Biểu diễn một số dạng đa thức và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC KHOA HỌC, ĐH THÁI NGUYÊN PHẠM NGUYỄN PHƯƠNG THỦY BIỂU DIỄN MỘT SỐ DẠNG ĐA THỨC VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 40 Giáo viên hướng dẫn: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN, 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Lời cảm ơn Các 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 tính chất đa thức đại số Định nghĩa (Xem [2]) Các phép tính đa thức Các tính chất Ước, ước chung lớn Quy tắc dấu Descartes Biểu diễn số dạng đa thức 2.1 Biểu diễn số dạng đa thức dương 2.2 Biểu diễn số dạng đa thức với hệ số nguyên 2.3 Biểu diễn số dạng đa thức đặc biệt 2.3.1 Biểu diễn đa thức thông qua đẳng thức 2.3.2 Đa thức Chebyshev 2.3.3 Biểu diễn đa thức nguyên hàm 5 15 15 33 37 37 40 43 Một số áp dụng 3.1 Ứng dụng đa thức tính tốn 3.2 Ước lượng đa thức 3.3 Một số phương trình bất phương trình có cách giải đặc thù 51 51 55 65 Kết luận 78 Tài liệu tham khảo 79 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Trong chương trình tốn học phổ thông, đa thức chuyên đề quan trọng có ứng dụng đa dạng hiệu Trong thực tiễn, đa thức ứng dụng ln vấn đề thời chun đề cần thiết việc bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn bậc học phổ thơng, đồng thời phát ứng dụng đa dạng đem lại hấp dẫn nhiều đối tượng học sinh giáo viên nghiên cứu vấn đề Mục tiêu Luận văn "Biểu diễn số dạng đa thức áp dụng đại số" nhằm trình bày số vấn đề liên quan đến đồng thức đại số sinh đa thức với số ứng dụng nhằm tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thông Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương trình bày tóm tắt tính chất đa thức đại số Trong chương trình bày số ví dụ toán mối liên hệ đồng thức đại số ứng dụng đồng thức Chương trình bày biểu diễn đa thức dương trục thực, nửa trục dương, đoạn cho trước biểu diễn số đa thức đặc biệt khác (đa thức với hệ số nguyên, đa thức Trebyshev, ) Chương trình bày số ứng dụng đa thức tính tốn, ước lượng, giải phương trình tốn cực trị Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Trong suốt q trình làm luận văn, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin cảm ơn quý thầy, giảng dạy lớp cao học khóa (2010 - 2012) mang đến cho nhiều kiến thức bổ ích khoa học sống Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q thầy, bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng 05 năm 2012 Người viết Luận văn Phạm Nguyễn Phương Thủy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các tính chất đa thức đại số 1.1 Định nghĩa (Xem [2]) Cho vành A vành giao hốn có đơn vị Ta gọi đa thức (trên A) bậc n biến x biểu thức có dạng : Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 (an = 0) ∈ A gọi hệ số, an hệ số cao a0 hệ số tự đa thức Nếu = 0; i = 1, 2, , n − a0 = ta có bậc đa thức Nếu = 0; ∀i = 0, 1, , n ta coi bậc đa thức −∞ gọi đa thức không Tập hợp tất đa thức với hệ số lấy vành A kí hiệu A [x] Khi A = K trường K [x] vành giao hốn có đơn vị Ta thường xét A = Z A = Q A = R A = C Khi ta có vành đa thức tương ứng Z [x], Q [x], R [x], C [x] 1.2 Các phép tính đa thức Cho hai đa thức f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 g(x) = bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta định nghĩa phép tính số học f (x) + g(x) = (an + bn ) xn + (an−1 + bn−1 ) xn−1 + · · · + (a1 + b1 ) x+ +a0 + b0 f (x) − g(x) = (an − bn ) xn + (an−1 − bn−1 ) xn−1 + · · · + (a1 − b1 ) x+ +a0 − b0 f (x)g(x) = c2n x2n + c2n−1 x2n−1 + · · · + c1 x + c0 , ck = a0 bk + a1 bk−1 + · · · + ak b0 , k = 0, , n 1.3 Các tính chất Định lý 1.1 (Xem [2]) Giả sử A trường, f (x) g(x) = hai đa thức vành A [x], có hai đa thức q(x) r(x) thuộc A [x] cho f (x) = g(x)q(x) + r(x) với deg r(x) < deg g(x) Nếu r(x) = ta nói f (x) chia hết cho g(x) Giả sử a phần tử tùy ý vành A, f (x) = an xn +an−1 xn−1 +· · ·+a1 x+ a0 đa thức tùy ý vành A [x], phần tử f (a) = an an + an−1 an−1 + · · · + a1 a + a0 có cách thay x a gọi giá trị f (x) a Nếu f (a) = ta gọi a nghiệm f (x) Bài tốn tìm nghiệm f (x) A gọi giải phương trình đại số bậc n an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = (an = 0) A Định lý 1.2 (Xem [2]) Giả sử A trường, a ∈ A, f (x) ∈ A [x] Dư số phép chia f (x) cho (x − a) f (a) Định lý 1.3 (Xem [2]) Số a nghiệm f (x) f (x) chia hết cho (x − a) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Giả sử A trường, a ∈ A, f (x) ∈ A [x] m số tự nhiên lớn Khi a nghiệm bội cấp m f (x) f (x) chia hết cho (x − a)m f (x) không chia hết cho (x − a)m−1 Trong trường hợp m = ta gọi a nghiệm đơn cịn m = a gọi nghiệm kép Số nghiệm đa thức tổng số nghiệm đa thức kể bội nghiệm (nếu có) Vì vậy, người ta coi đa thức có nghiệm bội cấp m đa thức có m nghiệm trùng • Lược đồ Horner Giả sử f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ A [x] (với A trường) Khi thương gần f (x) cho (x − a) đa thức có bậc n − 1, có dạng : q(x) = bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + a0 bn−1 = an , bk = abk+1 + ak+1 , k = 0, 1, , n − số dư r = ab0 + a0 Định lý 1.4 (Định lí Viète) (Xem [2]) a) Giả sử phương trình an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = (an = 0) có n nghiệm (thực phức) x1 , x2 , , xn  an−1   E (x) : = x + x + · · · + x = − 1 n   an      an−2    E2 (x) : = x1 x2 + x1 x3 + · · · + xn−1 xn = an          a0   = (−1)n  En (x) : = x1 x2 xn an (1.1) (1.2) b) Ngược lại, số x1 , x2 , , xn thỏa mãn hệ chúng nghiệm phương trình (1.1) Hệ (1.2) có n thành phần vế trái Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thành phần thứ k có Cnk số hạng c) Các hàm E1 (x), E2 (x), , En (x) gọi hàm (đa thức) đối xứng sơ cấp Viète bậc 1, 2, , n tương ứng Định lý 1.5 (Xem [2]) Mọi đa thức bậc n có khơng q n nghiệm thực Hệ 1.1 Đa thức có vơ số nghiệm đa thức khơng Hệ 1.2 Nếu đa thức có bậc ≤ n mà nhận giá trị n + điểm khác đối số đa thức đa thức Hệ 1.3 Hai đa thức bậc ≤ n mà nhận giá trị n + giá trị khác đối số đồng Định lý 1.6 (Gauss) (Xem [2]) Mỗi đa thức f (x) ∈ C [x] bậc n có n nghiệm (tính bội nghiệm) Định lý 1.7 (Xem [2]) Mọi đa thức f (x) ∈ R [x] có bậc n có hệ số (hệ số bậc cao nhất) an = phân tích (duy nhất) thành nhân tử m s x2 + bk x + ck (x − di ) f (x) = an i=1 k=1 với di , bk , ck ∈ R, 2s + m = n, b2k − 4ck < 0, m, n ∈ N∗ 1.4 Ước, ước chung lớn Định nghĩa 1.1 (Xem [2]) Khi đa thức Pn (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an (a0 = 0) viết dạng Pn (x) = g(x)q(x) với deg g > deg q > ta nói g ước Pn (x) ta viết g(x)| Pn (x) hay Pn (x) g(x) Nếu g(x) |P (x) g(x) |Q(x) ta nói g(x) ước chung P (x) Q(x) Nếu hai đa thức P (x) Q(x) có ước chung đa thức bậc ta nói chúng ngun tố viết (P (x), Q(x)) = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 1.8 (Xem [2]) Điều kiện cần đủ để hai đa thức P (x) Q(x) nguyên tố tồn cặp đa thức u(x) v(x) cho P (x)u(x) + Q(x)v(x) = Nếu hai đa thức P (x) Q(x) (không đồng với 0) có ước chung d(x) đa thức chia hết cho tất ước chung khác d(x) gọi ước chung lớn P (x) Q(x) Cũng vậy, ta có ước chung lớn nhiều đa thức Một số tính chất Tính chất 1.1 (Xem [2]) Nếu đa thức f (x) g(x) nguyên tố đa thức f (x) h(x) nguyên tố đa thức f (x) g(x)h(x) nguyên tố Tính chất 1.2 (Xem [2]) Nếu đa thức f (x), g(x), h(x) thỏa mãn điều kiện f (x)h(x) chia hết cho g(x), g(x) h(x) nguyên tố f (x) chia hết cho g(x) Tính chất 1.3 (Xem [2]) Nếu đa thức f (x) chia hết cho đa thức g(x) h(x) với g(x) h(x) nguyên tố f (x) chia hết cho g(x)h(x) Tính chất 1.4 (Xem [2]) Nếu đa thức f (x) g(x) nguyên tố [f (x)]m [g(x)]n nguyên tố với m, n nguyên dương 1.5 Quy tắc dấu Descartes Xét dãy số thực a0 , a1 , a2 (hữu hạn vô hạn) cho trước Định nghĩa 1.2 (Xem [2]) Chỉ số m (m ≥ 1) gọi vị trí (chỗ) đổi dấu dãy có am−1 am < am−1 = am−2 = · · · = am−(k+1) = am−k am < (m > k ≥ 2) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Trong trường hợp thứ am−1 am , cịn trường hợp thứ hai am−k am lập thành vị trí đổi dấu Số lần đổi dấu (bằng số vị trí đổi dấu) dãy khơng thay đổi số hạng bỏ số hạng cịn lại bảo tồn vị trí tương hỗ chúng Ta có tính chất sau Tính chất 1.5 (Xem [2]) Các dãy a0 , a1 , a2 , , an an , an−1 , , a0 có số lần đổi dấu Tính chất 1.6 (Xem [2]) Khi gạch bỏ số hạng dãy, số lần đổi dấu khơng tăng lên Tính chất 1.7 (Xem [2]) Khi đặt vào số hạng dãy số lượng tùy ý số hạng 0, số vị trí đổi dấu dãy khơng thay đổi Tính chất 1.8 (Xem [2]) Số vị trí đổi dấu không thay đổi bên cạnh số hạng dãy ta đặt số hạng có dấu với số hạng Tính chất 1.9 (Xem [2]) Nếu p0 > 0, p1 > 0, p2 > dãy a0 , a1 , a2 a0 p0 , a1 p1 , a2 p2 có vị trí đổi dấu Tính chất 1.10 Dãy a0 , a1 + a0 , a2 + a1 , , an + an−1 , an có số vị trí đổi dấu khơng lớn so với dãy a0 , a1 , a2 , , an Định nghĩa 1.3 (Xem [2]) Ta gọi đổi dấu vị trí đổi dấu đa thức P (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 đổi dấu vị trí đổi dấu dãy hệ số an , an−1 , , a1 , a0 • Quy tắc dấu Descartes Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... Biểu diễn số dạng đa thức 2.1 Biểu diễn số dạng đa thức dương 2.2 Biểu diễn số dạng đa thức với hệ số nguyên 2.3 Biểu diễn số dạng đa thức đặc biệt 2.3.1 Biểu diễn đa thức. .. n ≥ 2, đa thức Pn (x) chia hết cho q(x) với α ∈ R Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 Chương Biểu diễn số dạng đa thức 2.1 Biểu diễn số dạng đa thức dương... đoạn cho trước biểu diễn số đa thức đặc biệt khác (đa thức với hệ số nguyên, đa thức Trebyshev, ) Cuối nêu số ứng dụng đa thức tính tốn, ước lượng, giải phương trình tốn cực trị Số hóa Trung