ÁÀ ÌÊ Ỉ ÌÀ Á Ỉ Í ỉỈ ÁÀ ầ ẩ ẻởè ý ậ ẻ ặ ầ ấ ặ ẻ ặ è è ậợ èầ ặ ặ íũề ắẳẵ èấ Ỉ ÌÀ Á Ỉ Í ỉỈ ÁÀ ÃÀÇ À ÈÀ ẻởè ý ậ ẻ ặ ầ ấ íũề ề ề ẩ ặ ẩ ẩ èầ ặ ậ ì ẳ ẳẵẵ ặ ẻ ặ è ặ ậợ èầ ặ ặ ặ ầ ậèậ ầ è ặ íũề ắẳẵ È Å Ð Å Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ä Ø ÙÝ ề ẹể é ệ ẵẵ ì ề ễ ì Ô (ω1, ω2) º º º º º º º ẵắ ì ềìỉ ề ỉ ụề g2, g3 ẵ ặ ẹ ĐĨ ÙÐ Ư º º º º º º º º º º º º º º º º º ẵẵ ề ề ỳ ẵắ úề ề Ị Đ ĐĨ ÙÐ Ưº º º º º º ½º À Đ ĐĨ ÙÐ Ư º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º à Ị Ị Ị ĐĨ ÙÐ Ư º º º º º º º º º º ½º º½ à Ị ưĐ Ú ửẹ ẹ ẹể é ẵ ắ ì ề ĐĨ ÙÐ Ư º º º º º º º ắ ỉì ề ề ỉệểề ì ºº ºº ºº ºº ºº ºº ºº Öº ºº º º º º º º º º º º º ắẵ ì ệềểéé Bk Ú Đ Þ Ø Ê Đ Ị ζ(s) º º º º º ¾º¾ À Đ σ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¿ À Đ τ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ắẵ ỉệ ửề ểệ ệ ữỉ ỉ = g23 27g32 ắ ú ÜÙ Ø Đ Ø × Ø Ơ× º º º º º º º º º º º º º º à ÐÙ Ị º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Ð ÷Ù Ø Đ Ĩ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ắ ẵẳ ẵ ẵ ½ ¾½ ¾ ¾ ¾ ¿ ¿ ½ ¿ Ä ặỵ ậ é ẹ ề ỉể ề ĩ ỉ ữề ì ẹ ề ỉ ỉể ề ẻ Ø Ị Ị ịỊ Ù û Ð × Ị ÙÝịỊ¸ Ị Ị Ð Ư Ø Ị óÙ Ø Ùݸ ØĨ Ị Ú Ị Ð º ÌƯĨỊ Ị ØỊ ØøĐ ơĐ Ð ĨỊ Ị ØĨ Ị ¸ Ị óÙ Ð Ø ÙÝ Đ ØĨ Ị Ị Ý × Ị ¸ Ø Ý ØĨ Ị Ị Ị Ị Ơ ỉ ỉệ ửề ặ í ề íá ì ề óÙ Ị Ị ÕÙ Ị ØƯ Ị ØƯĨỊ Ù × ề ữỉ ỉệểề ỉ ề ú ữ ẹ Ú Ĩ Đ Ø Ø Ị Ø Ịº Ị Ú Ị Ị ơỊ Ø Ơ Ø Ị ¸ Ø ø Ð Ø ÙÝ Úó Ị ÅĨ ÙÐ Ư Ơ Ø ịĐ Đ Ø Ị Ù ÷Ù Ị ịỊ Ù × º Ị ÅĨ ÙÐ Ư Ð Đ Ø Ị Ị ịỊ Ù ÕÙ Ị ØƯ Ị × ¸ øỊ × Ú Ị óÙ Ị Ị ØĨ Ị º Å Ø × Ị Ị Ð Ø ÙÝ Ị ÅĨ ÙÐ Ư Ø Ị Ị Ị ịỊ Ù Đ × º Ị ÐÙ Ị Ú Ị Ị Ý ØỊ Ý Ị Ị ÕÙ Ị Úó Ð Ø ÙÝ Ị ÅĨ ÙÐ Ư Ú ẹ ỉ ì ề ề ỉệểề ì ặ ể Ơ Ị Đ Ù¸ Ơ Ị ÐÙ Ị¸ ÐÙ Ị Ú Ị Đ Ị Ị ½º Ä Ø ÙÝ Ị ÅĨ ÙÐ Ư º Ị Ị Ý ỉệứề í ề ề ề ề ỳá ề ữẹ ÕÙ Ị Úó Ð Ø ÙÝ Ị ÅĨ é ệ ề ặ ẹ ể é ệá ẹ ể ÙÐ Ư¸ Ị Ị Ị ÅĨ ÙÐ Ưº Å Ø × ơỊ Ø ØƯ Ị Ä × Ị Ơ× Ơ (ω1, ω2), Ù × Ị×Ø Ị Ú Ø ơỊ g1, g2 ề é ẵ ắ ẵ ề ữ ế ề ề ắ ỉ × Ị Ị ØƯĨỊ × º Ị Ị Ý ØỊ Ý Đ Ø × Ị Ị Ð Ø ÙÝ ề ể é ệ ỉệểề ì ặ ể Ị Ø Úó × óÙ Đ Ø Ø ỉệ ửề ẹ E ụề ẹ ỉ ì ÷ Ø Đ E Ỵ ØƯ ưỊ ĨÙƯ Ư Gk , Ị Ú Ị Ị ơỊ Ø ØƯĨỊ Ị