Xấp xỉ cấp hai của tập chấp nhận được và điều kiện cần tối ưu cấp hai

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––– ĐỒNG THÁI LÂM XẤP XỈ CẤP HAI CỦA TẬP CHẤP NHẬN ĐƯỢC VÀ ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU CẤP HAI Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 ḶN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đỗ Văn Lưu THÁI NGUYÊN - 2012 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chương 1: ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU CẤP HAI CỦA H KAWASAKI 1.1 Xấp xỉ cấp tập chấp nhận 1.1.1 Các ràng buộc tích cực 1.1.2 Xấp xỉ cấp hai miền chấp nhận 1.2 Điều kiện cần tối ưu cấp hai dạng gốc 11 1.3 Điều kiện cần tối ưu cấp dạng đối ngẫu 14 1.4 Áp dụng cho toán cực tiểu hàm sup 25 Chương 2: TÍNH CHÍNH QUY MÊTRIC VÀ ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU CẤP HAI CỦA R COMINETTI 32 2.1 Tính quy metric 32 2.2 Các xấp xỉ tiếp tuyến cấp một, cấp hai tập chấp nhận 39 2.3 Điều kiện cần tối ưu cấp hai 44 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết điều kiện tối ưu phận quan trọng lý thuyết toán cực trị Cho đến người ta nhận nhiều kết phong phú đẹp đẽ điều kiện tối ưu cấp 1, cấp cấp cao cho toán tối ưu trơn không trơn (xem chẳng hạn [2] - [8], [10]) Theo hướng nghiên cứu chọn đề tài: "Xấp xỉ cấp hai tập chấp nhận điều kiện cần tối ưu cấp hai" Cụ thể điều kiện tối ưu cấp thường biểu diễn ngôn ngữ đạo hàm cấp 1, cấp đạo hàm suy rộng tập tiếp tuyến cấp 1, cấp Khác với điều kiện cần cấp thông thường, điều kiện cần tối ưu cấp hai Kawasaki[7] Cominetti[5] có thêm số hạng xem đạo hàm cấp tập hợp Các điều kiện cần tối ưu cấp nghiên cứu hai dạng: gốc đối ngẫu ngôn ngữ xâp xỉ cấp tập chấp nhận Trong điều kiện cần cấp đối ngẫu có thêm số hạng ngồi đạo hàm cấp hai hàm Lagrange Đề tài có tính thời sự, nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn trình bày điều kiện cần tối ưu cấp Kawasaki[7] Cominetti[5] cho toán tối ưu khả vi có ràng buộc bao hàm thức ràng buộc tập Các điều kiện cần tối ưu cấp trình bày hai đạng gốc đối ngẫu Khác với điều kiện cần cấp thông thường, điều kiện cần tối ưu cấp dạng đối ngẫu có thêm số hạng ngồi đạo hàm cấp hàm Lagrange 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau: - Đọc, dịch tài liệu từ hai báo tiếng anh Kawasaki Cominetti - Sử dụng kết hai báo để xây dựng nội dung luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương pháp nghiên cứu Sử dụng cơng cụ giải tích hàm, giải tích lồi kiến thức lý thuyết tối ưu Bố cục luận văn Luận văn bao gồm 60 trang, có phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày điều kiện cần tối ưu cấp Kawasaki[7] cho toán khả vi có ràng buộc đẳng thức ràng buộc nón có phần khác rỗng ngơn ngữ đạo hàm cấp 1, cấp tập tiếp tuyến cấp dạng gốc dạng đối ngẫu Các áp dụng cho toán cực tiểu hàm sup trình bày chương Chương trình bày điều kiện cần tối ưu cấp Cominetti[5] phương pháp quy mêtric cho tốn khả vi có ràng buộc bao hàm thức ràng buộc tập Kết tính quy mêtric sử dụng