Một phương pháp vô hướng hóa giải bài toán tối ưu đa mục tiêu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN KIM THANH MỘT PHƯƠNG PHÁP VƠ HƯỚNG HĨA GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN KIM THANH MỘT PHƯƠNG PHÁP VƠ HƯỚNG HĨA GIẢI BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn viết hướng dẫn tận tình PGS.TS Tạ Duy Phượng Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy gia đình Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học, Phòng đào tạo nghiên cứu khoa học quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho học tập tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu bạn đồng nghiệp trường THPT Lưu Nhân Chú - Thái Ngun tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè gia đình hết lịng động viên tơi suốt q trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, ngày 19 tháng 10 năm 2011 Học viên Nguyễn Kim Thanh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên i http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Bài tốn tối ưu hóa ngày nghiên cứu ứng dụng rộng rãi vào nhiều lĩnh vực kĩ thuật, kinh tế khoa học Trong thời gian gần đây, toán tối ưu đa mục tiêu quan tâm nhiều mơ hình nhiều toán thực tế Bài toán tối ưu có hàm mục tiêu nhận giá trị vectơ địi hỏi khái niệm nghiệm Việc tính tốn tập nghiệm, chí tìm nghiệm tốn nói chung khó Vì phát triển phương pháp số hữu hiệu giải toán tối ưu đa mục tiêu, quan tâm đặc biệt Khái niệm cực tiểu đưa Edgeworth năm 1881, Pareto năm 1896 Để xây dựng khái niệm này, Pareto sử dụng khái niệm thứ tự theo nón khơng gian ảnh Sau Kuhn Tucker, vào năm 1951 nghiên cứu kĩ chặt chẽ tốn học Kể từ tốn tối ưu đa mục tiêu trở thành lĩnh vực nghiên cứu tích cực Đã có nhiều nhà tốn học nghiên cứu giải toán đưa nhiều kết quan trọng, xem [1,2] Ở kỉ trước, mục tiêu nghiên cứu dựa phương pháp lặp để xác định nghiệm đơn trình lặp lặp lại Bằng cách ấy, phép tính số tính tốn liên tiếp với hàm định đưa mục tiêu mong muốn nghiệm tìm thấy Tuy nhiên, với phát triển công nghệ thông tin tốc độ máy tính xác định tập hữu hiệu cách dễ dàng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ii http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục đích luận văn trình bày phương pháp tìm tập hữu hiệu nhờ phương pháp số dựa theo tài liệu [3] Trong [3] , Gabriele Eichfelder sử dụng phương pháp tiếp cận vơ hướng hóa phụ thuộc tham số Pascoletti Serafini Nhiệm vụ luận văn trình bày cách chi tiết, có chứng minh số định lí, nhận xét, trình bày lại thuật tốn giải toán tối ưu hai mục tiêu Luận văn gồm chương: Chương kiến thức chuẩn bị luận văn Trong phần đầu chương này, nhắc lại khái niệm kết tối ưu đa mục tiêu, chẳng hạn khái niệm cực tiểu tính chất nón thứ tự, đặc biệt nón đa