Lý thuyết sai số và phương pháp số bình phương nhỏ nhất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRẦN QUỐC BÌNH LÝ THUYẾT SAI s ố VÀ PHƯƠNG PHÁP SỐ BÌNH PHƯƠNG NHỎ NHẤT NHÀ XUẤT BẢN NÔNG NGHIỆP H À N Ộ I - 2005 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU .6 CHƯƠNG I Cơ SỞ LÝ THUYẾT SAI s ố .7 1.1 Khái niệm phép đ o 1.2 Nhiệm vụ lý thuyết sai số 1.3 Sai sô" đo đ c 1.4 Các tiêu chuẩn đánh giá độ xác kết quẩ đo 11 1.4.1 Sai sô" tuyệt đối 11 1.4.2 Sai số tương đốì .18 1.5 Sai sô" trung phương hàm trị đo 20 1.6 Sai sơ" làm tr ị n .24 1.7 Sai sô" hệ thông phương pháp làm giảm ảnh hưởng ch ú n g 26 1.7.1 Ảnh hưởng sai sơ" hệ thơng tới độ xác trị đo 27 1.7.2 Anh hưởng sai sơ" hệ thơng tới độ xác trị trung bình sơ" h ọ c 27 1.7.3 Ánh hưởng sai sô" hệ thống tối độ xác tổng trị đo có độ xác 28 1.7.4 Các biện pháp làm giảm ảnh hưởng sai sô" hệ th ô n g 29 Bài tập chương 33 CHƯƠNG II XỬ LÝ CÁC KẾT QUẢ ĐO MỘT ĐẠI LƯỢNG 34 2.1 Xử lý kết đo đại lượng có độ xác 34 2.2 Trọng sô" trị trung bình trọng sơ" 37 2.2.1 Khái niệm trọng số*vàtrị trung bình trọng sơ" 37 2.2.2 Trọng sô"của hàm trị đo 39 2.2.3 Vấn đề tính trọng số*và sai sơ" trung phương trọng sô' đơn vị 41 2.3 Xử lý kết đo đại lượng không độ xác 43 2.4 Đánh giá độ xác dãy trị đo kép 46 2.4.1 Sai sô" hệ thống không đáng k ể 47 2.4.2 Sai sơ" hệ thơng cần phải tính đ ến 47 Bài tập chương I I 50 CHƯƠNG III KHÁI NIỆM VỀ BÀI TỐN BÌNH SAI VÀ NGUYÊN TAC SỐ BÌNH PHƯƠNG NHỎ NHẤT 51 3.1 Khái niệm tốn bình s a i 51 3.2 Ngun tắc sơ"bình phương nhỏ n h ấ t 5b Bài tập chương I I I 55 CHƯƠNG IV PHƯƠNG PHÁP BÌNH SAI THAM s ố 57 4.1 Bài tốn bình sai tham sơ" 57 4.2 Các bước giải tốn bình sai tham sơ" 59 4.3 Dạng ma trận tốn bình sai tham s ố 64 4.4 Đánh giá độ xác theo kết bình sai tham sơ' 66 4.5 Một sô' dạng phương trình sơ" hiệu chỉnh lưới trắc địa 71 4.5.1 Các phương trình sơ' hiệu chỉnh lưới thủy chuẩn 72 4.5.2 Các phương trình sơ"hiệu chỉnh lưới trắc địa mặt 73 Bài tập chương IV 83 CHƯƠNG V PHƯƠNG PHÁP BÌNH SAI ĐIỂU K IỆN .85 5.1 Bài tốn bình sai điều k iện 85 5.2 Các bưốc giải tốn bình sai điều k iệ n 88 5.3 Dạng ma trận toán bình sai điều k iện 92 5.4 Đánh giá độ xác theo kết bình sai điều kiện 94 5.5 Một sơ" dạng phương trình điều kiện lưới trắc địa 97 5.5.1 Các phương trình điều kiện lưói thủy ch u ẩn 97 5.5.2 Các phương trình điều kiện chủ yếu lưới tam giác đo góc .98 5.5.4 Các phương trình điều kiện lưới đường chuyền 106 5.6 So sánh phương pháp bình sai điềukiện bình sai tham sơ' 110 Bài tập chương V 111 CHƯƠNG VI PHƯƠNG PHÁP BÌNH SAI KẾT H ộp VÀ BÀI TỐN TÍNH CHUYỂN ĐỔI TỌA ĐỘ 113 6.1 Phương pháp bình sai kết hợp 113 6.1.1 Cơ sở tốn học phương pháp bình sai kết hợp 113 6.1.2 