Phương pháp tô pô và giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HẬU PHƯƠNG PHÁP TƠ PƠ VÀ GIẢI TÍCH TRONG LÝ THUYẾT RẼ NHÁNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HẬU PHƯƠNG PHÁP TƠ PƠ VÀ GIẢI TÍCH TRONG LÝ THUYẾT RẼ NHÁNH Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Thái Nguyên, năm 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Các số liệu kết nghiên cứu nêu Luận văn hồn tồn trung thực, chưa cơng bố cơng trình tác giả khác Thái Nguyên, tháng 04 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Hậu i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình bảo GS.TSKH Nguyễn Xn Tấn, Viện Tốn học Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học tốn K19 ln quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập q trình làm luận văn Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Thái Nguyên, tháng 04 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Hậu ii Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii MỞ ĐẦU 1 LÝ 1.1 1.2 1.3 1.4 THUYẾT BẬC ÁNH XẠ Các kiến thức Định nghĩa bậc ánh xạ C Rn Định nghĩa bậc ánh xạ C Rn Ứng dụng bậc ánh xạ 8 10 18 22 LÝ 2.1 2.2 2.3 THUYẾT RẼ NHÁNH Một số kiến thức Một số kí hiệu bổ đề Các kết 24 25 26 39 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngày nay, nhiều tượng tự nhiên vấn đề khoa học mơ tả ngơn ngữ tốn học qua việc giải phương trình phụ thuộc tham số, chẳng hạn tượng thời tiết, trình sinh trưởng động vật, phát triển kinh tế thời kì, phát triển gen tế bào sinh vật, phản ứng hóa học vật lý, Việc nghiên cứu lĩnh vực cần nhiều hỗ trợ lý thuyết rẽ nhánh Đây vấn đề nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu, phát triển mạnh mẽ ứng dụng toán thực tế Lý thuyết rẽ nhánh nghiên cứu phương trình phụ thuộc tham số, đặc biệt tìm giá trị tham số mà cấu trúc tập nghiệm bị thay đổi Thời gian gần đây, lý thuyết sử dụng nhiều để giải vấn đề nảy sinh vật lý học, sinh học môn khoa học tự nhiên khác Nhiều kết lý thuyết rẽ nhánh giải có hiệu vấn đề nảy sinh khoa học thực tế sống Việc nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số nhiều người quan tâm nghiên cứu nhiều đề tài khoa học Nói cách ngắn gọn, cho trước phương trình phụ thuộc tham số, phương trình có nghiệm với giá trị tham số, giá trị tham số thay đổi tính nghiệm phương trình Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn khơng đảm bảo Hiện tượng có mơ tả tốn học sau Cho hàm số F : Λ × D → Y , Λ khơng gian mêtric với metric d, D lân cận điểm không gian định chuẩn X , Y không gian định chuẩn Giả thiết với λ có v(λ) để F (λ, v(λ)) = Bằng cách tịnh tiến, ta giả thiết v(λ) = Mỗi nghiệm (λ, 0) gọi nghiệm tầm thường phương trình: ¯ (λ, v) ∈ Λ × D F (λ, v) = 0, (0.1) ¯ 0) mà lân cận Ta tìm nghiệm tầm thường (λ, có tính chất: với δ > 0, > cho trước, tồn nghiệm không ¯ < δ ¯ phương trình với d(λ, λ) tầm thường (λ, u) ∈ Λ × D ¯ 0) gọi nghiệm rẽ < u < Nghiệm tầm thường (λ, ¯ gọi điểm rẽ nhánh Những nhánh