Giải tích - Chương IV

Giải tích

74 PDF by http://www.ebook.edu.vn Chương TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM Tất hàm số khảo sát phần giả định xác định liên tục khoảng Khi f hàm số sơ cấp, có đạo hàm ta tính đạo hàm f ′ f công thức tường minh (đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương hay hợp hai hàm có đạo hàm) Thao tác gọi “phép tính vi phân” đão hàm hàm số tồn tại, Bây giờ, ta xét thao tác ngược lại : từ hàm số f cho trước, tìm tất hàm F cho F′ = f Thao tác gọi “phép tính tích phân” hay cụ thể hơn, “phép tính nguyên hàm” 1.1 Định nghóa Cho I khoảng mở , f F hai hàm số xác định I Ta nói F nguyên hàm f I neáu ∀x ∈ I , F′ ( x ) = f ( x ) , nghóa F có đạo hàm f I 1.2 Mệnh đề Nếu F nguyên hàm f I tập hợp P nguyên hàm f I { P = G:I→ caùc } ∀x ∈ I, G ( x ) = F ( x ) + C, C = số Chứng minh ∀G ∈ P , G′ = F′ = f cho thấy G nguyên hàm f Ngược lại, cho G nguyên hàm f Do G′ = f = F′ nên G′ − F′ = G − F = C = số Ký hiệu : Ký hiệu ª ∫ f (x)dx dùng để nguyên hàm f (gọi tích phân bất định f), nghóa phần tử P Vì vậy, F nguyên hàm f, ta viết ∫ f (x)dx = F ( x ) + C ⎛ ⎞ Ví dụ i) Cho F ( x ) = ln ⎜ x + x2 + ⎟ Ta coù ⎝ ⎠ ⎛ ⎞′ 1+ x ⎜x + x + 1⎟ ⎠ = x +1 F′ ( x ) = ⎝ = 2 x + x +1 x + x +1 Do đó, ∫ dx ⎛ ⎞ = ln ⎜ x + x2 + ⎟ + C , C ∈ ⎝ ⎠ x2 + x +1 PDF by http://www.ebook.edu.vn 75 ii) Từ đạo hàm hàm số sơ cấp bản, ta có a) ∫ ⎧ xα +1 + C α ≠ −1 ⎪ x dx = ⎨ α+1 ⎪ ln x + C α = −1 ⎩ α ∫ e dx = e + C c) sin xdx = − cos x + C ∫ d) cos xdx = sin x + C ∫ dx e) ∫ cos2 x = ∫ (1 + tan x ) dx = tan x + C dx f) ∫ − x2 = arcsin x + C = − arccos x + C x b) g) x dx ∫ + x2 = arctan x + C Do định nghóa, ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C vaø ∫ g ( x ) dx = G ( x ) + C , ⎡ aF ( x ) + bG ( x ) ⎤ = aF′ ( x ) + bG′ ( x ) = af ( x ) + bg ( x ) vaø ⎣ ⎦ 1.3 Mệnh đề ∫ ( af ( x ) + bg ( x )) dx = a ∫ f ( x ) dx + b∫ g ( x ) dx , với a, b ∈ Ví dụ ∫ − 3x2 x =2 dx = ∫ ( 2x −3 ) ∫ ∫ − 3x −1 dx = x −3dx − x −1dx x −4 − ln x + C = − − ln x + C −4 2x Cho u hàm có đạo hàm khoảng I f hàm xác định khoảng J ⊃ u ( I) Neáu ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C , nghóa F′ ( x ) = f ( x ) , ⎡ F u ( x ) ⎤′ = F′ u ( x ) u′ ( x ) = f u ( x ) u′ ( x ) ⎣ ⎦ ( Vì vậy, ta ) ( ) ( ) 76 PDF by http://www.ebook.edu.vn 1.4 Định lý (công thức đổi biến) ∫ f ( u ( x )) u′ ( x ) dx = F ( u ( x )) + C Bằng cách viết u ≡ u ( x ) , du ≡ u′ ( x ) dx , đẳng thức (1) trở thành ∫ f ( u ( x )) u′ ( x ) dx = ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C ≡ F ( u ( x )) + C Ví dụ Với u ( x ) = cos x , du = u′ ( x ) dx = − sin xdx , ∫ tan xdx = ∫ sin xdx du =− = − ln u + C = − ln cos x + C cos x u ∫ Đặc biệt, với u ( x ) = ax + b ; du = adx , ta 1.5 Hệ ∫ f ( ax + b ) dx = f ( u ) du a ∫ Ví dụ i) Với u ( x ) = 3x + ; du = 3dx , ∫ dx du 1 = = ln u + C = ln 3x + + C 3x + u 3 ∫ ii) Với u ( x ) = x ln a ; du = ( ln a ) dx , ∫ a xdx = ∫ ex ln a dx = ln a ∫ eu du = u ex ln a e +C= + C ln a ln a iii) Bằng cách viết ⎡ ⎤ 4x2 + 4x + 10 = ( 2x + 1) + = ⎢ 2x +1 + 1⎥ , ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) với u ( x ) = 2x +1 ; du = dx , ta coù 3 dx ∫ 4x2 + 4x + 10 = = ∫1+ ) dx ( 2x3+1 ) = du = arctan u + C + u2 ∫ arctan 2x +1 + C ( Cho u, v hai hàm có đạo hàm tr ên khoảng I Do ⎡ u ( x ) v ( x ) ⎤ ′ = u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v′ ( x ) , ⎣ ⎦ ta suy ∫ ⎡⎣u′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v′ ( x )⎤⎦ dx = u ( x ) v ( x ) + C , ta 77 PDF by http://www.ebook.edu.vn 1.6 Định lý (công thức tích phân phần) ∫ u ( x ) v′ ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) − ∫ v ( x ) u′ ( x ) dx Với ký hiệu du = u′ ( x ) dx ; dv = v′ ( x ) dx , công thức (2) viết lại thành ∫ udv = uv − ∫ vdu Ví dụ Với u = arctan x ; dv = dx , ta có du = dx v = x Do đó, 1+ x ∫ arctan xdx = ∫ udv = uv − ∫ vdu xdx = x arctan x − ∫ + x2 Với t = + x2 ; dt = 2xdx , ta coù xdx dt ∫ + x2 = ∫ t = ( ) 1 ln t + C = ln + x2 + C 2 Vì vậy, ∫ arctan xdx = x arctan x − ln (1 + x ) + C TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Trong phần này, hàm số khảo sát giả định liên tục có đạo hàm đạo hàm hàm liên tục Ta tìm cách tính “diện tích” phần mặt phẳng nằm đồ thị C hàm số f ≥ , ký hiệu b ∫a f (x)dx đọc “tích phân từ a đến b f (x)dx ” Cho f hàm số xác định ⎡ a, b⎤ d = ( x0 , x1 , , xn ) , ⎣ ⎦ a = x0 < x1 < < xn = b , phân hoạch ⎡ a, b⎤ vaø ⎣ ⎦ T = ( t , t1 , , t n −1 ) laø họ gồm n điểm ⎡ a, b⎤ cho t i ∈ ⎡ x i , x i +1 ⎤ , với ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ i = 0,1, , n − Tổng, ký hiệu Sd ( T ) , xác định Sd ( T ) = f ( t0 )( x1 − x0 ) + f ( t1 )( x2 − x1 ) + + f ( t i )( x i +1 − x i ) + + + f ( tn −1 )( xn − xn −1 ) nghóa Sd ( T ) = n −1 ∑ f ( ti )( xi+1 − xi ) i=0 78 PDF by http://www.ebook.edu.vn gọi tổng Riemann hàm f tương ứng với d T Tổng Sd ( T ) tổng diện tích hình chữ nhật gạch chéo hình sau Ta định nghóa bước phân hoạch d, ký hiệu d , biểu thức d = max i = 0, ,n −1 x i +1 − x i Gọi S giới hạn tổng Riemann Sd ( T ) bước d tiến 0, nghóa ứng với ε > , ta tìm δ > , cho với phân hoạch d = ( x0 , x1 , , xn ) cuûa ⎡ a, b⎤ với T = ( t0 , t1 , , tn −1 ) cho ⎣ ⎦ t i ∈ ⎡ x i , x i +1 ⎤ , d < δ , Sd ( T ) − S < ε Khi S tồn tại, ta vieát ⎣ ⎦ S = lim Sd ( T ) d →0 2.1 Định nghóa Khi giới hạn S tồn (nghóa S ∈ ∫ ), ta nói f hàm b Riemann-khả tích ⎡ a, b⎤ Khi đó, ta viết S = f ( x ) dx giá trị ⎣ ⎦ a gọi tích phân xác định f ⎡ a, b⎤ ⎣ ⎦ Ta gọi a b cận tích phân x biến giả Đặt a ∫a f ( x ) dx = vaø a ∫b f ( x ) dx = − b ∫a f ( x ) dx 2.2 Mệnh đề Các hàm số sau Riemann-khả tích ⎡ a, b⎤ : ⎣ ⎦ - hàm liên tục ⎡ a, b⎤ ; ⎣ ⎦ - hàm liên tục khúc ⎡ a, b⎤ , nghóa hàm bị chận liên ⎣ ⎦ tục ⎡ a, b⎤ ngoại trừ số hữu hạn điểm bất liên tục loại ⎣ ⎦ (các điểm bất liên tục với bước nhảy hữu hạn) Ta chấp nhận kết 2.3 Mệnh đề Cho f g hai hàm Riemann-khả tích ⎡ a, b⎤ Ta coù ⎣ ⎦ 79 PDF by http://www.ebook.edu.vn i) Tính tuyến tính : Với hai số thực a b bất kỳ, α β hai số (độc lập với biến giả x ) ∫ b ∫ b ∫ b ⎡αf ( x ) + β g ( x ) ⎤ dx = α f ( x ) dx + β g ( x ) dx ⎦ a ⎣ a a ii) Hệ thức Chasles : Với ba số thực a , b , c , ta coù b ∫a iii) c ∫a b ∫c f ( x ) dx b a) Nếu a < b ∀x ∈ ⎡a, b ⎤ , f ( x ) ≥ ⎣ ⎦ ∫a f ( x ) dx ≥ f ( x ) dx = f ( x ) dx + b) Nếu a < b ∀x ∈ ⎡a, b ⎤ , f ( x ) ≤ g ( x ) ⎣ ⎦ b ∫a f ( x ) dx ≤ b ∫a g ( x ) dx iv) Công thức trung bình : Nếu ∀x ∈ ⎡a, b ⎤ , g ( x ) ≥ tồn Γ cho ⎣ ⎦ b ∫a f ( x ) g ( x ) dx = Γ ⋅ b ∫a g ( x ) dx với m ≤ Γ ≤ M , m = f ( x ) vaø M = max f ( x ) Đặc biệt, với g ( x ) = , ∀x ∈ ⎡a, b ⎤ , ta coù ⎣ ⎦ x∈⎡a,b ⎤ ⎣ ⎦ x∈⎡ a,b⎤ ⎣ ⎦ b ∫a f ( x ) dx = Γ ⋅ ( b − a ) , m ≤ Γ ≤ M Cuối cùng, f liên tục ⎡ a, b⎤ tồn x0 ∈ ⎡a, b ⎤ cho ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ f ( x0 ) = Γ ta b ∫a f ( x ) dx = f ( x0 ) ⋅ ( b − a ) , x0 ∈ ⎡⎣a, b⎤⎦ Chứng minh Ta chấp nhận i) ii) iii) a) Với phân hoạch d = ( x0 , x1 , , xn ) ⎡ a, b⎤ vaø ⎣ ⎦ T = ( t , t1 , , t n −1 ) họ gồm n điểm cuûa ⎡ a, b⎤ cho t i ∈ ⎡ x i , x i +1 ⎤ , với ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ i = 0,1, , n − , ta coù f ( t i ) ≥ x i +1 − x i ≥ nên f ( t i )( x i +1 − x i ) ≥ , với i = 0,1, , n − Vì Sd ( T ) = vaø n −1 ∑ f ( ti )( xi+1 − xi ) ≥ i=0 cuûa 80 PDF by http://www.ebook.edu.vn b ∫a f ( x ) dx = dlim0 Sd ( T ) ≥ → b) Suy từ 3.a g ( x ) − f ( x ) ≥ , ∀x ∈ ⎡a, b ⎤ ⎣ ⎦ iv) Vì ∀x ∈ ⎡a, b ⎤ , m ≤ f ( x ) ≤ M neân ⎣ ⎦ mg ( x ) ≤ f ( x ) g ( x ) ≤ Mg ( x ) Từ iii) b) i), ta có m⋅ Nếu b ∫a b ∫a g ( x ) dx ≤ b ∫a g ( x ) dx > m ≤ f ( x ) g ( x ) dx ≤ M ⋅ b ∫a f ( x ) g ( x )dx b ∫a g ( x )dx b ∫a g ( x ) dx ≤ M b ∫a f ( x ) g ( x )dx b ∫a g ( x )dx =Γ giá trị cần tìm Nếu b ∫a g ( x ) dx = b ∫a f ( x ) g ( x ) dx = , công thức trung bình thỏa Khi g ( x ) = , ∀x ∈ ⎡a, b ⎤ , ta có ý nghóa hình học công