động lực biên độ soliton dưới tác động của nhiễu raman và các nhiễu phi tuyến gain loss

Mục lục DANH SÁCH HÌNH VẼ DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU PHẦN 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 MỞ ĐẦU Tổng quan đề tài Tính cấp thiết Mục tiêu Cách tiếp cận Phương pháp nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nôi dung nghiên cứu 8 9 10 10 10 10 Mơ hình NLS mơ hình LotkaVolterra 12 1.1 Mụ hỡnh h phng trỡnh Schrăodinger phi tuyến có nhiễu Raman thành phần Ginzburg-Landau 12 1.2 Mơ hình Lotka–Volterra mơ tả động lực biên độ soliton hệ NLS 13 Phân tích tính ổn định cho mơ hình Lotka–Volterra 15 2.1 Phân tích tính ổn định trình ổn định truyền tải 15 2.2 Phân tích tính ổn định trình truyền tải tắt kênh dẫn sóng 18 Kết mơ số 21 3.1 Mô số truyền tải ổn định soliton 22 3.2 Mô số truyền tải tắt kênh dẫn sóng 26 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 Danh sách hình vẽ 3.1 3.2 Sự phụ thuộc vào khoảng cách truyền tải z biên độ soliton ηj trình truyền tải ổn định với mơ hình NLS (1.1) cho N = ((a) (b)), cho N = ((c) (d)), cho N = ((e) (f)) Hình (b), (d), (f) phần phóng lớn hình (a), (c), (e) khoảng cách truyền tải ngắn Các hình trịn đỏ, hình vuông xanh cây, tam giác thuận xanh dương tam giác ngược tím thể η1 (z), η2 (z), η3 (z), η4 (z) tương ứng, thu từ mơ số với phương trình (1.1) Các đường cong liền nét nâu, đứt nét xám, đứt nét đen có chấm, đường nét chấm cam thể η1 (z), η2 (z), η3 (z), η4 (z) thu từ tính tốn lý thuyết với phương trình (1.4) Hình dạng sóng khoảng cách truyền tải z = zr trước có kênh sóng bị biến dạng z = zf sau có kênh sóng bị biến dạng cho N = ((a) (b)), N = ((c) (d)), N = ((e) (f)) với tham số sử dụng hình (3.1) Hình (a), (c) (e) thể |ψj (t, z)| z = zr hình (b), (d) (f) thể |ψj (t, z)| z = zf với j = 1, 2, 3, Các đường cong liền nét đỏ, đứt nét xanh có chấm, nét chéo xanh dương, đường đứt nét tím thể |ψj (t, z)|, j = 1, 2, 3, 4, thu từ mô số với phương trình (1.1) Các khoảng cách truyền tải z = zr1 = 36000 (a), z = zf = 36110 (b), z = zr2 = 21270 (c), z = zf = 21320 (d), z = zr3 = 5300 (e), z = zf = 5350 (f) 23 25 3.3 3.4 3.5 3.6 Biến đổi Fourier sóng khoảng cách truyền tải z = zr trước có kênh sóng bị biến dạng z = zf sau có kênh sóng bị biến dạng cho N = ((a) (b)), N = ((c) (d)), N = ((e) (f)) với tham số sử dụng hình (3.1) Hình (a), (c) (e) thể |ψˆj (ω, z)| z = zr hình (b), (d) (f) thể |ψˆj (ω, z)| z = zf với j = 1, 2, 3, Các đường cong liền nét đỏ, đứt nét xanh có chấm, nét chéo xanh dương, đường đứt nét tím thể |ψˆj (ω, z)|, j = 1, 2, 3, 4, thu từ mơ số với phương trình (1.1) Các khoảng cách truyền tải z = zr1 = 36000 (a), z = zf = 36110 (b), z = zr2 = 21270 (c), z = zf = 21320 (d), z = zr3 = 5300 (e), z = zf = 5350 (f) Sự phụ thuộc vào khoảng cách truyền tải z biên độ soliton ηj q trình truyền tải với mơ hình A1-A2 cho N = Các hình trịn đỏ hình vng xanh thể η1 (z) η2 (z) thu từ mô số với phương trình (1.1) Các đường cong liền nét nâu đứt nét xám thể η1 (z) η2 (z) thu từ tính tốn lý thuyết với phương trình (1.4) Sự phụ thuộc vào khoảng cách truyền tải z biên độ soliton ηj q trình truyền tải với mơ hình A1-A2 cho N = Các hình trịn đỏ, hình vng xanh tam giác thuận xanh dương thể η1 (z), η2 (z), η3 (z) thu từ mơ số với phương trình (1.1) Các đường cong liền nét nâu, đứt nét xám, đứt nét đen có chấm thể η1 (z), η2 (z), η3 (z) thu từ tính tốn lý thuyết với phương trình (1.4) Sự phụ thuộc vào khoảng cách truyền tải z biên độ soliton ηj q trình truyền tải với mơ hình A1-A2 cho N = Các hình trịn đỏ, hình vng xanh cây, tam giác thuận xanh dương, tam giác ngược tím thể η1 (z), η2 (z), η3 (z), η4 (z) tương ứng, thu từ mơ số với phương trình (1.1) Các đường cong liền nét nâu, đứt nét xám, đứt nét đen có chấm, đường nét chấm cam thể η1 (z), η2 (z), η3 (z), η4 (z) thu từ tính tốn lý thuyết với phương trình (1.4) 27 29 29 30 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT NLS: Schrăodinger phi tuyn ODEs: H phng trỡnh vi phõn thng THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG Thơng tin chung - Tên đề tài: Động lực biên độ soliton tác động nhiễu Raman nhiễu phi tuyến gain-loss - Mã số: - Chủ nhiệm đề tài: Th.S Huỳnh Thanh Toàn Điện thoại: 0987978702, Email: huynhthanhtoan@ump.edu.vn - Đơn vị quản lý chuyên môn (Khoa, Tổ môn): Khoa KHCB, Toán - Thời gian thực hiện: 2016 - 2018 Mục tiêu Đề tài cải tiến mơ hình truyn súng soliton ca phng trỡnh Schrăodinger phi tuyn (NLS) phương trình Ginzburg-Landau dạng phức nhằm truyền tải ổn định nhiều chuỗi soliton đến khoảng cách xa hệ quang dẫn Đề tài tiến hành mơ hình hóa động lực biên độ soliton tính hệ số bồi thường lượng máy khuếch đại tác hại tán xạ Raman nhiễu suy hao phi tuyến Nội dung Đề tài nghiên cứu mơ hình truyền sóng gồm phương trình NLS có nhiễu Raman phương trình Ginzburg-Landau (cịn gọi phương trình NLS mở rộng) Đề tài đưa mơ hình hệ phương trình vi phân thường (ODEs) phi tuyến mơ tả động lực biên độ soliton hệ NLS Đề tài nghiên cứu hình thành phát triển nhiễu xạ (radiative instability) mơ hình hệ NLS tính tốn hệ số bồi thường lượng máy khuếch đại lượng tác hại nhiễu phi tuyến nhằm truyền tải soliton đến khoảng cách xa Đề tài nghiên cứu tính ổn định điểm cân mơ hình ODEs để tìm tham số thích hợp hệ NLS nhằm truyền tải soliton với biên độ ổn định Đề tài vận dụng rẽ nhánh mơ hình ODEs ứng dụng nghiên cứu toán chuyển kênh hệ NLS Đề tài thực mơ số cho mơ hình NLS ngôn ngữ C++ so sánh với tính tốn mơ hình ODEs Kết đạt (khoa học, đào tạo, kinh tế-xã hội, ứng dụng ) - Về đào tạo (số lượng, chuyên ngành: trình độ BS/DS/CN, ThS, NCS ): Đề tài dùng làm tài liệu nghiên cứu cho sinh viên, học viên cao học NCS Toán Vật lý - Cơng bố tạp chí nước quốc tế: + Báo cáo đề tài: Dynamics of soliton amplitudes of the perturbed nonlinear Schrăodinger equation "Hi tho tối ưu Tính tốn khoa học lần thứ 15" Ba Vì, Hà Nội, 4/2017 + Đăng tạp chí quốc tế: Stable scalable control of soliton propagation in broadband nonlinear optical waveguides, European Physical Journal D, 71:30 (2017) [SCI] - Sách/chương sách (Tên sách/chương sách, năm xuất bản): - Patent, Giải pháp hữu ích (tên; trình trạng nộp đơn giải pháp chưa đăng ký sở hữu trí tuệ; mã số, ngày cấp, thời gian bảo hộ patent giải pháp đăng ký sở hữu trí tuệ): Hiệu kinh tế - xã hội đề tài mang lại - Kết nghiên cứu chuyển giao (Tên sản phẩm, tên đơn vị nhận chuyển giao, giá trị chuyển giao): Động lực biên độ soliton phương trình NLS tác động nhiễu Raman nhiễu suy hao, mơn Tốn - Phạm vi địa ứng dụng kết nghiên cứu (tên đơn vị ứng dụng kết nghiên cứu/tên giảng trích dẫn kết NC sử dụng giảng dạy đại học sau đại học): Bộ mơn Tốn, Vật lý trường đại học nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng ứng dụng PHẦN MỞ ĐẦU 0.1 Tổng quan đề tài Sóng phi tuyến phổ biến tự nhiên khoa học kỹ thuật Chúng xuất nhiều mơ hình sóng nước, Tsunami, động lực học chất lỏng khí, quang học phi tuyến [1] - [27] Nghiệm soliton lớp phương trình sóng khuếch tán phi tuyến (nonlinear dispersive waves) xem khám phá quan trọng khoa học phi tuyến Mơ hình sóng phương trình sóng Schrăodinger phi tuyn l mt nhng mụ hỡnh c sử dụng rộng rãi vật lý ứng dụng nhờ có nghiệm soliton lý tưởng Nghiệm soliton tạo thành tương tác trình phi tuyến tính (nonlinearities) q trình khuếch tán (dispersion) NLS Sự cân trình phi tuyến tính khuếch tán làm cho soliton truyền tải khoảng cách xa mà không bị biến dạng khơng bị lượng Phương trình NLS viết dạng thu gọn sau: i∂z ψ + ∂t2 ψ + 2|ψ|2 ψ = 0, (1) ψ hàm sóng, t thời gian, z khoảng cách truyền sóng Trong phương trình (1), thành phần thứ hai thành phần tuyến tính hay cịn gọi thành phần khuếch tán bậc hai thành phần thứ ba thành phần phi tuyến tính Trong k thut truyn tin, nghim soliton ca phng trỡnh Schrăodinger phi tuyến dùng để biễu diễn bit thông tin [1] - [3] Ứng dụng tạo nên phát triển mạnh mẽ công nghệ truyền tin sợi quang ba thập kỷ gần Trong hệ quang dẫn đa kênh, tính chất đặc thù mơi trường truyền sóng (vật liệu), q trình nhiễu phi tuyến xuất làm thay đổi lượng tần số soliton, dẫn đến sai số truyền dẫn [1] - [2] Do tốn nghiên cứu tác động nhiễu phi tuyến lên truyền sóng đóng vai trị quan trọng cơng nghệ truyền tin Vì vậy, vần đề thu hút ý nhiều nhà khoa học nghiên cứu lý thuyết, mơ phỏng, thí nghiệm ngồi nước [1] - [27] 0.2 Tính cấp thiết Lý thuyết soliton quang học hai nhà khoa học A Hasegawa F Tappert bắt đầu phát triển vào đầu năm 1970 sau L F Mollenhauer thí nghiệm truyền tải thành cơng phịng thí nghiệm Bell Lab vào năm 1980 Cho đến có hàng ngàn cơng trình nghiên cứu soliton cơng bố Như trình bày trên, tính chất đặc thù mơi trường truyền sóng (vật liệu), trình nhiễu phi tuyến xuất làm thay đổi lượng tần số soliton, dẫn đến sai số truyền dẫn Vì toán nghiên cứu tác động nhiễu phi tuyến lên truyền sóng đóng vai trị quan trọng công nghệ truyền tin Trong công bố gần đây, tác giả [9] - [17] đưa mơ hình động học soliton hệ quang dẫn có nhiễu phi tuyến Cụ thể, tác giả đưa mơ hình gồm hệ phương trình vi phân thường phi tuyến mô tả động học soliton với hệ số suy hao lượng bậc ba bậc (2m+1) tổng qt [10], [11], mơ hình mơ tả động học biên độ tần số soliton tác động nhiễu tán xạ Raman [16] Tuy nhiên, toán nghiên cứu phát triển nhiễu xạ khoảng cách xa tính tốn lượng cần thiết cho máy khuếch đại lượng (amplifier) nhằm bồi thường tác hại hiệu ứng nhiễu để truyền tải nhiều chuỗi soliton đến khoảng cách xa (hàng ngàn km) tác động tổng hợp nhiễu Raman nhiễu suy hao chưa giải Đề tài thực nhằm góp phần giải vấn đề cấp thiết 0.3 Mục tiêu + Đề tài nghiên cứu tác động nhiễu Raman nhiễu phi tuyến khác (gain-loss) lên truyền tải soliton hệ phương trình NLS + Đề tài đưa mơ hình gồm hệ N phương trình vi phân phi tuyến tính (ODEs) biểu diễn động lực biên độ soliton hệ NLS tác động trình nhiễu phi tuyến Đề tài nghiên cứu tính ổn định điểm bất động hệ ODEs nhằm tìm tham số vật lý cho hệ NLS để truyền tải nhiều chuỗi soliton với biên độ ổn định + Đề tài tính hệ số bồi thường lượng máy khuếch đại lượng tác hại nhiễu phi tuyến nhằm truyền tải soliton đến khoảng cách xa Đồng thời đề tài vận dụng rẽ nhánh hệ ODEs để ứng dụng bật/tắt kênh dẫn sóng hệ NLS 0.4 Cách tiếp cận Tìm báo sách chuyên khảo liên quan đến đề tài Tham dự seminar hội nghị chuyên ngành liên quan đến đề tài 0.5 Phương pháp nghiên cứu + Vận dụng kỹ thuật tính nhiễu (perturbation) quanh soliton lý tưởng phương trình NLS đưa D.J Kaup năm 1990 + Sử dụng phương pháp giả phổ (pseudo-spectral method) để giải số hệ NLS có nhiễu Cụ thể, hệ phương trình NLS có nhiễu mô phương pháp tách bước (split-step Fourier method) tốc độ tính tốn tối ưu hóa nhờ phép biển đổi Fourier nhanh (Fast Fourier Transform) + Giải hệ phương trình vi phân thường phi tuyến phương pháp RungeKutta bậc + Nghiên cứu sóng nhiễu miền Fourier (miền tần số) + Nghiên cứu điểm bất động hệ phương trình vi phân thường phi tuyến để ứng dụng truyền tải soliton với biên độ ổn định + Vận dụng rẽ nhánh hệ phương trình vi phân thường toán nghiên cứu chuyển kênh 0.6 Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: mơ hình phương trình đạo hàm riêng phi tuyến + Phạm vi nghiên cứu: truyền tải soliton hệ NLS 0.7 Nôi dung nghiên cứu Nôi dung đề tài thực sau Phần lời mở đầu Trong chương 1, trình bày mơ hình NLS có nhiễu Raman thành phần 10 Ginzburg-Landau mơ hình Lotka–Volterra mơ tả động lực biên độ soliton hệ NLS Các tính tốn cho hệ số bồi thường lượng máy khuếch đại lượng tác hại nhiễu phi tuyến nằm phần Trong chương 2, chúng tơi phân tích tính ổn định điểm cân mơ hình Lotka–Volterra Trong chương 3, chúng tơi trình bày kết mơ số mơ hình NLS so sánh với mơ hình Lotka–Volterra Phần kết luận kiến nghị Cuối danh mục tài liệu tham khảo 11 Jjk = C(k − j)ηsj với M + ≤ j ≤ N j = k, (2.27) N Jjj = gj + ηsj − 16 ηsj /3 + C (k − j)ηsk với M + ≤ j ≤ N.