để tính tập tiếp tuyến cấp tập chấp nhận Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn, bảo tận tình PGS.TS Đỗ Văn Lưu - Viện toán học Việt Nam Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn Thầy hướng dẫn tận tình với kinh nghiệm truyền đạt cho tơi q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Cuối xin cảm ơn Sở GD&ĐT Thái Nguyên, Trung tâm GDTX tỉnh Thái Nguyên tạo điều kiện cho học, cảm ơn trường Đại học sư phạm Thái Nguyên tạo điều kiện để thầy giáo, giáo giảng dạy, cung cấp kiến thức cho khóa học Do thời gian kiến thức có hạn nên luận văn tơi chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Do đó, tơi mong có đóng góp thầy bạn để luận văn tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU CẤP HAI CỦA H KAWASAKI Chương trình bày điều kiện cần tối ưu cấp hai Kawasaki [7] cho tốn có ràng buộc đẳng thức ràng buộc nón có phần khác rỗng với hàm thuộc lớp C Các điều kiện cấp hai trình bày ngơn ngữ đạo hàm cấp 1, cấp tập tiếp tuyến cấp hai hai dạng gốc đối ngẫu Trong điều kiện cấp hai dạng đối ngẫu có thêm số hạng đạo hàm cấp hai hàm Lagrange Các kết áp dụng cho toán cực tiểu hàm sup 1.1 Xấp xỉ cấp tập chấp nhận Xét toán tối ưu Min f ( x), ( P) đó: g ( x)  K , h( x)  0, X, V W không gian Banach, f : X   , g : X  V h : X  W thuộc lớp C , K nón lồi đóng V với phần khác rỗng 1.1.1 Các ràng buộc tích cực Cho hữu hạn bất đẳng thức ràng buộc g1 ( x)  0, g ( x)  0, , g m ( x)  (1.1.1) Ta cần xét ràng buộc tích cực nghiệm tối ưu x , tức gi ( x)  i  I ( x ) : {j {1,2, , m}, g j ( x )  0} (1.1.2) Với ràng buộc bất đẳng thức tổng quát : g ( x)  K , (1.1.3) K nón lồi đóng với phần khác rỗng, khái niệm "tích cực" khơng rõ Ta ý‎ có khác biệt ràng buộc đẳng thức Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ràng buộc bất đẳng thức tổng quát Gọi I khoảng đóng, bị chặn  ; C ( I ) tập hàm liên tục I C ( I )  {u  C ( I ) : u (t )  0, t  I } Ta xét trường hợp K  C ( I ) Khi (1.1.3) có dạng: g ( x)(t )  0, t  I (1.1.4) Ta định nghĩa tập tham số ràng buộc tích cực: I ( x ) : {t  I ; g ( x )(t )  0} (1.1.5) Trong trường hợp này, khó khăn khác lại nảy sinh Giả sử x nhiễu thành x  y Khi bao hàm thức I ( x  y)  I ( x ) (1.1.6) cho (1.1.2), nếu y đủ nhỏ Nhưng (1.1.6) không cho (1.1.5), trí nếu y đủ nhỏ Điều cho thấy khơng thể xử lí vơ hạn ràng buộc bất đẳng thức theo điểm Trong phần sau ta đưa vào khái niệm "tích cực" phù hợp với ràng buộc bất đẳng thức tổng quát 1.1.2 Xấp xỉ cấp hai miền chấp nhận Cho X V khơng gian Banach Cặp tắc V không gian tô pô đối ngẫu V * ký hiệu ,  Cho ánh xạ g : X  V Khi đó, g '( x) g ''( x) ký hiệu đạo hàm Fréchet cấp cấp hai tương ứng g x Hơn nữa, g ''( x)( y, z ) ánh xạ song tuyến tính từ X vào V Toán tử liên hợp g '( x) ký hiệu g '( x)* xác định bởi: g '( x)* v*, y  v* , g '( x) y với v* V * y  X Với tập A khơng gian Banach, bao nón A ký hiệu coneA , bao đóng ký hiệu cone A Ta quy ước   A   Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.1.1 Cho M tập chấp chận được, nghĩa