Cấu trúc cây trong đồ thị vô hướng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH THỊ THANH GIANG CẤU TRÚC CÂY TRONG ĐỒ THỊ VƠ HƯỚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH THỊ THANH GIANG CẤU TRÚC CÂY TRONG ĐỒ THỊ VƠ HƯỚNG Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TSKH Phan Thị Hà Dương Thái Nguyên - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Một số khái niệm đồ thị 1.1 Các định nghĩa 1.2 Một số đơn đồ thị đặc biệt 1.2.1 Đồ thị đầy đủ 1.2.2 Đồ thị vòng 1.2.3 Đồ thị bánh xe 1.2.4 Đồ thị hai phần 1.2.5 Đồ thị phân đôi đầy đủ 1.3 Các đồ thị từ đồ thị cũ 1.4 Tính liên thơng đồ thị vô hướng 6 7 8 9 10 10 Cấu trúc 2.1 Định nghĩa 2.2 Các tính chất 12 12 12 Cây bao trùm đồ thị đầy đủ 3.1 Cây bao trùm 3.2 Cây bao trùm đồ thị đầy đủ 15 15 16 Một số thuật tốn xây dựng bao trùm đồ thị vơ hướng liên thơng 22 4.1 Thuật tốn tìm kiếm ưu tiên chiều sâu 22 4.2 Thuật tốn tìm kiếm ưu tiên chiều rộng 25 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Trong q trình làm luận văn, tơi nhận nhiều giúp đỡ từ thầy giáo gia đình Nhân dịp cho phép bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới người giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Phan Thị Hà Dương - Viện Toán Học Việt Nam tận tình giảng dạy, bảo giúp đỡ tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới tất thầy giáo Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Ngun thầy giáo Viện Tốn học, Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam trực tiếp giảng dạy trang bị cho kiến thức suốt q trình tơi học tập trường Tôi xin cảm ơn tới Sở GD - ĐT Tỉnh Hà Giang, Ban Giám Hiệu, đồng nghiệp Trường THPT Đồng Yên - Bắc Quang - Hà Giang tạo điều kiện cho tơi học tập hồn thành kế hoạch học tâp Những lời cảm ơn cuối gửi tới người thân yêu gia đình tơi giúp đỡ, chia sẻ, động viên tơi nhiều để tơi vượt qua khó khăn đạt kết học tập cơng tác Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lí thuyết đồ thị ngành khoa học phát triển từ lâu lại có nhiều ứng dụng đại Những ý tưởng đưa từ kỉ XVIII nhà toán học Thụy sĩ tên Leonhard Euler Ông dùng th gii quyt bi toỏn cu Kăonigsberg ni tiếng Lí thuyết đồ thị ứng dụng nhiều thực tế Rất nhiều toán thuộc nhiều ứng dụng khác giải mơ hình đồ thị Một loại đồ thị đặc biệt gọi Khái niệm dùng từ năm 1857, nhà toán học Anh, Arthur Cayley dùng để xác định dạng khác hợp chất hóa học Từ dùng để giải nhiều tốn nhiều lĩnh vực khác Luận văn trình bày số khái niệm đồ thị, số tính chất cây, trình bày cơng thức tính số bao trùm đồ thị đầy đủ n đỉnh đánh nhãn số thuật tốn tìm bao trùm đồ thị Ngồi phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm chương Chương Một số khái niệm đồ thị Chương trình bày số khái niệm đồ thị ví dụ minh họa Chương Cấu trúc Chương trình bày định nghĩa tính chất Chương Cây bao trùm đồ thị đầy đủ Chương trình bày bao trùm đồ thị, bao trùm đồ thị đầy đủ, công thức tính số bao trùm đồ thị đầy đủ, thut toỏn mó húa Pră ufer v thut toỏn