Nghiên cứu sự chuyển pha trong các mô hình lattice bằng phương pháp số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Thị Thuần NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA TRONG CÁC MƠ HÌNH LATTICE BẰNG PHƢƠNG PHÁP SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Thị Thuần NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA TRONG CÁC MƠ HÌNH LATTICE BẰNG PHƢƠNG PHÁP SỐ Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết vật lí tốn Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HOÀNG OANH Hà Nội – 2015 LỜI CẢM ƠN Trước hết, em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo TS Nguyễn Hoàng Oanh Cảm ơn thầy truyền đạt cho em kiến thức chuyên ngành cần thiết, bảo em nhiệt tình trình học tập mơn học q trình thực luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, thầy cô khoa Vật lý, thầy cô tổ Vật lý trường Đại học Khoa học tự nhiên quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em suốt thời gian làm luận văn suốt trình học tập, rèn luyện trường Em xin gửi lời cảm ơn đến anh chị nghiên cứu sinh, bạn học viên cao học khóa 2011-2013 học tập nghiên cứu môn Vật lý lý thuyết Vật lý toán- Khoa Vật lý - Trường ĐH KHTN - ĐHQGHN nhiệt tình giúp đỡ hướng dẫn em q trình học tập Cơng trình hỗ trợ phần đề tài QG.15.09 "Nghiên cứu số mơ hình Vật lý thống kê phương pháp Monte - Carlo hệ thống tính tốn không đồng sử dụng GPGPU hiệu cao" Cuối em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè ln quan tâm động viên, giúp đỡ em suốt trình thực luận văn Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày tháng 01 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Thuần MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG I GIỚI THIỆU VỀ PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO 1.1.Giới thiệu 1.2.Tích phân Monte Carlo 1.4.Số ngẫu nhiên 1.5 Lấy mẫu điển hình 11 1.6 Chuỗi Markov .11 CHƢƠNG II NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA CỦA MƠ HÌNH ISING 12 2.1 Xây dựng thuật tốn chƣơng trình 12 2.2 Chạy chƣơng trình 15 CHƢƠNG III NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA CỦA MƠ HÌNH XY 24 3.1.Thuật tốn 24 3.2 Đƣa hệ cân nhiệt 25 3.3 Chuyển pha KT định tính .30 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 PHỤ LỤC 47 DANH MỤC BẢNG – HÌNH Danh mục bảng Bảng 2.1 Sự phụ thuộc độ từ hóa theo nhiệt độ β .21 Danh mục hình Hình 1.1 Minh họa thuật tốn loại trừ 10 Hình 2.1 Quá trình tiến tới cân 15 Hình 2.2 Độ từ hóa với 12000 lần nâng cấp cấu hình với giá trị Beta 16 Hình 2.3.a Tìm kiếm điểm chuyển pha 17 Hình 2.3.b Tìm kiếm điểm chuyển pha (chi tiết hơn) 18 Hình 2.4 Mơ điểm chuyển pha theo lý thuyết Onsager[10] .19 Hình 2.5.a Sự tự tương quan số liệu Beta = 1,5 (Bin Size ≡ n) 20 Hình 2.5.b