Định lý fenchel moreau mở rộng và đặc trưng cấp hai cho hàm lồi véctơ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KIỀU ANH TUẤN ĐỊNH LÝ FENCHEL MOREAU MỞ RỘNG VÀ ĐẶC TRƢNG CẤP HAI CHO HÀM LỒI VÉCTƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KIỀU ANH TUẤN ĐỊNH LÝ FENCHEL MOREAU MỞ RỘNG VÀ ĐẶC TRƢNG CẤP HAI CHO HÀM LỒI VÉCTƠ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn i LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Nếu sai tơi xin hồn tồn chịu hình thức kỷ luật theo quy chế trường Thái Nguyên, tháng 06 năm 2015 Tác giả Kiều Anh Tuấn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Trước tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn, người đặt toán tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu Đồng thời chân thành cảm ơn thầy giáo khoa Tốn, sau Đại học - Trường Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho tơi để tơi hồn thành luận văn Tôi gửi lời cảm ơn đến bạn lớp Cao học Toán K21, chia sẻ, động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Tôi vô biết ơn Bố, mẹ, anh, chị, em gia đình mình, cảm thơng chia sẻ tơi hai năm qua để tơi học tập hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 02 năm 2015 Tác giả Kiều Anh Tuấn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii MỞ ĐẦU Chƣơng 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ TRONG GIẢI TÍCH LỒI 1.1 Tập lồi 1.2 Hàm lồi 1.2.1 Tính liên tục hàm lồi 1.2.2 Tính Lipschitz địa phương 11 1.3 Định lý Fenchel- Moreau trường hợp vô hướng 13 1.4 Dưới vi phân hàm lồi 18 1.5 Cực tiểu hàm lồi 30 Chƣơng 2: ĐỊNH LÝ FENCHEL- MOREAU MỞ RỘNG VÀ ĐẶC TRƢNG CẤP HAI CỦA HÀM LỒI VÉCTƠ 32 2.1 Các khái niệm 32 2.2 Dưới vi phân 35 2.3 Định lý Fenchel-Moreau mở rộng 39 2.4 Đặc trung cấp hai hàm lồi véctơ 43 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Giải tích lồi mơn giải tích đại chuyên nghiên cứu tập lồi, hàm lồi tính chất chúng sau ứng dụng để nghiên cứu tốn tối ưu lồi toán liên quan Đây đề tài thông dụng sinh viên học viên cao học, cho ta số tư tưởng phương pháp tư để tiếp cận với toán phi tuyến hai lĩnh vực lý thuyết ứng dụng Hàm lồi nhiều tác giả nghiên cứu, vài kết thu cho phép ta giải toán tối ưu liên quan tới hàm lồi véctơ Ta biết toán liên quan đến hàm lồi đóng vai trị quan trọng ứng dụng toán học vào vấn đề sống Người ta đưa định nghĩa vi phân hàm lồi để tìm thuật toán giải nghiệm điều kiện cần đủ cho tối ưu Hàm lồi có cấu trúc hình học đơn giản, gần giống với hàm tuyến tính, có cấu trúc tôpô đặc biệt gần với hàm liên tục Lipschitz Đối với toán lồi, kết quan trọng: x nghiệm địa phương x nghiệm toàn cục Việc khai thác tính chất hàm lồi cho phép nghiên cứu tốn tối ưu cách tồn diện đầy đủ từ dẫn đến việc giải tốn hồn chỉnh Tuy nhiên vài mơ hình thực tế liên quan tới hàm khơng thiết lồi có nhiều tính chất giống hàm lồi Những hàm biến dạng hay tổng quát hóa hàm lồi Trong thực tế nảy sinh nhiều toán liên quan đến hàm véctơ Việc định nghĩa hàm lồi cho trường hợp véctơ cần thiết để nghiên cứu toán liên quan tới hàm lồi véctơ Các hàm lồi véctơ có tính chất giống tính chất hàm lồi vô hướng Người ta mở rộng khái niệm hàm lồi véctơ dựa sở nón khơng gian giá trị hàm Từ sinh quan hệ thứ tự ta phát biểu tốn đặt thực tế giải chúng trường hợp vơ hướng Định lý Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Fenchel- Moreau đóng vai trị quan trọng lý thuyết đối ngẫu toán tối ưu mở rộng trường hợp véctơ Chính lý tơi chọn đề tài: Định lý Fenchel- Moreau mở rộng đặc trưng cấp hai cho hàm lồi véctơ Mục đích luận văn trình bày lý thuyết hàm lồi vô hướng, Định lý Fenchel- Moreau trường hợp vô hướng, Định lý Fenchel- Moreau trường hợp tổng quát đặc trưng cấp hai hàm lồi véctơ Dựa kiến thức giải tích lồi, giải tích Lipschitz, giải tích hàm, ta nghiên cứu sâu vào vấn đề đối ngẫu hàm lồi vơ hướng véctơ, tốn tối ưu lồi vô hướng véctơ Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận tài liệu tham khảo, cụ thể