Bài giảng phương pháp số

Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2011-2012 BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP SỐ Giới thiệu môn học Phương pháp số (Numerical methods) khoa học nghiên cứu cách giải gần phương trình cách tính xấp xỉ tốn tử để đưa lời giải gần cho toán cho trước Nói cách khác, phương pháp số xem xét cách giải toán dựa liệu số cho trước đưa kết số Phương pháp số có nhiều bước tiến mạnh mẽ khoảng nửa kỷ trở lại với phát triển mạnh mẽ Tin học Ngày nay, phạm vi ứng dụng Phương pháp số ngày mở rộng, không Vật lý, Kinh tế, Tài chính… mà Thủy lợi, đặc biệt phục vụ cho tính tốn cơng trình Mục đích mơn học Phương pháp số chương trình đào tạo cho Khoa Cơng trình – Trường Đại học Thủy lợi cung cấp cho sinh viên khái niệm kiến thức tảng phương pháp số, công cụ quan trọng cho cơng việc tính tốn kết cấu cơng trình Nội dung mơn học gồm chương Chương 1: Sai số xấp xỉ Chương 2: Tính gần nghiệm phương trình Chương 3: Tính gần nghiệm hệ phương trình đại số tuyến tính Chương 4: Tính gần đạo hàm tích phân xác định Chương 5: Giải gần phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng Tài liệu thức: [1] Tạ Văn Đĩnh: Phương pháp tính dùng cho trường Đại học kỹ thuật NXB giáo dục 1994 (Thư viện trường) [2] Lê Trọng Vinh: Giáo trình Giải tích số, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 2007 Tài liệu tham khảo [1] B.S Grewal Numerical Methods in Engineering & Science Khanna Publihishers, Second Preprint 2000 (Trung tâm tư liệu quốc gia) [2] Giải tích số; Trần Anh Bảo, Nguyễn Văn Khải, Phạm VănKiều, Ngô Xuân Sơn; NXB ĐHSP-2007 Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2011-2012 Chương 1(Buổi 1) SAI SỐ VÀ XẤP XỈ I Một số khái niệm mở đầu I.1 Sai số tuyệt đối sai số tương đối Nói chung, giá trị đại lượng dùng tính tốn khơng biết cách xác, chẳng hạn giá trị đại lượng nhận phép đo, đếm… Nói cách khác, tính tốn phải làm việc với giá trị gần Định nghĩa I.1.1 Ta gọi 𝑎𝑎 số gần 𝑎𝑎∗ 𝑎𝑎 không sai khác 𝑎𝑎∗ nhiều Ký hiệu 𝑎𝑎 ≈ 𝑎𝑎∗ Định nghĩa I.1.2 Hiệu số 𝛥𝛥 = 𝑎𝑎 ∗ − 𝑎𝑎 gọi sai số thực số gần 𝑎𝑎 Nếu 𝛥𝛥 > 𝑎𝑎 gọi số gần thiếu, 𝛥𝛥 < 𝑎𝑎 gọi số gần thừa 𝑎𝑎∗ Thơng thường, 𝑎𝑎∗ khơng thể biết, nên khơng rõ Δ, nhiên thường tìm số Δ𝑎𝑎 > thỏa mãn điều kiện |𝑎𝑎∗ − 𝑎𝑎| ≤ Δ𝑎𝑎 (1) Định nghĩa I.1.3 Ta gọi 𝛥𝛥𝛥𝛥 thỏa mãn (1) sai số tuyệt đối số gần 𝑎𝑎 Từ (1) ta có 𝑎𝑎 − Δ𝑎𝑎 ≤ 𝑎𝑎 ∗ ≤ 𝑎𝑎 + Δ𝑎𝑎 (2) Một số gần 𝑎𝑎 số 𝑎𝑎∗ với sai số tuyệt đối Δ𝑎𝑎 viết đơn giản 𝑎𝑎∗ = 𝑎𝑎 ± Δ𝑎𝑎 (3) Định nghĩa I.1.4 Cho số gần 𝑎𝑎 số 𝑎𝑎∗ với sai số tuyệt đối 𝛥𝛥𝛥𝛥 giả sử 𝑎𝑎∗ ≠ Ta gọi sai số tương đối số gần a với số 𝑎𝑎∗ số, ký hiệu 𝛿𝛿𝑎𝑎 , xác định Δ𝑎𝑎 𝛿𝛿𝑎𝑎 = ∗ (4) |𝑎𝑎 | Tuy nhiên số 𝑎𝑎 ∗ chưa biết, đại lượng 𝛿𝛿𝑎𝑎 xác định (4) có ý nghĩa lý thuyết, để đảm bảo tương đối xác người ta thường tính tốn 𝛿𝛿𝑎𝑎 theo công thức sau (với điều kiện 𝑎𝑎 ≠ 0) Δ𝑎𝑎 𝛿𝛿𝑎𝑎 = (5) |𝑎𝑎| Ví dụ I.1.1 Cho 𝑎𝑎∗ = 𝜋𝜋, 𝑎𝑎 = 3.14 Do 3.14 < 𝑎𝑎∗ < 3.15 = 3.14 + 0.01 nên ta lấy Δ𝑎𝑎 = 0.01 Mặt khác 3.14 < 𝑎𝑎∗ < 3.142 = 3.14 + 0.002 nên coi Δ𝑎𝑎 = 0.002 v.v…Tức có nhiều sai số cho phép lấy số gần số 𝜋𝜋 Ví dụ I.1.2 Xét hai đoạn thẳng AB có độ dài 𝑎𝑎 = 10𝑚𝑚 ± 0.01𝑚𝑚 CD có độ dài 𝑏𝑏 = 1𝑚𝑚 ± 0.01𝑚𝑚 Như ta có Δ𝑎𝑎 = Δ𝑏𝑏 = 0.01𝑚𝑚 0.01 0.01 𝛿𝛿𝑎𝑎 = = 10−3 , 𝛿𝛿𝑏𝑏 = = 10−2 10 Như phép đo đoạn thẳng AB CD có sai số tuyệt đối sai số tương đối 𝑎𝑎 nhỏ sai số tương đối 𝑏𝑏, từ phép đo đoạn thẳng AB xác phép đo đoạn thẳng CD Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2011-2012 Nhận xét: • Sai số tuyệt đối sai số tương đối khơng • Độ xác phép đo phản ánh qua sai số tương đối I.2 Phép làm tròn số sai số phép làm trịn số Trong mục ta ln qui ước số viết dạng thập phân Một số thập phân 𝑎𝑎 ≠ có dạng tổng quát 𝑎𝑎 = ±�𝑎𝑎𝑝𝑝 10𝑝𝑝 + 𝑎𝑎𝑝𝑝−1 10𝑝𝑝−1 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑝𝑝−𝑠𝑠 10𝑝𝑝−𝑠𝑠 � (6) Trong 𝑎𝑎𝑖𝑖 , 𝑠𝑠 ∈ 𝑁𝑁, 𝑝𝑝 ∈ 𝑍𝑍, ≤ 𝑎𝑎𝑖𝑖 ≤ 9, 𝑎𝑎𝑝𝑝 > 0, với 𝑎𝑎𝑖𝑖 chữ số 𝑎𝑎, số 𝑖𝑖 xác định hàng chữ số Nếu 𝑝𝑝 − 𝑠𝑠 ≥ 𝑎𝑎 số nguyên, 𝑝𝑝 − 𝑠𝑠 = −𝑚𝑚 (𝑚𝑚 > 0) số 𝑎𝑎 có phần lẻ gồm 𝑚𝑚 chữ số, 𝑠𝑠 = +∞ 𝑎𝑎 số thập phân vơ hạn Làm trịn số 𝑎𝑎 đến hàng thứ 𝑗𝑗 bỏ chữ số có hàng thứ k, với 𝑘𝑘 ≤ 𝑗𝑗 − để số 𝑎𝑎� gọn 𝑎𝑎 gần với 𝑎𝑎 Qui tắc làm tròn số Xét số 𝑎𝑎 dạng (6) ta giữ lại đến hàng thứ 𝑗𝑗, phần bỏ gọi 𝜇𝜇, lúc 𝑎𝑎� = ±�𝑎𝑎𝑝𝑝 10𝑝𝑝 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑗𝑗 +1 10𝑗𝑗 +1 + 𝑎𝑎�𝑗𝑗 10𝑗𝑗 � Với 1 𝑎𝑎𝑗𝑗 𝑛𝑛ế𝑢𝑢 ≤ 𝜇𝜇 < 10𝑗𝑗 ℎ𝑜𝑜ặ𝑐𝑐 𝜇𝜇 = 10𝑗𝑗 𝑚𝑚à 𝑎𝑎𝑗𝑗 𝑐𝑐ℎẵ𝑛𝑛 2 𝑎𝑎�𝑗𝑗 = � 𝑗𝑗 𝑎𝑎𝑗𝑗 + 𝑛𝑛ế𝑢𝑢 10 < 𝜇𝜇 < 10𝑗𝑗 ℎ𝑜𝑜ặ𝑐𝑐 𝜇𝜇 = 10𝑗𝑗 𝑚𝑚à 𝑎𝑎𝑗𝑗 𝑙𝑙ẻ 2 Sai số phép làm tròn số 𝑎𝑎 ký hiệu Γ𝑎𝑎 xác định |𝑎𝑎 − 𝑎𝑎�| = Γ𝑎𝑎 Rõ ràng Γ𝑎𝑎 ≤ 10𝑗𝑗 Dễ thấy |𝑎𝑎∗ − 𝑎𝑎�| ≤ |𝑎𝑎∗ − 𝑎𝑎| + |𝑎𝑎 − 𝑎𝑎�| ≤ Δ𝑎𝑎 + Γ𝑎𝑎 Như làm trịn số sai số tuyệt đối tăng thêm Γ𝑎𝑎 Ví dụ I.2.1 Xét 𝑎𝑎 = 314.149 Hãy thực phép làm tròn số đến hàng thứ −2, −1, 0, Lời giải Ta có 𝑎𝑎 = 3.102 + 1.101 + 4.100 + 1.10−1 + 4.10−2 + 9.10−3 Làm tròn số 𝑎𝑎 lần lượt, ta thu kết sau 314.15 = 3.102 + 1.101 + 4.100 + 1.10−1 + 5.10−2 314.2 = 3.102 + 1.101 + 4.100 + 2.10−1 314 = 3.102 + 1.101 + 4.100 310 = 3.102 + 1.101 Tuy nhiên để ý làm tròn số 𝑎𝑎 đến hàng thứ −1 có kết 314.1 khơng trùng với kết có cách làm tròn cách I.3 Chữ số Ta xét số 𝑎𝑎 viết dạng thập phân (6), có Định nghĩa I.3.1: Chữ số 𝑎𝑎𝑗𝑗 biểu diễn dạng (6) gọi Δ𝑎𝑎 ≤ 10𝑗𝑗 (7) Ví dụ I.3.1: Cho 𝑎𝑎 = 65.8274 với Δ𝑎𝑎 = 0.0043 chữ số 6, 5, 8, chữ số chắc, cịn 7,4 chữ số khơng Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2011-2012 Nhận xét 𝑎𝑎𝑠𝑠 tất chữ số có nghĩa đứng bên trái 𝑎𝑎𝑠𝑠 khơng tất chữ số có nghĩa bên phải khơng I.4 Cách viết số gần Cách thứ nhất: Viết kèm theo sai số tuyệt đối 𝑎𝑎 ± Δ𝑎𝑎 Ví dụ 𝑎𝑎∗ = 3.98 ± 0.001 hiểu