M  {x  X ; g ( x)  K , h( x)  0} (1.1.7) Cho x điểm M Khi tập tiếp tuyến cấp cấp hai M điểm x định nghĩa sau: T1 : {y  X : x( s )  M , x( s )  x  sy  o( s ), s  0}, (1.1.8) T2 : {(y, z)  X : x(s)  M , x(s)  x  sy  s 2z /  o(s ), s  0}, (1.1.9) o( s ) o( s )   s  0 o(s) o(s ) thỏa mãn s s Lát cắt y T2 xác định sau: T2 ( y ) : {z  X : ( y, z )  T2 } Bổ đề 1.1.1 sau trả lời cho câu hỏi ta xét tính "tích cực" ràng buộc bất đẳng thức tổng quát Bổ đê 1.1.1 (i) Nếu y  T1 g '( x ) y  cone( K  g ( x )), (1.1.10) h '( x ) y  (1.1.11) (ii) Nếu ( y, z )  T2 , g '( x ) z  g ''( x )( y, y )  {K  g ( x ) / s  g '( x ) y / s   ( s ) B}, (1.1.12)  ( ) s 0 h '( x ) z  h ''( x )( y, y )  0, (1.1.13) B hình cầu đơn vị V phép hợp vế phải (1.1.12) lấy theo tất giá trị  () cho:  (s)   s   (s)  s  0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.1.14) http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Lấy ( y, z )  T2 Khi đó, tồn x( s )  M cho x(s)  x  sy  s z /  o(s ) Bằng khai triển Taylor ta có g ( x(s))  g ( x )  sg '( x ) y  s 2{g '( x ) z  g ''( x )( y, y)} /  o(s ) Gọi  ( s )  o( s ) s2 ta có (1.1.12)  Các kết khác chứng minh tương tự Định nghĩa 1.1.2 Với u , v V , ta xác định tập K (u , v ) sau: K (u, v) : 2{K  u / s  v / s   ( s) B} , (1.1.15)  ( ) s 0 phép hợp lấy tất giá trị  () thỏa mãn (1.1.14) Để đơn giản ta ký hiệu K ( g ( x ), g '( x ) y ) K(y) Nhận xét 1.1.1 Kurcyusz [6] thiết lập điều kiện cần cấp mà không sử dụng quan hệ g '( x ) y  cone( K  g ( x )) , (1.1.16) sử dụng g '( x ) y  cone( K  g ( x )) (1.1.17) Trong trường hợp đặc biệt V  m K  m : {u  (u1, u2 , , um ); ui  i}, ta có cone( K  g ( x ))  cone( K  g ( x ))  {v  (v1 , , vm ); vi  0i  I ( x )}, I ( x )  {i; g i ( x )  0} Vì vậy, (1.1.16) (1.1.17) trùng với điều kiện: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn gi' ( x ) y  i  I ( x ) (1.1.18) Mặt khác, trường hợp K  C ( I ) , cone( K  g ( x )) khơng đóng (xem bổ đề 1.4.1) Do đó, nói chung (1.1.16) (1.1.17) khác Nhận xét 1.1.2 Điều kiện (1.1.16) đưa lần Ben-Tal Zowe [4] Nhận xét 1.1.3 Trong trường hợp K  C ( I ) , điều kiện (1.1.10) trở thành ( g '( x) y )(t )  t thỏa mãn g ( x)(t )  Sử dụng kết bổ đề 1.1.1 ta đến định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.3 L1 : {y  X : g '( x ) y  cone( K  g ( x )), h '( x ) y  , (1.1.19) L2 : {( y, z )  X : g '( x ) z  g ''( x )( y, y)  2K ( y), h '( x ) z  h ''( x )( y, y)  0}, L2 ( y) : {z  X : ( y, z )  L2} (1.1.20) Khi đó, bổ đề 1.1.1 phát biểu lại sau: T1  L1 T2  L2 (1.1.21) Định nghĩa 1.1.4 (Robinson ) Hệ g ( x)  K , h( x)  (1.1.22) gọi ổn định điểm x  M  int{( g ( x )  g '( x ) x  k , h '( x ) x) : x  X , k  K } (1.1.23) Bổ đề 1.1.2 Nếu (1.1.23) T1  L1 T2  L2 Chứng minh Lấy ( y, z )  L2 Khi tồn u ( s )  B  ( s )  cho s ( g '( x ) z  g ''( x )( y, y)) g ( x )  sg '( x ) y  s  (s)u (s)   K với s > 2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Từ kết định lý [9] suy tồn lân cận N x R > cho d ( x, M )  R max{d ( g ( x)), K ), h( x) }; x  