diện Chương dành riêng tìm hiểu kĩ phương pháp vơ hướng hóa giải tốn tối ưu Vơ hướng hóa đưa dựa vơ hướng hóa Pascoletti-Serafini Đây hai chương luận văn Chương Trong chương chủ yếu sử dụng kết trước để phát triển thuật toán điều khiển việc lựa chọn tham số tiếp cận vô hướng hóa Pascoletti-Serafini Và cuối kết luận tài liệu tham khảo Thái Nguyên, năm 2011 Học viên Nguyễn Kim Thanh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyêniii http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức sở 1.1.1 Quan hệ thứ tự 1.1.2 Nghiệm cực tiểu 1.1.3 Nghiệm cực tiểu yếu 1.2 Nón đa diện thứ tự 11 Phương pháp vơ hướng hóa 16 2.1 Tối ưu hóa Pascoletti-Serafini 17 2.2 Tính chất vơ hướng hóa Pascoletti-Serafini 19 2.3 Thiết lập thơng số hạn chế cho vơ hướng hóa Pascoletti-Serafini 24 2.3.1 Trường hợp với hàm hai mục tiêu 26 2.3.2 Trường hợp tổng quát 33 Điều khiển tham số 41 3.1 Điều khiển tham số trường hợp hai mục tiêu 42 3.2 Thuật toán cho tối ưu hóa Pascoletti-Serafini 49 Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên iv 53 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Kiến thức chuẩn bị Giả sử f : Rn → Rm , g : Rn → Rp , h : Rn → Rq (p, q ∈ N) hàm liên tục Ta đặt f (x) = (f1(x), , fm(x)) với fi : Rm → R , i = 1, , m Cho S ⊂ Rn tập lồi đóng C ⊂ Rp nón lồi đóng Nhắc lại tập C ⊂ Rp nón lồi đóng λ(x + y) ∈ C với λ ≥ 0, x, y ∈ C Xét toán tối ưu đa mục tiêu (MOP): f (x) với hạn chế g(x) ∈ C, h(x) = 0q , x ∈ S Với m = toán (MOP) trở thành toán tối ưu hàm mục tiêu quen thuộc Trong luận văn ta chủ yếu quan tâm tới hàm đa mục tiêu (m ≥ ) Tập Ω := {x ∈ S | g(x) ∈ C, h(x) = 0q } gọi tập ràng buộc hay Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tập hạn chế toán (MOP) Ta giả sử Ω = ∅ định nghĩa f (Ω) := {f (x) ∈ Rm | x ∈ Ω} 1.1 1.1.1 Kiến thức sở Quan hệ thứ tự Định nghĩa 1.1.1 Một tập khác rỗng hệ hai Rm Ta viết x y (x, y) ∈ ∈ Rm × Rm gọi quan Quan hệ hai ngơi thường kí hiệu theo thứ tự quen thuộc ≤ Định nghĩa 1.1.2 Một quan hệ hai ≤ Rm gọi thứ tự phận Rm với x, y, z, w ∈ Rm tùy ý ta có: (i) x ≤ x (tính phản xạ), (ii) x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z (tính bắc cầu), (iii) x ≤ y, w ≤ z ⇒ x + w ≤ y + z (tính tương thích với phép cộng), (iv) x ≤ y, α ∈ R+ ⇒ αx ≤ αy (tính tương thích với phép nhân vơ hướng) Định nghĩa 1.1.3 Một quan hệ thứ tự phận ≤ Rm gọi phản xứng với x, y ∈ Rm x ≤ y, y ≤ x ⇒ x = y Định nghĩa 1.1.4 Một không gian tuyến tính Rm trang bị quan hệ thứ tự gọi khơng gian tuyến tính thứ tự Ví dụ 1.1.5 Quan hệ thứ tự Rm định nghĩa bởi: ≤m := {(x, y) ∈ Rm × Rm | xi ≤ yi ; ∀i = 1, , m} quan hệ thứ tự phận Quan hệ gọi quan hệ thứ tự tự nhiên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét 1.1.6 : (i) Một quan hệ thứ tự ≤m Rm xác định nón lồi K := {x ∈ Rm | 0m ≤ x} Nón K lúc gọi nón thứ tự (ii) Cho K nón lồi Rm Khi ta xác định quan hệ thứ tự Rm sau: ≤K := {(x, y) ∈ Rm × Rm | y − x ∈ K} (iii) Một quan hệ thứ tự K phản xứng K nón nhọn Nhắc lại rằng, nón K ⊂ Rm gọi nón nhọn K ∩ (−K) = {0m} Giả sử K nón nhọn Khi quan hệ thứ tự Rm ≤K := {(x, y) ∈ Rm × Rm | y − x ∈ K} Nếu x ≤K y với x, y ∈ Rm y − x ∈ K Vì K nón nhọn x − y ∈ K x − y = 0m hay y ≤K x x = y Do quan hệ thứ tự ≤K phản xứng 1.1.2 Nghiệm cực tiểu Định nghĩa 1.1.7 Cho Ω tập khác rỗng không gian tuyến tính Rm thứ tự nón lồi K Một điểm y¯ ∈ Ω điểm K-cực tiểu tập Ω (¯ y − K) ∩ Ω ⊂ y¯ + K (1.1) Nếu nón K nhọn (1.1) tương đương với (¯ y − K) ∩ Ω = {¯ y} Nếu cho y, y ∈ Ω ta có y − y ∈ K \ {0m }, ta nói y trội y Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.1.8 Một điểm x¯ ∈ Ω nghiệm cực tiểu (không làm trội được, nghiệm hữu hiệu hay K-cực tiểu) toán tối ưu đa mục tiêu (MOP) tương ứng với nón thứ tự K f (¯ x) điểm K-cực tiểu tập f (Ω) Tập tất nghiệm cực tiểu tương ứng với nón K kí hiệu M(f (Ω), K) Tập ảnh tập tất nghiệm cực tiểu E(f (Ω), K) := {f (x) | x ∈ M(f (Ω), K)} gọi tập hữu hiệu Một điểm y¯ ∈ E(f (Ω), K) gọi điểm K-cực tiểu, điểm không làm trội được,hay điểm hữu hiệu tương ứng với nón K Nếu có điểm f (x) ∈ f (Ω) với f (x) − f (¯ x) ∈ K \ {0m } ta nói f (x) làm trội f (¯ x) x làm trội x¯ cách tương ứng Cho K = Rm + , điểm K-cực tiểu gọi Edgeword-Pareto-cực tiểu (EP-cực tiểu) Trong hình 1.2 ví dụ tốn tối ưu hai mục tiêu Tập Ω f (Ω) nón nhọn thứ tự Tập hữu hiệu phần đường tơ đậm Trong khơng gian tuyến tính thứ tự, tồn điểm so sánh với điểm (1; 2) (2; 1) R2 tương ứng với Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tồn tham số a ∈ H t ∈ R cho (t , x¯) nghiệm cực tiểu toán SP (a , r) cho a + t r − f (¯ x) = 0m (t , x¯) nghiệm cực tiểu toán (SP (a , r)) Định lý 2.3.10 Cho siêu phẳng H = {y ∈ Rm | b y = β} với b ∈ Rm , β ∈ R cho trước, x¯ ∈ M(f (Ω), K) r ∈ K \ {0m } cho b r = Khi có tham số a ∈ H t¯ ∈ R để cho (t¯, x¯) nghiệm cực tiểu (SP (a, r)) Chứng minh Theo Định lí 2.1.1 có tham số a t ∈ R cho (t , x ¯) nghiệm cực tiểu (SP (a , r)) Theo định lí 2.3.9 tồn điểm a ∈ H t¯ ∈ R cho (t¯, x¯) nghiệm cực tiểu (SP (a, r)) Để nghiên cứu nhiều toán tối ưu đa mục tiêu, ta cần quan tâm tới hàm Lagrange, nhân tử Lagrange, vấn đề độ nhạy, độ ổn định nghiệm, Ta bắt đầu tốn vơ hướng hóa tổng qt: F (x) điều kiện ràng buộc G(x) ∈ C H(x) = 0q x∈S với tập lồi đóng C ⊂ Rp , tập mở S ⊂ Rn , tập lồi đóng S ⊂ S hàm khả vi liên tục F : S → R, , G : S → Rp , H : S → Rq (n, p, q ∈ N0 ) Khi hàm Lagrange tương ứng cho Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên39 http://www.lrc-tnu.edu.vn L : Rn × C ∗ × Rq → R , (với C ∗ = y ∈ Rp | y x ≥ với x ∈ C nón đối ngẫu với nón C) L(x, µ, ξ) := F (x) − µ G(x) − ξ H(x) Nếu điểm x chấp nhận tồn (µ, ξ) ∈ C ì Rq cho x L(x, à, ) (s − x) ≥ ∀s ∈ S µ G(x) = 0, µ ξ gọi nhân tử Lagrange với điểm x Chúng ta cần giả thiết điều sau: Giả thiết: Cho K nón lồi, nhọn, đóng Rm C nón lồi đóng Rp Cho S tập mở khác rỗng Rn giả sử S ⊂ S đóng lồi Cho hàm f : S → Rn , g : S → Rp , h : S → Rq khả vi liên tục S Bổ đề 2.3.11 Xét tốn vơ hướng hóa (SP (a, r)) với giả thiết Giả sử (t¯, x¯) nghiệm cực tiểu toán giả sử tồn nhân tử Lagrange (à, , ) K ì C ì Rq với điểm (t¯, x¯) Theo định lí 2.3.10, tồn tham số a ∈ H t ∈ R cho (t , x ¯) nghiệm cực tiểu (SP (a , r)) a + t r = f (¯ x) Khi (µ, ν, ξ) nhân tử Lagrange tương ứng với điểm (t , x¯) cho toán (SP (a , r)) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên40 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Điều khiển tham số Trong chương sử dụng kết trước để phát triển thuật toán điều khiển việc lựa chọn tham số vài tiếp cận tối ưu Mục tiêu xấp xỉ tập tốt tập hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu Chất lượng tốt đo tiêu chuẩn khác Trước tiên ta xét xấp xỉ cách điểm Để đạt mục tiêu này, sử dụng chủ yếu tiếp cận vơ hướng hóa Pascoletti Serafini Vơ hướng hóa tham số phụ thuộc xây dựng thủ tục , cho theo thủ tục tham số tìm được chọn phù hợp để khoảng cách điểm xấp xỉ tìm thấy tập hữu hiệu điều khiển được.Trước tiên ta định nghĩa xấp xỉ Một tập hữu hạn A ⊂ f (Ω) gọi xấp xỉ tập hữu hiệu E(f (Ω), K) toán tối ưu (MOP), với điểm xấp xỉ y , y ∈ A, y = y có y ∈ y + K y ∈ y + K (3.1) nói cách khác, tất điểm A không làm trội điểm khác tương ứng với nón thứ tự K Từ định nghĩa này, ta gọi tập hữu hạn A xấp xỉ tập hữu hiệu yếu Ew (f (Ω), K) toán tối ưu đa mục tiêu (MOP) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 http://www.lrc-tnu.edu.vn A xấp xỉ E(f (Ω), int(K) ∪ 0m ) 3.1 Điều khiển tham số trường hợp hai mục tiêu Ta xét toán tối ưu với hai hàm mục tiêu: (m=2)  f1(x)   f2(x)  điều kiện ràng buộc x∈Ω Mục đích xấp xỉ tập hữu hiệu toán cho tốn vơ hướng hóa (SP (a, r)) mà ta trình bày chương II t điều kiện ràng buộc a + tr − f (x) ∈ K, t ∈ R, x ∈ Ω Ta tìm vài điểm xấp xỉ cách biến thiên tham số a Nhằm muốn điểm xấp xỉ khơng bị phân tán, ta xây dựng thuật toán để lựa chọn tham số a Thuật toán phương pháp thích hợp dựa vào thông tin độ nhạy,chỉ lặp theo biến cần thiết để xác định khoảng cách α Phần ta giả sử tham số r không đổi cho trước với r ∈ K \ {02} Ta chọn tham số a từ siêu phẳng H = {y ∈ R2 | b y = β} = {y ∈ R2 | b1 y1 + b2y2 = β}, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên42 http://www.lrc-tnu.edu.vn đường thẳng, với b ∈ R2 , β ∈ {0, 1} b r = 0, nói 2.3.1 Theo Định lí 2.3.6 ,điều kiện đủ để xét tham số a ∈ H với a ∈ H α ⊂ H với H α = {y ∈ R2 | y = λa−1 + (1 − λ)a−2, λ ∈ [0, 1]} Khơng tính tổng qt ta giả sử a¯11 < a ¯21 Bây ta muốn xác định tham số a0 , a1 , a2 , cách thích hợp (bắt đầu với a0 = a¯1 ) cho họ điểm xấp xỉ f (xi), i = 0, 1, 2, , nhận cách giải (SP (ai , r)), với i = 0, 1, 2, có khoảng cách đánh giá α > Hơn ta giả sử a01 ≤ a11 ≤ a21 ≤ Cho K nón lồi, nhọn, đóng Rm C nón lồi đóng Rp Cho S tập mở khác rỗng Rn giả sử S ⊂ S đóng lồi Cho hàm f : S → Rn , g : S → Rp , h : S → Rq khả vi liên tục S Ta nghiên cứu trường hợp (3.2) a0 + t0 r − f (x0) = 02 Vì điểm (t0, x0) nghiệm cực tiểu toán (SP (a, r)) t điều kiện ràng buộc a0 + tr − f (x) = 02 t ∈ R, x ∈ Ω với nhân tử Lagrange (µ0 , ν 0, ξ 0), theo Bổ đề 2.3.11 Ta giả sử đạo hàm ¯δ (a0 , r) aτ hàm cực tiểu địa phương với điểm (a0, r) biết Chúng ta sử dụng đạo hàm cho xấp xỉ địa phương hàm cực tiểu địa phương với tốn (SP (a, r)) Sử dụng cơng thức Taylor ta nhận cách sử dụng τ¯δ (a0 , r) = t¯(a0 , r) = t0 ( với (t¯(a, r), x ¯(a, r)) cực tiểu địa phương (SP (a, r)) t¯(a, r) ≈ t0 + ¯δ (a0 , r) aτ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên43 (a − a0 ) (3.3) http://www.lrc-tnu.edu.vn Xét tốn vơ hướng hóa (SP (a, r)), ta có phương trình f (¯ x(a, r)) = a + t¯(a, r)r kết thu với f (x0) = a0 + t0 r, f (¯ x(a, r)) ≈ a0 + (a − a0 ) + (t0 + = f (x0) + (a − a0 ) + ( ¯δ (a0 , r) aτ ¯δ (a0 , r) aτ (a − a0 ))r (a − a0 ))r Ta sử dụng điểm (t¯(a, r), x ¯(a, r)) xấp xỉ nghiệm cực tiểu (t(a, r), x(a, r)) (SP (a, r)) (chúng ta có t(a, r) ≤ t¯(a, r) (t¯(a, r), x ¯(a, r)) chấp nhận (SP (a, r)) ) Khi ta thu xấp xỉ sau cho điểm K-hữu hiệu yếu toán tối ưu đa mục tiêu phụ thuộc vào tham số a ( với a nằm lân cận a0 ): f (x(a, r)) ≈ f (x0) + (a − a0 ) + ( ¯δ (a0 , r) aτ (a − a0 ))r (3.4) Mục tiêu xác định tham số a1 cho khoảng cách α > ,ta thu (3.5) f (x(a0, r)) − f (x(a1, r)) = α với f (x(a0, r)) = f (x0) Đó điểm xấp xỉ nên ta có khoảng cách α thay đổi Hơn nữa, đặt a1 ∈ H Ta chọn hướng v ∈ R2 \ {02} cho a0 + sv ∈ H với s ∈ R, hay nói cách khác b v = Bên cạnh vừa giả sử a01 ≤ a11 , yêu cầu s ≥ v1 ≥ Điều thỏa mãn, chẳng hạn cho v := a ¯2 − a¯1 Bây ta tìm vô hướng s1 ∈ R cho a1 := a0 + s1v thỏa mãn (3.5) Ta nhận a1 − a0 = s1 v, dựa vào xấp xỉ (3.4), α = f (x(a0, r)) − f (x(a1, r)) ≈ f (x0) − (f (x0) + s1 v + s1 ( = s1 v+( ¯δ (a0 , r) aτ ¯δ (a0 , r) aτ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên44 v)r v)r) http://www.lrc-tnu.edu.vn Vì vậy, để thỏa mãn (3.5), ta chọn α v + ( a τ¯δ (a0, r) v)r s1 := (3.6) >0 Ta xác định a1 := a0 + s1v Để giải (SP (a1 , r)), kết điểm K-cực tiểu yếu x1 Phụ thuộc vào đánh giá xấp xỉ (3.4) ta có f (x0) − f (x1) ≈ α Việc tính tốn đạo hàm ¯δ (a0 , r) aτ s1 biết Trong trường hợp nón thứ tự C = Rp+ ta có ¯δ (a0 , r) aτ = −µ0 nón ta có biểu thức: ¯δ (a0, r) aτ = −µ0 − a ν(a , r) g(x0) nói chung khơng thể đơn giản hóa Khi đó, đạo hàm hàm ν(., ) với điểm (a0 , r) tương ứng với tham số a xấp xỉ số bằng, chẳng hạn, nhờ phép lấy xấp xỉ vi phân Xấp xỉ hàm cực tiểu địa phương cho tốt việc sử dụng đạo hàm cấp cao Ví dụ với K = R2+ , C = Rp+ trường hợp đạo hàm cấp hai không suy biến cho δ ¯ (a , r) aτ =− a µ(a0 , r) Ở đây, đạo hàm ν(., ) điểm (a0 , r) tương ứng với a lại xấp xỉ phép lấy vi phân Ta thu t¯(a, r) ≈ t0 + ¯δ (a0 , r) aτ (a − a0 )) + (a − a0 ) 2 a τ¯δ (a0, r)(a − a0 ) cho a1 = a0 + s1 v α = f (x(a0, r)) − f (x(a1, r))) ≈ f (x0) − (f (x0) + s1v + s1 ( ¯δ (a0, r) aτ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên45 v)r + (s1)2(v 2 a τ¯δ (a0 , r)v)r http://www.lrc-tnu.edu.vn Để tìm nghiệm phương trình f (x0)−(f (x0)+s1 v+s1 ( ¯δ (a0 , r) aτ v)r+ (s1 )2(v 2 δ ¯ (a , r)v)r aτ =α (3.7) tương ứng với s1 , ta áp dụng phương pháp Newton Điểm bắt đầu phương pháp số thu cách sử dụng (3.6) Các điểm t0 a0 cho a0 ∈ H tính tốn bởi: b f (x0) − β a0 := f (x0) − t0 r, t := b r (3.8) điểm t¯ a ¯ cho b f (¯ x) − β a¯ = f (¯ x) − t¯r t¯ = b r (3.9) Định lý 3.1.1 Cho (t0 , x0) nghiệm cực tiểu (SP (a0, r)) với tham số a0 ∈ H = {y ∈ Rm | b y = β} cho a0 + t0 rf (x0) = k k ∈ K \ {0m} Khi khơng tồn điểm K-cực tiểu x¯ ∈ M(f (Ω), K) cho a ¯ = a0 + µ(a0 − a0 ) với µ nằm ngồi đoạn [0,1] (3.10) a¯ (3.10) a0 (3.11) Chứng minh Chúng ta chứng minh phản chứng giả sử tồn điểm K-cực tiểu x¯ cho (3.13) thỏa mãn Ta đặt t := t¯ − (1 − µ)(t0 − t¯0 ) thực phép lấy vi phân Với (3.) (3.) có a0 − a0 = f (x0) − t0 r − (k − t0r + f (x0)) = (t0 − t0 )r − k (3.11) Trường hợp t > t0 Với (3.9), (3.10), (3.11) xác định t , cho µ ∈]0, 1[ f (¯ x) − f (x0) = a ¯ + t¯r − (a0 + t0 r − k ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên46 http://www.lrc-tnu.edu.vn = a0 + µ(a0 − a0 ) + t¯r − (a0 + t0 r − k 0) = µ((t0 − t0 )r − k 0) + (t + (1 − µ)(t0 − t0 ) − t0 )r + k = (1 − µ)k + (t − t0)r ∈ K \ {0m } mâu thuẫn với giả thiết K-cực tiểu x¯ Trường hợp t < t0 Đầu tiên ta điểm (t0 − t0 + t , x) chấp nhận cho toán (SP (a0 , r)) Dùng xác định t với (3.17), (3.15), (3.18) ta thu kết cho µ ∈]0, 1[ a0 + (t0 − t0 + t )r − f (¯ x) = a0 + (t0 − t0 + t¯ − (1 − µ)(t0 − t0 ))r − (¯a + t¯r) = (a0 − a ¯) + µ(t0 − t0 )r = −µ(a0 − a0 ) + µ(t0 − t0 )r = −µ((t0 − t0 )r − k 0) + µ(t0 − t0 )r = µk ∈ K Vì t < t0 , nên t0 − t0 + t = t0 + (t − t0 ) < t0 điều mâu thuẫn với (t0 , x0) nghiệm cực tiểu (SP (a0 , r)) Như nói từ trước, ta xác định tham số a theo cấp tăng dần tương ứng với tọa độ đầu tiên, nói cách khác, a01 ≤ a11 ≤ a21 ≤ Vì ta quan tâm tới câu hỏi liệu a01 > a01 hay