V (.)V Cγ (Ω) CΩ E Toán tử elliptic Không gian Euclide n chiều Miền giới nội không gian Rn Biên trơn Lipschitz Không gian hàm có đạo hàm cấp k liên tục Khơng gian hàm đo bình phương khả tích Khơng gian Sobolev với số p Không gian Sobolev với số 1/2 Khơng gian hàm có vết khơng ∂Ω Không gian đối ngẫu với H01 (Ω) Không gian đối ngẫu với H 1/2 (∂Ω) Chuẩn xác định khơng gian V Tích vơ hướng xác định không gian V Hằng số vết Hằng số Poincare Ma trận đơn vị 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Khi mơ hình tốn mơ tả q trình mơi trường liên tục thường dẫn đến toán biên với loại điều kiện biên khác Trong trường hợp biên gồm loại điều kiện biên, ta gặp toán biên hỗn hợp yếu Đối với toán có nhiều cơng trình nghiên cứu phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn tác giả giới công bố nhiều năm qua Tuy nhiên trường hợp đoạn biên gồm hai loại điều kiện biên phân cách điểm biên, ta gặp tốn biên hỗn hợp mạnh hay cịn gọi tốn biên với điều kiện biên kì dị Do tính chất thay đổi điều kiện biên sinh điểm kì dị điểm phân chia Đối với tốn này, phương pháp thơng thường gặp khó khăn Năm 2006, tác giả Z C Li, Y L Chan, G C Georgiov, C Xenophontos nghiên cứu toán Motz đưa phương pháp xấp xỉ biên đặc biệt thường gọi phương pháp BAMs [1] Ngồi phương pháp việc tìm nghiệm xấp xỉ tốn với biên kì dị sử dụng sơ đồ lặp sở phương pháp chia miền [2, 3, 4] Nội dung luận văn trình bày sở phương pháp xấp xỉ biên xác định nghiệm gần toán biên với điều kiện biên kì dị phương pháp BAMs, đánh giá sai số phương pháp tương ứng kết thực nghiệm toán Motz, đồng thời đưa phương pháp xấp xỉ theo tư tưởng chia miền xác định nghiệm toán Motz tương ứng trường hợp tổng quát, tiến hành thực nghiệm tính tốn, so sánh độ xác hai phương pháp xấp xỉ biên 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn theo BAMs phương pháp chia miền toán Motz Luận văn gồm chương với nội dung sau: Chương 1: Luận văn trình bày kiến thức quan trọng không gian hàm đặc biệt không gian Sobolev, bất đẳng thức bản, khái niệm nghiệm yếu, định lý tồn nghiệm yếu, phương pháp biến phân xác định nghiệm yếu thơng qua tốn cực trị phiếm hàm Đây kiến thức quan trọng để trình bày nội dung chương luận văn Chương 2: Luận văn trình bày sở toán học phương pháp xấp xỉ biên đặc biệt (các phương pháp BAMs) bao gồm mối quan hệ toán Galerkin toán cực trị phiếm hàm, ứng dụng phương pháp BAMs toán Motz đồng thời đưa kết đánh giá sai số phương pháp, kết thực nghiệm trường hợp cụ thể Các kết đưa tài liệu [1] Chương 3: Luận văn trình bày phương pháp chia miền giải toán biên với điều kiện biên hỗn hợp mạnh, hội tụ phương pháp Xuất phát từ sơ đồ lặp chia miền tổng quát, luận văn đưa kết áp dụng thuật toán chia miền giải tốn Motz, tiến hành tính tốn thử nghiệm máy tính điện tử để xác định tốc độ hội tụ độ xác sơ đồ lặp, so sánh kết với phương pháp BAMs giả đưa tài liệu [1] Mở rộng việc áp dụng thuật toán trường hợp tổng qt từ đưa kết luận tính hữu hiệu phương pháp chia miền việc xác định nghiệm xấp xỉ toán biên với điều kiện biên kì dị Các kết tính tốn số luận văn lập trình mơi trường Matlab version 7.0 chạy máy tính PC Mặc dù cố gắng song nội dung luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận bảo, đóng góp ý kiến Thầy Cô bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn thiện Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS Vũ Vinh Quang tận tình hướng dẫn tác giả suốt q trình làm luận 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Cô, bạn bè, đồng nghiệp gia đình ln giúp đỡ, động viên, khích lệ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức 1.1 1.1.1 Các kiến thức không gian hàm Không gian C k (Ω) Giả sử Ω miền bị chặn không gian Euclid n chiều Rn Ω bao