(2.28) k=M +1 Trên thực tế, phân tích tính ổn định (0, , 0, ηs(M +1) , , ηsN ) cần tính N − M + phần tử ma trận Jacobian J [8] 20 Chương Kết mơ số Mơ hình ODEs (1.4) thiết lập dựa giả sử đơn giản hóa, mơ hình bị phá vỡ tăng số lượng kênh dẫn sóng khoảng cách truyền tải lớn Thêm nữa, mơ hình (1.4) giả sử bỏ qua ảnh hưởng xạ bậc cao gây va chạm sóng ảnh hưởng việc tương tác soliton kênh, tác động thể đầy đủ hệ NLS (1.1) Điều dẫn tới không ổn định truyền tải làm biến dạng soliton phá vỡ mơ hình Lotka–Volterra Vì vậy, việc kiểm tra dự đoán lý thuyết thu từ mơ hình Lotka–Volterra (1.4) việc thực mô giải số hệ NLS (1.1) cần thiết Hệ NLS (1.1) giải số phương pháp tách bước Fourier (split-step Fourier method) với điều kiện biên tuần hồn (xem [1]), tức mơ số mơ tả truyền tải sóng vịng sợi khép kín Điều kiện ban đầu mơ số N chuỗi gồm 2K soliton với biên độ ηj (0), tần số βj (0) pha sau: K−1 ψj (t, 0) = k=−K ∆β = βj+1 (0) − βj (0) ηj (0) exp {iβj (0)[t − (k + 1/2)T − δj ]} , cosh {ηj (0)[t − (k + 1/2)T − δj ]} (3.1) với ≤ j ≤ N − δj = (j − 1)T /N với ≤ j ≤ N Trong mô số, thực tham số vật lý sau: T = 15, ∆β = 15 K = Nhấn mạnh thu kết tương tự thực mô số với tham số vật lý khác thỏa mãn điều kiện ổn định chương 21 3.1 Mô số truyền tải ổn định soliton Trong phần này, chúng tơi mơ trình bày kết mơ số cho truyền tải ổn định nhiều chuỗi soliton đến khoảng cách xa Chúng chọn η = để trạng thái cân chuỗi soliton (1, , 1) Các tham số vật lý khác chọn với hệ số nhiễu Raman cho N = 2, R = 0.0006 hệ số nhiễu suy hao bậc năm = 0.15 cho N = 3, 5 = 0.1 = 0.25 cho N = Thêm nữa, chọn κ = 1.2 thỏa điều kiện ổn định chương biên độ ban đầu ηj (0) > (5κ/4 − η )1/2 = 5.7072, ≤ j ≤ thỏa mãn thuộc vùng thu hút điểm cân (1, , 1) Các mô giải số từ phương trình NLS (1.1) thực đến khoảng cách truyền tải z = zf có kênh dẫn sóng bị biến dạng Kết mô thể hình (3.1), (3.2), (3.3) Sự phụ thuộc biên độ soliton vào khoảng cách truyền tải z thu từ hệ NLS (1.1) hệ ODEs (1.4) thể hình (3.1) Trong hình (3.1), quan sát biên độ chuỗi soliton dần hội tụ giá trị η khoảng cách truyền tải tăng dần đến zp biên độ soliton sau ổn đinh đến zr cho tất kênh, với zr khoảng cách truyền tải trước có kênh dẫn sóng bị biến dạng Trong mơ số, quan sát zp1 = 70, zr1 = 36000 zf = 36110 cho N = 2, zp2 = 40, zr2 = 21270 zf = 21320 cho N = 3, zp3 = 25, zr3 = 5300 zf = 5350 cho N = Thêm nữa, dự đoán lý thuyết cho biên độ dựa mơ hình (1.4) hồn tồn xác so với kết giải số thu từ mơ hình NLS (1.1) với ≤ z ≤ zr Khoảng cách truyền tải ổn định rr thu từ mơ hình NLS (1.1) lớn nhiều so với mơ hình trước Cụ thể, zr1 = 36000 cho N = lớn 200 lần so với giá trị thu mơ hình dẫn sóng tác động nhiễu tuyến tính nhiễu suy hao bậc ba [11] Thêm nữa, khoảng cách truyền tải ổn định mơ hình cho N = 2, N = 3, N = lớn gấp 37.9, 34.3, 10.6 lần so với mơ hình dẫn sóng tác động tán xạ Raman [16] Hình dạng kênh dẫn sóng thu từ mô số hệ NLS (1.1) cho N = 2, N = 3, N = zr zf thể qua thành phần sóng |ψj (t, z)| miền thời gian hình (3.2) Chúng tơi quan sát hình dạng soliton giữ khoảng cách truyền tải zr , tức sau chịu ảnh hưởng số lượng lớn va chạm trình tuyền 22 (a) 1.3 1.2 1.2 1.1 1.1 η η j j 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 z (c) 1.2 1.1 1.1 j 1.2 0.9 0.8 0.8 5000 10000 40 15000 20000 (e) 0.7 10 20 j 1.2 1.2 1.1 1.1 ηj 0.9 0.8 0.8 1000 2000 3000 4000 5000 100 30 40 50 30 40 50 0.9 0.7 80 z (f) 1.3 60 (d) z 1.3 z 