PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn vò , ,i j k r ur ur ( ) 1i j k = = = r r ur . B. ( ) 1 2 3 1 2 3 ; ; a a a a a a i a j a k = ⇔ + + uur uur ur ur uur ; M(x;y;z)⇔ OM xi y j zk = + + uur uuuuur ur uur C. Tọa độ của vectơ: cho ( ; ; ), ( '; '; ')u x y z v x y z r r 1. '; '; 'u v x x y y z z= ⇔ = = = r r 2. ( ) '; '; 'u v x x y y z z ± = ± ± ± r r 3. ( ; ; )ku kx ky kz= r 4. . ' ' 'u v xx yy zz = + + ur r 5. ' ' ' 0u v xx yy zz⊥ ⇔ + + = r r 6. 2 2 2 u x y z = + + r 7. ( ) ' ' ; ' ' ; ' '; ; ' ' ' ' ' ' yz y z zx z x xy x y y z z x x y u v y z z x x y = − − − ÷ ÷ ∧ = r r 8. ,u v ur r cùng phương⇔ [ , ] 0= r r r u v 9. ( ) cos , . . = ur r r r r r u v u v u v . D. Tọa độ của điểm: cho A(x A ;y A ;z A ), B(x B ;y B ;z B ) 1. ( ; ; )= − − − uuur B A B A B A AB x x y y z z 2. 2 2 2 ( ) ( ) ( )= − + − + − B A B A B A AB x x y y z z 3.G là trọng tâm tam giác ABC ta có: x G = 3 A B C x x x+ + ;y G = 3 A B C y y y+ + ; z G = 3 A B C z z z+ + 4. M chia AB theo tỉ số k: ; ; ; 1 1 1 − − − = = = − − − A B A B A B M M M x kx y ky z kz x y z k k k Đặc biệt: M là trung điểm của AB: ; ; . 2 2 2 A B A B A B M M M x x y y z z x zy + + + = = = 5. ABC là một tam giác⇔ AB AC∧ uuur uuur ≠ 0 r khi đó S= 1 2 AB AC∧ uuur uuur 6. ABCD là một tứ diện⇔ AB AC∧ uuur uuur . AD uuur ≠0, V ABCD = 1 , 6 AB AC AD∧ uuur uuur uuur , V ABCD = 1 . 3 BCD S h (h là đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A) II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT I. Mặt phẳng Mặt phẳng α được xác đònh bởi: {M(x 0 ;y 0 ;z 0 ), ( ; ; )n A B C= r }. Phương trình tổng quát của mặt phẳng α :Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D=0 hay A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0⇔ Ax+By+Cz+D=0. một số mặt phẳng thường gặp: a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0. b/ Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: co ù ( ) [ , ] ABC n AB AC= r uuur uuur c/ α // β ⇒ n n α β = uur uur d/ α ⊥ β ⇒ n u α β = uur uur và ngược lại e/ α //d⇒ d u u α = uur uur f/ α ⊥d⇒ d n u α = uur uur . 1 ( ) 1; 0;0i r ( ) 0;1;0j r ( ) 0;0;1k r O z x y II. Đường thẳngIV.Đường cong Đường thẳng ∆ được xác đònh bởi: {M(x 0 ;y 0 ;z 0 ), u ∆ uur =(a;b;c)} i.Phương trình tham số: 0 0 0 x x at y y bt z z ct = + = + = + ; ii.Phương trình chính tắc: 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = iii.Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng: 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D + + + = + + + = trong đó 1 1 1 1 ( ; ; )n A B C= uur , 2 2 2 2 ( ; ; )n A B C= uur là hai VTPT và VTCP 1 2 [ ]u n n ∆ = uur uuruur . †Chú ý: a/ Đường thẳng Ox: 0 0 y z = = ; Oy: 0 0 x z = = ; Oz: 0 0 x y = = b/ (AB): AB u AB= r uuur ; c/ ∆ 1 //∆ 2 ⇒ 1 2 u u ∆ ∆ = uur uur ; d/ ∆ 1 ⊥∆ 2 ⇒ 1 2 u n ∆ ∆ = uur uur . III. Góc- Kh/C Góc giữa hai đường thẳng *cos(∆,∆’)=cos ϕ = . ' . ' u u u u ur uur r uur ; Góc giữa hai mp *cos( α , α ’)=cosϕ= . ' . ' n n n n ur uur r uur ; Góc giữa đường thẳng và mp *sin(∆, α )=sinψ= . . n u n u ur r r r . KHOẢNG CÁCH Cho M (x M ;y M ;z M ), α :Ax+By+Cz+D=0,∆:{M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ), u ∆ r }, ∆’ {M’ 0 (x 0 ';y 0 ';z 0 '), 'u ∆ uur } * Khoảng cách từ M đến mặt phẳng α: d(M, α )= 2 2 2 M M M Ax By CZ D A B C + + + + + * Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆: d(M,∆)= 1 [ , ]MM u u uuuuur r r * Khoảng cách giữa hai đường thẳng: d(∆,∆’)= 0 0 [ , ']. ' [ , '] u u M M u u r uur uuuuuuuur uur uur III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Mặt cầu (S){I(a;b;c),bán kính R} Dạng 1: (x-a) 2 +(y-b) 2 +(z-c) 2 =R 2 (S) Dạng 2: x 2 +y 2 +z 2 -2ax-2by-2cz+d=0 khi đó R= 2 2 2 a b c d + + − 1. d(I, α )>R: α ∩ (S)=∅ 2. d(I, α )=R: α ∩ (S)=M (M gọi là tiếp điểm) *Điều kiện để mặt phẳng α tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, α)=R (mặt phẳng α là tiếp diện của mặt cầu (S) tại M khi đó n α uur = IM uuur ) 3. Nếu d(I, α )<R thì α sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao của α và (S). Để tìm tâm H và bán kính r của (C) ta làm như sau: a. Tìm r = 2 2 - ( , )R d I α b. Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, vuông góc với α +H=∆ ∩ α (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ∆ với α ) 2 3 . PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz. phẳng: 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D + + + = + + + = trong đó 1 1 1 1 ( ; ; )n A B C= uur , 2 2 2 2 ( ; ; )n A B C= uur là hai VTPT