18 mười tám chủ đề hình học 12

NHOM BIẾN SOẠN SÁCH Bổ TRỢ GIÁO DỤC OLYMPIC h ủ biên: N G U Y Ề N VẢN D Ũ N G - N G Ư Y Ẻ N TẤ T 'ỤHU ✓ C c d n g toán trọng tâm / D ành cho học sin h lớp 12 chương trin h Co N âng cao / / N âng cao k ĩ làm BỐI dưỡng H S giói chuần bi c h o c c kì thi TN • TSĐ H NHA XUẤT BÁN ĐẠI HỌC QC GIA HÀ NỘI NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội Điện thoại: Biên tập-Chế bản: (04) 39714896; Hành chính: (04) 39714899; Tổng bién tập: (04) 39714897 Fax: (04)39714899 ***? / *** / ả C h ịu tr c h n h iệ m x u ấ t b ả n : G iám đốc P H Ừ N G Q U Ố C BẢO T ổ n g biên tậ p PH Ạ M T H Ị TRÂM B iên tậ p nội d u n g M IN H KHAI S a LÊ HOÀ C h ế CÔ N G TI ANPHA T r in h b y bia SƠN KỲ Đối tác liê n k ế t x u ấ t ban CÔ N G TI ANPHA S Á C H LIÊN KẾT 18 CHỦ ĐỂ HĨNH HỌC 12 Mã số: 11,-061)11*010 In 2.000 cuốn, khổ 16 \ 24 em lại Công ti TNHH in llưiiỊi IMiú SỐ xuất bần: 1823-201 o/cxH/25-178/ĩ)IIỌG11N ngày 19/10/2010 Ụuyếl ilịnli \u â t l)àn số: 02 I.k-T!\/Ụl)-\\I51>IIỌ(»II\ In xong nộp lưu chiểu quỷ I năm 2011 LỜI N Ó I Đ Ẩ U Khi m ỗi c h ú n g ta 18 tuổi c ũ n g thời gian học lớ p 12, n ă m cuối cấp cua c h n g trìn h p h ố thịng Mỗi bạn họ c sinh đ ẹ u cỏ k ế hoạch cho tư n g lai, m khới đ ầ u s ự v ợ t qua kỳ thi tu y ế n sin h vào m ộ t trường đại học m o n g ước Nỉhằm g ó p p h ấ n g iú p em học sin h th ự c đ ợ c m a c đó, bắt đ ấ u từ việc n ắ m v ữ n g kiến th ứ c bán, p h át triển tu d u y , n â n g cao kha n àng v ậ n d ụ n g , p h â n tích tổng hợ p giái q u y ế t v ấ n đề, c h ú n g biên soạn b ộ sách v ề 18 đ ê tro n g c h n g trình tốn h ọ c 12 T ro n g mồi ch u đ ê gốm b a p h ẩ n I T ó m tắt lý th u y ết: hệ thống hóa kiến th ứ c trọng tâm II Ví d ụ m in h họa: gồm n h ũ n g ví d ụ đ iê n h ìn h cho m ỗi p h o n g p h p giái to án tư n g ứ n g với chủ đế C ác ví d ụ n y đ ợ c s ắ p xếp theo logic n h ấ t đ ịn h g iú p em có th ế tỏng q u t h ó a có kỹ n ă n g giai to n tư n g tự III Bài tập: gõm m ột hệ thống tậ p đ ế em có thê tụ luyện tậ p n h ằ m k h ắc sâ u kiến th ứ c rèn lu yện kỹ n ă n g T rong sách này, với tinh thần tăng cưừng trách nhiệm tác giá, c ũ n g n h u th u ậ n tiện cho việc trao đỗi cùa độc giả, c h ú n g p h â n công: + Tác giá N g u y ễ n Tát T h u phụ trách chinh "18 chù dê g iả i tích 12" + Tác giả N guyền Vãn D ũ n g p h ụ trách "1S chù đ ế hình học 12" C h ú n g tin tư n g rằ n g vói hộ sách này, m ỗi em hục sin h đ ể u có thê tìm th n h ữ n g đ iều th ú vị v bơ ích M ặ c d ù m ỗi tác gia đ ã d n h nhiều tâm h u y ế t cho c u ố n sách, so n g sai só t đ iếu khó trán h khói C h ú n g m o n g n h ậ n d ợ c sụ phán biện v g ó p ý cù a q u ý độ c gió đ ế n h ũ n g lần tái b n s a u c u ố n sách đ ợ c h o n th iệ n M ọ i ý kiên đ ó n g g ó p xin gửi vê'địa chi: T r u n g tâ m Sách giáo d ụ c A npha 225C N g u y ễ n Tri Ph n g , P.9, Q5, T p HCM C ô n g ti Sách - thiết bị giáo dục A n p h a 50 N g u y ễ n Văn Săng, Q Tán phú, T p H ổ C hí M in h ĐT: 08.62676463, 38547464 Email: alphobookeentorO' yjho o co m T râ n trọ n g cám ơn! CHÙ ĐỂ KHỐI ĐA DIỆN [ T Ó M T Á T LÝ T H U Y Ế T I linh đ a diện hình tạo bới sổ hữu hạn đa giác phảng thỏa hai