a01 ≤ a01 Ta giả sử siêu phẳng H = {y ∈ R2 | b y = β} cho trước tham số r ∈ R2+ cho b r = Bổ đề 3.1.2 Cho K = R2+ Cho (t0 , x0) nghiệm cực tiểu (SP (a0, r)) với tham số a0 ∈ H = {y ∈ R2 | b y = β} cho (3.12) a0 + t0 r − f (x0) = k ∈ R2+ \ {02} Khi đó, cho a0 (3.8) Ta có a01 > a01 (k10 = 0, k20 > Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên47 r1 b2 > 0)hoặc b r http://www.lrc-tnu.edu.vn (k10 > 0, k20 = r2 b2 < 0) b r Chứng minh Theo định lí 2.1,1c, k ∈ ∂K+2 Với (3.8) (3.13) ta có a01 > a01 ⇔ f1 (x0) − t0 r1 > k10 − t0 r1 + f1 (x0) ⇔ (t0 − t0 )r1 > k10 ⇔ ⇔ ⇔ (b (f (x0 )+k )−β)−(b f (x0 )−β) r1 b r b k0 r > k10 b r r1 b2 k > (1 − rb1 br1 )k10 b r > k10 Bất đẳng thức cho ta k ∈ ∂R2+ thỏa mãn k10 = 0, k20 > r1 b2 > b r k10 > 0, k20 = − r1 b1 r2 b2 = a01 = k10 = 0, k20 > 0, rb2 br2 = (b f (x0) − β) = >0 Tổng kết điều tiến đến trường hợp k = a0 + t0 r − f (x0) = 02 với (t0, x0) nghiệm cực tiểu (SP (a0 , r)), ta xác định tham số a0 b f (x0) − β a := f (x ) − t r với t := b r 0 0 Theo Định lí 3.1.1, tham số a ∈ {a0 + µ(a0 ) − a0 | µ ∈]0, 1[} bỏ qua Bổ đề 3.1.4 ([3]) Cho K = R2+ Cho (t0 , x0) nghiệm cực tiểu (SP (a0, r)) với tham số a0 ∈ H = {y ∈ R2 | b y = β} với a0 + t0 r − f (x0) = k ∈ R2+ \ {02} Khi cho a0 (3.8), a01 ≤ a01 ta đặt b k0 r) a := a + (1 + s)(k − b r 0 với s > Khi a11 ≥ a01 3.2 Thuật tốn cho tối ưu hóa PascolettiSerafini Giả thiết: Cho m = 2, K = R2+ , C = Rp+ S = S = Rn Cho hàm f : Rn → R2 , g : Rn → Rp , h : Rn → Rq hàm khả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên49 http://www.lrc-tnu.edu.vn vi liên tục Rn Hơn nữa, để tham số a r mà ta xét toán tối ưu (SP(a,r)) tồn nghiệm (t¯, x ¯) với nhân tử Lagrange ¯ ∈ Rm × Rp+ × Rq Vì ta xét tốn tối ưu hai mục tiêu: (¯ µ, ν¯, ξ) +   f1 (x)  (3.13) f (x) =  f2(x) điều kiện ràng buộc gj (x) ≥ 0, j = 1, , p, hk (x) = 0, k = 1, , q, x ∈ Rn với không gian ảnh R2 thứ tự phận thứ tự Tập ràng buộc là: Ω = {x ∈ Rn | gj (x) ≥ 0, j = 1, , p, hk (x) = 0, k = 1, , q} Chúng ta chọn tham số r ∈ K = R2+ không đổi tốn tối ưu vơ hướng Pascoletti-Serafini xác định xấp xỉ tập hữu hiệu tham số biến thiên a Khơng tính tổng qt giả sử r1 > Ta có phương pháp vơ hướng hóa Pascoletti-Serafini cho tốn hai mục tiêu sau: Input: Chọn r ∈ R2+ cho r1 > 0, khoảng cách điểm xấp xỉ α ∈ R, α > xác định trước mong muốn Chọn siêu phẳng H = {y ∈ R2 | b y = β} việc đặt b ∈ R2 cho b r = β ∈ {0, 1} Lấy M ∈ R cho r2 M > f2(x) − f1(x) , ∀x ∈ Ω r1 Bước 1: Giải toán (SP (a1 , r)) với a1 = (0, M 1) cho nghiệm cực tiểu (t1, x1) nhân tử Lagrange µ1 ∈ R2+ thỏa mãn điều kiện a1 + tr − f (x) ≥2 02 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên50 http://www.lrc-tnu.edu.vn Tính: b f (x1) − β t := a1 := f (x1) − t1 r b r Đặt k := 