đóng Ω Ký hiệu C k (Ω), (k = 1, 2, ) tập hàm có đạo hàm đến cấp k kể k Ω, liên tục Ω Ta đưa vào C k (Ω) chuẩn u max | Dα u(x) |, C k (Ω) = (1.1) α =k α = (α1 , α2 , , αn ) vecto với tọa độ nguyên không âm, ∂ α1 +α2 + +αn u α | α |= α1 + α2 + + αn , D u = ∂xα1 ∂xαnn Sự hội tụ theo chuẩn hội tụ Ω hàm tất đạo hàm chúng đến cấp k , kể k Tập C k (Ω) với chuẩn (1.1) không gian Banach 1.1.2 Không gian Lp (Ω) Giả sử Ω miền Rn p số thực dương Ta ký hiệu Lp (Ω) lớp hàm đo f xác định Ω cho | f (x) |p dx < ∞ (1.2) Ω Trong Lp (Ω) ta đồng hàm hầu khắp Ω Như phần tử Lp (Ω) lớp tương đương hàm đo thoả 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn mãn (1.2) hai hàm tương đương chúng hầu khắp Ω Vì | f (x) + g(x) |p ≤ (| f (x) | + | g(x) |)p ≤ 2p (| f (x) |p + | g(x) |p ) nên rõ ràng Lp (Ω) không gian vectơ Ta đưa vào Lp (Ω) phiếm hàm u p xác định p | f (x) | dx p= p Ω Nếu < p < ∞ u ∈ Lp (Ω), v nh lớ 1.1 (Bt ng thc Hoăder) Lp (Ω) uv ∈ Lp (Ω) | u(x)v(x) | dx ≤ u(x) p v(x) p , Ω p = p 1 , tức + = 1, p gọi số mũ liên hợp đối p−1 p p với p Định lí 1.2 ( Bất đẳng thức Minkowski) f +g p≤ f p + Nếu < p < ∞ g p Định lí 1.3 Khơng gian Lp (Ω) với ≤ p < ∞ không gian Banach 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) Định nghĩa 1.1 Cho Ω miền Rn Hàm u(x) gọi khả tích địa phương Ω u(x) hàm cho Ω với x0 ∈ Ω tồn lân cận ω x0 để u(x) khả tích Ω Định nghĩa 1.2 Cho Ω miền Rn Giả sử u(x), v(x) hai hàm khả tích địa phương Ω cho ta có hệ thức u Ω ∂kϕ dx = (−1)k k1 kn ∂x1 ∂xn 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên vϕ dx Ω http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 ∞, Hình 3.6 mơ tả dáng điệu đạo hàm điểm kì dị Hình 3.6: Từ kết trên, nhận thấy phương pháp chia miền thật hiệu toán biên với điều kiện biên kì dị Đặc biệt toán Motz, từ kết thực nghiệm cho thấy phương pháp BAMs phương pháp chia miền cho kết Trong đó, trường hợp tổng quát, việc áp dụng phương pháp BAMs khó thực dùng phương pháp chia miền xác định nghiệm xấp xỉ tốn 55Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 Phần kết luận Luận văn trình bày đến phương pháp xấp xỉ biên xác định nghiệm gần phương trình Laplace với điều kiện biên kì dị Các kết luận văn gồm có Trên sở tài liệu [1], luận văn đưa mơ hình tốn học phương trình Laplace với điều kiện biên kì dị, trình bày sở tốn học phương pháp BAMs, đưa kết đánh giá sai số phương pháp tương ứng, kết thực nghiệm toán Motz Dựa kết thuật toán chia miền toán biên Elliptic với điều kiện biên gián đoạn mạnh, luận văn đưa sơ đồ lặp xác định nghiệm xấp xỉ toán Motz, tiến hành lập trình xác định nghiệm số tốn, đánh giá tốc độ hội tụ độ xác sơ đồ lặp, so sánh với phương pháp xấp xỉ BAMs Đưa kết áp dụng phương pháp chia miền trường hợp tổng qt tốn biên với biên kì dị Các kết khẳng định tính hữu hiệu phương pháp chia miền áp dụng tốn biên với điều kiện biên kì dị Hướng phát triển luận văn mở rộng kết miền hình học phức tạp phương trình bậc cao với điều kiện biên kì dị 56Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 Tài liệu tham khảo [1] Z C Li, Y L Chan, G C Georgiov, C Xenophontos, Special Boundary Approcimation Methods For Laplace Equation problems with Boundary Singularities Application to Motz problem, J Computers and Mathematics with Applications 51 (2006), 115 - 142 [2] Dang Quang A and Vu Vinh Quang, Domain decomposition method for strongly mixed boundary value problem for poisson equation, Preprint Submitted to Applied Mathematics and Computation, 2010 [3] Đặng Quang Á, Vũ Vinh Quang (2006), " Phương pháp chia miền giải toán biên hỗn hợp mạnh ", Tạp chí Tin học Điều khiển học, T 22, S.4: 307 - 318 [4] Vũ Vinh Quang (2006), " Một số kết ứng dụng phương pháp chia miền giải