tính chất ■ I íai đa giác khơng có điếm chung, có đinh chung, có cạnh chung ■ M ỗi cạnh cùa đa giác cạnh chung hai đa giác I lình đ a diện (H) cúng với điểm nam (H) gọi khối đa diện giới hạn hình (H) s Khối đ a diện gọi khối chóp, khối lãng trụ, giới hạn tưư ng ứng hinh chóp, hình lăng trụ, o Phân ch ia khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H ,),(H 2) (H) hợp cù a (H ,) (H 2), (H ,) khơng có điểm chung với (H 2) ữ Khối đ a diện (H) dược gọi khối đa diện lồi đoạn thắng nối hai điếm (H ) thuộc (H) Khối đ a diện khối đa diện lồi có hai tính chất ■ Mỗi mặt đa giác n cạnh • Mỗi đinh chúng dinh chung p mặt ■ Khối da diện dều gọi khối da diện loại {n;p} Gụi D, C,M sổ dinh, số cạnh, số mặt khối đa diện lồi (H) dặc số Euler (H ) x(H) = D - C + M = (định lý Euler) II C Á C v t DỤ M IN H H Ọ A v'í d ụ 1.1 C ng minh mội khói đa diện có Í! đinh Lịi ịỊÌái Xét khối đa diện (H) có mặt Mị Gọi A ,B,C ba đinh liên tièp cùa M , Ta có AB.BC hai cạnh liên tiếp (H) Vì cạnh cạnh chung cùa dúng hai mặt, nên tồn mặt M2 khác Mị có chung cạnh AB với Mị Mặt M2 phài có dinh khác vỏri dinh A ,n Giá sir D = c M v Mị có hai cạnh chung AB BC(BD), tức hai m ặt trùng nhau, điều mâu thuẫn với M2 khác Mj Vậy D phải khác c , tức da diện (H) phải cỏ bốn đinh, d ụ 1.2 ( 'hứng m inh rằ n g m ỗi hình đa diện có nhai cạnh Lịi giai X ét hinJh đu diện (H ) có mặt Mị Khi dó Mj có ba cạnh liên tiếp C 1;C,;C.( Gọi M mặt khác Mj có chung cạnh c , với Mị Trên mặt M.2 cịn có hai cạnh Ợ ,;C khác C ,.D o tín h phủ biệt M M, nên C ,;C phải khác C2;C3 Nhu vậ C ,;C 2;C3;C4;C5 khác Gọi M3 lả mặt khác Mị có chung cạnh C2 với M, Khi M , có hai cạnh C6;C7 khác C2 phân biột với C p C - Nếu Cg khác với C4;C5 hình (H) có cạnh - Nếu C6 s C thi M M2 có nhiều cạnh chung nên c khác C4;C5 nên (H) có cạnh C1;C2;C3;C4;C5;C7 - Nẻu Ctì K C6 tương tự (H) có cạnh Vậy hình (H) ln có cạnh Ví dụ 1.3 Chứng m inh rang khối đa diện có so cạnh m i l sổ lè s ố m ặt p h ả i so chẵn Lời giai Xét khối da diện (II) có số mặt M số cạnh mỏi mật lầ n lượt V % • • ^ • C 1;C2; ;CM, dó C k số lẻ với k = Vi mỏi cạnh cạnh chung hai mặt, đỏ số cạnh khối li diện l C = C| +C2 -"-+ CM Ta có c số nguycn dương ncn Cị + C + + CM phải sổ chằn I) M phài số chẵn Ví dụ ^.4 Chứng m inh khơng lon tạ i hình đa diện có cạnh Lịi giiii Xót hình da diện có mặt M, với sổ cạnh lứn băng Khi đó, đinh mặt M, đinh chung it c;ạnh nc dinh có thêm cạnh di qua dó sổ c n h ci hình da diện lớn bủng Vi vậy, hình đa diện ( H ) có t cạnh thi khơng tồn mật có số dinh lớn bằmg 4, li mặt cùa hình dó phủi tam giác Gọi M ,c sỏ mặl số cạnh hình da diộn (H) Du mỏii cạnh cạnh chung cùa dũng hai mặt nên 3M = 2C = 14=>M = — (vô l v ĩ số ngun dưomg).Vậy khơng tồn hình đa diện có cạnh Ví dụ 1.5 Chửng minh khối đa diện bất k\\ tun lụi hai l/ ii mù số cạnh x u a t ph i lừ m oi đinh Lòi giai Xét khối đa diện (H) có số đinh D số cạnh xuất phát từ du C t ;C2; ;C D, Cị, số nguyên durưng \ k = Ịl;2; ;D } Vi số dinh cùa khối da diện D nên số cạnh xuất phát từ đinh phái nhỏ D, dó Ck < D N hư tập C k có D phần từ mà chi nhận giá trị từ đến D, dó theo nguyên lý Dirichlet, tồn hai phần từ có giá trị bang Vậy m ột khối đa diện hái