Hàm r lồi và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN MINH ĐỨC HÀM r-LỒI VÀ Ƣ́NG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TẠ DUY PHƢỢNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU CHƢƠNG 1: HÀM r-LỒI 1.1 Một số khái niệm hàm lồi và hàm r-lồi 1.2 Tính chất của hàm r-lồi 12 1.3 Tính khả vi của hàm r-lồi 17 1.4 Quan hệ với hàm lồi suy rộng khác 20 CHƢƠNG 2: TỐI ƢU VỚI HÀM MỤC TIÊU r-LỒI 25 2.1 Bài toán tối ưu 25 2.2 Điều kiện tối ưu đối với bài toán có ràng ḅc 31 2.3 Điều kiện tối ưu và thuật toán giải bài toán tối ưu r-lồi 36 2.4 Ví dụ tối ưu hàm r-lồi phi tuyến 45 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn DANH MỤC CHƢ̃ VIẾT TẮT Stt Tƣ̀ viết tắt Nội dung 01 KKT 02 CP Bài toán tối ưu lồi khả vi 03 NLP Bài toán tối ưu phi tuyến Karush-Kuhn-Tucker Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Giải tích lồi với hai khái niệm là tập lồi và hàm lồi phát triển mạnh mẽ và định hình năm 70 của kỉ trước Hàm lồi là mở rộng của hàm tuyến tính và cho phép nghiên cứu lớp các bài toán tối ưu lồi , rộng nhiều so với lớp bài toán tối ưu tuyến tí nh Vì Giải tích lời đóng vai trị quan trọng ứng dụng toán học vào các bài tốn tới ưu thực tế Tuy nhiên, các bài toán thực tế thường không thiết là lồi Vì vậy, cần mở rợng khái niệm hàm lời Mangasarian, Hoàng Tụy, Rockaffelar là người có đóng góp lớn nghiên cứu các lớp hàm lồi suy rộng (lớp các hàm tựa lồi, giả lồi, ) Avriel (1973) đưa một lớp hàm r  lồi, là mở rợng của lớp hàm lời và có mợt sớ tính chất tốt áp dụng cho bài toán tối ưu Luận văn Hàm r  lồi và ứng dụng có mục đích trình bày nợi dung hai bài báo của Avriel hàm lời và ứng dụng của tối ưu Luận văn gồm hai chương Chương “Hàm r  lồi” trình bày các tính chất của hàm r  lồi Các tính chất của hàm r  lồi (khả vi hay không khả vi) cho thấy mối quan hệ thú vị các lớp hàm lồi và hàm lồi suy rộng với lớp hàm r  lồi Chương “Tối ưu với hàm mục tiêu r  lồi” trình bày ứng dụng của hàm r  lồi bài toán tối ưu với các hàm mục tiêu và hàm tham gia hạn chế là các hàm r  lời Trình bày thuật toán và ví dụ giải bài toán tối ưu với hàm r  lồi Do thời gian có hạn nên luận văn này mới chỉ dừng lại ở việc tì m hiểu tài liệu, sắp xếp và trì nh bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ đề đặt Trong quá trì nh viết luận văn cũng xử lý văn bản chắc chắ n không Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tránh khỏi có sai sót định Tác giả mong nhận được góp ý của các thầy và các bạn đờng nghiệp để luận văn được hoàn thiện Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy h ướng dẫn, PGS-TS Tạ Duy Phượng đã tận tì nh giúp đỡ suốt quá trì nh làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu , Khoa Toán và Phòng Đào tạo sau Đại học Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên , các thầy, cô ở Viện Toán họ c đã tận tì nh giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả quá trình học tập trường Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu , Tổ Toán - Tin và các thầy cô giáo Trường THPT Lương Ngọc Quyến , nơi tác giả công tác , đã tạo những điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập Tác giả cũng xin bày tỏ quý mến và lòng biết ơn sâu sắc tới bố mẹ , gia đì nh và người thân đã khuyến khí ch , động vi ên tác giả śt quá trình học cao học và viết luận văn này Thái Nguyên, tháng năm 2011 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG HÀM r-LỒI Chương này nhắc lại vắn tắt một số kiến thức bản , cần thiết của giải tích lồi (tập lồi , hàm lời ), trình bày khái niệm hàm r-lời, tính chất của hàm r-lồi, tính khả vi của hàm r-lồi và quan hệ với hàm lồi suy rộng khác nhằm phục vụ cho việc tìm hiểu và nghiên cứu các bài toán tối ưu Khái niệm hàm r-lồi M Avriel đưa năm 1972-1973 (xem [3] [4]) 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM HÀM LỒI VÀ HÀM r-LỒI 1.1.1 Tập lồi Tập S   n được gọi là tập lồi S chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm của tức là với mọi x1  S , x  S ta có  x1  (1   ) x2  S ,  0,1 1.1.2 Hàm lồi Định nghĩa 1.1 Hàm f xác định một tập lồi S   n được gọi là hàm lồi S f ( x1  (1   ) x2 )   f ( x1 )  (1   ) f ( x2 ) x1, x2  S ,  0,1 Định nghĩa 1.2 Hàm f được gọi là lồi chặt S f ( x1  (1   ) x2 )   f ( x1 )  (1   ) f ( x2 ) x1  x2 ,    0,1 Hàm f được gọi là hàm lõm (lõm chặt) S  f là lồi (lồi chặt) S Một hàm tuyến tính vừa là hàm lồi, vừa là hàm lõm Hàm f ( x )  c là hàm tuyến tính là hàm lồi chặt , cũng là hàm lõm chặt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f  x f  x2  )  f ( x1 )  (1   ) f ( x ) f  x1  f   x1  (1   ) x  ) x1  x1  (1   ) x x x2 Hình 1.1: Hàm lồi f  x f  x2  f   x1  (1   ) x   f ( x1 )  (1   ) f ( x ) f  x1  x1  x1  (1   ) x x2 x Hình 1.2: Hàm lõm Định nghĩa 1.3 Cho f là hàm xác định tập lồi S   n , f được gọi là hàm tựa lồi S x1 , x  S , f ( x1 )  f ( x )  f ( x1  (1   ) x )  f ( x )   0,1 tức là x1 , x  S , f ( x1  (1   ) x )  max  f ( x1 ), f ( x )   0,1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hàm f được gọi là hàm tựa lõm S - f là tựa lồi S tức là x1, x2  S mà f ( x1 )  f ( x2 ) f ( x1 )  f ( x1  (1   ) x )   0,1 Định nghĩa 1.4 Hàm f xác định một tập lồi S   n được gọi là hàm tựa lồi chặt (strictly quasiconvex) S với mọi x1 , x  S , x1  x , ta có f ( x1  (1   ) x )  max  f ( x1 ), f ( x ) với    0,1 , hay tương đương với f ( x1 )  f ( x )  f ( x1  (1   ) x )  f ( x )    0,1 Hàm f được gọi là hàm tựa lõm chặt S (- f ) là tựa lồi chặt, tức là f ( x1 )  f ( x )  f ( x1  (1   ) x )  f ( x )    0,1 1.1.3 Hàm r-lồi Khái niệm tập lồi và hàm lời đóng vai trị rất quan trọng hầu hết những vấn đề của qui hoạch toán học Mục đích của luận văn này là trình bày khái niệm hàm r-lồi M Avriel đưa (xem [3]) Lớp hàm r-lời khá rợng , là mở rộng tự nhiên của lớp hàm lồi và chứa lớp hàm lồi một trường hợp đặc biệt Ta đã biết là hàm f xác định một tập lồi S   n được gọi là hàm lồi S f ( x1  (1   ) x2 )   f ( x1 )  (1   ) f ( x2 ) x1, x2  S ,  0,1 (1.1) Nói cách khác , giá trị của hàm số điểm x :  x1  (1   ) x2 là tổ hợp của x1 và x với các trọng số  và (1   ), f ( x1  (1   ) x2 ) nhỏ tổ hợp của f  x1  và f  x  với cùng trọng số  và (1   ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khái niệm r-lồi mở rộ ng bất đẳng thức (1.1) bằng cách thay vế phải của (1.1) bằng một trọng số tổng quát của giá trị hàm số tại x1 và x Điều này cho phép xét một lớp các hàm rộng là lớp hàm lồi mà nó vẫn còn giữ được nhiều tí nh chất của hàm lồi (trên quan điểm áp dụng vào bài qui hoạch toán học) Có nhiều mở rộng khác của hàm lồi , chủ yếu là với mục đích ứng dụng qui hoạ ch toán học (xem [3], [4]) Trong luận văn này cũng trình bày mợt sớ quan hệ r-lời và các dạng mở rộng khác của hàm lồi Hàm r-lồi (r-convex function) Giả sử w m là véc tơ m chiều các thành phần dương và q m , qi  m ( i  1, m ) là các số không âm cho  qi  1, i  1, m, r là số thực i 1 Đị nh nghĩ a 1.5 Trọng số trung bình r của các số w1 , , wm được đị nh nghĩ a là số (xem [3])  m r   qi wi r  , r  0;  i 1  M r (w; q)  M r  w1 , , wm ; q    m  wi qi , r   i 1 Nhận xét 1.1 Nếu m  2; r  M r (w; q)  q1w1  q2 w2  q1w1  1  q1  w2 là tổ hợp lồi của w1 và w2 Đị nh nghĩ a 1.6 Hàm thực f xác định một tập lồi C   n được gọi là hàm r-lồi (r-convex function) với mọi x1  C , x  C ta có   f  q1 x1  q2 x   log M r exp  f  x1   ,exp  f  x   ; q  hay tương đương với Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f  q1 x1  q2 x   r     log q exp rf x  q exp rf x , r  0;       q f x1  q f x , r            Đị nh nghĩ a 1.7 Hàm thực f xác định một tập lồi C   n được gọi là hàm r-lõm (r-concave function) với mọi x1  C , x  C ta có         f q1 x1  q2 x  log M r exp  f x1  , exp  f x  ; q  hay tương đương với f  q1 x1  q2 x   r     log q exp rf x  q exp rf x      , r  0;  q f x1  q f x , r             Nếu r  0, hàm r-lồi được gọi là hàm lồi (superconvex)  Nếu r  0, hàm r-lõm được gọi là hàm lõm (superconcave)  Nếu r  0, hàm r-lồi được gọi là hàm lồi dưới (subconvex)  Nếu r  0, hàm r-lõm được gọi là hàm lõm dưới (subconcave) Nhận xét 1.2 i) Hàm thực f xác định một tập lồi C   n là hàm lồi và chỉ f là hàm 0-lồi ii) Hàm thực f xác định một tập lồi C   n là hàm lõm và f là hàm 0-lõm Ví dụ 1.1 Xét hàm logx, x  là hàm lõm đó, logx hàm 0-lõm Theo Định nghĩa 1.6 logx cũng là 1-lời và 1-lõm Do đó, vừa là hàm lời vừa là hàm lồi Đị nh nghĩ a 1.8 Trọng số trung bình r m véc tơ dương w1 , w2 , , wm  n được định nghĩa là: M r (w1 , , wm ; q)  (M r (w11, , w1m ; q), , M r (wn1 , , wnm ; q)) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 tốn (CP) và chỉ tờn tại các số i*  0, i  1, , m thỏa mãn điều kiện: i)  x L  x ,    f  x    i*g i  x*   0; m * * * i 1 ii) i* g i  x*   0, i  1, , m (điều kiện bù); iii)  L  x* ,  *   g  x*    g1  x*  , , g m  x*    0, x*  D T 2.3 ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU VÀ THUẬT TOÁN GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƢU r-LỒI 2.3.1 Thuật toán giải toán tối ƣu r-lồi Thuật toán giải bài toán (P) được mô tả sau Từ một số điểm x1  X , dãy điểm  x1 , x ,  chấp nhận được được suy sau Cho điểm xk  X , ta thay hàm r - lồi fi (2.7) bằng xấp xỉ lồi với x k , kí hiệu fˆi ( x, x k ) và cho   fˆi ( x, x k )  f i ( x k )  exp r  f ( x)  f ( x k )  1 , r (2.8) và nhận được bài toán P( x k ) :  ( x) ( P( x k )) với fˆi ( x, xk )  gi ( x)  0, i  1, , m, hl ( x)  0, l  1, , p Ta P ( x k ) là bài toán lồi Điểm x k 1 tiếp theo được chọn là nghiệm tối ưu của P ( x k ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Ta rằng, x1 là điểm chấp nhận được của bài toán (P) x cũng là nghiệm của (P) Do mỡi phần tử của dãy  x k  là nghiệm chấp nhận được của (P) Và mỗi dãy hội tụ của  x k  hợi tụ đến nghiệm của (P) Với mợt số thay đổi nhỏ , thuật toán cũng được sử dụng fi r  -lồi theo nghĩa bất đẳng thức f (q1 x1  q2 x )  M r  f ( x1 ), f ( x ); q  thay cho bất đẳng thức      f (q1 x  q2 x )  log q1 exp  rf ( x )   q2 exp rf ( x )  q f ( x1 )  q f ( x ), r  0,    r , r 0 khác là dạng của fi ( x, x k ), với xấp xỉ lồi của hàm r  -lồi với r  và cho r 1 fˆi ( x, x k )  f ( x k )  f 1r ( x k ) f r ( x) r r 2.3.2 Điều kiện tối ƣu toán tối ƣu r-lồi Định lý 2.7 (Điều kiện chính quy đối với bài toán tới ưu r-lời) Cho bài toán (P) có X tập chấp nhận được i) X tập compact có phần khác rỗng Khi đó tồn tại nhất một điểm x thỏa mãn f i ( x)  gi ( x)  0, i  1, , m, hl ( x)  0, l  1, , p (2.9) (2.10) ii) Với x  X , ta định nghĩa I  x   i : f i  x   gi  x   0 , L  x   l : hl  x   0 Khi ấy, với mọi i , i  I  x  , l , l  L  x  mà i  0, l  0,  i   l  0, I  x  L x  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 ta phải có  f i  x    I  x  i  x j  gi  x   hl  x  0    l x j  L x  x j với số j ,  j  n Điều kiện này được diễn đạt bằng lời sau: với mỗi x  X gradient của các hàm hạn chế hoạt x độc lập tuyến tính dương Ta chứng minh hội tụ của thuật toán cho trường hợp r-lồi Hoàn toàn tương tự áp dụng cho r  -lồi Thuật toán xây dựng dựa bất đẳng thức Young được mô tả định lý sau Định lý 2.8 ([5]) Cho u, v u  Khi uv  u log u  exp(u 1) Dấu "  " xảy v   log u Hệ 2.3 Cho f hàm thực tập C   n r  Với x1 C cho trước, với mọi x  C , ta có f ( x)  f ( x1 )    exp r  f ( x)  f ( x1 )  1 r (2.11) Chứng minh Đặt u  exp rf ( x1 ) , v  rf ( x) 1 Theo Định lý 2.8 ta có exp rf ( x1 )  rf ( x) 1  exp rf ( x1 ) rf ( x1 )  exp rf ( x)   f ( x)  f ( x1 )    exp r  f ( x)  f ( x1 )  1 r Vậy ta có điều phải chứng minh Hệ 2.4 Nếu C   n tập lồi f hàm r-lồi C, với r  cho cố định x1  C hàm fˆ cho Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39   fˆ ( x, x1 )  f ( x1 )  exp  r  f ( x)  f ( x1 )   1 r hàm lồi C Chứng minh Theo Định lý 1.3, f hàm r-lồi C  exp(rf ) là hàm lồi C Mỗi hàm lồi nhân với một hằng sớ dư ơng cũng là hàm lời Do đó, fˆ hàm lồi C Nhận xét rằng xấp xỉ lời (2.8) và bất đẳng thức (2.11) có nghĩa r  Trong trường hợp tới hạn r  r   là hiển nhiên Ta cải biên kết cho trường hợp r  Đặt Z ( x k )   x : x   n , fˆi ( x, x k )  gi ( x)  0, i  1, , m , và giả sử W ( xk )  S  Z ( xk ) Khi đó, ta có định lý Định lý 2.9 Với mọi x k  X , tập chấp nhận được W ( xk ) toán P( xk ) tập lồi x k  W( x k )  X Chứng minh Từ Định lý 1.1 (Định lý xếp thứ tự ) suy rằng, fi ri -lồi với ri  fi cũng là r-lời với r  max(r1 , , rm ) Vì r > 0, theo Hệ 2.4 ta có fˆi là hàm lời và W ( xk ) là tập lồi Nếu xk  X , x k  S x k  Z Vì fˆi ( xk , xk )  f i ( x k ), ta có x k  Z ( x k ) xk  S  Z ( xk )  W ( xk ) Bây giờ lấy điểm x  W(x k ) x  S x  Z ( x k ) Theo Hệ 2.3 x  Z đó x  X Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Hệ 2.5 Cho x k  X x k 1 cho  ( x k 1 )   ( x), k  1,2, (2.12) xW( x k ) Khi đó, thành phần dãy  x1 , x ,  chứa X  ( xk 1 )   ( xk ) Chứng minh Theo Định lý 2.9 tập W ( xk ) chứa X theo điều kiện chính quy (i) W ( xk ) compact Do đó, x k 1 hoàn toàn xác định Vì x k 1 tḥc tập nghiệm tới ưu của bài toán P( x k ), theo suy luận nó nằm X Hơn nữa, x k  W (x k ) nên suy  ( xk 1 )   ( xk ) Định lý sau là cần các phần Định lý 2.10 (Điều kiện tối ƣu Karush - Kuhn - Tucker cho hàm r-lồi) Cho x k  X Khi đó, tồn x nghiệm hệ bất đẳng thức (I) fˆi ( x, x)  gi ( x)  0, i  1, , m, hl ( x)  0, l  1, , p, hoặc là tồn nghiệm ( ,  ) hệ phương trình bất phương trì nh (II) i  0, i  1, , m, l  0, l  1, , p,  i   l  0, I  x  L  x   f i  x    I  x  i  x j  gi  x   hl  x   0, j  1, , n,    l x j  L x  x j (2.13) i  f i ( x )  gi ( x)   0, i  1, , m, (2.14) l hl  x   0, l  1, , p (2.15) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Chứng minh Giả sử (I) khơng có nghiệm thì theo định lý của hàm lồi, tồn các số không âm 1,, m , 1, ,  p , không đồng thời bằng cho  1  fˆi  x, x   gi  x     l hl ( x)  m p i 1 l 1 với mọi x n Đặt x  x, vào bất đẳng thức và sắp xếp lại ta có:    f ( x)  g ( x)    h ( x)   i  f ( x)  g ( x)    h ( x)  (2.16) iI  x  i i i lL x  l l i iI  x  i lL  x  l l Hai thành phần (2.16) bằng Từ hai thành phần cuối (2.16), ta đến kết luận i  với i  I  x  , l  với l  L  x  Do (2.14)-(2.16) được thỏa mãn và (2.16) được rút gọn thành    fˆ ( x, x)  g ( x)    h ( x)  iI  x  i i i lL x  (2.17) l l phải với x n Hàm vế trái của bất đẳng thức này đạt toàn cục x  x Do đó, đạo hàm riêng phải triệt tiêu x Chú ý rằng f i  x, x  f i  x   , j  1, , n x j x j (2.18) Do  f i  x   iI  x  i  x j  gi  x   hl  x   0, j  1, , n    l x j  lL x  x j (2.19) Và (2.13) cũng được thỏa mãn Bây giờ giả sử (II) có nghiệm và (I) cũng có nghiệm Khi ấy với xˆ nào fˆi ( xˆ, x)  gi ( xˆ)  0, i  1, , m, (2.20) hl ( xˆ)  0, l  1, , p (2.21) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Vì fˆi , gi , hl là hàm lồi nên n g ( x ) fi ( x) ( xˆ j  x j )  gi ( x)   i ( xˆ j  x j )  j 1 x j j 1 x j n fi ( x)   (2.22) hl ( x) ( xˆ j  x j )  j 1 x j n hl ( x)   (2.23) Lần lượt nhân bất đẳng thức (2.22) với i , i  I ( x ) và bất đẳng thức (2.23) với l , l  L( x ) , ta được n  f i  x        j 1  iI  x   i  x j  gi  x   hl  x   ( xˆ  x j )    l x j  lL x  x j  j    f ( x)  g ( x)    h ( x)  0, iI  x  i i i lL  x  l l trái với giả thiết (II) có nghiệm Bây giờ xét tương ứng điểm x k  X và tập hợp W ( xk )  X Tương ứng này là ánh xạ điểm tập Định nghĩa 2.9 Ánh xạ điểm tập hợp M với miền A   n và miền giá trị là tập hợp của tập hợp B   m được gọi là nửa liên tục dưới điểm x  A  x k   x , x k  A, y0  M ( x0 ) suy rằng tồn dãy y   y k và tồn tại số tự nhiên K  cho y k  M ( xk ) với k  K Trong đị nh lý sau , ta sẽ rằng ánh xạ điểm tập W, ánh xạ điểm x k  X vào W  x k  , tập chấp nhận được của xấp xỉ bài toán P( xk ) là nửa liên tục Chứng minh định lý làm tương tự Định lý 1.1 Ta cần W là nửa liên tục để đảm bảo rằng, x * là điểm tụ của dãy  x k  các điểm chấp nhận được X , x * là nghiệm tối ưu của P  x*  , là điều cớt yếu cho hợi tụ của thuật toán Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Định lý 2.11 Nếu tốn P quy thì ánh xạ điểm tập W nửa liên tục dưới Chứng minh Giả sử bài toán (P) là chính quy cho x là điểm X Khi đó, theo Định lý 2.10, tờn y cho fˆi ( y , x0 )  gi ( y )  0, i  1, , m, (2.24) hl ( y )  0, l  1, , p (2.25) Giả sử xk  X , x k   x0 Do đó, fˆi là hàm liên tục nên fˆj ( y0 , xk )  gi ( y0 )  0, i  1, , m, với mọi k  Κ ( y0 ) , đó , K ( y0 ) là số tự nhiên đủ nhỏ và ta xây dựng dãy y k  bằng cách đặt y k  y0 W ( xk ), k  K ( y0 ) Nghĩa là tập y   n thoả mãn (2.24)-(2.25) bằng W  x0  Rõ ràng W ( x0 )  W ( x0 ) và với y W ( x0 ) xây dựng được dãy Bây giả sử rằng y W ( x0 ) y W ( x0 ) Do đó, đặt zk  o  1 y  1   y, k  k k  1, 2, , (2.26) y o thỏa mãn (2.24) Do tính lồi của W ( x o ) nên với mỗi z k W ( xo ) và với mỗi z k tồn một số K ( z k ) cho z k W ( xk ) với k  K ( z k ) Bây giờ, đặt K1'  K ( z1 ), K2'  K ( z ) K ( z )  K1' và mặt khác K2'  K1' 1 Bằng cách này, ta được dãy đơn điệu tăng  K k'  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Với K1'  k  K2' , đặt y k  z1; Với K2'  k  K3' , đặt y k  z , Khi dãy y k W ( x k ), k lớn một vài số tự nhiên K  y   y k Kết được viết lại cho phù hợp với trường hợp ta xét x  Định lý 2.12 Cho x* điểm tụ dãy k với x k  X , x k 1 xác định  ( x k 1 )   ( x), k  1,2, xW( x k ) Nếu W ánh xạ nửa liên tục dưới thì x* nghiệm tối ưu P  x*  Nhận xét 2.7 Do tính chính quy của (P) nên tồn ít một điểm x o W ( x* ) cho fˆi ( xo , x* )  gi ( xo )  0, i  1, , m, (2.27) hl ( x o )  0, l  1, , p (2.28) Do đó: W ( x* ) thoả mãn tính chất ràng buộc của Slater (xem [4]), , điều kiện tối ưu Karush-Kuhn-Tucker đối với P( x* ) được thỏa mãn x* Do đó, tồn các vectơ  * ,  * cho p m  ( x )   i fˆi ( x* , x* )  gi ( x* )    l *hl ( x* )  0,   l 1 i 1 * * (2.29) i*  fˆi  x* , x*   gi ( x* )   0, i  1, , m, (2.30) l *hl ( x* )  0, l  1, , p, (2.31)  *  0,  *  (2.32) Lưu ý rằng fi ( x* )  fˆi ( x* , x* ) fi ( x* )  fˆi ( x* , x* ) Vậy: điều kiện cần Karush -Kunh-Tucker cho bài toán tối ưu (P) và P ( x) thỏa mãn x* Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 (Chú ý: Tính compact của X suy tồn ít một điểm hội tụ của dãy x k  theo (2.12)) Định lý 2.13 Nếu x* điểm hội tụ dãy x k  cho (2.12) thì x* nghiệm toán (P) Kết luận này chứng minh cho hội tụ thuật toán nêu 2.4 VÍ DỤ VỀ TỐI ƢU HÀM r-LỒI PHI TUYẾN Trong phần này, bằng một ví dụ cụ thể ta minh họa cho thuật toán trình bày để giải bài toán tối ưu hàm r-lồi phi tuyến Ví dụ này cũng cách tởng quát hóa các trình bày phần Ví dụ 2.1 Xét bài toán tối ưu phi tuyến:  ( x)  x3  x2 (2.33) với x  1, (2.34)  x  (2.35) Do hàm  không tựa lồi nên cực tiểu địa phương không đạt x  0, không đạt cực đại địa phương x   Ngoài  đạt cực tiểu x  1 và đạt cực đại x  Để chuyển dạng bài toán (P) ta thay (2.33)-(2.35) bằng bài toán sau x2 (2.36) với x13  x12  x2  0, (2.37) x1   0,  x 1  0, đó: hàm x13  x12  x2 khơng tựa lời Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Hàm x12  x2 là lồi ta hàm x13 không hàm r-lồi với r  Tuy nhiên, viết (2.37) dạng x13  x1  x12  x1  x2  0, (2.38) ta được hàm f ( x)  x13  x1 mà theo (1.5) f ( x ) 9/8-lồi khoảng -1,1 Do đó, xấp xỉ lời của f cho 8 9   fˆ ( x, x)  ( x1 )3  ( x1 )   exp  ( x1 )3  ( x1 )  ( x1 )3  ( x1 )   1 9 8   và lặp lặp lại k lần, ta giải bài toán lồi (2.39) x2 với 8 9   ( x1k )3  ( x1k )   exp  ( x1 )3  ( x1 )  ( x1k )3  ( x1k )   1  ( x1 )2  ( x1)  ( x2 )  0, 9 8   x1   0,  x1   0, Tương đương với giải bài toán 9   ( x, xk )  exp   x3  x  ( xk )3  ( xk )    x  x 8  với x1   0,  x1   0, bỏ qua mợt vài sớ hạng hằng sớ của hàm mục tiêu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Kết luận chƣơng Chương này nghiên cứu bài toán tối ưu với hàm mục tiêu r-lời Từ xây dựng thuật toán giải bài toán tối ưu hàm r-lồi và điều kiện KKT cho tối ưu hàm r-lồi Đồng thời cũng đưa ví dụ tối ưu hàm r-lồi phi tuyến để minh họa cho thuật toán trình bày Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 KẾT LUẬN Luận văn trình bày khái niệm, các tính chất của hàm r  lồi và ứng dụng của hàm r  lồi các bài toán tối ưu theo tài liệu [3] và [4] Hàm r  lồi là một mở rộng tự nhiên của hàm lời và có nhiều tính chất thú vị, cũng giúp giải nhiều bài toán tối ưu mà hàm mục tiêu các hàm tham gia hạn chế không thiết là lồi (mà cần r  lồi) Xuất phát từ khái niệm hàm r  lời, chắc chắn phát biểu và chứng minh nhiều bất đẳng thức lời thú vị Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Vũ Thiệu, Cơ sở Giải tích lồi, Bài giảng lớp cao học, Viện Toán học Hà Nội, 2003 [2] Trần Vũ Thiệu , Giáo trình tối ưu tuyến tính, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2004 Tiếng Anh [3] Mordecai AVRIEL, r  convex function, Mathematical Programming (1972) 309-323 North-Holland Pulishing Company, 1972 [4] Mordecai AVRIEL, Solution of Certain Nonlinear Programming Involving r  Convex Functions, Journal Optimization Theory and Applications, Vol 11, No 2, (1973) 159-174 Plenum Pulishing Corporation, 1973 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 Nội dung của Lận văn được sửa chữa lại theo ý kiến của Hội đồng chấm Luận văn Thái Nguyên, ngày tháng năm 2011 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS Tạ Duy Phƣợng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... hàm ˆ xác định ˆ  exp  r? ?? ( x)  Khi đó ,  r- lồi (r- lõm) với r  và chỉ ˆ hàm lồi (lõm) r  ˆ hàm lõm (lồi) r  Chứng minh Giả sử  hàm r- lồi và r  Khi đó, với mỡi x1  C... q1er ( x )  q2er ( x )   r   1 2   hàm ( -r) -lõm Chiều ngược lại chứng minh tương tự Định lý 1.5 Nếu hàm  hàm r- lồi (r- lõm) k  * ,    Khi đó i)    hàm r- lồi (r- lõm) ii) Hàm. .. q2e r? ?? ( x1 )   r? ?? (q1 x  q2 x )  r log q1e  r? ?? ( x2 ) r r ( x1 )  q2e  r? ?? ( x ) r r q x  q x  e   q1er ( x )  q2er ( x ) 1 2  ˆ là hàm lồi Nếu r  er ( q x q x )  q1er