Nghiên cứu phép biến hình bằng phương pháp đại số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Trần Thị Phương Lâm NGHIÊN CỨU PHÉP BIẾN HÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa Trung tâm Học lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Trần Thị Phương Lâm NGHIÊN CỨU PHÉP BIẾN HÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI Thái Ngun - 2013 Số hóa Trung tâm Học lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu Các phép biến hình mặt phẳng 1.1 Phép dời hình 1.2 Các phép dời hình thường gặp 1.2.1 Phép tịnh tiến 1.2.2 Phép đối xứng trục 1.2.3 Phép đối xứng tâm 1.2.4 Phép quay quanh điểm 11 1.2.5 Định lý dạng tắc phép dời hình 13 1.3 Phép đồng dạng 1.3.1 1.3.2 14 Phép vị tự 14 Phép đồng dạng tỉ số k 15 1.4 Phép nghịch đảo 16 1.5 Phương trình đại số phép biến hình phẳng 18 1.5.1 Phương trình phép tịnh tiến 19 1.5.2 Phương trình phép đối xứng trục 20 1.5.3 Phương trình phép đối xứng tâm 22 1.5.4 Phương trình phép quay 25 i Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 1.5.5 Phân loại phép dời hình mặt phẳng 27 1.5.6 Phương trình phép vị tự 29 1.5.7 Phương trình phép đồng dạng 32 1.5.8 Kết hợp phép biến hình phẳng 33 1.5.9 Phép nghịch đảo mặt phẳng 37 Các phép biến hình khơng gian 2.1 Nhắc lại khái niệm 2.1.1 2.3 48 Phép đối xứng qua điểm, đường thẳng, mặt phẳng 50 2.1.2 Phép quay quanh đường thẳng 52 2.1.3 Điểm bất động vectơ bất động phép biến đổi đẳng cự 53 Phân loại phép biến đổi đẳng cự E 55 Các phép đồng dạng E 64 2.2.1 Phép vị tự E 64 2.2.2 Phép đồng dạng E 65 2.2.3 Phân loại phép đồng dạng E 66 Phép nghịch đảo E 67 2.3.1 Định nghĩa tính chất 67 2.3.2 Ảnh mặt phẳng mặt cầu qua phép nghịch 2.1.4 2.2 48 đảo Tài liệu tham khảo 74 ii Số hóa Trung tâm Học liệu 69 http://lrc.tnu.edu.vn/ Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ nghiêm khắc khoa học để tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo khoa học, khoa Toán-Tin trường Đại học Khoa học, Đại Học Thái Nguyên, thầy, cô giáo trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho thời gian học tập Tôi xin cảm ơn thầy giáo, gia đình bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ nhiều để tơi hồn thành luận văn Trong trình viết luận văn việc xử lý văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý thầy cơ, bạn đồng nghiệp để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Hải Phòng, Tháng năm 2013 Học viên Trần Thị Phương Lâm iii Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Phép biến hình đề tài nhiều tác giả khai thác khía cạnh khác nhau: chứng minh cách sử dụng biến hình, tìm quĩ tích biến hình, dựng hình nhờ dời hình phép nghịch đảo, Nhiều tập hình học đơn giản nhờ biến hình trở thành cổ điển đẹp hồn hảo Đề tài ”Nghiên cứu phép biến hình phương pháp đại số” lại tiếp cận phép biến hình theo cách khác hẳn: sử dụng công cụ đại số, đặc biệt phương pháp tọa độ để nghiên cứu ứng dụng phép biến hình Phép biến hình nội dung chương trình tốn bậc Trung học sở Trung học phổ thông Việc đưa nội dung phép biến hình vào chương trình tốn THCS THPT khơng cung cấp cho học sinh công cụ để giải tốn mà cịn tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư suy luận Tuy nhiên cách giải phương pháp hình học túy Với việc áp dụng phương pháp tọa độ vào giải tốn hình học giúp cho hình học khỏi lối tư cụ thể trực quan Đặc biệt việc ứng dụng phương pháp đại số giúp giải toán cách đơn giản nhiều so với việc giải phương pháp hình học túy Việc lựa chọn cơng cụ, phương pháp giải thích hợp cho Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ toán giúp ta tiết kiệm thời gian cơng sức để giải tốn cách có hiệu Đó lý tơi chọn đề tài luận văn ”Nghiên cứu phép biến hình phương pháp đại số” Phạm vi luận văn nghiên cứu phép biến hình mặt phẳng công cụ đại số Chứng minh lại tính chất phép biến hình cơng cụ đại số đồng thời giải toán liên quan Từ thấy ưu việc đại số hóa phép biến hình Nội dung luận văn chia làm hai chương Chương 1: Các phép biến hình mặt phẳng Chương 2: Các phép biến hình không gian Chương đề cập đến phép biến hình phẳng từ phép tịnh tiến đến phép nghịch đảo với cách làm hệ thống kiến thức phép biến hình, sau xây dựng phương trình đại số( biểu thức tọa độ ) tương ứng Việc ứng dụng phương trình đại số cho phép giải loạt toán hình học có hiệu Chương đề cập đến phép biến hình khơng gian cách đưa phương trình phép biến hình không gian như: phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay quanh điểm, phép vị tự, phép đồng dạng, phép nghịch đảo Kết quan trọng chương mô tả đặc trưng số phép biến hình phức tạp Các ví dụ tính tốn chi tiết kết có ích luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương Các phép biến hình mặt phẳng Trong đại số hay giải tích ta có khái niệm hàm số, tương tự ta có khái niệm phép biến hình hình học Kiến thức chương tập hợp từ tài liệu [2] Định nghĩa 1.1 Phép biến hình (trong mặt phẳng không gian) qui tắc với điểm M (thuộc mặt phẳng không gian) xác định điểm M (thuộc mặt phẳng không gian) Điểm M gọi ảnh điểm M qua phép biến hình Kí hiệu phép biến hình f , M ảnh M qua phép biến hình f ta viết M = f (M ) Với hình H gồm điểm M = f (M ), M ∈ H ảnh hình H qua f , ta viết H = f (H) Lưu ý: f song ánh Soá hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 1.1 Phép dời hình Định nghĩa 1.2 Phép dời hình phép biến hình khơng làm thay đổi khoảng cách hai điểm bất kì, tức M = f (M ), N = f (N ) d(M , N ) = d(M, N ) Tính chất : tính chất sau chứng minh [1;5] Phép biến hình biến: Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm Một đường thẳng thành đường thẳng Đoạn thẳng thành đoạn thẳng Tam giác thành tam giác Đường trịn thành đường trịn có bán kính, tâm thành tâm Góc thành góc Định lý 1.3 Tập hợp phép dời hình mặt phẳng với phép hợp hai ánh xạ tạo thành nhóm Đó nhóm phép dời hình Định nghĩa 1.4 Phép đồng phép biến hình biến điểm M thành Id : M → M 1.2 Các phép dời hình thường gặp 1.2.1 Phép tịnh tiến − Định nghĩa 1.5 Trong mặt phẳng cho vectơ → v Phép biến hình biến −−−→ − điểm M thành M cho M M = → v gọi phép tịnh tiến − theo vectơ → v Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ − Kí hiệu: T→ v Tính chất: tính chất sau chứng minh [1;2], ta kí hiệu T1, ,T6 T1: Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách hai điểm T2: Phép tịnh tiến bảo tồn tính thẳng hàng thứ tự điểm tương ứng T3: Phép tịnh tiến biến: Tia thành tia Đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với Đoạn thẳng thành đoạn thẳng Tam giác thành tam giác Đường trịn thành đường trịn có bán kính T4: Phép tịnh tiến hồn tồn xác định biết vectơ tịnh tiến T5: Tích hai phép tịnh tiến phép tịnh tiến T6: Tập hợp phép tịnh tiến lập thành nhóm Ví dụ 1.6 Cho dây cung AB cố định khơng đường kính đường trịn (O, R), C điểm thay đổi đường tròn H trực tâm tam giác ABC Gọi M N giao điểm hai đường tròn tâm C tâm H có bán kính CH −−→ −→ a, Chứng minh I trung điểm AB CH = 2OI b, Tìm quĩ tích điểm M điểm N Giải −−→ −→ a Lấy B ảnh B qua O 2OI = B A Ta cần chứng minh −−→ −−→ B A = CH Vì B A⊥AB, CH⊥AB ⇒ B A//CH nên suy B CHA hình bình B C⊥BC, AH⊥BC ⇒ B C//AH Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ P : x + 4y − 2z − = qua mặt phẳng π : x + y − 3z − = Giải Cho M (x, y, z), M (x , y , z ), I trung điểm M M vectơ pháp Hình 2.7: → − tuyến π vectơ  n = (1; 1; −3)  −−→ −−→ − − M M ⊥π MM n M = Sπ (M ) ⇔ ⇔ I∈π I∈π         x −x=λ     ∃λ ∈ R : y −y =λ   ⇔   z − z = −3λ       x + x + y + y − 3(z + z) − = 2   x =x+λ       y =y+λ ⇔  z = z − 3λ       2x + λ + 2y + λ − 3(2z − 3λ) − = 2 60 Soá hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/     x = (9x − 2y + 6z + 2)/11 ⇔ y = (−2x + 9y + 6z + 2)/11    z = (6x + 6y − 7z − 6)/11 Vì Sπ đối hợp nên ∀M (x, y, z) ∈ E ta có M ∈ P ⇔ M ∈ P ⇔ (9x − 2y + 6z + 2) + 4(−2x + 9y + 6z + 2) −2(6x + 6y − 7z − 6) − 33 = ⇔ x − 2y − 4z + = Đó phương trình P   x = 3z + Bài tập Lập phương trình đường thẳng đối xứng d d :  y = −z + qua S∆ , với  ∆ : x = y = z  7x + 4y − 5z + = Trả lời: d :  4x + y + z − =   x = 2z − Bài tập Lập phương trình đường thẳng đối xứng d d :  y = −z + qua Sπ với π: x − 3y + 2z − =  10x − 9y − 8z − 11 = Trả lời: d :  x + 4y + 9z − 34 = Bài tập 5.(xem [8]) Cho (α, h) ∈ R2   x sin α − y cos α = d: ,l z=h   x sin α + y cos α = :  z = −h f = Sl0 Sd Xác định phần tử đặc trưng f Giải M (x, y, z) → M (x , y , z ) → M (x , y , z ) qua Sd , Sl Sd : gọi I trung điểm M M , ta có 61 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/      M M ⊥d  x = x cos 2α + y sin 2α M = Sd (M ) ⇔ ⇔ y = x sin 2α − ycos2α I∈d    z = −z + 2h Sl : Gọi H trung điểm M M , ta có    −−−→  −  x = x cos 2α − y sin 2α M M ⊥l M = Sl (M ) ⇔ ⇔ y = −x sin 2α − y cos2α H∈l    z = −z − 2h     x = x cos 4α + y sin 4α = x cos(−4α) − y sin(−4α) y = −x sin 4α + ycos4α = x sin(−4α) + ycos(−4α) Suy    z = z + (−4h) Đây tích phép quay quanh trục Oz, góc quay (−4α), phép tịnh − tiến theo vectơ (−4h)→ e QOZ,(−4α) f = T−4h→ − e3 Bài tập 6.