kỳ, tồn hai đinh mà số cạnh xuất phát từ hai dinh Vi dụ 1.6 C hứng m inh rang ln tịn hình đa diện có 2n + cạnh, với n lù so nguyên dương n > Lòi giai Xét hình chóp có đáy da giác gồm n - cạnh S.A,A2 An_l G hép thêm vào mặt S.A jA v phía ngồi hinh chóp S.AjA2 An_j hình chóp T.SAịA2 Do hình chóp S.A1A2 An_1 có ( n - l ) cạnh nơn hình đa diện gơm 11 + đinh S A p A2, ,A n_j,T có 2n + cạnh k'i ilụ 1.7 í 'hửng minh rang ln tồn m ột khối đa diện lồi có n cạnh, với n s ổ nguyên dương n > Lòi giải - Nếu n số chần, xét hình chóp có đáy đa giác có — cạnh hinh chóp dó sè có n cạnh - Neu n số lc thi n > nên n = 2m + (m £ 3) c ẳ t hinh chóp có đáy m cạnh theo mặt phẳng thỏa mãn cắt dúng hai cạnh đáy vả m ột cạnh bên cùa hinh chóp thi dược hình đa diện có 2m + cạnh Tóm lại ln tồn m ật khối đa diện có n cạnh với n > C hủ ỷ: Trường hạp n sô lẽ cỏ thè làm ví d ụ /i dụ 1.8 S ứ dụng định lý E uler chứng minh có khơi da diện khối du diện Lịi giãi Xét khối d a diện loại Ịn;p} có sổ đinh, số cạnh v số mặt D.C.M - Do mồi đinh dinh chung cùa dúng p cạnh nên D dinh có pD cạnh, mà mồi cạnh lại xác dịnh hai dinh nên 2C = pD (1) - Vi mòi mặt cỏ n cạnh nên M mặt có nM cạnh, cạnh lại cạnh chung cua dúng hai mặt 2C = nM (2) T (1),(2) kết hợp tính chất cua dãy tỷ sổ bàng ta có p „ D C M D - C + M ( D - C + M)2np p l ) - 2L = nM o — = — = — = — -— = I ỉ _1 _ I _ 2n + 2p - n p p n p n Kết hơp đinh lý Euler D -c+M= suy — = V - 'T“ = “ — — -1 1 n + 2p - n p p n 4n 2np 4p Vậy D = ,M = (3) 2n + 2p - n p 2n + 2p - np 2n + 2p - np Ta có D ,C ,M ,n,p số nguyên dưorng nên 2n + p - np > 0, m ,c = 2n + p - n p = n ( - p ) - ( - p) + = - ( p - ) ( n - ) + 4, d (p - 2)(n - 2) < Vì đa giác phải có cạnh, dinh có khơng it cạnh nên n > 3,p s n - , p - lả hai số nguyên dương có tích nh 4, xảy trường hợp Trường hợp 1: n —2 = D n = p = 3, ta có khơi đa diện đêu loại {3;3Ị —1 chinh khối tứ diện T1rường • họp -ì 2: n - = p- 2=1 n = 4;p = 3, ta có khối đa diện loi {4;3}, đày khối lập phương Trường hơp 3: | n = =>n = 3;p = 4, ta có khối da diên lo; [p - = {3;4}, dây khối bát diện (tám mặt đều) Trường hợp 4: n —2 = p-2 =1 n = 5;p = 3, ta có khối da diện lo; {5; 3}, thập nhị diện dều (mười hai mật đồu) n -2 =1 * Trường hợp 5: < =>n = 3;p = 5, ta có khôi đa diện đêu lo; p —2 = {3;5}, dây khối nhị thập diện (hai mươi mặt đểu) Loại Tên gọi * * Sô dinh Sô cạnh Sô măt {3:3} Khối tứ diện {4:3} Khối lập phương 12 (3;4| Khối tam mặt 12 {5;3} Khối mười hai mặt 20 30 12 13:5} Khối hai mươi mặt 12 30 20 M ộ t số Iiliận xét +) Chi có khối đa diện có số dinh số mặt khối tứ diện + ) C ó hai cặp có sơ cạnh băng +) C ó hai cập mà số dinh khối hăng sô mặt khôi ngược lại, số mặt cùa khối sổ dinh khối Ví dụ 1.9 Hãy plĩán chia khối lãng trụ ABC.ATVC' (hành a) Du khối tứ diện hì M ột khối chóp lam giác khối chóp tứ giác A Lịi giải a) Khối lăng trụ A B C A 'B 'C ' phàn chia thành ba khối tứ diện lã ABCA'; BCA'B'; CA'B C' b) Khối lãng trụ ABC.A'B'C' phân chia thành khối chóp tam giác C.A'B'C' khối chóp tứ giác ià C.A'B’AB Ví dụ 1.10 ỉỉiiỵ p h â n chia khối hộp ABCD.A'B'C'D' thành a) S u khối chóp lam giác, h) N ăm khối tứ diện a) Vì m ột khối hộp dược coi ghép bời hai khối lâng trụ, mà