Nghiên cứu điều khiển tối ưu cho hệ điều khiển có phương trình trạng thái dạng suy biến bằng phương pháp số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP - LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT NGHIÊN CỨU ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO HỆ ĐIỀU KHIỂN CÓ PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI DẠNG SUY BIẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ Ngành: TỰ ĐỘNG HĨA Mã số:23.04.3898 Học viên: NGƠ PHƯƠNG THANH Người HD Khoa học: PGS.TS NGUYỄN HỮU CÔNG THÁI NGUYÊN – 2011 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành chương trình cao học thực viết luận văn này, nhận hướng dẫn, giúp đỡ góp ý nhiệt tình q Thầy, Cơ giáo trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, số Trường, Viện khác Trước hết, xin chân thành cảm ơn đến quý Thầy, Cô giáo trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, số Trường, Viện khác, đặc biệt thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn tơi suốt thời gian học tập trường Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến Phó giáo sư – Tiến sĩ Nguyễn Hữu Công dành nhiều thời gian tâm huyết hướng dẫn nghiên cứu giúp tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp Đồng thời, tơi xin cảm ơn quý đồng nghiệp, bạn lớp Cao học khóa K12 - TĐH tạo điều kiện giúp đỡ tơi suốt q trình học tập đóng góp ý kiến q báu giúp tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thành viên đại gia đình, chồng trai tơi, người sát cánh động viên tinh thần vật chất, giúp tơi hồn thành khóa học luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng hồn thiện luận văn tất nhiệt tình lực mình, nhiên khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đóng góp quý báu quý Thầy, Cô giáo bạn Thái Nguyên, tháng 09 năm 2011 Tác giả Ngô Phương Thanh i Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài thực Các kết luận văn trung thực chưa công bố cơng trình tác giả khác Tất tài liệu tham khảo có nguồn gốc, xuất xứ rõ ràng Nếu sai tơi hồn tồn chịu trách nhiệm Thái Nguyên, ngày 20 tháng 09 năm 2011 Tác giả Ngơ Phương Thanh ii Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn TÓM TẮT LUẬN VĂN Tóm tắt: Nghiên cứu phương pháp số điều khiển tối ưu cho hệ thống động nói chung điều khiển tối ưu suy biến nói riêng ln vấn đề thời kỹ thuật điều khiển tự động hệ thống cần điều khiển ngày phức tạp Phương pháp giải tựa (giả) (Quasi-Sequential Approach QS-SQA) với phương pháp rời rạc hóa collocation trực giao coi phương pháp tiên tiến mà áp dụng cho toán điều khiển tối ưu suy biến phức tạp có kích thước tương đối lớn Ưu điểm phương pháp việc làm giảm đáng kể kích thước toán tối ưu cách đưa vào lớp tốn mơ (Simulation) để tiến hành giải hệ phương trình vi phân thường (ODEs) hệ phương trình vi phân đại số cấp (DAEs) mơ tả hệ thống động cần điều khiển Mục tiêu luận văn nghiên cứu vấn đề lý thuyết tối ưu động nói chung, điều khiển tối ưu suy biến nói riêng; sau phát triển gói phần mềm sử dụng phương pháp QS-SQA kết hợp với phần mềm giải toán tối ưu phi tuyến thơng thường IPOPT cho tốn điều khiển tối ưu suy biến Gói phần mềm tự động tiến hành việc rời rạc hóa mơ hình tốn dạng phương trình DAEs ODEs mơ tả hệ thống người sử dụng cung cấp, sau tiến hành giải tốn tối ưu tĩnh vừa hình thành phương pháp tối ưu điểm IP (Interior Point) Phương pháp rời rạc hóa biến điều khiển đoạn số (piece-wise constant) sử dụng luận văn phù hợp với phương pháp điều khiển số hành 06 ví dụ từ đơn giản đến phức tạp điều khiển tối ưu suy biến dùng để minh họa thuật toán so sánh với phương pháp điều khiển khác Từ khóa: tối ưu động, điều khiển tối ưu suy biến, hệ phương trình vi phân đại số, collocation trực giao, phương pháp tựa tuần tự, tối ưu phi tuyến, phương pháp tối ưu điểm iii Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn ……………………………………………………………… i Lời cam đoan …………………………………………………………… ii Tóm tắt luận văn ………………………………………………………… iii Mục lục …………………………………………………………………… iv Danh mục hình vẽ ……………………………………………………… vii Danh mục chữ viết tắt ……………………………………………… viii Lời nói đầu ……………………………………………………………… ix Chƣơng BÀI TOÁN TỐI ƢU TỔNG QUÁT ……………………… 1.1 Giới thiệu phân loại toán tối ƣu ……………………… 1.1.1 Giới thiệu chung ………………………………………………… 1.1.2 Phân loại toán tối ƣu ………………………………………… 1.2 Bài toán tối ƣu tĩnh …………………………………………… 1.2.1 Khái niệm ………………………………………………………… 1.2.2 Bài toán tối ƣu phi tuyến liên tục ………………………………… 1.2.3 Phƣơng pháp SQP với tập giới hạn tích cực (AS-SQP) ………… 1.2.4 Phƣơng pháp SQP điểm (IP-SQP) ……………………… 1.2.5 Những so sánh hai phƣơng pháp AS-SQP IP-SQP …… 11 1.3 Bài toán tối ƣu động ………………………………………… 12 1.3.1 Khái niệm ………………………………………………………… 13 1.3.2 Các phƣơng pháp gián tiếp ……………………………………… 13 1.3.2.1 Phương pháp biến phân ………………………………………… 13 1.3.2.2 Phương pháp quy hoạch động Bellman ………………………… 17 1.3.2.3 Nguyên lý cực đại Pontryagin …………………………………… 21 1.3.3 Các phƣơng pháp trực tiếp ……………………………………… 28 1.3.3.1 Các sở tốn học ……………………………………………… 28 iv Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương pháp collocation trực giao ……………………………… 28 Phương pháp Newton-Raphson …………………… ………… 30 1.3.3.2 Phương pháp đồng thời (Simultaneous Approach) ………………… 31 1.3.3.3 Phương pháp (Sequential Approach) ……………………… 33 1.3.3.4 Phương pháp tựa (Quasi-Sequential Approach QS-SQA) … 35 Chƣơng PHƢƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU CHO HỆ CĨ PHƢƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI SUY BIẾN 39 2.1 Bài toán điều khiển tối ƣu ………………………………….… 39 2.1.1 Khái niệm ……………………………………………………….… 39 2.1.2 Phân loại …………………………………………………………… 40 2.1.3 Giải toán điều khiển tối ƣu liên tục ………………………… 41 2.2 Bài toán điều khiển tối ƣu suy biến ………………………… 42 2.2.1 Khái niệm ………………………………………………………… 42 2.2.2 Các đặc điểm ……………………………………………………… 42 2.3 Lựa chọn phƣơng pháp giải phần mềm ………………… 43 2.3.1 Lựa chọn phƣơng án IP-SQP …………………………………… 43 2.3.2 Phần mềm IPOPT ………………………………………………… 45 2.3.2.1 Method get_nlp_info ………………………………………… 46 2.3.2.2 Method get_bounds_info …………………………………… 47 2.3.2.3 Method get_starting_point ……………………………… 48 2.3.2.4 Method eval_f ………………………………………………… 49 2.3.2.5 Method eval_grad_f ………………………………………… 49 2.3.2.6 Method eval_g …………………………………………….…… 50 2.3.2.7 Method eval_jac_g …………………………………………… 51 2.3.2.8 Method eval_h ……………………………………………….