N , d(a , A) khoảng cách từ a đến A Với s > đủ nhỏ, x  sy  s z /  N Hơn nữa, d ( g ( x  sy  s z / 2), K ) g '( x ) z  g ''( x )( y, y )    d  g ( x )  sg '( x ) y  s  o( s ), K    2  d (o( s )  s  ( s)u ( s), K )  o( s ) Tương tự, ta có h( x  sy  s z / 2)  o( s ) Như vậy, d ( x  sy  s z / 2, M )  Ro(s ) Điều kéo theo ( y, z )  T2 Vì L2  T2  Đặc biệt, T1  T2 (0)  L2 (0)  L1 Không dễ dàng kiểm tra điều kiện ổn định Robinson Do ta đưa vào dạng tương đương (1.1.23) để kiểm tra dễ Định nghĩa 1.1.5 Hệ (1.1.22) gọi thỏa mãn điều kiện Mangasarian-Fromovitz x (i) h '( x ) ánh xạ lên, (1.1.24) (ii) x0  X : g ( x )  g '( x ) x0  int K , (1.1.25) h '( x ) x0  (1.1.26) Nhận xét 1.1.4 Trong [8] điều kiện gọi điều kiện Slater, ta gọi điều kiện Mangasarian-Fromovitz, trường hợp đặc biệt X  n ; K  m W  l , điều kiện (1.1.24)-(1.1.26) có dạng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 f ( x )  f ( x  tv  t wt )  f ( x )  t f ( x ), v  t 2[ f ( x ), wt   f ( x )v, v ]  o(t ) Bởi f ( x ), wt  ta có  f ( x ), wt   f ( x )v, v  2o(t ) / t  Cho t dần tới ta có (ii) Như biết điều kiện cần cấp trường hợp đặc biệt điều kiện cần cấp hai, ta tập trung vào điều kiện cấp hai Hơn nữa, để có điều kiện ‘đối ngẫu’ (quy tắc nhân tử), ta đưa vào kết luận sau: Dv  {w  X | f ( x ), w   f ( x )v, v  0}, (2.3.1) điều kiện (ii) viết lại sau: f ( x ), v   Dv  TA2F 1 (C )   (2.3.2) Kỹ thuật để dẫn điều kiện tối ưu đối ngẫu bao gồm việc sử dụng kỹ thuật tách để tìm phiếm hàm tún tính khác khơng x*  X * số thực r  x* , d  r  x* , w , d  Dv , w  TA2F 1 (C ) ( x , v), tương đương với ( x* , Dv )  ( x* , TA2F 1 (C ) ( x , v))  0, (2.3.3) (, Q) hàm tựa tập Q ( x* , Q)  sup x* , x xQ Để nhận biểu diễn rõ ràng (2.3.3), ta sử dụng hệ sau định lý đối ngẫu Fenchel Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Bổ đề 2.3.1[5] Giả sử X, Y hai không gian Banach, ánh xạ L : X  Y tuyến tính, liên tục P  X ; Q  Y hai tập lồi đóng Nếu  core( L( P)  Q) với x*  dom[(, P  L1 (Q))] ta có ( x* , P  L1 (Q))  inf ( x*  L* y* , P)  ( y* , Q) , * * y Y inf thực chất đạt Bổ đề 2.3.2 Giả sử Z không gian định chuẩn, B  Z tập lồi z  B, v  Z Nếu TB2 ( z, v)   z  Z* cho ( z* ,TB2 ( z, v))   (i ) z *  N B ( z ), (ii ) z * , v  Hơn nữa, B nón (iii ) z *  N B (0), (iv) z * , v  0, N B ( z ) N B (0) nón pháp tuyến B z tương ứng Chứng minh Từ mệnh đề 2.2.1 ta có ( z* ,TB2 ( z, v))   tương đương với ( z* ,TTB ( z ) (v))   Nhưng TTB ( z ) (v) nón điều tương đương với ( z* ,TTB ( z ) (v))  0, z* , k  v  k  TB ( z ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.3.4) http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Nhưng TB ( z ) nón, nữa, v  TB ( z ) (vì TB2 ( z, v)   ) nên (2.3.4) tương đương với z * , k  0k  TB ( z ), (2.3.5) z * , v  Điều tương ứng (i) (ii) Tương tự , nếu B nón, điều kiện (2.3.5) tương đương với z* , b  0, b  B z * , z   Đây (iii) (iv) Bây đối ngẫu hóa tốn điều kiện tối ưu (2.3.2) Định lý 2.3.2 (Điều kiện tối ưu đối ngẫu) Giả sử x cực tiểu địa phương (P) mà điều kiện Robinson  core[ DF ( x )( A  x)  (C  F ( x ))] Khi đó, với v  X thỏa mãn (a) f ( x), v  0, (b) TA2 ( x, v)  ,TC2 ( F ( x), DF ( x)v)  , tồn nhân tử z*  NC ( F ( x )) cho hàm Lagrange L  f  z*  F thỏa mãn tính chất sau: (i )  L( x)  N A ( x) (bao hàm thức Euler-Lagrange), (ii ) L( x), v  0, (iii ) L( x), w   L( x)v, v  ( z * , TC2 ( F ( x), DF ( x)v)); w  TA2 ( x, v) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 Khi C nón ta có (iv) L( x)  f ( x) (điều kiện bù), (v)z*  NC (0) Chứng minh Áp dụng bổ đề 2.3.2 cho z * L( x ) ta thấy rằng bao hàm thức z *  N C ( F ( x )) , khẳng định (i) , (ii), (iv) (v) hệ trực tiếp của (iii) Vì ta chỉ cần chứng minh (iii) Từ điều kiện Robinson ta nhận Y  DF ( x )TA ( x )  TC ( F ( x )) Sử dụng mệnh đề 2.2.1 giả thiết (b) ta suy Y  DF ( x )TA2 ( x , v)  TC2 ( F ( x ), DF ( x )v) (2.3.6) Trong trường hợp đặc biệt ta tìm w  TA2 ( x , v) cho DF ( x ) w  D F ( x )vv  TC2 ( F ( x ), DF ( x )v) Theo đị nh lý 2.2.1 ta có w  TAF 1 (C ) ( x , v) Bây giờ nếu f ( x )  ta có thể lấy z* = (xem đị nh lý 2.3.1) Vì vậy, ta giả sử ngược lại trường hợp Dv   Các tập Dv TA2F 1 (C ) ( x , v) khác rỗng , lồi, mở và đóng tương ứng Ta có thể tìm được siêu phẳng tách cho phiếm hàm khác không x*  X * thoả mãn ( x* , Dv )  ( x* , TA2F 1 (C ) ( x , v)  (2.3.7) Đặc biệt ta có ( x* , Dv )   Điều đó chỉ xảy nếu x*  f ( x ) với  > Ta giả sử x*  f ( x ) ta có  x* , Dv )    f ( x )v, v Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.3.8) http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 Liên quan đến số hạng thứ hai (2.3.7) ta chú ý rằng đị nh lý 2.2.1 kéo theo TA2F 1 (C ) ( x , v)  P  L1 (Q), đó P  TA2 ( x , v); Q  TC2 ( F ( x ), DF ( x )v)  D2 F ( x )vv; L  DF ( x ) Hơn nữa, từ (2.3.6) cho ta  core[ L( P)  Q] sử dụng bổ đề 2.3.1 tìm z*  Y * cho ( x* , TAF 1 (C ) ( x , v))  (f ( x )  z *  DF ( x ),TA2 ( x , v))  ( z* , TC2 ( F ( x ), DF ( x )v)  D F ( x )vv) Đặt L  f  z*  F kết hợp (2.3.7) với (2.3.8) với đẳng thức ta nhận (iii) Số hạng ( z* ,TC2 ( F ( x ), DF ( x )v)) điều kiện (iii) lần đưa vào [7] Cho trường hợp A = X C  {0}  K với K nón lồi đóng có phần khác rỗng Có thể thấy số hạng khơng dương z* , DF ( x )v  0, z *  NC ( F ( x )),  z* , yt  F ( x )  tDF ( x )v  ( z , T ( F ( x), DF ( x)v))  sup lim t 0 t2 /   * C   ,   giá trị sup tính theo tất yt  C cho thương sau hội tụ w t : yt  F(x)  tDF(x)v t2 / Nhận xét 2.3.1 Nhân tử z* kết phụ thuộc vào phương v Cách đơn giản để vượt qua khó khăn địi hỏi bao hàm thức: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 *   z  NC ( F ( x )),  *  f ( x )  z  DF ( x )  N A ( x ) có nghiệm z* Điều làm cách thay điều kiện Robinson điều kiện chặt sau đây: (R ')  core[ DF ( x )( A  x )  ( x  A)  (C  F ( x ))  ( F ( x )  C ] Để làm rõ thêm ý nghĩa số hạng ( z* ,TC2 ( F ( x ), DF ( x )v)) điều kiện (iii) để nội suy đạo hàm theo phương cấp hai tập C, ta xét trường hợp C xác định bất đẳng thức lồi C  { y  Y : g ( y )  0} Ký hiệu g '( y; h)  lim t 