khối láng trụ có thề phân chia thành ba khối chóp tam giác, nên khối hộp dưực phân chia thành sáu khỏi chóp tam giác h) Khối hộp dược phân chia thánh năm khối tứ diện ACDA'; BCDC'; BA'Ii'C'; DA'C'D'; BDA'C\ Ví dụ 1.11 Cho khối tứ diện ẠBCD C him g m inh a) Trọng tâm mặt cùa khối đỏ m ật m ột tứ diện h) C c trung điẽm cạnh cùa khối lù đinh cùa m ột khối tám m ặ t đểu Lời giải a) Gọi Q ,M trung điém C D C B ; G j,G a,G 3,G trụng tâm mặt (A BC ),(A CI)),(A BD ) (BCD) Gọi a lã cạnh tử diện, ta có Tương tự G ,G = G ,G = G 2G = G ,G , = G 3G = ệ nên G,C.2G3G4 tứ diện cạnh b) Gọi N ,P ,R ,S lẩn lượt trung điềm cạnh AD.AB, AC,BD Theo tính chất đường trung bình, ta cỏ QM = QN = QS = QR — A p = PM = P N = P S = PR a =2 Vậy M RNSQP hinh bát diện Ví dụ 1.12 Chứng minh tám m ột cùa hình hút diện đêu Ci đinh hình lập phương Lịi giải Xét khối bát diện dều ABCDEF cạnh a Gọi ,M ,N ,P ,Q ,M ',N ',I> '.( lần tâm mặt ABCD, EAD, EAB, EBC, ECD, FAD, FAB, FBC,FCD Vi dinh A ,B,C,D cách E ,F nơn thuộc mặt phang, c ABCD hình thoi Mà E cách A.B.C, D nên ABCD hir vng, dó AC.BD đơi vng góc T dỏ A C ,B D ,E F địi mvng góc o Ta có MM' // E F MM' = ' E F = 3 Tưong tự N N ',P P ',Q Q ' song song 10 Bài 16.16 S(0; 0; 1), A(l; 1; 0), M(m; 0; 0),N (0; n; 0), m + n = 1 6' b) d(A, (SMN)) = Bài 16.17 Lập phương trinh cạnh cùa tam giác ABC biêt a) B(l; 2;3), C(0; - 2; 2) Phương trinh cạnh a ) Y s.O M A N AB: * k j ỉ Z ằ = Ĩ Z Ế , B C - ^ ^ ^ C A : ỉ fcZ ± * - Ĩ Z ? - 1 4 - b) B(3; 2; 3), C(l; 4; 3), A(l; 2; 5) Phương trình cạnh tam giác ABC là: BC: c) X= - X= y = + t , ( t € R) CA : y = - t , ( t e R ) A B i' y = z =3 z = +1 C(4; 5; 3), A ; f ; ’ X = - t (t R) z=5+1 58 41 9 ' I l : i3 ’ l3 , Phương trinh cạnh m ỉ = í s£ ậ a& ậ m : -1 10 Bài 16.18 SCI; 2; - ) , A(-3; 7; 1), C(l; 5; 5) AB a) I , 4' ; 2j Phương trình mặt phảng cần tìm 2x + 5v + 7z - 43 = b) Gọi M trung điếm cùa CD Ta có H ( - l; 6; 3) => HS = 6; HM = -ịL Vây HG = V2 BÀI T Ậ P C H Ù Đ Ể 17 Bài 17.1 0(0; 0; 0), A(a; 0; 0) B(0; b; 0), C(0; 0; c) a) Tọa độ điểm H H trực tâm hình chiếu cùa o abV x a 2b2 + b2c2 + c2a bc2a 'y a ¥ + b V +c V ' ca 2b2 a 2b2 + b2c2 + c2a 366 -4 10 d ( , (ABC)) = lj_ abc L Va2b2+b"c2+c2a2 Va2 b2 V % c) Khoáng cách cân tim - íaV b2 + c 2) + b4(c2 + a 2) + c4( a + b 2) - a 2b2c2 " 2V a 2b2 + b V + c2a d) Goi M(x; y; z) Ta có M e (ABC) => —+ — + —= a b c• x2 + y2 + z AM“ ( x - a ) + ý +z'2 có ^ = , p , _ OM- Tương tu ta di dến 2x 2x a *1 , , + e m ! + C M Ị OM- u _ AO2 BO- CO2 l OA OM2 , OH2 + e) + OB +^ oc2 +, MH2 OH2 + I)ề chứng m inh sin a + sin" p + sin" Y = c hú • n • V sin p n y < sin"a+.sin'y nên sin2a 2sin"a 2sin2a — 5T“ 1+ánPsiny + sin p+sin Ỵ -sin a Tương tự ta có vế irái T cùa bất đãng thức cần chửng minh thỏa I lay T + > * 2sin*a 2sin2p 2sin2Ỵ -sin "o t -sin ‘ P - s in 2y 1 \ k4-sin2a 4-sin2p 4-sin'y, 1 Ap dụng bảt dàng thức - + — + - > -, V x ,y ,z > ta dược X y z X+ y+ z T _ 72 _ 36 I+ > - - = — 12- ( s i n a + s i r r p + sin y) sin2 a s in '[ Ị sin y Vậy - - + — + — - > - + sin p sin y + s in y s in a + s in a s in P õ \fẽ Dâu đãng thức xav a = P=Y = a r c s in — 367 B ài 17.2 Chọn D = , tọa độ điểm A(2a; 0; 0), C(0; a; 0), D'(0; 0; a - ã ) , M(2a - m; 0; 0), K I a-m a a\Í2 a a>/2 ’ \ a; ; a) Thể tích khối tứ diện ^ATCID - Tầ T a2(2a 24 m )- 72 Thế tích lớn —- a M s A 12 b) Vì B 'C //A 'D nên thiết diện hinh thang B'CMN Diện tích thiết diện SB B C M N 3^2 a % -r • J / VT a>/2 AA' c) Ta có: d(N, B M) = —-— = —— 2 Nên đường tháng B'M tiếp xúc với mặt cầu dirờng kính AA' Bài 17.3 Vì góc BÃC = 120° nên chọn hệ tọa độ hình vẽ, gọi H ,K hình chiếu B' trục Ox.Oy Ta tim tọa độ điêm A'(0;0;0) B' C'(0; 2a; 0),A(0; 0; 2aVo), B 2 C(0; 2a; 2a>/5), M(0; 2a; aVõ) +) Ta có BM M B MA' 368 _ V õ a ; a ^ Ị A/3) +) V.S ACD +) Gọi (J) góc SB AC Ta có: costp = cos(AC, SB)| = => ự = 45" Bài 17.7 Hệ trục tọa độ Bxyz với B(0;0;0) A(a; 0; 0) B'(0; 0; 3^2) C(0; a; 0),A '(a; 0;aV2),C'(0;a;aN/2) +) Thề tích khối lăng trụ a 3>/2 a + )T M ; ^ ; suy d(AM B'C) = V Bài 17.8 Ta có BC = 2a Hệ trục tọa độ Bxyz với B(0;0;0), A(a; 0; 0), C(0; 2a; 0),B'(0; 0; 2a), A'(a; 0; 2a),C'(0; 2a;2a), T A I = - A M suy tọa độ 2a 2a 4a \ điềm I X ' T ' T ỳ +) Thể tích khối chóp IABC VIABC = - | [ a B, AC].AỈ +) Khoàng cách cần tim d(A, (IBC)) = ^ ^ - a 370 Hài 17.9 Gọi o tâm tam giác ABC K trung điểm BC Đặt SO = h h > Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O x//B C (hình vẽ) z Tọa độ đièm A a 2' ' ’ , S(0;0;h) Vì M N trung điểm cua SA.SC nên M aVã h < 2/ N +) T BM -L AN a aVã h 12 BM.AN = o h = — +) Thể tích khối chóp VSABC = - a +) Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thuộc s o => 1(0; 0; b) T IS = IA suy m = 84 a, Bán kính mặt cẩu ngoại tiếp hình chóp S.ABC R = IA = ^ —^ - a Hài 17.10 Chọn hệ trục tọa độ với C(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0) Trục Cz vng góc với mặt phăng (ABC) Gọi M(x; y; z) Ta có M A ' + MBJ < MC2 tương đương với (X - a)2 + (y - b)2 + z2 < => M(a; b; 0) Tức có m ột điềm M thỏa mãn đinh hinh chữ nhật ACBM Bài 17.11 Dựng hình lập phương ngoại tiếp tử diện A ,A 2A nA Gọi I tàm tử diện dều la có a = cạnh cua hình lập phương 371 Tọa độ đinh // # A3(0; 0;a), A.ị(a; a; a) // // Mặt phảng (p) qua l Ị | ; I nên có phương trình dạng Aị a A< o e —/ _ A ,(a; 0; 0), A2(0; a; 0), y í4 a x + Py + ỴZ = ệ ( a + P + y), - J /t • • a n2 + p + Y A > X Tính A,Bĩ = a /A ị +B +Y Tương tự suy T = A,B| + AaBj + A.ịBỊ + A ,B [ có giá trị a* + p4 + y' + 6(ct2p2 + p y + y V ) ' ( a + p +Ỵ2)2 7a' 7c4 * 12 " 48 ■ Giá tri lớn nhât tông ——, đat chi (P) 18 • UẦ tron g ca c m ãt phang: X + y + z = — -— c; n /2 x - y + z = — c; 72 x - x + y + z = —— c n o ă c V2 x + y - z = — c Tức lả (P) qua tâm tứ diện song song với mặt cùa tứ diện A1A ,A 3Ai| Hãi 17.12 Dựng hình lập phương ngoại tiếp hình vẽ Gọi a b lằn lượt dộ dài cạnh cùa tử diện hình lập phương Tọa độ dinh A(b; 0; 0),B(0; b; 0),C(0; 0; b) D(b; b: b) o b b bì Phương trình mặt (A BC):x + y + z - b = 0, (B C D ):-X + y + z - b = 0, (C D A ): x - y + z - b = 0, (D A B ): x + y - z - b = Gọi M(x; y; z) dật T - d 2(M,(ABC)) + d2(M,(BCD)) + d 2(M,(CDA)) + d2(M,(DAB)) 372 X — X — b—f l ) + í bí b Ta có T = bf b2 I A z —— + — = k nên 2) +K J + Ý ( 12 a + z —— = - k - — b b y— k 2, 2) OM- = - / / Từ ta có thi Ị M } = + )N ế u k = ^ o, \ Ỡ R= D Í X thi M o / B ỷ A ihì M thc mãt *x +) N ếu k > —— % i \ o + ) Nếu k < — câu tâm A' //•»% v/3 /k2 _ ^ BÀI TẬP CHỦ ĐỂ 18 Hài 18.