Cấu trúc cây trong đồ thị vô hướng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH THỊ THANH GIANG CẤU TRÚC CÂY TRONG ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH THỊ THANH GIANG CẤU TRÚC CÂY TRONG ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TSKH. Phan Thị Hà Dương Thái Nguyên - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục Lời cảm ơn 3 Mở đầu 4 1 Một số khái niệm cơ bản về đồ thị 6 1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Một số đơn đồ thị đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Đồ thị đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Đồ thị vòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Đồ thị bánh xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4 Đồ thị hai phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.5 Đồ thị phân đôi đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Các đồ thị mới từ đồ thị cũ . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Tính liên thông trong đồ thị vô hướng . . . . . . . . . . 10 2 Cấu trúc cây 12 2.1 Định nghĩa cây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Các tính chất của cây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Cây bao trùm của đồ thị đầy đủ 15 3.1 Cây bao trùm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Cây bao trùm của đồ thị đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . 16 4 Một số thuật toán xây dựng cây bao trùm của đồ thị vô hướng liên thông 22 4.1 Thuật toán tìm kiếm ưu tiên chiều sâu . . . . . . . . . . 22 4.2 Thuật toán tìm kiếm ưu tiên chiều rộng . . . . . . . . . 25 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Lời cảm ơn Trong quá trình làm luận văn, tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ từ các thầy cô giáo cùng gia đình. Nhân dịp này cho phép tôi được bày tỏ những lời cảm ơn chân thành nhất tới những người đã giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới TS. Phan Thị Hà Dương - Viện Toán Học Việt Nam đã tận tình giảng dạy, chỉ bảo và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả các thầy cô giáo trong Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên và các thầy cô giáo Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã trực tiếp giảng dạy và trang bị cho tôi những kiến thức cơ bản trong suốt quá trình tôi học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn tới Sở GD - ĐT Tỉnh Hà Giang, Ban Giám Hiệu, các đồng nghiệp Trường THPT Đồng Yên - Bắc Quang - Hà Giang đã tạo điều kiện cho tôi học tập và hoàn thành kế hoạch học tâp. Những lời cảm ơn cuối cùng tôi gửi tới những người thân yêu nhất trong gia đình tôi đã giúp đỡ, chia sẻ, cũng như động viên tôi rất nhiều để tôi vượt qua khó khăn và đạt được những kết quả trong học tập và công tác như hiện nay. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Mở đầu Lí thuyết đồ thị là ngành khoa học được phát triển từ lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại. Những ý tưởng cơ bản của nó được đưa ra từ thế kỉ XVIII bởi nhà toán học Thụy sĩ tên là Leonhard Euler. Ông đã dùng đồ thị để giải quyết bài toán cầu K¨onigsberg nổi tiếng. Lí thuyết đồ thị được ứng dụng rất nhiều trong thực tế. Rất nhiều bài toán thuộc nhiều ứng dụng khác nhau được giải bằng mô hình đồ thị. Một loại đồ thị đặc biệt được gọi là cây. Khái niệm cây đã được dùng từ năm 1857, khi nhà toán học Anh, Arthur Cayley dùng cây để xác định những dạng khác nhau của hợp chất hóa học. Từ đó cây đã được dùng để giải nhiều bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Luận văn trình bày một số khái niệm cơ bản về đồ thị, cây và một số tính chất của cây, trình bày công thức tính số cây bao trùm của đồ thị đầy đủ n đỉnh được đánh nhãn và một số thuật toán tìm cây bao trùm của đồ thị. Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm 4 chương. Chương 1 Một số khái niệm cơ bản về đồ thị Chương này trình bày một số khái niệm cơ bản về đồ thị và các ví dụ minh họa. Chương 2 Cấu trúc cây Chương này trình bày định nghĩa cây và các tính chất của cây. Chương 3 Cây bao trùm của đồ thị đầy đủ Chương này trình bày về cây bao trùm của đồ thị, cây bao trùm của đồ thị đầy đủ, công thức tính số cây bao trùm của đồ thị đầy đủ, thuật toán mã hóa Pr¨ufer và thuật toán giải mã Pr¨ufer. Chương 4 Một số thuật toán xây dựng cây bao trùm của đồ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 thị vô hướng liên thông Chương này trình bày về hai thuật toán tìm cây bao trùm của đồ thị: Thuật toán tìm kiếm ưu tiên chiều sâu và thuật toán tìm kiếm ưu tiên chiều rộng. Thái Nguyên, tháng 09 năm 2011. Người thực hiện Trịnh Thị Thanh Giang Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Chương 1 Một số khái niệm cơ bản về đồ thị Ta hiểu Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh đó. Người ta phân loại đồ thị tùy theo đặc tính và số các cạnh nối các cặp đỉnh của đồ thị. Trong chương này chúng tôi chỉ đưa ra các khái niệm về đồ thị vô hướng và các ví dụ minh họa. Chương này gồm bốn mục: Trong mục 1.1, chúng tôi trình bày một số định nghĩa về đồ thị vô hướng. Mục 1.2 trình bày một số đơn đồ thị đặc biệt. Mục 1.3 trình bày về các đồ thị mới từ đồ thị cũ. Mục 1.4 trình bày về tính liên thông trong đồ thị vô hướng. Các kiến thức trong chương này được tham khảo từ chương 8 trong sách [1]. 1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1. Một đơn đồ thị G = (V, E) gồm một tập không rỗng V là tập các đỉnh và một tập E là tập các cạnh, đó là các cặp không sắp thứ tự của các đỉnh phân biệt. Ví dụ 1.1. Đồ thị trong hình 1 là một đơn đồ thị. Định nghĩa 1.2. Một đa đồ thị G=(V, E) gồm một tập các đỉnh V, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 một tập các cạnh E và một hàm f từ E tới {{u, v}|u, v ∈ V , u = v}. Các cạnh e 1 và e 2 được gọi là cạnh song song hay cạnh bội nếu f (e 1 ) = f (e 2 ). Ví dụ 1.2. Đồ thị trong hình 2 là một đa đồ thị. Đinh nghĩa 1.3. Hai đỉnh u và v trong một đồ thị vô hướng G được gọi là liền kề (hay láng giềng) nếu {u, v} là một cạnh của G. Nếu e = {u, v } thì e gọi là cạnh liên thuộc với các đỉnh u và v. Cạnh e cũng được gọi là cạnh nối các đỉnh u và v. Các đỉnh u và v được gọi là các điểm đầu mút của cạnh {u, v }. Định nghĩa 1.4. Bậc của một đỉnh trong đồ thị vô hướng là số các cạnh liên thuộc với nó, riêng khuyên tại một đỉnh được tính hai lần cho bậc của nó. Người ta kí hiệu bậc của đỉnh v là deg(v). Ví dụ 1.3. Trong hình 3, deg(a) = 0, deg(b) = 3, deg(c) = 5, deg(d) = 3, deg(e) = 3, deg(f) = 2. 1.2 Một số đơn đồ thị đặc biệt 1.2.1 Đồ thị đầy đủ Đồ thị đầy đủ n đỉnh, kí hiệu là K n , là một đơn đồ thị chứa đúng một cạnh nối mỗi cặp đỉnh phân biệt. Các đồ thị K n với n=1, 2, 3, 4, 5 được biểu diễn trên hình 4. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 1.2.2 Đồ thị vòng Đồ thị vòng C n , n  3, là một đồ thị có n đỉnh v 1 , v 2 , , v n và các cạnh {v 1 , v 2 }, {v 2 , v 3 }, , {v n−1 , v n } và {v n , v 1 }. Các vòng C 3 , C 4 , C 5 , C 6 biểu diễn trên hình 5. 1.2.3 Đồ thị bánh xe Khi thêm một đỉnh vào vòng C n , với n  3 và nối đỉnh này với mỗi một trong n đỉnh của C n bằng những cạnh mới, ta sẽ nhận được đồ thị hình bánh xe W n . Các đồ thị hình bánh xe W 3 , W 4 , W 5 , W 6 được biểu diễn trên hình 6. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... các tính chất của cây và chứng minh các tính chất đó Các kiến thức trong chương này được tham khảo từ chương 9 trong sách [1] 2.1 Định nghĩa cây Cây là một đồ thị vô hướng, liên thông và không có chu trình Ví dụ 2.1 Trong hình 13, G là một cây vì G liên thông và không có chu trình, H không là một cây vì H chứa chu trình đơn, ví dụ như chu trình 1, 7, 2, 6, 1 2.2 Các tính chất của cây Định lí 2.1 Cho... đủ Chương này bao gồm hai mục: Trong mục 3.1, chúng tôi trình bày định nghĩa cây bao trùm Mục 3.2 trình bày về cây bao trùm và công thức tính số cây bao trùm của đồ thị đầy đủ được gán nhãn, thuật toán mã hóa Pr¨fer và giải mã Pr¨fer Các kiến thức trong chương này được u u tham khảo từ [1] và [3] 3.1 Cây bao trùm Định nghĩa 3.1 Cho G là một đồ thị Một cây được gọi là cây bao trùm của G nếu nó là một... thuật toán tìm kiếm ưu tiên chiều rộng Các kiến thức trong chương này được tham khảo từ chương 9 trong sách [1] và chương 22 trong sách [2] 4.1 Thuật toán tìm kiếm ưu tiên chiều sâu Ta sẽ xây dựng cây bao trùm của một đồ thị liên thông bằng phương pháp tìm kiếm ưu tiên chiều sâu Nghĩa là sẽ tạo một cây có gốc và cây bao trùm sẽ là đồ thị vô hướng nền của cây có gốc này Chọn tùy ý một đỉnh của đồ thị làm... dựng được cây bao trùm của G Các cạnh của đồ thị tìm được nhờ tìm kiếm ưu tiên chiều sâu gọi là các cạnh của cây Các cạnh khác của đồ thị có thể nối với đỉnh trước hoặc sau nó trong cây Các cạnh này gọi là các cạnh quay lui Trong thuật toán tìm kiếm ưu tiên chiều sâu chúng ta xây dựng cây bao trùm của đồ thị G với các đỉnh v1 , v2 vn bằng cách lấy đỉnh v1 làm gốc của cây Khởi tạo tập T là cây chỉ có... dựng một cây bao trùm, ban đầu chỉ có một đỉnh, đó là gốc s Bất cứ khi nào một đỉnh màu trắng v được phát hiện trong quá trình quét các danh sách kề của một đỉnh đã được tìm ra u thì đỉnh v và cạnh (u, v) được thêm vào cây Chúng ta nói rằng u là cha của v trong cây Trong thuật toán BFS dưới đây, đầu vào là đồ thị G = (V, E), màu của mỗi đỉnh u ∈ V được lưu trong biến color[u], cha của u được lưu trong. .. đỉnh này Trong mỗi bước, thêm một đỉnh mới vào cây T cùng với cạnh đi ra từ đỉnh của T tới đỉnh mới và chúng ta thăm dò từ đỉnh này Chú ý rằng khi kết thúc thuật toán T không chứa chu trình vì không có cạnh được thêm vào mà nó nối với đỉnh đã có trong cây Tuy nhiên, T vẫn là liên thông như nó được xây dựng Vì G là liên thông, mọi đỉnh trong G đều được thăm và ghép vào cây Từ đó suy ra T là cây bao trùm... Ví dụ 1.8 Trong hình 12, đồ thị H không liên thông, là hợp của ba đồ thị con liên thông rời nhau H1, H2, H3 Ba đồ thị con này là ba thành phần liên thông của H Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 Chương 2 Cấu trúc cây Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa cây và các tính chất của cây Chương gồm hai mục: Trong mục 2.1 là định nghĩa về cây và ví... này sau một số bước cho đến khi cây còn lại hai đỉnh Trong ví dụ này, đỉnh 6 và 9 là hai đỉnh còn lại Ta được dãy số Pr¨fer u tương ứng với cây trong hình 17 là P = (3, 4, 3, 6, 4, 6, 6) Có thể thấy rằng các cây bao trùm khác nhau của đồ thị đầy đủ Kn được gán nhãn xác định các dãy số Pr¨fer khác nhau Thuật toán giải u mã Pr¨ fer đưa ra thuật toán ngược lại Nó tìm được cây T với n đỉnh u được gán nhãn... v nào của T đều xuất hiện deg(v) − 1 lần trong dãy (p1 , p2 , , pn−2 ), với deg(v) là bậc của đỉnh v Do đó các đỉnh bậc một trong T không xuất Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 19 hiện trong P Để xây dựng lại cây T từ dãy (p1 , p2 , , pn−2 ) ta làm như sau: Cho V là tập các nhãn đỉnh của cây T , V = {1, 2, 3, , n} Trong lần lặp thứ i của vòng lặp, P = (pi... toán đó để tìm cây bao trùm của cùng một đồ thị thì cho ra hai cây bao trùm khác nhau Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 Kết luận Luận văn đã đề cập đến các vấn đề sau: • Một số khái niệm cơ bản của đồ thị • Một số tính chất của cây • Cây bao trùm của đồ thị và công thức tính số cây bao trùm của đồ thị đầy đủ Kn • Sự tương ứng giữa tập số cây bao trùm của . họa. Chương 2 Cấu trúc cây Chương này trình bày định nghĩa cây và các tính chất của cây. Chương 3 Cây bao trùm của đồ thị đầy đủ Chương này trình bày về cây bao trùm của đồ thị, cây bao trùm của đồ. http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 Chương 2 Cấu trúc cây Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa cây và các tính chất của cây. Chương gồm hai mục: Trong mục 2.1 là định nghĩa về cây và ví dụ minh họa. Mục 2.2. bày các tính chất của cây và chứng minh các tính chất đó. Các kiến thức trong chương này được tham khảo từ chương 9 trong sách [1]. 2.1 Định nghĩa cây Cây là một đồ thị vô hướng, liên thông và