(xem [8]) Nhận biết f từ E → E , M (x, y, z) → M (x , y , z )   trường hợp sau      x = (−2x − 2y + z + 1)/3  x = −z + a, y = (−2x + y − 2z + 2)/3 b, y = −x +       z = (x − 2y − 2z + 1)/3 z =y+1        x = −z −  x = (x − 8y − 4z + 2)/9 c, y = −x + d, y = (−8x + y − 4z + 2)/9       z =y+1 z = (−4x − 4y + 7z + 1)/9 Giải   −2 −2  1  ∈ O3 (R), AAt = I3 , lại det A = Ta có A =  −2 −2   −2 −2 62 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ nên A ∈ SO3 (R) suy f phép dời hình loại 1, theo dạng tắc → − → , v ∈ D Q− f phép quay trượt: f = T→ − v D,φ → − → − Đường thẳng D tập hợp điểm bất biến f Để tìm D ta tìm điểm bất biến     x = (−2x − 2y + z + 1)/3     5x + 2y − z =       y = (−2x + y − 2z + 2)/3 ⇔ 2x + 2y + 2z = z = (x − 2y − 2z + 1)/3 −x + 2y + 5z = 1) Tập hợp  điểm bất biến tương đối f đường thẳng  5x + 2y − z − = → − − D = có vectơ phương → v = (1; −2; 1)  x+y+z−2=0 Đường thẳng afin D tập hợp điểm M (x, y, z) cho M M − phương với → v ; M = f (M ) Ta có M ∈ D ⇔ ∃λ ∈ R cho     (−2x − 2y + z + 1) − x = λ    x=z (−2x + y − 2z + 2) − y = −2λ ⇔   y = −2z +     (x − 2y − 2z + 1) − z = λ −−−→ 1− − Như M thuộc D M M = − → v , suy → u = (− ; ; − ) 9 9  x=z → → − − → − → − QD u = − ( e1 −2 e2 + e3 ), D : Trả lời f = T→ − u  y = −2z + 3 Bài tập 7.(xem [8]) Nhận biết f từ E → E , M (x, y, z) → M (x , y , z ) trường hợp sau     x = −z + a, y = x +    z =y+1    x = (x − 2y − 2z) +    b, y = (−2x + y − 2z) −      z = (−2x − 2y + z) 63 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Các phép đồng dạng E 2.2 Một trường hợp đặc biệt quan trọng phép đồng dạng phép vị tự tỉ số k 2.2.1 Phép vị tự E Định nghĩa 2.8 Cho O ∈ E số k = Xét ánh xạ E → E , −−→ −−→ M → M cho OM = k OM gọi phép vị tự tâm O, tỉ số k Kí hiệu Vko Nếu k = ta có phép đồng nhất, k = −1 ta có phép đối xứng tâm Phép vị tự Vko phép biến đổi afin với ánh xạ tuyến tính liên kết − → −→ Chọn gốc O trùng với tâm vị tự phương trình Vko = k.Id− E 3→     x = kx k 0      phép vị tự y = ky , A =  k      z = kz 0 k Nếu tâm vị tự I(b1 , b2 , b3 ) phương trình phép vị tự     x = kx + (1 − k) b1 y = ky + (1 − k) b2    z = kz + (1 − k) b3 Với phương trình phép vị tự ta chứng minh tính chất thơng thường biết, đặc biệt ta suy Phép vị tự tâm O tỉ số k biến đường tròn (C, R) thành đường trịn (C , kR) Tích hai phép vị tự tâm phép vị tự tâm với tỉ số 64 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ vị tự tích tỉ số Hơn tập hợp phép vị tự tâm làm thành nhóm Định lý 2.9 Tích hai phép vị tự khác tâm phép vị tự với tỉ số vị tự tích tỉ số, ngồi ba tâm vị tự thẳng hàng Chứng minh: Giả sử M (x, y, z), M (x , y , z ), M (x , y , z ), B(b1 , b2 , b3 ), C(c1 , c2 , c3 ) M →M M →M        x = k1 x + (1 − k1 ) b1  x = k2 x + (1 − k2 ) c1 ⇒ y = k1 y + (1 − k1 ) b2 ⇒ y = k2 y + (1 − k2 ) c2       z = k1 z + (1 − k1 ) b3 z = k2 z + (1 − k2 ) c3     x = k1 k2 x + k2 (1 − k1 ) b1 + (1 − k2 ) c1 Suy y = k1 k2 y + k2 (1 − k1 ) b1 + (1 − k2 ) c2 Nên M ảnh    z = k1 k2 z + k2 (1 − k1 ) b1 + (1 − k2 ) c3 M qua phép vị tự tỉ số k1 k2 , tâm D(k2 (1 − k1 ) b1 + (1 − k2 ) c1 ; k2 (1 − k1 ) b1 + (1 − k2 ) c2 ; k2 (1 − k1 ) b1 + (1 − k2 ) c3 ) Ba tâm vị tự thẳng hàng định thức tọa độ Định lý 2.10 Phép vị tự tỉ số k = có điểm bất động 2.2.2 Phép đồng dạng E Định nghĩa 2.11 Phép biến đổi f : E → E gọi phép đồng dạng với hai điểm M, N ảnh M = f (M ), N = f (N ) ta có d(M , N ) = kd(M, N ).Trong k > gọi tỉ số đồng dạng f Rõ ràng k = f phép dời hình Phép vị tự tỉ số k phép đồng dạng tỉ số |k| 65 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Định lý 2.12 Phép đồng dạng f phép afin với ánh xạ tuyến tính → − − f liên kết xác định sau: gọi O ∈ E ; O = f (O), ∀→ x ∈ E , gọi −−−→ → − − −−→ − M điểm cho OM = → x , lấy M = f (M ) đặt f (→ x)=OM 2.2.3 Phân loại phép đồng dạng E Định lý 2.13 Cho f : E → E phép đồng dạng tỉ số k , f ln phân tích thành tích phép vị tự tỉ số k phép dời hình(hoặc tích phép dời hình phép vị tự tỉ số k ) Chứng minh Lấy O điểm cố định E , ta gọi −−→ −−→ f1 : E → E , M → M cho OM = k OM −−→ −−→ f2 : E → E , M1 → M1 = f (M ), OM = OM1 k o Khi f1 Vk , f2 phép vị tự Vậy f2o f1 )(M ) = f2 (f1 (M ) = f2 (M ) = f (M ) nên f = f2o f1 (tích phép vị tự phép dời hình) Định lý 2.14 Tập hợp phép đồng dạng E làm thành nhóm ta gọi nhóm đồng dạng Nhóm nằm nhóm afin Từ phân loại phép dời hình (loại loại 2) ta suy phân loại phép đồng dạng sau Mọi phép đồng dạng thuận det(f ) < tích phép o Q∆ với phép vị tự V xoắn ốc T→ − k tích phép quay quanh v đường thẳng ∆ với phép vị tự Vko với O ∈ ∆ Mọi phép đồng dạng nghịch det(f ) < tích phép o Sπ với phép vị tự V đối xứng trượt T→ − k tích phép đối xứng v quay QI Sπ với phép vị tự Vko , O ∈ π 66 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 2.3 Phép nghịch đảo E 2.3.1 Định nghĩa tính chất ∗ Định nghĩa 2.15 O ∈ E , k ∈ R , xét hệ tọa độ Đềcác vuông  O, M, M góc Tương ứng M → M cho gọi phép  OM OM = k nghịch đảo cực O, phương tích k Kí hiệu : Iko Chọn hệ trục tọa độ Đềcác Oxyz, gốc O trùng với cực, M (x; y; z) M (x ; y ; z ) = Iko (M ) Đặt ρ = OM, ρ = OM theo định nghĩa ρ.ρ = k ⇒ ρ = k/ρ Ta lại có ρ x y z ρ = = = ⇔ ρ x y z  k/ρ ρ x     x = =     k x     ρ y ⇔ ⇔ y = =   k y       ρ z    z = = k z −−→ ρ2 = OM x y = = x y  kx     ρ2   ky ⇔  ρ2    kz   ρ z ρ2 x y z = ⇔ = = = z k x y z kx x = x + y2 + z2 ky y = x + y2 + z2 kz z = x + y2 + z2 = x2 + y + z Vậy phương trình phép nghịch đảo  kx   x =   x2 + y + z   ky y =  x + y2 + z2    kz  z = x + y2 + z2 67 Soá hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Tính chất 1: Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp tức M = f (M ) ta có M = f (M ) Thật M (x, y, z) → M (x , y , z ) → M (x , y , z ) ta phải chứng minh M ≡ M Ta có   kx kx    x =   x =    x2+y2+z2 x2 + y + z      ky ky y = y = ;  x + y2 + z2  x2+y2+z2       kz kz   z =  z = 2 2 x +y +z x +y2+z2    x =x y = y , nên M ≡ M (đpcm) Bằng phép ta suy    z =z √ Tính chất 2: Mặt cầu tâm O bán kính k(k > 0) mặt