số gần 𝑎𝑎∗ 3.98 với sai số tuyệt đối Δ𝑎𝑎 = 0.001 Cách thứ hai: Viết kèm theo sai số tương đối 𝑎𝑎 ± δa Ví dụ 𝑎𝑎 = 3.98 ± 1% hiểu số gần 𝑎𝑎 3.98 với sai số tương đối 𝛿𝛿𝑎𝑎 = 1% Cách thứ ba: Số gần không viết kèm theo sai số tuyệt đối sai số tương đối, cần hiểu tất chữ số số gần chữ số Ví dụ 𝑎𝑎 = 2.718 chữ số hiển nhiên tất chữ số đứng trước chắc, Δ𝑎𝑎 ≤ 10−3  Cách thứ thường dùng bảng số thông dụng bảng logarit, bảng giá trị hàm lượng giác, bảng giá trị hàm số thống kê toán học… II Sai số II.1 Sai số số liệu ban đầu Trong trình giải toán thực tế ta thường phải dùng số liệu kết phép đo lường, thí nghiệm…Mà q trình đó, yếu tố thể trạng, tâm lý người phụ trách thí nghiệm đo, đếm số liệu, độ xác có hạn thiết bị thí nghiệm thiết bị đo, đếm, tác động môi trường xung quanh độ ẩm, áp suất, tốc độ gió… tất ảnh hưởng đến kết thí nghiệm Để đơn giản vấn đề đảm bảo độ xác, lý thuyết xác suất ta có kết luận sau: Để xác định số liệu 𝑎𝑎∗ , người ta làm 𝑚𝑚 lần phép thử thu kết tương ứng 𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … 𝑎𝑎𝑚𝑚 Khi lấy 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑚𝑚 𝑎𝑎 = 𝑚𝑚 Là giá trị gần 𝑎𝑎∗ với sai số tuyệt đối Δ𝑎𝑎 = � 𝑚𝑚 �(𝑎𝑎𝑖𝑖 − 𝑎𝑎)2 � 𝑚𝑚(𝑚𝑚 − 1) 𝑖𝑖=1 II.2 Sai số tính tốn II.2.1 Mở đầu Ta xét toán tổng quát sau:  Xét hàm số 𝑢𝑢 hai biến số 𝑥𝑥, 𝑦𝑦: 𝑢𝑢 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) Giả sử 𝑥𝑥 xấp xỉ giá trị 𝑥𝑥 ∗ , 𝑦𝑦 xấp xỉ giá trị 𝑦𝑦 ∗ ta coi 𝑢𝑢 xấp xỉ giá trị 𝑢𝑢∗ = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ∗ , 𝑦𝑦 ∗ ) Cho biết sai số 𝑥𝑥 𝑦𝑦, lập cơng thức tính sai số 𝑢𝑢 Ta thấy hàm 𝑢𝑢 khả vi liên tục Δ𝑢𝑢 = |𝑢𝑢 − 𝑢𝑢∗ | = |𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ∗ , 𝑦𝑦 ∗ )| ≤ |𝑓𝑓𝑥𝑥′ | |𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 ∗ | + �𝑓𝑓𝑦𝑦′ � |𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 ∗ | Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2011-2012 Với 𝑓𝑓𝑥𝑥′ , 𝑓𝑓𝑦𝑦′ đạo hàm theo 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 điểm trung gian Vì 𝑢𝑢 khả vi liên tục Δ𝑥𝑥, Δ𝑦𝑦 nhỏ nên ta lấy Δ𝑢𝑢 = |𝑓𝑓𝑥𝑥′ (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)| Δ𝑥𝑥 + �𝑓𝑓𝑦𝑦′ (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)� Δ𝑦𝑦 Do Δ𝑢𝑢 𝜕𝜕 𝜕𝜕 𝛿𝛿𝑢𝑢 = = | ln 𝑓𝑓| Δ𝑥𝑥 + | ln 𝑓𝑓| Δ𝑦𝑦 |𝑢𝑢| 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕  Ngồi ta cịn có kết hàm n biến 𝑢𝑢 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) ta có Δ𝑢𝑢 = �𝑓𝑓𝑥𝑥′1 (𝑥𝑥1 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 )� Δ𝑥𝑥1 + ⋯ + �𝑓𝑓𝑥𝑥′𝑛𝑛 (𝑥𝑥1 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 )� Δ𝑥𝑥𝑛𝑛 𝛿𝛿𝑢𝑢 = Δ𝑢𝑢 𝜕𝜕 𝜕𝜕 =| ln 𝑓𝑓| Δ𝑥𝑥1 + ⋯ + | ln 𝑓𝑓| Δ𝑥𝑥𝑛𝑛 |𝑢𝑢| 𝜕𝜕𝑥𝑥1 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑛𝑛 II.2.2 Sai số tổng Cho 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑢𝑢𝑥𝑥′ = 𝑢𝑢𝑦𝑦′ = nên Δ𝑢𝑢 = Δ𝑥𝑥 + Δ𝑦𝑦 Ta có qui tắc Sai số tuyệt đối tổng tổng sai số tuyệt đối số hạng Chú ý: Xét trường hợp 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 với 𝑥𝑥 𝑦𝑦 dấu Lúc Δ𝑢𝑢 Δ𝑥𝑥 + Δ𝑦𝑦 𝛿𝛿𝑢𝑢 = = |𝑢𝑢| |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦| Do |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦| bé sai số tương đối lớn Do tính tốn người ta thường tìm cách tránh phải trừ số gần II.2.3 Sai số tích Cho 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑢𝑢𝑥𝑥′ = 𝑦𝑦, 𝑢𝑢𝑦𝑦′ = 𝑥𝑥 nên Δ𝑢𝑢 = |𝑦𝑦| Δ𝑥𝑥 + |𝑥𝑥 | Δ𝑦𝑦 Và Δ𝑢𝑢 |𝑦𝑦| Δ𝑥𝑥 + |𝑥𝑥 | Δ𝑦𝑦 Δ𝑥𝑥 Δ𝑦𝑦 𝛿𝛿𝑢𝑢 = = = + |𝑢𝑢| |𝑥𝑥 𝑦𝑦| |𝑥𝑥| |𝑦𝑦| Tức 𝛿𝛿𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝛿𝛿𝑥𝑥 + 𝛿𝛿𝑦𝑦 Vậy ta có qui tắc Sai số tương đối tích tổng sai số tương đối thừa số tích II.3 Sai số phương pháp Khi giải gần toán phức tạp ta phải thay toán cho toán đơn giản giải thơng qua việc thực phép tính thơng thường máy tính điện tử Phương pháp thay toán phức tạp toán đơn giản gọi phương pháp gần Sai số phương pháp gần tạo gọi sai số phương pháp Khi giải toán đơn giản ta phải thực phép tính thơng thường, ta ln ln phải qui trịn kết trung gian Sai số tạo tất lần qui tròn gọi sai số tính Nhận xét: Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2011-2012 toán Như vậy, giải toán phương pháp gần sai số cuối tổng hợp hai loại sai số phương pháp sai số tính tốn Ví dụ1: 𝐴𝐴 = a Tính tổng 13 − 23 + 33 − 43 + 53 − 63 b Tính tổng 𝐵𝐵 = 1 1 𝑛𝑛−1 ( ) − + − ⋯ + −1 +⋯ 13 23 33 𝑛𝑛3 Với sai số tuyệt đối không vượt 5.10−3 Giải: a 𝐴𝐴 tổng phần tử Ta tính trực tiếp 𝐴𝐴 mà khơng phải thay tổng đơn giản Vì khơng có sai số phương pháp Để tính 𝐴𝐴 ta thực phép chia đến ba chữ số lẻ thập phân đánh giá sai số qui tròn tương ứng 1 = = 1.000 với Δ1 = 1 1 = = 0.125 với Δ2 = 23 1 = = 0.037 với Δ3 = 1.10−4 3 27 1 = = 0.016 với Δ4 = 4.10−4 43 64 1 = = 0.008 với Δ5 = 125 1 = = 0.005 với Δ6 = 4.10−4 216 Vậy 𝐴𝐴 ≈ 𝑎𝑎 = 1.000 − 0.125 + 0.037 − 0.016 + 0.008 − 0.005 = 0.899 |𝐴𝐴 − 𝑎𝑎| ≤ Δ1 + ⋯ + Δ6 = 9.10−4 Như 𝑎𝑎 = 0.899 giá trị gần 𝐴𝐴 với sai số tính tốn 9.10−4 b Vế phải 𝐵𝐵 chuỗi đan dấu hội tụ, tổng vô hạn, nên ta thực phép cộng dồn tất số hạng chuỗi Do để tính 𝐵𝐵 ta phải sử dụng phương pháp gần đúng, cụ thể thay 𝐵𝐵 tổng 𝑛𝑛 số hạng đầu 1 1 𝐵𝐵𝑛𝑛 = − + − ⋯ + (−1)𝑛𝑛−1 3 𝑛𝑛 Bài tốn tính 𝐵𝐵𝑛𝑛 đơn giản tốn tính 𝐵𝐵 Lúc |𝐵𝐵 − 𝐵𝐵𝑛𝑛 | sai số phương pháp, số 𝑛𝑛 chọn cho sai số phương pháp cộng với sai số tính tốn cịn nhỏ 5.10−3 Ta có Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới Với 𝑛𝑛 = ta thấy |𝐵𝐵 − 𝐵𝐵𝑛𝑛 | = | 2011-2012 1 − +⋯| < 3 (𝑛𝑛 + 1) (𝑛𝑛 + 2) (𝑛𝑛 + 1)3 |𝐵𝐵 − 𝐵𝐵6 | < 1 = < 3.10−3 343 Chú ý 𝐵𝐵6 = 𝐴𝐴 = 0.899 ± 9.10−4 Vậy lấy 𝐵𝐵 ≈ 0.899 với sai số tuyệt đối |𝐵𝐵 − 0.899| ≤ |𝐵𝐵 − 𝐵𝐵6 | + |𝐴𝐴 − 0.899| ≤ 3.10−3 + 9.10−4 < 4.10−3 Vậy 𝐵𝐵 = 0.899 ± 4.10−3 Ví dụ 2: Cho tổng 𝑆𝑆 = ∑∞𝑛𝑛=1 𝑛𝑛14 Hãy tính tổng 𝑆𝑆 với sai số khơng vượt q 10−2 III Bài toán ngược sai số Giả sử cần tính 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) với sai số Δ𝑦𝑦 ≤ 𝑎𝑎 Hãy xác định Δ𝑥𝑥 𝑖𝑖 Theo biểu thức tổng quát sai số tính tốn, ta phải có 𝑛𝑛 𝜕𝜕𝜕𝜕 Δ𝑦𝑦 = � � � Δ𝑥𝑥𝑖𝑖 ≤ 𝑎𝑎 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑖𝑖=1 Giả sử Khi 𝜕𝜕𝜕𝜕 � � Δ𝑥𝑥𝑖𝑖 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 , 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖 Δ𝑥𝑥𝑖𝑖 ≤ Thì bất đẳng thức Δ𝑦𝑦 ≤ 𝑎𝑎 thỏa mãn 𝑖𝑖 = … 𝑛𝑛 (∗) 𝑎𝑎 𝑛𝑛|𝑓𝑓𝑥𝑥′𝑖𝑖 | Điều kiện (*) thường gọi nguyên lý ảnh hưởng Ví dụ: Một hình trụ có chiều cao ℎ = 3𝑚𝑚, bán kính đáy 𝑅𝑅 = 2𝑚𝑚, hỏi lấy Δℎ, Δ𝑅𝑅, 𝜋𝜋 thể tích 𝑉𝑉 hình trụ xác đến 0.1𝑚𝑚3 Giải: Ta có 𝑉𝑉 = 𝜋𝜋𝑅𝑅2 ℎ, nên Từ ta lấy Δ𝜋𝜋 = 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝑅𝑅2 ℎ , = 2𝜋𝜋𝜋𝜋ℎ , = 𝜋𝜋𝜋𝜋 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕ℎ 0.1 3.4.4 < 0.003 , Δ𝑅𝑅 = 0.1 3.6.2𝜋𝜋 < 0.001 , Δℎ = 0.1 3.𝜋𝜋.4 < 0.003 Thì yêu cầu tốn thỏa mãn Lúc cần có 𝑅𝑅, ℎ với chữ số Lấy số 𝜋𝜋 với chữ số 𝑉𝑉 = 37.7𝑚𝑚3 xác đến 0.01𝑚𝑚3 Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2011-2012 Chương 2(Buổi 2+3) TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA MỘT PHƯƠNG TRÌNH Mở đầu I Tìm nghiệm phương trình 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = (1), 𝑓𝑓(𝑥𝑥) hàm số đại số siêu việt bất kỳ, toán thường gặp kỹ thuật lý thuyết Phương trình trên, trừ vài trường hợp đặc biệt, chẳng hạn phương trình đại số bậc 1, 2, 3, có cơng thức tính nghiệm cụ thể, cịn nói chung khơng có cơng thức tính nghiệm Mặt khác, hệ số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) nhiều trường hợp số gần đúng, vấn đề giải (1) khơng thật cần thiết Vì vậy, việc tìm phương pháp giải gần phương trình đại số siêu việt việc đánh giá độ xác nghiệm gần có vai trò quan trọng Trong chương này, xét tốn tính gần nghiệm thực phương trình (1) với giả thiết 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) hàm số thực xác định liên tục khoảng hữu hạn vơ hạn Việc tính giá trị gần nghiệm thực (1) gồm hai bước sau: Bước 1: Tìm khoảng (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) đủ nhỏ cho phương trình (1) có nghiệm 𝑥𝑥 ∗ ∈ (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) Bước gọi tách nghiệm Bước 2: Chính xác hóa nghiệm đến mức độ cần thiết theo phương pháp giải gần Bước gọi kiện toàn nghiệm Cơ sở để tách nghiệm khẳng định sau, quen thuộc giải tích, mà phép chứng minh đơn giản Định lý I.1 a Giả sử 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) hàm số liên tục đoạn [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] 𝑓𝑓(𝑎𝑎) 𝑓𝑓 (𝑏𝑏) ≤ Khi tồn nghiệm 𝑥𝑥 ∗ ∈ (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) phương trình (1) b Nếu 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] 𝑓𝑓(𝑎𝑎) 𝑓𝑓 (𝑏𝑏) ≤ 0, nữa, hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) có đạo hàm 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) liên tục, không đổi dấu đoạn [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] nghiệm 𝑥𝑥 ∗ nói Bước tách nghiệm thường tiến hành phương pháp chia đơi phương pháp hình học Trường hợp 𝑓𝑓(𝑥𝑥) đa thức đại số, deg 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = 𝑛𝑛, phương trình (1) có khơng q 𝑛𝑛 nghiệm, có 𝑛𝑛 + điểm đổi dấu bước tách nghiệm xong Sau tách nghiệm, cơng việc kiện toàn nghiệm Để thực bước này, dùng phương pháp mô tả mục sau II Một số phương pháp giải gần nghiệm phương trình 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝟎𝟎 II.1 Phương pháp chia đôi II.1.1 Nội dung phương pháp lấy 𝑐𝑐 = Giả sử phương trình 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = có nghiệm 𝑥𝑥 ∗ đoạn [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] 𝑓𝑓 (𝑎𝑎) 𝑓𝑓(𝑏𝑏) < Bây 𝑎𝑎 +𝑏𝑏 tính 𝑓𝑓(𝑐𝑐), 𝑓𝑓(𝑐𝑐 ) = có 𝑥𝑥 ∗ = 𝑐𝑐 nghiệm phương trình (1) Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2011-2012 Nếu 𝑓𝑓(𝑐𝑐) ≠ 0, ta gọi [𝑎𝑎1 , 𝑏𝑏1 ] hai đoạn [𝑎𝑎, 𝑐𝑐 ], [𝑐𝑐, 𝑏𝑏] mà 𝑓𝑓(𝑎𝑎1 ) 𝑓𝑓(𝑏𝑏1 ) < Lại lấy 𝑐𝑐1 = 𝑎𝑎 +𝑏𝑏 tính 𝑓𝑓(𝑐𝑐1 ), 𝑓𝑓(𝑐𝑐1 ) = trình kết thúc, 𝑥𝑥 ∗ = 𝑐𝑐1 , khơng ta lại tiếp tục q trình này, ta có dãy đoạn [𝑎𝑎𝑛𝑛 , 𝑏𝑏𝑛𝑛 ], 𝑛𝑛 ∈ 𝑁𝑁 ∗ II.1.2 Sự hội tụ phương pháp Nếu ta thực liên tiếp thao tác chia đơi đoạn [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] trên, bước thứ 𝑛𝑛, ta có 𝑓𝑓 (𝑐𝑐𝑛𝑛 ) = 0, lúc 𝑥𝑥 ∗ = 𝑐𝑐𝑛𝑛 (trường hợp xảy ra), ta nhận dãy vô hạn đoạn nhỏ Δ𝑛𝑛 = [𝑎𝑎𝑛𝑛 , 𝑏𝑏𝑛𝑛 ] đóng lồng nhau, thắt lại với 𝑏𝑏𝑛𝑛 − 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎), ∀𝑛𝑛 ∈ 𝑁𝑁 ∗ (2) Theo cách dựng ta có 𝑓𝑓(𝑎𝑎𝑛𝑛 ) 𝑓𝑓(𝑏𝑏𝑛𝑛 ) < (3) lim 𝑎𝑎𝑛𝑛 = lim 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑥𝑥 ∗ 𝑛𝑛 →∞ 𝑛𝑛 →∞ Hơn 𝑛𝑛 → ∞ từ (3) có [𝑓𝑓(𝑥𝑥 ∗ )]2 ≤ 0, 𝑥𝑥 ∗ nghiệm phương trình (1) II.1.3 Sai số Nói chung, dừng lại bước n ta có 𝑏𝑏𝑛𝑛 − 𝑎𝑎𝑛𝑛 = Vậy ta lấy nghiệm gần Sai số mắc phải 𝑐𝑐 = 1 (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎) 2𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 + 𝑏𝑏𝑛𝑛 2𝑛𝑛+1 (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎) Nhận xét: Phương pháp chia đơi có ưu điểm đơn giản, dễ lập trình máy tính nhiên tốc độ hội tụ chậm Ví dụ 1: Tính nghiệm gần phương trình sau nhờ phương pháp chia đơi [1, 2]: 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − = Giải: Gọi 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 1, áp dụng liên tiếp phương pháp chia đôi ta có kết bảng sau: 𝑎𝑎𝑛𝑛 + 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑓𝑓(𝑐𝑐𝑛𝑛 ) 𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑛𝑛 − 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑛𝑛 = 2 1.5 0.875 1 1.5 1.25 -0.29688 0.5 1.25 1.5 1.375 0.22461 0.25 1.25 1.375 1.3125 -0.05151 0.125 1.3125 1.375 1.34375 0.08261 0.0625 1.3125 1.34375 1.32813 0.01458 0.03125 1.3125 1.32813 1.32032 0.01562 Dừng lại bước thứ 6, lấy nghiệm gần 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥6 = 1.32032, sai số 0.008 Ví dụ 2: Giải gần nghiệm phương trình sau ℝ phương pháp chia đơi: 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 10 = tính đến lần lặp thứ đánh giá sai số mắc phải 9 Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2011-2012 II.2 Phương pháp lặp đơn II.2.1 Nội dung phương pháp Để giải phương trình (1), ta đưa dạng 𝑥𝑥 = φ(x) (4) Với xấp xỉ ban đầu 𝑥𝑥0 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] cho trước, ta xây dựng dãy {𝑥𝑥𝑛𝑛 } nhờ hệ thức 𝑥𝑥𝑘𝑘+1 = φ(xk ), k ≥ (5) Nếu dãy {𝑥𝑥𝑛𝑛 } hội tụ đến nghiệm 𝑥𝑥 ∗ (5) ta nói giải gần phương trình (1) nhờ phương pháp lặp đơn II.2.2 Sự hội tụ phương pháp Định nghĩa II.2.2.1 Nếu dãy {𝑥𝑥𝑛𝑛 } hội tụ đến 𝑥𝑥 ∗ 𝑛𝑛 → ∞ ta nói phương pháp lặp (5) hội tụ Khi phương pháp lặp hội tụ 𝑥𝑥𝑛𝑛 gần 𝑥𝑥 ∗ 𝑛𝑛 lớn Cho nên ta xem 𝑥𝑥𝑛𝑛 với 𝑛𝑛 xác định giá trị gần 𝑥𝑥 ∗ Nếu phương pháp lặp không hội tụ 𝑥𝑥𝑛𝑛 xa 𝑥𝑥 ∗ Vì có phương pháp lặp hội tụ có giá trị Đề kiểm tra xem phương pháp lặp có hội tụ hay khơng ta có định lý sau: Định lý II.2.2.1 Giả sử 𝜑𝜑 ∈ 𝐶𝐶 [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] cho a ∀𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] |𝜑𝜑′ (𝑥𝑥 )| ≤ 𝑞𝑞 < b ∀𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] 𝜑𝜑(𝑥𝑥 ) ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] Khi phương pháp lặp (5) hội tụ Chứng minh Trước hết 𝑥𝑥 ∗ nghiệm (4) nên có 𝑥𝑥 ∗ = 𝜑𝜑(𝑥𝑥 ∗ ) Do 𝑥𝑥 ∗ − 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝜑𝜑(𝑥𝑥 ∗ ) − 𝜑𝜑(𝑥𝑥𝑛𝑛−1 ) Áp dụng công thức Lagrange vào vế phải đẳng thức ta có 𝑥𝑥 ∗ − 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝜑𝜑′ (𝑐𝑐 )(𝑥𝑥 ∗ − 𝑥𝑥𝑛𝑛−1 ) Theo giả thiết a) ta có |𝜑𝜑′ (𝑐𝑐 )| ≤ 𝑞𝑞 < Do |𝑥𝑥 ∗ − 𝑥𝑥𝑛𝑛 | = |𝜑𝜑′ (𝑐𝑐 )| |𝑥𝑥 ∗ − 𝑥𝑥𝑛𝑛−1 | ≤ 𝑞𝑞|𝑥𝑥 ∗ − 𝑥𝑥𝑛𝑛−1 | Bất đẳng thức cho 𝑛𝑛 Áp dụng bất đẳng thức liên tiếp 𝑛𝑛 lần ta có |𝑥𝑥 ∗ − 𝑥𝑥𝑛𝑛 | ≤ 𝑞𝑞 𝑛𝑛 |𝑥𝑥 ∗ − 𝑥𝑥0 | Từ ta có điều phải chứng minh Chú ý 1: Nếu hàm 𝜑𝜑(𝑥𝑥) thỏa mãn giả thiết a) thỏa mãn giả thiết b) phụ thuộc việc chọn 𝑥𝑥0  Nếu 𝜑𝜑′ (𝑥𝑥 ) > ta chọn 𝑥𝑥0 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] tùy ý  Nếu 𝜑𝜑′ (𝑥𝑥 ) < phải chọn 𝑥𝑥0 theo qui tắc 𝑥𝑥0 = 𝑎𝑎 𝑎𝑎 < 𝑥𝑥 ∗ < 10 𝑎𝑎+𝑏𝑏 Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới ∗ 𝑢𝑢𝑖𝑖+1 2011-2012 𝑢𝑢0 = 𝑦𝑦0 = 𝑢𝑢𝑖𝑖 + ℎ𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑢𝑢𝑖𝑖 ) � ℎ ∗ ) 𝑢𝑢𝑖𝑖+1 = 𝑢𝑢𝑖𝑖 + (𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑢𝑢𝑖𝑖 ) + 𝑓𝑓 (𝑥𝑥𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢𝑖𝑖+1 ) Ví dụ: Tìm nghiệm gần tốn sau nhờ phương pháp Euler cải tiến 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦 ′ = � 𝑦𝑦(0) = 1 Trong đoạn 𝑥𝑥 ∈ [0, ] với ℎ = 0.1 Giải: Ta có ℎ = 0.1 suy 𝑛𝑛 = 5; 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥𝑥𝑥 Khi áp dụng cơng thức (5) ta bảng kết : 𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 𝑢𝑢𝑖𝑖 1.0025 1.0101 1.0228 1.0409 1.0646 ℎ𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑢𝑢𝑖𝑖 ) 0.005 0.0101 0.0153 0.0208 ∗ 𝑢𝑢𝑖𝑖+1 1.0075 1.0202 1.0381 1.0617 ∗ ℎ𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢𝑖𝑖+1 ) 0.005 0.0101 0.0153 0.0208 0.0265 ℎ ∗ ) (𝑓𝑓 (𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑢𝑢𝑖𝑖 ) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢𝑖𝑖+1 ) 0.0025 0.0076 0.0127 0.0181 0.0237 II Giải gần phương trình đạo hàm riêng II.1 Một số phương trình đạo hàm riêng thường gặp kỹ thuật II.1.1 Định nghĩa a Một số kí hiệu chung Cho Ω miền 𝑅𝑅𝑛𝑛 , 𝑢𝑢: Ω → 𝑋𝑋, 𝑢𝑢(𝑥𝑥 ) = 𝑢𝑢(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕 𝑢𝑢 𝑢𝑢𝑥𝑥 𝑖𝑖 = , 𝑢𝑢𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑗𝑗 = 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑗𝑗 𝛼𝛼 = (𝛼𝛼1 , … , 𝛼𝛼𝑛𝑛 ) ∈ 𝑁𝑁 𝑛𝑛 , |𝛼𝛼 | = 𝛼𝛼1 + ⋯ + 𝛼𝛼𝑛𝑛 𝜕𝜕 |𝛼𝛼| 𝑢𝑢 𝐷𝐷𝛼𝛼 𝑢𝑢 = 𝛼𝛼 , 𝐷𝐷𝑘𝑘 𝑢𝑢 = {𝐷𝐷𝛼𝛼 𝑢𝑢 ∶ |𝛼𝛼 | = 𝑘𝑘}, 𝑘𝑘 ∈ 𝑁𝑁 𝛼𝛼 𝜕𝜕𝑥𝑥1 … 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝐶𝐶 (Ω): tập hàm liên tục Ω 𝐶𝐶 𝑘𝑘 (Ω): tập hàm liên tục có đạo hàm riêng liên tục đến cấp 𝑘𝑘 Ω b Một số định nghĩa chung phương trình đạo hàm riêng • Phương trình đạo hàm riêng phương trình có dạng 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕 𝑢𝑢 𝜕𝜕 𝑢𝑢 𝐹𝐹 �𝑥𝑥, 𝑢𝑢, ,…, , , , … � = (1) , 𝑥𝑥 ∈ Ω 𝜕𝜕𝑥𝑥1 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑛𝑛 𝜕𝜕𝑥𝑥12 𝜕𝜕𝑥𝑥1 𝜕𝜕𝑥𝑥2 41 Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2011-2012 Trong 𝐹𝐹 hàm cho đó, 𝑢𝑢: Ω → 𝑅𝑅 hàm cần tìm (ẩn hàm) • • • Cấp phương trình: cấp đạo hàm riêng cao xuất phương trình Nghiệm phương trình: hàm 𝑢𝑢 ∈ 𝐶𝐶 𝑘𝑘 (Ω) thỏa mãn (1) Giải phương trình đạo hàm riêng tìm tất nghiệm II.1.