ẵá ỉ ụỉ é ễ ẹ ỉ ì ữ ỉ ề ề ỉ é ũề ữ ẹ ì (2k), δk(n), τ (n) Ì Ơ Ị Ơ Ơ × Ị Ø Đ Ø Ð Ơ Ø Ơ × º Å Ù ¿ Ì Ü Ị Ý Ø Ð Ị ùỊ ØƯ Ị Ú Ị Ị Ø Ị ơỊ Ị Ø Ý¸ Ị Ị Ị Ĩ ˺ ÌËÃÀ À ÀÙÝ ể ú ì ễ ểá ỷ ể ỉ Ị Ø Đ Ø Ý ØƯĨỊ ×Ù Ø ÕÙ ØỊ Ĩ Ị Ø Ị Ị ÐÙ Ị Ú Ịº ÌƯĨỊ ×Ù Ø ÕÙ ØỊ Ø Ơ¸ Ị ịỊ Ù Ú Ĩ Ị Ø Ị Ị ÐÙ Ị Ú Ị¸ Ø Ị Ị × ÕÙ Ị Ø Đ Ơ Ø Ý¸ Ĩ¸ Ị Ị Ị Ú ịỊ È Ị Ĩ ỉ ể ì ế ề ữ ế ỉụá ỉệ ề ể è ặ íũề è ĩ ề Ị Ø Ị Đ Ị À ØƯ Ị ÌÀÈÌ Ì ữ è ề èựềá ỉ ỉể ề ỉệ ề èẩè è ữ è ề èựềá Ị Ú ịỊ Ð Ơ Ĩ ÌĨ Ị à ØƯ ề ể è ặ íũềá ề ề ề ề ÷Ơ Ø Ĩ Ị Ị óÙ ÷Ị Ø Ù Ị Ð Úó Ú Ø Ø Ð Ị Ø Ị Ø Ị Ơ Ø Ĩ Ị Ø Ị Ú Ị ÐÙ Ò Ú Ò Ò Ýº Ì Ü Ò Ý Ø Ð Ị Ị Ø Đđ¸ Ị Ị Ị Ø Ị ØƯĨỊ øỊ Ø Ị Ø Ị ¸ Ơ ¸ Ị Ú ịỊ Ø ØƯĨỊ ×Ù Ø ÕÙ ØỊ Ø Ơº Å Ị Ư Ø Ị óÙ Ị Ị Ị ÐÙ Ị Ú Ị Ú Ị ØƯ Ị Ị Ị ơĐ Ùݺ Ì ĐĨỊ ĐÙ Ị Ị Ị Ị Ị Ị Ị Ü Ø¸ Ơ Ø Ý¸ Ĩ Ú Ị Ị Ị ÷Ơ Ị ÙỊ Ị ÐÙ Ị Ú Ị Ị Ý Ĩ Ị Ø ÷Ị Ịº Ì Ü Ị Ị Ø Ị Đ Ịº Ì Ỉ íũềá ề í ẵẵ ỉ ề è ẩ ẹ ẻ ữỉ ề ẹ ắẳẵ ề ẵ ỉ íụỉ ề ẹể é ệ ẵẵ ìề ề ề ỳ ẵẵẵ ễ ì ễ (1, 2) ì 1á Ð × Ơ × Ĩ Ĩ ω1/ω2 Ị Ơ Ð × Ø º Ì Ơ Đ Ø Ø Ø Ơ ØÙÝơỊ ØùỊ nω1 + mω2 ¸ ØƯĨỊ m, n é ì ề íũềá é é ìề Ú ω2º Ãù ÷Ù Ð Ω (ω1, ω2)º Ị Ị ỳ ẵẵắ ễ ì ễ (1, 2) 1, ω2 ¸ ØƯĨỊ ω1/ω2 Ú ω1 /ω2 Ị Ơ Ð × Ø ¸ Ð Ø Ị Ị Ị Ù Ị Ị × Ị Ư Ị Đ Ø Ð Ø Ð Ω (ω1, ω2) = Ω ω1, ω2 º Å÷Ị ó ½º½º¿º À Ơ (ω1, ω2) Ú (ω1, ω2) Ø Ị Ị Ị Ù Ú û Ø Ị Ø Đ ØƯ ề ì ac db ễ Ị Ø Ị ÙÝịỊ Ø Đ Ị ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ad − bc = ±1, × Ĩ Ĩ ′ ω2 ′ ω1 Ø Ð Ị ÑÒ º = a b c d ω2 ω1 , ′ × ω2 = aω2 + bω1 ′ ω1 = cω2 + dω1 Ô (ω1, ω2) Ú ′ ′ (ω1, ω2) ′ Ø Ò Ò ºÃ ′ Ω (ω1, ω2) = Ω ω1 , ω2 Ì Ĩ Ị ề ỳ ỉ ề ỉ ì ề íũề a, b, c, d, a′, b′, c′, d′ Ø ′ ω2 = aω2 + bω1 ′ ω1 = cω2 + d1 ẹề ẵẵ ìề ễ ì ễ (1, 2) ÝÐ ′ ω2 ′ ω1 = ω2 ω1 a b = ′ ′ c d Ì Ị Ø Ø Ị Ì ′ ω2 ω1 ′ ′ ω2 ′ ω1 Ø ′ ω2 ′ ω1 Ì a b c d ØA= Ò a b = c d ω2 ω1 ′ ′ a b , A = c d a b = c d ′ ′ a b , X = A.A = ′ ′ c d ′ ′ Ỵø ω1/ω2 Ị Ơ ′ ′ ′ ω2 ′ ω1 x y z t , ẵẵà ẵà ω1 Ò ú Ð ′ a b ′ ′ c d ω2 =X ′ ω1 ′ ′ ω2 = xω2 + yω1 ′ ′ ′ ⇔ ω1 = zω2 + tω1 ′ ω2 (1 − x) = yω1 ′ ′ (1 t) = z2 é ì ỉ ềũề ắà ĩ í ệ ẵắà ỷ x=t=1 ⇒ X = = A.A , y=z=0 ×ÙÝ Ư det A = ±1 ´ Ĩ a, b, c, d, a′, b′, c′, d′ Ð × ề íũềà ặ é ềụ ỉ ề ỉ ẹ ØƯ Ị 2×2, ac db Ú Ơ Ị Ø Ð × Ị ÙÝịỊ Ø Đ Ị ad − bc = ì ể ể = a2 + bω1 , ′ ω1 = cω2 + dω1 Ø øƯ Ư Ị Å÷Ị Ơ (ω1, ω2) Ú (ω1 , 2) é ỉ ề ề ú ẵẵ ì Ð × Ø Ú Ĩ Ω = Ω(ω1, ω2)º à ′ ′ ωα ω∈Ω,ω=0 Ø ØÙÝ÷Ø Ú û α > ẵẵ ìề ễ ì ễ (1, ω2) ÀøỊ ½º½ Ị Đ Ị º Ø øỊ øÒ Ò ûÒ Ð ω1 ± ω2, −ω1 ± ω2 RÚ rÐ Ĩ Ị ¸ Ø Ø O ơỊ ịỊ øỊ øỊ Ị º Ỉ ω = 0¸ Ð Đ Ø ØƯĨỊ Ø Ơ ØÙÝơỊ ØùỊ ω1 Ú ω2 ØƯịỊ øỊ øỊ Ị Ø ø r ≤ |ω| ≤ R ÌƯĨỊ øỊ øỊ Ị Ị ỉ ẹ ỉ ụễ ỉ ểá ỉ ẵ ỉ Ú ω2 Ø Đ Ị Ø Ị Ø Ơ ØÙÝơỊ ØùỊ 2r ≤ |ω| ≤ 2R Ì Ị Ø ¸ ¾ Ø Ờ ĐỊ Ø Ị Ø 3r ≤ |ω| ≤ 3R ØØ Ị S(n) = Ð Ý ØƯịỊ 8(1 + + + + n) Ø n + + + α Rα (2R) (nR)α ÝÐ α R n k=1 k α−1 Ơ , ωα ¼ Ị º Ì ≤ S(n) ≤ ≤ S(n) ≤ α r n + + + α rα (2r) (nr)α n k=1 k α−1 , ½º½ Ä ×Ị Ơ × Ơ (ω1, ω2) Ø Ị Ư ịỊ S (n) Ø Ý × Ị Đ α ζ (α − 1) Ú R 1 α ζ (α − 1) , Ị ØƯịỊ rα ζ (α − 1) , Ø Ị α > Ỉ Ị r Đ Ø Ø Ị Ư ịỊ × Ị Đ Ĩ ỴÝ Ù Ĩ ζ (α − 1) Rα Ø Ú ζ (α − 1) rα Ị α > ĨØ Ø Ý Ù Ơ Ị α ≤ ó ½º½º º Î α > 2, R > 0, Ù |ω|>R (z − ω)α Ø ØÙÝ÷Ø Ú óÙ ØƯĨỊ ú |z| ≤ R Ị ĐỊ º Ì × ûƯ Ư Ị Ø ỊØ Ị × Ĩ Ị α ≥ Ø ứ ỉ M ễ ỉ R, ì ể M , |z | || ẵà Ú Ñ |ω| ≥ R, Ú Ú Ñ z Ø ẹ ề |z| R ẵẵ ỉ ú ễ ề ẹ ề ỉ ề ỉ ẵà ỉ Ò Ò Ú z−ω ω α ≥ ö Ü Ò M, Ø Ü Ø Ñ Ù ω Ú Ø Ñ ề ề ỉá ề ề ỉ ể ẹữề ú M Ị ØƯĨỊ × |ω| > R |ω| = R + d, d > à Ị |z| ≤ R Ú |ω| ≥ R + d, Ø øØ z−ω z R z = 1− ≥1− ≥1− ω ω ω R+d Ó z−ω ω α R ≥ 1− R+d = M ễ ề ẵắ ì ềìỉ ề ỉ ụề g2, g3 ẻí ỉứ ú ẵắ ì ềìỉ ề ỉ ụề g2, g3 k Ị ÙÝịỊ¸ k ≥ 2, Ù Gk = Ü Ị , Ị ĐỊ º Ị Ị ỳ ẵắẵ ẻ R M = R+d é Ù ω 2k ω=0 × Ị×Ø Ị Ơ º Ø ơỊ g2,g3 Ð Ù g2 = 60G2, g3 = 140G3 ề ề ỳ ẵắắ ữỉ ỉ Ð Ø Ü Ị ∆ = g23 − 27g32 Ỉ Ị Ü Ø Ì Ü Đ Ø ơỊ g2, g3 Ú ω1, ω2 Ú Ú ÷Ø Ø ∆ Ị Ð Đ g2 = g2 (ω1 , ω2) , g3 = g3 (ω1 , ω2) , ∆ = ∆ (ω1, ω2) Ù × Ị×Ø Ị û Ư Ư Ị ¸ Đ g2, g3 Ð ẹ ỉ ề ề ỉ ỊịỊ Ú Đ λ = Ø g2 (λω1 , λω2) = λ−4 g2 (ω1, ω2) , g3 (λω1 , λω2) = λ−6 g3 (ω1, ω2) , ỊịỊ ỴÝ∆Ð ĐØ ∆ (λω1 , λω2) = λ−12∆ (ω1 , ω2) ề ề ỉ ạẵắ í = g2 (1, z) = ω1 g2 (ω1, ω2) , g3 (1, z) = ω1 g3 (ω1, ω2) , Ø z = ωω2 , Ø ¾º¾ ẹ ẳ ữề ú ắắ ể k (n) = µ σ7 (n) = σ3 (n) + 120 Ø dk , d|n n−1 m=1 σ3 (m)σ3 (n − m) µ 