cầu bất động Iko , nói cách khác với phép nghịch đảo dương điểm mặt cầu √ (O, k) biến thành √ Hiển nhiên M = Iko (M ) ⇔ OM = k ⇔ OM = k , phương  kx   x =   x2 + y + z   ky y= pháp tọa độ ⇔ x2 + y + z = k suy tập hợp + z2  x + y    kz  z= x2 + y + z √ điểm M (x, y, z) mặt cầu (O, k) Nếu k < x2 + y + z = k < tập rỗng 68 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 2.3.2 Ảnh mặt phẳng mặt cầu qua phép nghịch đảo Ảnh mặt phẳng α Mặt phẳng α : Ax + By + Cz + D =0; A2 + B + C = 0, gọi α kx   x =   x + y2 + z2   ky y = ảnh nghịch đảo α: α = Iko (α) nên , tính + z2  x + y    kz  z = x2 + y + z  kx   x =    x2+y2+z2   ky y= chất đối hợp nên 2+z2  x + y    kz   z= x +y2+z2 Thay vào phương trình α ta phương trình A kx ky kz + B + C + D = 0(1) x2+y2+z2 x2+y2+z2 x2+y2+z2 - Nếu mặt phẳng α qua cực O suy D=0 Khi α : Akx + Bky + Ckz = ⇔ Ax + By + Cz = 0(k = 0)(2) Vậy α ≡ α.Vậy qua Iko mặt phẳng qua cực biến thành - Nếu mặt phẳng α khơng qua cực O suy D = 0, chia hai vế (1) cho D ta Ak Bk Ck A2 k + B k + C k (x + ) + (y + ) + (z + ) = > 0(3) 2D 2D 2D 4D2 Suy α mặt cầu (đi qua cực O) có tâm bán kính I1 ( −Ak −Bk −Ck , , ), R = 2D 2D 2D A2 k + B k + C k 4D2 69 Soá hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Ảnh mặt cầu γ Mặt cầu γ qua cực O biến thành mặt phẳng không qua cực O Giả sử γ : x2 + y + z + 2ax + 2by + 2cz = 0(a2 + b2 + c2 = 0) Ta có γ = Ik0 (γ) kx ky kz 2 ) + ( ) + ( )2 2 2 2 2 x +y +z x +y +z x +y +z 2kax 2kby 2kcz + + + =0 x +y2+z2 x2+y2+z2 x2+y2+z2 ⇔ k (x + y + z ) + 2akx (x + y + z ) ⇒γ :( +2bky (x + y + z ) + 2kcz (x + y + z ) = ⇔ 2ax + 2by + 2cz + k = 0(a2 + b2 + c2 = 0, k = 0) Vậy γ mặt phẳng không qua cực Mặt cầu γ không qua cực O biến thành mặt cầu không qua cực O Làm tương tự ta suy ak bk ck k 2 γ : (x + ) + (y + ) + (z + ) = (a + b2 + c2 − d) d d d d 2 (k = 0, d = 0, a + b + c − d > 0) Vậy γ mặt cầu không qua cực O, có tâm bán kính −ak −bk −ck k (a2 + b2 + c2 − d) I2 ( , , ), R = d d d d2 Ảnh đường tròn Phép nghịch đảo khơng gian biến đường trịn qua cực thành đường thẳng không qua cực Chứng minh Đường trịn qua cực O giao tuyến mặt phẳng α qua cực O với mặt cầu γ qua cực O Khơng tính tổng qt ta chọn 70 Số hóa Trung tâm Học lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ mặt phẳng α mặt phẳng Oxy: z=O Mặt cầu γ1 : x2 + y + z + 2x + 2b1 y + 2c1 z = có tâm bán kính I(−1, −b1 , −c1 ), R1 = + b21 + c21 Đường trịn qua cực O có phương trình  z=0  x2 + y + z + 2x + 2b1 y + 2c1 z = Điều kiện d(I, mp(α)) = |c1 | < + b21 + c21 Ta có C1 = Iko (C1 ) Qua Iko , z = biến thành mặt phẳng z = x2 + y + z + 2x + 2b1 y + 2c1 z = biến thành mặt phẳng có phương trình :2x + 2y b1 + 2c1 z + k = Khi 2x + 2y b1 + 2c1 z + k = 0, y =  t, thay vào hệ ta có −k    x = − b1 t  z =0  / C1 : ⇒ y =t  2x + 2b1 t + 2c1 z + k =     z = 0, k = Suy C1 đường thẳng không qua cực O Phép nghịch đảo không gian biến đường trịn khơng qua cực thành đường trịn khơng qua cực Bài tập áp dụng Bài  tập Tìm ảnh đường