í Giải phương trinh a) sin X + Vl + c o s X + s i n x.yỊ2 - sin ' X = Chọn ũ(sin x; 1; V2 —s i n X),v( 1; \J2 - s i n ' x; s in x ) sử dụng bất đẳng llurc ũ.v < |ũ|.|v| ta có sin X + y Ị Ĩ + c o s ' X + s i n X J ‘2 - s in ' X < 71 Nghiệm cùa phương trinh iã sin X = o X = - + k2n (k e Z) h) x + 2>/x + + 4V2 - X = n / h + X -3 X Chọn ũ(l;2 ;2 ),v (x ; Vx + ; v/s - x ' ) thi |ũ| - 3;|v| - \Ị\T+ X - x 2;ủ v = X + 2Vx + + V2 - X2 Vận d ụ n g bất đẳng thức ủ.v < |ũ|.|v| Nghiệm cùa phương trinh X Bài 18.2 Giai hệ phương trình X+ y + z = a) X“ + y + z ' = X3 + y3 + z3 = 373 Đặt ũ (l;l;l),v (x ; y; z) thi từ hai phương trinh dầu tiên ta có ủ.v = |ù|.|v|, = y = z = Thừ lại thấy nên nghiệm cúa hệ nên suy b) X X = y = z = X2 + y + z =14 X4 + y + z = 13 Đặt ủ(l;2 ;3 ),v (x 2; y2; z2) từ hệ ta có ũ.v = 14 > 13 = |ú|.|v| nên hệ đă c h o v ô nghiệm Vx2 + (y + 6)2 + z + Vy2 + (z + ? + X2 = Vế c) •Jy2 + (z + 6)2 + X + yjz2 + (x + 6)2 + y2 = \ f ẽ yjz2 +(x + 6)2 + y2 + 7x2 + (y + 6)2 +z2 = 4n/6 Giài Ví dụ 18.2 ta Bài 18.3 Điều kiện tim nghiệm cùa h ệ X = y = z = -2 -a< x £ a; - a ỉy < a ; -a ^ z ắ a Xét ii(Va + x; sja + y\ yja + z),v(Va - x ; a - y ; Va - z ) , w(l; 1; 1) thi hệ - - - a + l u.w = (u.w)2 + (v.w)2 = 18a tươ ng đ u n g với v.w = I« -1 (ii.w)2dủ w = 3(x +y + z + 3a) Ta có ■ ,2 (v.w)z áỊvỊ ,|w| =3(x + y + z - a ) (ủ.w) + (v.w) < 18a Vi hệ có nghiệm chi có dấu đảng thức: ũ w = |ũ |.|w | v.w = |v|.|w| Từ ta tìm nghiệm cùa hệ z = — a Bài 18.4 Tìm tham số m đê hệ phương trình có nghiệm X = y = (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z + l)2 =16 a) X+ m y + z = 2m - x-z =2 Hệ phương trình gồm mặt cầu tâm 1(1; 2; - 1), R = dirỡng thẳng giao tuyến cùa hai mặt phẩng X- z = Dễ thấy dường tháng qua điếm cố X + m y + z - 2m + = định M (-l; 0; - 3) Vì điềm M nằm mặt cầu nên hệ ln có hai nghiệm phân biệt 374 ( x - l ) a + ( y - ) a + z* * b) | ( x - ) + (y + 2)2 +(z + l)2 = (m - 4)x - y + m z = 111- G Hệ phương trinh gồm mật phăng ( p ) : ( m - ) x - y + m z - m + = hai mặt cầu I , (1; 2; 0) R, = 2; Ij(2; - 2; - ) , Rọ = Hai mặt câu cất theo giao tuyến đường tròn (C) Phương trinh mặt phẩng chứa tâm cua (C) (Q ): 2x - 8y - 2z + = Vi hai điếm Ip I2 e ( P ) nên (P) qua tâm (C) (P),(Q) phân biệt, (P) ln cắt (C) hai điềm phân biệt với m Vậy với m hệ ln có hai nghiệm phàn biệt Bài 18.5 Hệ gồm mặt cầu lâm 0(0;0;0), bán kính R = 2\Íẵ d irờ n g thărm d g ia o tu y ê n c ủ a h m ặ t p h ã n g m x + y + z - m + = 0, X + y - = V é c t c h i p h n g c ù a d ũ d ( l ; - ; - m ) Đường ihăng d di qua điểm cố định M(l; 1; - ) năm mặt cầu nên (1 cắt mặt cầu hai điểm phân biệt Tức hệ ln có hai nghiệm phân biệt với m Gọi nghiệm A(Xj; y,; z,), B(x2; ya; z2) thi AB2 = (x2 - X, ? + (y2 - y , )- + (z2 - z , ) Dây cung AB qua điếm cố định M nên dây nhó chi AB vng góc với OM tức AB.OM - o ũj.O M = o m = Vậy giá trị cần tim m m = Bài 18.6 Giài bat phương trinh a) SỈX + + \l'2 x - + \ j - x £ 12 D iều k i ê n — < X < — _ _ Xét ũ(l; 1; l),v(Vx + l; V‘2x - ; \J50 - 3x) thi bất phương trình tương dương với ủ v |u |.