thức trung bình ⎣ ⎦ : tồn Γ cho b ∫a g ( x ) dx = Γ ⋅ ( b − a ) = Diện tích hình chữ nhật đáy ( b − a ) , chiều cao Γ (hình chữ nhật ABCD hình) ( ) Nếu f liên tục ⎡ a, b⎤ , f ⎡a, b⎤ = ⎡ m, M ⎤ ∀Γ ∈ ⎡ m, M ⎤ , ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∃x0 ∈ ⎡a, b ⎤ cho f ( x0 ) = Γ ⎣ ⎦ 2.4 Heä : Nếu a ≤ b b ∫a f ( x ) dx ≤ b ∫a f ( x ) dx Chứng minh Áp dụng iii), b), mệnh đề 2.3 vào bất đẳng thức 81 PDF by http://www.ebook.edu.vn ∀x ∈ ⎡a, b ⎤ , − f ( x ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x ) ⎣ ⎦ Cho f hàm liên tục ⎡ a, b⎤ Ứng với x ∈ ⎡a, b ⎤ , f hàm liên ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ tục nên khả tích ⎡ a, x ⎤ , nên ta xác định hàm số F nhö sau ⎣ ⎦ F : ⎡a, b ⎤ → ⎣ ⎦ xa x ∫a f ( t ) dt cận x tích phân biến số hàm F t biến giả tích phân xác định 2.5 Định lý Cho x a F ( x) = x ∫a f ( t ) dt f hàm liên tục ⎡ a, b⎤ Ta có hàm số ⎣ ⎦ có đạo hàm liên tục ⎡ a, b⎤ F′ = f , nghóa F ⎣ ⎦ nguyên hàm f ⎡ a, b⎤ ⎣ ⎦ Chứng minh Do f hàm liên tục khoảng đóng bị chận ⎡ a, b⎤ nên ⎣ ⎦ bị chận ⎡ a, b⎤ , nghóa laø ∃M ∈ cho ∀x ∈ ⎡a, b ⎤ , f ( x ) ≤ M ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Với x h cho x ∈ ⎡a, b ⎤ vaø x + h ∈ ⎡a, b ⎤ , ta coù ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ≤ F ( x + h) − F ( x) = x+h ∫x f ( t ) dt ≤ x+h ∫x f ( t ) dt vaø ≤ F ( x + h) − F ( x) ≤ x+h ∫x f ( t ) dt ≤ M ⋅ h ≤ F ( x + h) − F ( x) ≤ M ⋅ h → , h → , lim F ( x + h ) = F ( x ) , nghóa F liên tục điểm x Ta h →0 chứng minh F′ ( x ) = f ( x ) Thật vậy, f liên tục x, nghóa ∀ε > , ∃η > , cho t − x < η ⇒ f ( t ) − f ( x ) < ε Với ε > h cho h < η , ta coù F ( x + h) − F ( x) h − f ( x) = = ⎤ ⎡ x+h f ( t ) dt − h ⋅ f ( x ) ⎥ ⎢ h⎢ x ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ⎤ ⎡ x+h ⎡ f ( t ) − f ( x ) ⎤ dt ⎥ ⎢ ⎦ h⎢ x ⎣ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ PDF by http://www.ebook.edu.vn F ( x + h) − F ( x) h − f ( x) ≤ h x+h ∫x 82 f ( t ) − f ( x ) dt Do t ∈ ⎡ x, x + h ⎤ , neân h < η ⇒ t − x < η ⇒ f ( t ) − f ( x ) < ε , vaø ñoù ⎣ ⎦ x+h ∫x f ( t ) − f ( x ) dt ≤ x+h ∫x εdt = h ⋅ ε Suy F ( x + h) − F ( x) h − f ( x ) ≤ ε h < η nghóa F′ ( x ) = lim F ( x + h) − F ( x) h ε→ = f ( x) 2.6 Định lý Nếu F nguyên hàm f ⎡ a, b⎤ ⎣ ⎦ b ∫a f ( x ) dx = F ( b) − F ( a ) Chứng minh Do f liên tục ⎡ a, b⎤ , mệnh đề 2.5 cho thấy hàm số ⎣ ⎦ F : ⎡a, b ⎤ → ⎣ ⎦ x x ∫a f ( t ) dt a F ( x) = nguyên hàm f ⎡ a, b⎤ Hơn ⎣ ⎦ F ( b) = b ∫a f ( t ) dt vaø F ( a ) = a ∫a f ( t ) dt Mặt khác, mệnh đề 1.2, với G nguyên hàm khác f ⎡ a, b⎤ , ta có G ( x ) = F ( x ) + haèng số ⎣ ⎦ b ∫a f ( t ) dt = F ( b) − F ( a ) = G ( b) − G ( a ) Ký hiệu : ∫ b b f ( t ) dt = ⎡F ( t ) ⎤ = F ( b ) − F ( a ) ⎣ ⎦a a Cho I J hai khoảng u , F, f, u ba hàm số với F J ⎯⎯⎯ I ⎯⎯⎯ → → cho F nguyên hàm f, f liên tục I, u có đạo hàm liên tục J Ta coù ∀t ∈ J, ( F o u )′ ( t ) = ( F′ o u )( t ) ⋅ u′ ( t ) = ( f o u )( t ) ⋅ u′ ( t ) PDF by http://www.ebook.edu.vn 83 Điều cho thấy F o u nguyên hàm ( f o u ) ⋅ u′ J F nguyên hàm f I Do mệnh đề 2.6, ta suy β ∫α ( f o u )( t ) ⋅ u′ ( t ) dt = F o u (β) − F o u ( α ) = F ( b) − F ( a ) = b ∫a f ( x ) dx α, β ∈ J , u ( β ) = b et u ( α ) = a Ta 2.7 Mệnh đề (công thức đổi biến) u (β) β ∫α ( f o u )( t ) ⋅ u′ ( t ) dt = ∫u α f ( x ) dx ( ) Với công thức này, ta nói thực việc đổi biến x = u ( t ) tích phân b ∫a f ( x ) dx Từ công thức lấy đạo hàm hàm tích f ⋅ g hàm có đạo hàm khoaûng I, ( ) ∀x ∈ I , f ( x ) g ( x ) ′ = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g′ ( x ) Với a ∈ I , b ∈ I , mệnh đề 2.6 cho ta : b b ∫a ⎡⎣f ( x ) g ( x )⎤⎦ dx = ⎡⎣f ( x ) g ( x )⎤⎦a b b f ′ ( x ) g ( x ) dx + = ∫a ∫a f ( x ) g′ ( x ) dx ′ vaø ta 2.8 Định lý (công thức tích phần phaàn) ∫ b b ∫ b f ( x ) g′ ( x ) dx = ⎡ f ( x ) g ( x ) ⎤ − f ′ ( x ) g ( x ) dx ⎣ ⎦a a a 144 2444 144 2444 (1) (2) Công thức cho phép ta tính tích phân (1) ta biết tích phân (2) biết nguyên hàm hàm ký hiệu g′ ( x ) TÍCH PHÂN SUY RỘNG Trong trường hợp hàm dấu tích phân tăng vô cực miền lấy tích phân (chẳng hạn ∫0 dtt , với t → +∞ , t → 0+ ), trường 84 PDF by http://www.ebook.edu.vn hợp miền lấy tích phân không bị chận (chẳng hạn +∞ ∫0 e− t dt ), ta nói tích phân khảo sát thuộc loại tích phân suy rộng A Trường hợp cận tích phân vô cực ∫ x Cho f hàm số liên tục ⎡ a, +∞ ) xét hàm số If ( x ) = f ( t ) dt , ta ⎣ a định nghóa +∞ ∫a ∫ f ( t ) dt = lim If ( x ) = lim x →+∞ x x →+∞ a f ( t ) dt Khi giới hạn tồn tại, ta nói tích phân suy rộng f tồn +∞ (hay hội tụ +∞ ) Ngược lại, ta nói tích phân không tồn (hay phân kỳ) +∞ Tương tự cho trường hợp hàm số f liên tục ( −∞, b⎤ , ta định nghóa ⎦ b ∫−∞ f ( t ) dt = lim x →−∞ x Cuối f liên tục +∞ ∫−∞ ∫ b f ( t ) dt với a ∈ f ( t ) dt = a ∫−∞ f ( t ) dt + , ta đặt +∞ ∫a f ( t ) dt , hai tích phân suy rộng f +∞ −∞ tồn độc lập với Xét tích phân suy rộng +∞ ∫a f ( t ) dt Khi moät nguyên hàm f tồn tại, ta tích tích phân suy rộng định nghóa, nghóa tính tích phân xác định tìm giới hạn tích phân xác định Trường hợp ta không tìm nguyên hàm hàm f, ta cần tìm điều kiện đủ cho tồn tích phân suy rộng Ta có 3.1 Mệnh đề Cho f hàm liên tục ⎡ a, +∞ ) Với a1 ∈ ⎡a, +∞ ) , ⎣ ⎣ tích phân suy rộng +∞ ∫a f ( t ) dt