Sự tự tương quan số liệu Beta = 0,9 (Bin Size ≡ n) 20 Hình 2.5 Sự phụ thuộc độ từ hóa theo nhiệt độ 22 Hình 2.6 Kết thực nghiệm cố hữu (persistence) mơ hình Ising[14] 23 Hình 2.7 Kết mơ cố hữu (persistence) mơ hình Ising 23 Hình 3.1 Độ lớn độ từ hóa lưới L = 32, T = 0.10 .26 Hình 3.2 Năng lượng lưới L = 32, T = 0.10 26 Hình 3.3 Góc pha spin lưới L = 32, T = 0.10 27 Hình 3.4 Bình phương độ từ hóa lưới L = 32, T = 0.10 27 Hình 3.5 Năng lượng, L = 32, T = 0.01 28 Hình 3.6 Độ lớn độ từ hóa L = 32, T = 0.01 29 Hình 3.7 Năng lượng trung bình spin L = 32, T = 0.02 .29 Hình 3.8 Cấu hình spin giả bền L = 32, T = 0.10 31 Hình 3.9 Cấu hình spin L = 32, T = 0.01 32 Hình 3.10 Cấu hình spin L = 32, T = 0.50 32 Hình 3.11 Cấu hình spin L = 32, T = 0.70 33 Hình 3.12 Cấu hình spin L = 32, T = 0.80 .33 Hình 3.14 Cấu hình spin L = 32, T = 1.00 34 Hình 3.15 Cấu hình spin L = 32, T = 2.50 35 Hình 3.16 Độ lớn độ từ hóa spin vùng nhiệt độ thấp với biểu thức xấp xỉ lý thuyết sóng pin L = 32 36 Hình 3.17 Độ cảm từ vài hệ với kích thước khác 37 Hình 3.18 Năng lượng hệ spin L = 32 37 Hình 3.19 Nhiệt dung riêng Hệ L = 32 38 Hình 3.20 Bình phương độ từ hóa tham chiếu với biểu thức xấp xỉ lý thuyết sóng spin L = 32 39 Hình 3.21 40 Hình 3.22 Bình phương góc pha spin đo tham chiếu với tổng độ từ hóa tức thời L = 32 .40 Hình 3.23 Xuất xoắn cho vài hệ Các phép đo liên tiếp sử dụng, sai số chưa ướng lượng đáng .42 hình 3.24 Xuất xoắn cho hệ kích thước tuyến tính L = 32 42 MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu pha vật chất chuyển pha xuất vào năm 50 kỷ trước Từ đến tượng chuyển pha nhà lý thuyết thực nghiệm quan tâm Chuyển pha liên quan đến nhiều lĩnh vực vật lý khác nhau, từ vật lý thống kê, vật lý hạt nhân, hạt bản, đến Vũ trụ học nhiều phương pháp khác nhau, gần phương pháp số dựa sở máy tính đại, cụ thể phương pháp Monte Carlo dựa việc sử dụng giả số ngẫu nhiên Phương pháp sử dụng rộng rãi có vai trị quan trọng vật lý tính tốn, tính tốn sắc động lực học lượng tử, mơ spin có tương tác mạnh,…Chính vậy, luận văn nghiên cứu Sự chuyển pha mơ hình lattice phƣơng pháp số nhằm tìm hiểu việc sử dụng máy tính để nghiên cứu số mơ hình Vật lý thống kê mơ hình I sing mơ hình XY Mục đích luận văn : tính tốn điểm chuyển pha trật tự - hỗn loạn nhiệt độ hệ spin tăng dần việc sử dụng chương trình để mơ hệ spin Ising 2D xác định nhiệt độ chuyển pha Kosterlitz-Thouless (KT) mơ hình XY Cấu trúc Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương kết luận Chương 1:Giới thiệu phương pháp Monte Carlo Các phương pháp Monte Carlo sử dụng việc lấy mẫu thống kê thông qua số ngẫu nhiên để tính tốn nghiệm xấp xỉ lớp rộng toán Các phương pháp Monte Carlo phương pháp sử dụng giải thuật đơn giản, tận dụng sức mạnh