THÔNG TIN TÀI LIỆU
ÁÀ ÌÊ Ỉ ÌÀ Á Ỉ Í ỉỈ Á ầ ặ ộặ èỹ ặ ẩ ặ ầ ẻ ậặ ặ ẻ ặ è è ậ èầ ặ ặ íũề ắẳẵ èấ ặ è ặ ổặ ầ ặ ộặ èỹ ặ ẩ ặ ầ ẻ ậặ íũề ề ề ẩ ặ ẩ ẩ èầ ặ ậ ì ẳ ẳẵẵ ặ ẻ ặ è ậ èầ ặ Ỉ Ị Ị Ĩ È ËºÌ˺ Å Ỵ Ỉ ỈÀï è ặ íũề ắẳẵ ẩ ẵ é Ị Ù ½ à ơỊ Ø Ù Ị ½º½º ½º¾º ½º¿º ½º º ½º º ½º º ¾ ÉÙ ề ữ ỉ ề ề è ễ ìí ệ Ò º º º º º º º º à ØƯ ưỊ Ø º º º º º º Ị ỉ íửề ề ặ íũề é ạèệ º º º º º º Ù Ð Ý Ø øÒ ỉ ẵ ẵ ẻ ề é í ỉ ẵ ắ ề é ỉ ề ểéị ú ¾ È Ị Ĩ ØƠ Ơ Ù Ị º º º º º º ºº ºº ºº ºº ºº ºº ứề ỉ ắẵ ẩ ề ễ ễ ễ ề ể ỉ ễ ễ ắắ í ì ậỉ ệé ề º º º º º º º º º º ắắẵ ì ậỉ ệé ề éể ắắắ ì ËØ ƯÐ Ị ÐĨ Đ Ø º º ¾º¿º Å Ø Ú ÕÙ Úó × ÐÐ º º º ắẵ ề ữẹ ì éé ắắ ậ éé ú ữề º º º º ¿ È Ị Ĩ × Ị ÙÝịỊ Ị ºº ºº ºº ºº ºº ºº Ø º º º º º º º º º º º º º º º ºº ºº ºº ºº ºº ºº ºº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ẵ ẩ ề ể ì ề íũề ề º º º º º º º º º º º º º º ¿º¾º È Ị Ơ Ơ Đ × Ị ÙÐ Ư º º º º º º º º º º º º º º ¿º¿º À Đ × Ị Ø Ị × ËØ ƯÐ Ị Ú × Ơ Ị Ĩ º º º º º à é ề è é ữ ỉ ẹ ể ẵẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ắẳ ắẳ ắ ắ ẵ ẵ ẵ ắ ắ ề ỉể Ị Ơ Ị Ĩ Ø Ơ Ơ Ú Ơ Ị Ĩ × Ị ÙÝịỊ Ị ơỊ Ø Ư Ø Ð Ù Ú Ị Ý Ị Ý Ị Ú ØƯ ÕÙ Ị ØƯ Ị Ị û ØƯĨỊ ÐúỊ Ú ØĨ Ị Đ Ị Ị Ơ Ị ØƯĨỊ Ị óÙ Ị ề ể ề ẻ ỉ ººº Ỵ Ý Ø Ị Ĩ Ð Ơ Ị Ĩ Ø Ơ Ơ Ú Ø Ị Ĩ Ð ễ ề ể ì ề íũề ề ềịé Ị Ù Ø ịỊ ÕÙ Ị Ø Đ ơỊ ØĨ ề ễ ề ể ì ỉ ề ũề ẻ ể ề ẹ ẵ ỉệểề ẹ ỉ ỉ ệềểéé ¸ Ị Úó Đ Ø × Ị ÙÝịỊ Ị ẹ ặ ỉ ể ỉ ỉ ề ữề ề ị ỉ ỉ ũề ú ì Ơ Ị Ĩ Đ Ø × Ø Ị ịỊº ề ệ ẹ ỉ ự ỉ í ẵà ậ ¾ Ơ Ị Ĩ = = + 1á ắà ậ ễ ề ể = = + = + + 1¸ ´¿µ Ë Ị Đ Ơ Ị Ĩ = = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1º Ỉ óÙ ØĨ Ị × Ý Ø Ơ × ØƯ ỊịỊ õ Ị × Ị Ơ Ị Ơ Ơ Ơ Ị Ĩ Ø Ơ Ơº È Ị Ĩ Ø Ơ Ơ Ị Ơ Ị Ư Ø Ị óÙ ØƯĨỊ ÐúỊ Ú ØĨ ề ì ễá ữỉ é ỉệểề ỉể ề ỉ ×Ị º ÄÙ Ị Ú Ị È Ị Ĩ Ú ẹ ì ề ề ẹ ữ ỉ ề é ơỊ Ø Ị Úó Ơ Ị Ĩ Ø Ơ Ơ Ú Ơ Ị Ĩ × Ị ÙÝịỊ Ị º ÄÙ Ị Ú Ị Ư Ð Đ Ị Ị ½ ¹ à ơỊ Ø Ù Ị º Ị Ị Ý ØỊ Ý Ú Ị ó Úó ÉÙ ề ữ ỉ ề ề ỉ ễ ìí ệ Ị ¸ ØƯ ưỊ Ø ¸ Ị Ø ÙÝưỊ ề ề íũề é ạỉệ é í ỉ ứề ỉ ề ắ ẩ ề ể ỉ Ơ Ơ Ù Ịº ÌỊ Ý Úó Ơ Ị Ơ ễ ễ ề ể ỉ ễ ễá í ì ậỉ ƯÐ Ị Ú Đ Ø Ú ÕÙ Úó × éé ề èệứề í ề ữẹ ềá ẹ ỉ ì ề é ữ ế ẹữề ó Úó Ơ Ị Ĩ × Ị ÙÝịỊ Ị º È Ị Ơ Ơ Đ × Ị Ð Ưº ¿ À Đ × Ị Ø Ị × ËØ ƯÐ Ị Ú × Ơ Ị Ĩ º Ĩ Ị Ø Ị ÐÙ Ị Ú Ị Ị ݸ ØƯ Ø Ü Ị Ð Đ Ị × Ù × Ø È ậ èậ ẹ ẻ ề ặ ỷ ề ỉ ề ề ềá ỷ ể ỉ ề ỉứề ễ ỉệểề ì Ø ÕÙ ØỊ Ü Ý Ị ó Ø Ị Ị Ĩ Ị Ø ÷Ị ÐÙ Ị Ú Ịº Ì ơƠ Ø Ĩ¸ Ø Ị Ü Ị Ð Đ Ị Ị Ø Ị Ø Ø Ý ¸ ưĐ ØƯ ¸ Ị Ú ĨỊ Ị ơỊ ÕÙ Ù ÐÙ Ị Ú Ị Ý Ị¸ Ơ ĨỊ Ơ Ịº É٠ݸ ỉ ề ĩ ề é ẹ ềỉ ề ẹ ữá ễ ề ể ỉ ểá ể èể ề è ề èệ ề ể è ặ íũề Ú Ị Ị Ị ÷Ơ Ø Ĩ óÙ ÷Ị Ø Ù Ị Ð ØƯĨỊ ×Ù Ø ÕÙ ØỊ Ø Ơ Ø ØƯ Ị º Ì Ư Ø ĐĨỊ Ị Ị × Ị Ơ ơỊ Ø Ý Ú Ị Ị Ị ÷Ơ ÐÙ Ị Ú Ị Ĩ Ị Ø ÷Ị Ịº Ì ÜỊ ỊØ Ị Đ Ị è ặ íũềá ỉ ề è ề ẹ ắẳẵ ặ íừề è ữ ề ề ẵ ụề ỉ ề ẵẵ ẫ ề ữ ỉ ề ề Ø Ø Ơ X = ∅ Ìù ó X × X Ị Ị ú Ị Ý X × X = {(x, y)|x, y ∈ X} Ò Ò ú ½º½º Ì Ơ ĨỊ S Ð Đ Ø ÕÙ Ị ÷ Ị Ị ÷ S Ú y Ú Ú xSy ØƯĨỊ X Ỉ (x, y) ∈ S Ø ø ỉ ề ề ề ỳ ẵắ ỉ ụỉ X = ∅ Ú S = ∅ Ð Đ Ø ÕÙ Ị ÷ Ị ØƯĨỊ X ÉÙ Ị ÷ S Ð Đ Ø ÕÙ Ị ÷ Ø Ị Ị ØƯĨỊ X Ị ề ỉ ẹề ú ữề ì í ẩ ề ĩ ẻ ẹ x X xSx ĩ ề ẻ ẹ x, y ∈ X, Ị xSy Ø ø Ị ySx ´ µ à ẻ ẹ x, y, z X, ềụ xSy Ú ySz Ø ø Ò xSz à S Ð Đ Ø ÕÙ Ị ÷ Ø Ị Ị ØƯĨỊ X Ø ø Ø Ø Ị ÷Ù ∼ Ø Ý Ĩ S Ø C(x) = {y ∈ X|y ∼ x} Ú Ị Ð Đ ØÐ Ờ Ị Ị Ú x ÐĐ ÷Ịº õ Ị û Ư ØùỊ Ø × Ù èựề ỉ ẵẵ ẻ ẹ àẻ ẹ àẻ ẹ è ễ ỉ ì xX Ị X/ ∼ ÕÙ Ị ÷ Ø Ị Ị ØƯĨỊ X = ∅ à x ∈ C(x) y, z ∈ C(x) x, y ∈ X, Ð X ×X x ÕÙ Ð y∼z Ó Ú y, z ∼ x C(x) ∩ C(y) = ∅ Ø Ô Ð Ơ Ø Ị Ị Ĩ C(x) = C(y) Ị Ĩ ề ẵắ è ễ ìí ệ ề ề ề ỳ ẵ ì ễ ĩụễ ỉ ỉ ễ Ị Ø Đ Ơ Ị Ø Ø Ð Ơ Ð Ø Ơ T Đ n Ơ Ị Ø Ị Ù Ð Đ Ø ûỊ Ơ Ð Ơ Ơ k Ø Ơ n Ơ Ị Ø º à k ÷Ù × ûỊ Ơ Ð Ơ Ơ k Ø Ơ Đ n Ơ Ị Ø Ị Ù Ð An ụỉ ế ì í é ửề ề ũề ữề ó ½º½º Ë Ị Ù Ð k An ûỊ Ô Ð Ô Ô k k Ñ Ø Ø Ơ n Đ Ơ Ị Ø k =n Ị Ị ú ½º º Å Ð Ý k Ơ Ị Ø Đ Ơ Ị Ø Ø Ð Ơ Ð Đ Ø Ø Ơ n Ơ Ị Ø Ð Đ Ø Ø Ơ Ð Ơ Ý Ø Ơ ×ÙÝ Ư Ị Ơ k Ø Ơ n Ơ Ị ỉ ữ ì k ỉ ỉ ỉ Ô Ð Ô Ô k Ñ Ø Ø Ô Ñ n Ơ Ị Ø Ị Ù Ð Cn Ì ế ì í ữề ú ẵắ ậ n Ĩ Ị Ú Ð Ơ n2 Ị Ị Ù Ø éể ẵá ề ề ỉ éể ìá × Ơ Ị Ø Ị Ị Ị Ơ Ị Ø ¸ ØƯĨỊ Ị Ù Ø Ù ÐĨ ¾¸ººº¸ n! · n1 !n2 ! ns ! n1 ns Ơ Ị Ø Ơ Ị Ø Ị Đ Ị º à ÷Ù Ơ Ị Ø Ð a1 , a2 , , as , ØƯĨỊ a1 ÜÙ ỉ ữề n1 éềá a2 ĩ ỉ ữề n2 éềáá as ÜÙ Ø ÷Ị ns ÐỊº n1 Ơ Ị Ø Ò Ò Ù a1 ÷Ù ÕÙ a11, , a1n1 ; n2 Ơ Ị Ø Ị Ị Ù a2 ÷Ù ÕÙ a21 , , a2n2 ; ; ns Ơ Ị Ø Ị Ò Ù as ÷Ù ÕÙ as1, , asns Ỵ n = n1 + n2 + · · · + ns Ơ Ị Ø aij Ø n! Ó Ò Ú º Ã Ò ai1 , , aini , i = 1, Ò n1 Ô Ò Ø Ò Ò Ù a11 , , a1n1 Ĩ Ị Ú Ú Ị Ù Ø Ị û Đ Ø Ĩ Ị Ú º ÌƯĨỊ ØƯ Ị Ơ Ị ݸ Ø Øơ Đ Ơ Ị Ø ØùỊ n1! ÐỊº Ì Ị Ø Ü Ø ØƯ Ị Ơ º Ỵø ØƯ Ị Ơ Ð Ð Ơ Ú Ị Ù ỊịỊ Ø Ĩ ÕÙÝ Ø Ị Ị Ø Ø Ý Đ Ĩ Ị Ú Ø Øơ ỉựề n1! ns! éề ẻ í ì Ó Ò Ú Ò ØùÒ Ò n !n n! · ! n ! ữề ú ẵ k ễ ề ữ T é ì ể ể n! T = · n1 !n2 ! nk ! Ị ĐỊ º Ì Cnn1 × ni Ú Ø Ơ Ị n ØÚ Ĩ Ị n1 Ú Ø Ø Ú Ø Ơ Ø nÚ Ị iÚ s Ù Ú Ĩ ØƯĨỊ i = 1, 2, , k Ø Ø Ú Ĩ Ơ Ø Ị ظ Ø ơƠ Ø Ĩ Cnn−n Ị n2 Ú Ø Ø n − n1 Ú Ø Ø Ú Ĩ Ơ Ø ¸ººº¸ n Ị Ð Cn−n −···−n Ò nk Ú Ø Ø n − n1 − · · · − nk−1 Ú Ø Ø Ú Ó Ơ Ø º Ỵø ØƯ Ị Ơ Ị ØƯịỊ Ð Ð Ơ Ú Ị Ù ỊịỊ Ø Ĩ ÕÙÝ Ø Ò Ò Ø Ø Ý T = Cnn Cnn−n Cnn−n −···−n Ỉ Ú Ý Ị Ø Ị Ị ÕÙ T = Cnn Cnn−n Cnn−n −···−n ơỊ k k−1 k 1 k−1 k 1 k−1 n! (n − n1 )! (n − n1 − · · · − nk−1 )! · ··· n1 !