phương trình (0.1) λ tốn nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh phương trình gọi toán rẽ nhánh Trong lý thuyết rẽ nhánh, người ta thường đề cập tới toán sau: 1) Sự tồn nghiệm rẽ nhánh; 2) Tồn nhánh nghiệm; 3) Tìm giá trị tham số tính bị phá vỡ; 4) Nghiên cứu tính ổn định nghiệm rẽ nhánh; 5) Một số tốn khác Có nhiều phương pháp toán học khác nghiên cứu toán như: - Phương pháp biến phân Wainberg Krasnoselski đưa từ năm 50 kỉ trước [4], [12]; - Phương pháp tô pô sử dụng bậc ánh xạ Krasnoselski đưa [3], [5], [10]; - Phương pháp giải tích cho toán tử khả vi dựa định lý hàm ẩn trình bày [8], [11], Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mỗi phương pháp ứng dụng cho phương trình khác Dựa vào định lí hàm ẩn, ta dễ dàng thấy điểm rẽ nhánh giá trị riêng phần tuyến tính phương trình Tuy nhiên, khơng phải giá trị riêng phần tuyến tính điểm rẽ nhánh Ví dụ 0.1 Xét hệ phương trình vi phân: u” + λ[u + v(u2 + v )] = (0, 1) (0.2) v” + λ[v − u(u2 + v )] = (0, 1) (0.3) u(0) = u(1) = v(0) = v(1) = (0.4) Ta dễ dàng thấy phần tuyến tính hệ có giá trị riêng bội hai λn với n = 1, 2, Nhân phương trình (0.2) với v nhân phương trình (0.3) với u, sau lấy tích phân phương trình sử dụng điều kiện (0.4) trừ hai phương trình cho nhau, ta (u2 + v )dx = λ ⇒ v = u = 0 Tức với n λn khơng phải điểm rẽ nhánh Rất nhiều cơng trình tác giả khác cho toán 1) - 3) với phương pháp biến phân, tô pô, giải tích cho trường hợp đặc biệt tham số số thực có dạng T (v) − λC(v) = ¯ (λ, v) ∈ R × D Trong trường hợp X khơng gian Hilbert, T tốn tử đồng nhất, C tốn tử hồn tồn liên tục từ X → X với C(0) = đạo hàm hàm liên tục yếu g đó, Krasnoselski [4] ra: giá trị riêng phần tuyến tính điểm rẽ nhánh Ông sử dụng phương pháp biến phân dựa tư tưởng Lyusternik - Schnirelman Kết Berger tổng qt hóa cơng trình [1] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Cho X không gian Banach, T = id, C = L + H, L toán tử đạo hàm Fréchet C H có tính chất lim v →0 H(v) = v Nếu C tốn tử hồn tồn liên tục, giá trị riêng L với bậc đại số lẻ điểm rẽ nhánh Kết Petryshyn mở rộng cho lớp ánh xạ tổng quát [7] Phương pháp giải tích lý thuyết rẽ nhánh dựa tư tưởng Liapunov - Schmidt sử dụng phép chiếu đưa phương trình nghiên cứu hai phần: phần nằm không gian hữu hạn chiều với số chiều p; phần cịn lại nằm khơng gian vơ hạn chiều trực giao Tức là, ta chuyển toán hệ p + phương trình p ẩn Phần nằm không gian hữu hạn chiều thường gọi phương trình rẽ nhánh Phương trình nằm khơng gian vơ hạn chiều giải nghiệm Nếu phương trình rẽ nhánh giải tốn giải Trong luận văn này, ta nghiên cứu rẽ nhánh phương pháp kết hợp phương pháp tơ pơ phương pháp giải tích để giá trị riêng phần tuyến tính nghiệm rẽ nhánh Mục đích nghiên cứu Trình bày số vấn đề lý thuyết bậc ánh xạ, dựa vào phương pháp tơ pơ giải tích để nghiên cứu rẽ nhánh phương trình tốn tử ứng dụng thực tế Trình bày kiến thức học tập phương pháp tô pô giải tích lý thuyết rẽ nhánh phân dạng luận văn thạc sĩ với sáng tạo liên quan đến ứng dụng giải phương trình rẽ nhánh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Sự tồn nghiệm rẽ nhánh; - Các nhánh nghiệm; - Tìm giá trị tham số tính bị phá vỡ Phương pháp nghiên cứu Phân tích, sử dụng phương pháp tơ pơ giải tích để giá trị riêng phần tuyến tính nghiệm rẽ nhánh Vận dụng kiến thức bậc ánh xạ giải tích hàm, giải tích đại lý thuyết phương trình tốn tử để xét rẽ nhánh phương trình nghiên cứu Bố cục Luận văn Luận văn bao gồm: Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương Trình bày lý thuyết bậc ánh xạ với nội dung sau Cho D tập mở giới nội Rn với biên ∂D, ta định nghĩa ¯ → Rn | f liên tục D}, ¯ C(D, Rn ) = {f : D C r (D, Rn ) = {f ∈ C(D, Rn ) | f có đạo hàm riêng cấp r D ¯ liên tục D} Với D, φ ∈ C(D, Rn ), p ∈ ∂D ta cho tương ứng với số nguyên gọi bậc ánh xạ φ p D sau: 1) Trường hợp φ−1 (p) ∩ Z = ∅, deg(p, φ, D) định nghĩa deg(p, φ, D) = sign|Jφ (x)| φ(x)=p 2) Trường hợp φ−1 (p) ∩ Z = ∅, tồn qm → p(m → ∞), qm ∈ φ−1 (∂D)∩Z , ta định nghĩa deg(p, φ, D) = lim deg(qm , φ, D) m→∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Aαn (tn , xn ) = Bằng cách trích dãy con, ta giả sử xn → 0, tn → t∗ ∈ [0, 1], xn → x¯∗ ∈ ∂U ∗ Từ (2.16) tính liên tục H K ta suy Aαn (tn , xn ) → A(¯ x∗ ) = Điều mâu thuẫn với định nghĩa bậc tơ pơ A Từ ta chứng minh (2.24) Do có (2.24) nên với α ∈ I3 , ánh xạ Aα (1, ) đồng luân với Aα (0, ) = A U ∗ Mặt khác, theo định lí bậc tơ pơ ánh xạ liên tục khơng gian hữu hạn chiều ta có deg(0, Aα (1, ), U ∗ ) = deg(0, A, U ∗ ) = Hơn nữa, ta kết luận với ∀α ∈ I3 , α = 0, x(α) ⊂ U ∗ cho Aα (1, x(α)) = Theo định nghĩa Aα (1, ), p w(|α|a−1 , |α|x1 , , |α|xp (α)) xj (α)v + = 0, i = 1, , p |α| Nhân hai vế với |α|a ta p a−1 = 0, i = 1, , p ¯ giá trị riêng (T, L), nên Vì λ p p ¯ |α|xj (α)v ) − L(λ, j T( j=1 |α|xj (α)v j ) = j=1 Mặt khác T : X1 → X1 , < T (w(|α|a−1 , |α|x1 (α), , |α|xp (α))) ¯ w(|α|a−1 , |α|x1 (α), , |α|xp (α)), ψ i >= 0, − L(λ), 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.25) với ∀i = 1, , p Từ suy ra: p xj (α)v j + w(|α|a−1 , |α|x1 (α), , |α|xp (α))) < T( j=1 p ¯ − L(λ, xj (α)v j ) + w(|α|a−1 , |α|x1 (α), , |α|xp (α)), ψ i >= (2.26) j=1 Cộng (2.25) (2.26) ta có p a−1 < (1 + |α| xj (α)v j + w(|α|a−1 , |α|x1 (α), , |α|xp (α))) )T ( j=1 p ¯ − L(λ, xj (α)v j ) + w(|α|a−1 , |α|x1 (α), , |α|xp (α)) j=1 a−1 − (1 + |α| p ¯ λ , xj (α)v j )M ( a−1 + |α| j=1 + w(|α|a−1 , |α|x1 (α), , |α|xp (α))), ψ i >= 0, với ∀i = 1, , p Chia vế cho (1 + |α|a−1 ) ta ¯ ¯ λ λ , v(α)) − M ( , v(α)), ψ i >= 0, (2.27) < T (v(α)) − L( + |α|a−1 + |α|a−1 với ∀i = 1, , p p xj (α)v j + w(|α|a−1 , |α|x1 (α), , |α|xp (α)) v(α) = j=1 Theo Bổ đề 2.3 ta có: ¯ ¯ λ λ , v(α)) − M ( , v(α))] = QY [T (v(α)) − L( + |α|a−1 + |α|a−1 Từ suy T (v(α)) = L( ¯ ¯ λ λ , v(α)) − M ( , v(α)) + |α|a−1 + |α|a−1 ¯ λ Vậy ( , v(α)) nghiệm phương trình ta có + |α|a−1 ¯ ¯ λ |α|a−1 λ ¯ −λ = → 0, α → + |α|a−1 + |α|a−1 