… 52 2.3.2.9 Method finalize_solution ………………………………… 54 2.3.2.10 Hàm main()…………………………………………………… 55 Chƣơng CÁC VÍ DỤ MINH HỌA & KẾT QUẢ MƠ PHỎNG v Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 3.1 Ví dụ minh họa ………………………………………… …… 56 3.1.1 Ví dụ …………………………………………………………… 56 3.1.2 Ví dụ ……………………………………………………………… 58 3.1.3 Ví dụ ……………………………………………………………… 60 3.1.4 Ví dụ ……………………………………………………………… 60 3.1.5 Ví dụ ……………………………………………………………… 63 3.1.6 Ví dụ ……………………………………………………………… 65 3.2 Nhận xét ………………………………………………………….… 67 Chƣơng KẾT LUẬN & KIẾN NGHỊ ……………………………… 68 4.1 Kết luận ………………………………………………………… 68 4.2 Một số kiến nghị hƣớng nghiên cứu …………… 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………… 70 vi Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn DANH MỤC HÌNH VẼ Trang Hình 1.1: Sơ đồ tổng quan tốn tối ưu …………………………………… Hình 1.2: Sơ đồ hình toán tối ưu tĩnh tổng quát ………………… Hình 1.3: Đồ thị tốn 1.1 …………………………………………… Hình 1.4: Hàm chuyển đổi mẫu điều khiển tối ưu …………………… 24 Hình 1.5: Phương pháp rời rạc hóa Radau collocation (NC=3) …………… 29 Hình 1.6: Sơ đồ tổng quan phương pháp giải đồng thời……………………… 33 Hình 1.7: Sơ đồ tổng quan phương pháp giải lần lượt…………………….… 34 Hình 1.8: Sơ đồ tổng quan phương pháp giải tựa lần lượt…………………… 35 Hình 3.1: Đồ thị tín hiệu biến trạng thái điều khiển (ví dụ 1)………….… 58 Hình 3.2a: Đồ thị tín hiệu biến trạng thái điều khiển (ví dụ 2)……….…… 59 Hình 3.2b: Tín hiệu điều khiển với Jmin=0.2683938 [18] (ví dụ 2)….… 59 Hình 3.3a: Đồ thị tín hiệu biến trạng thái điều khiển (ví dụ 3)…………… 61 Hình 3.3b: Tín hiệu biến điều khiển với Jmin=0.7539845 [18] (ví dụ 3)… 61 Hình 3.4a: Đồ thị tín hiệu biến trạng thái điều khiển (ví dụ 4)…………… 62 Hình 3.4b: Tín hiệu biến điều khiển với Jmin=1.2521134 [18] (ví dụ 4) 62 Hình 3.5a: Đồ thị tín hiệu biến trạng thái (ví dụ 5)………………………… 63 Hình 3.5b: Đồ thị tín hiệu biến điều khiển (ví dụ 5)……………………….… 64 Hình 3.5c: Tín hiệu biến điều khiển với Jmin=0.11928 [18] (ví dụ 5)… 64 Hình 3.6a: Đồ thị tín hiệu biến trạng thái (ví dụ 6)………………………….… 66 Hình 3.6b: Đồ thị tín hiệu biến điều khiển (ví dụ 6)………………………… 66 Hình 3.6c: Tín hiệu biến điều khiển với Jmin=2.335x10-9 [18] (ví dụ 6)… 67 vii Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Tiếng Việt I BTQHPT toán quy hoạch phi tuyến BTQHL toán quy hoạch lồi BTQHTP tốn quy hoạch tồn phương BTQHTT tốn quy hoạch tuyến tính Tiếng Anh II AEs Algebraic Equations - hệ phương trình đại số AS Active Set – tập tích cực CSTR Continuous Stirred Tank Reactor - bể phản ứng trộn liên tục DAEs Differential Algebraic Equations - hệ phương trình vi phân-đại số IDM Iterative Dynamic Programming – quy hoạch động lặp IP Interior Point – điểm KKT Karush–Kuhn–Tucker NLP NonLinear Programming – quy hoạch (tối ưu) phi tuyến NMPC Nonlinear Model Predictive Control – điều khiển dự báo mơ hình phi tuyến ODEs Ordinary Differential Equations hệ phương trình vi phân thường QP Quadratic Programming – tối ưu toàn phương QS-SQA Quasi-Sequential Approach - Phương pháp tựa SQP Sequential Quadratic Programming – tối ưu toàn phương liên tiếp SMA Simultaneous Approach - Phương pháp giải đồng thời SQA Sequential Approach - Phương pháp giải viii Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn ix Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ minh họa 57 J   0.5 x12 (t )dt (3.1a) cho x1  u (3.1b) 1.0  u  1.0 (3.1c) x1 (0)  (3.1d) Bài toán tối ưu động (3.1) giải sau: để tối thiểu hóa (3.1a), ta cần giảm giá trị x1 t=0, x1(0)=1.0 nhanh tốt, tức chọn u=-1 đến x1=0, sau chọn u=0 Ta có: x1  1  x1  a  t Từ điều kiện đầu x1 (0)  1.0  a  1.0  x1  1.0  t Đến t=1.0 x1=0 nên đoạn t=[1.0; 2.0] chọn u=0 ta có x1=0 J  0.5 (1  t ) dt   0.dt   0.16666667 Giá trị cực tiểu (3.1e) Chuyển toán (3.1) dạng dễ thực với phương pháp số, ta đặt: x2  0.5 x12 Bài toán (3.1) trở thành: J  x2 (t f ) (3.2a) x1  u (3.2b) x2  0.5 x12 (3.2c) 1.0  u  1.0 (3.2d) x(0)  [1,0]T (3.2e) cho với tf=2.0 Bài toán rời rạc hóa với NL=20, tức t  2.0 20  0.01 (đơn vị thời gian) Sau khoảng thời gian CPUtime=210ms với 24 lần lặp, chương trình cho kết Jmin=1.666667 Các đồ thị biến trạng thái biến điều khiển vẽ MATLAB trình bày hình 3.1 Hình 3.1 cho thấy kết tính tốn phương pháp số phù hợp với kết tính tốn theo phương pháp trực giác (3.1e) Sự chuyển đổi giá trị kiểu nhảy bậc tín hiệu điều khiển xảy t=1.0, vị trí biên khoảng thời gian t K12 – TĐH / 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Luận văn Thạc sĩ Ngơ Phương Thanh http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ minh họa 58 Hình 3.1: Đồ thị tín hiệu biến trạng thái điều khiển (ví dụ 1) 3.1.2 Ví dụ Ví dụ thứ xem xét toán điều khiển tối ưu động mô tả sau: J  x3 (t f ) (3.3a) x1  x2 x2  u (3.3b) x3  x12 (3.3d) 1.0  u  1.0 (3.3e) x(0)  [0,1,0]T (3.3f ) cho (3.3c) với tf=5.0 Bài toán rời rạc hóa với NL=87, tức t  5.0 87  0.05747 (đơn vị thời gian) Kết Jmin=0.2684542 đạt sau khoảng thời gian tính tốn CPUtime=2.4s 29 lần lặp Kết đem so sánh với Jmin[18]=0.2683938 lớn hơn; điều ví dụ [18] giải với khoảng thời gian thích nghi (có thể thay đổi) để nhận biết thời điểm cần xảy bước nhảy tín hiệu điều khiển Đây điểm hạn chế phương pháp QS-SQA với khoảng thời gian rời rạc hóa cố định Hình 3.2a cho thấy việc diễn q trình nhảy bậc tín hiệu điều khiển xảy khơng dứt khốt có dao động nhỏ K12 – TĐH / 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Luận văn Thạc sĩ Ngô Phương Thanh http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ minh họa 59 Điều dường chưa phù hợp với toán điều khiển tối ưu suy biến mà thường có tín hiệu điều khiển nhảy bậc dạng số tuyến tính Tuy nhiên so sánh mặt thời gian phương pháp QS-SQA cần 2.4s (CPU Pentium D830 3GHz) kết so với khoảng 7000s (CPU Pentium3/500MHz) [18] Điều cho thấy ưu tốc độ tính tốn phương pháp QS-SQA Hình 3.2a: Đồ thị tín hiệu biến trạng thái điều khiển (ví dụ 2) Hình 3.2b: Tín hiệu điều khiển với Jmin=0.2683938 [18] (ví dụ 2) K12 – TĐH / 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Luận văn Thạc sĩ Ngơ Phương Thanh http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ minh họa 60 3.1.3 Ví dụ Ví dụ thứ tốn (3.3) ví dụ với giá trị x22 đưa thêm vào phương trình vi phân (3.3d) để trở thành toán: J  x3 (t f ) (3.4a) x1  x2 x2  u (3.4b) x3  x12  x22 (3.4d) 1.0  u  1.0 (3.4e) x(0)  [0,1,0]T (3.4f ) cho (3.4c) với tf=5.0 Bài tốn rời rạc hóa với NL=53, tức t  5.0 53  0.0943 (đơn vị thời gian) Kết Jmin=0.7539842 đạt sau khoảng