11σ9 (n) = 21σ5 (n) − 10σ3 (n) + 5040 n−1 σ3 (m)σ5 (n − m) m=1 Ị ĐỊ º Ì M4, M5 Ð Ị ĐĨ ÙÐ Ư ÐỊ Ð Ø ØƯ Ị × Ð ẵẳ M4, M5 ề ì ú é ẵ × ÐÒ Ð Ø Ð G4 Ú G5 Å Ø Mk × Ð Ị Ø Gα2 Gβ3 Ú 2α + 3β = k, α, β Ị ÙÝịỊ Ị Đ ỊịỊ Ø k = 4, ⇒ α = 2, β = ⇒ E4 = λE22 k = 5, ⇒ α = β = ⇒ E5 = γE2.E3 è ú ữề ề è E4 = E22, ÷× Ø Ĩ óÙ Ð Ek ∞ σ7 (n) q n = σ3 (n) q n + 240 n=1 n=1 ∞ = + 240 σ3 (n) q n ∞ n=1 ∞ ∞ n σ3 (n) q σ7 (n) q = 240 n ∞ n=1 ∞ ∞ n σ3 (n) q σ7 (n) q = 120 ỉ ứ ữì n qk ụ ỉệ Ð ∞ σ3 (n) q n + n=1 n=1 n=1 σ3 (n) q n + 2.240 n=1 n=1 1≤k≤n σ3 (n) q n + 2.240 n=1 à ∞ ⇒ + 480 ⇔ 480 ⇒ λ = γ = σ7 (n) , Ị Úơ Ơ Ð σ3 (k) + 120 [σ3 (1) σ3 (k − 1) + σ3 (2) σ3 (k − 2) + + σ3 (k − 1) σ3 (1)] k−1 = σ3 (k) + 120 Ó Ø ØÙ σ3 (m) σ3 (k − m) m=1 n−1 σ7 (n) = σ3 (n) + 120 σ3 (m) σ3 (n − m) m=1 ¾º¾ À ẹ àè ẵ E5 = E2.E3, n ⇒ 1−246 σ9 (n) q = + 240 n=1 σ3 (n) q n=1 ∞ n n=1 ∞ n σ9 (n) q = 21 σ3 (n) q n σ5 (n) q − 10 n=1 n=1 ∞ ∞ + 5040 σ3 (n) q n=1 ậể ì ề ữ ì qk ụ Ú σ5 (n) q n − 504 n=1 ∞ ⇔ 11 ∞ n 1≤k≤n n σ5 (n) q n n=1 Ø ôØ ÕÙ n−1 11σ9 (n) = 21σ5 (n) − 10σ3 (n) + 5040 σ3 (m)σ5 (n − m) m=1 Å÷Ị ó Ị Đ Ị º è ẹữề ú ỉệũề ỉ ẻ E22 = E4, E2.E3 = E5 σ7(n) − σ3(n) = 0(mod120) 11σ9(n) − 21σ3(n) + 103(n) = 0(mod5040) ữề ú ắắ ể k (n) = Ø dk , d|n n−1 i)91σ11(n) = 441σ3(n) − 700σ5(n) + 720.147 n−1 1800.49 n−2 σ5(m)σ5(n−m)+57600.147 m=1 σ3(m)σ3(n − m)+ m=1 n−m−1 σ3(m) m=1 σ3(t)σ5(n−m−t) t=1 n−1 ii)91σ11(n)+147σ3(n)+294σ7(n)−350σ5(n)+441.160 σ3(m)σ7(n−m)+ m=1 n−1 441.200 σ5 (m)σ5(n − m) m=1 ¾º¾ ẹ ắ ề ẹ ề è Ư Ị 2α + 3β = 6, ×ÙÝ Ư M6 × Ð ỊØ Gα2 Gβ3 Ú (α, β) ∈ {(3, 0), (0, 3)} ÅØ Ö dimM6 = ềũề {E23, E32} é ì ậể ì ề ữ ì ỉ ể ì ế ắà ể ỉ ể E6 ∈ M6, ×ÙÝ M6 M6 = α1 E23 + 1E32 ụ ắà ỉ + = ËĨ × Ị α1 = 441/691, β1 = 250/691 à ỉệ ửề ắà 65520 441 1+ 11(n)q n = 691 n=1 691 ắà ữ 3(n)q n + 240 n=1 ỉệ ửềá ệ ỉ ềá ìể × Ị ÷ × Ø ∞ 250 + 691 σ5(n)q n − 504 n=1 Úơ Ị Ø ØƯịỊ qk , ≤ k ≤ n n−1 91σ11(n) = 441σ3(n) − 700σ5(n) + 720.147 σ3(m)σ3(n − m)+ m=1 n−1 1800.49 n−2 σ5(m)σ5(n−m)+57600.147 