gii mó Pră ufer Chng Mt s thut toỏn xõy dựng bao trùm đồ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thị vơ hướng liên thơng Chương trình bày hai thuật tốn tìm bao trùm đồ thị: Thuật tốn tìm kiếm ưu tiên chiều sâu thuật tốn tìm kiếm ưu tiên chiều rộng Thái Ngun, tháng 09 năm 2011 Người thực Trịnh Thị Thanh Giang Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số khái niệm đồ thị Ta hiểu Đồ thị cấu trúc rời rạc gồm đỉnh cạnh nối đỉnh Người ta phân loại đồ thị tùy theo đặc tính số cạnh nối cặp đỉnh đồ thị Trong chương đưa khái niệm đồ thị vơ hướng ví dụ minh họa Chương gồm bốn mục: Trong mục 1.1, chúng tơi trình bày số định nghĩa đồ thị vô hướng Mục 1.2 trình bày số đơn đồ thị đặc biệt Mục 1.3 trình bày đồ thị từ đồ thị cũ Mục 1.4 trình bày tính liên thông đồ thị vô hướng Các kiến thức chương tham khảo từ chương sách [1] 1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1 Một đơn đồ thị G = (V, E) gồm tập không rỗng V tập đỉnh tập E tập cạnh, cặp khơng thứ tự đỉnh phân biệt Ví dụ 1.1 Đồ thị hình đơn đồ thị Định nghĩa 1.2 Một đa đồ thị G=(V, E) gồm tập đỉnh V, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tập cạnh E hàm f từ E tới {{u, v }|u, v ∈ V , u = v } Các cạnh e1 e2 gọi cạnh song song hay cạnh bội f (e1 ) = f (e2 ) Ví dụ 1.2 Đồ thị hình đa đồ thị Đinh nghĩa 1.3 Hai đỉnh u v đồ thị vô hướng G gọi liền kề (hay láng giềng) {u, v } cạnh G Nếu e = {u, v } e gọi cạnh liên thuộc với đỉnh u v Cạnh e gọi cạnh nối đỉnh u v Các đỉnh u v gọi điểm đầu mút cạnh {u, v } Định nghĩa 1.4 Bậc đỉnh đồ thị vô hướng số cạnh liên thuộc với nó, riêng khuyên đỉnh tính hai lần cho bậc Người ta kí hiệu bậc đỉnh v deg(v) Ví dụ 1.3 Trong hình 3, deg(a) = 0, deg(b) = 3, deg(c) = 5, deg(d) = 3, deg(e) = 3, deg(f) = 1.2 1.2.1 Một số đơn đồ thị đặc biệt Đồ thị đầy đủ Đồ thị đầy đủ n đỉnh, kí hiệu Kn , đơn đồ thị chứa cạnh nối cặp đỉnh phân biệt Các đồ thị Kn với n=1, 2, 3, 4, biểu diễn hình Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2.2 Đồ thị vòng Đồ thị vịng Cn , n 3, đồ thị có n đỉnh v1 , v2 , , cạnh {v1 , v2 }, {v2 , v3 }, , {vn−1 , } {vn , v1 } Các vòng C3 , C4 , C5 , C6 biểu diễn hình 1.2.3 Đồ thị bánh xe Khi thêm đỉnh vào vòng Cn , với n nối đỉnh với n đỉnh Cn cạnh mới, ta nhận đồ thị hình bánh xe Wn Các đồ thị hình bánh xe W3 , W4 , W5 , W6 biểu diễn hình Số hóa Trung tâm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 Pră ufer khác cho bao trùm khác đồ thị đầy đủ Kn gán nhãn Ta cú thut toỏn gii mó Pră ufer nh sau: ¨ Thuật toán : GIẢI MÃ PRUFER Đầu vào: Một dóy Pră ufer (p1 , p2 , , pn2 ) Đầu ra: Cây có nhãn với đỉnh gán nhãn 1, 2, , n P ← dãy số Pră ufer u vo n |P | + V ← {1, 2, , n} Bắt đầu với n đỉnh có nhãn 1, , , n for i = to n-2 v ← phần tử nhỏ tập V mà không xuất P Nối đỉnh v đến đỉnh pi Xóa v khỏi tập V Xóa pi khỏi P / * Bây P = (pi+1 , pi+2 , , pn−2 ) */ Nối đỉnh tương ứng với hai số V Ta s xem thut toỏn gii mó Pră ufer chy nào, xây dựng bao trùm tương ứng với dãy