Một số bất đẳng thức và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HUYỀN TRANG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HUYỀN TRANG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN VĂN MINH Thái Nguyên - Năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Trang phụ bìa Mục lục i Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt ii Mở đầu Nội dung Bất đẳng thức Cauchy 1.1 Các dạng bất đẳng thức Cauchy 1.1.1 Bất đẳng thức Cauchy 1.1.2 Dạng đảo bất đẳng thức Cauchy 1.1.3 Dạng phức bất đẳng thức Cauchy 1.1.4 Bất đẳng thức Cauchy với tổng vô hạn 1.1.5 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với tích thực 1.1.6 1.2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với tích phức 12 1.1.7 Bất đẳng thức Bunyakovsky 13 1.1.8 Mở rộng bất đẳng thức Cauchy 14 Phương pháp bất đẳng thức Cauchy Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 i 1.2.1 Độ gần thứ tự dãy cặp điểm 15 1.2.2 Kĩ thuật tách ghép số 16 1.2.3 Thứ tự lại thứ tự số 24 1.2.4 Điều chỉnh lựa chọn tham số 26 Bất đẳng thức giá trị trung bình 29 2.1 Các giá trị trung bình 30 2.2 Bất đẳng thức giá trị trung bình 32 2.2.1 Bất đẳng thức AM - GM 36 2.2.2 Bất đẳng thức HM - GM 43 2.2.3 Bất đẳng thức HM - AM 44 2.2.4 Bất đẳng thức RMS - AM 44 Một số kĩ thuật vận dụng 45 2.3.1 Độ gần 45 2.3.2 Kĩ thuật tách ghép số 48 2.3.3 Điều chỉnh lựa chọn tham số 53 2.3.4 Kĩ thuật Cauchy ngược dấu 55 2.3 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt • AM - Arithmetic Mean • GM - Geometric Mean • HM - Harmonic Mean • IMO - International Mathematical Olympiad • JBMO - Junior Balkan Mathematical Olympiad • MO - National Mathematical Olympiad • PM - Power Mean • RMS - Root Mean Square • TST - Selection Test for International Mathematical Olympiad • a = a + b + c Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Bất đẳng thức vấn đề cổ điển xong đầy thách thức giới đại, ta thường thấy góp mặt bất đẳng thức điểm khó đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông, đề thi đại học, cao đẳng hay đề thi học sinh giỏi cấp, đề thi olympic toán khu vực quốc tế Bất đẳng thức giữ ví trí đặc biệt hữu ích tất lĩnh vực Tốn học Sự khó khăn tốn bất đẳng thức điều thú vị hút người yêu Toán Mục tiêu luận văn hệ thống lại số bất đẳng thức sở có nhiều ứng dụng q trình giải tốn bất đẳng thức: bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức giá trị trung bình, ứng dụng chúng Hi vọng luận văn làm tài liệu tham khảo cho học sinh giáo viên chuyên đề bồi dưỡng bất đẳng thức Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương hệ thống dạng bất đẳng thức Cauchy, dạng thực, dạng phức, dạng đảo bất đẳng thức Cauchy với tổng hữu hạn; bất đẳng thức Cauchy với tổng vô hạn; bất đẳng thức Cauchy Schwarz với tích thực phức; bất đẳng thức Bunyakovsky với tích phân, sau kĩ thuật vận dụng Chương hai trình bày bất đẳng thức giá trị trung bình, Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn trung bình bình phương - trung bình cộng - trung bình nhân - trung bình điều hịa, dạng hệ bất đẳng thức trung bình lũy thừa, bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức Carleman ứng dụng quan trọng bất đẳng thức AM - GM Cuối chương số tập minh họa Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Minh hướng dẫn tận tình thầy suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Cô, Ban giám hiệu, khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, bạn bè, đồng nghiệp gia đình ln động viên, khích lệ, tạo điều kiện suốt trình