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai Xét phương trình 𝑛𝑛 � 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑥𝑥) 𝑖𝑖,𝑗𝑗 =1 𝜕𝜕 𝑢𝑢 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑢𝑢, ,…, ) = (2), 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑥𝑥1 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑛𝑛 Giả sử 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑗𝑗𝑗𝑗 , đặt 𝐴𝐴 = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 � ����� ma trận đối xứng 𝑖𝑖,𝑗𝑗 =1,𝑛𝑛 𝑥𝑥 ∈ Ω ⊂ 𝑅𝑅𝑛𝑛 Lấy 𝑥𝑥0 ∈ Ω, 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴(𝑥𝑥0 ) có 𝑛𝑛 giá trị riêng thực (do 𝐴𝐴 đối xứng) Giả sử 𝐴𝐴 có 𝑛𝑛+ giá trị riêng dương, 𝑛𝑛− giá trị riêng âm, 𝑛𝑛0 giá trị riêng Định nghĩa: Phương trình (2) gọi thuộc loại - Elliptic 𝑥𝑥0 𝑛𝑛+ = 𝑛𝑛 𝑛𝑛− = 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 − � 𝑛𝑛+ = - Hyperbolic 𝑥𝑥0 �𝑛𝑛 = 𝑛𝑛− = 𝑛𝑛− = 𝑛𝑛 − - 𝑛𝑛+ = 𝑛𝑛 − Parabolic 𝑥𝑥0 � 𝑛𝑛0 = 𝑛𝑛− = 𝑛𝑛 − � 𝑛𝑛0 = 𝑛𝑛 − Một phương trình gọi thuộc loại elliptic (hyperbolic, parabolic) Ω thuộc loại điểm Ω Một phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai ln đưa dạng tắc có dạng 𝜕𝜕 𝑣𝑣 𝜕𝜕 𝑣𝑣 𝜕𝜕 𝑣𝑣 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕 𝑣𝑣 + ⋯ + − − ⋯ − + 𝐺𝐺 �𝜉𝜉, 𝑣𝑣, , … , �=0 𝜕𝜕𝜉𝜉1 𝜕𝜕𝜉𝜉𝑛𝑛 𝜕𝜕𝜉𝜉12 𝜕𝜕𝜉𝜉𝑛𝑛2 + 𝜕𝜕𝜉𝜉𝑛𝑛2 ++1 𝜕𝜕𝜉𝜉𝑛𝑛2 ++𝑛𝑛 − II.1.3 Một số phương trình đạo hảm riêng thường gặp kỹ thuật a Phương trình Laplace Δ𝑢𝑢 = , 𝑥𝑥 ∈ Ω ⊂ 𝑅𝑅𝑛𝑛 𝜕𝜕 𝑢𝑢 Δ𝑢𝑢 = � ∶ Tốn tử Laplace 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑖𝑖 Phương trình Laplace mô tả nhiều tượng quan trọng phân bố nhiệt độ vật thể trạng thái dừng, trường điện thế, trường hấp dẫn… b Phương trình truyền nhiệt 𝑢𝑢𝑡𝑡 − 𝑎𝑎2 Δ𝑢𝑢 = 𝑓𝑓 ; (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) ∈ Ω × 𝑅𝑅 42 Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2011-2012 Phương trình truyền nhiệt mơ tả truyền nhiệt vật thể dẫn nhiệt Ω theo thời gian có hệ số truyền nhiệt nhiệt dung riêng không thay đổi 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑡𝑡): mật độ nguồn nhiệt Ω 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑡𝑡): nhiệt độ Ω tọa độ 𝑥𝑥, thời điểm 𝑡𝑡 c Phương trình truyền sóng 𝑢𝑢𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐 Δ𝑢𝑢 ; (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) ∈ Ω × 𝑅𝑅 ; 𝑐𝑐 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑛𝑛 = 1: Phương trình mơ tả dao động sợi dây (sóng âm) truyền đường ống Khi 𝑢𝑢 li độ dao động tọa độ 𝑥𝑥, thời điểm 𝑡𝑡 𝑛𝑛 = 2: Phương trình mơ tả dao động màng, sóng âm mặt nước nơng 𝑛𝑛 = 3: Phương trình mơ tả dao động sóng âm, sóng ánh sáng II.2 Phương pháp lưới giải gần phương trình đạo hàm riêng Phương pháp lưới phương pháp số thơng dụng để giải tốn biên phương trình đạo hàm riêng Ý tưởng phương pháp lưới thể sau: miền biến thiên biến độc lập tạo lưới nhờ đường thẳng song song với hai trục tọa độ Điểm giao đường thẳng gọi nút lưới (điểm lưới) Tại điểm lưới thay đạo hàm phương trình kể điều kiện biên biểu thức xấp xỉ Nghiệm hệ phương trình giá trị gần nghiệm toán ban đầu điểm lưới Trong mục ta xem xét tốn biên phương trình dạng elliptic, hyperbolic parabolic II.2.1.Phương pháp lưới giải gần phương trình elliptic Xét phương trình elliptic sau: 𝜕𝜕 𝑢𝑢 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕 𝑢𝑢 + 𝑑𝑑 + 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑓𝑓 (1) 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 𝜕𝜕𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 Với 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑, 𝑔𝑔, 𝑓𝑓 hàm hai biến độc lập 𝑥𝑥 𝑦𝑦 xác định miền hữu hạn 𝐺𝐺 với biên Γ Giả sử 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑, 𝑔𝑔, 𝑓𝑓 hàm liên tục 𝐺𝐺 ∪ Γ 𝑎𝑎 > 0, 𝑏𝑏 > 0, 𝑔𝑔 < , ∀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝐺𝐺 ∪ Γ Chúng ta tìm nghiệm 𝑢𝑢 (1), 𝑢𝑢 ∈ 𝐶𝐶(𝐺𝐺) 𝑢𝑢|Γ = 𝜑𝜑 (2), 𝜑𝜑 liên tục Γ Xét hai họ đường thẳng song song với trục tọa độ 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 + 𝑖𝑖ℎ , 𝑖𝑖 = 0, ±1, ±2, … 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 + 𝑗𝑗ℎ , 𝑗𝑗 = 0, ±1, ±2, … 43 Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2011-2012 Trong ℎ > 0, 𝑙𝑙 > số cho (bước lưới theo 𝑂𝑂𝑂𝑂, 𝑂𝑂𝑂𝑂) Điểm giao đường thẳng gọi điểm lưới (hay gọi điểm nút) l O h Chúng ta xét điểm lưới thuộc 𝐺𝐺 ∪ Γ Nếu hai điểm lưới cách xa theo trục 𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑂𝑂𝑂𝑂 khoảng bước lưới ta nói điểm kề Những điểm lưới (của 𝐺𝐺 ∪ Γ) mà bốn điểm kề thuộc tập điểm lưới 𝐺𝐺 ∪ Γ gọi điểm lưới Tập hợp tất điểm lưới gọi 𝐺𝐺 ∗ Những điểm lưới dù có điểm lưới kề khơng thuộc tập điểm lưới 𝐺𝐺 ∪ Γ gọi điểm lưới biên Tập hợp điểm lưới biên gọi biên miền lưới ký hiệu Γ ∗ Bây xấp xỉ phương trình (1) Với điểm lưới (𝑖𝑖, 𝑗𝑗) ta lập biểu thức sai phân thay đạo hàm điểm (𝑥𝑥0 + 𝑖𝑖ℎ, 𝑦𝑦0 + 𝑖𝑖ℎ) ta có 𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 + ℎ, 𝑦𝑦𝑗𝑗 � − 𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑖𝑖 − ℎ, 𝑦𝑦𝑗𝑗 ) 𝜕𝜕𝜕𝜕 |(𝑥𝑥 𝑖𝑖 ,𝑦𝑦 𝑗𝑗 ) ≈ 𝜕𝜕𝜕𝜕 2ℎ 𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 + 𝑙𝑙� − 𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 − 𝑙𝑙) 𝜕𝜕𝜕𝜕 |(𝑥𝑥 𝑖𝑖 ,𝑦𝑦 𝑗𝑗 ) ≈ 𝜕𝜕𝜕𝜕 2𝑙𝑙 𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 + ℎ, 𝑦𝑦𝑗𝑗 � − 2𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 ) + 𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑖𝑖 − ℎ, 𝑦𝑦𝑗𝑗 ) 𝜕𝜕 𝑢𝑢 | ≈ (𝑥𝑥 ,𝑦𝑦 ) 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑗𝑗 ℎ2 𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 + 𝑙𝑙� − 2𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 ) + 𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 − 𝑙𝑙) 𝜕𝜕 𝑢𝑢 | ≈ (𝑥𝑥 ,𝑦𝑦 ) 𝜕𝜕𝑦𝑦 𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑙𝑙 Do nhận 44 Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2011-2012 𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 + ℎ, 𝑦𝑦𝑗𝑗 � − 2𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 � + 𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 − ℎ, 𝑦𝑦𝑗𝑗 � ℎ2 𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 + 𝑙𝑙� − 2𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 � + 𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 − 