Nghiệm mạnh của phương trình elliptic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG XA NGHIỆM MẠNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HOÀNG XA NGHIỆM MẠNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục MỞ ĐẦU 1 KHƠNG GIAN SOBOLEV 1.1 Khơng gian Wk,p (Ω) ; W0k,p (Ω) 1.1.1 Không gian Wk,p (Ω): 1.1.2 Ví dụ 1.1.3 Không gian W0k,p (Ω) 1.2 Định lý nhúng 13 1.3 Đánh giá vị định lý nhúng 17 NGHIỆM MẠNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 2.1 2.2 24 Khái niệm nghiệm mạnh 24 2.1.1 Thế vị Newton 24 2.1.2 Khái niệm nghiệm mạnh 25 Độ trơn Lp nghiệm mạnh bên miền 27 2.2.1 Độ trơn L2 bên miền 27 2.2.2 Độ trơn Lp (Ω) bên miền 31 2.2.3 Độ trơn nghiệm phương trình elliptic phi tuyến 32 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 37 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp người ta đưa vào xét số loại nghiệm Nghiệm cổ điển hàm số khả vi hai lần liên tục thỏa mãn phương trình khắp nơi Nhưng nghiệm mạnh hàm số có đạo hàm đến cấp 2, bình phương khả tích thỏa mãn phương trình hầu khắp nơi Dựa vào tài liệu [1], [2], [3] luận văn trình bày khái niệm nghiệm mạnh phương trình elliptic tuyến tính cấp nghiên cứu tính chất trơn nghiệm mạnh Luận văn chia làm chương: Chương trình bày khơng gian Sobolev Wk,p (Ω) , W0k,p (Ω) định lý nhúng dựa tài liệu [1], [2] Chương đưa vào khái niệm nghiệm mạnh nghiên cứu độ trơn nghiệm mạnh bên miền dựa tài liệu [3] Luận văn độ trơn hệ số vế phải tăng lên độ trơn nghiệm manh tăng lên theo trở thành nghiệm cổ điển phương trình Do thời gian kiến thức cịn hạn chế nên trình viết luận văn xử lý văn chắn không tránh khỏi sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn PGS-TS Hà Tiến Ngoạn tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Cơ trường Cao đẳng Cộng đồng Hải Phòng tập thể bạn bè đồng nghiệp gia đình quan tâm giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành tốt luận văn Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Người thực Nguyễn Thị Hoàng Xa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương KHÔNG GIAN SOBOLEV Một tốn quan trọng phương trình đạo hàm riêng phương trình Poisson: ∆u = f (1.1) Nghiệm yếu u(x) phương trình (1.1) thỏa mãn đồng thức tích phân: DuDϕdx = − Ω f ϕdx, Ω đó: u (x) = u (x1 , ., xn ) ẩn hàm, f (x) = f (x1 , ., xn ) hàm n ∂ 2u số cho trước, ∆u = , ϕ (x) = ϕ (x1 , ., xn ) ∈ C01 (Ω) i=1 ∂xi không gian hàm số khả vi liên tục có giá compact, n ∂u ∂ϕ ∂u ∂u , ., , DuDϕ = Du = ∂x1 ∂xn i=1 ∂xi ∂xi