học tập nghiên cứu để luận văn khóa học hồn thành Mặc dù cố gắng, xong kết đạt luận văn cịn khiêm tốn khơng tránh khỏi sai sót Vì vậy, tác giả mong nhận nhiều ý kiến, góp ý quý báu quý Thầy Cô, anh chị đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, 18 tháng 09 năm 2010 Người thực Nguyễn Thị Huyền Trang Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bất đẳng thức Cauchy Augustin - Louis Cauchy (1789 - 1857) công bố bất đẳng thức tiếng ông năm 1821 phần thích lí thuyết bất đẳng thức mà lập thành phần cuối sách Cours d’Analyse Algébrique ông Cauchy không sử dụng bất đẳng thức ơng nội dung mà có số tập có tính minh họa Bất đẳng thức Cauchy áp dụng rộng rãi sớm vào năm 1829, Cauchy sử dụng bất đẳng thức ông nghiên cứu phương pháp Newton cho tính tốn tìm nghiệm phương trình đại số siêu việt Năm 1859, học trò Cauchy Victor Yacovlevich Bunyakovsky nhận xét lấy giới hạn, thu dạng tích phân bất đẳng thức Kết tổng qt trường hợp khơng gian tích chứng minh Hermann Amandus Schwarz vào năm 1885 Ngày nay, tháng có hàng trăm - có lẽ hàng nghìn - cơng bố khoa học, bất đẳng thức Cauchy áp dụng theo cách hay cách khác Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1 1.1.1 Các dạng bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Cauchy Định lí 1.1 Với hai n số (a1 , a2 , , an ), (b1 , b2 , , bn ), ta có bất đẳng thức sau (a1 b1 +a2 b2 +· · ·+an bn )2 (a21 +a22 +· · ·+a2n )(b21 +b22 +· · ·+b2n ) (1.1) Dấu đẳng thức xảy (a1 , a2 , , an ), (b1 , b2 , , bn ) hai tỉ lệ, tức tồn số thực k để = kbi , ∀i = 1, n Bất đẳng thức (1.1) thường gọi bất đẳng thức Cauchy hay Cauchy - Schwarz (đơi cịn gọi bất đẳng thức Bunyakovsky, Cauchy - Bunyakovsky hay Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz) Chứng minh (Xem [1], [2], [3]) Các hệ sau củng cố thêm các ứng dụng khác bất đẳng thức quan trọng Hệ 1.1 Với dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn , bi > 0, ∀i = 1, n , ta có a2 a21 a22 + + ··· + n b1 b2 bn (a1 + a2 + · · · + an )2 b1 + b2 + · · · + bn (1.2) Bất đẳng thức thường gọi bất đẳng thức Schwarz Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số √ bi , bi > 0, ∀i = 1, n, ta thu bất đẳng thức (1.2) √ai bi Hệ 1.2 Với dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn , ta có a21 + b21 + · · · + a2n + b2n (a1 + · · · + an )2 + (b1 + · · · + bn )2 (1.3) Chứng minh (Xem [2]) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hệ 1.3 Với dãy số thực a1 , a2 , , an , ta có (a1 + a2 + · · · + an )2 n(a21 + a22 + · · · + a2n ) (1.4) Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai n số (a1 , a2 , , an ) (1, 1, , 1) ta thu bất đẳng thức (1.4) Ta thu hệ sau cách chia hai vế bất đẳng thức (1.4) cho n2 Hệ 1.4 Với dãy số thực a1 , a2 , , an , ta có a1 + a2 + · · · + an n a21 + a22 + · · · + a2n n (1.5) Hệ 1.5 Với dãy số thực không âm a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn , ta có (a1 + a2 + · · · + an )(b1 + b2 + · · · + bn ) a1 b1 + a2 b2 +· · ·+ an bn (1.6) √ Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với hai n số ( ) √ ( bi ), 0, bi 0, ta điều cần chứng minh Hệ 1.6 Với dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn , > 0, bi = 0, ta có a1 a2 an + + · · · + b21 b22 b2n a1 a2 an + +···+ a1 + a2 + · · · + an b b bn (1.7) √ a Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai n số bi i √ , > 0, bi = 0, ∀i = 1, n, ta thu bất đẳng thức (1.7) Hệ 1.7 Với dãy số thực dương a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn , ta có a1 a2 an + + ··· + b1 