|v | (luôn dũng) V ậ y n g h i ệ m c ù a b ất p h n g trìn h - b) ” () ^ X< — X - > / x a + - W l - x'2 + x / - x < X ét ũ(l; - ; - ) , v ( x - 1; V3x2 + ; V - x ) ý |ũ | = 3;| v| = n/ - x , u v '= x - - > / x2 + - \ / - x Theo bất đẳng thức ũ.v + |ũ |.|v| > ta có X- 2v/3x- + - W l - X + 3n/9- 2x - > Nơn bất phưcmg trình có nghiệm có đẳng thức, hay X = 375 B ài 18.7 Cho số thục a;b ;c;x ;y ;z C hứng m inh a) (X2 + y + z2)2 ;>(X2 - y z ý + (y - zx)2 + (z - xy)2 Nếu ũ(x; y; z),v(y; z; x) thi [ủ; v] = ( x y - z ‘ ; y z - x 2; \ - y 2) Bấl dăng thức cẩn chứng minh tương dưcrnu với |ũ|.|v| > |[ũ; v] (luôn đúng) b) (a2 + b2 + c 2)(x ’ + y + z 2) ằ ( a y - b x ) + ( b z - c y ) + ( c x - a y ) Ncu ủ(a; b; c),v(x; y; z) [ủ; v] = ( b z - c y ; c x - a z ; ay - bx) Bất đãng thức cần chứng minh tương dương với |ũ |.|v |> |[ũ; v]| (luôn đúng) Hài 18.8 Cho số thực a;b;c Chứng minh a) Dặt t = a + b + c , t e R Gọi T lã vế trái cua bất đãng thức Xét ba véc tư ù(a; b; c ),v (l - b ; —c; - a ) , w (l - c ; l - a ; - b ) Ta có T = |ũ| + |v| + Ịw| Áp dụng bất đăng thức |ũ| + |v| + |w| > |ũ I V + w| ta T > Vt* + ( - t ) + (3 - 1)2 => T > ^ ( t - ) + ầ SỈ6 Bất dăng thức chứng minh Dấu đẳng thức có a = b = c = — •^ h) C'hú ý ràng: a + b2 + c2 + ab -f ac = a l n/2 Xél ba véc tơ li a — + h + I —+ c ) a a a ; ^ + h; = + c |, v J '2 c c -7=; - + a; SỈ2 Áp dụng hất đãng thức |ũ| *- |v| + |w| > |ũ + V + vv| ta VT > (a + b + c)‘ + —(a + b + c)2 + —(a + b + c)* o VT > yjõ(a + b + c)2 = \/o |a + b + c| ầ \ỈE(a + b + c) Bất đãng thirc dược chirng minh Dắu đáng thức có a = b = c > c) Xét bòn véc tư ũ(cos' a; cos2 b; cos' c), v(sin‘ a; 0; 0), w(0; sin b; 0),z(0 ;0 ;sin c) Ta có ũ + V + w + z = (1: 1; 1) Từ hất dáng thức |iiỊ + |v| + |w| + |z| > |ủ + V + w + 7.\ ta có diều phái chứng minh Dấu đảng thức có hạn sin a = sin b = sin c = 376 Bài 18.9 Gọi M(x; y; z ) (P) với (P): x - y - z + = a) Ciọi A(l; - : 2) B(2; 0; 1) Bất đằng thức cần chứng minh trở thành MA + MB yfĨ9 Chú ý A B phía so với (P) hình chiếu (P) điếm đối xứng , cúa A qua , ,, (P) l n lươt H H \ 8) — A 3/ 1 10 — nên 3 ; MA + MB = MA' + MB > A'B = yfĩ9 lìát thức dược chứng minh 1 12 y =-; - — 5 b) Gọi A(l; - ; 2), C(-2; 1; 0).T a có MA - MC = MA' - MC £ A'C Dâu đăng thức có X = Mà A'C = —12Ẽ nên có điều phai ch ứ n g minh nDâu i đăng ,• cỏ x = —7 ; y = 5—; z_ = —10- thức 3 X* + y * + z = lỉài 18.10 Vì hệ phương trinh X- y + z = v ô n g h iệ m n ê n p lu ô n x c 1+ = dinh với x;y;z thoa điều kiện toán X2 + y* + z2 = T a tì m p đ ẽ h ệ p h n g t r ìn h s a u c ó n g h i ệ m X- y + z = x +y -P z -2 -2 P =0 Từ dó tìm dược +) m ax p = đạl X = 2; y = 0; z = 622 604 242 _ +) I’ = ———, đạt kliiX = —— : y = — — ; z = — 291 291 291 291 lỉài 18.11 Có a b c hàng sổ x;y;z thay đôi thỏa —+ —+ —= X y z c) Xét véc tơ ú(\fx: J v ; V z ) v —; \ \X Ta có: Vã +\lb +s[c =ũ.v < ki!-Iv| — u* y >z = Jx + y + z —+ —+ V X y z Do A > (y/ã + \ỉh + •Jcý 377 Dăng thức có \[ã + V b + yfc yjb + \fc ’ Vã + \fã + >/b + yfc Vậy giá trị nhò cùa A (\/ã + Jĩ) + \ícỷ d) Xét véc tơ ii(a; b; c ) , v ( —; —; \x y T a c ó : = ủ.v £ |ủ |.