02, l := 1 Bước 2: Giải minx∈Ω f2 (x) với nghiệm cực tiểu xE tính: b f (xE ) − β aE := f (xE ) − tE r t := b r E Đặt v := aE − a1 Bước 3: Xác định al+1 bởi: • If k = 02 , đặt : α v v + ((−µl ) v)r al+1 := al + • Elseif (k11 = 0, k21 > tính r1 b2 b r > 0) (k11 > 0, k21 = (3.14) b2 r2 b r < 0), b2 r2 b r ≥ 0) b f (xl ) − β al := f (xl ) − tl r t := b r l đặt: α v v + ((−µl ) v)r al+1 := al + • Elseif (k11 = 0, k21 > Đặt l+1 a r1 b2 b r ≤ 0) (k11 > 0, k21 = l := a + + α kl b kl r k − b r l Bước 4: Đặt l:=l+1 Nếu al = a1 + λ.v với λ ∈ [0, 1], giải (SP (al , r)) với nghiệm cực tiểu (tl , xl ) nhân tử Lagrange µl với ràng buộc al + tr − f (x) ≥2 02, đặt k l := al + tl r − f (xl ) chuyển sang bước Else stop Output: Tập A := {x1, , xl−1, xE } xấp xỉ tập Mw (f (Ω), K) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên51 http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Luận văn trình bày kết Gabriele Eichfelder xây dựng thuật toán tối ưu hóa đa mục tiêu mẻ thú vị, phương pháp vơ hướng hóa Pascoletti-Serafini Phương pháp vơ hướng hóa Pascoletti-Serafini giải tốn tối ưu đa mục tiêu đề tài hấp dẫn người viết, tính ứng dụng cao chúng Tuy nhiên, thời gian trình độ có hạn, người viết khơng thể phát triển luận văn ý muốn Hi vọng thời gian tới có thêm nhiều đề tài nghiên cứu phương pháp Luận văn cịn nhiều sai xót, mong góp ý của thầy bạn đọc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên52 http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] Đinh Thế Lục,Thái Quỳnh Phong, Scalarizing Functions for Generating the Weakly Efficient Solution Set in Convex Multiobjective Problems.SIAM Journal on Optimization, 2005 [2] M Ehrgott Multicriteria optimasation, volume 491, Lect Notes.Econ Math Springer, Berlin, 2000 [3] Gabriele Eichefelder, Adaptive scalarization Methods in Multiobjective Optimization., Germany ,2008 [4] A.Pascoletti and P Serafini Scalarizing vector optimization problems,1984 [5] Y.Sawaragi, H Nakayama, and T.Tanino Theory of Multiobjective Optimization,1985 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên53 http://www.lrc-tnu.edu.vn ... phương pháp vơ hướng hóa khác tìm thấy Tuy nhiên luận văn này, quan tâm tới phương pháp vơ hướng hóa Pascoletti-Serafini 2.1 Tối ưu hóa Pascoletti-Serafini Pascoletti Serafini đưa toán tối ưu đa mục. .. toán tối ưu đa mục tiêu có liên quan Một tính chất quan trọng phương pháp vơ hướng sinh tất điểm K-cực tiểu (yếu) toán tối ưu đa mục tiêu Nếu (t¯, x ¯) nghiệm cực tiểu tốn vơ hướng hóa Pascoletti-Serafini... Xét toán tối ưu đa mục tiêu (MOP): f (x) với hạn chế g(x) ∈ C, h(x) = 0q , x ∈ S Với m = toán (MOP) trở thành toán tối ưu hàm mục tiêu quen thuộc Trong luận văn ta chủ yếu quan tâm tới hàm đa mục