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bây ta phải chứng minh v(α) = 0, v(α) → 0, α → Thật vậy, giả sử v(α) = với α = ta có p w(|α|a−1 , |α|x1 (α), , |α|xp (α)) xj (α)v = − |α| j=1 j Mặt khác, ta có X = X0 ⊕ X1 ⇒ pj=1 xj (α)v j = Hơn (v , , v p ) độc lập tuyến tính nên xj (α) = 0, ∀α = Tức x(α) = (x1 (α), , |α|xp (α)) = mà x ∈ U ∗ (lân cận điểm khác 0) Điều vô lý Vậy v(α) = với ∀α = hiển nhiên v(α) → α → Như vậy, định lí chứng minh Từ định lí trên, ta rút ý hệ sau Chú ý 2.5 Nếu có hai điểm phân biệt x ¯1 , x¯2 ∈ Rp hai lân cận rời U1∗ , U2∗ (U1∗ ∩ U2∗ = ∅) Rp x¯1 , x¯2 (theo thứ tự) thỏa mãn giả thiết I , I , v1 , v2 tồn Định lí 2.4 tương ứng với x ¯1 , U1∗ , x¯2 , U2∗ , v1 (α) = v2 (α) với ∀α ∈ I ∩ I , α = Chứng minh Thật vậy, giả sử có v1 (¯ α) = v2 (¯ α) với ∀¯ α ∈ I ∩I , α ¯ = Từ suy p (x1j (¯ α))v j = j=1 α)) ∈ U2∗ α), , x2p (¯ α), , x1p (¯ α)) ∈ U2∗ , x2 (¯ α) = (x21 (¯ với x1 (¯ α) = (x11 (¯ Do đó, x1 (¯ α) = x2 (¯ α) điều mâu thuẫn với U1∗ ∩ U2∗ = ∅ Vậy điều giả sử sai Nghĩa v1 (α) = v2 (α) với ∀α ∈ I ∩ I , α = Chú ý 2.6 Nếu ta giả thiết − thỏa mãn, a số chẵn, a ≥ PY H(λ, tv) = ta PY H(α, tv) với ∀t ∈ [−1, 1], (λ, v) ∈ Λ × D Khi đó, áp dụng Định lý 2.4 để nhận lân cận I nghiệm (λi (α), vi (α)), α ∈ I, i = 1, ¯ ¯ λ λ λ (α) = , λ (α) = , + |α|a−1 + αa−1 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn p |α|x1j (α)v j + o(|α|), v1 (α) = j=1 p αx2j (α)v j + o(|α|), v2 (α) = j=1 với α ∈ I α → Ta dễ dàng thấy λ1 (α) = λ2 (α) với α ∈ I, α < Vì vậy, trường hợp này, ta kết luận ¯ 0) tồn hai nghiệm rẽ nhánh khác lân cận (λ, phương trình (2.1) Điều ta thấy rõ qua ví dụ sau Ví dụ 2.7 Xét rẽ nhánh phương trình : −u” = λu + u3 + u5 thỏa mãn u(0) = u(1) = 0, u = u(x), với ∀x ∈ (0, 1) Ta xét không gian L1 [0, 1] = {f : [0, 1] → R khả tích}, |f |2 dx < +∞}, L [0, 1] = {f ∈ L [0, 1] : X = {u ∈ L [0, 1] cho u , u ∈ L1 [0, 1] u(0) = u(1) = 0} Ta định nghĩa tích vơ hướng < u, v >= u v dx chuẩn u = (u )2 dx Khi đó, (X, θ ) khơng gian Hilbert Mặt khác, theo định lí Riesz tồn ánh xạ T : X → X, L : R × X → X, H : R × X → X, K : R × X → X cho < T (u), v >=< u”, v >, < L(λ, u), v >=< λu, v >, < H(λ, u), v >=< u3 , v >, < K(λ, u), v >=< u3 , v >, với ∀x ∈ X Do đó, phương trình vi phân tương đương với phương trình T (u) = L(λ, u) + H(λ, u) + K(λ, u) 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hơn nữa, ta dễ dàng nhận thấy X = X ∗ với X ∗ không gian liên hợp X Bây giờ, ta xét: X = {sin nπt : n = 1, 2, } Để giải phương trình tốn tử trên, ta tìm giá trị riêng cặp (T, L) ¯ cho T (u) = L(λ, ¯ u) Điều tương đương với Tức tìm λ ¯ sin nπt), sin nπt >= ∀n = 1, 2, < T (sin nπt) − L(λ, Từ ta có 1 ¯ sin nπt sin nπtdt = 0, λ −(sin nπt) sin nπtdt − 0 hay 1 ¯ (sin nπt)2 dt − λ n2 π ¯ (sin nπt)2 dt = (n2 π − λ) (sin nπt)2 dt = 0 ¯ n2 π − λ Như vậy, suy ra: = 0, với ∀n = 1, 2, ¯ = n2 π , với ∀n = 1, 2, Với giá trị riêng tìm được, ta Do đó, λ tìm x = cho n n ¯ xi v ) − H(λ, i A(x) =< T ( i=1 