|v | = \Ja2 + b2 + c 2.] —ộ + —ỊT+ - ĩ VX y za Do B ầ —— - Dâu đăng thức có a +b +c a + b + c2 a + b* + c2 a2 +b2 +c2 x = ; y = - - ; z = - -a ề Vậy giá trị nhò nhât B a2 + b +c2 ' Bài 18.12 Cho sô thực dương x;y;z thoa m ã n X + y + z < Đăt t = x + y + z = > < t < , - í r £ — t 36 VĨ45 a) Xét véc tơ li y; — — ; N w z + X Ta có A = |ủ | + |v|+ lw| èlii + V + w| Do đỏ A > (x + y + z)2 + 145 1 + + Vy + / z + X — — L 362 6561 Hay A > ^ +- I i ^ + = ^ + ( V t + 4t2 Dấu đ ẳ n g thức c ó X = y = z = x +y +9 ~ _ 45 ” Vây giá tri nhỏ cùa A — b) Ta có: B > J l ( x + y + z)2 + 5(y + z + x)2 + 1890 36 t ị 121986 1137 >3 t* Vậy giá trị nhò B 3^ —7 —- X = y = z = ***************************** 378 T À I LIỆU T H A M K H Ả O 11 ] Báo "Toán học tuồi tré ", Nhà xuất ban giáo dục [2] Cúc đề thi tuyến sinh đại học cao đằng, Bộ giáo dục đào tạo [3 ] Diễn đàn toán học, http://www.math.vn [4j Sách giáo khoa Toán 12, Nhà xuất hán giáo dục, 2008 Ị5] P h an Đ ức C h ín h , P h ạm Văn Điều, Đổ V ăn Hà, P h an V ãn Hạp, Phạm V ăn H ùng, P h m Đăng Long, Nguyễn V7ăn M ậu, Đỗ T h an h Sơn, Lé Dinh T h ịn h , M ột số phương pháp chọn lọc g iái cúc luân sơ cắp, Nhà xuất hán giáo dục, 1995 |fi] P h an C u n g Đ ức, 123 lụp chọn lọc vè khối không giun g iai phương pháp hình học Nhà xuất ban dại học quốc gia Hà Nội 2010 |7], Nguyễn V ăn D ũng, Nguycn T ấ t T h u , Tóm lắt kiến thức toán TH PT (dưới dạng hàng sơ đồ), Nhà xuất giáo dục, 2010 |X| T r ầ n T h n h M in h , P h an L ưu B iín, Vũ Vĩnh T hái, P h a n T h a n h T hicn, Giai tốn hình học 12, Nhà xuất ban giáo dục, 2002 [9] I)ỗ T hỉinh Sơn, Phép biến hình khơng gian, Nhà xuất hàn giáo dục 2005 (10] Đ ỗ T h a n h S n, MỘI số chun đề hình học khơng gian, Nhà xuất giáo dục, 2010 11 I ] IK Sharygin, Tuyến tập 34(1 hài tốn hình khơng gian (Problem s in Soliíi Geometry) Nhà xuất thành phố Hồ Chí Minh 1998 112] Trần Văn Tấn, Bài tập nâng cao sổ chuyên đề Hình học 12 Nhà xuất giáo dục, 2008 379 MỤC LỤC Chủ đé Khối đa d iệ n Chu đé Phép biến hình khơng gian 12 Chú đé Những vấn đé chung vé tich - Thể tích khỏi lãng trụ 22 Chủ đé Thế tích khói chóp 39 Chủ đé Ti sổ tic h 57 Chù đé Phương pháp thể tíc h 71 Chủ đé Các toán tống họp 82 Chú đé Mặt cầu, khói cầ u 93 Chú đế Mặt trụ, m ặt n ó n 1107 Chủ đé 10 Hệ tọa độ không g ia n 1158 Chủ đé 11 Phưong trin h m ầt p h ả n g 1176 Chù đề 11 Phương trinh m ặt p h ả n g 1196 Chú đé 13 Phương trin h m ặt c u 2225 Chư đé 14 Cục tri o n g hinh không g ia n 2238 Chủ đé 15 Bài to ản xác định tọa độ điém véc tơ không g ia n 2272 Chú dề 16 Bài tập tổng h ọ p .2282 Chủ đé 17 ứ n g dung phưong pháp tọa độ, giải tốn hinh khịng gian tổng họp 3C04 Chủ đé 18 ứng dung phương pháp tọa độ, giải tốn đại só 3321 ... gọi mặt phẳng dối xứng cùa hình (H) chi qua phép đối xứng qua mặt phảng (P) hình (H) biền thành chinh o Hai hình gọi bàng tồn phép dời hình biến hình thành hinh ■ Hai hình tứ diện chi chúng có... F ABEH, F AHGD Như hình lập phương HEFG.ABCD chia thành hì n chóp mà hình chóp hình chóp F.ABCD Từ suy có thc ghép ba hinh chóp bang hình chóp F.ABCD đè hình lập phưcmg r 18 Ví d ụ 2.10 Cho lú... Sô cạnh Sô măt {3:3} Khối tứ diện {4:3} Khối lập phương 12 (3;4| Khối tam mặt 12 {5;3} Khối mười hai mặt 20 30 12 13:5} Khối hai mươi mặt 12 30 20 M ộ t số Iiliận xét +) Chi có khối đa diện có