b2 bn (a1 + a2 + · · · + an )2 a1 b + a2 b + · · · + an b n Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.8) 44 2.2.3 Bất đẳng thức HM - AM Hệ 2.5 (Bất đẳng thức HM - AM) Với số dương a1 , a2 , , an , ta có a1 + a2 n + ··· + a1 + a2 + · · · + an n an (2.23) Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an Hệ 2.6 (Bất đẳng thức HM - AM mở rộng) Giả sử a1 , a2 , , an n số dương tùy ý p1 , p2 , pn n số thực, dương cho p1 + p2 + + pn = Khi p1 a1 + p2 a2 + ··· + pn an p a1 + p a2 + · · · + p n an (2.24) Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an Một bất đẳng thức quen thuộc trường hợp đặc biệt bất đẳng thức trung bình lũy thừa, bất đẳng thức trung bình bình phương trung bình cộng, gọi tắt bất đẳng thức RMS - AM đề cập 2.2.4 Bất đẳng thức RMS - AM Hệ 2.7 (Bất đẳng thức RMS - AM) Với số dương a1 , a2 , , an , ta có a21 + a22 + · · · + a2n n a1 + a2 + · · · + an n Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.25) 45 Hệ 2.8 (Bất đẳng thức RMS - AM mở rộng) Giả sử a1 , a2 , , an n số dương tùy ý p1 , p2 , pn n số thực, dương cho p1 + p2 + + pn = Khi p1 a21 + p2 a22 + · · · + pn a2n p a1 + p a2 + · · · + p n an (2.26) Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an Chú ý cần ta lấy nghịch đảo bất đẳng thức để thu bất đẳng thức hữu ích q trình giải tốn 2.3 Một số kĩ thuật vận dụng Sau đây, ta xét số kĩ thuật vận dụng bất đẳng thức vào giải toán 2.3.1 Độ gần Bài toán 2.3 Cho a, b, c số nguyên dương cho a + b + c = 100 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức M = abc Giải Khơng tính tổng quát, ta coi a= Max (a, b, c), c= (a, b, c) a b c Do 3a hay a a + b + c = 100, 34 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta 33a + 34b + 34c (33a)(34b)(34c) 34.100 − a = 34.100 − 34 = 34.33 Suy 33.342 M 333 343 , hay M 37026 Vậy Max M = 37026 a = 34, b = c = 33 Tiếp theo, ta tìm giá trị nhỏ Ta thấy: Nếu c > c b Suy M 34.2.2 > 98 Nếu c = a + b = 99 Suy a M 50 Khi đó, b 50.2.1 > 98, cịn b = a = 98 M = 98.1.1 = 98 Vậy M = 98 a = 98, b = c = Bài toán 2.4 Cho a i) a + , a 1 ii) a + + a2 + a a Chứng minh 27 Giải 1 a Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có i) Ta có a 2, nên a+ a = + + a a a a + a Vậy a+ a Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Dấu xảy a = ii) Theo bất đẳng thức AM - GM, ta có 1 15a2 a2 a + 2= + + a 16 a2 16 2 a2 15.22 + 16 a2 16 Vậy a2 + a2 17 , 1 17 27 + a2 + + = a a 4 Dấu bẳng xảy a = a+ Bài toán 2.5 Cho a, b số dương cho a + b Tìm giá trị nhỏ biểu thức M= a2 1 + +b ab Giải Theo bất đẳng thức AM - GM, ta có ab (a + b)2 , ab Mặt khác, theo bất đẳng thức HM - AM 1 + x y , ∀x, y > x+y Từ M= 1 1 + = + a2 + b2 ab a2 + b2 2ab + a2 + b2 + 2ab 1 + ab 4 + 2 1 Vậy M = 6, đạt a = b = Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 2.3.2 Kĩ thuật tách ghép số Bài toán 2.6 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh am+n + bm+n + cm+n am b n + b m c n + c m an Giải Theo bất đẳng thức AM - GM, ta có mam+n + nbm+n m+n am b n , mbm+n + ncm+n bm c n , m+n m+n mc + nam+n c m an m+n Cộng ba bất đẳng thức trên, ta thu bất đẳng thức cần chứng minh Bài toán 2.7 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a5 b c + + b c a2 a3 + b + c Giải Theo bất đẳng thức AM - GM, ta có a5 + ab2 b 2a3 , b5 + bc2 2b3 , c c5 + ca2 2c3 , a 3 a + b + c3 ab2 + bc2 + ca2 Cộng bốn bất đẳng thức trên, ta thu bất đẳng thức cần chứng minh Bài toán 2.8 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a5 b c + + b c a3 a3 b c + + b c a Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 Giải Theo bất đẳng thức AM - GM, ta có a5 + ab b3 a3 b Từ đây, suy a5 + 2ab b3 a3 a3 + + ab b b Mặt khác, ta lại có a3 a3 + + ab b b nên a3 + 2a2 , b a5 + 2ab b3 a3 + 2a2 b b5 + 2bc c3 c5 + 2ca a3 b3 + 2b2 , c c3 + 2c2 a Tương tự, ta có 2(a2 + b2 + c2 ) 2(ab + bc + ca) Cộng bất đẳng thức trên, ta thu bất đẳng thức cần chứng minh Bài toán 2.9 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a3 b3 c3 + + b(c + a) c(a + b) a(b + c) (a + b + c) Giải Theo bất đẳng thức AM - GM, ta có 4a3 + 2b + (c + a) b(c + a) 6a, 4b3 + 2c + (a + b) c(a + b) 6b, 4c3 + 2a + (b + c) a(b + c) 6c Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 Cộng bất đẳng thức trên, ta thu bất đẳng thức cần chứng minh Bài toán 2.10 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a2 b c + + b c a3 a+b+c Giải Sử dụng bất đẳng thức b c a3 + + a2 b c a + b + c, áp dụng bất đẳng thức HM - AM, ta có 2 a b c + + = b c a3 b a c + b + a c 1 + + a b c a+b+c Bài toán 2.11 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2 +b2 +c2 = Chứng minh (abc)2 (a3 + b3 + c3 ) Giải Đặt u=a+b+c v = ab + bc + ca w = abc − u2 Ta có u − 2v = a + b + c = u(u − 3v) = u Ta cần chứng minh w 3 − u2 + 3w u Theo bất đẳng thức AM - GM, ta có √ a+b+c abc Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 Suy w u3 Từ đây, ta cần chứng minh 33 u7 − u2 u9 + 2 37 Tuy nhiên, theo bất đẳng thức RMS - AM, ta có a2 + b + c Suy u a+b+c 3 Vậy bất đẳng thức Bài toán 2.12 Cho a, b, c số thực dương cho abc = Chứng minh a10 b10 c10 + + b+c c+a a+b a7 b7 c7 + + b + c c + a7 a7 + b Giải Vì abc = 1, áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có a10 = b+c a7 b3 c3 (b + c) a7 (b + c) (b + c) 64 Bây giờ, ta cần chứng minh (b + c)7 26 (b7 + c7 ) Đây bất đẳng thức theo bất đẳng thức Holder, ta có b+c (b7 + c7 ) (1 + 1) ⇔ (b + c)7 26 (b7 + c7 ) Dấu đẳng thức xảy a = b = c = Bài toán 2.13 Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh 1 + + a b c 1 + + a+b−c b+c−a c+a−b Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 1 Giải Đặt x = (b + c − a), y = (c + a − b), z = (a + b − c) 2 Khi a = y + z, b = z + x, c = x + y Ta phải chứng minh 1 + + y+z z+x x+y 1 + + 2x 2y 2z Theo bất đẳng thức HM - AM, ta có 2 = y+z 1/(1/y) + 1/(1/z) 1 + , 2y 2z Tương tự, ta có z+x x+y 1 + , 2z 2x 1 + 2x 2y Cộng ba bất đẳng thức trên, ta bất đẳng thức cần chứng minh Dấu đẳng thức xảy a = b = c Bài toán 2.14 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh √ 2bc 2ca 2ab + + b+c c+a a+b bc + √ √ ca + ab Giải Theo bất đẳng thức HM - GM, ta có 2bc = b+c b + √ c bc Tương tự, ta có √ 2ca ca, c+a √ 2ab ab a+b Cộng ba bất đẳng thức trên, ta điều cần chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 2.3.3 Điều chỉnh lựa chọn tham số (Xem [2], [3]) Bài tốn 2.15 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = k(x2 + y ) + z , đó, x, y, z số thực thỏa mãn xy + yz + zx = k số dương Giải Ta tách k = l + (k − l), với l k Theo bất đẳng thức AM - GM, ta có lx2 + ly (k − l)x2 + z 2 (k − l)y + z 2 Cộng ba bất đẳng thức trên, ta A 2lxy + 2lxy, 2(k − l)xz, 2(k − l)yz 2(k − l)(xz + yz) Trong trường hợp này, ta cân điều kiện đẳng thức mà ta phải cân điều kiện giả thiết, tức tìm số dương l cho 2l = 2(k − l) Khi đó, A 2l(xy + yz + xz) = 2l Số l chọn thỏa mãn phương trình 2l2 = k − l √ −1 + + 8k ⇔l= Vậy A = 2l x = y = ± ,z = ± + 2(k − l) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 2(k − l) + 2(k − l) http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 