Đặt: (u, ϕ) = DuDϕdx (1.2) Ω Để nghiên cứu nghiệm phương trình Poisson ta xem xét cách tiếp cận khác phương trình Dạng song tuyến tính (u, ϕ) = DuDϕdx tích khơng Ω gian C01 (Ω) bao đóng C01 (Ω) theo metric cảm sinh (1.2) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn không gian Hilbert mà người ta kí hiệu W01,2 (Ω) Hơn nữa, phiếm hàm tuyến tính F định nghĩa bởi: F (ϕ) = − f ϕdx Ω mở rộng đến phiếm hàm tuyến tính bị chặn khơng gian W01,2 (Ω) Theo định lý Riesz tồn phần tử u ∈ W01,2 (Ω) thỏa mãn (u, ϕ) = F (ϕ) , ∀ϕ ∈ C01 (Ω) Định lý Riesz: Với phiếm hàm tuyến tính bị chặn F không gian Hilbert H tồn phần tử xác định f ∈ H cho F (x) = (x, f ) với x ∈ H F = f Với (x, f ) = F F (x) f F (f ) = sup x=0 f = |(x, f )| x (f, f ) = F (f ) Do tồn nghiệm suy rộng toán Diriclet: ∆u = f u = ∂Ω thực thiết lập Vấn đề tồn nghiệm cổ điển chuyển đổi tương ứng thành vấn đề tính quy nghiệm suy rộng theo điều kiện biên trơn thích hợp Định lý Lax-Milgram áp dụng phương trình elliptic tuyến tính theo dạng Div Tương tự việc áp dụng định lý Riesz lí luận khác dựa đồng thức tích phân, kết quy thiết lập Tuy nhiên trước thực cách cụ thể, ta khảo sát lớp không gian Sobolev, Wk,p (Ω) vàW0k,p (Ω) mà W01,2 (Ω) trường Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn hợp riêng 1.1 1.1.1 Không gian Wk,p (Ω) ; W0k,p (Ω) Không gian Wk,p (Ω): Cho Ω ⊂ Rn miền bị chặn x = (x1 , x2 , x3 , , xn ) ∈ Ω a Không gian Lp (Ω);(1 ≤ p < +∞) Lp (Ω) không gian Banach cổ điển gồm hàm đo Ω p-khả tích Tức |u (x)|p dx < +∞ Ω Chuẩn phần tử Lp (Ω) định nghĩa bởi: 1/p  u Lp (Ω) |u|p dx , = Ω đó: |u (x)| trị tuyệt đối u(x) Khi p = +∞; L∞ (Ω) không gian Banach hàm bị chặn Ω với chuẩn: u ∞,Ω = u L∞ (Ω) = sup |u| (1.3) Ω Khi khơng có nhập nhằng, dùng u p thay cho u Lp (Ω) : Bất đẳng thức Young: |a|p |b|q |ab| ≤ + , p q (1.4) 1 + = p q Khi p=q=2;(1.4) bất đẳng thức Cauchy Thay a ε1/p a, b p, q ∈ R; p > 0, q > thỏa mãn: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ε−1/p b, với ε > (1.4) trở thành bất đẳng thức nội suy: ε |a|p ε−q/p |b|q |ab| ≤ + ≤ ε |a|p + ε−q/p |b|q p q (1.5) Bất đẳng thức Holder: |uv| dx ≤ u p v (1.6) q Ω 1 + = 1, p q (1.6) hệ bất đẳng thức Young, p = q = 2, bất đẳng thức với u ∈ Lp (Ω) , v ∈ Lq (Ω) Holder trở thành bất đẳng thức Schwarz Bất đẳng thức Holder sử dụng trường hợp tổng quát m hàm u1 , u2 , , um nằm không gian Lp1 , Lp2 , , Lpm sau: |u1 u2 um | dx ≤ u1 p1 u2 p2 um pm (1.7) Ω 1 + + + = p1 p2 pm Bất đẳng thức Holder sử dụng để nghiên cứu chuẩn Lp với coi hàm p: 1/p  φp (u) =  |Ω| |up | dx (1.8) Ω Với p > 0, φp (u) hàm không giảm theo p, với u cố định Không gian Lp (Ω) khả li p < ∞, C Ω không gian trù mật Lp (Ω) Không gian đối ngẫu Lp (Ω) < p < ∞ đẳng cấu với Lq (Ω), 1 + = Vì Lq (Ω) < p < +∞ coi liên hợp p q p L (Ω) Do đó, Lp (Ω) phản xạ < p < ∞ Khi p = 2, L2 (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng: (u, v) = u (x) v (x)dx Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (u, u) = u |u (x)|2 dx = Ω Định lý 1.1: (định lý nhúng Lp (Ω)) Giả sử Ω miền bị chặn ≤ p1 < p2 Khi đó, Lp2 (Ω) ⊂ Lp1 (Ω) ánh xạ nhúng j : Lp2 (Ω) → Lp1 (Ω) liên tục Chứng minh: Giả sử u ∈ Lp2 (Ω) ta cần chứng minh u ∈ Lp1 (Ω) hay |u|p1 dx < +∞ Ω p2 p2 ,q = , ta có: p1 p2 − p1 Áp dụng bất đẳng thức Holder với p = 1/q 1/p p1 |u| dx = Ω p1 p p1 |u| |u| 1dx ≤ dx dx Ω Ω Ω q 1/p (1.9) |u|p2 dx = (mesΩ)1/q Ω Vì Ω bị chặn u ∈ Lp2 (Ω) nên  (mesΩ)1/q  1/p |u|p2 dx < +∞ Ω Vậy u ∈ Lp1 (Ω) Từ (1.9) ta suy ra: p 1/p1 |u| dx 1/qp1 ≤ (mesΩ) Ω p2 1/pp1 |u| dx Ω 1/qp1 p2 |u| dx = (mesΩ) ⇔ u 1/p2 (1.10) Ω 1/qp1 Lp1 (Ω) ≤ (mesΩ) u Lp2 (Ω) (1.10) chứng tỏ ánh xạ j : Lp2 (Ω) → Lp1 (Ω) liên tục (mesΩ)1/qp1 = (mesΩ)1/p1 −1/p2 b Khơng gian Wk,p (Ω) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn j ≤ 23 Trong mà từ Bổ đề 1.4 1.8 ta có: với u ∈ W1,p (Ω) Ω lồi: u − uS p ≤ ωn |S| 1−1/n dn Du p , d = diamΩ đường kính miền Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.44) 24 Chương NGHIỆM MẠNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 2.1 Khái niệm nghiệm mạnh 2.1.1 Thế vị Newton Xét phương trình Laplace có dạng: n ∆u = j=1 ∂ 2u ∂x2j (2.1) Cho Ω miền bị chặn Rn , f ∈ L2 (Ω) Thế vị Newton f định nghĩa hàm ω (x): ω (x) = Γ (x, y)f (y) dy, (2.2) Ω Γ (x, y) nghiệm phương trình Laplace cho cơng thức: |x − y|2−n , n > 2, n (2 − n) ωn Γ (x, y) =   log |x − y| , n = 2, 2π    (2.3) ωn thể tích hình cầu đơn vị Rn Ta có cơng thức: u (y) = u ∂Ω ∂Γ ∂u (x, y) − Γ (x, y) dSx + Γ (x, y)∆udx ∂γ ∂γ Ω với y ∈ Ω, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.4) 25 γ = γ , γ , , γ n vectơ pháp tuyến đơn vị x ∈ ∂Ω Khi ∂Ω đủ trơn coi hàm thuộc C Ω tổng hàm điều hịa vị Newton phương trình Laplace Chính việc nghiên cứu phương trình Poisson ∆u = f phần lớn thể thơng qua nghiên cứu vị Newton 2.1.2 Khái niệm nghiệm mạnh Định nghĩa 2.1: Xét phương trình: ∆u = f Hàm số u ∈ W 2,2 (Ω) gọi nghiệm mạnh phương trình thỏa mãn phương trình hầu khắp nơi Ω Định lý 2.1: Cho f ∈ L2 (Ω) , Ω ∈ Rn , ω vị Newton f Khi ω (x) ∈ W 2,2 (Ω), ∆ω = f hầu khắp nơi Ω D2ω L2 (Rn ) = f L2 (Ω) (2.5) Chứng minh: Giả sử : f ∈ C0∞ (Ω), ω ∈ C ∞ (Rn ), Ω ⊂⊂ Ω0 , Ω0 : bị chặn với miền biên trơn Với x ∈ Ω ta có: ∂2 Γ (x, y) (f (y) − f (x)) dy ∂xi ∂xj ∂2 ω (x) = ∂xi ∂xj Ω0 +f (x) ∂Ω0 ∂ Γ (x, y) γ j (y) , i ∂x (2.6) đó: γ = γ , γ , , γ n : pháp tuyến đơn vị, do(y): độ đo cảm sinh ∂Ω0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 Trên hệ biểu thức: ∂2 Γ (x, y) (f (y) − f (x)) |f (y) − f (x)| ≤ const ∂xi ∂xj |x − y|n f C1 ≤ const |x − y|n−1 Nói khác đi, điểm kỳ dị dấu tích phân khả tích Điều có nghĩa là: vε (x) = ∂ Γ (x, y) ηε (y) f (y) dy ∂xi Trong đó: ηε (y) = với |y| ≤ ε ηε (y) = với |y| ≥ 2ε |Dηε | ≤ ε Dj vε : hội tụ tới biểu thức bên phải (2.6) ε → Chú ý: Phương trình (2.6) hàm liên tục Holder f Bởi trường hợp ta ước lượng hàm tích phân biểu thức: const f |x − y|n−α Cα (0 < α < 1) Bởi vì: ∆Γ (x, y) = ∀x = y Ω0 = B (x, R), với R đủ lớn, từ (2.6) ta nhận : ∆ω (x) = f (x) dωn Rn−1 n ν i (y)ν i (y) doy = f (x) (2.7) |x−y|=R i=1 Vì f có giá compact ∆ω Giả sử giá f chứa phần B (0, R) Khi đó: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 n B(0,R) i,j=1 ∂2 ω ∂xi ∂xj =− B(0,R) i ∂ ∂ ω f ∂xi ∂xi ∂ Dωdoy ∂ν + ∂B(0,R) Dω = B(0,R) (∆ω) (2.8) ∂ Dωdoy ∂ν Khi R → ∞, Dω có dáng điệu R1−n , D2 ω có dáng điệu R−n Vì + ∂B(0,R) Dω tích phân miền ∂B (0, R) hội tụ tới không R → ∞.Từ (2.7) (2.8) suy (2.5) Để nghiên cứu trường hợp tổng quát f ∈ L2 (Ω) ta nhận thấy từ Định lý bất đẳng thức Poincare f ∈ C0∞ (Ω) chuẩn W 1,2 hàm ω đánh giá qua chuẩn L2 hàm f Áp dụng (2.5) hiệu số (ωn − ωm ) vị Newton ωn fn ta thấy dãy ωn dãy Cauchy W 2,2 (Ω) Giới hạn ω lần lại thỏa mãn (2.5) hàm thuộc L2 xác định hầu khắp nơi nên ∆ω = f hầu khắp nơi 2.2 Độ trơn Lp nghiệm mạnh bên miền 2.2.1 Độ trơn L2 bên miền Định lý 2.2: Cho u ∈ W 1,2 (Ω) nghiệm yếu phương trình: ∆u = f f ∈ L2 (Ω), Khi đó: u ∈ W 2,2 (Ω ) ∀Ω : Ω ⊂⊂ Ω u W 2,2 (Ω ) ≤ const u Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên L2 (Ω) + f L2 (Ω) http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.9) 28 Hơn nữa, ∆u = f hầu khắp nơi Ω Chứng minh: Xét trường hợp u ∈ C (Ω) Cho B (x, R) ⊂ Ω, σ ∈ (0, 1) cho η ∈ C03 (B (x, R)) hàm cắt với: ≤ η (y) ≤ η (y) = với y ∈ B (x.