Toán rời rạc discrete mathematics

TỐN RỜI RẠC DISCRETE MATHEMATICS Mã số: CSE 203 ¾ Số tín : ¾ Số tiết: 60 ( Lý thuyết: 45; Bài tập:15) ¾ Đánh giá: Điểm trình: 30% (Chuyên cần, Bài tập Kiểm tra kỳ) Điểm Thi kết thúc: 70% (Thi cuối kỳ; Thi viết) ¾Giáo trình: Discrete Mathematics and Its Applications, by Kenneth Rosen Bản dịch: Toán học rời rạc ứng dụng Tin học ¾Nội dung tóm tắt mơn học: Giới thiệu Cơ sở Tốn học KH máy tính Kiến thức DMath tảng cho nhiều lĩnh vực: thiết kế hình thức cho NNLT Biên dịch; Xác thực Hệ thống CT máy tính; Thiết kế phân tích định lượng Thuật tốn… ¾Đối tượng nghiên cứu: Các Cấu trúc rời rạc bao gồm: Tập hợp, Hoán vị, Quan hệ, Đồ thị, Cây Máy hữu hạn trạng thái… ¾Các chủ đề: Suy luận Toán học: sở PP chứng minh; Phân tích Tổ hợp: tốn Đếm , Liệt kê; Tư Thuật toán; Các ứng dụng… CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 LÔGIC Logic học: nghiên cứu logic chủ quan chi phối logic khách quan logic chủ quan…bao gồm: logic hình thức; logic biện chứng ( Triết học); logic toán, logic mờ (trong Toán học) Logic Toán sở suy luận Tốn học có nhiều ứng dụng: thiết kế máy tính, trí tuệ nhân tạo, lập trình máy tính… Gồm: Logic mệnh đề Logic Vị từ 1.1.1 Mệnh đề: • Mệnh đề: – Là câu trần thuật (khẳng định phủ định) sai – Ví dụ: 1+1 = mệnh đề cịn x+ 2= MĐ – Quy ước: Ký hiệu MĐ bằng: p,q,r,s… – Giá trị chân lý MĐ: Đúng (T); Sai (F) • Mệnh đề phức hợp: tạo từ MĐ sơ cấp có Tốn tử Logic ( Phép tốn logic, Liên từ logic) – Định nghĩa 1: (Toán tử Phủ định -TT ngôi) Phủ định MĐ p MĐ, ký hiệu ¬p – Định nghĩa 2: (Toán tử Hội –Phép Và) Hội MĐ p q MĐ, ký hiệu p∧q p q – Định nghĩa 3: (Toán tử Tuyển –Phép Hoặc) p∨q Tuyển MĐ p q MĐ, sai p q sai – Định nghĩa 4: (Toán tử Tuyển loại ) Tuyển loại MĐ p q MĐ, p ⊕ q MĐ p q BẢNG GIÁ TRỊ CHÂN LÝ ¬p p T F F T p q p∧q p∨q p⊕q T T T T F T F F T T F T F T T F F F F F 1.1.2 Mệnh đề kéo theo: (pp khác tạo nên MĐ) – Định nghĩa 5: MĐ kéo theo p → q (*) MĐ (còn gọi MĐ điều kiện) sai p q sai; p giả thiết q kết luận MĐ đảo (*) q → p MĐ phản đảo (*) ¬q → ¬p MĐ nghịch đảo (*) ¬p → ¬q – Định nghĩa 6: Mệnh đề hai điều kiện p ↔ q MĐ p q có giá trị chân lý sai trường hợp lại ( p → q q → p đúng) BẢNG GIÁ TRỊ CHÂN LÝ p q p→q p↔q T T T T T F F F F T T F F F T T Độ ưu tiên Tốn tử ¬ ∧ ∨ → ↔ 1.1.3 Các phép toán BIT: – Bit ( Binary Digit ) dùng để biểu diễn giá trị chân lý MĐ : bit biểu diễn giá trị True, bit biểu diễn giá trị False – Các phép toán Bit tương ứng với liên từ (tốn tử) lơgic Ta dùng OR, AND XOR thay cho ∨,∧ ⊕ thay T 1, F ta nhận Bảng giá trị chân lý phép toán Bit – Phép đảo bit ( tương ứng TT phủ định) x = x xor ( SV tự chứng minh) 10 8.4.3 