0.9 20 1.3 η ηj 0.7 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 1.3 0.7 (b) 1.3 0.7 10 20 z z Hình 3.1: Sự phụ thuộc vào khoảng cách truyền tải z biên độ soliton ηj trình truyền tải ổn định với mơ hình NLS (1.1) cho N = ((a) (b)), cho N = ((c) (d)), cho N = ((e) (f)) Hình (b), (d), (f) phần phóng lớn hình (a), (c), (e) khoảng cách truyền tải ngắn Các hình trịn đỏ, hình vuông xanh cây, tam giác thuận xanh dương tam giác ngược tím thể η1 (z), η2 (z), η3 (z), η4 (z) tương ứng, thu từ mơ số với phương trình (1.1) Các đường cong liền nét nâu, đứt nét xám, đứt nét đen có chấm, đường nét chấm cam thể η1 (z), η2 (z), η3 (z), η4 (z) thu từ tính tốn lý thuyết với phương trình (1.4) 23 tải, thể hình (3.2a) cho N = 2, (3.2c) cho N = 3, (3.2e) cho N = Hình (3.2b), (3.2d), (3.2f) thể |ψj (t, z)| z = zf cho N = 2, N = 3, N = Chúng ta thấy hình dạng sóng bị biến dạng z = zf Sự biến dạng sóng z = zf tích tụ xạ sinh từ va chạm soliton q trình truyền tải giải thích hình dạng sóng miền Fourier hình (3.3) Sự biến dạng kênh sóng miền thời gian khoảng cách truyền tải zf giải thích dựa hình dạng sóng miền Fourier thể qua thành phần |ψˆj (ω, z)| Hình (3.3a), (3.3c), (3.3e) thể hình dạng sóng miền Fourier |ψˆj (ω, z)| z = zr cho N = 2, N = 3, N = Hình (3.3b), (3.3d), (3.3f) thể |ψˆj (ω, z)| z = zf cho N = 2, N = 3, N = Như quan sát |ψˆj (ω, z)| z = zf , số thành phần sóng kênh thứ j phát sinh xa có tần số nhỏ bên ngồi vùng tần số trung tâm βj (z) Chính sóng nhiễu có tần số nhỏ gây nên biến dạng sóng tương ứng miền thời gian Cụ thể quan sát sau Với N = 2, z = zf hình (3.3b), kênh dẫn sóng thứ j = xuất hai sóng xạ tần số ωs(11) = 17.18 ωs(12) = 34.76 Ngược lại, sóng xạ thấy kênh dẫn sóng thứ j = z = zf Điều giải thích cho biến dạng sóng thứ j = giữ ngun hình dạng sóng thứ j = miền thời gian z = zf Với N = 3, z = zf hình (3.3d), kênh dẫn sóng thứ j = xuất hai sóng xạ tần số ωs(11) = 0.0 ωs(12) = 44.4 Ngược lại, khơng có sóng xạ thấy kênh dẫn sóng thứ j = j = z = zf Điều giải thích cho biến dạng sóng thứ j = giữ ngun hình dạng sóng thứ j = j = miền thời gian z = zf Với N = 4, z = zf hình (3.3f), kênh dẫn sóng thứ j = xuất hai sóng xạ tần số ωs(11) ωs(12) gần với bực xạ trường hợp N = Đồng thời kênh dẫn sóng thứ j = xuất hai sóng xạ tần số ωs(41) = −27.65 (42) ωs = 34.35 Ngược lại, khơng có sóng xạ thấy kênh dẫn sóng thứ j = j = z = zf Điều giải thích cho biến dạng sóng thứ j = j = giữ ngun hình dạng sóng thứ j = j = miền thời gian z = zf Thêm nữa, z = zr , khơng thấy sóng xạ miền tần số tất kênh cho N = 2, N = N = hình (3.3a), (3.3c), (3.3e) Điều giải thích cho giữ nguyên hình dạng kênh 24 (b) 0.8 0.8 |ψj (t, z)| |ψj (t, z)| (a) 0.6 0.4 0.2 −15 0.6 0.4 0.2 −10 −5 t 10 −15 15 −10 −5 1 0.8 0.8 0.6 0.4 0.2 −15 10 15 10 15 10 15 0.4 0.2 −10 −5 t 10 −15 15 −10 −5 (e) t (f) 0.8 0.8 |ψj (t, z)| |ψj (t, z)| 0.6 0.6 0.4 0.2 −15 t (d) |ψj (t, z)| |ψj (t, z)| (c) 0.6 0.4 0.2 −10 −5 t 10 15 −15 −10 −5 t Hình 3.2: Hình dạng sóng khoảng cách truyền tải z = zr trước có kênh sóng bị biến dạng z = zf sau có kênh sóng bị biến dạng cho N = ((a) (b)), N = ((c) (d)), N = ((e) (f)) với tham số sử dụng hình (3.1) Hình (a), (c) (e) thể |ψj (t, z)| z = zr hình (b), (d) (f) thể |ψj (t, z)| z = zf với j = 1, 2, 3, Các đường cong liền nét đỏ, đứt nét xanh có chấm, nét chéo xanh dương, đường đứt nét tím thể |ψj (t, z)|, j = 1, 2, 3, 4, thu từ mô số với phương trình (1.1) Các khoảng cách truyền tải z = zr1 = 36000 (a), z = zf = 36110 (b), z = zr2 = 21270 (c), z = zf = 21320 (d), z = zr3 = 5300 (e), z = zf = 5350 (f) 25 dẫn sóng z = zr 3.2 Mơ số truyền tải tắt kênh dẫn sóng Trong phần này, chúng tơi trình bày kết mơ số cho truyền tải tắt M kênh dẫn sóng với ≤ M ≤ N − Như phân tích chương 2, tắt M kênh dẫn sóng khoảng cách truyền tải z = zs , cần thay đổi