(n − n1 )! n2 !(n − n1 − n2 )! nk !0! n! · = n1 !n2 ! nk ! T = Ì ĐÐ Ỵù T = n! · n1 !n2 ! nk ! ẵẵ ữ T é ì ì ể ể Đ m × Ơ k Ú Ị n Ị Ơ Ð Ị º Ì Ĩ k Ơ n! n! T = · = m!m! m! (m!)k m Ð Ị × Ị ÙÝịỊ Ú Ø Ị Ĩk n! à k!(m!)k ẵắ ỉ áá ề ể ẹ n × s ÐĨ Ơ T = Ú Øº à k m1 ÐĨ Ị Ð T = Ø Ị Ị Ú Ø ÜơƠ ÚØØ Ị × Ơ Ị Ð T = n n = mk Ơ Ị à Ị Ù s ظ m2 ÐĨ ÐĨ Ị T Ð × m1 + m2 + · · · + ms غ Ã Đ n! · k!(m!)k Ú Ĩ ÷Ù (m1 n1 + m2 n2 + · · · + ms ns )! · m1 !m2 ! ms !(n1!)m1 (n2 !)m2 · · · (ns!)ms º ÌƯ Ø ịỊ Ø mi ni Đ ms ÐĨ Ø s, ØƯĨỊ Ị n = m1 n1 + m2 n2 + · · · + ms ns Ơ Ø Ù ÐĨ Ø i Ị ni Ú Ú Ø Ị Ù ÜơƠ Ú Ĩ s ÐĨ Ơ º Ã Ø Ị Ùº Ã × Ơ Ị Ð Ơ Ị Ị Ù ỊịỊ ẹ ễ ề ĩ ỉ ữề k! éề ẻ í ỉ ỉụ ì ễ ề ẻự ÜơƠ Ú Ĩ T = Ú Øº à Ị Ơ Ị × Ĩ Ĩ Ơ Ị Ø n! · (m1 n1 )!(m1 n2 )! (ms ns)! ÷Ø Ơ × Ĩ Ơ Ị i Đ Ơ Ị Ø i Ð mini Ú Ø ÜơƠ Ú ể mi ễ ề ữỉ ề ì ẹ Ô Ò Ð Ð Ô Ú Ò Ù Ô Ò Ð Ti = m(m!(nin!)i)!m · Ĩ i i ỊịỊ Ø Ø × Ơ Ị Ị Ù Ð T = S.T1.T2 Ts Ý i T = (ms ns )! (m1 n1 )! n! · · · , · (m1 n1 )!(m1 n2 )! (ms ns )! m1 !(n1 !)m1 ms !(ns!)ms Ĩ Ú Ị Ð T = ½º¿º à (m1 n1 + m2 n2 + · · · + ms ns )! · m1 !m2 ! ms !(n1!)m1 (n2 !)m2 · · · (ns!)ms ØƯ ưỊ Ø ề ề ỳ ữì ỉ ễ ềỉ ểỉ ƠÚ ØƯ ưỊ Ỉ Ø Ỉ ÛØĨỊº Ị Ị ú ẵ ẻ ì ề íũề ề n n r1 , r2 , , rk = ØƯĨỊ n r1 , r2 , , rk = k, × n! , r1 !r2 ! rk ! ri ∈ N Ú r1 + r2 + · · · + rk = n, Ị Ø º Å Ø Ú ÕÙ × Ù í ìí ỉệ ỉ ụễ ỉ ữề ú ẵ Ý Ị Đ Ø × Ø Ị ÕÙ Ø é ẹỉ ữ ì ỉ ễ ề ề ỳ n − r1 n − r1 − r2 − · · · − rk−1 ··· r2 rk n r1 Å÷Ị ó ½º º n r1 , r2 , , rk ØƯĨỊ = Ø Ø n−1 n−1 n−1 , +· · ·+ + r1 , r2 , , rk − r1 , r2 − 1, , rk r1 − 1, r2 , , rk Ị Ð × Ù Ý Ị ri Ị ÙÝịỊ Ð Ị Ú ØÖ r1 + r2 + · · · + rk = n ưỊ Ị Ø nº Ị Ðù ½º½º Ị Ø ØƯ ưỊ Ĩ (x1 + x2 + · · · + xk )n = ØƯĨỊ Ø Ị Ð Ý Ø Ó Ø Ø (x1 + x2 + · · · + xk )n r1 +···+rk =n × Ù n xr11 xr22 xrkk , r1 , r2 , , rk r1 , , rk ∈ N Ò Ò Đ Ị º Ì Ị Đ Ị ÕÙ Ú r1 + · · · + rr = n Ò Ơ Ị Ơ Ơ ÕÙ Ị Ơ Ø Ĩ × Ị Ø Ị Ú n Ì Ỵ n = Ị Ø ưỊ Ị ịỊ Ị º û Ư Ị Ị Ú n + Ì Ø Ú Ý¸ Ø n (x1 + · · · + xk )n+1 =(x1 + · · · + xk )n (x1 + · · · + xk ) n! = xr11 xr22 xrkk (x1 + · · · + xk ) r !r ! rk ! r1 +r2 +···+rr =n = [ r1∗ +···+rk∗ =n+1 + ··· + Ì ×ÙÝ Ư n! n! + (r1∗ − 1)!r2∗ · · · rk∗ ! r1∗ !