σR) η (y) = với y ∈ Rn \B x, (1 − σ) R 16 D2η ≤ (1 − σ)2 R2 1+σ R |Dη| ≤ Đặt v = ηu Khi v ∈ C03 (B (x, R)) từ biểu thức: D2v L2 (Ω) n n vxi xj vxi xj = − = Ω i,j=1 n = n vxi xi Ω i=1 vxj xj = j=1 vxi xj xi vxj i,j=1 Ω ∆v 2L2 (Ω) suy ra: D2v L2 (B(x,R)) = ∆v L2 (B(x,R)) (2.10) Ta có: ∆v = η∆u + 2DuDη + u∆η Do đó: D2u L2 (B(x,σR))  ≤ const   f + ≤ D2v  L2 (B(x,R)) u (1 − σ)2 R2 L2 (B(x,R)) + Du (1 − σ) R   L2 B x,     1+σ R  L2 (B(x,R)) Cho ξ ∈ C01 (B (x, R)) hàm cắt với: ≤ ξ (y) ≤ ξ (y) = với y ∈ B x, |Dξ| ≤ (1 − σ) R Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1+σ R http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.11) 29 Đặt ω = ξ u với u nghiệm yếu phương trình ∆u = f ta nhận được: B(x,R) Du.D B(x,R) ξ ξ 2u = − |Du| = −2 ≤ B(x,R) f ξ u B(x,R) ξuDuDξ− B(x,R) f ξ 2 u ξ |Du| + u2 |Dξ| B(x,R) B(x,R) + (1 − σ)2 R2 B(x,R) f Do ta có đánh giá ξDu + (1 − σ)2 R2 B(x,R) u L2 (B(x,R)) :  ≤ ξDu L2 (B(x,R)) + σ     L B x, R u L2 (B(x,R)) + (1 − σ) R f ≤ const (1 − σ) R Du   (2.12) L2 (B(x,R)) Từ (2.11) (2.12) cho ta bất đẳng thức sau: D2u L2 (B(x,σR)) ≤ const f L2 (B(x,R)) + u (1 − σ)2 R2 L2 (B(x,R)) (2.13) Trong (2.13) đặt σ = phủ Ω số hữu hạn hình cầu R với R ≤ d (Ω , ∂Ω) ta đánh giá (2.9) u ∈ C (Ω) B x, Trong trường hợp tổng quát u ∈ W 1,2 (Ω) Ta xét uh với uh định nghĩa: Cho uh ∈ Lp (Ω) ; h > 0: uh (x) = hn ρ Rn x−y u (y) dy h đó: ρ (x) =    c exp   |x|2 − Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên |x| < |x| ≥ http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 c chọn để cho ρdx = đặt u(y) = với y ∈ Rn \Ω uh ∈ C0∞ (Rn ) Cho < h < d (Ω , ∂Ω) Khi đó: Ω Duh Dv = − fh v ∀v ∈ H01,2 (Ω) Do uh ∈ C ∞ (Ω) nên ∆uh = f Ta dùng bổ đề sau: Cho u ∈ Lp (Ω), ≤ p < ∞ với h → ta có: u − uh Lp (Ω) →0 Hơn uh hội tụ tới u theo điểm hầu khắp nơi (đặt u = bên Ω) Nên: uh − u , fh − f L2 (Ω) →0 Trong trường hợp cụ thể uh fh thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy L2 (Ω) Áp dụng (2.9) cho uh1 − uh2 ta được: uh1 − uh2 W 2,2 (Ω ) ≤ const uh1 − uh2 L2 (Ω) + fh1 − fh2 L2 (Ω) Do đó: uh thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy W 2,2 (Ω ) Cuối giới hạn u W 2,2 (Ω ) thỏa mãn (2.9) Định lý 2.3: Cho u ∈ W 1,2 (Ω) nghiệm yếu phương trình ∆u = f , f ∈ W k,2 (Ω) Khi u ∈ W k+2,2 (Ω0 ) với Ω0 ⊂⊂ Ω và: u W k+2,2 (Ω0 ) ≤ const u L2 (Ω) + f W k,2 (Ω) với số phụ thuộc vào k, n, Ω, Ω0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 2.2.2 Độ trơn Lp (Ω) bên miền Bằng kỹ thuật Muc 2.2.1, ta chứng minh định lý sau: Định lý 2.4: Cho < p < ∞, f ∈ Lp (Ω), Ω ⊂ Rn tập mở bị chặn, ω vị Newton f xác định cơng thức (2.2) Khi ω ∈ W 2,p (Ω) , ∆ω = f hầu khắp nơi Ω : D2ω Lp (Ω) ≤ c (n, p) f Lp (Ω) , (2.14) đó: số c(n,p) phụ thuộc vào số chiều n số mũ p Định lý 2.5: Cho u ∈ W 1,2 (Ω) nghiệm yếu phương trình :∆u = f, f ∈ Lp (Ω), < p < ∞ Du.Dϕ = − ϕ ∈ C0∞ (Ω) f ϕ, (2.15) Với u ∈ W 2,p (Ω ) với Ω ⊂⊂ Ω và: u W 2,p (Ω ) ≤ const u Lp (Ω) + f , Lp (Ω) (2.16) với số phụ thuộc vào p, n, Ω, Ω và: ∆u = f (2.17) Trong phần này, biểu thức (2.10) thay bất đẳng thức: D2v Lp (B(x,R)) ≤ const v Lp (B(x,r)) (2.18) Từ (2.14) Định lý 2.4 ta nhận bất đẳng thức sau: D2v + Lp (B(x,R)) ≤ const u (1 − σ)2 R2 f Lp (B(x,R)) + Du (1 − σ) R Lp (B (x, 1+σ R)) Lp (B(x,r)) (2.19) với: < σ < 1, B (x, R) ⊂ Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 2.2.3 Độ trơn nghiệm phương trình elliptic phi tuyến Xét phương trình : ∆u + Γ (u) |Du|2 = 0, (2.20) Γ (u): trơn bị chặn hay u nghiệm bị chặn Khi phương trình (2.20) giống phương trình Euler - Largrange tốn biến phân: g (u (x)) |Du (x)|2 dx → I (u) = (2.21) Ω với g hàm trơn thỏa mãn bất đẳng thức: < λ ≤ g (v) ≤ Λ < ∞, |g (v)| ≤ k < ∞, (2.22) đó: g đạo hàm g với số λ, Λ, k, v Để dẫn phương trình Euler - Largrange (2.21), với ϕ ∈ H01,2 (Ω) , t ∈ R ta có: g (u + tϕ) |D (u + tϕ)|2 dx I (u + tϕ) = Ω Khi đó: d I (u + tϕ) |t=0 = dt = Di uDi ϕ + g (u) |Du|2 ϕ dx 2g (u) i Di g (u) Di u + g (u) |Du|2 ϕdx −2g (u) ∆u − i = −2g (u) ∆u − g (u) |Du|2 ϕdx Ở ta sử dụng phép tích phân phần tạm giả thiết u ∈ C Phương trình Euler - Largrange xuất từ yêu cầu tích phân cuối khơng với ϕ ∈ H01,2 (Ω) Ví dụ u giảm tới I(u) tương ứng với giá trị bị chặn cố định Khi phương trình là: ∆u + g (u) |Du|2 = 0, 2g (u) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.23) 33 g (u) ta có (2.20) 2g (u) Để áp dụng lý thuyết Lp , giả thuyết u nghiệm yếu với: Γ (u) = phương trình (2.20) với u ∈ W 1,p1 (Ω) Ω ⊂ Rn (2.24) với : p1 > n, n số chiều không gian Giả thiết (2.24) xuất cách tùy ý Nó giả thiết điển hình cho phương trình vi phân phi tuyến Tuy nhiên giả thiết cần thiết điều trường hợp cụ thể nghiệm yếu u ∈ W 1,2 (Ω) chứa không gian W 1,p (Ω) với p Trong trường hợp u giá trị vectơ thay giá trị vơ hướng điều không nên cần giả thiết (2.24) Để áp dụng lý thuyết Lp cho nghiệm phương trình (2.20) ta đặt: f (x) = −Γ (u (x)) |Du (x)|2 (2.25) Vì điều kiện (2.24) tính bị chặn Γ (u) nên : p1 f ∈ L /2 (Ω) (2.26) ∆u = f (2.27) u thỏa mãn Ω: Do Định lý 2.5 nên:    p1 u ∈ W (Ω )   Ω ⊂⊂ Ω 2, (2.28) Do Định lý nhúng cho không gian Sobolev nên: u ∈ W 1,p2 (Ω ) (2.29) Ω ⊂⊂ Ω, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 n p21 đó: p2 = > p1 p1 > n nên: n − p21  p2   f ∈ L (Ω )   Ω ⊂⊂ Ω (2.30) áp dụng Định lý 2.5 định