máy tính giải tốn phức tạp khó khơng thể giải phương pháp giải tích.Phương pháp Monte Carlo dễ dàng mở rộng cho tích phân nhiều lớp Giá trị tích phân nhiều lớp ước lượng tích số hạng: i/ Giá trị trung bình hàm số vùng cần tính; ii/ Kích thước vùng cần tính tích phân (độ dài đoạn thẳng tích phân lớp, diện tích tích phân lớp, thể tích tích phân lớp tương tự cho tích phân nhiều lớp hơn) Chương 2: Nghiên cứu chuyển pha mơ hình Ising Khi nghiên cứu màng mỏng từ tính chất sắt từ có tính bất đẳng hướng đơn trục mạnh, ta mơ tả mơ hình Ising chiều với N spin Si tương tác với có tổng thống kê nhận giá trị Z I sin g 2D   1 exp     2 { S x  1 }    1  S   x ,y  x  S y     S x    x   e  H { S x  1 } Bằng phương pháp giải tíchOnsager[10] tìm điểm chuyển pha loại hai trật tự - trật tự  c   ln    88137 Thuật tốn i, Khởi tạo chương trình; - Khởi tạo chuỗi số ngẫu nhiên - Khởi tạo cấu hình hay đọc cấu hình lưu trữ - Khởi tạo quy luật, điều kiện biên, ii, Nâng cấp cấu hình theo thuật tốn ví dụ Heat bath; iii, Tính tốn đại lượng Vật lý cần đo đạc; iv, Quay lại bước ii lấy đủ thống kê Để kiểm chứng kết với tính tốn giải tích Onsager ta cần phải tính độ từ hóa: M  V  j S j Thực tính tốn mô tả với giá trị β khác từ 0.5 đến 1,5 với 12000 lần nâng cấp cấu hình, chúng tơi tìm điểm chuyển pha 0.88 phù hợp với kết Onsager Chương 3:Nghiên cứu chuyển pha mơ hình XY Mơ hình XY sử dụngThuật toán Metropolis ngẫu nhiên đảm bảo quét đầy đủ cấu hình cân hệ theo phân bố Boltzmann thuật toán Heatbath với cách chọn spin ngẫu nhiên Đo đạc hệ Vật lý đòi hỏi hệ phải trạng thái cân Hệ mơ hình XY hai chiều, thơng qua phương pháp Monte Carlo tạo cấu hình thuộc chuỗi Markov từ cấu hình theo phân bố trạng thái cân tuân theo phân bố Boltzmann phân bố mà chuỗi Markov hội tụ sau khoảng thời gian đó.Chúng tơi thực làm nóng đột ngột để đưa hệ cân phép đo Chúng xác định nhiệt độ chuyển pha Kosterlitz-Thouless mơ hình XY Chuyển pha KT mơ hình XY hai chiều hai pha nhiệt Một pha nhiệt độ thấp khơng có xốy (dương âm) có xốy ko tồn tự mà theo cặp xoáy âm - xoáy dương liên kết chặt chẽ.Một pha khác nhiệt độ cao nhiệt độ TKT - nhiệt chuyển pha KT, pha xoáy âm dương xuất ngày nhiều theo tăng nhiệt độ Nhiệt độ chuyển pha Kosterlitz-Thouless xác định T = 0.9 phù hợp với công bố TKT=0.89294 Phần kết luận dành cho việc tổng hợp kết thu thảo luận CHƢƠNG I GIỚI THIỆU VỀ PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO 1.1.Giới thiệu Các phương pháp Monte Carlo sử dụng việc lấy mẫu thống kê thông qua số ngẫu nhiên để tính tốn nghiệm xấp xỉ lớp rộng toán Các phương pháp Monte Carlo phương pháp sử dụng giải thuật đơn giản, tận dụng sức mạnh máy tính giải tốn phức tạp khó khơng thể giải phương pháp giải tích Phương pháp đặt tên Monte