(r2∗ − 1)! · · · rk∗ ! n! rk∗ r1∗ ] x x k r1∗ ! (rk∗ − 1)! (x1 + · · · + xk )n+1 = Ý (x1 + · · · + xk )n+1 = n!(n + 1) r1∗ rk∗ x · · · x k r∗ ! · · · rk∗ ! r ∗ +···+r ∗ =n+1 1 k (n + 1)! r1∗ rk∗ x x , k ∗ ∗ r ! · · · r ! k r ∗ +···+r ∗ =n+1 1 k ØƯĨỊ Ø Ị Ð Ý Ø Ĩ r1∗, · · · , rk∗ ∈ N Ú ri∗ = n + ẻ í ỉ ìí ệ ề i=1 Ø Ị Ú n + Ì Đ Ð ề ỉ ề ẹ n k ẻự ẵ Ỵ Ø × Ị ÙÝịỊ kn = r1 +···+rk =n ØƯĨỊ Ø Ị Ð Ý Ø º Ì Ĩ Ø Ø Ò k ÐÙ Ò Ò Ò Ø Ø n , r1 , r2 , , rk r1 , , rk ∈ N k n = (1 + + · · · + 1)n = Ú r1 + · · · + rr = n r1 +···+rk =n n r1 , r2 , , rk Ø Ó ¼ Ị ĐỊ º × Ð Đ Ø Ơ Ị ể ì ná ỉệểề ề ỉ ề ễ ỉ ÕÙ mº Ì ÕÙÝ Ị ݸ (b1 , b2, , bk ) Ð k × Ị ÙÝịỊ Ị ÜơƠ Ø Ĩ Ø Ø Ø Ð Ị ơỊ Ñ Ø Ò Ò Ò nº à b1 Ð Ð Ị Ị Ø ØƯĨỊ × b1 , b2 , , bk Ú b1 ≤ mº Ø ØƯ Ị Ơ b1 = mº à ¸ Ơ Ò Ò Ð (b2, , bk) Ð Đ Ø Ơ Ị Ĩ × n − m Ú Ø Ị Ơ Ị óÙ Ị Ị ỉ ế m ặ íá P (n m | 1, 2, , m) Ò (b2 , , bk ) Ø ÑÒ (m, b2, , bk ) Ð Ơ Ị Ĩ × n Ú Ø Ị Ơ Ị Ị Ú Ø ÕÙ mº Ø ØƯ Ị Ô b1 = m − 1º à bi ≤ m − Ú Ñ i = 2, , k º Ĩ ¸ Ø Ị Ø Ð Ơ ÐÙ Ị ØƯịỊ¸ Ơ Ị Ị Ð (b2, , bk ) Ð Đ Ø Ơ Ị Ó × n − (m − 1) Ú Ø Ị Ơ Ị óÙ Ị Ị Ú Ø ế m ẻứ ỉ ụá P (n m + | 1, 2, , m − 1) Ò (b2, , bk ) Ø Đ Ị (m − 1, b2, , bk ) Ð Ơ Ị Ĩ × n Ú Ø Ị Ơ Ị Ị Ú Ø ÕÙ mº bi = Ú Ø ơƠ Ø ÕÙ ØỊ ØƯịỊ¸ Ĩ ơỊ ØƯ Ị Ơ b1 = 1º Ã Ñ i = 2, , kº Ĩ ¸ Ơ Ị Ị Ð (b2, , bk) Ð Đ Ø Ơ Ị Ĩ × n − Ú Ø Ị Ơ Ị óÙ Ị Ị Ú Ø ÕÙ 1º Ỵø Ø ơ¸ P (n − | 1) Ị (b2, , bk) Ø Đ Ị (1, b2, , bk) Ð Ơ Ị Ĩ × n Ú Ø Ị Ơ Ị Ị Ú Ø ÕÙ mº ËÙÝ Ö (b1 , b2 , , bk ) Ị bi Ị Ĩ Ú m P (n | 1, 2, , m) = j=1 P (n − j | 1, 2, , j) ẻ ẹ ì ỉ x 0á ữ [x] é ễ ề ề íũề xá Ø Ð × Ị ÙÝịỊ Ð Ị Ị Ø Ị ỉ ế x ỉ ữ ế ì Ùº À÷ ÕÙ ¿º¿º Ơ Ị û Ø À÷ ÕÙ ¿º º Ø Ị Ơ Ị û Ị Ị ½ Ị Ø n +1 Ĩ ề ễ ẵá ắ ể ì ná ỉệểề ẹ ỉ Ò ¾º (n + 3)2 +1 12 Ò Ò ể ễ ề ể ì ná ỉệểề ẻ ẹ ì ề íũề ề má ữ Pm(n) é ì Ơ Ị Ĩ Ĩ Đ Ø Ị Ơ Ị óÙ Ð Ị Ị Ĩ Ị mº Đ n× Ĩ ½ Ỵù ¿º º P (8) = Úø Ơ Ị óÙ Ị Ị Ị Ị 3¸ Ơ Ị Ĩ 8× × Ĩ Ĩ Đ Ø Ị Ð = 8; = + 5; = + ó ¿º¾º P (n) = P (n) − P (n − 1)º Ị ĐỊ º Ư Ị × Ơ Ị Ĩ × Ĩ ĨĐ Ø Ị Ơ Ị óÙ Ð Ị Ị Ĩ Ị 2á ựề é ì ễ ề ể n × Ĩ Ĩ Đ Ø Ị Ơ Ị óÙ 1º Ỵø Ø Ø Å÷Ị ó ¿º Ø n P2 (n) = P (n) − P (n − 1) ó ¿º¿º Ë m Ị ùỊ Ị Ð × Ơ Ơ Ị Ị Ĩ Ĩ n× Ĩ ĨØ n−m × Ĩ Ị Ơ Ị Ị ĨĐ Ø Ị Ị Ø Ị Ị Ơ Ị óÙ Ị mº Ị Đ Ị º Ỉ m ≥ n Ø ø Ị Ø ØƯịỊ ưỊ Ị ịỊ Ị º Ĩ Ø Ø m < nº Ø Ơ Ơ Ị Ĩ Ơ Ị Ị Ị Ø Ị Ị mº B Ð Ø Ơ Ơ Ị × Ĩ Ĩ Đ Ø Ị Ơ Ị óÙ Ð Ị Ị Ý Ị mº Ỵø p1 ≥ p2 ≥ ≥ pt ỊịỊ Ø Ị Ơ Ị Ị Ị Ø Ơ Ị mº Ỵø m < n ỊịỊ Ĩ p1 + + pt−1 = n − m > (p1 , , pt−1) Ð Ñ ØƠ Ị Ĩ × n − mº p1 ≥ p2 ≥ ≥ pt−1 ≥ m × n× Ĩ ĨØ Ị Ĩ × n−m × (p1, , pt) ∈ Aº Ơ Ị Ĩ pt Ỵø ỊịỊ Đ Ø Ị Ơ Ị pi Ơ Ị Ĩ (p1, , pt−1) óÙ Ò Ò m¸ Ø Ð (p1 , , pt1) B ặ é ể (q1, , qk ) ∈ B º à q1 ≥ q2 ≥ ≥ qk ≥ m Ú q1 + + qk = n m ề ắ ẻứ ỉ ụ (q1, , qk , m) Ð Ơ Ị Ĩ Ø Ð (q1, , qk , m) ∈ Aº Ĩ Ị Ü nÚ Ø Ị f :A→B Ơ Ị Ị Ị Ø Ð Ĩ m¸ f (p1, , pt) = (p1 , , pt−1) Ð Đ Ø ×ĨỊ Ị º Ì Ø ÕÙ º Ỵù Ú ¿º º Ĩ n = 13 m = 4º Ì n − m = 13 − = 9º à Pm (n − m) = P4 (9) P4 (9) = óÙ Ò Úø Ò Ò Ò 4¸ Ð Ơ Ị Ĩ × 13 = + 9; 13 = + + 5º Ị ó ¿º º Ì Ơ Ị Ĩ × 9 = 9; = + 5º 13 × Ĩ Ĩ Ø ề ễ ì ể ể ẹ ỉ ể íá Ø Ĩ Ị Ø Ị Ị Ơ Ị ó ¿º¿ Ị 4¸ Ð Pm (n) = Ị ĐỊ º 0, Ị 1, Pm+1 (n) + Pm (n − m), Ị Ị m > n, m = n, m < n Ị Ø ưỊ Ị ịỊ Ị m ≥ nº Ĩ Ø Ø m < nº A Ð Ø Ơ Ơ Ị Ĩ n × Ĩ Ĩ Đ Ø Ị Ơ Ị A = B ∪ C ¸ ØƯĨỊ BÐ Ø Ơ Ơ Ị Ĩ Ị Ị Ị mº à n × Ĩ Ĩ Ø Ò Ô Ò Ò Ò Ø Ò Ò m Ú C Ð Ø Ơ Ơ Ị m + 1º Ê Ơ Ị Ĩ n × Ĩ Ĩ Đ Ø Ị Ơ Ị Ị Ị Ư Ị B ∩ C = ẻứ ỉ ụ ì ễ ề ỉ A ề ì ễ ề ỉ B C Ú Ị × Ơ Ị Ø B Ị Ú × Ơ Ị Ø C º ƯỊ A Ị Pm (n) Ô Ò Ø Ú C Ò Pm+1(n) Ô Ò Ø è ể ú ì ễ ề ỉ B Ð Pm(n − m)º Ỵø Ø Ø Pm(n) = Pm+1(n) + Pm(n − m)º Ỵù à ¿º º n = 13, m = 4º Ì Pm+1 (n) = P5 (13) = 3º Ĩ Ĩ Úù Ĩ Ú Ý¸ Ø ØƯịỊ Ø Ĩ Pm (n−m) = P4 (9) = ó ¿º P4 (13) = P4 (9) + P5 (13) = + = Ø ¿ Ë Ơ Ị Ĩ × 13 × Ĩ Ĩ Đ Ø Ị Ơ Ị Ị Ị Ị Ð 13 = 13 = 4+4+5 = 4+9 = 5+8 = + Ị Ðù ¿º º Ì P (n) = 1, [ n2 ] P (i), Ị n = 0, Ị n = 1, 2, Ị n ≥ i=0 [ n2 ] n−1 P (i|1, 2, , n − i), P (i) + i=0 n i=[ ]+1 Ị Đ Ị º Ỵø P (0) = ỊịỊ Ị Ø Ị Ĩn n P (1) = 1¸ Ø ỊỊ Ú n=1 Øø = 0º Ì = Ú Ø Ý Ú Ĩ Ị Ø Úơ Ơ [ n2 ] P (i) = P (0) = 1, i=0 ÚønØ Ị Ø Ị Ĩ n = 1º Ì P (2) = 2¸ Ị Ị Ú = Ú Ø Ý Ú Ĩ Ị Ø ịỊ Úơ Ơ Ø n=2 Øø [ n2 ] P (i) = P (0) + P (1) = 2, i=0 Úø Ø Ị Ø Ị Ĩ n = 2º Ó n ≥ 3º × (p1, , pk) Ð Đ Ø Ơ Ị Ĩ nº à (p1, , pk ) Ð Ñ Ø × Ị ÙÝịỊ Ị × Ơ Ø Ĩ Ø Ø Ø Ð Ị ơỊ Ú Ø Ị Ị Ð nº Ê Ư Ị ≤ p1 ≤ nº Ø p1 = n − i¸ ØƯĨỊ i ∈ {0, 1, 2, , n − 1}º à p , , p k ≤ n − iº Ư Ị (p2, , pk ) Ð Đ Ø × Ị ÙÝịỊ Ị × Ơ Ø Ĩ Ø Ø Ø Ð Ị ơỊ Ú Ø Ị Ð iº Ỵø Ø (p2, , pk ) Ð Đ Ø Ơ Ị Ĩ × iº Ỉ ÚÝÚ Đ i∈ {0, 1, 2, , n − 1}¸ Ị P (i|1, 2, , n − i) Ò (p2, , pk) ö (n − i, p2 , , pk ) Ð Ơ Ị ể ì n ẻứ ỉ ụ n1 Pn = i=0 P (i|1, 2, , n − i) n Ø ø n − i ≥ 1¸ P (i|1, 2, , n − i) = P (i) ẻứ ỉ ụ ặụ i ể 0, , Ø Ĩ Ị Ð ¿º Ø n−1 P (n) = i=0 P (i|1, 2, , n − i) [ n2 ] n−1 P (i) + = i=0 Ỵù ¿º º ØùỊ P (7)á i=[ n2 ]+1 ì ề ề P (i|1, 2, , n − i) Ð ¿º ¸ Ø P (7) = P (0) + P (1) + P (2) + P (3) + i=4 ÌƯĨỊ P (0) = P (1) = 1; P (2) = 2; P (3) = 3º P (i|1, 2, , − i) Ì Ĩ Ị Ð ¿º Ø P (4|1, 2, 3) = P (3|1) + P (2|1, 2) + P (1|1, 2, 3) = + + = P (5|1, 2) = P (4|1) + P (3|1, 2) = + = P (6|1) = Ỵ Ý P (7) = + + + + + + = 15º Ò Ðù ¿º º Ỵ Đ × Ị ÙÝịỊ Ị n Ø [ n2 ] P (n) = + m=1 Pm (n − m) Ị ĐỊ º Ð Ø Ơ Ơ ễ ề ể ì n ẻ ẹ m {1, , n}á ữ Am é Ø Ơ Ơ Ị Ĩ n n × Ĩ Ĩ Ø Ị Ơ Ị Ị Ø Ị Ị mº à Ư Ư Ị A = Am Ú Am ∩ At = ∅ Ú m−1 Đ m = tº Ỵø Ø × Ơ Ị Ø A ùỊ Ð Ø Ị × Ư (Am) Ú m = 1, , ná ỉệểề ệ (Am) é ì ễ Ị Ø Amº Ê Ư Ị Ư (A) = P (n)º Ì Ĩ ó ¿º¿ Ø Ư (Am) = Pm(n − m)º Ỵø Ú Ý Ø n A P (n) = m=1 Pm (n − m) Ư Ị Ư (An) = Úø Ị Đ Ø Ơ Ị Ĩ × n × Ĩ Ĩ Ø Ị Ơ Ị Ị Ø Ị Ị n¸ ùỊ Ð (n) ´Ơ Ị Ĩ n n Ø Ị Ị Đ Ø Ø Ị Ơ Ịµº Ì × Ị Đ Ị Am = ∅ Ú Đ m = +1, , n−1º Ì ỉ íá ì n2 < m < n (p1, , pk) ∈ Bm Ð Ñ Ø Ơ Ị Ĩ × n × Ĩ Ĩ Ø Ò Ô Ò Ò Ø pk Ò Ò mº à p1 + .+pk−1 = n−m > 0¸ Ĩ k ≥ 2¸ Ø n Ð Ơ Ị Ĩ Ị Ý ùØ Ị Ø Ø Ị Ơ Ịº Ä Ĩ p1 ≥ pk = m > ỊịỊ p1 + + pk ≥ 2m > n¸ óÙ Ị Ý Ú Ð º Ĩ Ị Ø Ị Ø Ơ Ị Ĩ × n × Ĩ Ĩ Ø Ị Ơ Ịn Ị Ø Ị Ị mº óÙ Ị Ý Ị ú Ð Ư (Am) = Ú Đ m = + 1, , n − 1º Ì Ý Ú Ĩ Ị Ø ØƯịỊ Ø Ỵù ẵẳ èựề P (n) = + P (9) è Ó Ò Ð [ n2 ] m=1 ¿º Pm (n − m) Ø P (9) = + m=1 Pm (9 − m) = + P1 (8) + P2 (7) + P3 (6) + P4 (5) ÌƯĨỊ P1 (8) = P (8) = 22, P2 (7) = 15 − 11 = 4, P3 (6) = 2, P4 (5) = Ỵ Ý P (9) = + 22 + + + = 30º ¿º¾º ẩ ẻ ề ễ ễ ẹìề é ệ ếíụỉ ỉể ề ễ ề ể é ệ ì ề Đ × Ị Ø ơỊ x, y Ú Ơ Ơ Ò Ò Ò Ò Ø ¸ Ø Ù Ð Ý Ø Òº ∞ m n f= m,n Å p(n, m)x y = (1 + xy )(1 + xy )(1 + xy ) · · · = Ị Ø ØƯ ưỊ Øù Ú (1 + xy j ) Ị Úơ Ơ óÙ j=1 Ị ×Ù Ý (xy i1 )(xy i2 ) (xy im ) = xmy i1 +i2 +···+im Ø Ò Ò Ú ữ ễ ề ể ỉ ề ệ ề áỉ m Ơ Ị p(n, m)xmy m+n p(n, m)xmy n = (1 + xq) f= m,n m,n Ú ×Ĩ × Ị ÷ × n = i1 + · · · + im Úơ Ø õ Ị ×ÙÝ Ư xm y n Ò Ò ØØ p(n, m) = p(n − 1, m − 1) + p(n − m, m), ĩ ẹ ề é ẵ ề ỉựề ẻự ¿º½½º ÙÐ Ư℄ Ì ØƯ p(n, m) p(50, 7) = 522 ËÙ Ü Ò ØùÒ p(n, m), ÙÐ Ư ØøĐ Ị Ø Ü Ị × ØĨ Ị Ø p(n) Ø Ø Ơ Ị Ĩ n ÕÙ ÕÙ × Ù ó ¿º º Ì ÐÙ Ị ∞ ∞ n p(n)x = n=0 Ị Đ Ị º Ỵø · n − x n=1 ∞ ∞ n n=0 2 p(n)x = (1+x+x +· · · )(1+x +x +· · · ) = Ú ỊịỊ Ị Ø Ị Ị 1 − xn ∞ ∞ p(n)xn = · n n=1 − x n=0 + xn + x2n + x3n + · · · = ôØ ÕÙ n=1 (1+xn+x2n +x3n +· · · ) ó ¿º º ÙÐ Ư³× Ơ ỊØ ĨỊ Ð ỊÙĐ Ư Ø ĨƯ Đ℄ Ì ÐÙ Ò ∞ n=1 Ú (1 − xn ) = − x − x2 + x5 + x7 − x12 − x15 + x22 + x26 − · · · ∞ ∞ n n=1 Å÷Ị ó ¿º º Ỵ Ü Ị Đ (1 − x ) = × n(3n−1) n=1 n Ị ÙÝịỊ p(n) (−1)nx Ú Ø p(0) = Ø Ò Ø ØỨÝ Ý p(n) − p(n − 1) − p(n − 2) + p(n − 5) + p(n − 7) − · · · = 0, n > Ò ĐỊ º Ì Ĩ ó ¿º Ú ó ¿º Ø Ò Ò ØØ ∞ ∞ p(n)x n n=0 ∞ 12 15 22 26 (1 − x − x + x + x − x − x + x + x − · · · ) = (1 − xn ) = n=1 Ì Ø Ị Ị · n − x n=1 Ò Ø ØỨÝ p(n) − p(n − 1) − p(n − 2) + p(n − 5) + p(n − 7) − · · · = 0, n > ó ¿º º ẵ ỉ ữ q(n) é ì ễ Ò ∞ q(n)x = n=0 × n Ò Ơ Ị Ị Ĩ ∞ n Å÷Ị ó ¿º º Ỵ Đ Ị ĐỊ º Ì Ĩ Ĩ Ị ÙÝịỊ ∞ ó ¿º Ú ∞ n · n − x n=2 Ø q(n) = p(n) − p(n − 1) ó ¿º Ø ∞ q(n)x = (1 − x) = (1 − x) p(n)xn n 1−x n=0 n=1 n=0 n Ỵ Ý q(n) = p(n) − p(n 1) ề ậ ệệ ệì ẻ ễ ề ể × Ị ÙÝịỊ Ị n Ø Ị m Ơ Ị (i1, i2, , im), Ø ĨØ Ị Ị Ú Đ Ø× Đ m Ị Đ Ị •, ØƯĨỊ Ị Ø j ij Đ Ị • : • • • • • ··· • • • • • • ··· ··· ··· ··· ··· • • • Ë Đ ỊỊ Ý Ð × Ị n Ø Ò m Ô Ò (i1, i2, , im) ẻự ễ ề ể ì ẵắ ỉ ề ễ Ị Ð ÙÝưỊ × ƯƯ Ư× Ø Ị × ØƯ Ị ÙÝưỊ Ø Ị Ị × Ø Ị Ơ Ị Ð (5, 3, 2, 2) Ơ Ị Ĩ Ơ Ị Ĩ × Ị ÙÝịỊ (5, 3, 2, 2) ì ệệ ệì ã ã ã ã ã ã • • Đ Ị Ú ÷ ÙÝưỊ Đ ØƯ Ị ỉ ề ẹ ệệ ệì é ũề ễ ẻự ễ ề ể ì ẵắ ì (4, 4, 2, 1, 1) Ú Ø Ị Ơ Ị Ĩ Ị Ðù ¿º ậ ã ã ã ã ệệ ệì ệệ ệì × n • • • • ƯƯ Ư× Ú • • • • • • • • • Ơ Ị Ð Ị Ị • • • • ÙÝưỊ • • • • • • • Ø Ò m Ò Ị P (n, m) Ị Đ Ị º Ỵø Ị Ü ơỊ Đ × ƯƯ Ư× Ø Ị × ƯƯ Ư× Ð ịỊ Ơ Ð Đ Ø ×ĨỊ Ị ỊịỊ Ø Ị Ý ÕÙ Ị Ị Đ Ị º ¿º¿º À Đ × Ị Ø Ĩ k n < k ẻ ì ề íũề ề S(n, k) = fk = n Ị × ËØ ƯÐ Ị ì ễ ề ề ĩ ỉ í ì ËØ ƯÐ Ị ÐĨ {S(n, k)}, Đ×Ị Ø Ị Ý {S(n, k)} Ð S(n, k)xn = S(k, k)xk + S(k + 1, k)xk+1 + S(k + 2, k)xk+2 + · · · Ị Ðù ¿º º Ì õÒ k fk = x k · − sx s=1 Ị Đ Ị º Ỵø S(n, 1) = ỊịỊ f1 = x + x + x + · · · = Ị Ĩ k = × ÕÙ x 1−x Ị Ĩ k − > Ì ơỊ Øù (1 − kx)fk = fk − kxfk = S(k, k)xk + [S(k + 1, k) − kS(k, k)]xk+1 + [S(k + 2, k) − kS(k + 1, k)]xk+2 + · · · = S(k − 1, k − 1)xk + S(k, k − 1)xk+1 Ú ×ÙÝ Ư Ø Ĩ + S(k + 1, k − 1)xk+2 + · · · = xfk−1 k 1 fk = xfk−1 = xk − kx − sx s=1 Ø ÕÙÝ Ị Ơº × Ơ Ị Ĩ × Ị ÙÝịỊ Ị n Ø Ị m Ơ Ị Ð (i1, , im) Ø Đ Ị i1 i2 · · · im Ú i1 + i2 + · · · + im = n ặụ ì ij ĩ ỉ ữề ề kj ÐỊ ØƯĨỊ Ơ Ị Ĩ Ø ø kj Ð ij , Ị Ị Ã Ú 20 = + + + + + Ø ứ ắá ẵá ắ ỉ ẹ ỉ ễ ề ể ế ỉự ỉ ì ề Ò (i1, i2, , im) Ú Ó Ý (1, 2, 3, , n − 1, n) Ú öÙ Ø ÕÙ Øù 1k 2k 3k nk , ØƯĨỊ kr = n ẳ ì ề ĩ ỉ ữề ỉệểề Ơ Ị Ĩ øỊ Ø Ù Ð Ý Ø r (i1 , i2 , , im) Ỵ ơỊ x, Øù (1 + x + x2 + · · · )(1 + x2 + x4 + · · · )(1 + x3 + x6 + · · · ) (1 + xn + x2n + à à à ) ì ừề ỉ áẹ Ơ Ị Ú Đ Ø ỊØ Ý× Ơ Ị Ø Ò × Ò Ò (x1)k (x2)k (x3)k (xn)k Ã Ó 1k1 + 2k2 + 3k3 + · · · + nkn × Ø Ị Ị ÙÝ Ò Ø (x1)k (x2)k (x3)k (xn)k = x1k +2k +3k +···+nk À Đ × Ị Ị Ĩ ØĨ Ị Ø {p(n)} Ð Ù Ð Ý Ø n 1 n 3 n p(n)xn P (x) = n Ò Ðù ¿º º Ì õỊ ∞ P (x) = Ị ĐỊ º Ø Øù Ã Ø Øù 1 − xn n=1 ∞ ∞ k=1 i=0 xki Ú |x| < ưÜ Ị xn Ø û Ị ÕÙ Ị Ø Đ (1 + x + x2 + · · · )(1 + x2 + x4 + · · · ) (1 + xn + x2n + · · · ) xn = (x1 )k1 (x2)k2 (x3 )k3 (xn)kn = x1k1 +2k2 +3k3 +···+nkn À÷ Ø Ị Ý Ø Ị Ị Ú Ơ Ị ØỊ 1k1 + 2k2 + 3k3 + · · · + nkn = n xki ØƯĨỊ N Ë Ị Ø x ÜÙ Ø ÷Ị ØƯĨỊ Øù Ị ề p(n) k=1 i=0 í ì ề ữẹ ễ ề ØỊ ∞1k1 + 2k2 + 3k3 + · · · + nkn = n ØƯĨỊ N Ì ×ÙÝ Ư õÒ P (x) = −1 xn · n=1 à ÷Ù ple(n) Ð × Ơ Ị Ĩ n Ú ễ ề é ề ề ì é ữ pkn(n) Ð × Ơ Ị Ĩ n Ú ễ ề é ề ề ì ề ẻự = = + = + = + + = + = + + = n ∞ ∞ 3+1+1+1 = 2+2+2 = 2+2+1+1 = 2+1+1+1+1 = 1+1+1+1+1+1 Ì p(6) = 11, ple(6) = 4, pkn(6) = Ú ple(6) = pkn(6) Å Ø Ù Ø Ö ple(n) = pkn(n)? ẵ ề éự ẵẳ è ề ẹề ỉ ữ ỉ ple (n) = pkn (n) ẹìề ∞ f= ple (n)x = − x2k+1 n=0 k=0 n Ú ∞ g= Úø g (1 − x ) = (1 − x ) ỊịỊ × Ù k=0 k=0 Ø Ò Ò ∞ ∞ k ∞ 2k g= Ó Ú Ý ple(n) = pkn(n) ∞ n (1 + xk ) pkn (n)x = n=0 = f − x2k+1 k=0 k=0 Úơ Ĩ ∞ (1 − xk ) k=0 ¾ à ÐÙ Ị ÄÙ Ị Ú Ị È Ị Ĩ Ú Đ × Ị Ø Đ ỉ ì ụỉ ế ì ã èệứề í ẹ Ø × Ú Ị ó Ị Úó Ơ Ị Ĩ Ø Ơ Ơ Ú Ơ Ị Ĩ × Ị ÙÝịỊ ề ặũ ề ỉ ỉựề ì ễ Ị Ĩ º • ÌỊ Ý Đ Ø Ú ế ú ì ậỉ ệé ề ì éé ã ÌỊ Ý Đ Ø × Úù Úó ØĨ Ị Ø Ơ Ơ Ị × Ị Ơ Ị Ĩ Ø Ơ Ôº Ò Ø Ý Ú Ò ÐÙ Ò Ú Ò ề í ì é ỉ é ữ ỉ ẹ ể ù Ĩ ÕÙ Ị Ø Đ ơỊ ØĨ Ị Úó Ơ Ị Ĩ º Ị Ø Ý Ú Ị ÕÙ Ị Ø Đ Ị Ơ ơỊ Ĩ ÐÙ Ị Ú Ị Ĩ Ị Ø ÷Ị Ịº ¿ Ì Ð ữ ỉ ẹ ể ẵ ềề ỉ ấểì ềá ì
ệ ỉ ỉ ẹ ỉ ì ề ỉì ễễé ỉ ểềìá ệ éé ẵ ắ ấ ệệ ìá ểẹ ề ỉểệ ìá ẩẽậ ễ é ì ề ểẹễ ềí ắẳ ẩ ệ ẩé ị ểìỉểềá ẳắẵẵ ắ ẻ ẩệ ìểéểá ẩểéíềểẹ éìá ậễệ ề ệạẻ ệé ệé ề é ệ ắẳẳ èểệ ểể ề ề ậ ệ ểìì ề ầề ỉ ặẹ ệ ể ẩ ệạ ỉ ỉ ểềì ể ậ ỉì ề ặ ỉệ é ặẹ ệìá ễễé ỉ ẹ ỉ é ậ ề ìá ẻểé ắẳẳ áềể ễễ ẵ ạẵ ẽ ệ ềá ểẹ ề ỉểệ ìạ ề ềỉệể
ỉ ểềá ệìé ẩ é ỉ ểềì ẵ ắ èíửề ỉ ễ è ầ ểẹễ ề ẹ ẵ ạắẳẳ ề ệ ìá è è ểệí ể ễ ệỉ ỉ ểềìá ề
íé ể ỉ ề ỉì ễễéá ẻểé ắá ìểề ẽ ìé íá ấ ề ẵ ấ ìì ẹ ệ ề ệạ ì ỉí ẩệ ììá ẹ ệ ẵ ề ẵ ặ ặ ùặ ậ ặ ẻ ặ ề Ò ûÒ × ÐÙ Ò Ú Ò Ø × ũề ể ặ íừề è ữ ề èũề ó Ø ÐÙ Ị Ú Ị È Ị Ĩ Ú ÙÝịỊ Ị Ị È Å × Đ×Ị Ị Ơ Ơ ỉể ề ì ễ ẳ ẳẵẵ ể ữ ề í ẵắẵẳắẳẵ ỷề ì ỉ ể ề ể èể ề ¹ Ì Ị¸ ÌƯ Ị ÐÙ Ị À à ể ề è ặ íũề ể ũề ề ề ẩ ậ èậ ẹẻ ềặ ỷ
Ngày đăng: 26/03/2021, 07:47
Xem thêm: