Một số bài toán về đường tròn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Lê Bá Cường MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ ĐƯỜNG TRỊN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Hà Huy Khoái Thái Nguyên - 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học GS TSKH Hà Huy Khoái Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, GS.TSKH Hà Huy Khoái, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH, tổ Tốn trường THPT Xuân Giang - Sóc Sơn - Hà Nội bạn lớp Cao học K4C, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Định nghĩa số phức 1.1 Sự biểu diễn đại số số phức 1.1.1 Định nghĩa số phức 1.1.2 Các tính chất liên quan đến phép cộng 1.1.3 Các tính chất liên quan đến phép nhân 1.1.4 Dạng đại số số phức 1.1.5 Lũy thừa số i 1.1.6 Số phức liên hợp 1.1.7 Mô đun số phức 1.2 Ý nghĩa hình học phép toán đại số 1.2.1 Ý nghĩa hình học số phức 1.2.2 Ý nghĩa hình học mơđun 1.2.3 Ý nghĩa hình học phép tốn đại số Số phức hình học 2.1 Một vài khái niệm tính chất 2.2 Đoạn thẳng, tia, đường thẳng 2.3 Chia đoạn thẳng theo tỉ số 2.4 Góc định hướng 2.5 Góc hai đường thẳng 2.6 Phép quay điểm 2.7 Điều kiện thẳng hàng, vuông góc thuộc đường trịn 2.8 Tam giác đồng dạng 2.9 Tam giác 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 6 10 10 12 13 13 14 15 16 16 16 19 19 20 21 23 26 28 http://www.lrc-tnu.edu.vn Hình học giải tích số phức 3.1 Phương trình đường thẳng 3.2 Phương trình đường thẳng xác định hai điểm 3.3 Diện tích tam giác 3.4 Phương trình đường thẳng xác định điểm qua phương 3.5 Hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng 3.6 Khoảng cách từ điểm đến đương thẳng Các 4.1 4.2 4.3 34 34 35 36 39 40 41 tốn đường trịn số phức 42 Đường tròn 42 Phương tích điểm đường trịn 43 Góc hai đường tròn 44 Tài liệu tham khảo 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý chọn đề tài: Là giáo viên dạy mơn tốn trường THPT 12 năm, tơi thấy tốn học phổ thơng hình học mơn học mà nhiều học sinh thấy khó học, hình học khơng gian Để đại số hóa hình học nhà tốn học gắn hệ trục tọa độ vào hình học để có hình học giải tích Khi học hình học giải tích tơi thấy học sinh dễ học tiếp thu tốt Nay số phức lại giáo dục đào tao đưa vào dạy chương trình THPT, tốn số phức tốn thường khó Liên quan đến dạng toán toán đường trịn Mong muốn có cách khác để trình bầy hình học nhờ số phức nên tơi chọn đề tài Đề tài “ Môt số tốn đường trịn” nhằm đáp ứng mong muốn đề tài phù hợp mà sau phục vụ thiết thực cho q trình giảng dạy trường phổ thơng Đề tài liên quan đến nhiều chuyên đề, có kiến thức số phức, kiến thức hình học nhiều kiến thức khác 2.Mục đích nghiên cứu: Hệ thống tổng quát toán đường tròn giải số phức ứng dụng khác trường phổ thông Nắm số kĩ thuật tính tốn biến đổi hình học liên quan đến số phức Nhiệm vụ đề tài: Đưa định nghĩa số phức phép toán số phức cách tổng qt có ví dụ minh họa kèm theo, đề tài mở rộng mảng kiến thức số phức với tốn đường trịn giải số phức Thơng qua đề tài trang bị cho giáo viên thêm số nguồn tư liệu 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn trình dạy học ngiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tốn hình học đường tròn tập số phức xét ứng dụng liên quan Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình GS – TSKH Hà Huy Khối, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tủ sách chuyên tốn, Tạp chí tốn học tuổi trẻ, Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thông Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy học chuyên đề toán trường THPT, đem lại niềm đam mê sáng tạo từ toán Cấu trúc luận văn: Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương Chương I: Định nghĩa số phức Chương II: Số phức hình học Chương III: Hình học giải tích số phức Chương IV: Các tốn đường trịn số phức Tuy cố gắng nghiên cứu kĩ đề tài viết luận văn, song khó tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận bảo, hướng dẫn thầy cô đóng góp ý kiến bạn bè đồng nghiệp để luận văn tơi hồn chỉnh có ý nghĩa Tơi xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, năm 2012 Tác giả 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Định nghĩa số phức 1.1 1.1.1 Sự biểu diễn đại số số phức Định nghĩa số phức Giả thiết ta biết định nghĩa tính chất sở tập hợp số thực R Ta xét tập hợp R2 = R × R = {(x, y) | x, y ∈ R } Hai phần tử (x1 , y1 ) v (x2 , y2 ) x1 = x2 y1 = y2 Các phép toán cộng nhân định nghĩa R2 sau: z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ R2 Và z1 z2 = (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) ∈ R2 , với z1 = (x1 , y1 ) ∈ R2 z2 = (x2 , y2 ) ∈ R2 Phần tử z1 + z2 gọi tổng z1 , z2 phần tử z1 z2 ∈ R2 gọi tích z1 , z2 Nhận xét 1.1.1 1) Nếu z1 = (x1 , 0) ∈ R2 z2 = (x2 , 0) ∈ R2 z1 z2 = (x1 x2 , 0) 2) Nếu z1 z2 = (x1 x2 , 0) z2 = (0, y2 ) ∈ R2 z1 z2 = (−y1 y2 , 0) Định nghĩa 1.1.2 Tập hợp R2 với phép toán cộng nhân gọi tập số phức, kí hiệu C Mỗi phần tử z = (x, y) ∈ C gọi số phức Kí hiệu C∗ để tập hợp C\ {(0, 0)} 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Các tính chất liên quan đến phép cộng (a) Tính giao hốn z1 + z2 = z2 + z1 với z1 , z2 ∈ C (b) Tính kết hợp (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) với z1 , z2 , z3 ∈ C Chứng minh Thật vậy, z1 = (x1 , y1 ) ∈ C, z2 = (x2 , y2 ) ∈ C, (x3 , y3 ) ∈ C z3 = (z1 + z2 ) + z3 = [(x1 , y1 ) + (x2 , y2 )] + (x3 , y3 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) + (x3 , y3 ) = ((x1 + x2 ) + x3 , (y1 + y2 ) + y3 ) Và z1 + (z2 + z3 ) = (x1 , y1 ) + [(x2 , y2 ) + (x3 , y3 )] = (x1 , y1 ) + (x2 + x3 , y2 + y3 ) = (x1 + (x2 + x3 ), y1 + (y2 + y3 )) Những khẳng định giống phép cộng số thực (c) Phần tử đơn vị: Có số phức 0=(0,0) để z + = + z = z với z = (x, y) ∈ C (d) Phần tử đối: Mỗi số phức z = (x,y) có số phức –z = (-x,-y) cho z + (−z) = (−z) + z = Ta dễ dàng kiểm tra khẳng định (a),(c),(d) Số phức z1 − z2 = z1 + (−z2 ) gọi hiệu hai số phức z1 , z2 Phép toán z1 , z2 hai số z1 , z2 số z1 − z2 gọi phép trừ định nghĩa sau: z1 − z2 = (x1 , y1 ) − (x2 , y2 ) = (x1 − x2 , y1 − y2 ) ∈ C 1.1.3 Các tính chất liên quan đến phép nhân Phép nhân số phức thỏa mãn tính chất sau: (a) Tính giao hốn: z1 z2 = z2 z1 với z1 z2 = z2 z1 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (b) Tính kết hợp: z1 z2 = z2 z1 với z1 z2 = z2 z1 (c) Phần tử đơn vị: Có số phức = (1, 0) ∈ C thỏa mãn z.1 = 1.z = z với z ∈ C Sử dụng biến đổi đại số dễ thấy z.1 = (x,y)(1,0) = (x.1 - y.0,x.0 + y.1) = (x,y) = z Và 1.z = (1,0)(x,y) = (1.x - 0.y,1.y + 0.x) = (x,y) = z (d) Phần tử nghịch đảo: Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C có số phức z −1 = (x, , y , ) ∈ C cho z.z −1 = z −1 z = Ta tìm z −1 = (x, , y , ) với ý (x, y) = (0, 0) kéo theo x = y = hệ x + y = Từ hệ thức z.z −1 = ta có (x, y)(x, , y , ) = (1, 0) hay hệ sau thỏa mãn xx, − yy , = yx, + xy , = y x , y = − x2 + y x2 + y Vì phần tử nghịch đảo số phức z = (x, y) ∈ C∗ là: Giải hệ phương trình ta có x, = z −1 = x y =( , − ) ∈ C∗ 2 z x +y x +y Bằng cách làm tương tự ta có z −1 z = Hai số phức z1 = (x1 , y1 ) z = (x, y) ∈ C∗ xác định số z1 gọi thương chúng, kí hiệu , định nghĩa sau: z z1 x y = z1 z −1 = (x1 , y1 ).( , − ) z x + y x2 + y x1 x + y1 y −x1 y + y1 x , )∈C =( x + y2 x2 + y Lũy thừa với số mũ nguyên số phức z ∈ C∗ định nghĩa sau z = ; z = z ; z = z.z z n = z.z z với số nguyên n > n lâ n n −1 −n z = (z ) với số nguyên n < 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mọi số phức z1 , z2 , z3 ∈ C∗ số ngun m,n ta có tính chất sau 1) z m z n = z m+n 4) (z1 z2 )n = z1 n z2 n z1 n z1 n zm m−n 2) n = z = n 5) z z2 z2 m n mn 3) (z ) = z Khi z = ta định nghĩa 0n = với số nguyên n > e)Tính phân phối: z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 với z1 , z2 , z3 ∈ C∗ Trên tính chất phép cộng phép nhân,thấy tập hợp số phức với phép toán lập thành trường 1.1.4 Dạng đại số số phức Mỗi số phức biểu diễn cặp số thứ tự, nên thực biến đổi đại số thường không thuận lợi Đó lí để tìm dạng khác viết Ta đưa vào dạng biểu diễn đại số Xét tập hợp R × {0} với phép toán cộng nhân định nghĩa R2 Hàm số f : R → R x {0} , f (x) = (x, 0) song ánh (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) (x, 0).(y, 0) = (xy, 0) Người đọc không sai lầm ý phép tốn đại số R × {0} Đồng với phép tốn R; đồng cặp số (x, 0) với số x, với x ∈ R Ta sử dụng song ánh kí hiệu (x, 0) = x Xét i = (0, 1) ta có z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0).(0, 1) = x + yi = (x, 0) + (0, 1).(y, 0) Từ ta có mệnh đề Mệnh đề 1.1.3 Mỗi số phức biểu diễn dạng z = x + yi, với x,y số thực i2 = −1 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Đường thẳng d1 v d2 là: α1 α2 = ; α1 α2 α1 α2 2) vng góc + = 0; α1 α2 α1 α2 3) Cắt = ; α1 α2 1) song song Chứng minh Ta có d1 v d2 song song m1 = m2 α1 + α1 α2 + α2 α1 α2 i= i α2 α1 = α1 α2 ta có = ; α1 − α1 α2 − α2 α1 α2 Ta có d1 v d2 vng góc m1 m2 = −1 α2 α1 + α1 α2 = ⇔ α1 α2 + = α1 α2 Đường thẳng d1 v d2 cắt m1 = m2 α2 α1 = α1 α2 α1 α2 hay = Kết hệ số góc tương ứng với tính chất độ α1 α2 dốc α Tỉ số md = − gọi hệ số góc phức đường thẳng α.z + αz + α β = 3.2 Phương trình đường thẳng xác định hai điểm Mệnh đề 3.2.1 Phương trình điểm P1 (z1 ) , P2 (z2 ) z1 z2 z đường thẳng xác định hai z1 z2 = z Chứng minh Phương trình đường thẳng hệ tọa độ Đề Các xác định hai điểm P1 (x1 , y1 ) , P2 (x2 , y2 ) x y2 x2 y2 = x y 37Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 Sử dụng số phức ta có z1 + z1 z1 − z1 2i z1 z1 1 z1 + z1 z1 − z1 z2 + z2 z2 − z2 z2 + z2 z2 − z2 = ⇒ z2 z2 = =0⇔ 4i z + z z − z 2i z z z+z z−z 2i Chú ý: 1) Ba điểm M1 (z1 ) , M2 (z2 ) , M3 (z3 ) thẳng hàng z1 z1 z2 z2 = z3 z3 2) Hệ số góc phức đường thẳng xác định hai điểm có tọa độ z2 − z1 z1 v z2 m = z2 − z1 Thật z1 z1 z2 z2 = ⇔ z1 z2 + z2 z + zz1 − zz2 − z1 z − z2 z1 = z z ⇔ z (z2 − z1 ) − z (z2 − z1 ) + z1 z2 − z2 z1 = Sử dụng định nghĩa hệ số góc phức ta có m = 3.3 z2 − z1 z2 − z1 Diện tích tam giác Định lý 3.3.1 Diện tích tam giác A1 A2 A3 với đỉnh có tọa độ z1 , z2 , z3 mô đun số i z1 z1 z2 z2 (3.1) z3 z3 Chứng minh Sử dụng hệ tọa độ Đề Các, diện tích tam giác có đỉnh (x1 , y1 ) , (x2 , y2 ) , (x3 , y3 ) giá trị tuyệt đối định thức sau ∆= x1 y1 x2 y2 x3 y3 38Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Vì xk = zk + zk zk − zk , yk = , k ∈ {1, 2, 3} Nên ta có 2i z1 + z1 z1 − z1 1 z1 z1 i z1 z1 z2 + z2 z2 − z2 = − z2 z2 = z2 z2 8i z + z z − z 4i z3 z3 z3 z3 Dễ thấy tam giác A1 A2 A3 có hướng dương với đỉnh có tọa độ z1 , z2 , z3 ta có i z1 z1 z2 z2 > z3 z3 Hệ 3.3.2 Diện tích tam giác định hướng A1 A2 A3 với đỉnh có tọa độ z1 , z2 , z3 area [A1 A2 A3 ] = Im (z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ) (3.2) Chứng minh z1 z1 z2 z2 = ( z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 − z3 z2 − z1 z3 − z2 z1 ) z3 z3 = ( z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ) − (z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ) = 2i Im ( z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ) = −2i Im (z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ) Thay vào dạng (3.1) ta có dạng (3.2) Ta thấy dạng (3.2) mở rộng cho đa giác định hướng A1 A2 An ( Ta xét mục 4.3) Bài toán 13 Cho tam giác A1 A2 A3 điểm M1 , M2 , M3 nằm đường thẳng A2 A3 , A3 A1 , A1 A2 Giả sử M1 , M2 , M3 chia đoạn thẳng [A2 A3 ] , [A3 A1 ] , [A theo tỉ số λ1 , λ2 , λ3 Chứng minh rằng: area [M1 M2 M3 ] − λ1 λ2 λ3 = area [A1 A2 A3 ] (1 − λ1 ) (1 − λ2 ) (1 − λ3 ) (3.3) Giải: Tọa độ điểm M1 , M2 , M3 m1 = a2 − λ1 a1 a3 − λ2 a1 a1 − λ3 a2 , m2 = , m3 = − λ1 − λ2 − λ3 39Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Áp dụng cơng thức (3.2) ta có (m1 m2 + m2 m3 + m3 m1 ) (a2 − λ1 a3 ) (a3 − λ2 a1 ) (a3 − λ2 a1 ) (a1 − λ3 a2 ) (a1 − λ3 a2 ) (a2 − λ1 a3 ) = + + (1 − λ1 ) (1 − λ2 ) (1 − λ2 ) (1 − λ3 ) (1 − λ3 ) (1 − λ1 ) − λ1 λ2 λ3 area [A1 A2 A3 ] = (1 − λ1 ) (1 − λ2 ) (1 − λ3 ) area [M1 M2 M3 ] = Chú ý: Công thức dạng (3.3) ta suy định lí Menelaus: Các điểm M1 , M2 , M3 thẳng hàng λ1 λ2 λ3 = tương đương với: M1 A2 M2 A3 M3 A1 =1 M1 A3 M2 A1 M3 A2 Bài toán 14 Cho a,b,c tọa độ đỉnh A,B,C tam giác Biết π cho |a| = |b| = |c| = tồn góc α ∈ 0, a + b cos α + c sin α = Chứng minh < area [ABC] √ 1+ Giải: Ta có = |a|2 = |b cos α + c sin α|2 = (b cos α + c sin α) b cos α + c sin α = |b|2 cos2 α + |c|2 sin2 α + bc + bc sin αcosα b + c2 = 1+ sin αcosα bc 40Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Từ ta có b2 + c2 = nê n b = ±ic Áp dụng hệ thức (3.2) ta có area [ABC] = = = = = = = Im ab + bc + ca Im −b cosα − c sin α b + bc − c (b cos α + c sin α) Im −cosα − sin α − bc sin α − bc cosα + bc 1 Im bc − (sin α + cosα) bc = Im (1 + sin α + cosα) bc 2 1 (1 + sin α + cosα) Im bc = (1 + sin α + cosα) Im (±icc) 2 1 (1 + sin α + cosα) Im (±i) = (1 + sin α + cosα) 2 √ √ √ √ 1 2 π 1+ = sin α + cosα + sin α + 2 2 √ π π 3π π Thấy < α+ < < sin α + 4√ 4 1+ < area [ABC] 3.4 Như Phương trình đường thẳng xác định điểm qua phương Mệnh đề 3.4.1 Cho đường thẳng d :αz + αz + β = điểm P0 (z0 ) Phương trình đường thẳng di qua P0 (z0 ) song song với d α z − z0 = − (z − z0 ) α Chứng minh Sử dụng hệ tọa độ đề ,đường thẳng song song với d qua P0 (z0 ) có phương trình y − y0 = i α+α (x − x0 ) α−α 41Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Sử dụng số phức phương trình có dạng z − z z0 − z0 α + α z + z z0 + z0 − =i − 2i 2i α−α 2 ⇔ (α − α) (z − z0 − z + z0 ) = (α + α) (z + z − z0 − z0 ) ⇔ α (z − z0 ) = −α (z − z0 ) α ⇔ z − z0 = − (z − z0 ) α Mệnh đề 3.4.2 Cho đường thẳng d :αz + αz + β = điểm P0 (z0 ) Phương trình đường thẳng di qua P0 (z0 ) vng góc với d z − z0 = α (z − z0 ) α Chứng minh Sử dụng hệ tọa độ Đề Các, đường thẳng qua P0 (z0 ) 1α +α vng góc với d có phương trình y − y0 = − (x − x0 ) Khi ta iα−α có α + α z + z z0 + z0 z − z z0 − z0 − =− − 2i 2i iα−α 2 ⇔ (α + α) (z − z0 − z + z0 ) = − (α − α) (z − z0 + z − z0 ) ⇔ α (z − z0 ) = α (z − z0 ) α ⇔ z − z0 = (z − z0 ) α 3.5 Hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng Mệnh đề 3.5.1 Cho điểm P0 (z0 ) đường thẳng d: αz + αz + β = Tọa độ hình chiếu điểm P0 (z0 ) lên đường thẳng d là: z= αz0 − αz0 − β 2α 42Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Chứng minh Tọa độ z nghiệm hệ α.z + α.z + β = α (z − z0 ) = α (z − z0 ) −αz − β Thế vào phương trình hai thu 2α αz0 − αz0 − β αz − αz0 = −α.z − β − α.z0 Vì z = 2α Phương trình đầu cho ta z = 3.6 Khoảng cách từ điểm đến đương thẳng Mệnh đề 3.6.1 Khoảng cách từ điểm P0 (z0 ) tới đường thẳng d: αz + αz + β = , α ∈ C∗ D= |αz0 + αz0 + β| √ α.α Chứng minh Sử dụng lại kết ta có αz0 − αz0 − β −αz0 − αz0 − β − z0 = 2α 2α |αz0 + αz0 + β| |αz0 + αz0 + β| √ = = |α| α.α D= 43Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Chương Các tốn đường trịn số phức 4.1 Đường trịn Mệnh đề 4.1.1 Phương trình đường tròn mặt phẳng z.z + α.z + α.z + β = 0, với α ∈ C v β ∈ R Chứng minh Phương trình đường tròn mặt phẳng tọa độ Đề m2 + n2 2 Các x + y + mx + ny + p = với m, n, p ∈ R, p < z+z z−z z+z z−z Đặt x = , y= ta có |z|2 + m +n + p = 2i 2i Hay m − ni m + ni z.z + z +z +p=0 2 m − ni ∈ C, β = p ∈ R thay vào phương trình ta có điều Đặt α = phải chứng minh √ Chú ý bán kính đường trịn r = m2 n2 + −p = 4 αα − β Khi phương trình viết thành (z + α) (z + α) = r2 m n Đặt γ = −α = − − i, phương trình đường trịn tâm γ bán kính r 2 (z − γ) (z − γ) = r2 44Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Bài toán 15 Cho z1 , z2 , z3 tọa độ đỉnh tam giác ABC Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC zO = 1 z1 z2 z3 |z1 |2 |z2 |2 |z3 |2 1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 (4.1) Giải: Phương trình đường thẳng qua P (z0 ) vng góc với đường thẳng A1 A2 viết dạng z (z1 − z2 ) + z (z1 − z2 ) = z0 (z1 − z2 ) + z0 (z1 − z2 ) Áp dụng công thức cho trung điểm đoạn thẳng [A2 A3 ] , [A3 A1 ] cho đường thẳng A2 A3 ,A3 A1 ta có phương trình z (z2 − z3 ) + z (z2 − z3 ) = |z2 |2 − |z3 |2 z (z3 − z1 ) + z (z3 − z1 ) = |z3 |2 − |z1 |2 Bằng cách khử z từ hai phương trình ta z [(z2 − z3 ) + (z3 − z1 ) (z2 − z3 )] = (z1 − z3 ) |z2 |2 − |z3 |2 +(z2 − z3 ) |z3 |2 − |z1 |2 Vì ta có 1 1 1 z2 z3 z z1 z2 z3 = z1 2 z1 z2 z3 |z1 | |z2 | |z3 |2 Khẳng định chứng minh Chú ý: Ta viết cơng thức dạng zO = 4.2 z1 z1 (z2 − z3 ) + z2 z2 (z3 − z1 ) + z3 z3 (z1 − z2 ) 1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 (4.2) Phương tích điểm đường tròn Mệnh đề 4.2.1 Cho điểm P0 (z0 ) đường trịn có phương trình z.z + α.z + α.z + β = 0, 45Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 với α ∈ C v β ∈ R Phương tích điểm P0 với đường tròn ρ (z0 ) = z0 z0 + α.z0 + α.z0 + β Chứng minh Lấy O (−α) tâm đường trịn Phương tích điểm P0 đường trịn có bán kính r định nghĩa ρ (z0 ) = OP02 − r2 Trong trường hợp ta có ρ (z0 ) = OP02 − r2 = |z0 + α|2 − r2 = z0 z0 + α.z0 + α.z0 + αα − αα + β = z0 z0 + α.z0 + α.z0 + β Hai đường trịn có phương trình z.z + α1 z + α1 z + β1 = v z.z + α2 z + α2 z + β2 = Với α1 , α2 ∈ C , β1 , β2 ∈ R Trục đẳng phương chúng quỹ tích điểm có phương tích với đường trịn Nếu P(z) điểm thuộc quỹ tích z.z + α1 z + α1 z + β1 = z.z + α2 z + α2 z + β2 ⇔ (α1 − α2 ) z + (α1 − α2 ) z + β1 − β2 = Đây phương trình đường thẳng 4.3 Góc hai đường trịn Góc hai đường trịn có phương trình z.z + α1 z + α1 z + β1 = v z.z + α2 z + α2 z + β2 = 0, với α1 , α2 ∈ C , β1 , β2 ∈ R góc tiếp tuyến điểm chung đường tròn Mệnh đề 4.3.1 Góc hai đường trịn tính theo cơng thức sau cosθ = β1 + β2 − (α1 α2 + α1 α2 ) 2r1 r2 46Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Chứng minh Gọi T điểm chung O1 (−α1 ) , O2 (−α2 ) tọa độ tâm đường trịn Góc θ O1 TO2 π − O1 TO2 , r12 + r22 − O1 O22 cosθ = cosO1 TO2 = 2r1 r2 α1 α1 − β1 + α2 α2 − β2 − |α1 − α2 |2 = 2r1 r2 |α1 α1 − β1 + α2 α2 − β2 − α1 α1 − α2 α2 + α1 α2 + α1 α2 | = 2r1 r2 |β1 + β2 − (α1 α2 + α1 α2 )| = 2r1 r2 Chú ý đường tròn vng góc β1 + β2 = α1 α2 + α1 α2 Bài toán 16 Cho a,b,c số thực cho |b| 2a2 Chứng minh tập hợp điểm với tọa độ z thỏa mãn z − a2 = |2az + b| hai đường trịn vng góc với Giải: z − a2 = |2az + b| ⇔ z − a2 ⇔ z − a2 = |2az + b|2 z − a2 = (2az + b) (2az + b) Ta viết lại hệ thức sau |z|4 − a2 z + z + a4 = 4a2 |z|2 + 2ab (z + z) + b2 ⇔ |z|4 − a2 (z + z)2 − 2|z|2 + a4 = 4a2 |z|2 + 2ab (z + z) + b2 ⇔ |z|4 − −2a2 |z|2 + a4 = a2 (z + z)2 + 2ab (z + z) + b2 ⇔ |z|2 − a2 = (a (z + z) + b)2 Từ ta có z.z − a2 = a (z + z) + b z.z − a2 = −a (z + z) − b Đẳng thức tương đương với (z − a) (z − a) = 2a2 +b (z + a) (z + a) = 2a2 − b Như |z − a|2 = 2a2 + b |z + a|2 = 2a2 − b |b| 2a2 nên 47Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 √ 2a2 + b 2a2 − b nên hệ thức trở thành |z − a| = 2a2 + b √ |z + a| = 2a2 − b Do đó,các điểm có tọa độ z thỏa mãn hệ thức z − a2 = |2az + b| nằm hai đường tròn tâm C1 v C2 , tọa độ tâm chúng a –a , bán √ √ kính R1 = 2a2 + b R2 = 2a2 − b 2 √ √ Hơn C1 C22 = 4a2 = 2a2 + b + 2a2 − b = R12 + R22 nên hai đường tròn trực giao với Bài toán 17 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ω, đường thẳng l tiếp tuyến ω B , K hình chiếu trực tâm H tam giác ABC l gọi M trung điểm AC Chứng minh tam giác BKM cân Giải: Khơng tính tổng qt ta coi ω đường trịn đơn vị, x+z y+t a = x + iy, b = i, c = z + ti Khi l = + i 2 Do H trực tâm tam giác, nên h = x + z + (y + t + 1)i Khi k = x + z + i y+t−2 x+z + = (x + z)2 + (y + t − 2)2 Ta có |b−l| = 2 y+t−2 x+z + Và |k − l| = 2 Từ suy điều phải chứng minh = (x + z)2 + (y + t − 2)2 Bài tốn 18 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn ω A1 trung điểm BC A2 hình chiếu A1 tiếp tuyến ω A Các điểm B1 , B2 , C1 , C2 xác định tương tự Chứng minh đường thẳng A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 đồng quy Hãy xác định vị trí hình học điểm đồng quy Giải: Khơng tính tổng qt, coi ω đường tròn đơn vị GỌi ω tọa vị điểm W mặt phẳng phức b+c Ta có a1 = đường thẳng A1 A2 đường thẳng qua A1 (a1 ), song song với OA, A1 A2 có phương trình a ¯z − a¯ z=a ¯ b+c b+c −a 2 48Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Do a¯ a = nên phương trình viết dạng z − a2 z¯ = b+c b+c − a2 2 hay z − a2 z¯ = a+b+c a+b+c − a2 2 a+b+c A1 A2 qua N Tương tự ta có B1 B2 , C1 C2 qua N Điều phải chứng minh Gọi N tâm đường trịn Euler tam giác, n = 49Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 Kết luận Luận văn trình bày lại số tính chất tập số phức, mối liên hệ tập số phức hình học, hình học giải tích số phức, phần luận văn trình bày số tốn đường tròn tập số phức Nội dung chủ yếu luận văn chủ yếu trích dẫn tài liệu [1], [2], [3], [4] Từ tác giả đề xuất số tốn đường trịn số phức thường xuất kì thi chọn học sinh giỏi 50Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 Tài liệu tham khảo [1] Complex-Numbers-from-A-to-Z [2] Nguyễn Văn Mậu, Biến phức định lý áp dụng, Hà Nội, 2009 [3] Đoàn Quỳnh, Số phức với hình học phẳng, Nhà xuất giáo dục 1998 [4] Lê Hải Châu,Thi vơ địch tốn Quốc Tế, Nhà xuất trẻ 2001 51Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... có số phức z = x − yi, số phức gọi số phức liên hợp số phức liên hợp số phức z Mệnh đề 1.1.4 1) Hệ thức z = z z ∈ R 2) Mỗi số phức z ta ln có đẳng thức z = z 3) Mỗi số phức z ,số phức z.z số. .. giải tích số phức, phần luận văn trình bày số tốn đường trịn tập số phức Nội dung chủ yếu luận văn chủ yếu trích dẫn tài liệu [1], [2], [3], [4] Từ tác giả đề xuất số toán đường trịn số phức thường... liên quan đến số phức Nhiệm vụ đề tài: Đưa định nghĩa số phức phép toán số phức cách tổng qt có ví dụ minh họa kèm theo, đề tài mở rộng mảng kiến thức số phức với tốn đường trịn giải số phức Thông