Bài toán 2.16 Xét số thỏa mãn điều kiện x, y, z ∈ [1, 3], u, v, w ∈ [5, 7], a, b, c ∈ [9, 11] a + b + c + x + y + z + u + v + w = 60 Tìm giá trị lớn F = abcxyzuvw Giải Theo bất đẳng thức AM - GM cho số dương F a+b+c x+y+z u+v+w 3 3 Dấu đẳng thức xảy đồng thời có a = b = c, x = y = z, u = v = w Đặt  a+b+c   = r,    x+y+z = p,      u + v + w = q Khi  p ∈ [1, 3], q ∈ [5, 7], r ∈ [9, 11] p + q + r = 20 F (pqr)3 Xét m > n > 1, ta có mp + nq + r (mp)(nq)r n−1 p+q+r m−1 = + p+ q 3 n−1 20 m − + 3+ 3 Suy F 20 + 3(m − 1) + 7(n − 1) (mn)3 Dấu đẳng thức xảy a = b = c, x = y = z, u = v = w mp = nq = r, p = 3, q = 7, p + q + r = 20, Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 hay a = b = c = 10, x = y = z = 3, u = v = w = 7, 10 10 m= , n= Thay m, n ta F (210)3 Vậy Max F = (210)3 , đạt a = b = c, x = y = z, u = v = w mp = nq = r, p = 3, q = 7, p + q + r = 20, hay a = b = c = 10, x = y = z = 3, u = v = w = 7, 10 10 m= , n= 2.3.4 Kĩ thuật Cauchy ngược dấu Đây kĩ thuật hay, khéo léo, mẻ ấn tượng bất đẳng thức AM - GM, (Xem [2]) Bài toán 2.17 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh a b c + + + b + c + a2 Giải Theo bất đẳng thức AM - GM, ta có + b2 2b, a ab2 ab2 ab = a − a − = a − + b2 + b2 2b Tương tự, ta có bc b b − + c2 c ca b − + a2 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 Từ đây, suy a b c + + + b + c + a2 ab + bc + ca a+b+c− ab + bc + ca Đẳng thức xảy a = b = c = Nhận xét 2.2 Trong số bất đẳng thức giá trị trung bình bản, bất đẳng thức AM - GM có nhiều ứng dụng có lẽ bất đẳng thức sở Để tham khảo thêm nhiều ví dụ, bạn đọc xem [2], [3], [5], [6], [7] Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 Kết luận Luận văn giải vấn đề sau: Hệ thống số kiến thức bất đẳng thức Cauchy, mở rộng bất đẳng thức Cauchy tổng vô hạn không gian tích Từ bất đẳng thức lũy thừa, xây dựng bất đẳng thức giá trị trung bình Nêu lên ý nghĩa hình học bất đẳng thức AM - GM thực tế, mở rộng bất đẳng thức AM - GM cho số phức Ứng dụng bất đẳng thức vào giải toán Nêu số toán tổng quát, định hướng việc sáng tác toán bất đẳng thức Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Phan Đức Chính (2006), Bất đẳng thức, NXB Văn hóa thơng tin, Hà Nội, tr 48 - 60 Phạm Kim Hùng (2007), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội NXB Giáo Dục Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức, định lí áp dụng, NXB Giáo dục Tiếng Anh J Michael Steele (2004), The Cauchy - Schwarz Master Class, http: //www vnmath.com, 27/6/2009 Titu Andresscu, Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu, Old and New Inequality, http: //www vnmath.com, 27/6/2009 Nguyễn Duy Tùng, 567 Nice And Hard Inequality, http: //www vnmath.com, 27/6/2009 Hassan Al - Sibyani, Inequalities Marathon, http: //www vnmath.com, 27/6/2009 Hojoo Lee (2005), Topics in inequalities, http: //www vnmath.com, 27/6/2009 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... Mục tiêu luận văn hệ thống lại số bất đẳng thức sở có nhiều ứng dụng q trình giải tốn bất đẳng thức: bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức giá trị trung bình, ứng dụng chúng Hi vọng luận văn làm... bn (1.2) Bất đẳng thức thường gọi bất đẳng thức Schwarz Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số √ bi , bi > 0, ∀i = 1, n, ta thu bất đẳng thức (1.2) √ai bi Hệ 1.2 Với dãy số thực a1... Nội dung Bất đẳng thức Cauchy 1.1 Các dạng bất đẳng thức Cauchy 1.1.1 Bất đẳng thức Cauchy 1.1.2 Dạng đảo bất đẳng thức Cauchy 1.1.3 Dạng phức bất đẳng thức Cauchy