vaø +∞ ∫a f ( t ) dt có chất, nghóa hội tụ, phân kỳ, chúng hội tụ, ta có +∞ ∫a f ( t ) dt = a1 ∫a f ( t ) dt + +∞ ∫a f ( t ) dt Chứng minh Do, ∀x ∈ ⎡a, +∞ ⎡ , ⎣ ⎣ x ∫a f ( t ) dt = a1 ∫a f ( t ) dt + x ∫a f ( t ) dt 85 PDF by http://www.ebook.edu.vn neân cách lấy giới hạn hai vế x → +∞ , ta chứng minh mệnh đề ª +∞ ∫a 3.2 Mệnh đề a) Khi ≤ f ≤ g , hội tụ của +∞ ∫a +∞ ∫a +∞ ∫a f ( x ) dx ; phân kỳ g ( x ) dx kéo theo hội tụ f ( x ) dx kéo theo phân kỳ g ( x ) dx b) Khi f g hai hàm số tương đương x → +∞ (ta nói chúng tương đương lân cận +∞ ), nghóa suy rộng +∞ ∫a f ( x ) dx +∞ ∫a lim f (x) x →+∞ g ( x ) = , ta có tích phân g ( x ) dx có chất Chứng minh a) Xeùt a ≤ x ; If ( x ) = x ∫a f ( t ) dt vaø Ig ( x ) = x ∫a g ( t ) dt Dễ thấy ≤ If ( x ) ≤ Ig ( x ) ; hàm số x a If ( x ) hàm tăng theo x Do đó, +∞ ∫a g ( t ) dt tồn tại, ta có If ( x ) ≤ B , ∀x ∈ ⎡⎣a, +∞ ) Bấy giờ, hàm số x xa ∫a f ( t ) dt = If ( x ) hàm tăng ⎡⎣a, +∞ ) , bị chận B nên có +∞ giới hạn, lim If ( x ) = ∫a f ( t ) dt x →+∞ B= Kết luận : +∞ ∫a B= g ( t ) dt tồn kéo theo A = +∞ ∫a f ( t ) dt tồn Bằng suy luận đảo đề, ta Sự không tồn A kéo theo không tồn B b) f (t) g( t ) ( Với lim f (t) x →+∞ g ( t ) = 1, tồn b cho ) b>a vaø ∀t ≥ b , ∈ − ,1 + Rõ ràng f ( t ) g ( t ) có dấu ta giả sử 2 chúng dấu dương Khi ∀t ≥ b , g ( t ) ≤ f ( t ) ≤ g ( t ) 2 Do tính chất (a) nêu +∞ ∫a f ( t ) dt tồn +∞ g ( t ) dt tồn tại, a ∫ 86 PDF by http://www.ebook.edu.vn +∞ ∫a 3.3 Mệnh đề +∞ f ( t ) dt tồn a ∫ g ( t ) dt tồn +∞ ∫1 dt tồn α > tα Chứng minh Một nguyên hàm t α ⎧ln t ⎪ ⎨ ⎪1 − α × α−1 t ⎩ α = α ≠ Vì vậy, α = , x dt ∫1 tα = ln x → +∞ x → +∞ Trường hợp α ≠ , ta coù x dt ∫1 tα = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ → +∞ − α ⎣ xα−1 ⎦ α < x dt ∫1 tα → +∞ dt = α −1 tα ∫ neáu α > , x → +∞ ª Áp dụng : Sự tồn I = Do ∫ +∞ ∫−∞ e− t dt e− t dt không xác định cách hàm số sơ cấp, ta tính trực tiếp I định nghóa Vì vậy, ta dùng tiêu chuẩn nêu để khảo sát tồn I mà không cần phải tính giá trị Trước hết, ta khảo sát tồn +∞ ∫0 2 e− t dt Do t 2e− t → t → +∞ , tồn a > cho ∀t > a , < t2e− t ≤ Từ suy ∀t > a , < e− t ≤ t2 Do mệnh đề 3.3, +∞ ∫a Cuối cùng, mệnh đề 3.1, dt t2 tồn mệnh đề 3.2, +∞ ∫0 e− t dt tồn taïi Do x ∫0 +∞ ∫a e− t dt = e− t dt tồn ∫−x e− t dt , ta suy 87 PDF by http://www.ebook.edu.vn ∫−∞ Kết luận : ∫ e− t dt = lim x →+∞ − x +∞ ∫−∞ ∫ e− t dt = lim x e− t dt = x →+∞ +∞ ∫0 e− t dt e− t dt tồn ta có đẳng thức I= +∞ ∫−∞ e− t dt = +∞ ∫0 e− t dt Thaät ra, người ta chứng minh I = dùng xác suất thống kê π kết B Trường hợp hàm dấu tích phân không bị chận Cho f hàm liên tục ⎡ a, b ) với ⎣ If ( x ) = lim f ( x ) = +∞ (hay −∞ ) Đặt x → b− x ∫a f ( t ) dt Ta định nghóa b x f ( t ) dt = lim If ( x ) = lim ∫a ∫ f ( t ) dt x→b x→b a − − Khi giới hạn tồn tại, ta nói f khả tích b Tương tự cho trường hợp hàm f liên tục ( a, b ⎤ với lim f ( x ) = +∞ (hay −∞ ), ta định nghóa ⎦ b ∫a x →a + f ( t ) dt = lim ∫ b x →a + x f ( t ) dt vaø nói f khả tích a giới hạn tồn Cuối f liên tục ( a, b ) không liên tục a lẫn b, ta khảo sát tính khả tích f a b độc lập với Tương tự trường hợp miền lấy tích phân không bị chận, hàm f liên tục ⎡ a, b ) , không bị chận b, ta khảo sát tính khả tích f ⎣ b cách khảo sát tồn lim ∫ x x → b− a f ( t ) dt Giống trường hợp tích phân suy rộng với miền lấy tích phân không bị chận, ta có nguyên hàm tường minh F cho hàm số f, toán trở thành việc khảo sát giới hạn lim F ( x ) x → b− x ∫a f ( t ) dt = F ( x ) − F ( a ) , trường hợp ta nguyên hàm tường minh cho f, ta nhận điều kiện đủ cho tính khả tích f b sau 3.4 Mệnh đề Cho f hàm liên tục ⎡ a, b ) lim f ( x ) = +∞ (hay −∞ ) ⎣ − Ta có, với điểm a1 ∈ ⎡a, b ) , tích phân ⎣ chất chúng tồn b ∫a x→b f ( t ) dt vaø b ∫a f ( t ) dt có 88 PDF by http://www.ebook.edu.vn b ∫a f ( t ) dt = a1 ∫a f ( t ) dt + b ∫a Chứng minh Do ∀x ∈ ⎡ a, b ) , ⎣ x ∫a f ( t ) dt = a1 ∫a f ( t ) dt + x ∫a f ( t ) dt f ( t ) dt neân mệnh đề chứng minh cách lấy giới hạn đẳng thức x → b ª Ý nghóa : Tính khả tích tích phân suy rộng hàm f b phụ thuộc vào giá trị lân cận điểm b 3.5 Mệnh đề a) Khi ≤ f ≤ g , tồn của b ∫a f ( x ) dx ; không tồn b ∫a g ( x ) dx b ∫a f ( x ) dx kéo theo tồn kéo theo tồn b ∫a g ( x ) dx b) Nếu f g hàm liên tục ⎡ a, b ) ⎣ lim f (x) x → b− g ( x ) = c với < c < +∞ , khả tích b tích phân suy rộng f g có chất Chứng minh Tương tự chứng minh mệnh đề 3.2, ta có a) Khi f g liên tục ⎡a, b ) , với a ≤ x < b , xét ⎣ If ( x ) = ∫ x ∫ x f ( t ) dt vaø Ig ( x ) = g ( t ) dt a a Do ≤ f ≤ g , ta suy If ( x ) ≤ Ig ( x ) hàm x a If ( x ) vaø x a Ig ( x ) hàm tăng Do vậy, B = b ∫a g ( t ) dt toàn If ( x ) ≤ Ig ( x ) ≤ B , ∀x ∈ ⎡ a, b ) Bấy giờ, hàm x a If ( x ) tăng ⎡a, b ) , bị chận B, ⎣ ⎣ ∫ b f ( t ) dt nên tồn giới hạn lim If ( x ) = a x → b− Kết luận : B= b ∫a g ( t ) dt tồn keùo theo A = b ∫a f ( t ) dt tồn Đảo đề kết luận cho ta b ∫a f ( t ) dt không tồn kéo theo b ∫a g ( t ) dt không tồn 89 PDF by http://www.ebook.edu.vn b) Khi lim f (t) x → b− g ( t ) = , định nghóa, ta có ∃y ∈ ⎡a, b ) cho ∀t ∈ ⎡ y, b ) , ⎣ ⎣ Do f (t) g( t ) f (t) ≤ ≤ g (t) > , ta bất đẳng thức () () () 1g t ≤ f t ≤ 3g t 2 [khi f ( t ) vaø g ( t ) dương] hay 1g (t) ≥ f (t) ≥ g (t) [khi f ( t ) vaø g ( t ) âm] từ kết (a) nêu trên, ta suy tích phân ∫y chất 3.6 Mệnh đề b f ( t ) dt ª dt ∫0 tα tồn α < Chứng minh Một nguyên hàm tα ⎧ln t ⎪ ⎨ ⎪1 − α × α−1 t ⎩ α = α ≠ Do đó, α = dt ∫x tα = − ln x → +∞ x → 0+ Trường hợp α ≠ ta có x dt ∫1 tα = ⎡ ⎤ ⎢1 − α−1 ⎥ → +∞ 1−α⎣ x ⎦ α > x dt ∫1 tα neáu α < , x → 0+ → +∞ dt = α −1 tα ∫ ª b ∫y g ( t ) dt có PDF by http://www.ebook.edu.vn Bài tập Dùng công thức đổi biến, tính tích phân sau ∫ dx − 3x b) c) ∫ (ln x)2 dx x d) ∫ e) ∫e f) ∫e a) + ex dx dx x ln x h) cot xdx j) g) ∫ i) ∫ k) x 1+ x ∫ + x2 dx l) x ∫ x2 + dx arctan x + x2 cos t dx sin tdt ex ∫ ex + dx sin x ∫ + cos2 x dx x ∫ + x4 dx Dùng công thức tích phân phần, tính tích phân sau ∫ xe dx c) x ln xdx ∫ ∫ d) x arctan xdx ∫ −x a) b) x2 sin 2xdx Duøng công thức đổi biến, tính tích phân sau a) ∫0 xdx ( x + 1) a b) L ( a ) = ∫0 2 c) ∫1 ( ln x ) (với u = x2 + ) xe− x dx (với u = x2 ) Tìm lim L ( a ) a →+∞ dx (với u = ln x ) Dùng công thức tích phân phần, tính tích phân sau a) I ( a ) = b) I = π ∫0 ∫0 e c) K = a xe− xdx , vaø J ( a ) = −x x ∫0 x e −x dx sin xdx ln x ∫1 a dx (cũng đổi biến u = ln x ) 90 PDF by http://www.ebook.edu.vn 91 Xaùc định a b cho a b = + x ( x + 1) x x + dx ∫1 x ( x + 1) Tính I = Tính tích phân sau a) c) e1/ x ∫1 dx x2 e4 ∫e dx x ln x ∫0 b) dx Xeùt hàm số f từ 1/ ∫0 d) vào xe− x dx sin −1 x 1−x dx cho ⎧x x ∈ ⎡0,1⎤ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ f ( x ) = ⎨2 − x x ∈ (1, 2⎤ ⎦ ⎪ x ∉ ⎡0, 2⎤ ⎪0 ⎣ ⎦ ⎩ Vẽ đồ thị hàm f Kiểm chứng +∞ ∫−∞ f ( x ) dx = (f gọi hàm phân phối xác suất) Tính E = ∫0 xf ( x ) dx (E gọi kỳ vọng hay trung bình hàm phân phối xác suất f) Tính tích phân suy rộng ∞ a) I = ∫ ∞ x2 xe dx b) I = ∞ c) I = dx ∫ x2 + 4x + e) I = dx ∫ x ln3 x e +∞ g) I = ∫e −2x x2 − ∞ d) I = dx ∫ x2 + 2x + −1 −∞ ∞ ∫x dx ∞ f) I = dx ∫ x2 + 6x + 11 −∞ e cos xdx h) I = ∫x dx ln x PDF by http://www.ebook.edu.vn i) I = ∫ e k) I = dx − x2 dx ∫ x ln3 x 1 j) I = dx ∫ x2 + x4 2/ l) I = ∫ 1/ dx x 9x2 − 92 ... ( t ) dt , hai tích phân suy rộng f +∞ −∞ tồn độc lập với Xét tích phân suy rộng +∞ ∫a f ( t ) dt Khi nguyên hàm f tồn tại, ta tích tích phân suy rộng định nghóa, nghóa tính tích phân xác định... ∫b f ( x ) dx = − b ∫a f ( x ) dx 2.2 Mệnh đề Các hàm số sau Riemann-khả tích ⎡ a, b⎤ : ⎣ ⎦ - hàm liên tục ⎡ a, b⎤ ; ⎣ ⎦ - hàm liên tục khúc ⎡ a, b⎤ , nghóa hàm bị chận liên ⎣ ⎦ tục ⎡ a, b⎤... x ) TÍCH PHÂN SUY RỘNG Trong trường hợp hàm dấu tích phân tăng vô cực miền lấy tích phân (chẳng hạn ∫0 dtt , với t → +∞ , t → 0+ ), trường 84 PDF by http://www.ebook.edu.vn hợp miền lấy tích