Carlo, tên sòng bạc tiếng Monaco, tương đồng việc sử dụng số ngẫu nhiên đánh bạc nghiên cứu khoa học Bàn quay rơ – lét máy tạo số ngẫu nhiên đơn giản Theo nghĩa rộng nhất, phương pháp sử dụng số ngẫu nhiên quy vào lớp phương pháp Monte Carlo Q trình lấy mẫu thống kê tiến hành máy tính việc lặp lại số lượng lớn bước đơn giản, song song với Các thuật toán Monte Carlo phương pháp tính số hiệu cho nhiều tốn liên quan đến nhiều biến số mà không dễ dàng giải phương pháp tất định khác, chẳng hạn tốn tính tích phân nhiều lớp Hiệu phương pháp so với phương pháp tất định khác tăng lên số chiều toán tăng Phương pháp Monte Carlo ứng dụng nhiều tốn tối ưu hóa ngành tài chính, bảo hiểm Thơng thường phương pháp Monte Carlo thực với số giả ngẫu nhiên tạo số ngẫu nhiên thực máy tính mà thu thập từ q trình ngẫu nhiên xảy thực tế Các số giả ngẫu nhiên có tính tất định, tạo từ thuật tốn có quy luật lặp lại sử dụng điều kiện Để tìm hiểu phương pháp này, trước tiên ta xét tốn tính số π nhà tốn học Buffon đưa vào kỉ XVIII Xét điểm M(x,y) hai tọa độ x,y gieo cách ngẫu nhiên khoảng 0a=(4^5-1/6)*(%e^(1/3)+%pi); ↵ Ghi chú: Nếu thêm dấu “ ; “ vào cuối câu lệnh khơng hiển thị kết hình VD: Tính >log(4)/log(3) (log = ln, ta dùng công thức đổi số) VD: Tính arcsin 1/2 >asin(1/2) Ghi chú: đơn vị rad; cần phải tính sin(27o) ta đổi độ sang radian VD: Cho f(x) = (sin(x) + x2)/(ex + 1), tính f(x ) >(sin(%pi/6)+(%pi/6)^2)/(exp(%pi/6)+1) Người dùng quay lại lúc phím mũi tên bàn phím ← ↑ → ↓ chuột Các phím trái phải sử dụng để thay đổi phần lệnh cịn phím lên xuống sử dụng để quay dòng lệnh thực trước 60 Có thể dùng phím tab →│ bàn phím để hồn tất tên hàm hay biến số cách nhập số chữ Ví dụ, sau nhập vào giao diện điều khiển lệnh: >fact Và nhấn phím tab, cửa sổ hiển thị tất tên hàm biến số bắt đầu fact, chẳnghạn factorial factor Chỉ cần nhấp đúp chuột vào hàm cần dùng chọnhàm chuột phím ↑ ↓ nhấn Enter (Windows Linux) Return (Mac OS X) để chèn hàm vào dòng lệnh Hàm disp để hiển thị chuỗi (thường mệnh đề), đặt chuỗi dấu ngoặc: Disp (2) 2.3 Ma trận định thức Khai báo biến ma trận VD: Khai báo ma trận cỡ 1x3 (vec tơ dòng): >a=[1,2,4]↵ VD: Khai báo ma trận cỡ 3x3: >b=[11,4,3;4,9,6;20,8,9]; ↵ Ghi chú: Mỗi dòng ma trận cách dấu ”;” phần tử dòng cách dấu “,” Các phép toán ma trận Phần mềm nhớ biến a b khai báo câu lệnh trên, ta khai báo thêm biến c: >c=[0,-2,3.5;4,5,8;17,8,-9.2] ↵ Ta thực phép toán cộng (+), trừ (-), nhân (*), lũy thừa (^) VD: Cộng >b+c ↵ >d=b+c ↵ (ở ta tạo thêm biến d = b+c ) VD: >b*c; >b^2; >5*b Ma trận chuyển vị VD: >b‟↵ VD: >[1,2,3;3,5,5]‟↵ 61 (thêm dấu “ „ “ cuối ma trận) Tìm hạng ma trận VD: >rank(b) Tìm ma trận nghịch đảo VD: >inv(b) ↵ Tính định thức (của ma trận vuông) VD: >det(b) ↵ 2.4 Giải hệ phương trình tuyến tính Scilab giải hệ phương trình tuyến tính dạng: A*x+b=0 (nên ta phải biến đổi hệ dạng này) 2.5 Vẽ đồ thị 2.5.1 Hàm biến (2D) VD: Vẽ đồ thị hàm số: y = x^2 + đoạn [-10; 10] Cách Thực sau: >x=[-10:10] ↵ >plot(x^2+1) ↵ >plot2d(x^2+1) ↵ Phần mềm xuất đồ thị (trên cửa sổ khác – Graphic window) hình (bạn vào File -> Copy to clipboard paste vào word) Ghi chú: Số 0.1 bước nhảy biến x, bạn thử vẽ cho trường hợp x=[-1:1] 62 x=[-1:0.1:1] để hiểu ý nghĩa tham số (trường hợp khơng có bước nhảy, bước nhảy ngầm định 1) Cách Có thể thực sau: >deff('[y]=ham(x)',['y=x^2+1']); >x=(-10:0.1:10); >fplot2d(x,ham) Ghi chú: Các câu lệnh cách phức tạp cách cho phép vẽ dạng hàm kiểu: x^x (Tham khảo 2.2 cần vẽ hàm phức tạp) 2.5.2 Hàm biến (3D) VD: Vẽ đồ thị hàm z=sin(x)*y với x ∈ [0; 2π], y ∈ [0; 5] >x=[0:%pi/16:2*%pi]'↵ (có dấu “ „ “ để chuyển vị x thành cột) >y=[0:0.5:5]; ↵ >z=sin(x)*y;↵ >plot3d(x, y, z) ↵ Ghi chú: Trong cửa sổ Graphic, bạn vào Edit -> Axes properties để ghi cho hình 63 2.5.3 Biểu đồ dạng cột Hàm bar(x,n,color) vẽ biểu đồ dạng cột: x=[1 :1 0]; n=[8,6,1, 3,1,0,6,4,1 6]; clf; bar(x,n) Đồ thị có dạng 2.6 Tích phân 2.6.1 Tích phân hàm biến (1 lớp) VD: Tính tích phân lớp y=x.e >function y=f(x),y=x*(%e^x),endfunction↵ >I=intg(9,10,f) ↵ (dòng khai báo hàm số f(x), dịng tính tích phân với cận từ -> 10) Ghi chú: Tham khảo Chủ đề phải làm việc với hàm phức tạp 2.6.2 Tích phân mặt (2 lớp) VD: Tính tích phân lớp hàm z = cos(x+y) miền [0 1]x[0 1] >X=[0,0;1,1;1,0]; >Y=[0,0;0,1;1,1]; >deff('z=f(x,y)','z=cos(x+y)') 64 >[I,err]=int2d(X,Y,f) err = 3.569D-11 I= 0.4967514 Ghi chú: Miền lấy tích phân ñược chia thành tam giác Biến X lưu hoành độ đỉnh tam giác (tam giác thứ là: 0; ; – tô đậm) ; biến Y lưu tung độ tam giác Như vậy, để tính tích phân mặt, bạn phải chia miền lấy tích phân thành tam giác err sai số: err = 3.569D-11 ~ 3.569*10-11~ 2.7 Đạo hàm 2.7.1 Đạo hàm hàm (giá trị thực) biến số VD: Tính đạo hàm hàm số y = x^3 + x = Ta thực sau: >function y=F(x) > y=x^3 + 1; >endfunction >x=[2]; >derivative(F,x) ans = 12 Ghi chú: Tham khảo 2.2 phải làm việc với hàm phức tạp 2.7.2 Đạo hàm hàm (giá trị thực) nhiều biến số VD: Tính đạo hàm riêng cấp (ma trận J) đạo hàm riêng cấp (ma trận H) hàm số: y= điểm (1; 2) Ta thực sau: >function y=F(x) > y=[x(1)^2 + x(2)^2]; 65 >endfunction >x=[1;2]; >[J,H]=derivative(F,x,H_form='hypermat') H= 0 J= 2.8 Phương trình vi phân Phương trình vi phân cấp Xét PTVP: dy/dx = f(x,y) VD1: Vẽ đồ thị nghiệm riêng phương trình vi phân dy/dx = với điều kiện ban đầu y(0) = miền [0, 10] Ta thực sau: >function ydot=f(x,y),ydot=x^2,endfunction >y0=5;x0=0;x=0:0.1:10; >y=ode(y0,x0,x,f) >plot(x,y) Trong cửa sổ Graphic, bạn vào Edit -> Axes properties để ghi cho hình 66 