m=1 µ Ì Ý E22 = E4 ể ắà ỉ nm1 3(m) m=1 3(t)5(nmt) t=1 E6 = α1 E2.E4 + β1 E32 ËÙÝ Ö ∞ 65520 441 1+ σ11(n)q n = 691 n=1 691 ∞ + 240 ∞ σ3 (n)q n n=1 250 + 691 σ7(n)q n + 480 n=1 ∞ − 504 σ5(n)q n=1 n ¾º¾ À Đ ẻ k n ữ ì ữ ì qk ụ ễ é 441 691 65520 11(k) 691 Úơ ØƯ Ð qk k−1 240σ3(k) + 480σ7(k) + 240.480 σ3(m)σ7(k − m) + m=1 250 691 k−1 504 σ5 (m)σ5(k − m) − 2.504σ5(k) m=1 Ì Ý k = n, Ø Ò Ý n−1 91σ11(n) = 147σ3(n)+294σ7(n)−350σ5(n)+441.160 σ3(m)σ7(n−m)+ m=1 n−1 441.200 Å÷Ị ó Å÷Ị σ5(m)σ5(n − m) m=1 Ị ĐỊ º ó ¾º¾º º Ĩ σk (n) = Ø dk , d|n n−1 i)σ13(n) = 21σ5(n) − 20σ3(n) + 10080 m=1 n−2 n−1 480 σ3(m)σ3(n − m) + 12096.100 m=1 m=1 µ σ13(n) = 11σ9(n) − 10σ3(n) + 2640 Ị ĐỊ º Ì Đ÷Ị ó ắ ỉ ú ữề ề dimM7 = 1, n−m−1 σ5(m) µ σ13(n) = 21σ5(n) − 20σ7(n) + 10080 Ì σ3 (m)σ5(n − m)− ×ÙÝ Ư t=1 n−1 σ3(m)σ7(n − m) m=1 n−1 m=1 σ3(m)σ9(n − m) M7 = CG7 E7 = E22.E3 ữì ỉ ể 3(t)5(n m − t) Ek E7 = E22.E3 Ä Ô ÐÙ Ị Ø Ị Ø óÙ Ð ½ ⇒ γ = 1, ìí ệ ắ ắắ ẹ è ữ ỉ ắ ể ỉ n − 24 σ13(n)q = + 240 n=1 Ỵ ∞ σ3(n)q ∞ n n=1 ≤ k ≤ n, ìể ì ề ữ ì 5(n)q n − 504 n=1 Úô qk k−1 −24σ13(k) = 480σ3(k) − 504σ5(k) − 504.480 σ3(m)σ5(k − m)+ m=1 k−1 240 n−m−1 k−2 σ3(m)σ3(k − m) − 504.240 m=1 Ó k = n, Ø σ5 (m) m=1 σ3(t)σ3(n − m − t) t=1 n−1 σ13(n) = 21σ5(n) − 20σ7(n) + 10080 σ3(m)σ7(n − m) m=1 n−1 −480 n−2 σ3(m)σ3(n−m)+12096.100 m=1 n−m−1 σ5(m) m=1 σ3(t)σ5(n−m−t) t=1 µ Ì Ý E22 = E4 ể ữ ỉ ắ E7 = E3.E4, ∞ ∞ n − 24 ØƯ ưỊ Ø σ13(n)q = − 504 n=1 ∞ σ5(n)q n n=1 ỉệ ửềá ệ ỉ ềá ìể ì ề ÷ × Ø ØÙ σ7(n)q n + 480 n=1 Úơ Ị Ø ØƯịỊ¸ Ĩ k = n qk n−1 σ13(n) = 21σ5(n) − 20σ3(n) + 10080 σ3(m)σ5(n − m) m=1 n−1 −480 n−2 σ3(m)σ3(n−m)+12096.100 m=1 n−m−1 σ5(m) m=1 σ3(t)σ5(n−m−t) t=1 µ Ì Ý E2.E3 = E5 Ú Ĩ ữ ỉ ắ E7 = E2.E5, n − 24 σ13(n)q = n=1 + 240 ∞ σ3(n)q n=1 ØƯ ưỊ Ø n σ9(n)q n − 264 n=1 ¾º¾ À Đ σ ¿ Ä Ơ ÐÙ Ị Ị Ơ Ị µº Ì n−1 σ13(n) = 11σ9(n) − 10σ3(n) + 2640 σ3 (m)σ9(n − m) m=1 ữề ú ữề ề ẹề ú ắắ º Ó σk (n) = Ø dk , d|n 12.516σ15(n) = 40.14554σ7(n) − 21.17999σ5(n) − 11.17999σ9(n)+ n−1 5544.17999 n−1 σ5(m)σ9(n − m) + 9600.14554 m=1 σ7(m)σ7(n − m) m=1 Ò Đ Ị º M8 × Ð Ị Ø Gα2 Gβ3 Ú 2α + 3β = 8, ×ÙÝ Ư (α, β) ∈ {(1, 2), (4, 0)} ÅØ ×ÙÝ Ư dimM8 = ỊịỊ {E2.E32, E24} Ð × ËĨ × ề ữ ì ỉ ể ụ ắ ể ỉ M8 ể E8 M8, ắ ụ ắ µ Ø α1 + β1 = ËĨ × Ị ÷ × Õ E8 = α1 E2 E32 + β1 E24 α1 = 17999/9.3167, β1 = 14554/9.3167 Ì Ý E22 = E4, E2.E3 = E5 ể ắ àá ỉ E8 = α1 E3.E5 + β1 E42 Ó ∞ ∞ ∞ 32.516 17999 1+ σ15(n)q n = − 504 σ5(n)q n 3617 n=1 9.3617 n=1 ∞ + à ỉệ ửềá ệ ỉ ềá ìể ì ề ữ ì Ø ØÙ qk σ9(n)q n − 264 14554 + 480 σ7(n)q n 9.3617 n=1 n=1 Úô Ị Ø ØƯịỊ¸ Ĩ k = n 12.516σ15(n) = 40.14554σ7(n) − 21.17999σ5(n) − 11.17999σ9(n)+ ¾º¿ À Đ τ ¿ n−1 5544.17999 Å÷Ị ó n−1 σ5(m)σ9(n − m) + 9600.14554 m=1 m=1 ề ẹề ắ ẹ ắẵ ỉệ ửề ểệ ệ ề ề ỳ ắẵ ỉ ÷Ø Ø ∆ = g23 − 27g32 ∞ ∞ n 24 F (z) = q σ7 (m)σ7(n − m) (1 − q ) τ (n)q n , q = e2πiz , z ∈ H = n=1 n=1 à ¸ Đ ĨØ Ị Ị Đ Ê Đ ỊÙ Ị ù ÷Ù Ð τ Ị Ð ¾º¿º¾º Ø n∈N Ú τ (n) ∈ N Ð Ñ ∞ (1 − q n )24 , q = e2πiz , z ∈ H F (z) = q n=1 Ø ø F Ð Ị Ù×Ơ ỉệ ề ì ẵắ í F M60 ề ẹề º Ì ∞ (1 − q n )24 F (z) = q n=1 ∞ an q n = q − 24q − 252q − 1472q + = n=1 ×ÙÝ Ư a0 = à z ∈ H Ø ø |q| < 1, Ó z → ∞ ⇒ |q| → ËÙÝ Ư F (z) Ø ØÙÝ÷Ø Ú óÙ ØƯịỊ H ∪{∞} , ⇒ F (z) ûỊ øỊ ØƯịỊ H ∪{∞} Ì Ị Ơ Ị Đ Ò F (z + 1) = F (z) Ú F (−1/z) = z12F (z) Ø z = x + iy ∈ H, ×ÙÝ Ư e2πi(z+1) = e−2πy [cos 2π(x + 1) + i sin 2π(x + 1)] = e−2πy (cos 2πx + i sin 2πx) = e2πiz Ó F (z + 1) = F (z), ∀z ∈ H, ¾º¿ À Đ τ ¿ ỊịỊ F Ð Đ ØÙỊ Ĩ Ị Ú Ù ½º Ì Ị ĐỊ F (−1/z) = z 12 F (z), ∀z ∈ H Ø Ò Ù Ô× Ù ∗ G1 (z) = n m , G (z) = (m + nÞ)2 ∗ H1 (z) = n m ∗ H (z) = m n ∗ m n , (m + nÞ)2 , (m − + nÞ) (m + nÞ) (m − + nị) (m + nị) ẻ G, G1 Ø ø (m, n) = (0, 0), Ú m, n é ì ề íũề ẻ H, H1 ỉ ứ (m, n) ∈/ {(0, 0), (1, 0)} , Ú m, n Ð × Ị ÙÝịỊº Ø Ù H1 Ú H Ì 1 = − , (m − + nÞ) (m + nÞ) (m − + nÞ) (m + nÞ) ỊịỊ Ù H1 Ú Ø ¸Ú H H1 = 2, H = − 2πi/z ỉ é ỉ ĩ ỉ ữ ỉ ỉ Ò ÕÙ Ø Ù G1 − H1 Ú G−H 1 = − (m − + nÞ) (m + nÞ) (m + nÞ)2 (m + nÞ)2 (m − + nÞ) ËÙÝ Ư H1 Ú H Ù G1 − H1, G − H ØƯ Ị Ị Ù Ú Ị Ø ¸ ỊịỊ G1 Ú G Ø º Ì Øº Ó G1 (z) − G(z) = H1 (z) − H(z) = 2πi/z Ỵø G1 −1 z ∗ = n m = z2 = (m − n/Þ)2 ∗ m n ∗ n m z2 (−n + mÞ)2 2 = z G (z) , (m + nÞ) Ù ¾º¿ À Đ τ ¿ ỊịỊ −1 z G1 è ụỉ ế ì = z G (z) = z G1 (z) − 2πiz (2πi)2 G1 (z) = 2ζ (2) + (2 − 1)! ∞ σ1 (n) q n n=1 ∞ Ä Ý ÐĨ Ư Ø π2 = − 8π σ1 (n) q n n=1 Úơ F (z), Ư ØùỊ Ú Ơ Ị dq q = Ì Ýz ∞ Úơ Ø dq dF = − 24 nq nm F q n,m=1 ∞ − 24 n,m=1 −1/z, Ø σ1 (n) q n = 6i G1 (z) dz, π ´Úø dqq = 2πidz) dF (−1/z) 6i dz = G1 (−1/z) F (−1/z) π z 6i dz 6i dz z G (z) − 2πiz = G (z) dz + 12 1 π z2 π z dz dF + 12 = F z F (−1/z) Ú z 12 F (z) ÙỊ Ú Ơ Ị ÐĨ Ư غ Ĩ kØ ĐỊ = ËÙÝ Ư Ị × F (−1/z) = kz 12 F (z), ∀z ∈ H Ó z = i, Ị ơỊ F (i) = kF (i), ×ÙÝ Ö k=1 ´Úø F (z) = 0, ∀z ∈ H µº Ì Ị ĐỊ F (−1/z) = z 12 F (z), ∀z ∈ H ĨÚÝ Ị Ð Ị ĐỊ º Ø ỊØ ¾º¿ À Đ τ ¿ ề é ắ ể 12 n 24 ∆ (z) = (2π) q (1 − q ) =(2π) 12 τ (n)q n , q = e2πiz , ∀z ∈ H n=1 n=1 Ị Đ Ị º Ì ôØ ÕÙ × Ù ∆ = g23 − 27g32 = (2π)12 2−62−3 E23 − E32 = (2π)12 q − 24q − 252q − 1472q + Ì Ĩ ØùỊ Ø ∆(z) Ú F (z) Ø ø g(z +1) = g(z) Ú Ø g(z) = ∆(z) F (z) g(−1/z) = g(z) Å Ø ¸ Ĩ ∆(z) Ú F (z) ûỊ øỊ Ú Ị Ị ØƯịỊ H ØƯịỊ H ỊịỊ g(z) ûỊ øỊ Ú Ø Ø ∞, ∞ (1 − q n )24 =q (1 + I (q)) , F (z) = q Ú n=1 I(q) Ò Ð Ù Ð Ý Ø × Đ Ị ÙÝịỊ ưĐ Ị Ø q = Å Ø Ị q Ĩ F (z) ∆ (z) = (2π)12q (1 + I (q)) , ỊịỊ ∆(z) Ị Ị ưĐ Ị Ø Ã ØƯ ưỊ ĨÙƯ Ư g(z) Ø ∞ Ð q = (2π)12 q (1 + I(q)) = (2π)12 q (1 + I(q)) g (z) = q (1 + I(q)) Ó Ú Ý g ûỊ øỊ ØƯịỊ H ∪ {∞} Îø F, ∆ ∈ M60 ⇒ g = Ð ẹể é ệ ỉệ ề ì ẳá ề ề ửẹ ửẹá ềũề g é ì ể q = ⇒ g = (2π)12, ỊịỊ Ø ∞ ∞ 12 n 24 ∆ (z) = (2π) q (1 − q ) n=1 Ị Ð Ị ĐỊ º 12 τ (n)q n =(2π) n=1 Ị Ị ¾º¿ À ẹ ẳ ữề ú ắ ỉ (z) = (2π) à 12 ∞ n 24 q Ø (1 − q ) n=1 65 691 691 τ (n) = σ11 (n) + σ5 (n) − 756 756 Ú τ (n) ≡ σ11 (n) (mo Ị ĐỊ º Ì Ø ø dim M6 = Ú Gα2 Gβ3 Ú Mk = Mk0 ⊕ CGk , M6 = M60 ⊕ CG6 =(2π) ∞ 12 τ (n)q n n=1 n−1 σ5 (k)σ5 (n − k) , k=1 ½) , n ≥ k = Ø Ĩ Ị Ð Úó × óÙ Ĩ M6 × Ð ỊØ 2α + 3β = ⇒ (α, β) ∈ {(3, 0) , (0, 2)} , ỊịỊ E23, E32 Ð × M6 ÅØ ¸ Ĩ E6 ∈ M6 ỊịỊ E6 = α1 E23 + β1 E32 ⇒ α1 + β1 = 1, ậể ì ề ữ ì E6 = E23 − E32 + E32 441 Úô ⇒ α1 = 691 ,Ø Ð q F = α2 E23 − E32 , Ð Ơ ÐÙ Ị Ø Ị Ø Ị ØƯịỊ Ø F = α2 E23 − E32 = 691 α2 = α1 327 Ú ∞ τ (n)q n = n=1 à 27.64 ỴÝ α2 α2 α1 E23 − E32 = E6 − E32 , α1 α1 Ó ∞ 65520 α2 σ11 (n) q n 1+ α1 691 n=1 1≤k≤n 691 35 26 72 = ỉ ứ ữì qk ụ ỉệ é (k), ∞ σ5 (n) q n − − 504 n=1 Ị Úơ Ơ k−1 Ð 65520 σ11 (k) + 1008σ5 (k) − 254016 σ5 (m) σ5 (k − m) 691 m=1 ¾º ó ÜÙ Ø Đ Ø × Ø Ơ× Ĩk=nØ Ø Ù ½ 65 691 691 τ (n) = σ11 (n) + σ5 (n) − 756 756 À÷ Ø (∗) Ø Ò n=1 σ5 (k)σ5 (n − k) (∗) k=1 Ò Ú n−1 756τ (n) = 65σ11 (n) + 691σ5 (n) − 691.252 σ5 (k) σ5 (n − k), k=1 ⇒ (691 + 65) τ (n) ≡ 65σ11 (n) (mo 65 (n) 6511 (n) (mo ẻ í ẹữề ó ¾º ⇒ τ (n) ≡ σ11 (n) (mo Ị ĐỊ º ó ÜÙ Ø Đ Ø × Ø ễì ẵ) , ẵ) , ẵ) èệểề × Ĩ Ĩ Ú ØƯĨỊ Ø × Ị ¸Ø Ø Ị ƠỊ Ị ØĨ Ị Đ Ú ÷ Ị û ơỊ Ø ØĨ Ị Ơ Ø Ị ¸ ØÙÝ Ị ịỊ Ð Ĩ Ị Ĩ Ị ơỊ Ú ÷ × Ị Ø Ĩ ỊịỊ Ị Ị Ø Ơ Ị Ú Ýº Ä Ø ÙÝ Ị ĐĨ ÙÐ Ư Ĩ Ø Đ Ø Úù Ø Ú Úó Ú Ị ú ềũ ỉệũề ặ ế ề ữ ẹ ì ề ẹ ề ữ ì ề Ð Ø ÙÝ Ị ĐĨ ÙÐ Ư¸ Ø Ø ó ÜÙ Ø Ị óÙ Ø Ơ Ý Ĩ ×Ị è ỉ ề ũềá ề ì ề û Ị Ị Ị ØùỊ ØĨ Ị × Ơ Úó Ị º Ø Ơ ½º Ị Đ Ị Ư Ị σ7(n) ≡ σ3(n) Ø Ơ ¾º mod 120 Ị ĐỊ Ư Ị 11σ9(n) ≡ 21σ5(n) − 10σ3(n) Ø Ơ ¿º mod 5040 Ị ĐỊ Ư Ị 91σ11(n) ≡ 139σ5(n) mod 147 ắ ú ĩ ỉ ẹ ỉ ì ỉễ ỉ ễì ắ ề ẹề ệ ề 91σ11(n) ≡ 182σ5(n) + 91σ5(n) mod 441 ØƠ º Ị ĐỊ Ư Ị σ13(n) ≡ 21σ5(n) − 20σ3(n) ØƠ º mod 10080 Ị ĐỊ Ư Ị σ13(n) ≡ 11σ9(n) − 10σ3(n) mod 2640 Ị Ø Ị Ø Ị ØƯịỊ¸ Ø Ø × Ị Ø Ĩ Ø ịĐ Ị óÙ Ý Úó Đ × º ØĨ Ị à ÐÙ Ị ÄÙ Ị Ú Ị ØỊ ÝÚ Ø Đ ỉ ì ụỉ ế ì ẵ èệứề í ú Ð Ø ÙÝ Ị ÅĨ ÙÐ Ư Ị Ỉ Đ ÅĨ ÙÐ Ư¸ Đ ÅĨ ÙÐ Ư¸ Ị Ị Ị ÅĨ ÙÐ Ưº Ỉ ÙỊ ùỊ Ð ề é ẵ ắ ẵ ề ữ ế ề ắ èệứề í ẹ ỉ ì ề Ị Ð Ø ÙÝ Ị ÅĨ ÙÐ Ư Ú ể ì ề èựề ỉ ề Ú Ị ζ(2k) = n2k n=1 µ ÌỊ Ý Ú Ị Đ Ị Đ Ø × ØùỊ Ø Đ × ØùỊ Ø Ị Ị σ Ú τ Ãà èệứề í ữ ỉ é ũề ữ ẹ k (n) Ãà èệứề í ữ ỉ é ũề ữ ẹ Ãà èệứề í ữ Ø Ð ịỊ ÷ Đ σk (n) Ú Đ τ ·µ Ơ Ị ó ÜÙ Ø Đ Ø × Ị Ø Ơ × Ĩ × Ị ÌÀÈ̺ è é ữ ỉ ẹ ể ẵ í Ĩ Ú È Đ ÀÙÝ ưỊ¸ Ë Ø ÙÝ Ú ỉựề ỉể ề ỉ ề ặ ẫ ắ í ể ề ỉự ễ áặ ắẳẵẵ ẩ ậ ệệ ểệì ề ệ ỉ ẹ ỉ ậễệ ề è ễểìỉểéá ể é ệ ểệẹì ề ệ é ỉ ậ ậễệ ề ệ ẵ ẳ ỉ ỉ ỉể ề ì é ặ ắẳẳắ ể ề ặ ữ ệẵ ệ ì ề ỈÙĐ Ư Ì ĨƯݸ