Một số* dạng phương pháp bình sai kết hợp 115 6.2 Bài toán chuyển đổi tọa độ 118 6.3 Tính tốn tham sơ"chuyển đổi Helmertgiữa hai hệ tọa độ vng góc phẳng 119 6.3.1 Mơ hình chuyển đổi với điểm xoay tâm tọa độ (mơ hình 1) 120 6.3.2 Mơ hình chuyển đổi với điểm xoay nằm ngồi tâm tọa độ (mơ hình 2) .122 6.4 Tính.tốn tham số*chuyển đổi Helmert hai hệ tọa độ vng góc khơng gian gần n h a u 127 6.4.1 Mơ hình chuyển đổi với điểm xoay ỏ tâm tọa độ (mơ hình 1) 127 6.4.2 Mơ hình chuyển đổi với điểm xoay nằm ngồi tâm tọa độ (mơ hình 2) .130 Bài tập chương V I 140 ĐÁP SỐ VÀ LÒI GIẢI CỦA CÁC BÀI TẬ P 142 PHỤ LỤC 155 A Một sô" khái niệm Lý thuyết xác suất Thơng kê tốn học 155 B Bảng hàm Laplace 168 c Ma trận hệ phương trình tuyến tín h 169 D Tuyến tính hóa chuỗi Taylor 183 E Tìm cực trị có điều kiện hàm Lagrange 185 TÀI LIỆU THAM KHẢO 186 LỜI NĨI ĐẦU Lý thuyết sai sơ" Phương pháp sơ" bình phương nhỏ n h ất mơn học chương trình đào tạo cử nhân khoa học ngành Địa trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Đây mơn học khó, song đóng vai trị then chốt khôi môn học công nghệ địa Có thể nói tấ t lĩnh vực đo đạc trắc địa - đồ đo vẽ địa chính, đo vẽ địa hình, trắc địa cao cấp, trắc địa ảnh, xử lý ảnh sô", hệ thông định vị tồn cầu GPS, có liên quan đến nội dung Lý thuyết sai số Phương pháp sơ" bình phương nhỏ Do thời lượng mơn học có hạn nên giáo trình biên soạn với tiêu chí giói hạn kiến thức nhất, song kiến thức trình bày chi tiết chặt chỗ nhằm giúp học viên nắm vững vấn đề đưa Nội dung giáo trình khơng đề cập đến sơ" vấn đề nâng cao phát sai sô" hệ thông sai sơ" thơ lưới trắc địa, bình sai lưới trắc địa không gian lưới trắc địa m ặt đất - vệ tinh, bình sai lưới tự do, th u ật toán nâng cao sử dụng bình sai, Người đọc quan tâm đến vấn đê tham khảo thêm tài liệu liệt kê danh mục cuối giáo trình Lý thuyết sai sơ" Phương pháp sơ' bình phương nhỏ n h ất môn học dựa nển tảng Lý thuyết xác suất, Thống kê toán học Đại sơ" tuyến tính Do đó, phương pháp học mơn tương tự đổi với Tốn học cao cấp: học viên học thuộc công thức giáo trình mà cần nắm ý tưởng phương pháp lập luận để đưa công thức đó, cần tự suy luận chúng tra cứu tài liệu Để giúp đọc nắm vững kiến thức lý thuyết, giáo trìn h có sơ' lượng lớn ví dụ tập tính tốn Sau học xong chương lý thuyết, học viên nên tự giải tập chương so sánh với đáp sơ" lịi giải trình bày tóm tắ t phần cuối giáo trình Ngồi ra, để nhanh chóng tiếp thu kiến thức ]ý thuyết, cần ôn lại kiến thức Toán học cao cấp trình bày phần phụ lục Trong trình biên soạn giáo trình, tác giả nhận nhiều đóng góp quý báu đồng nghiệp khoa Địa lý chuyên gia Bộ Tài nguyên Môi trường Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc n h ất