số P = (3, 4, 3, 6, 4, 6, 6) Hình 19 minh họa bước trình giải mã Ban đầu, P = (3, 4, 3, 6, 4, 6, 6) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Ta thấy phần tử nhỏ V không xuất P Do nối đỉnh với phần tử P , nghĩa đỉnh (xem hình 19(a)) Sau xóa khỏi V khỏi P Bây P=(4, 3, 6, 4, 6, 6) V= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Chúng ta nối đỉnh với đỉnh (xem hình 19 (b) Lặp lại q trình cịn hai đỉnh V (Xem hình 19(h)) Chúng ta thiết lập tương ứng một-một tập bao trùm đồ thị đầy đủ Kn c gỏn nhón v cỏc dóy s Pră ufer có độ dài n-2 Định lí 3.1 Số bao trùm đồ thị đầy đủ Kn gán nhãn nn−2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 22 Chương Một số thuật toán xây dựng bao trùm đồ thị vô hướng liên thông Chúng ta biết tìm bao trùm đồ thị nhờ vào việc loại bỏ cạnh, xây dựng bao trùm cách ghép thêm cạnh Tôi giới thiệu hai thuật toán dựa nguyên tắc Chương bao gồm hai mục: Trong mục 4.1 chúng tơi trình bày thuật tốn tìm kiếm ưu tiên chiều sâu Mục 4.2 trình bày thuật tốn tìm kiếm ưu tiên chiều rộng Các kiến thức chương tham khảo từ chương sách [1] chương 22 sách [2] 4.1 Thuật toán tìm kiếm ưu tiên chiều sâu Ta xây dựng bao trùm đồ thị liên thông phương pháp tìm kiếm ưu tiên chiều sâu Nghĩa tạo có gốc bao trùm đồ thị vơ hướng có gốc Chọn tùy ý đỉnh đồ thị làm gốc Xây dựng đường từ đỉnh cách ghép cạnh vào cho cạnh ghép nối đỉnh cuối đường với đỉnh chưa thuộc đường Tiếp tục ghép thêm cạnh vào đường chừng khơng thể thêm thơi Nếu đường qua tất đỉnh đồ thị đường tạo nên bao trùm Nhưng đường không qua tất đỉnh ta lùi lại đỉnh trước đỉnh cuối đường Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 xây dựng đường xuất phát từ đỉnh qua đỉnh chưa thuộc đường Nếu tất đỉnh đồ thị viếng thăm ta tìm bao trùm, ngược lại, ta lại lùi thêm đỉnh đường xây dựng đường Lặp lại thủ tục này, đỉnh cuối viếng thăm lùi theo đường lần đỉnh, xây dựng đường dài tốt xây dựng cạnh Vì đồ thị có hữu hạn cạnh liên thơng nên q trình kết thúc tạo bao trùm Mỗi đỉnh mà đường kết thúc giai đoạn thuật toán có gốc Mỗi đỉnh đường đỉnh Tìm kiếm ưu tiên chiều sâu gọi thủ tục quay lui, quay lại đỉnh viếng thăm trước đường Ví dụ sau minh họa thủ tục quay lui Ví dụ 4.1 Dùng thuật tốn ưu tiên chiều sâu, tìm bao trùm đồ thị G hình 20 Giải: Các bước dùng thuật tốn tìm kiếm ưu tiên chiều sâu để xây dựng bao trùm G biểu thị hình 21 Chúng ta xuất phát từ đỉnh tùy ý, chẳng hạn đỉnh d Đường xây dựng cách ghép, nhiều tốt, cạnh liên thuộc với đỉnh cịn chưa thuộc đường Điều tạo đường d, c, a, b (lưu ý có đường khác xây dựng) Tiếp theo, lùi lại a Khơng có đường a chứa đỉnh chưa viếng thăm Vì lùi tới c, ta thấy khơng có đường c chứa đỉnh chưa viếng thăm Tiếp tục lùi d Từ d có đường d, e, h, i Ta lại lùi h xây dựng đường h, g, j Ta lại lùi g, xây dựng đường g, f Ta thấy tất đỉnh G viếng thăm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 Thủ tục xây dựng bao trùm G Các cạnh đồ thị tìm nhờ tìm kiếm ưu tiên chiều sâu gọi cạnh Các