III Chế độ lập trình 3.1.Lập trình scilab Bước để lập trình ta phải vào SciNotes tạo file liệu (trong SciNotes ta dễ dàng sửa chữa câu lệnh) Sau tạo file xong ta lưu file với đuôi sce Để lập trình Scilab ta vào “file -> open a file” chọn file cần sử dụng Để chạy file ta ấn F5, sau thực lập trình 3.2.Một số hàm cần nhớ để thực toán cách đơn giản Phân tích sqrt(x) cho bậc hai x với x số dương không, nghiệm phức phần tử dương trường hợp ngược lại log(x) cho đối số tự nhiên x với x số thực số phức exp(x) cho cấp số nhân x với x số thực số phức abs(x) cho giá trị tuyệt đối x thực (hoặc mô-đun x số phức) int(x) bỏ số hạng x thực (số dương trước số thập phân) floor(x) cho phần tử dương x thực (số dương n với n ≤ x< n + ) ceil(x) x thực cho số nguyên n for với n − < x ≤n Xác suất thống kê factorial(n) cho giai thừa n với n số nguyên dương số không grand(1,p, “uin” ,m,n) cho vecto chuỗi số nguyên ngẫu nhiên p lấy khoảng m n với p số nguyên dương, m n số nguyên m ≤ n grand(1,p, “unf” ,a,b) cho vecto chuỗi số thực ngẫu nhiên p lấy khoảng a b với p số nguyên dương, a b số thực a≤ b sum(n) cho tổng giá trị vecto n (dùng để tính tổng ) cumsum(n) cho vecto bao gồm giá trị tích luỹ tăng dần vecto n (dùng để tính số tích luỹ tăng dần) length(v) cho số tọa độ vecto v 67 gsort(v) cho vecto bao gồm số chuỗi v phân loại theo thứ tự giảm dần gsort(v, “g” , “i” ) cho vecto bao gồm số chuỗi v phân loại theo thứ tự tăng dần mean(v) cho giá trị trung bình vecto bao gồm số v stdev(v) cho độ lệch chuẩn vecto số v bar(v,n,couleur) vẽ biểu đồ dạng cột với v tọa độ trục X, n tọa độ trục Y, vecto độ lớn Theo mặc định, bar(n) vẽ biểu đồ dạng cột n màu xanh dương với 1,2,3… tọa độ trục X bar(v,[n1’ ,n2’ ]) vẽ biểu đồ cột kép với v tọa độ trục X, n1 Y; tọa độ màu xanh dương n2 tọa độ trục Y màu xanh cây, với , n1 n2 vecto có độ lớn rand(n,p) với n p số nguyên dương, cho ma trận n×p bao gồm số ngẫu nhiên lấy khoảng rand() cho số thực lấy ngẫu nhiên sử dụng thuật tốn tuyến tính đồng dư floor(x) cho phần tử số nguyên số thực Cụ thể, số thực 1, floor(rand()+p) với xác suất p với – xác suấ 68 ... vậy, luận văn chúng tơi nghiên cứu Sự chuyển pha mơ hình lattice phƣơng pháp số nhằm tìm hiểu việc sử dụng máy tính để nghiên cứu số mơ hình Vật lý thống kê mơ hình I sing mơ hình XY Mục đích luận... NHIÊN - Nguyễn Thị Thuần NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA TRONG CÁC MƠ HÌNH LATTICE BẰNG PHƢƠNG PHÁP SỐ Chun ngành: Vật lí lí thuyết vật lí tốn Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC... CHƢƠNG II NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA CỦA MƠ HÌNH ISING 12 2.1 Xây dựng thuật tốn chƣơng trình 12 2.2 Chạy chƣơng trình 15 CHƢƠNG III NGHIÊN CỨU SỰ CHUYỂN PHA CỦA MƠ HÌNH XY 24