𝑙𝑙� +𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑙𝑙 𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 + ℎ, 𝑦𝑦𝑗𝑗 � − 𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 − ℎ, 𝑦𝑦𝑗𝑗 � +𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 2ℎ 𝑙𝑙𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 +𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 + 𝑙𝑙� − 𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 − 𝑙𝑙) + 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 (3) 2𝑙𝑙 Trong 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 giá trị hệ số (1) điểm lưới (𝑖𝑖, 𝑗𝑗) Phương trình (3) viết điểm lưới Nếu (𝑖𝑖, 𝑗𝑗) điểm lưới biên ta có công thức xấp xỉ Kollats 𝛿𝛿𝐴𝐴 𝑢𝑢𝐶𝐶 + ℎ𝜑𝜑𝐵𝐵 𝑢𝑢𝐴𝐴 = với 𝛿𝛿𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 , ℎ = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝛿𝛿𝐴𝐴 + ℎ B A C Vậy để xác định 𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 ) ta có hệ phương trình tuyến tính (3) Nghiệm hệ giá trị gần nghiệm toán (1), (2) (𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 ) Ví dụ: Sử dụng phương pháp lưới giải phương trình Δ𝑢𝑢 = 1, (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ Ω = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦): ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1, ≤ 𝑦𝑦 ≤ 1} 45 Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2011-2012 với ℎ = 𝑙𝑙 = giá trị 𝑢𝑢 biên cho hình bên y 10 50 10 10 10 50 50 10 10 O 10 50 10 x Giải: Gọi điểm nút 𝑢𝑢1 đến 𝑢𝑢9 thiết lập phương trình xấp xỉ nút ta thu u= u= u= u= a A1 A3 A7 A9 a − 70 u= u= u= u= A2 A4 A6 A8 a − 50 u= A5 Tại nút A5 ta thiết lập phương trình sai phân cho phương trình uA2 + uA4 + uA6 + uA8 − 4uA5 h2 =1 ⇒ a = 34.9921875 Từ giá trị u điểm nút cần tìm II.2.2 Phương pháp lưới giải gần phương trình hyperbolic Xét phương trình hyperbolic 𝜕𝜕 𝑢𝑢 𝜕𝜕 𝑢𝑢 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 + 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑓𝑓 (4) 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑦𝑦 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 Với 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑, 𝑔𝑔, 𝑓𝑓 hàm hai biến độc lập 𝑥𝑥 𝑦𝑦 xác định miền hữu hạn 𝐺𝐺 = {−∞ < 𝑥𝑥 < ∞, 𝑦𝑦 ≥ 0} Giả sử 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑, 𝑔𝑔, 𝑓𝑓 hàm liên tục bị chặn, 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 > Ta tìm nghiệm (4) miền 𝐺𝐺, thỏa mãn điều kiện ban đầu 𝜕𝜕𝜕𝜕 (𝑥𝑥, 0) = 𝜓𝜓(𝑥𝑥 ), 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 0) = 𝜑𝜑(𝑥𝑥 ) , −∞ < 𝑥𝑥 < ∞ (5) 𝜕𝜕𝜕𝜕 Với 𝜑𝜑, 𝜓𝜓 hàm cho Giả sử cho hai họ đường thẳng song song 𝑥𝑥 = 𝑖𝑖ℎ , 𝑖𝑖 = 0, ±1, ±2 … 46 Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2011-2012 𝑦𝑦 = 𝑗𝑗𝑗𝑗 , 𝑗𝑗 = 0, ±1, ±2 … Điểm giao đường thẳng gọi điểm lưới Các điểm lưới nằm đường thẳng 𝑦𝑦 = mang giá trị cho ban đầu gọi điểm lưới biên Đối với điểm lưới (𝑖𝑖, 𝑗𝑗) ta lập phương trình sai phân xấp xỉ phương trình (4) 𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 + ℎ, 𝑦𝑦𝑗𝑗 � − 2𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 � + 𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 − ℎ, 𝑦𝑦𝑗𝑗 � 𝑙𝑙𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 ℎ2 𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 + 𝑙𝑙� − 2𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 � + 𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 − 𝑙𝑙� −𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑙𝑙 𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 + ℎ, 𝑦𝑦𝑗𝑗 � − 𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 − ℎ, 𝑦𝑦𝑗𝑗 � +𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 2ℎ 𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 + 𝑙𝑙� − 𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 − 𝑙𝑙) +𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 2𝑙𝑙 Hay 𝑙𝑙𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 +1 + 𝐵𝐵𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 −1 + 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖+1𝑗𝑗 + 𝐷𝐷𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖−1𝑗𝑗 + 𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 Với 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 = − + , 𝐵𝐵𝑖𝑖𝑖𝑖 = − − , 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖 = + 𝑙𝑙 2𝑙𝑙 𝑙𝑙 2𝑙𝑙 ℎ 2ℎ 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 2𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 2𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖 2𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐷𝐷𝑖𝑖𝑖𝑖 = − , 𝐸𝐸 = − + + + 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖 ℎ 2ℎ 𝑖𝑖𝑖𝑖 ℎ ℎ 𝑙𝑙 Chúng ta giả sử lưới đủ nhỏ để tất điểm lưới 𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖 < Khi biết giá trị nghiệm điểm lưới thứ 𝑗𝑗 − thứ 𝑗𝑗 dãy ngang tìm nghiệm tất điểm lưới thứ 𝑗𝑗 + dãy ngang Các giá trị nghiệm hai dãy đầu 𝑗𝑗 = 0, 𝑗𝑗 = tìm từ điều kiện ban đầu phương pháp sau: Từ điều kiện (5) ta có 𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑙𝑙 ) − 𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 0) 𝜕𝜕𝜕𝜕 (𝑥𝑥𝑖𝑖 , 0) ≈ 𝑙𝑙 𝜕𝜕𝜕𝜕 Khi 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑢𝑢𝑖𝑖0 𝑢𝑢𝑖𝑖0 = 𝜑𝜑(𝑖𝑖ℎ) = 𝜑𝜑𝑖𝑖 ; = 𝜓𝜓(𝑖𝑖ℎ) = 𝜓𝜓𝑖𝑖 𝑙𝑙 Hay 𝑢𝑢𝑖𝑖0 = 𝜑𝜑𝑖𝑖 , 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜑𝜑𝑖𝑖 + 𝑙𝑙𝜓𝜓𝑖𝑖 Ví dụ: II.2.3 Phương pháp lưới giải gần phương trình parabolic Xét phương trình parabolic 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕 𝑢𝑢 𝜕𝜕𝜕𝜕 − 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑓𝑓 (6) 