cạnh khác đồ thị nối với đỉnh trước sau Các cạnh gọi cạnh quay lui Trong thuật tốn tìm kiếm ưu tiên chiều sâu xây dựng bao trùm đồ thị G với đỉnh v1 , v2 cách lấy đỉnh v1 làm gốc Khởi tạo tập T có đỉnh Trong bước, thêm đỉnh vào T với cạnh từ đỉnh T tới đỉnh thăm dò từ đỉnh Chú ý kết thúc thuật toán T khơng chứa chu trình khơng có cạnh thêm vào mà nối với đỉnh có Tuy nhiên, T liên thơng xây dựng Vì G liên thơng, đỉnh G thăm ghép vào Từ suy T bao trùm G Ta có thuật tốn tìm kiếm ưu tiên chiều sâu sau: Thuật tốn: Tìm kiếm ưu tiên chiều sâu procedure DFS (G: đồ thị liên thông với đỉnh v1 , v2 , , ) T := chứa đỉnh v1 visit (v1 ) procedure visit (v: đỉnh G) for đỉnh w liền kề với v chưa có T begin thêm đỉnh w cạnh (v, w) vào T visit (w) end Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 4.2 Thuật tốn tìm kiếm ưu tiên chiều rộng Cho đồ thị G = (V, E) có chứa đỉnh s, thuật tốn tìm kiếm ưu tiên theo chiều rộng (BFS) tìm tất đỉnh đến từ s Nó tính tốn khoảng cách từ s đến đỉnh tới Nó đưa bao trùm G với gốc s có chứa tất đỉnh tới Với đỉnh v tới từ s, đường bao trùm từ s đến v tương ứng với "đường ngắn nhất" từ s đến v G, nghĩa là, đường chứa số lượng nhỏ cạnh Thuật tốn tìm kiếm ưu tiên theo chiều rộng tìm tất đỉnh khoảng cách k từ s trước tìm đỉnh khoảng cách k + Trong thuật toán này, sử dụng màu trắng, xám đen để tô màu cho đỉnh Tất đỉnh ban đầu tơ màu trắng, sau trở thành màu xám đen Một đỉnh tìm lần đầu, viếng thăm q trình tìm kiếm, khơng cịn màu trắng Các đỉnh màu xám đen đỉnh tìm Nếu (u, v) ∈ E u đỉnh màu đen v hai đỉnh màu xám đen, nghĩa tất đỉnh liền kề với đỉnh màu đen tìm Các đỉnh màu xám liền kề với số đỉnh màu trắng Điều giúp phân biệt đỉnh tìm đỉnh chưa tìm Thuật tốn tìm kiếm ưu tiên theo chiều rộng xây dựng bao trùm, ban đầu có đỉnh, gốc s Bất đỉnh màu trắng v phát trình quét danh sách kề đỉnh tìm u đỉnh v cạnh (u, v) thêm vào Chúng ta nói u cha v Trong thuật toán BFS đây, đầu vào đồ thị G = (V, E), màu đỉnh u ∈ V lưu biến color[u], cha u lưu biến π[u] Nếu u khơng có cha (ví dụ, u = s, u khơng tìm ra), π[u] = NIL, khoảng cách từ gốc s đến đỉnh u tính thuật toán lưu d[u] Thuật toán sử dụng hàng Q để Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 quản lí tập hợp đỉnh màu xám, Adj[u] tập đỉnh kề u Ta có thuật tốn tìm kiếm ưu tiên chiều rộng sau: Thuật tốn: Tìm kiếm ưu tiên chiều rộng procedure BFS (G, s) for đỉnh u ∈ V − {s} color[u] ← TRẮNG d[u] ← ∞ π[u] ← NIL color[s] ← XÁM d[s] ← π[s] ← NIL Q←∅ Thêm s vào Q 10 while Q = ∅ 11 Rút u khỏi (Q) 12 for v ∈ Adj[u] 13 if color[v]= TRẮNG 14 then color[v] ← XÁM 15 d[v] ← d[u] + 16 π[v] ← u 17 Thêm v vào Q 18 color[u] ← ĐEN Ví dụ 4.2 Dùng thuật tốn ưu tiên chiều rộng, tìm bao trùm đồ thị G hình 20 Các bước thực thuật tốn BFS để tìm bao trùm đồ thị hình 20 mơ tả hình 22 (gồm 11 bước) sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Dựa vào bước mơ tả hình 22, tìm bao trùm đồ thị G hình 20 sau: Như nói thuật tốn tìm kiếm ưu tiên chiều