giá trị tham số vật lý (thay đổi mơi trường dẫn sóng) cho trạng thái cân (η, , η) chuyển từ ổn định sang không ổn định, trạng thái cân (0, , 0) (0, , 0, ηs(M +1) , , ηsN ) ổn định tiệm cận Chúng ký hiệu A1-A2 mơ hình để thực tắt M kênh dẫn sóng, A1 mơ hình truyền tải ổn định solition với tham số vật lý khoảng cách truyền tải < z < zs A2 mơ hình tắt M kênh với tham số vật lý khoảng cách truyền tải z ≥ zs Trong mô số, soliton truyền tải ổn định theo mơ hình A1 [0, zs ), zs = 200 cho N = N = zs = 250 cho N = Tại z = zs , thay đổi tham số vật lý, soliton truyền tải theo mơ hình A2 [zs , zf = 500] Với mơ hình A2, M chuỗi soliton tần số thấp có biên độ hội tụ N − M chuỗi soliton tần số cao có biên độ hội tụ ηsj , M + ≤ j ≤ N , tùy vào tham số vật lý Chúng sử dụng giá trị hệ số nhiễu Raman R = 0.0006 mơ hình A1-A2 Trong mơ hình A1, tham số vật lý chọn với 5, = 0.1, κ = 1.2, η = Trong mơ hình A2, tham số vật lý κ, η chọn tùy vào số lượng kênh dẫn sóng hệ quang dẫn số lượng kênh dẫn sóng cần tắt z = zs Cụ thể, cho N = để tắt M = kênh tắt M = kênh = 0.04, κ = 1.8 η = 1.1 = 0.02, κ = η = 1.2 cho N = để = 0.03, κ = η = 1.2 cho N = để tắt M = kênh Với hệ N = kênh, sử dụng 5 5 = 0.08, κ = η = 1.24 để tắt M = kênh, = 0.04, κ = 1.8 η = 1.05 để tắt M = kênh, = 0.04, κ = η = 1.1 để tắt M = kênh Kết mơ số thể hình (3.4) cho N = 2, hình (3.5) cho N = 3, hình (3.6) cho N = Chúng tơi nhấn mạnh rằng, kết dự đoán lý thuyết biên độ soliton theo mơ hình Lotka–Volterra hồn tồn xác với kết mơ số hệ NLS Đặc biệt hơn, giá trị ηsj đo hệ NLS hoàn toàn tương tự với giá trị tính tốn hệ Lotka–Volterra 26 (b) (a) 2.5 |ψˆj (ω, zf1 = 36110)| |ψˆj (ω, zr1 = 36000)| 2.5 2 1.5 1.5 1 0.5 0.5 −40 −30 −20 −10 ω 10 20 30 40 −40 −30 −20 −10 50 (c) |ψˆj (ω, zf2 = 21320)| |ψˆj (ω, zr2 = 21270)| 30 20 30 20 30 40 50 (d) 2 1.5 1.5 1 0.5 0.5 −40 −30 −20 −10 ω 10 20 30 40 50 −40 −30 −20 −10 (e) 40 50 (f) |ψˆj (ω, zf3 = 5350)| 2 1.5 1.5 1 0.5 0.5 −40 −30 −20 −10 ω 10 2.5 2.5 |ψˆj (ω, zr3 = 5300)| 20 2.5 2.5 ω 10 ω 10 20 30 40 50 −40 −30 −20 −10 ω 10 40 Hình 3.3: Biến đổi Fourier sóng khoảng cách truyền tải z = zr trước có kênh sóng bị biến dạng z = zf sau có kênh sóng bị biến dạng cho N = ((a) (b)), N = ((c) (d)), N = ((e) (f)) với tham số sử dụng hình (3.1) Hình (a), (c) (e) thể |ψˆj (ω, z)| z = zr hình (b), (d) (f) thể |ψˆj (ω, z)| z = zf với j = 1, 2, 3, Các đường cong liền nét đỏ, đứt nét xanh có chấm, nét chéo xanh dương, đường đứt nét tím thể |ψˆj (ω, z)|, j = 1, 2, 3, 4, thu từ mô số với phương trình (1.1) Các khoảng cách truyền tải z = zr1 = 36000 (a), z = zf = 36110 (b), z = zr2 = 21270 (c), z = zf = 21320 (d), z = zr3 = 5300 (e), z = zf = 5350 (f) 27 50 Hình (3.4), hình (3.5), hình (3.6) mô tả phụ thuộc vào khoảng cách truyền tải z biên độ soliton ηj theo mô hình A1-A2 cho hệ N = 2, N = 3, N = kênh Kết mô số cho thấy, biên độ chuỗi soliton hội tụ η = truyền tải ổn định đến z = zs Trên [zs , zf ], biên độ chuỗi soliton có tần số thấp dần hội tụ biên độ chuỗi soliton có tần số cao hội tụ ηsj Cụ thể sau Hình (3.4), biên độ chuỗi soliton kênh thứ j = có tần số thấp dần hội tụ biên độ chuỗi soliton kênh thứ j = có tần số cao hội tụ ηs2 = 1.1781 Hình (3.5a) cho trường hợp tắt M = kênh, biên độ chuỗi soliton kênh thứ j = có tần số thấp dần hội tụ biên độ chuỗi soliton kênh thứ j = j = có tần số cao hội tụ ηs2 = 1.2970 ηs3 = 1.3410 Hình (3.5b) cho trường hợp tắt M = kênh, biên độ chuỗi soliton kênh thứ j = j = có tần số thấp dần hội tụ biên độ chuỗi soliton kênh thứ j = có tần số cao hội tụ ηs3 = 1.3429 Hình (3.6a) cho trường hợp tắt M = kênh, biên độ chuỗi soliton kênh thứ j = có tần số thấp dần hội tụ biên độ chuỗi soliton kênh thứ j = 2, j = 3, j = có tần số cao hội tụ ηs2 = 1.0027, ηs3 = 1.0020, ηs4 = 1.0019 Hình (3.6b) cho trường hợp tắt M = kênh, biên