toán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh ", Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, T.4(40): 37 - 45 [5] Vũ Vinh Quang, Các kết việc ứng dụng thuật toán thu gọn khối lượng tính tốn giải tốn elliptic với điều kiện biên hỗn hợp, Hội thảo khoa học toàn quốc " Phát triển công cụ tin học trợ giúp cho giảng dạy, nghiên cứu ứng dụng toán học ", Hà Nội - 2/04/2005: 247 - 256 [6] Trương Hà Hải, Vũ Vinh Quang, Nguyễn Thị Tuyển, Xây dựng chương trình RC2009 giải số tốn biên elliptic với hệ số hằng, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Đại học Thái Nguyên, T 69(07): 56 -63, 2010 [7] Samarskij A and Nikolaev E., Numerical Methods for Grid Equations, vol 2, Birkhauser, Basel, 1989 [8] Cioranescu D and Donato P (1999), An Introduction to Homogen- 57Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 nization, Lectures series in Mathematics and its Applications, V 17, Oxford University Press, Oxford [9] Funaro D., Quarteroni A., Zanolli P (1998), " An iterative procedure with interface relaxation for domain decomposition method ", SIAM J Number Anal 25(6), pp 1213 - 1236 [10] Marchuk G I (1982), Methods of Numerical Mathematics, Springer, New York 58Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 Phụ lục % Chuong trinh giai bai toan motz bang phuong phap chia mien % Ngay lap 4/4/2011 clear all clc teta=0.5;% tham so lap chia mien a=1;b=1;cc=0;bb=0;k1=1;k2=1; count=-1; epxilon=10−10 ;ss=10; n=6; N=2n ; M=N;M1=M;N1=N;M2=M;N2=N;l1=a;l2=b;n1=n;n2=n;h1=l1/M;h2=l2/N; p1=1;p2=M+1;p3=2*M+1;q1=1;q2=N+1;q3=2*N+1; % buoc lap - Gia tri ban dau csi=0,eta=0;phi1=0;phi2=0 for j=0:N; eta(j+1)=0;% khoi tao gia tri lap tren bien chia mien cho bai toan Delta v=f end; for i=0:2*M; for j=0:N; luu(i+1,j+1)=0; end; end; thoigian=cputime; while and(countepxilon); % Giai bai toan voi u1 x10=-1;x20=0; 59Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 % Gia tri ve phai for i=0:M1; for j=0:N1; phi(i+1,j+1)=0; % Ham ve phai end; end; % Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N1; b1(j+1)=0; b2(j+1)=eta(j+1); end; % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M1; b3(i+1)=0; b4(i+1)=0; end; u1=u1101(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,0,N1,M1,n1,p1,p2,q1,q2); % Giai bai toan voi u2 x10=0;x20=0; % Gia tri ve phai for i=0:M2; for j=0:N2; phi(i+1,j+1)=0; % Ham ve phai end; end; % Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N2; b1(j+1)=u1(p2,q1+j); b2(j+1)=500; end; % Dieu kien tren canh duoi va tren 60Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 for i=0:M2; b3(i+1)=0; b4(i+1)=0; end; u2=u0011(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,0,M2,N2,n2,p2,p3,q1,q2); % Hieu chinh gia tri csi(j) tren bien x10=0;x20=0; for j=0:N2; ph01(j+1)=0; end; % Cong thuc ngoai suy cho hai diem dau mut tren bien chia mien bai toan % Hieu chinh gia tri eta(j) tren bien % Cong thuc ngoai suy cho hai diem dau mut tren bien chia mien bai toan % delta u=v aa1 = u2(p2, q1); aa2 = u2(p2, q1 + 1); aa3 = u2(p2, q1 + 2); u2h = aa3 − ∗ aa2 + ∗ aa1; bb1=u2(p2,q2);bb2=u2(p2,q2-1);bb3=u2(p2,q2-2); u2h=bb3-3*bb2+3*bb1; for j=0:N; if j==0; du(j + 1) = 1/h1 ∗ (u2(p2 + 1, q1 + j) − u2(p2, q1 + j)) +h1/(2 ∗ h2 ∗ h2) ∗ (u2h − ∗ u2(p2, q1 + j) + u2(p2, q1 + j + 1)) +h1/2 ∗ ph01(j + 1); else if j==N; du(j+1)=1/h1*(u2(p2+1,q1+j)-u2(p2,q1+j)) +h1/(2*h2*h2)*(u2h-2*u2(p2,q1+j)+u2(p2,q1+j-1))+h1/2*ph01(j+1); else du(j+1)=1/h1*(u2(p2+1,q1+j)-u2(p2,q1+j)) +h1/(2*h2*h2)*(u2(p2,q1+j-1)-2*u2(p2,q1+j)+u2(p2,q1+j+1))+h1/2*ph01(j+1); % Dao ham u2 61Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 end; end; end; for j=0:N; eta(j+1)=teta*eta(j+1)+(1-teta)*du(j+1); end; count=count+1; for i=0:2*M; for j=0:N; if i