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕 Trong 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑓𝑓 hàm hai biến độc lập 𝑥𝑥, 𝑡𝑡 xác định miền 𝐺𝐺 = {−∞ < 𝑥𝑥 < +∞ , 𝑡𝑡 ≥ 0, 𝑎𝑎>0 47 Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2011-2012 Chúng ta phải tìm nghiệm phương trình (6) miền 𝐺𝐺 thỏa mãn điều kiện ban đầu 𝜑𝜑(𝑥𝑥) hàm cho 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 0) = 𝜑𝜑(𝑥𝑥 ), −∞ < 𝑥𝑥 < +∞ (7) Để tìm nghiệm gần bàn toán phương pháp lưới, xét lưới chữ nhật tạo giao điểm hai họ đường thẳng song song 𝑥𝑥 = 𝑖𝑖ℎ , 𝑖𝑖 = 0, ±1, ±2 … 𝑡𝑡 = 𝑗𝑗𝑗𝑗, 𝑗𝑗 = 0,1,2 … Đối với điểm lưới (𝑖𝑖, 𝑗𝑗), 𝑗𝑗 ≥ ta viết phương trình sai phân xấp xỉ phương trình (6) với độ xác Tại điểm lưới (𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 ) đạp hàm thay tương ứng biểu thức sai phân Thay 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 + ℎ, 𝑡𝑡𝑗𝑗 � − 𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑖𝑖 − ℎ, 𝑡𝑡𝑗𝑗 ) 𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 + ℎ, 𝑡𝑡𝑗𝑗 � − 2𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑡𝑡𝑗𝑗 ) + 𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑖𝑖 − ℎ, 𝑡𝑡𝑗𝑗 ) , 2ℎ ℎ2 (𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑡𝑡𝑗𝑗 ) ba biểu thức 𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 + 𝑙𝑙� − 𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 ) 𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 � − 𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 − 𝑙𝑙) 𝑢𝑢�𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 + 𝑙𝑙� − 𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑗𝑗 − 𝑙𝑙) , , 𝑙𝑙 𝑙𝑙 2𝑙𝑙 Sử dụng cơng thức ta có ba dạng xấp xỉ sai phân (6) 𝑙𝑙 (1) 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 +1 − 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖+1 𝑗𝑗 − 2𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑢𝑢𝑖𝑖−1 𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑖𝑖+1𝑗𝑗 − 𝑢𝑢𝑖𝑖−1𝑗𝑗 − 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑙𝑙 ℎ2 2ℎ 𝑙𝑙 (2) 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑢𝑢𝑖𝑖+1 𝑗𝑗 − 2𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑢𝑢𝑖𝑖−1 𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑖𝑖+1𝑗𝑗 − 𝑢𝑢𝑖𝑖−1𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 −1 − 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑙𝑙 ℎ2 2ℎ = 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑙𝑙 (3) 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 +1 − 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 −1 𝑢𝑢𝑖𝑖+1 𝑗𝑗 − 2𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑢𝑢𝑖𝑖−1 𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑖𝑖+1𝑗𝑗 − 𝑢𝑢𝑖𝑖−1𝑗𝑗 − 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖 2𝑙𝑙 ℎ 2ℎ −𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑖𝑖 Với 𝑗𝑗 = 0, từ điều kiện (7) ta có 𝑢𝑢𝑖𝑖0 = 𝜑𝜑(𝑖𝑖ℎ) = 𝜑𝜑𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 0, ±1, ±2 … 48 Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2011-2012 NỘI DUNG VÀ CẤU TRÚC ĐỀ THI KẾT THÚC MƠN HỌC Hình thức thi: Tự luận Thời gian: 60 phút Câu (3.5 điểm) • • • • Giải gần phương trình Giải gần hệ phương trình đại số tuyến tính Tính gần ma trận nghịch đảo Tự chọn ví dụ giải số gần phương trình siêu việt đa thức hai phương pháp khác so sánh tốc độ hội tụ nghiệm Câu (3 điểm) • • • Tính gần đạo hàm Tính gần tích phân xác định Tự chọn ví dụ tính gần tích phân theo phương pháp so sánh kết Câu (3.5 điểm) • • Giải gần phương trình vi phân Giải gần phương trình đạo hàm riêng 49 Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2011-2012 Đề thi thử TOÁN IV C Đề Chú ý: Các phép tính lấy đến chữ số thập phân Câu 1(3.0 điểm) Tìm nghiệm dương lớn phương trình sau phương pháp dây Newton, với mức sai số đạt 10 −5 x − lg x = 10 Câu (3.0 điểm) Tính gần giá trị 𝑙𝑙𝑙𝑙5 với sai số 10−3 việc tính xấp xỉ � theo phương pháp Simpson 𝑑𝑑𝑑𝑑 4𝑥𝑥 + Câu (4.0 điểm) a Dùng phương pháp Euler giải gần toán Cauchy 𝑦𝑦 ′ − 2𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥𝑦𝑦 = � 𝑦𝑦(0) = với 𝑥𝑥 ∈ [0, 1] ℎ = 0.2 y 50 100 50 b Sử dụng phương pháp lưới giải phương trình 50 50 3Δ𝑢𝑢 = 𝑢𝑢 + 𝜕𝜕𝜕𝜕 + 3𝑥𝑥𝑦𝑦 , 𝜕𝜕𝜕𝜕 100 100 50 50 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ Ω = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦): ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1, ≤ 𝑦𝑦 ≤ 1} O với ℎ = 𝑙𝑙 = giá trị 𝑢𝑢 biên cho hình bên 50 50 100 50 x Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới Đề thi thử TOÁN IV C 2011-2012 Đề Chú ý lấy đến chữ số thập phân sau dấu phẩy Câu (3.0 điểm) Dùng phương pháp Dây cung giải gần phương trình sau đến mức sai số không vượt 10−3 6𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − = Câu (3.0 điểm) Tính gần tích phân sau phương pháp hình thang đến mức sai số không vượt 10−1 𝐼𝐼 = � 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 Câu (4.0 điểm) a) Dùng phương pháp Euler giải gần toán sau 𝑦𝑦 ′ = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 � 𝑦𝑦(0) = với 𝑥𝑥 ∈ [0, 2]; 𝑛𝑛 = b) Dùng phương pháp lưới giải gần toán sau Δ𝑢𝑢 = 2𝑢𝑢 + với (x, y) ∈ Ω � 𝑢𝑢Γ = 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 Trong Ω = [2,3] × [1,2] ℎ = 𝑙𝑙 = BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP SỐ Chương 1: Sai số xấp xỉ 1.1 Hãy xác định sai số tuyệt đối số xấp xỉ sau cho biết sai số tương đối chúng 𝑎𝑎 = 13267 , 𝛿𝛿𝑎𝑎 = 0.1% 𝑏𝑏 = 2.32 , 𝛿𝛿𝑏𝑏 = 0.7% 1.2 Tính sai số tuyệt đối sai số tương đối thể tích hình cầu 𝑉𝑉 = 𝜋𝜋𝑑𝑑 Với 𝑑𝑑 = 3.7 ± 0.05𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜋𝜋 = 3.14 ± 0.0016 1.3 Hãy xác định số chữ số số 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 với sai số tuyệt đối sau 𝑎𝑎 = 0.3941 , Δ𝑎𝑎 = 0.25 × 10−2 𝑏𝑏 = 38.2543 , Δ𝑏𝑏 = 0.27 × 10−2 1.4 Hãy xác định số chữ số số 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 với sai số tương đối sau 51 Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 1.5 1.6 2011-2012 𝑎𝑎 = 1.8921 , 𝛿𝛿𝑎𝑎 = 0.1 × 10−2 𝑏𝑏 = 22.351 , 𝛿𝛿𝑏𝑏 = 0.1 Hãy qui tròn số với chữ số xác định sai số tuyệt đối sai số tương đối chúng a 2.1514 b 0.16152 c 0.01204 d -0.0015281 e 879.023467 Tính tổng 𝑆𝑆 sau với ba chữ số lẻ thập phân chữ số 1 𝑆𝑆 = + +⋯+ 11 12 17 1 1.7 Tính số e 𝑒𝑒 = + + ⋯ + + ⋯ 1! 