độ chuỗi soliton kênh thứ j = j = có tần số thấp dần hội tụ biên độ chuỗi soliton kênh thứ j = j = có tần số cao hội tụ ηs3 = 1.2499 ηs4 = 1.2878 Hình (3.6c) cho trường hợp tắt M = kênh, biên độ chuỗi soliton kênh thứ j = 1, j = 2, j = có tần số thấp dần hội tụ biên độ chuỗi soliton kênh thứ j = có tần số cao hội tụ ηs4 = 1.3640 28 ηj 0.5 0 100 200 z 300 400 500 Hình 3.4: Sự phụ thuộc vào khoảng cách truyền tải z biên độ soliton ηj q trình truyền tải với mơ hình A1-A2 cho N = Các hình trịn đỏ hình vng xanh thể η1 (z) η2 (z) thu từ mô số với phương trình (1.1) Các đường cong liền nét nâu đứt nét xám thể η1 (z) η2 (z) thu từ tính tốn lý thuyết với phương trình (1.4) Hình 3.5: Sự phụ thuộc vào khoảng cách truyền tải z biên độ soliton ηj trình truyền tải với mơ hình A1-A2 cho N = Các hình trịn đỏ, hình vng xanh tam giác thuận xanh dương thể η1 (z), η2 (z), η3 (z) thu từ mơ số với phương trình (1.1) Các đường cong liền nét nâu, đứt nét xám, đứt nét đen có chấm thể η1 (z), η2 (z), η3 (z) thu từ tính tốn lý thuyết với phương trình (1.4) 29 Hình 3.6: Sự phụ thuộc vào khoảng cách truyền tải z biên độ soliton ηj q trình truyền tải với mơ hình A1-A2 cho N = Các hình trịn đỏ, hình vng xanh cây, tam giác thuận xanh dương, tam giác ngược tím thể η1 (z), η2 (z), η3 (z), η4 (z) tương ứng, thu từ mô số với phương trình (1.1) Các đường cong liền nét nâu, đứt nét xám, đứt nét đen có chấm, đường nét chấm cam thể η1 (z), η2 (z), η3 (z), η4 (z) thu từ tính tốn lý thuyết với phương trình (1.4) 30 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Chúng phát triển mụ hỡnh truyn súng soliton ca phng trỡnh Schrăodinger phi tuyến phương trình Ginzburg-Landau dạng phức nhằm truyền tải ổn định nhiều chuỗi soliton đến khoảng cách xa hệ quang dẫn Đồng thời, nhờ mơ hình ODEs, chúng tơi tính tốn hệ số bồi thường lượng cho máy khuếch đại, thông qua hệ số gj , nhằm bồi thường thiệt hại tác hại tán xạ Raman nhiễu suy hao phi tuyến khác, nhằm trì truyền tải ổn định chuỗi soliton hệ quang dẫn Đặc biệt, mơ hình với nhiễu Raman nhiễu phi tuyến gain-loss cho thấy khả truyền tải nhiều chuỗi soliton ổn định biên độ đến khoảng cách xa lớn nhiều so với mơ hình trước Cụ thể, khoảng cách truyền tải ổn định mơ hình cho N = lớn 200 lần so với giá trị thu mô hình dẫn sóng tác động nhiễu tuyến tính nhiễu suy hao bậc ba [11] Thêm nữa, khoảng cách truyền tải ổn định mơ hình cho N = 2, N = 3, N = lớn gấp 37.9, 34.3, 10.6 lần so với mơ hình dẫn sóng tác động tán xạ Raman [16] Kết đề tài cơng bố tạp chí European Physical Journal D thuộc danh mục SCI Chúng tơi kính đề nghị Đại học Y Dược TPHCM tiếp tục quan tâm hỗ trợ nhóm nghiên cứu nhằm phát triển hướng nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng ứng dụng Toán Vật lý 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G.P Agrawal, Nonlinear Fiber Optics (Academic, San Diego, CA, 2001) [2] A.C Newell, Solitons in Mathematics and Physics, SIAM, Philadelphia, 1985 [3] J Yang, Nonlinear Waves in Integrable and Nonintegrable Systems, SIAM, Philadelphia, 2010 [4] L.F Mollenauer and J.P Gordon, Solitons in Optical Fibers: Fundamentals and Applications, Academic, San Diego, CA, 2006 [5] Terance Tao, Why are solitons stable?, Bull Amer Math Soc 46, 1-33 (2009) [6] Y Okawachi, O Kuzucu, M.A Foster, R Salem, A.C Turner-Foster, A Biberman, N Ophir, K Bergman, M Lipson, and A.L Gaeta, Characterization of nonlinear optical crosstalk in silicon nanowaveguides, Photon Tech Lett 24, (2012) 185-187 [7] M.A Foster, A.C Turner, J.E Sharping, B.S Schmidt, M Lipson, and A.L Gaeta, Broad-band optical parametric gain on a silicon photonic chip, Nature 441, (2006) 960-963 [8] A Peleg, Q.M Nguyen, and T.T Huynh, Stable scalable control of soliton propagation in broadband nonlinear optical waveguides, Eur Phys J D, 71:30 (2017) [9] Q.M Nguyen, A Peleg, and T.P Tran, Robust transmission stabilization and dynamic switching in broadband hybrid waveguide systems with nonlinear gain and loss, Phys Rev A 91, 013839 (2015) [10] A Peleg, Q.M Nguyen, and P Glenn, Many-body interaction in fast soliton collisions, Phys Rev E 89, 043201 (2014) 32 [11] A Peleg, Q.M Nguyen, and Y Chung, Crosstalk dynamics of optical solitons in a broadband Kerr nonlinear system with weak cubic loss, Phys Rev A 82, 053830 (2010) [12] A Peleg, Y Chung, T Dohnal, and Q.M Nguyen, Diverging probability-density functions for flat-top solitary waves, Phys Rev E 80 (2009), 026602 [13] Q.M Nguyen and A Peleg, Resolving the Raman-induced cross frequency shift in fast optical soliton collisions, J Opt Soc Am B 27 (2010), 1985-1990 [14] Q.M Nguyen and A Peleg, Deterministic Raman crosstalk effects in amplified wavelength division multiplexing transmission, Opt Commun 283 (2010), 35003511 [15] D Chakraborty, A Peleg, Q.M Nguyen, Stabilizing soliton-based multichannel transmission with frequency dependent linear gain-loss, Opt Commun 371, 252 (2016) [16] A Peleg, Q.M Nguyen, and T.P Tran, Transmission stabilization and destabilization involving Kerr and Raman effects in broadband soliton-based fiber optics systems, Opt Comm 380, 41 (2016) [17] D Chakraborty, A Peleg, and J.H Jung, Cross-talk dynamics of optical solitons in multichannel waveguide systems with a Ginzburg-Landau gain-loss profile, Phys Rev A 88, 023845 (2013) [18] B.A Malomed, Soliton-collision problem in the nonlinear Schră odinger equation with a nonlinear damping term, Phys Rev A 44 (1991), 4582-4590 [19] J.N Kutz, Mode-Locked Soliton Lasers, SIAM Review 48 (2006), 629-679 [20] A Peleg, M Chertkov, and I Gabitov, Interchannel interaction of optical solitons, Phys Rev E 68 (2003), 026605 [21] D.J Kaup, Second-order perturbations for solitons in optical fibers, Phys Rev A 42 (1990), 5689-5694 [22] Y Chung and A Peleg, Strongly non-Gaussian statistics of optical soliton parameters due to collisions in the presence of delayed Raman response, Nonlinearity 18 (2005), 1555-1574 33 [23] J Soneson and A Peleg, Effect of quintic nonlinearity on soliton collisions in optical fibers, Physica D 195, 123 (2004) [24] Q.M Nguyen, Effects of randomness, dissipation and interaction on solitons of the cubic nonlinear Schrăodinger equation and related nonlinear wave models, Dissertation, State University of New York at Buffalo, (2011), 118 pages, AAT 3475353, ISBN: 9781124935232 [25] A Peleg, Y Chung, and Q.M Nguyen, Stable Energy Equalization of Solitons in WDM Waveguide Systems with Cubic Loss, In Proceedings of the Frontiers in Optics and Laser Science, Rochester, New York, USA (2012) [26] Nguyen V Hung, M Trippenbach, and B Malomed, Symmetric and asymmetric solitons trapped in H-shape potentials, Phys Rev A 84, 053618 (2011) [27] Nguyen V Hung, P Zin, B Malomed and M Trippenbach, Two-dimensional Solitons in media with the stripe-shaped nonlinearity modulation, Phys Rev E 82, 046602 (2010) [28] V Volterra, Variations and fluctuations of the number of individuals in animal species living together (McGraw-Hill, New York, 1931) 34 ... xỉ (3) Các nhiễu phi tuyến Raman gain- loss khảo sát nhiễu yếu, ảnh hưởng bậc cao xạ gây nhiễu bỏ qua Với giả sử ý chuỗi soliton tuần hồn, chúng tơi thu phương trình mô tả động lực biên độ soliton. .. vi phân thường (ODEs) phi tuyến mô tả động lực biên độ soliton hệ (1.1) 1.2 Mơ hình Lotka–Volterra mơ tả động lực biên độ soliton hệ NLS Chúng khảo sát truyền tải N chuỗi soliton vịng sợi khép... nhiễu Raman nhiễu phi tuyến khác (gain- loss) lên truyền tải soliton hệ phương trình NLS + Đề tài đưa mơ hình gồm hệ N phương trình vi phân phi tuyến tính (ODEs) biểu diễn động lực biên độ soliton