thời gian tính tốn CPUtime=6.3s 141 lần lặp Theo [18], việc đưa thêm phần tử x22 vào phương trình (3.4d) làm cho tốn dễ giải so với ví dụ Kết thu hình 3.3a tín hiệu điều khiển có dạng đơn giản Tuy nhiên việc thời gian giải CPUtime kéo dài số lần lặp nhiều so với ví dụ đặt câu hỏi tính ổn định phương pháp QS-SQA mà phụ thuộc vào nhiều lựa chọn số lượng khoảng thời gian rời rạc hóa NL, lựa chọn phần giải hệ phi tuyến phương pháp Newton-Raphson, lựa chọn phần chương trình giải tốn tối ưu phi tuyến IPOPT 3.1.4 Ví dụ Bài tốn điều khiển tối ưu động với hệ bậc dùng làm ví dụ minh họa thứ sau: J  x4 (t f ) (3.5a) x1  x2 x2  x3 (3.5b) x3  u (3.5d) x4  x (3.5e) cho (3.5c) 1.0  u  1.0 (3.5f ) x(0)  [1,0,0,0] T K12 – TĐH / 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN (3.5g) Luận văn Thạc sĩ Ngô Phương Thanh http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ minh họa 61 với tf=5.0 Hình 3.3a: Đồ thị tín hiệu biến trạng thái điều khiển (ví dụ 3) Hình 3.3b: Tín hiệu biến điều khiển với Jmin=0.7539845 [18] (ví dụ 3) Bài tốn rời rạc hóa với NL=103, tức t  5.0 103  0.04854 (đơn vị thời gian) Kết Jmin=1.252139 đạt sau khoảng thời gian tính tốn 7.6s 46 lần lặp Kết hình 3.4a-3.4b lần chuyển trạng thái tín hiệu điều khiển Sự sai khác thời điểm xảy việc nhảy bậc tín hiệu điều khiển hình 3.4a 3.4b dẫn đến sai khác nhỏ kết phương K12 – TĐH / 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Luận văn Thạc sĩ Ngơ Phương Thanh http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ minh họa 62 pháp tính Điều đặt yêu cầu nâng cao chất lượng phương pháp QS-SQA Hình 3.4a: Đồ thị tín hiệu biến trạng thái điều khiển (ví dụ 4) Hình 3.4b: Tín hiệu biến điều khiển với Jmin=1.2521134 [18] (ví dụ 4) K12 – TĐH / 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Luận văn Thạc sĩ Ngô Phương Thanh http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ minh họa 63 3.1.5 Ví dụ Ví dụ minh họa thứ toán điều khiển tối ưu suy biến sau: J  x4 (t f ) (3.6a) x1  x2 (3.6b) x2   x3u  16 x5  8.0 x3  u (3.6c) cho (3.6d) x4  x12  x22  0.0005( x2  16.0 x5  8.0  0.1x3u ) x5  1.0 (3.6e) (3.6f ) 4.0  u  10.0 (3.6g) x(0)  [0, 1.0,  5,0,0]T (3.6h) với tf=1.0 Bài toán rời rạc hóa với NL=45, tức t  1.0 45  0.0222 (đơn vị thời gian) Kết Jmin=0.11928 đạt sau khoảng thời gian tính tốn 8.2s (với CPU Pentium D830 3GHz) 147 lần lặp Để đạt kết tương tự, phương pháp IDM (Iterative Dynamic Programming – quy hoạch động lặp) cần tới 855s (với CPU PentiumII/350MHz) Điều lần cho thấy phương pháp QS-SQA có tốc độ tính tốn nhanh nhiều so với phương pháp IDM [18] Hình 3.5a: Đồ thị tín hiệu biến trạng thái (ví dụ 5) K12 – TĐH / 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Luận văn Thạc sĩ Ngô Phương Thanh http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ minh họa 64 Hình 3.5b: Đồ thị tín hiệu biến điều khiển (ví dụ 5) Hình 3.5c: Tín hiệu biến điều khiển với Jmin=0.11928 [18] (ví dụ 5) K12 – TĐH / 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Luận văn Thạc sĩ Ngô Phương Thanh http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ minh họa 65 3.1.6 Ví dụ Ví dụ minh họa cuối toán điều khiển tối ưu cho hệ CSTR (Continuous Stirred Tank Reactor – bể phản ứng trộn liên tục) hai giai đoạn (hai bể) dùng cơng nghiệp hóa học Đây tốn có hai tín hiệu điều khiển, u1 u2, mô tả sau: J  x12 (t f )  x22 (t f )  x32 (t f )  x42 (t f ) (3.7a) x1  3 x1  g1 (x) (3.7b) x2  11.1558 x2  g1 (x)  8.1558( x2  0.1592)u1 x3  1.5(0.5 x1  x3 )  g (x) (3.7c) cho x4  0.75 x2  4.9385 x4  g (x)  3.4385( x4  0.122)u2 (3.7d) (3.7e) 1.0  u j  1.0; j  1, (3.7f ) x(0)  [0.1962, 0.0372,0.0946,0]T (3.7g) đó:  10.0  g1 (x)  1.5  107 (0.5251  x1 ) exp    x2  0.6932   15.0  1.5  1010 (0.4748  x1 ) exp    1.4280  x2  0.6932  (3.7h)  10.0  g (x)  1.5  107 (0.4236  x2 ) exp    x4  0.6560   15.0  1.5  1010 (0.5764  x3 ) exp    0.5086  x4  0.6560  (3.7i) tf=0.32353 Trong [18], toán thực chất toán có thời gian cuối khơng cố định Tuy nhiên luận văn chưa đề cập đến loại toán nên tác giả tạm thời lấy thời điểm cuối tf=0.32353 thời điểm đạt kết tối ưu [18] Bài tốn rời rạc hóa với NL=41, tức t  0.32353 41  0.00789 (đơn vị thời gian) Kết Jmin=4.892733.10-9 đạt sau khoảng thời gian tính tốn 6.4s 91 lần lặp Các đồ thị biến trạng thái biến điều khiển thể hình 3.6a 3.6b, so sánh với kết đạt [18] hình 3.6c K12 – TĐH / 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Luận văn Thạc sĩ Ngô Phương Thanh http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ minh họa 66 Hình 3.6a: Đồ thị tín hiệu biến trạng thái (ví dụ 6) Hình 3.6b: Đồ thị tín hiệu biến điều khiển (ví dụ 6) K12 – TĐH / 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Luận văn Thạc sĩ Ngơ Phương Thanh http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét 67 Hình 3.6c: Tín hiệu biến điều khiển với Jmin=2.335x10-9 [18] (ví dụ 6) 3.2 Nhận xét Qua 06 ví dụ sử dụng để minh họa nghiên cứu áp dụng phương pháp số giải toán điều khiển tối ưu suy biến trình bày trên, ta rút số nhận xét sau:  Bài toán điều khiển tối ưu suy biến nhạy với thời điểm xảy việc chuyển trạng thái biến điều khiển; phương pháp điều khiển yêu cầu phải phát xác thời điểm nhằm nâng cao chất lượng điều khiển Nếu phương pháp điều khiển thực việc rời rạc hóa tín hiệu điều khiển tín hiệu trạng thái u cầu thực rời rạc hóa với khoảng thời gian thich nghi (có thể thay đổi được) quan trọng  Phương pháp QS-SQA [12] có tốc độ tính tốn nhanh với kết chấp nhận so với phương pháp IDM (Iterative Dynamic Programming [18]) truyền thống Điều hứa hẹn kết nghiên cứu sâu áp dụng phương pháp QS-SQA toán điều khiển thời gian thực, chẳng hạn phương pháp NMPC (Nonlinear Model Predictive Control) K12 – TĐH / 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Luận văn Thạc sĩ Ngô Phương Thanh http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận & Kiến nghị 68 Chƣơng KẾT LUẬN & KIẾN NGHỊ 4.1 Kết luận Luận văn mô tả nghiên cứu điều khiển tối ưu suy biến cho hệ động học phi tuyến sử dụng phương pháp tựa QS-SQA Trong nghiên cứu này, chương trình thực tốn điều khiển phát triển dựa phần mềm mã nguồn mở dùng để giải toán tối ưu phi tuyến tổng quát IPOPT Chương trình cho phép người sử dụng đưa vào hàm mục tiêu, mơ hình tốn, hệ DAEs bậc hệ ODEs mơ tả tính động hệ thống xét, với ràng buộc quỹ đạo biến trạng thái biến điều khiển Sau đó, chương trình tự động thực việc rời rạc hóa hệ DAEs ODEs sử