thẳng có phương trình  x+y =0 d: qua I1o  x−y+z+1=0 Bài tập Tìm tâm bán  kính đường tròn ảnh đường tròn  x2 + y + z − z = có phương trình sau γ : qua I1o  x+y+z−1=0 71 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Trong chương ta xét phép biến hình khơng gian, mở rộng phép biến hình mặt phẳng có nhiều phép biến hình phức tạp phép quay quanh đường thẳng, phép xoắn ốc, phép đối xứng qua đường thẳng không gian hay dạng tắc phép đồng dạng khơng gian Các tính tốn khơng gian phức tạp mặt phẳng, điều thể ưu điểm phương pháp tọa độ nghiên cứu phép biến hình khơng gian: chứng minh cách tường minh kết mà thường phát biểu tương tự không chứng minh, chẳng hạn ảnh mặt phẳng, ảnh mặt cầu ảnh đường trịn qua phép nghịch đảo khơng gian 72 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Kết luận Luận văn thu kết sau: Hệ thống lại kiến thức phép biến hình biết, đưa vào chương trình học phổ thơng Tìm phương trình đại số hay biểu thức tọa độ phép dời hình, phép đồng dạng phép nghịch đảo E Đưa ứng dụng phương trình tốn cụ thể Việc phân loại đưa kết luận dạng tắc phép dời hình, phép đồng dạng có ích nghiên cứu hình học Ơclit phẳng Tìm phương trình đại số phép dời hình, phép đồng dạng, phép nghịch đảo khơng gian E Kết hợp với kiến thức đại số, giải tích, hình học vi phân để đưa tốn chứng minh hình học tốn tính tốn Hướng nghiên cứu luận văn xét phép biến hình mặt phẳng phức Với hỗ trợ số phức, phép biến hình bảo giác hướng cho việc ứng dụng đại số sang hình học ngược lại 73 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Tài liệu tham khảo [1] Văn Như Cương, Hình học Afin Hình học Ơclit, NXB Đại học sư phạm Hà Nội, 2005 [2] Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục, 2005 [3] Nguyễn Việt Hải, Phan Quân, Vũ Hoàng Lâm, 100 tập phép biến hình, NXB Hải Phịng, 1997 [4] Nguyễn Việt Hải Hình học vi phân, NXB Giáo dục, 2010 [5] Lê Đình Phi, Hình học sơ cấp, NXB Khoa học-Kỹ thuật, 1995 [6] Jean-Marie Monier, Giáo trình Tốn-Tập 7, Hình học, NXB giáo dục, 2001 [7] V.V Praxolov, Các tốn hình học phẳng-Tập 1, Dịch từ tiếng Nga, Hồng Đức Chính, NXB Hải Phịng, 2009 [8] I.M Yaglom, Geometric transformation I and II, Translated from the Russian by Allen Shiels, University of Michigan New Mathematical Library, published by Random House school Division school Division New York 1962, 1968 (by Yale University) 74 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ... tài luận văn ? ?Nghiên cứu phép biến hình phương pháp đại số? ?? Phạm vi luận văn nghiên cứu phép biến hình mặt phẳng cơng cụ đại số Chứng minh lại tính chất phép biến hình cơng cụ đại số đồng thời... hình, dựng hình nhờ dời hình phép nghịch đảo, Nhiều tập hình học đơn giản nhờ biến hình trở thành cổ điển đẹp hồn hảo Đề tài ? ?Nghiên cứu phép biến hình phương pháp đại số? ?? lại tiếp cận phép biến. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Trần Thị Phương Lâm NGHIÊN CỨU PHÉP BIẾN HÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN