Bài toán phân hoạch số nguyên dương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH THỊ THU HUẾ BÀI TOÁN PHÂN HOẠCH SỐ NGUYÊN DƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH THỊ THU HUẾ BÀI TOÁN PHÂN HOẠCH SỐ NGUYÊN DƯƠNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - 2017 i Mục lục MỞ ĐẦU 1 Một số kết kinh điển toán phân hoạch số nguyên dương 1.1 Lịch sử phát triển toán phân hoạch số nguyên dương 1.2 Một số kết kinh điển 11 1.2.1 Công thức gần cho p(n) 1.2.2 Hàm sinh hàm phân hoạch 1.2.3 Đồng thức Rogers–Ramanujan 18 1.2.4 Tính chất đồng dư p(n) 1.2.5 Biểu diễn đồ thị phân hoạch chứng minh 11 13 22 Định lí số ngũ giác Euler 27 Một số lớp toán phân hoạch số nguyên khác toán liên quan 2.1 31 Phân hoạch thành phần phân biệt ánh xạ đối hợp Franklin 31 2.2 Phân hoạch thành phần lẻ song ánh Sylvester 34 2.3 Một số toán liên quan 35 2.3.1 Một số toán chứng minh 35 2.3.2 Bài toán chia kẹo Euler 39 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 ii Danh mục hình vẽ Hình 2.1: 33 Hình 2.2: 33 Hình 2.3: 35 Hình 2.4: 36 MỞ ĐẦU Bài toán biểu diễn số nguyên dương dạng tổng số nguyên dương có lịch sử lâu đời Leibniz người nghiên cứu tốn này, sau Euler, Sylvester, Hardy, Ramanujan, Andrews nhà tốn học có đóng góp quan trọng Bài tốn nói xuất nhiều vấn đề khác toán học đề tài nghiên cứu sôi tận ngày hơm (Các cơng trình Okounkov, Giải thưởng Fields 2006, có liên quan đến việc ứng dụng tốn xác suất, hình học đại số, học thống kê, ) Dưới hướng dẫn tận tình GS.TSKH Hà Huy Khoái, tác giả chọn đề tài:"Bài toán phân hoạch số nguyên dương" Luận văn có mục tiêu giới thiệu toán biểu diễn số nguyên dương dạng tổng, từ lịch sử phát triển kết kinh điển, đến số kết gần Luận văn trình bày số tốn liên quan đến tốn nói Với mục tiêu trên, tác giả tiến hành nghiên cứu hai chương: Chương Một số kết kinh điển toán phân hoạch số nguyên dương 1.1 Lịch sử phát triển toán phân hoạch số nguyên dương 1.2 Một số kết kinh điển Chương Một số lớp toán phân hoạch số nguyên khác số toán liên quan 2.1 Phân hoạch thành phần phân biệt ánh xạ đối hợp Franklin 2.2 Phân hoạch thành phần lẻ song ánh Sylvester 2.3 Một số toán liên quan Luận văn hoàn thành hướng dẫn, giúp đỡ tận tình GS.TSKH Hà Huy Khối, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn kính trọng sâu sắc Giáo sư Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Phòng sau đại học Khoa Toán-Tin trường Đại học Khoa học - Đạị học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu trường Xin chân thành cảm ơn giúp đỡ bạn bè, người thân thời gian qua Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót định Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý độc giả để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 06 năm 2017 Tác giả Đinh Thị Thu Huế Chương Một số kết kinh điển toán phân hoạch số nguyên dương Mục đích chương trình bày lịch sử phát triển số kết kinh điển toán phân hoạch số nguyên dương Tài liệu tham khảo Chương [3], [4] 1.1 Lịch sử phát triển toán phân hoạch số nguyên dương Phân hoạch lần xuất thư tay Leibnitz viết vào năm 1669 gửi cho John Bernoulli, ơng hỏi Bernoulli liệu có kiểm tra nhanh số cách viết số nguyên dương cho thành tổng hai hay nhiều số nguyên? Từ lý thuyết phân hoạch hình thành nhánh quan trọng lý thuyết số Khái niệm phân hoạch số ngun khơng âm thuộc tốn học tổ hợp (xem [4]) Định nghĩa 1.1 (xem [4]) Một phép phân hoạch số nguyên dương n dãy không tăng hữu hạn số nguyên dương λ1 λ2 λr cho ri=1 λi = n, λi gọi phần số hạng phân hoạch Đôi phân hoạch (λ1 , λ2 , , λr ) kí hiệu λ ta viết λ n | λ |= n Định nghĩa 1.2 (xem [4]) Hàm phân hoạch p(n) số phân hoạch n Khi xét phép phân hoạch n có số ý sau (xem [4]): Chú ý 1.1 Chúng ta thấy có phân hoạch, phân hoạch rỗng, khơng có phần tử Ta quy ước p(0) = Chú ý 1.2 Thường viết tắt phần lặp cách sử dụng lũy thừa Chú ý 1.3 Theo định nghĩa phân hoạch thứ tự không quan trọng 4+3 3+4 phân hoạch Một tập hợp có thứ tự gọi phép hợp thành Do đó, 4+3 3+4 hai phép hợp thành khác Ví dụ 1.1 Có năm phân hoạch số 4, 31, 22 , 212 , 14 Có bảy phân hoạch số 5, 41, 32, 312 , 22 1, 213 , 15 Leibnitz quan sát có phân hoạch (3, 21, 13 ), phân hoạch Sau ơng quan sát có phân hoạch 11 phân hoạch Điều gợi ý, số phân hoạch n số nguyên tố Tuy nhiên, điều khơng tính tốn 15 phân hoạch Như từ bước khởi đầu, toán phân hoạch dẫn đến câu hỏi mở mà đến tận ngày hôm chưa có lời giải: tồn vơ hạn hay hữu hạn n cho số phân hoạch n số nguyên tố? Bên cạnh câu hỏi p(n) như: cấp tăng nào? Tính chẵn lẻ nó? Liệu có tính chất số học đu cầu toán d = r1 + r2 + r3 + r4 Từ liệu ta có: (n + 2)(n + 1) − 3r2 − 3r3 − r4 (n + 2)(n + 1) + (r2 + r3 ) + r4 = 12 (n + 2)(n + 1) = + (r2 + r3 + r4 ) + 12 (n + 2)(n + 1) n = + +1 + 12 2 d = + r2 + r3 + r4 r4 n n − Bài toán 2.10 (xem [2]) Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình thỏa mãn: x1 + x2 + x3 + x4 = n với x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ x4 43 Giải (Lời giải Nguyễn Long Nhật Nguyễn Hùng Quang – Trường Chuyên KHTN) Bổ đề Burnside: "Nếu φ tập thuộc tập X Với ϕ thuộc φ với X ϕ biểu thị phần tử tập X xác định ϕ Bổ đề Burnside xác định số quỹ đạo khác toán, biểu thị |X/φ| : |X/φ| = ν(ϕ), |φ| ϕ∈φ ν(ϕ) số phần tử tập." • Nếu ϕ = id : v(ϕ) số nghiệm phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = n ⇒ v(ϕ) = Cn+3 có 1(ϕ) • Nếu ϕ ∈ ∅ : v(ϕ) số nghiệm 2x + y + z = n C42 = 6(ϕ) n Ta có x ∈ {0; 1; ; } phương trình n − 2x + với x n n (n − 2x + 1) = n + (n + 1) − n ⇒ v(ϕ) = x=0 +1 2 n+1 n +1 +1 = 2 • Nếu ϕ ∈ ∅ : v(ϕ) số nghiệm phương trình 2x + 2y = n C = 3(ϕ) *) Nếu n lẻ, phương trình vơ nghiệm n *) Nếu n chẵn, phương trình có + nghiệm n n n−1 +1 − ⇒ v(ϕ) = 2 • Nếu ϕ ∈ ∅ : v(ϕ) số nghiệm phương trình 3x + y = n n 2.4 = 8(ϕ) ⇒ v(ϕ) = + 4! • Nếu ϕ ∈ ∅ : v(ϕ) số nghiệm phương trình 4x = n = 6(ϕ) n n−1 ⇒ v(ϕ) = − 4 Tổng số ϕ 1+6+3+8+6=24 Theo Bổ đề Burnside số nghiệm phương trình ban đầu là: Cn+3 +6 24 n +1 n+1 +1 +3 n +1 n n−1 − 2 44 +8 n +1 +6 n n−1 − 4 Bài tốn tổng qt (xem [2]): Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình x1 + x2 + + xm = n với x1 ≤ x2 ≤ ≤ xm Giải Có thể áp dụng Bổ đề Burnside dùng phương thức đệ quy sau: Giả sử Mn,m tập hợp kết phương trình P (n, m) số tập thỏa mãn yếu tố phương trình Chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng: P (0, k) = với k , P (n, k) = P (n, n) cho tất k ≥ m Do đó, ta giả định thêm n cố định, có < m ≤ n Ta chia nhỏ tập Mn,m vào thành tập Ti (i = 1, 1, , m − 1) nên Ti chứa xác kết tốn No thỏa mãn điều kiện: = x1 = x2 = = xi < xi+1 < xi+2 < < xm Ta có (x1 , x2 , , xm ) −→ (xi+1 − 1, xi+2 − 1, , xm − 1), định nghĩa song ánh từ Ti đến Mn−m+i,m−i từ ≤ xi+1 − ≤ xi+2 − ≤ ≤ xm − 1, (xi+1 − 1) + (xi+2 − 1) + + (xm − 1) = n − m + i, ánh xạ: (y1 , y2 , , ym−i ) −→ (0, 0, , 0, y1 + 1, y2 + 1, , ym−i + 1) Có nghĩa |Ti | = |Mn−m+i,m−i |, viết: P (n, m) = P (n − 1, 1) + P (n − 2, 2) + + P (n − m, m), (1 < m ≤ n) với phương trình cụ thể ta tính kết cụ thể Một số tập áp dụng Bài 2.1 (xem [2]) Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình x + y + z + t = 1000, với t ≤ 499 Giải Số nghiệm thỏa mãn x + y + z + t = 1000 C1003 chia sau: • Thỏa mãn yêu cầu đề t ≤ 499 ... Chương Một số kết kinh điển toán phân hoạch số nguyên dương 1.1 Lịch sử phát triển toán phân hoạch số nguyên dương 1.2 Một số kết kinh điển Chương Một số lớp toán phân hoạch số nguyên khác số toán. .. GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - 2017 i Mục lục MỞ ĐẦU 1 Một số kết kinh điển toán phân hoạch số nguyên dương 1.1 Lịch sử phát triển toán phân hoạch số nguyên dương 1.2 Một số kết kinh điển ... Có bảy phân hoạch số 5, 41, 32, 312 , 22 1, 213 , 15 Leibnitz quan sát có phân hoạch (3, 21, 13 ), phân hoạch Sau ơng quan sát có phân hoạch 11 phân hoạch Điều gợi ý, số phân hoạch n số ngun