tới nhà giáo, nhà khoa học giúp đỡ hồn thành giáo trình Đây giáo trình biên soạn lần đầu nên tránh khỏi sai sót khiếm khuyết Tác giả rấ t mong nhận đóng góp, phê bình học viên nhà khoa học Hà Nội, tháng 10 năm 2005 TÁC GIẢ Chương I Cơ SỞ LÝ THUYẾT SAI s ố Lý thuyết sai sô" khca học nghiên cứu nguyên nhân xuất hiện, luật phân phối tính chất sai số đo đạc, sỏ đề xuất phương pháp đo xử lý kết đo nhằm đảm bảo độ xác cần thiết 1.1 KHÁI N IỆM VỂ P H É P ĐO Phép đo đem so sánh đại lượng cần đo vối đại lượng loại chọn làm đơn vị Trong đo đạc địa chính, đại lượng đo thường khoảng cách, góc, độ cao (hay chênh cao) tọa độ (hay sô" gia tọa độ) Để tăng độ xác, đại lượng thường đo nhiều lần Người ta phân biệt phép đo có độ xác phép đo khơng độ xác: - Các phép đo có độ xác thực dụng cụ (hay dụng cụ có độ xác), theo phương pháp điều kiện giông Ví dụ: đo góc ngang hay góc đứng máy kinh vĩ có độ xác theo phương pháp sơ" lượng vịng đo, đo khoảng cách nhiều lần thước dây theo phương pháp, - Nếu điều kiện khồng thực phép đo coi khơng độ xác Ví dụ: đo góc theo phương pháp sơ" lượng vịng đo với máy kinh vĩ khác độ xác, đo khoảng cách lớn thước dây có chiều dài khác nhau, Trong thực tế, có rấ t nhiều yếu tơ" ảnh hưởng đến độ xác kết đo chúng khó xác định nên người ta thường đưa kết luận phép đo có độ xác hay khơng dựa theo kinh nghiệm tiêu đánh giá độ xác (được nghiên cứu mục 1.4) Đế giải tốn đo đạc địa chính, ta thường phải đo nhiều đại lượng Chẳng hạn, từ điểm A B biết trước, để xác định vị trí điểm c m ặt phẳng cần đo n h ất đại lượng Sơ" đại lượng tối thiểu phải đo để giải toán đặt gọi sô'đại lượng cần đo Như sô" đại lượng cần đo để xác định vị trí điểm m ặt phẳng Trong đo đạc địa chính, để tăng độ xác, người ta thường đo nhiều đại lượng số cần thiết Hiệu sô" đại lượng thực tế đo sô' đại lượng cần đo gọi s ố đại lượng đo dư (hay gọi số đại lượng đo thừa [2]) Như vậy, sô" đại lượng cần đo k, thực tế đo n đo dư r có mốì quan hệ sau: r =n - k (1.1) Ví dụ 1.1 a Để xác định khoảng cách AB người ta đo thước dây lần Như vậy, số đại lượng cần đo 1, sô' đại lượng đo dư b Một tứ giác trắc địa có sơ đồ hình 1.1 Để xác định tọa độ phẳng điểm c D biết tọa độ A B, người ta đo góc đánh số sơ đồ khoảng cách CD Bởi để xác định tọa độ (x,y) điểm mặt phẳng cần đo đại lượng nên sô' đại lượng cần đo k = 2x2 = 4, số đại lượng thực tế đo « = + 1=9, số đại lượng đo dư r = n - k = - = Hình 1.1 Sơ đồ tứ giác trắc địa (ví dụ 1.1) 1.2 NHIỆM VỤ CỦA LÝ THUYET sa i số Một phép đo cho dù có thực cẩn th ận có sai số Việc hoàn thiện phương pháp đo đạc dụng cụ đo, việc nâng cao trìn h độ ngưịi đo làm tăng độ xác kết đo khơng thể triệt tiêu hồn tồn sai sơ Bởi vậy, thực tế người ta thường