lý nhúng cho không gian Sobolev lần nhận kết quả:  p2   2,    u ∈ W ∩ W 1,p3 (Ω )      (2.31) n p22 > p2 , p3 = n − p22 Ω ⊂⊂ Ω Lặp lặp lại trình cuối ta nhận được: u ∈ W 2,q (Ω ) , ∀q (2.32) Bây ta lấy vi phân phương trình (2.20) nhận phương trình Di u, i = 1, , n ∆Di u + Γ (u) Di u |Du|2 + 2Γ (u) Dj uDij u = (2.33) Dj uDij u (2.34) i Lần ta đặt: f = −Γ (u) Di u |Du|2 − 2Γ (u) i Khi đó: |f | ≤ const |Du|3 + |Du| D2 u Do (2.32) nên f ∈ Lp (Ω ) với p Điều có nghĩa là: v = Di u thỏa mãn: ∆v = f (2.35) f ∈ Lp (Ω ) , ∀p Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Do Định lý 2.5 ta suy được: v ∈ W 2,p (Ω ) , ∀p (2.36) u∈W 3,p (Ω ) , ∀p Ta lại tiếp tục lấy vi phân phương trình lần nhận phương trình Dij u, i, j = 1, , n sau áp dụng Định lý 2.5 suy u ∈ W 4,p (Ω ) Lặp lại q trình (đó việc lấy đạo hàm cao thay lấy số mũ cao hơn) áp dụng định lý nhúng cho không gian Sobolev Ta nhận kết viết định lý sau: Định lý 2.6: Cho u ∈ W 1,p1 (Ω), p1 > n (Ω ⊂ Rn ) nghiệm yếu phương trình: ∆u + Γ (u) |Du|2 = đó: Γ (u) trơn bị chặn Khi đó: u ∈ C ∞ (Ω) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 Kết luận Trong luận văn trình bày nội dung sau: - Trình bày khái niệm khơng gian Sobolev, định lý nhúng - Khái niệm nghiệm mạnh lý thuyết độ trơn nghiệm mạnh Nghiệm mạnh hàm thuộc W 2,2 (Ω) thỏa mãn phương trình ∆u = f hầu khắp nơi Luận văn độ trơn hệ số vế phải phương trình tăng thi độ trơn nghiệm mạnh tăng theo trở thành nghiệm cổ điển phương trình Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Mạnh Hùng(2008), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học Sư phạm Tài liệu tiếng Anh [2] David Gibarg NeilS Trudinger (1998), Elliptic Partial Diffrential Equation of Second Order, Springer [3] Jurgen Jost(2002), Partial Diffrential Equation, Springer Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... 2.2.3 Độ trơn nghiệm phương trình elliptic phi tuyến Xét phương trình : ∆u + Γ (u) |Du|2 = 0, (2.20) Γ (u): trơn bị chặn hay u nghiệm bị chặn Khi phương trình (2.20) giống phương trình Euler -... bình phương khả tích thỏa mãn phương trình hầu khắp nơi Dựa vào tài liệu [1], [2], [3] luận văn trình bày khái niệm nghiệm mạnh phương trình elliptic tuyến tính cấp nghiên cứu tính chất trơn nghiệm. .. Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.44) 24 Chương NGHIỆM MẠNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 2.1 Khái niệm nghiệm mạnh 2.1.1 Thế vị Newton Xét phương trình Laplace có dạng: n ∆u = j=1 ∂ 2u ∂x2j (2.1)