xi v i ), ψ i >= i=1 ¯ = λ1 = π , ta có: v = sinπt Do vậy, Lấy λ 1 1 < T (xv ), v >= T (xv )v dt = π2x xπ sin πtdt = , 2 x3 sin3 πtsinπtdtdt = x3 < H(λ1 , xv ), v >= 45 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi A(x) =< T (xv ), v > − < H(λ1 , xv ), v >= π2x 3 ⇔A(x) = − x =0 2π ⇔x = ± √ π2 − x nên Do A (x) = 2π 2π detA ( √ ) = −π = 0, detA (− √ ) = −π = 3 ¯ = điểm rẽ nhánh phương trình cho, hay (0,1) nghiệm Vì vậy, λ rẽ nhánh phương trình cho Hay tồn I3 , I4 ⊂ (−1, 1) hàm 2π 2π số liên tục x1 : R → I3 , x2 : R → I4 cho x1 (0) = √ , x2 (0) = − √ 3 để nghiệm tầm thường phương trình có dạng (λ1 , v1 ), (λ2 , v2 ) với , v1 (α) = αx1 (α)sinπt + w(α2 , αx1 (α)), 1+α λ2 (α) = , v2 (α) = αx2 (α)sinπt + w(α2 , αx2 (α)), 1+α với n = 2, 3, ta làm tương tự λ1 (α) = Hệ sau tồn nghiệm điểm rẽ nhánh cho phương trình toán tử Hệ 2.8 Giả sử giả thiết 1, thỏa mãn, ánh xạ A định nghĩa phương trình (2.23) tốn tử với h có x ¯ cực tiểu phương điểm tới hạn lập, x ¯ = Lúc đó, kết luận Định lý 2.4 cho số lân cận U ∗ x ¯ p R Chứng minh Từ x ¯ = điểm tới hạn cô lập điểm cực tiểu địa phương hàm h, ta chứng minh có lân cận mở U ∗ x ¯ không chứa cho: deg(0, A, U ∗ ) = i(0, A, U ∗ ) = 46 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Vì vậy, giả thiết thỏa mãn Áp dụng Định lý 2.4 ta có điểu phải chứng minh Hệ 2.9 Giả sử giả thiết 1, thỏa mãn, ánh xạ A định nghĩa (2.23) khả vi, x ¯ ∈ Rp , x¯ = cho   A(¯ x) = 0, (2.28) ∂Ai  (¯ xk ))i,k=1, ,p = γ¯ = det( ∂xk Khi đó, kết luận Định lý 2.4 tiếp tục áp dụng cho lân cận mở U ∗ x ¯ Rp Chứng minh Từ x ¯ = thỏa mãn điều kiện (2.28) tồn ∗ lân cận mở U x ¯ Rp cho A(x) = 0, với ∀x ∈ U¯ ∗ , x = x¯ Vì vậy, bậc tô pô deg(0, A, U ∗ ) A U ∗ xác định Từ phuơng trình thứ hai hệ (2.28) định nghĩa bậc tơ pơ ta có   γ¯ > 0, ∗ deg(0, A, U ) = −1 γ¯ < Khi đó, giả thiết thỏa mãn, áp dụng Định lý 2.4, hệ chứng minh ¯ ánh xạ L(., v) khả Tiếp theo, ta giả sử với v cố định v ∈ D vi liên tục với λ ∈ Λ định nghĩa ánh xạ: B : Λ × Rp → Rp , B = (B1 , , Bp ), xác định p ¯ Bi (x) =< Dλ L(λ, p ¯ xj v j )(β) − H(λ, j=1 xj v j ), ψ i >, (2.29) j=1 với i = 1, , p, β ∈ Λ, x = (x1 , , xp ) ∈ Rp Hơn nữa, ta đưa giả thiết ¯ x¯) ∈ Λ × Rp lân cận mở U ∗ x¯ Giả thiết Tồn điểm (β, U ∗ xác định khác không ¯ λ Giả thiết Giả thiết thỏa mãn với α−a K( , αv) thay + αa−1 β ∗ αa−1 −a ¯ α K(λ − , αv) với số β ∗ ∈ Λ a−1 1+α Khi ta có định lý: 47 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 2.10 Với giả thiết 4, β¯ = β ∗ , kết luận Định lý 2.4 với λ(α) thay ¯ a−1 β|α| ¯ λ(α) = λ − + |α|a−1 ¯ − β¯ + Λ β = λ − λ ¯ + βλ, ta định nghĩa Chứng minh Đặt Λ0 = λ ánh xạ T : X → Y, ˆ H, ˆ K ˆ : Λ0 × D → Y, L, xác định ¯ v) + Dλ L(λ, ¯ v)(β), ¯ Tˆ(v) = T (v) − L(λ, ¯ v)(β), ¯ ˆ v) = Dλ L(λ, L(β, ¯ − β, ¯ v), ˆ H(β, v) = H(β + λ ¯ − β, ¯ v) + L(β + λ ¯ − β, ¯ v) − L(λ, ¯ v) − Dλ L(λ, ¯ v)(β − β), ¯ ˆ K(β, v) = K(β − λ ¯ với (β, v) ∈ Λ0 × D) Khi đó, phương trình (2.3) tương đương với: ˆ v) + H(β, ˆ ˆ ¯ Tˆ(v) = L(β, v) + K(β, v), (β, v) ∈ Λ0 × D (2.30) Ta dễ dàng kiểm tra β¯ giá trị riêng cặp (T , L)  Ker(Tˆ − L( ¯ )) = Ker(T − L(λ, ¯ )) = [v , , v p ], ˆ β, Ker(Tˆ − L( ¯ ))∗ = Ker(T − L(λ, ¯ ))∗ = [ψ , , ψ p ] ˆ β, ˆ H, ˆ K ˆ thỏa mãn giả thiết 1,2 ánh xạ: Aˆ : Rp → Hơn L, Rp , Aˆ = (Aˆ1 , , Aˆp ), xác định p p ¯ ˆ β, xj v ) − H( Aˆi (x) =< Tˆ( ¯ x), xj v j ), ψ i >= Bi (β, j j=1 j=1 với i = 1, , p, x = (x1 , , xp ) ∈ Rp Như giả thiết thỏa mãn Áp dụng Định lý 2.4 ta chứng minh Định lý 2.10 Hệ 2.11 Giả sử giả thiết thỏa mãn ánh xạ B(β ∗ , ) xác định (2.29), với β ∗ từ giả thiết toán tử với phép h mà có điểm x¯ cực tiểu địa phương tới hạn lập, x¯ = 0, Định lý 2.10 cho lân cận mở U ∗ x ¯ Rp 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Áp dụng cách chứng minh tương tự chứng minh Hệ 2.9 để giả thiết thỏa mãn Sử dụng Định lý 2.10 ta điều phải chứng minh Hệ 2.12 Giả sử giả thiết thỏa mãn, ánh xạ B(β ∗ , ) định nghĩa (2.29) khả vi x∗ ∈ Rp , x∗ = 0, thỏa mãn điều kiện ∂Bi ∗ ∗ B(β ∗ , x∗ ) = det( (β , x ))i,k=1, ,p = 0, ∂xk với β ∗ từ giả thiết Khi đó, kết luận Định lý 2.10 với β¯ thay β ∗ Chứng minh Phương pháp chứng minh hệ tương tự phương pháp chứng minh Hệ 2.11, thay áp dụng Định lý 2.4 ta áp dụng Định lý 2.10 cho chứng minh ¯ giá trị riêng Tiếp theo, ta xét phương trình (2.1) trường hợp λ ¯ )) = [v ], Ker(T − L(λ, ¯ ))∗ = [ψ ] < cặp (T, L) với Ker(T − L(λ, T (v ), ψ >= Ta giả thiết: ¯ λ −a , αv) thay Giả thiết Giả thiết thỏa mãn với α PY K( + |α|a−1 ¯ + |α|a−1 β), αv) cho β ∈ R α−a PY K(λ(1 Định lý sau mở rộng kết thu Crandall Rabinowitz [2] cho phương trình liên quan ánh xạ liên tục Lipchitz ¯ v , ψ L, M thỏa mãn giả thiết 6, Định lý 2.13 Giả sử λ, ¯ 0) điểm rẽ nhánh hệ phương trình (2.5) Chính xác hơn, cho (λ, δ, > có lân cận I R cho với γ ∈ I, γ = 0, tìm β(γ) ∈ R nghiệm rẽ nhánh (λ(γ), v(γ)) phương trình (2.1) với ¯ λ v(γ)v = o(|γ|), a−1 + |γ| β(γ) ¯ Λ < δ < v(γ) < γ → thỏa mãn |λ(γ) − λ| λ(γ) = Chứng minh Giả sử I2 , U2 w Bổ đề 2.3 (với chứng minh chứng minh Bổ đề 2.3 , ta thấy bổ đề đúng, 49 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn giả thiết 1, thay cho giả thiết 1, 6), ta đặt ¯ v ), ψ > < H(λ, ¯ β= , < T (v ), ψ > ¯ Với γ ∈ I2 , γ = 0, ta định nghĩa ánh xạ lấy lân cận mở U ∗ β hγ : [0, 1] × R → R xác định  v + w(|tγ|a−1 β, tβ)   < βT ( ), ψ >,    |tγ|   ¯  λ  − < (1 + |tγ|a−1 β)|tγ|−a M ( ), a−1 β hγ (t, β) = + |tγ|     |tγ|v + w(|tγ|a−1 β, |tγ|), ψ i >, t = 0,     < βT (v ) − H(λ, ¯ v ), ψ >, t = Bằng cách chứng minh tương tự chứng minh Định lý 2.4, ta suy tồn lân cận I cho với γ ∈ I, γ = 0, hγ (t, β) = với t ∈ [0, 1], β ∈ ∂U2 Từ deg(0, hγ (t, ), U ∗ ) định nghĩa với t ∈ [0, 1]  1 < T (v ), ψ >> 0, ∗ ∗ deg(0, hγ (0, ), U ) = deg(0, hγ (1, ), U ) = −1 < T (v ), ψ >≤ Từ đó, suy với γ ∈ I3 , γ = tồn β(γ) ∈ U ∗ cho hγ (1, β(γ)) = Tiếp theo, chứng minh tương tự Định lý 2.4 ta chứng minh Định lý 2.13 ¯ ánh xạ L(., v) khả vi liên Sau đây, giả thiết