dụng phương pháp collocation trực giao lớp tốn mơ (Simulation) nhằm chuyển tốn tối ưu động thành toán tối ưu tĩnh tiến hành giải nhờ phương pháp tối ưu điểm IP (Interior Point) Ưu điểm phương pháp QS-SQA kích thước tốn tối ưu tĩnh giảm nhỏ có biến điều khiển (mà số lượng thường số lượng biến trạng thái) làm biến trực tiếp toán tối ưu tĩnh vịng ngồi, cịn biến trạng thái với ràng buộc bất phương trình quỹ đạo chuyển thành ràng buộc dạng bất phương trình tốn tối ưu tĩnh Tính hiệu phương pháp điều khiển tối ưu suy biến trình bày luận văn thể thông qua ví dụ chương Thơng qua ví dụ này, ưu điểm nhược điểm phương pháp điều khiển bộc lộ xuất phát từ đó, hướng phát triển đề tài định hình phần 4.2 Một số kiến nghị hƣớng nghiên cứu Hướng phát triển đề tài nghiên cứu điều khiển tối ưu suy biến cho hệ động học phi tuyến cần tiến hành theo hướng nghiên cứu sâu lý thuyết áp dụng rỗng rãi với tốn thực tế có kích thước lớn Những việc cần làm cụ thể sau: Nghiên cứu tính ổn định mặt tốn học phương pháp điều khiển tối ưu suy biến, đặc biệt với phương pháp collocation trực giao áp dụng giải hệ DAEs phương pháp QS-SQA điều khiển tối ưu Nghiên cứu phương pháp điều khiển với khoảng thời gian t thích nghi (adaptive t ) nhằm nâng cao độ xác, đặc biệt quan trọng với K12 – TĐH / 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Luận văn Thạc sĩ Ngô Phương Thanh http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận & Kiến nghị 69 đáp ứng nhảy bậc tín hiệu điều khiển, việc hạn chế gia tốc tín hiệu điều khiển cần quan tâm Nghiên cứu áp dụng phương pháp tối ưu tiên tiến cho toán tối ưu tĩnh hình thành sau rời rạc hóa tối ưu động phi tuyến liên tục Nghiên cứu mở rộng toán áp dụng cho đối tượng mơ tả hệ phương trình vi phân riêng phần PDEs (Partial Differential Equations), hệ có yếu tố ngẫu nhiên (stochastic systems), hệ có thơng số biến đổi theo thời gian (time-dependent parameter systems), hệ có thời gian cuối không cố định, tiến tới áp dụng cho điều khiển Dự báo mơ hình phi tuyến NMPC (Nonlinear Model Predictive Control) toán điều khiển tối ưu trực tuyến thời gian thực K12 – TĐH / 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Luận văn Thạc sĩ Ngô Phương Thanh http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO I Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Phương Hà Giáo trình mơn lý thuyết điều khiển đại Học kì năm học 2005-2006 [2] Nguyễn Hải Thanh Tối ưu hóa - Giáo trình cho ngành Tin học Công nghệ thông tin, Hà nội, 2006 II Tiếng Anh [3] A Wächter An Interior Point Algorithm for Large-Scale Nonlinear Optimization with Applications in Process Engineering PhD thesis, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA, USA, January 2002 [4] A Wächter and L T Biegler Line search filter methods for nonlinear programming: Local conver- gence SIAM Journal on Optimization, 16(1):32– 48, 2005 [5] A Wächter and L T Biegler Line search filter methods for nonlinear programming: Motivation and global convergence SIAM Journal on Optimization, 16(1):1–31, 2005 [6] A Wächter and L T Biegler On the implementation of a primal-dual interior point filter line search algorithm for large-scale nonlinear programming Mathematical