0 g ( y  th)  g ( y) t đạo hàm theo phương thông thường g y theo phương h giả sử đạo hàm cấp hai theo nghĩa Ben-Tal Zowe, g ( y  th  t 2k )  g ( y )  tg '( y; h) g ''( y; h, k )  lim t 0 t2 tồn với h, k  Y Kết sau cho đặc trưng TC ( y ) TC2 ( y, h) ngôn ngữ đạo hàm kể Mệnh đề 2.3.1 Giả sử g, C y  C (a) Nếu tồn ho  Y cho g '( y, ho )  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 {h Y : g '( y, h)  0}, g(y) = 0, TC ( y)   g(y)  Y , (b) Nếu h  TC ( y ) tồn ko  Y cho g ''( y; h, ko )  {k Y : g ''( y; h, k )  0}, g ( y)  0, g '( y; h)  0, TC2 ( y, h)   trường hợp lại Y , Chứng minh Như kết trước, phần (a) suy từ phần (b) Vì vậy, ta chứng minh phần (b) Hơn nữa, trường hợp g ( y )  g ( y )  0; g '( y; h)  hệ dễ ràng công thức sau: 1 g ( y  th  t k )  g ( y )  tg '( y; h)  t g ''( y; h, k )  o(t ) 2 (2.3.9) Vì ta giả sử g ( y )  g '( y; h)  Nếu k TC2 ( y, h) ta chọn kt  k với y  th  t kt  C ta viết g ( y  th  t 2kt )  g ( y )  tg '( y; h)  t2 / Bởi g lipchitz địa phương (bởi lồi liên tục) vế trái bất đẳng thức hội tụ đến g ''( y; h, k ) Từ bào hàm thức suy TC2 ( y, h)  {k Y : g ''( y; h, k )  0} Ngược lại, từ (2.3.9) rõ ràng nếu k thoả mãn g ''( y; h, k )  ta có k TC2 ( y, h) Sử dụng kiện tính lồi g ''( y; h, ) ta suy với k Y thỏa mãn g ''( y; h, k )    đủ nhỏ ta có (1  )k  ko TC2 ( y, h) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 Kết suy cách cho   TC2 ( y, h) đóng  Với đặc trưng ta nội suy điều kiện (iii) định lý 2.3.2 trường hợp C  { y  Y : g ( y )  0} sau: Đặt y  F ( x ) h  DF ( x )v : Nếu g ( y )  g ( y )  g '( y ; h)  TC2 ( F ( x ), DF ( x )v)  Y Điều kéo theo điều kiện (iii) ta phải có z*  0, (iii) trở thành f ( x ), w   f ( x )v, v  w  TA2 ( x , v) Nếu g ( y )  0, g '( y ; h)  tồn k Y cho g ''( y ; h, k )  điều kiện (iii) trở thành L( x ), w   L( x )v, v  sup{ z * , k : g ''( y ; h, k )  0} với w TA2 ( x , v) Hơn nữa, g hai lần khả vi ta có TC2 ( F ( x ), DF ( x )v)  g ( y ) 1 (,   g ( y )h, h ) Sử dụng bổ đề 2.3.1 ta suy tồn     cho z*  g ( F ( x )) Khi đó, điều kiện (iii) trở thành L( x ), w   L( x )v, v    g ( F ( x )) DF ( x )v, DF ( x )v với w TA2 ( x , v) Đó điều kiện tối ưu mà ta nhận cách áp dụng trực tiếp cho toán khả vi Các nhận xét tương tự làm cho trường hợp C xác định số hữu hạn (thậm trí vơ hạn) bất đẳng thức : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 C  { y  Y : g i ( y )  0, i  I } C biểu diễn ngôn ngữ hàm g : supiI gi Ta xét trường hợp mà quan hệ chứng minh mệnh đề 2.3.1 không cần tồn phương giảm chặt ho ko Mệnh đề 2.3.2 Giả sử p : Y   hàm tuyến tính liên tục xét tập C  { y  Y : p( y )  1} Khi đó, với y  C ta có h  Y : p '( y; h)  0, p( y )  1, TC ( y)   p( y )  Y , Hơn nữa, h  TC ( y ) đạo hàm cấp hai theo nghĩa Ben-Tal Zowe p ''( y; h, ) tồn {k Y : p ''( y; h, k )  0}, p( y )  1, p'( y, h)  0, TC2 ( y, h)   Y , trường hợp lại Chứng minh Sự kiện cần trình bày tương tự theo mệnh đề 2.3.1 bao hàm thức {k Y : p ''( y; h, k )  0}  TC2 ( y, h) , p( y )  p '( y; h)  Thật