𝑛𝑛 ! −4 Với sai số tuyệt đối không 10 Chương 2: Tính gần nghiệm phương trình 2.1 Dùng phương pháp chia đơi, tìm giá trị gần nghiệm nhỏ phương trình sau xác đến 10−3 a 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 − = b 𝑥𝑥 − 9𝑥𝑥 + 18𝑥𝑥 − = 2.2 Giải gần phương trình sau nhờ phương pháp lặp đơn xác đến 10−1 a 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 − = biết 𝑥𝑥 ∗ ∈ (−3, −2.5) b 𝑥𝑥 = cos 𝑥𝑥 a Chú ý: Ở phải đổi sang tính radian (mod mod 2) 2.3 Dùng phương pháp lặp đơn tính gần nghiệm dương lớn phương trình 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 1000 = với sai số tuyệt đối không 10−5 2.4 Giải gần phương trình sau nhờ phương pháp dây cung a 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 + = , 𝑥𝑥 ∈ [−1.2, −1.1] b 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 − = , 𝑥𝑥 ∈ [1, 2] −2 10 2.5 Giải gần nghiệm nhỏ phương trình sau nhờ phương pháp Newton đến sai số 2𝑥𝑥 = 4𝑥𝑥 2.6 Dùng phương pháp Newton tính gần nghiệm phương trình sau với sai số tuyệt đối không 10−5 a 𝑥𝑥 − sin 𝜋𝜋𝜋𝜋 = b 𝑥𝑥 − cos 𝜋𝜋𝜋𝜋 = Chương 3: Tính gần nghiệm hệ phương trình đại số tuyến tính 3.1 Giải hệ sau phương pháp lặp đơn, tính lặp lần cho biết sai số 52 Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2011-2012 1.02𝑥𝑥1 − 0.05𝑥𝑥2 − 0.10𝑥𝑥3 = 0.795 �−0.11𝑥𝑥1 + 1.03𝑥𝑥2 − 0.05𝑥𝑥3 = 0.849 −0.11𝑥𝑥1 − 0.12𝑥𝑥2 + 1.04𝑥𝑥3 = 1.398 3.2 Giải hệ phương trình 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑏𝑏 nhờ phương pháp lặp đơn 24.21 2.42 3.85 30.24 𝐴𝐴 = � 2.31 31.49 1.52 � , 𝑏𝑏 = �40.95� 42.81 3.49 4.85 28.72 Với độ xác 10−3 3.3 Giải hệ phương trình 3.2 phương pháp Seidel đánh giá sai số gặp phải 3.4 Cho Tìm ma trận 𝐴𝐴−1 𝐴𝐴 = �−1 1� phương pháp lặp , tính lặp hai lần, với 0.3 −0.08 0.27 𝑋𝑋0 = � 0.08 0.25 −0.08� −0.27 −0.08 0.36 Chương 4: Tính gần đạo hàm tích phân xác định 4.1 Cho hàm số 𝑦𝑦 = log 𝑥𝑥 với giá trị 𝑥𝑥 = 50, 55, 60, 65 1.6990 , 1.7404 , 1.7782 , 1.8129 Hãy tính đạo hàm 𝑦𝑦 𝑥𝑥 = 50 so sánh với kết tính trực tiếp 4.2 Xét hàm số cho bảng sau 1.5 2.5 𝑥𝑥𝑖𝑖 0.00000 0.40511 0.69210 0.91672 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 ) Tính gần 𝑓𝑓 ′ (1), 𝑓𝑓 ′ (2), 𝑓𝑓 ′′ (1.5) 4.3 Cho tích phân 𝐼𝐼 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑥𝑥 Hãy chia đoạn [0, 1] thành 𝑛𝑛 = 10 đoạn tính gần 𝐼𝐼 cho đánh giá sai số a Công thức hình thang b Cơng thức Simpson c Cơng thức Chebyshev 4.4 Xét 𝐼𝐼 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 + √𝑥𝑥 Tính gần tích phân 𝐼𝐼 nhờ phương pháp hình thang xác đến 10−2 4.5 Xét 53 Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 𝐼𝐼 = � 2011-2012 sin 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 Tính gần tích phân 𝐼𝐼 nhờ phương pháp parabol xác đến 0.02 4.6 Tính gần giá trị 𝑙𝑙𝑙𝑙6 với sai số 3.10−3 việc tính xấp xỉ a Theo phương pháp Simpson ; b Theo phương pháp hình thang; c Theo phương pháp Chebyshev � 𝑑𝑑𝑑𝑑 5𝑥𝑥 + 4.7 Sử dụng a) Cơng thức hình thang, b) Cơng thức Simpson c) Cơng thức Chebyshev để tính xấp xỉ tích phân xác định với giá trị đặc biệt 𝑛𝑛 a) ∫−1 √1 + 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑛𝑛 = b) ∫0 cos(𝑥𝑥 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 , 𝑛𝑛 = 𝜋𝜋 c) ∫𝜋𝜋/2 sin 𝑥𝑥 𝜋𝜋/4 d) ∫0 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑛𝑛 = 𝑥𝑥 tan 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 , 𝑛𝑛 = Chương 5: Giải gần phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng 5.1 Dùng phương pháp Euler giải toán 𝑦𝑦 ′ = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 , ≤ 𝑥𝑥 ≤ � 𝑦𝑦(0) = Với bước ℎ = 0.2 5.2 Giải gần toán sau nhờ phương pháp Euler 𝑦𝑦 ′ = sin 𝑥𝑥 + cos 𝑦𝑦 � với 2.5 ≤ 𝑥𝑥 ≤ , ℎ = 0.3 𝑦𝑦(2.5) = 5.3 Giải gần toán sau nhờ phương pháp Euler cải tiến � 𝜋𝜋 𝜋𝜋 𝑦𝑦 ′ = sin 𝑥𝑥 + sin 𝑦𝑦 với ≤ 𝑥𝑥 ≤ , ℎ = 𝑦𝑦(0) = 20 5.4 Tìm phương trình sai phân xấp xỉ cho toán biên sau 𝜕𝜕 𝑢𝑢 𝜕𝜕 𝑢𝑢 + = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑡𝑡 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑡𝑡 𝜕𝜕𝑥𝑥 54 Bài giảng Phương pháp số dành cho Khoa C-ĐH Thủy Lợi-Vũ Mạnh Tới 2011-2012 𝐺𝐺 = {(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)|0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1, ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1} 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)|Γ = 2𝑡𝑡 + 𝑥𝑥 Với lưới vuông ℎ = 𝑙𝑙 5.5 Sử dụng phương pháp lưới giải phương trình sau Δ𝑢𝑢 = −1, (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ Ω , Ω hình vng cạnh 1 Với 𝑢𝑢|Γ = (Γ biên Ω), chọn bước ℎ = 5.6 Sử dụng phương pháp lưới giải phương trình Δ𝑢𝑢 = 25, (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ Ω = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦): ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2, ≤ 𝑦𝑦 ≤ 2} với ℎ = 𝑙𝑙 = giá trị 𝑢𝑢 biên cho hình bên y 50 100 50 50 50 100 100 50 50 O 50 100 50 55 x ... (−1)