là: Chƣơng Trong chương tác giả trình bày khái niệm tập lồi, hàm lồi, vi phân hàm lồi, tính chất hàm lồi tính liên tục, tính Lipschitz địa phương,…, định lý Fenchel- Moreau trường hợp vô hướng số ứng dụng Chƣơng Trong chương trình bày khái niệm bản, vi phân hàm véctơ lồi, định lý Fenchel- Moreau trường hợp tổng quát tìm đặc trưng cấp hai hàm lồi véctơ Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt luận văn tài liệu tham khảo Tác giả Kiều Anh Tuấn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Chƣơng KIẾN THỨC CƠ SỞ TRONG GIẢI TÍCH LỒI Trong năm gần giải tích lồi mơn nghiên cứu phát triển cho kết sâu sắc tốn học Nó ứng dụng rộng rãi thực tế toán vận trù học, toán kinh tế ngành kỹ thuật Các hàm lồi đóng vai trị quan trọng giải tích lồi đặc biệt lý thuyết tối ưu hóa đảm bảo tính chất liên quan đến điểm cực trị Do đặc trưng lớp hàm bậc bậc hai nghiên cứu nhiều Trước hết ta trình bày khái niệm, tính chất kết chủ yếu giải tích lồi Những kiến thức chương viết sở chương [1] 1.1 Tập lồi Dưới ta giả thiết X không gian tô pô thực, X* không gian tô pô đối ngẫu X, R tập số thực R Định nghĩa 1.1.1 Cho A X Ta nói A tập lồi 0;1 : a Cho a, b R b a, b A với A A hai điểm cố định, đoạn thẳng nối a,b xác định sau a, b x A :x a b;0 Nhận xét Tập A tập lồi với a, b đoạn thẳng A a, b A Các , cầu, đa diện , hình chữ nhật, tam giác tập Định nghĩa 1.1.2 Cho f Tập H x X :f x X *, số thực cố định gọi siêu phẳng; Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn H x X :f x gọi nửa không gian trên; H x X :f x gọi nửa không gian Tất tập tập lồi Định nghĩa 1.1.3 Cho A X i) Giao tất tập lồi chứa tập A gọi bao lồi A: n coA x X :x x , xi A i i i 1, 2, , n i ii) Giao tất tập lồi đóng chứa tập A gọi bao lồi đóng A, ký hiệu co A Ta thấy tập lồi có phép tính tơpơ, đại số sau Nhận xét i) CoA tập lồi nhỏ chứa A; ii) A tập lồi A CoA ; iii) co A tập lồi đóng nhỏ chứa A; iv) A tập lồi đóng A Mệnh đề 1.1.4 Giả sử A co A X tập lồi, đó: i) Phần int A bao đóng A tập lồi; ii) Với x int A , x iii) Nếu int A A x 1, x , A int A; int A , int A int A Khái niệm tách hai tập lồi đóng vai trị quan trọng lý thuyết tối ưu, đặc biệt việc chứng minh tồn nhân tử Lagrange toán tối ưu có ràng buộc Định nghĩa 1.1.5 Cho tập A, B f tách A B tồn số f ,y X ta nói phiếm hàm tuyến tính liên tục cho f , x với x Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN A , với y B , http://www.lrc.tnu.edu.vn (1.1) f , x f x tích vơ hướng X X * Nếu bất đẳng thức (1.1) thực sự, tức f ,y f ,x tách chặt A B Siêu phẳng H x với x A, y B , ta nói f gọi siêu phẳng tách X : f ,x A B Các tập A, B gọi tách Nhận xét i) Bất đẳng thức (1.1) tương đương với f ,y ii) Phiếm hàm f f ,x , x A, y B; f ,y , f ,x x A, y Định lý 1.1.6 Cho A B tập lồi X, A intB f 0, f cho tách chặt A B, tồn số B B , int A Khi tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục X tách A B theo Mệnh đề 1.1.4 ta có int A tập lồi Chứng minh Giả sử int A Vì (int A) nên int A B B tập lồi mở (int A) Khi tồn siêu phẳng đóng H x tuyến tính khơng cắt (int A) B chứa không gian X : f ,x Ta có f liên tục H đóng, f f khơng phải siêu phẳng X Ta lại có (int A) H X H B nằm nửa khơng gian sinh H Chẳng hạn nửa không gian Khi f ,x f ,x f ,x y f ,y x x f ,y A, y int A, x A, y B; y B; B Tức A, B tách phiếm hàm f Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN B http://www.lrc.tnu.edu.vn ... Định lý Fenchel- Moreau mở rộng đặc trưng cấp hai cho hàm lồi véctơ Mục đích luận văn trình bày lý thuyết hàm lồi vô hướng, Định lý Fenchel- Moreau trường hợp vô hướng, Định lý Fenchel- Moreau. .. 1.3 Định lý Fenchel- Moreau trường hợp vô hướng 13 1.4 Dưới vi phân hàm lồi 18 1.5 Cực tiểu hàm lồi 30 Chƣơng 2: ĐỊNH LÝ FENCHEL- MOREAU MỞ RỘNG VÀ ĐẶC TRƢNG CẤP HAI. ..Khi lồi, đóng - Sử dụng đạo hàm suy rộng bật Clarke cho hàm véctơ Lipschitz địa phương, ta thu đặc trưng cấp hàm véctơ Do đó, ta thu đặc trưng cấp hai cho hàm lồi véctơ Số hóa Trung tâm Học liệu