với ∀v ∈ D, tục với ¯ v )(¯ Giả thiết Tồn điểm τ¯ ∈ Λ cho < Dλ L(λ, τ ), ψ >= ¯ λ Giả thiết Giả thiết thỏa mãn với α−a PY K( , αv) thay + αa−1 ¯ − τ¯γ a−1 τ λ γ −a PY K( , γv) với τ ∈ R, α → thay cho γ → 0, + γ a−1 τ τ¯ từ giả thiết Khi ta có 50 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 2.14 Với giả thiết 7, 8, kết Định lý 2.13 với λ(γ) thay τ¯|γ|a−1 β(γ) ¯ λ(γ) = λ − + |γ|a−1 β(γ) ¯ − τ¯ + Λ, γ = λ − λ ¯ + τ¯ Ta định nghĩa ánh xạ Chứng minh Đặt Λ0 = λ T , L, H K chứng minh Định lý 2.10 áp dụng Định lý 2.13 với phương trình 2.30 ta điều phải chứng minh Chú ý 2.15 Giả sử giả thiết 1-3, (giả thiết 4-7, 8) thỏa mãn lân cận U ∗ từ giả thiết (giả thiết theo thứ tự) không chứa I, I , (λ1 (α), v1 (α)), I , (λ2 (α), v2 (α)) tồn Định lý 2.4 Định lý 2.13 (Định lý 2.10 Định lý 2.14 theo thứ tự), đặt I = I ∩ I , ta kết luận với α ∈ I , α = 0, v1 (α) = v2 (α) Chứng minh Thật vậy, phương pháp phản chứng giả sử v1 (¯ α) = v2 (¯ α) cho số α ¯ ∈ I 0, α ¯ = 0, từ có |¯ α|(x1 (¯ α) − 1)v ∈ X0 ∩ X1 = x1 (¯ α) = ∈ U ∗ Điều mâu thuẫn với giả sử Vì vậy, ta có v1 (¯ α) = v2 (¯ α) với ∀α ∈ I , α = Chú ý 2.16 Giả sử giả thiết 1-3, (giả thiết 4-7, 8) thỏa mãn, PY H(λ, tv) = ¯ J , (λ1 (α)1 , v1 (α)), J , t PY H(λ, v) với t ∈ [−1, 1], (λ, v) ∈ Λ × D (λ2 (α), v2 (α)) tồn Định lý 2.4 Định lý 2.13 (Định lý 2.10 Định lý 2.14 theo thứ tự) J3 , (λ3 (α), v3 (α)), J4 , (λ4 (α), v4 (α)) tồn , đặt J0 = ∩4i=1 Ji , từ chú ý 2.6 ta suy ra: α (λ1 (α), v1 (α)) = (λ3 (α), v3 (α)) (λ2 (α), v2 (α)) = (λ4 (α), v4 (α)) cho α ∈ J0 , α < Giả sử U ∗ từ giả thiết (giả thiết theo thứ tự), ta có khẳng định sau Nếu ∈ U ∗ , (λ1 (α), v1 (α)) = (λ3 (α), v3 (α)) (λ2 (α), v2 (α)) = (λ4 (α), v4 (α)) với α ∈ J0 , α < (xem chứng minh Chú ý 2.15 trên) Trong trường hợp này, ta kết luận tồn tham số khác nghiệm rẽ nhánh phương trình (2.1) lân cận ¯ 0) (λ, 51 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nếu −1 ∈ U ∗ , (λ1 (α), v1 (α)) = (λ4 (α), v4 (α)) (λ2 (α), v2 (α)) = (λ3 (α), v3 (α)) với α ∈ J0 , α < Ta chứng minh (λ1 (α), v1 (α)) = (λ4 (α), v4 (α)) (2.31) (còn (λ2 (α), v2 (α)) = (λ3 (α), v3 (α)) ta chứng minh tương tự) Chứng minh Thật vậy, dùng phương pháp phản chứng, ta giả sử phương trình (2.31) khơng Từ suy ∃¯ α ∈ J0 , α ¯ < cho  λ1 (¯ α) = λ4 (¯ α), v (¯ α) = v (¯ α) Kéo theo, |¯ α|x1 (¯ α)v + o(|¯ α|) = α ¯ v + o(|¯ α|) Khi đó, |¯ α|x1 (¯ α) = α ¯ Vì α ∈ J0 , α ¯ < 0, nên suy x1 (¯ α) = −1 Điều vô lý nên (2.31) chứng minh Hơn nữa, với Chú ý 2.6, ta thấy trường hợp tồn tham số nghiệm rẽ nhánh ¯ 0) phương trình (2.1) lân cận (λ, Cuối cùng, ±1 ∈ U ∗ Từ suy tồn tham số ¯ 0) nghiệm rẽ nhánh phương trình (2.1) lân cận (λ, 52 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Luận văn trình bày bậc ánh xạ cho lớp toán tử liên tục tính chất nó, đưa ứng dụng bậc ánh xạ Phần luận văn sử dụng phương pháp kết hợp tô pô giải tích lý thuyết rẽ nhánh để đưa phương trình hai phần: phần nằm khơng gian hữu hạn chiều với