rộng tính khoảng từ gốc s đến đỉnh đồ thị G = (V, E) tới từ s Định nghĩa khoảng cách đường ngắn δ(s, v) từ s đến v số lượng nhỏ cạnh đường từ s đến v; khơng có đường từ s đến v δ(s, v) = ∞ Một đường có độ dài δ(s, v) gọi đường ngắn từ s đến v Chúng ta có số tính chất quan trọng khoảng cách đường ngắn sau: Bổ đề 4.1 Cho đồ thị G = (V, E), s đỉnh tùy ý Thì ,với cạnh (u, v) ∈ E ta có: δ(s, v) = δ(s, u) + Chứng minh: Nếu u đến từ s, sau v trường hợp đường ngắn từ s tới v dài đường ngắn từ s tới u cạnh (u, v), nghĩa δ(s, v) = δ(s, u) + Nếu u khơng thể đến từ s v đến từ s nên δ(s, u) = ∞, δ(s, v) = ∞ Vậy ta có điều phải chứng minh Bổ đề 4.2 Cho đồ thị G = (V, E), giả sử BFS chạy G từ gốc s ∈ V cho trước thuật toán kết thúc, với đỉnh v ∈ V , giá trị d[v] tính BFS thỏa mãn: d[v] δ(s, v) Chứng minh: Chúng ta chứng minh phương pháp quy nạp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 số phép toán "thêm vào" hàng Q Phương pháp quy nạp bắt đầu sau s thêm vào hàng Q dòng BFS Kết luận bổ đề với trường hợp này, vì, d[s] = = δ(s, s) d[v] = ∞ δ(s, v) với v ∈ V − {s} Xét đỉnh màu trắng v phát trình tìm kiếm từ đỉnh u Ta có giả thiết quy nạp là: d[u] δ(s, u) Từ dòng 15 bổ đề 4.1, ta có: d[v] = d[u] + δ(s, u) + δ(s, v) Đỉnh v thêm vào Q sau khơng thêm vào Q lần tơ màu xám câu lệnh Then dòng từ 14-17 thực với đỉnh màu trắng Do giá trị d[v] khơng thay đổi Vậy bổ đề chứng minh Bổ đề 4.3 Giả sử trình thực BFS đồ thị G = (V, E), hàng Q chứa đỉnh {v1 , v2 , , vr }, với v1 đứng đầu hàng Q, vr đứng cuối hàng Q Thì, d[vr ] d[v1 ] + d[vi ] d[vi+1 ], với i = 1, 2, , r − Chứng minh: Chúng ta chứng minh phương pháp quy nạp với số phép toán "thêm vào" "rút ra" hàng Q Hiển nhiên hàng Q chứa đỉnh s bổ đề ln Chúng ta phải chứng minh bổ đề sau hai phép toán "thêm vào" "rút ra" đỉnh Nếu v1 đứng đầu hàng Q rút hàng Q trở thành hàng Q gồm đỉnh {v2 , v3 , , vr }, nghĩa v2 vị trí đứng đầu (nếu Q trở thành rỗng bổ đề hiển nhiên đúng) Ta có d[v1 ] d[v2 ] Do đó: d[vr ] d[v1 ] + d[v2 ] + Vậy bổ đề với v2 vị trí đứng đầu Khi thêm vào đỉnh v dịng 17 BFS, trở thành vr+1 Khi loại bỏ đỉnh u từ hàng Q quét danh sách kề u v1 vị trí đứng đầu Ta có d[u] d[v1 ] Do đó: d[vr+1 ] = d[v] = d[u] + d[v1 ] + Với giả thiết quy nạp ta có: d[vr ] d[u] + Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 nên d[vr ] d[u] + = d[v] = d[vr+1 ] Do bổ đề v thêm vào Hệ 4.1 Giả sử vi vj thêm vào hàng Q trình thực BFS, vi thêm vào trước vj Thì, d[vi ] d[vj ], thời điểm vj thêm vào Chứng minh: Ta suy từ bổ đề 4.3 Định lí 4.1.: Cho đồ thị G = (V, E), giả sử BFS chạy G từ gốc s ∈ V cho Thì, trình thực hiện, BFS tìm tất đỉnh v ∈ V đến từ gốc s, kết thúc, d[v] = δ(s, v) với v ∈ V BFS tạo có bao trùm có gốc s, với đỉnh v, đường từ s đến v đường ngắn từ s đến v đồ thị G Chứng minh: Chúng ta sử dụng phương pháp phản chứng để chứng minh Giả sử tồn đỉnh v ∈ V cho d[v] = δ(s, v) Ta chọn đỉnh v với giá trị δ(s, v) nhỏ mà d[v] = δ(s, v), hiển nhiên v = s Theo bổ đề 4.2 d[v] δ(s, v), d[v] > δ(s, v) Đỉnh v phải tới từ s, không δ(s, v) = ∞ d[v] Cho u đỉnh đứng trước v đường ngắn từ s đến v, ta có: δ(s, v) = δ(s, u) + Vì δ(s, u) < δ(s, v), d[u] = δ(s, u) nên: d[v] > δ(s, v) = δ(s, u) + = d[u] + (4.1) Bây ta xét thời điểm BFS chọn rút u khỏi Q dịng 11 Khi đó, đỉnh v màu trắng, xám đen Chúng ta trường hợp có mâu thuẫn với bất đẳng thức (4.1) Nếu đỉnh v màu trắng dịng 15 ta có d[v] = d[u] + (mâu thuẫn với (4.1)) Nếu đỉnh v màu đen rút khỏi Q Từ hệ 4.1 ta có: d[v] d[u] (mâu thuẫn với (4.1)) Nếu đỉnh v màu xám tơ màu xám sau rút đỉnh w khỏi Q nên ta có: d[v] = d[w] + 1, w rút khỏi Q trước u, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 từ hệ 4.1 ta có: d[w] d[u] suy d[v] d[u] + (mâu thuẫn với (4.1)) Do kết luận d[v] = δ(s, v) với v ∈ V Tất đỉnh đến từ s phải tìm ra, khơng chúng có giá trị d vô hạn Để kết luận chứng minh định lí, quan sát π[v] = u d[v] = d[u] + Do đó, có đường ngắn từ s đến v cách lấy đường ngắn từ s đến π[v] sau qua cạnh (π[v], v) Kết luận: Trong chương luận văn trình bày hai thuật tốn để tìm bao trùm đồ thị vơ hướng, liên thơng: thuật tốn tìm kiếm ưu tiên chiều sâu, thuật tốn tìm kiếm ưu tiên chiều rộng đưa số tính chất thuật tốn tìm kiếm ưu tiên chiều rộng Chúng ta thấy sử dụng hai thuật tốn để tìm bao trùm đồ thị cho hai bao trùm khác Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 Kết luận Luận văn đề cập đến vấn đề sau: • Một số khái niệm đồ thị • Một số tính chất • Cây bao trùm đồ thị cơng thức tính số bao trùm đồ thị đầy đủ Kn • Sự tương ứng tập số bao trùm đồ thị đầy đủ n đỉnh đánh nhãn tập dãy s Pră ufer cú i n ã Một số thuật tốn tìm bao trùm đồ thị liên thơng, vơ hướng Mặc dù có cố gắng nỗ lực song hẳn đề tài khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn để luận văn hồn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Tài liệu tham khảo [1] Bang Ye Wu, Kun-Mao Chao, Spanning Trees and Optimization Problems, (2004), Chapman & Hall/CRC Press, USA [2] Cormen, Thomas H., Charles E Leiserson, Ronald L Rivest, and Clifford Stein, Introduction to Algorithms, 2nd ed Cambridge, MA: MIT Press ISBN: 0262032937 [3] Kenneth H Rosen, Discrete mathematics and its applications, Fifth edition, dịch Phạm Văn Thiều Đặng Hữu Thịnh "Toán học rời rạc ứng dụng Tin học", NXB Giáo dục, 1997 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... nghĩa 1.5 Đồ thị đồ thị G = (V, E) đồ thị H=(W, F), W ⊆ V F ⊆ E Ví dụ 1.5 Trong hình 9, đồ thị H đồ thị đồ thị G Định nghĩa 1.6 Hợp hai đơn đồ thị G1 = (V1 , E1 ) G2 = (V2 , E2 ) đơn đồ thị có tập... hợp đồ thị G1 G2 G1 ∪ G2 Ví dụ 1.6 Trong hình 10, đồ thị E hợp hai đồ thi G H 1.4 Tính liên thông đồ thị vô hướng Định nghĩa 1.7 Đường độ dài n từ u tới v, với n số nguyên không âm đồ thị vô hướng. .. Một đồ thị không liên thông hợp hai hay nhiều đồ thị liên thông, cặp đồ thị khơng có đỉnh chung Các đồ thị liên thông rời gọi thành phần liên thông đồ thị xét Ví dụ 1.8 Trong hình 12, đồ thị