Programming, 106(1):25–57, 2006 [7] Andersson, Joel; Houska, Boris and Diehl, Moritz Towards a Computer Algebra System with Automatic Differentiation for use with Object-Oriented modelling languages http://www.ep.liu.se/ecp/047/011/, 2010 [8] A Package for Differentiation of C++ Algorithms http://www.coinor.org/CppAD/ [9] Benoit C Chachuat Nonlinear and dynamic optimization: From Theory to Practice Laboratoire d'Automatique, École Polytechnique Fédérale de Lausanne K12 – TĐH / 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Luận văn Thạc sĩ Ngô Phương Thanh http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo 71 [10] COIN-OR Introduction to Ipopt: A tutorial for downloading, installing, and using Ipopt, 2009 (Có sẵn trang web: https://projects.coinor.org/svn/Ipopt/releases/3.5.4/Ipopt/doc/documentation.pdf.) [11] David John Bell and David H Jacobson Singular optimal control problems Academic Press, London, 1975 [12] Hong, W.; P Li; G Wozny; L T Biegler and S Wang, A Quasi-Sequential Approach to Large-Scale Dynamic Optimization Problems, AIChE Journal, Volume 52, No.1, January 2006, 255-268 [13] Jorge Nocedal and Stephen J Wright Numerical Optimization Second Edition, New York, 2006 [14] J Nocedal, A Wächter and R A Waltz Adaptive barrier strategies for nonlinear interior methods Technical Report RC 23563, IBM T.J Watson Research Center, Yorktown Heights, USA, March 2005 [15] John T Betts and Jörg M Gablonsky A Comparison of Interior Point and SQP Methods on Optimal Control Problems Phantom Works, Mathematics & Computing Technology, March 2002 [16] Ke Xie Development of A Software Environment for Nonlinear Dynamic Optimization Based On A Quasi-Sequential Approach Diplomarbeit, TU Ilmenau, 2008-10-10/122/EI03/2212 [17] KNITRO Tại địa http://www.gams.com/dd/docs/solvers/knitro.pdf [18] R Luus Iterative Dynamic Programming, Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics Chapman & Hall/CRC, 2000 [19] R Fourer; D M Gay; and B W Kernighan AMPL: A Modeling Language For Mathematical Programming Thomson Publishing Company, Danvers, MA, USA, 1993 [20] V S Vassiliadis; R W H Sargent and C C Pantelides Solution of a Class of Multistage Dynamic Optimization Problems Problems with Path Constraints Ind, Eng Chem Res., 33, 1994, 2123-2133 [21] W Hock and K Schittkowski Test examples for nonlinear programming codes Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 187, 1981 K12 – TĐH / 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Luận văn Thạc sĩ Ngô Phương Thanh http://www.lrc-tnu.edu.vn ... nghiệp: ? ?Nghiên cứu điều khiển tối ưu cho hệ điều khiển có phương trình trạng thái dạng suy biến phương pháp số? ?? hướng dẫn khoa học trực tiếp PGS TS Nguyễn Hữu Công Nghiên cứu phương pháp số điều khiển. .. phức tạp điều khiển tối ưu suy biến dùng để minh họa thuật toán so sánh với phương pháp điều khiển khác Từ khóa: tối ưu động, điều khiển tối ưu suy biến, hệ phương trình vi phân đại số, collocation... gian biến điều khiển không gian biến trạng thái Trong phương pháp này, có biến điều khiển u(t) rời rạc hóa (tham số hóa) thành tập hữu hạn tham số điều khiển dạng đoạn đa thức đoạn số Do phương pháp