Bao đóng bắc cầu: • Định nghĩa 3: R quan hệ tập A Quan hệ liên thông R* quan hệ gồm cặp (a,b) cho có đường a b quan hệ R Vì Rn gồm cặp (a,b) cho có đường với độ dài n từ a đến b, nên suy R* hợp tất tập Rn , tức ∞ R * = R ∪ R ∪ ∪ R n ∪ = U R n n =1 • Định lý 2: Bao đóng bắc cầu quan hệ R quan hệ liên thơng R* • Bổ đề 1: Cho A tập n phần tử R quan hệ A Nếu có ĐĐ R từ a đến b có ĐĐ với độ dài không vượt n (Khi a ≠ b độ dài khơng vượt q n-1) * n ¾Từ suy R = R ∪ R ∪ ∪ R • Định lý 3: Cho MR ma trận không-một biểu diễn quan hệ R tập gồm n phần tử Khi ma trận khơng-một biểu diễn bao đóng bắc cầu R* M R * = M R ∨ M[R2 ] ∨ M[R3] ∨ ∨ M[Rn ] • Ví dụ 3: Tìm ma trận khơng-một biểu diễn bao đóng bắc cầu quan hệ R, cho MR = M [ 2] R = M R* = 1 Theo Định lý : M R * = M R ∨ M[R2 ] ∨ M[R3] 1 Từ ta thu 1 1 1 1 1 1 1 M 1 1 1 [ 3] R = Bài tập: 1÷3,5÷7,9,11,19,21,25 (trg 504÷506) 8.5 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG 8.5.1 Quan hệ tương đương: • Định nghĩa 1: Quan hệ tập A gọi quan hệ tương đương phản xạ, đối xứng, bắc cầu Hai phần tử quan hệ với QHTĐ gọi TĐ với • Ví dụ 1: R QH tập xâu chữ tiếng Anh cho aRb l(a)=l(b) (độ dài nhau) R quan hệ tương đương? • Ví dụ 2: (Đồng dư theo mơđun m) Cho m số nguyên dương lớn Quan hệ R= { (a,b) | a ≡ b ( mod m) } quan hệ tương đương tập số nguyên Z 8.5.2 Các lớp tương đương: • Định nghĩa 2: Cho R quan hệ tương đương tập A Tập tất phần tử có quan hệ với phần tử a A gọi lớp tương đương a; ký hiệu [a]R (nếu xét quan hệ ta cần viết [a]); tức [a]R ={ s |(a,s) ∈ R } Nếu b ∈ [a]R , b gọi đại diện lớp TĐ • Ví dụ 3: Với quan hệ tương đương Ví dụ 1, ta có [a] = {a,b,…,z} • Ví dụ 4: Với quan hệ đồng dư Ví dụ 2, ta có [0] = {…,-8,-4,0,4,8,…} [1] = {…,-7,-3,1,5,9,…} •Các lớp tương đương quan hệ đồng dư theo môđun m gọi lớp đồng dư theo môđun m ; ký hiệu [a]m 8.5.3 Các lớp tương đương phân hoạch: • Định lý 1: Cho R quan hệ tương đương tập A Các mệnh đề sau tương đương: (i) aRb; (ii) [a] = [b] (iii) [a] ∩ [b]≠ Ø • Một phân hoạch tập S tập hợp tập khơng rỗng rời S có S hợp chúng.Tập hợp tập Ai , i ∈ I (ở I tập số) tạo nên phân hoạch S nếu: A i ≠ Ø ∀ i ∈ I ; A i ∩ A j = Ø ; i ≠ j ; U A i = S i∈ I •Ví dụ 5: Giả sử S={1,2,3,4,5,6} Tập hợp tập A1 ={1,2,3}, A2 ={4,5}, A3 ={6} tạo nên phân hoạch S • Định lý 2: Cho R quan hệ tương đương tập S Khi lớp tương đương R lập nên phân hoạch S Ngược lại với phân hoạch cho {Ai | i ∈ I } tập S, tồn QHTĐ R có tập Ai lớp tương đương • Ví dụ 6: Xác định tập phân hoạch số nguyên tạo QH đồng dư theo mơđun ¾ [0]={…,-8,-4,0,4,8,… }; [1]={…,-7,-3,1,5,9,…}; [2]={…,-6,-2,2,6,10,…}; [3]={…,-5,-1,3,7,11,…}; 10 •BT:1,2,3,5,15÷18,20÷22,31,33,35 (trg 511÷513) 8.6 SẮP XẾP BỘ PHẬN 8.6.1 Mở đầu: • Định nghĩa 1: Quan hệ R tập S gọi có thứ tự phận hay phận phản xạ, phản đối xứng bắc cầu Tập S với cách thứ tự phận R gọi tập có thứ tự phận, kí hiệu (S,R) • Ví dụ 1: CMR quan hệ “ lớn bằng” (≥) cách xếp phận tập số nguyên ( QH PX , phản ĐX bắc cầu) • Ví dụ 2: CMR ( Z+,| ) tập phận; Z+ tập số nguyên dương, |11là quan hệ chia hết • Trong tập phận bất kỳ, ký hiệu: +a b biểu thị (a,b) ∈ R ⇔ (a quan hệ với b) +a b biểu thị a b mà a ≠ b (được nói “a nhỏ b” hay “b lớn a”) • Định nghĩa 2: Các phần tử a b tập phận (S, ) gọi so sánh a b a b Nếu khơng có a b a b phần tử a b gọi khơng so sánh •Ví dụ 3: Trong ( Z+,| ) số so sánh 3|9 ( tức chia hết cho ) số khơng so sánh khơng chia 12 hết cho không chia hết cho •Định nghĩa 3: Nếu (S, ) tập cặp phần tử S so sánh S gọi tập toàn phần gọi xếp toàn phần Một tập toàn phần gọi dây xích •Ví dụ 4: Tập ( Z,≤) xếp tồn phần với số ngun a b ta ln có a ≤ b b ≤ a •Ví dụ 5: ( Z+,| ) có tập tồn phần ? •Định nghĩa 4: (S, ) tập tốt tập cho xếp tồn phần tập khơng rỗng S 13 có phần tử nhỏ •Ví dụ 6: Tập cặp số nguyên dương Z+x Z+ với (a1,a2) (b1,b2) a1 cho a1=b1, a2=b2,…, ai=bi ai+1 i+1 bi+1 • Ví dụ 8: Tập ( Z x Z x Z x Z, ) xếp theo thứ tự từ điển dựa quan hệ ≤ thường dùng; xét hai thành phần (1,2,3,5) (1,2,4,3) ¾Ta có: (1,2,3,5) (1,2,4,3) 16 • Định nghĩa 7: Thứ tự từ điển xâu Xét xâu a1a2…am b1b2…bn tập phận S Giả sử xâu có độ dài khơng Gọi t = min(m,n), theo thứ tự từ điển xâu a1a2…am nhỏ xâu b1b2…bn nếu: (a1,a2,…,at) (b1,b2,…,bt) (a1,a2,…,at) = (b1,b2,…,bt) m < n; biểu thị thứ tự từ điển St Tức xâu nhỏ xâu t-thành phần xâu thứ nhỏ t-thành phần xâu thứ hai, hai t-thành phần 17 xâu thứ hai dài •Ví dụ 9: Dùng thứ tự bảng chữ tiếng Anh (viết thường), xây dựng cách xếp từ điển tập xâu: Một xâu nhỏ xâu thứ hai chữ xâu thứ vị trí hai xâu khác đứng trước chữ xâu thứ hai vị trí này, hai xâu tất vị trí xâu thứ hai dài Chẳng hạn: + discreet discrete + discreet discreetness discreti + discrete 18 • Bài tập: 1÷5, 11÷13 (trang 525, 526) ...¾Giáo trình: Discrete Mathematics and Its Applications, by Kenneth Rosen Bản dịch: Toán học rời rạc ứng dụng Tin học ¾Nội dung tóm tắt mơn học: Giới thiệu Cơ sở Toán học KH máy tính... Cấu trúc rời rạc bao gồm: Tập hợp, Hoán vị, Quan hệ, Đồ thị, Cây Máy hữu hạn trạng thái… ¾Các chủ đề: Suy luận Toán học: sở PP chứng minh; Phân tích Tổ hợp: tốn Đếm , Liệt kê; Tư Thuật toán; Các... hàm mũ f(x)= arx với giá trị rời rạc đối số • Định nghĩa 3: Một cấp số cộng dãy có dạng a, a+d, a+2d,…, a+nd, số hạng đầu a cơng sai d số thực Cấp số cộng giá trị rời rạc hàm tuyến tính f(x)=dx+a