thực đo đạc với độ xác cho trước Việc đặt độ xác cho trưốc việc đánh giá độ xác kết đo nhiệm vụ chủ yếu lý thuyết sai sô" Lý thuyết sai số nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu nguyên nhân xuất lu ật phân phối sai số đo đạc sai sơ" tính tốn, sở đề xuất phương pháp làm giảm ảnh hưởng chúng Xác định giá trị tin cậy nh ất đại lượng đo Đánh giá độ xác kết đo hàm chúng Xác định giới hạn để loại bỏ trị đo không đạt yêu cầu nhằm đảm bảo độ xác cần thiết 1.3 SAI SỐ ĐO ĐẠC Như biết, phép đo có sai sơ", tức khác biệt giá trị đo giá trị thực Nguyên nhân phát sinh sai sô' q trìn h đo đạc, ngồi đối tượng đo cịn có tham gia người đo, dụng cụ đo mơi trường xung quanh Tồn điều kiện luôn thay đổi theo thời gian khơng thể đánh giá xác triệt tiêu ảnh hưởng chúng Bởi vậy, kết đo khác giá trị thực lần khác Nếu gọi tập hợp yếu tô" ảnh hưởng đến kết đo: đối tượng đo, ngưòi đo, phương pháp đo, dụng cụ đo mơi trường xung quanh điều kiện đo cho dao động kết đo thể thay đổi điều kiện đo Để nghiên cứu tính chất sai sơ’ tốt n h ất biết giá trị thực đại lượng đo Trong thực tế, coi giá trị thực giá trị đại lượng đo biết với độ xác cao, có sai số nhỏ nhiều so vối sai sô" phép đo mà thực Ngoài ra, có số hàm đại lượng đo có giá trị thực biết trước, ví dụ tổng góc tam giác 180°, Lổng chênh cao tuyến t h ủ y chu ẩn khép kín 0, hiệu kết đo đại lượng 0, Khi đo đại lượng có giá trị thực X sai sơ'thực kết đo (hay trị đo) X xác định công thức sau: e =x - X (1.2) Nếu biết sô" lượng lớn sai số thực nghiên cứu quy lu ật xuất chúng Tuy nhiên, đa số trường hợp, giá trị thực X (và suy sai số thực 9), Bởi vậy, để nghiên cứu tính chất sai sô", người ta thường sử dụng phương pháp nghiên cứu gián tiếp nghiên cứu lu ậ t phân phôi xác suất trị đo hay hàm trị đo Khi ta đo đại lượng kết đo chịu ảnh hưởng vơ số yếu tố" khác Ví dụ đo góc ngang máy kinh vĩ có nguồn sai sô" sau: sai số hiệu chỉnh máy, sai sô' định tâm máy, sai số bàn độ ngang, sai số phận đọc kết quả, sai số người đo ngắm mục tiêu đọc kết quả, sai sô" khúc xạ tia ngắm, không ổn định điểm ngắm máy kinh vĩ, ảnh hưởng nhiệt độ khơng khí, v ề phần mình, sai số hiệu chỉnh máy lại bao gồm sai số trục ngắm không vuông góc với trục quay ơng kính, trục quay máy khơng vng góc với trục ống thủy dài, Nếu phép đo thực cẩn th ận yếu tố có ảnh hưởng rấ t nhỏ so vói tổng ảnh hưởng chúng tới kết đo Khi đó, theo định lý giới hạn tru n g tâm lý thuyết xác su ấ t kết đo có ph â n phối chuẩn (xem phụ lục A.3) Theo nguồn gốc phát sinh quy lu ật xuất hiện, sai số đo phân loại th àn h sai số thô, sai số hệ thơng sai sơ' ngẫu nhiên • S a i s ố th (hay cịn gọi sai lầm hay sai sô' lớn) p h át sinh lỗi lầm hay thiếu trách nhiệm