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✈➔ ❞➣② ❝→❝ →♥❤ ①↕ f1, , fk tr♦♥❣ ❍♦❧(D, X) t❤ä❛ ♠➣♥ fi (0) = pi−1 , fi (ai ) = pi , ∀i = 1, , k ❚➟♣ ❤ñ♣ α = p0, , pk , a1, , ak , f1, , fk t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tr➯♥ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❞➙② ❝❤✉②➲♥ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ♥è✐ x ✈➔ y tr♦♥❣ X ✳ ❚❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ k ρD (0, ), α ∈ Ωx,y , dX (x, y) = inf α i=1 ✹ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à tr♦♥❣ ✤â Ωx,y ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❞➙② ❝❤✉②➲♥ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ♥è✐ x ✈➔ y tr♦♥❣ X✳ ❑❤✐ ✤â dX : X × X → R ❧➔ ♠ët ❣✐↔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tr➯♥ X ✈➔ ❣å✐ ❧➔ ❣✐↔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❑♦❜❛②❛s❤✐ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤ù❝ X ✳ k ❚ê♥❣ (α) = ρD (0, ai) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ tê♥❣ ❑♦❜❛②❛s❤✐ ❝õ❛ ❞➙② ❝❤✉②➲♥ i=1 ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ α✳ ◆➳✉ X ❦❤æ♥❣ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣✱ t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ dX (x, y) = ∞ ✈ỵ✐ x✱ y t❤✉ë❝ ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ✶✳✹✳✷ ▼ët sè t t s ỵ ◆➳✉ f : X → Y ❧➔ →♥❤ ①↕ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤ù❝ t❤➻ f ❧➔♠ ❣✐↔♠ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❣✐↔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❑♦❜❛②❛s❤✐✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ dX (x, y) ≥ dY (f (x), f (y)) ∀x, y ∈ X ❍ì♥ ♥ú❛✱ dX ❧➔ ❣✐↔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❧ỵ♥ ♥❤➜t tr➯♥ X t❤ä❛ ♠➣♥ ♠å✐ →♥❤ ①↕ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ f : D → X ❧➔ ❣✐↔♠ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤✳ ỵ ố ợ t ý ổ ♣❤ù❝ X ✱ Y ✱ t❛ ❝â dX×Y (x, y), (x , y ) = ♠❛① dX (x, x ), dY (y, y ) ✈ỵ✐ ♠å✐ x, x ∈X ✈➔ ♠å✐ y, y ∈Y✳ ✺ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ●✐↔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ t÷ì♥❣ ✤è✐ ❑♦❜❛②❛s❤✐ ✈➔♦ ❜✐➯♥ ∂X ✳ ◆➳✉ t➟♣ ❤đ♣ cn ❦❤æ♥❣ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ C✱ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❧➜② ❞➣② ❝♦♥ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ sû |cn| → ∞✳ ❉♦ õ tỗ t Rn < |cn| < Rn s Rn → ∞✳ ◆➳✉ ❣å✐ gn = gn D s❛♦ ❝❤♦ gn(DR ) ⊂ X t❤➻ n Rn dX gn (a), gn (b) ≤ dDRn (a, b) → ❦❤✐ n → ∞ ✣✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t X ❧➔ ♥❤ó♥❣ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ tr♦♥❣ Y ✳ ❱➻ ✈➟②✱ ❣✐↔ sû cn ❜à ❝❤➦♥✳ ▲➜② ♠ët ❞➣② ❝♦♥✱ ✈➝♥ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ cn ✱ ❤ë✐ tư tỵ✐ c ∈ C✳ ❚❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ t❤✐➳t c ❧➔ ✤✐➸♠ ❣è❝ ❝õ❛ C ✭✈ỵ✐ ♠é✐ n✱ t❛ ①➨t ✤➽❛ D(c, Rn) ⊂ DR t➙♠ c ❜→♥ ❦➼♥❤ Rn s❛♦ ❝❤♦ Rn → ∞✱ ✈➔ t❛ ❤↕♥ ❝❤➳ gn tr➯♥ D(c, Rn) ✮✳ ●✐↔ sû n→∞ lim cn = 0✱ ✤➦t n an = a − cn , bn = b − cn , Rn = Rn − |cn |, gn (z) = gn (z + cn ) ❑❤✐ ✤â gn (an ) = gn (a); gn (bn ) = gn (b); gn (0) ∈ ∂X ❱➻ ✈➟② gn →♥❤ ①↕ DR∗ ✈➔♦ X ✱ ❞♦ ✤â n dX gn (an ), gn (bn ) ≤ dDR∗ (an , bn ) → n ✣✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t X ❧➔ ♥❤ó♥❣ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ tr♦♥❣ Y ✳ ❱➟② ❣✐↔ sû ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ú õ tỗ t c > s cE FX,Y tr X ỵ ữủ ự ♠✐♥❤✳ ✹✶ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ●✐↔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ t÷ì♥❣ ✤è✐ ❑♦❜❛②❛s❤✐ ✷✳✸✳✹ ❇➜t ❜✐➳♥ ❝õ❛ t➼♥❤ ♥❤ó♥❣ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ q✉❛ ♣❤➙♥ t❤ỵ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ⑩♣ ❞ư♥❣ ✤➦❝ tr÷♥❣ ✤à♥❤ ❧÷đ♥❣ ❝❤♦ t➼♥❤ ♥❤ó♥❣ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ❣✐↔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ t÷ì♥❣ ✤è✐✱ t❛ õ t q s ỵ sỷ (Y , π, Y ) ❧➔ ♠ët ♣❤➙♥ t❤ỵ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ✈ỵ✐ t❤ỵ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ❝♦♠♣❛❝t F ✱ tr♦♥❣ ✤â Y , Y, F ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤ù❝✳ ●å✐ M ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ♣❤ù❝ ❝õ❛ Y ✳ ✣➦t M = π−1(M )✳ ❑❤✐ ✤â✱ Y✳ ❛✮ ◆➳✉ M ❧➔ ♥❤ó♥❣ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ tr♦♥❣ Y t❤➻ M ❧➔ ♥❤ó♥❣ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ tr♦♥❣ ❜✮ ◆➳✉ M ❧➔ ♥❤ó♥❣ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ tr♦♥❣ Y ✈➔ dM,Y ❝↔♠ s r tổổ trũ ợ tổổ trữợ M t❤➻ M ❧➔ ♥❤ó♥❣ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ tr♦♥❣ Y ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥✱ M ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t t÷ì♥❣ ✤è✐ tr♦♥❣ Y ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ M ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t t÷ì♥❣ ✤è✐ tr♦♥❣ Y ✳ ❛✮ ●✐↔ sû M ❧➔ ♥❤ó♥❣ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ tr♦♥❣ Y ✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ dM,Y (p, q) > ✈ỵ✐ ♠å✐ p, q ∈ M ✱ p = q✳ ❚❛ ❝â dM,Y (p, q) = inf −1 q∈π (q) dM ,Y (p, q), ✈ỵ✐ ♠å✐ p ∈ π−1(p) ❱➻ p = q ♥➯♥ p = q✳ ❉♦ ✤â dM ,Y (p, q) > 0, ✈ỵ✐ ♠å✐ q ∈ π−1(q), p ∈ π−1(p) ✹✷ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ●✐↔ 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⊂ FM ,Y ❧➔ ❞➙② ❝❤✉②➲♥ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ♥è✐ p ✈➔ q t❤ä❛ ♠➣♥ r r f1 (0) = p, f1 (b1 ) = f2 (0), , fk (bk ) = q, tr♦♥❣ ✤â bi ∈ D (i = 1, , k) ❍ì♥ ♥ú❛✱ tr♦♥❣ ❞➙② ❝❤✉②➲♥ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ♥➔② ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ sû r➡♥❣ bi ∈ D ✈ỵ✐ ♠å✐ i✳ ✣➦t r p0 = p, p1 = f1 (b1 ), , pk = fk (bk ) = q ❈❤ó♥❣ t❛ ①➨t ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣✳ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✶✳ ❈â ➼t ♥❤➜t ♠ët pi ❦❤æ♥❣ t❤✉ë❝ π−1(Bs)✳ ❑❤✐ ✤â k k dD (0, bi ) = i=1 dD∗ ,D (0, bi ) i=1 k ≥ dM ,Y fi (0), fi (b) i=1 k = dM ,Y (pi−1 , pi ) i=1 k ≥ dM,Y π(pi−1 ), π(pi ) i=1 ≥ s ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✷✳ ❚➜t ❝↔ ❝→❝ pi t❤✉ë❝ π−1(Bs)✳ ❑❤✐ ✤â k k dD (0, bi ) ≥ c i=1 dDr (0, bi ) i=1 k ≥c dU ×F pi−1 , pi i=1 ✹✹ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ●✐↔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ t÷ì♥❣ ✤è✐ ❑♦❜❛②❛s❤✐ k ≥c dF ϕ(pi−1 ), ϕ(pi ) i=1 ≥ cdF (p, q) > 0, tr♦♥❣ ✤â ϕ : U × F ❤②♣❡r❜♦❧✐❝✳ ❉♦ ✈➟② →F ❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉✳ ❚❛ ❝â dF (p, q) > ✈➻ F ❧➔ k dD (0, bi ) ≥ s, cdF (p, q) > dM ,Y (p, q) = inf α i=1 ỵ ữủ ự t q tr s❛✉ ✤â ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❦❤→❝ t❤ỉ♥❣ q✉❛ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❑✐❡r♥❛♥ ✈➲ t➼♥❤ ♥❤ó♥❣ r ỵ ữỡ ữ s ỵ sỷ : X X ♠ët ♣❤➙♥ t❤ỵ ❝❤➾♥❤ 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