vậy, trường hợp thế với k thỏa mãn p ''( y; h, k )  ta có 1 p ( y  th  t k )  p ( y )  '( y; h)  t p ''( y; h, k )  o(t )   o(t ) 2 Chia cho  o(t ) đặt   o(t ) kt  k  ( x  tv )   o(t )  t2  ta có p ( y  th  t kt )  với kt  k Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 Điều có nghĩa k TC2 ( y, h)  Ví dụ 2.3.1 Xét toán sau (P) Min{g ( x) :|| F ( x) ||L '  1}, g : X   F : X  C 2[a, b] C2 hàm xác định không gian Banach X b   Ở ||  ||L1 ta hiểu L  chuẩn  || z ||L1   | z (t ) | dt  , a   cịn khơng gian C 2[a, b] trang bị chuẩn thông thường || z ||C2 || z ||  || z ||  || z || (dấu chấm ký hiệu đạo hàm theo t ) Ký hiệu C  {z  C 2[a, b]:|| z ||L1  1} Chú ý với z0  C cho || z0 ||L1  có số hữu hạn khơng điểm điều kiện z0*  NC ( z0 ) xác định (đến số K  ) nhân tử z0* b z , z  K  sg ( z0 (t )) z (t )dt , z  C 2[a, b] * (2.3.10) a Thật vậy, điều kiện z0*  NC ( z0 ) có dạng z0* , z  z0* , z0 z  C Điều z0* liên tục theo L1  tô pô C 2[a, b] với chuẩn K  z0* , z0 Bởi C 2[a, b] trù mật L1[a, b] , phiếm hàm z * mở rộng thành z0*  L1[a, b]*  L[a, b] với chuẩn || z0* ||L  z0* , z0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.3.11) http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 Điều kiện (2.3.11) tương đương với z0 (t )  0,  K sg( z0 (t )), z0* (t )    bất kỳ, z0 (t )  Từ (2.3.10) suy Tiếp theo ta để ý ánh xạ ||  ||L1 : C 2[a, b]   tuyến tính liên tục Hơn nữa, nếu z có hữu hạn khơng điểm t1 , t2 , , tk  (a, b) cho z0 (t j )  đạo hàm ||  ||''L1 ( z0 ; , ) xác định biểu diễn sau : h(t j )2 ||  || ( z0 ; h, k )   sg( z0 (t ))k (t )dt  2  | z ( t ) | j 1 j a b k '' L1 (2.3.12) Sử dụng tính chất mệnh đề 2.3.2 ta có đặc trưng TC2 ( z0 , h) (chú ý TC2 ( z0 , h) khác  để điều kiện (b) định lý 2.3.2 thoả mãn Hơn nữa, cho phép tính số hạng  : h(t j )2 ( z ,T ( z0 , h))  2 K  0 (t j ) | j 1 | z k * C (2.3.13) Tất phần lại định lý 2.3.2 xác định tương tự để áp dụng toán (P) Ta xét trường hợp: X   với g ( x, y )  ( x  y ) F ( x, y)(t )  (1  t ) xexy  tyexy  C 2[0,1],     tham số cho trước Tính đối xứng g F việc phân tích cho trường hợp   dẫn đến tính tối ưu ( x, y )  ( r , r ) với r lớn thỏa mãn: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 r r  | (1  t )re  tre | dt  2 Điều có nghĩa nghiệm rer  Với điểm ta có z0 (t ) : F (r , r )(t )   4t thỏa mãn || z0 ||L1  có khơng điểm t  1 với z0    4 2 Nhân tử z0* có dạng   K , * z0 (t )    K ,  0t  ,  t  1, số K xác định từ điều kiện L(r , r )  K 2r  2r Để kiểm chứng điều kiện Robinson ta tính DF (r , r ) DF (r , r )(v1, v2 )(t )  er [v1  (r  t (1  2r ))(v1  v2 )] (2.3.14) Ta chọn (v1 , v2 ) vế phải 4t  ,  int[ F ( r , r )  DF ( r , r )(v1 , v2 )  C ] Để sử dụng định lý 2.3.2 ta tính D2 F (r, r ) : D L(r , r )(v1, v2 ),(v1, v2 )  K [(1  r )(v1  v2 )  2v1v2 ] (2.3.15) Ta ý điều kiện (b) định lý 2.3.2 tự động thỏa mãn, cịn điều kiện (a) có dạng v1  v2  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 Kết hợp (2.3.13), (2.3.14) (2.3.15) ta nhận điều kiện (iii) định lý 2.3.2 Kv12 [er ]2 2Kv   , v1   2 Điều biểu diễn thành (sử dụng kiện rer  ) r  r  Nếu giá trị  mà bất đẳng thức khơng đúng, e điểm ( r , r ) điểm cực tiểu Bây dễ dàng chứng minh hàm r  r () giảm chặt với r (0)  lim r ()  Do tồn   cho    / e,  r ()   / e,  / e,    0 ,   0 ,   0 Hơn nữa,  tính cách thay r  2 đẳng thức rer  e e2 nhận 0  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 KẾT LUẬN Luận văn trình bày lý thuyết điều kiện cần tối ưu cấp Kawsaki[7] Cominetti[5] cho toán tối ưu lớp C với ràng buộc bao hàm thức, đẳng thức ràng buộc tập Các điều kiện cần cấp trình bày dạng gốc dạng đối ngẫu (nhân tử Lagrange) ngôn ngữ tập tiếp tuyến cấp cấp So với điều kiện cần tối ưu cấp thông thường, điều kiện cần cấp có thêm số hạng đạo hàm cấp hàm Lagrange Số hạng xem đạo hàm cấp tập hợp C ràng buộc F ( x)  C Lý thuyết điều kiện tối ưu cấp 1, cấp cấp cao cho tốn tối ưu trơn khơng trơn đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Borwein, J M (1986), Stability and regular points of inequality systems, J Optim Theory Appl 48, - 52 [2] Ben Israel, A., Ben-Tal, A , Zlobec, S (1981), Optimality in Nonliner Programming, Wiley, New York [3] Ben -Tal, A , Zowe, J (1982) Necessary and sufficient conditions for a class of nonsmooth minimization problems, Math Programming 24, 70-91 [4] Ben -Tal, A , Zowe, J (1982), A unified theory of first and second order conditions for extremum problems in topological vector spaces, Math Programming Study 19, 39-76 [5] Cominetti, R (1990), Metric regularity, tangent sets and second-order optimality conditions, Appl Math Optiom 21, 265-287 [6] Kurcyusz, S (1976), On the existence and nonexistence of Lagrange multipliers in Banach spaces, J Optim Theory and Appl 20, 81-110 [7] Kawasaki, H (1988), An envelope-like effect of infinitely many inequality constraint on second - order necessary conditions for the minimization problems, Math Programming 41, 73-96 [8] Maurer, H (1981), First and second order sufficent optimality conditions in mathematical programming and optimal control, Mathematical Programming Study 14, 163-177 [9] Robinson, S (1976), Stability theorems for systems of inequalities, Part II: Differentiable nonlinear systems, SIAM J Numer Anal 13, 487-513 [10] Zowe, J (1978), A remark on a regularity assumption for the mathematical programming problem in Banach spaces, Journal of Optimization Theory and Applications, 25, 375-381 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU CẤP HAI CỦA H KAWASAKI 1.1 Xấp xỉ cấp tập chấp nhận 1.1.1 Các ràng buộc tích cực 1.1.2 Xấp xỉ cấp hai miền chấp nhận 1.2 Điều kiện cần tối ưu cấp hai. .. xỉ cấp hai tập chấp nhận điều kiện cần tối ưu cấp hai" Cụ thể điều kiện tối ưu cấp thường biểu diễn ngôn ngữ đạo hàm cấp 1, cấp đạo hàm suy rộng tập tiếp tuyến cấp 1, cấp Khác với điều kiện cần. .. Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU CẤP HAI CỦA H KAWASAKI Chương trình bày điều kiện cần tối ưu cấp hai Kawasaki [7] cho tốn có ràng buộc đẳng thức ràng