người đo hỏng hóc máy đo Ví dụ đo khoảng cách nhiều đoạn ngắn người đo đếm nhầm số đoạn, đo góc quên khơng khóa vành độ ngang, Sai số thơ cần p h át loại bỏ khỏi kết đo Phương pháp đơn giản n h ất để p h át sai sô" thô đo lặp nhiều lần đại lượng phân tích thống kê dãy kết th u đưực Phương pháp đơn giản tôn nhiều công sức, xây dựng lưới trắc địa có nhiều đại lượng đo Do đó, việc đề xuât phương pháp phát sai số thô vấn đề cấp thiết Lý thuyết sai s ố ‘ • S a i sơ h ê th ố n g sai số phát sinh theo quy lu ật n h ất định từ nguồn Nếu xét sai sơ" hệ thơng đại lượng ngẫu nhiên kỳ vọng thường khác Ví dụ sử dụng thước dây có chiều dài thực lớn danh nghĩa (20,0lm thay 20,00m) kết đo bao giị nhỏ khoảng cách thực Trong nhiều trường hợp, sai scí hệ thơng số khơng đổi giá trị dấu" Các phương pháp giảm thiểu sai sô" hệ thông nghiên cứu mục 1.7 • S a i s ố n g ẫ u n h iê n sai sô" không p h át sinh theo quy lu ật định Nếu xét sai sô" ngẫu nhiên đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng gần Ví dụ: sai số định tâm máy, ngắm khơng xác vào mục tiêu, ước lượng phần lẻ đọc kết vành độ đo góc " sai sơ" lực căng khơng đo khoảng cách thước dây, Các sai sơ"làm trịn đo đạc tính tốn sai sô" ngẫu nhiên Thông thường, sai số ngẫu nhiên tuân theo lu ật phân phối chuẩn, trừ sơ" trường hợp ngoại lệ sai số làm trịn tuân theo lu ật phân phôi Chú ý điều kiện đo thay đổi số nguồn phát sinh sai số hệ thông trở thành nguồn phát sinh sai sô’ngẫu nhiên ngược lại Một sô" tính chất sai sơ" ngẫu nhiên: 1Người đọc có th ể th a m khảo thêm v ấn đề [12] " T ro n g m ột sô’ tà i liệu, sai số hệ th ố n g coi có d ấu k h ô n g đổi K h ắn g đ ịn h khơng hồn tồn ch ín h xác vi có m ột sơ" trư ng hớp n h v n h độ m áy k in h vĩ chia k hông th ì sai s ố hệ th ố n g đo góc có d ấ u th ay đổi tù y th eo góc đ ợ c đo n ằm trê n p h ầ n v n h độ Ví d ụ n h v n h độ ch ia đến p h ú t n h n g người đo ước lượng đọc k ết q u ả đến giây th ì k ế t q u ả th u có sa i số n g ẫu n h iê n p h ầ n giây ước lượng k hơng ho àn to àn xác 10 - Trong điều kiện đo định, trị tuyệt đôi sai sô" ngẫu nhiên không vượt giá trị nh ất định - Trong đa số trường hợp, sai sơ" có trị tuyệt đỗi nhỏ xuất nhiều sai sơ" có trị tuyệt đối lớn - Sơ" lượng sai sơ' có dấu dương (+) dấu âm (-) gần - Trị trung bình sơ" học số lượng lớn sai số ngẫu nhiên tiến 0: | i m A ! + A + + A „ _ (13) n->00 1.4 CÁC T IÊ U CHUẨN ĐÁNH GIÁ ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA KẾT QUẢ ĐO Để đánh giá độ xác kết đo đại lượng đó, cần phải xác định chênh lệch có kết thu X giá trị thực X đại lượng đo Sự chênh lệch sai số thực có thổ biểu diễn qua th àn h phần (với điều kiện sai số thô loại bỏ): - Sự chênh lệch