số chiều p (p bội hình học giá trị riêng phần tuyến tính phương trình); phần cịn lại nằm khơng gian vô hạn chiều trực giao Phần nằm không gian vơ hạn chiều giải có nghiệm Phần nằm không gian hữu hạn chiều gọi phương trình rẽ nhánh Theo định lý hàm ẩn, ta dễ dàng nhận thấy điểm rẽ nhánh giá trị riêng phần tuyến tính Tuy nhiên, giá trị riêng phần tuyến tính điểm rẽ nhánh Khi viết luận văn sử dụng tài liệu tham khảo, nêu điều kiện đủ để giá trị riêng phần tuyến tính điểm rẽ nhánh công thức biểu diễn nghiệm phương trình theo giá trị riêng 53 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] M Berger (1969), A bifucation theory for nonlinear eliptic partial differential equations and relared systems, In: Bifurcation theory and nonlinear eigenvalue problems, Ed., by J B Keller and S.Antman New York, Amsterdam: Benjamin , pp 11 - 190 [2] M Crandall and P Rabinowitz (1971), Bifurcation at simple eigenvalue, J Funct, Anal 8, 321 - 340 [3] R Kluge (1967), Einige Anwendungen topologischer Methoden auf Bifurcationproblems Diss A Berlin [4] M A Krasnoselski (1956), Topological methods in the theory of nonlinear integral equations Moscow (in Russian) [5] R J Magnus (1974), Application of topological degree to the theory of branching, Battelle Math Report, No 90 [6] J B Mcleod and R.E.L Turnerr (1976 / 1977), Bifurcation for non differentiable operators with an application to alasticity, Arch Rational Mech, Anal 63 , - 45 [7] W V Petryshyn (1978), Bifurcation and asymptotic bifucation for equations involving A - proper mappings with application to differential equations, J Diff Eq 28, 124 - 154 [8] E Schmidt (1910), Zur Therie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, III Teil, Math Ann 65, 370 - 399 [9] J T Schwartz, Nonlinear Functional analysis, Gordon and Breach Science Publishers New York - London - Paris 54 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [10] N X Tan (1986), Some application of degree theory to bifucation problems, Z Anal und Anwendungen 4, 347 - 366 [11] N X Tan (1991), Bifurcation problems for equations involving lipschitz continuous mappings, J Math Anal Appl No 1, 22 - 42 [12] M M Vainberg and V A Trenogin, The methods of Lyapunov Schmidt in the theory of nonlinear equations, Uspekhi Math Nauk 55 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... ánh xạ, dựa vào phương pháp tô pô giải tích để nghiên cứu rẽ nhánh phương trình tốn tử ứng dụng thực tế Trình bày kiến thức học tập phương pháp tô pơ giải tích lý thuyết rẽ nhánh phân dạng luận... cứu rẽ nhánh phương pháp kết hợp phương pháp tơ pơ phương pháp giải tích để giá trị riêng phần tuyến tính nghiệm rẽ nhánh Mục đích nghiên cứu Trình bày số vấn đề lý thuyết bậc ánh xạ, dựa vào phương. .. vỡ Phương pháp nghiên cứu Phân tích, sử dụng phương pháp tơ pơ giải tích để giá trị riêng phần tuyến tính nghiệm rẽ nhánh Vận dụng kiến thức bậc ánh xạ giải tích hàm, giải tích đại lý thuyết phương