A kết đo V kỳ vọng toán học E(x) nó, th àn h phần ngẫu nhiên sai số - Sự chênh lệch kỳ vọng toán học E(x) giá trị thực X đại lượng cần đo, thành phần hệ thông sai sô" Như vậy, mối quan hệ sai số thực 6, sai số ngẫu nhiên A sai sô" hệ thông ố biểu diễn công thức: = x - X = [x- £(*)] + [£(*) - ỵ ] = A + S (1.4) Các tiêu chuẩn đánh giá độ xác kết đo thường sử dụng bao gồm: sai sô" thực, sai sô" trung phương, sai sơ" trung bình, sai sơ' xác su ất sai sô" giới hạn Mỗi sai sô" lại biểu diễn dưối dạng: sai sơ" tuyệt đối sai sơ" tương đối (hình 1.2) Phần mục nghiên cứu loại sai sô" áp dụng cho kết đo đại lượng, riêng sai số thực định nghĩa mục 1.3 nên không đề cập đến 1.4.1 Sai sô tu y ệt đối a Sai s ố trung phương Sai sô" trung phương tiêu chuẩn hay xác kết đo Nếu đại lượng cần sử dụng n h ất để đánh giáđộ đo có giá trị thực X sai sô" 11 100,1*J + 100jc2 = 1,0 100*, + 99,9 x - 1,1 có nghiệm lốn 1000 lần so với nghiệm hệ phương trình đầu: Xị =1010,0; *2 = -1011,0 Như vậy, hệ phương trìn h trên, thay đổi rấ t nhỏ hệ sô" làm biến dạng nghiệm th u Hệ phương trìn h gọi hệ phương trình điều kiện xấu (ill-conditioned) cần phải trán h q trìn h tính tốn Ma trận hệ số hệ phương trìn h loại gọi ma trận điều kiện xấu Một ví dụ điển hình ma trậ n điều kiện xấu ma trận H ilbert Các phần tử h,j ma trậ n H ilbert H tính sau: h, ví dụ như: 1/2 1/3 H 3xĩ= 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/3 1/4 1/5 Đế đ n h giá xem m a trậ n A có phải ma trậ n điều kiện x ấ u hay không, người ta thường sử dụng số” điều kiện (condition number) A : số điều kiện cond(A) cao ma trậ n có nhiều khả ma trậ n điều kiện xấu Để tìm số điểu kiện ma trậ n sử dụng phần mềm M atLab với hàm condQ Chẳng hạn ma trậ n N hệ phương trình chuẩn ví dụ 6.2 6.3 bằng: - Ví dụ 6.2: cond(N) = 4,4 X 103 ; - Ví dụ 6.3: cond(N) = 3,8 X Như vậy, kết tính tốn ví dụ 6.3 có sai sơ" lớn hệ phương trình ch u ẩn hệ phương trìn h điều kiện xấu C.5 CÁC PH Ư Ơ N G P H Á P G IẢ I H Ệ PH Ư Ơ N G T R ÌN H CHUAN Mục trìn h bày phương pháp giải hệ phương trình chuẩn thường sử dụng tốn bình sai phương pháp khử ẩn số Gauss phương pháp Choleskv Hệ phương trìn h chuẩn hệ phương trình đơi xứng có dạng: Nx + b = 0, với N ma trận đối xứng xác định dương câp n 174 (C 19) c.5.1 Phương pháp khử ẩn sô Gauss Trong mục này, phương pháp khử ẩn sỗ' G auss trình bày thơng qua ví dụ giải hệ phương trình chuẩn có ẩn sơ" Giả sử cần giải hệ phương trìn h chuẩn: A^ị ịXị + N \-ịX2 + A^J3^3 + ^ 14X4 + b\ = N n X\ + N 22 * + ^23*3 + ^24*4 N ^ X { + N 2ì x + A^33x + N „ N 24-^2 14-^1 ^34^3 xa + b2 = ữ + ỏ3 = ^44'^4 ^4 = Từ phương trìn h đầu, biểu diễn Jtị thơng qua ẩn số* lại: *, = /N V1 Ỉ Ký hiêu E ìk = Xị — M Jy)\ Eị2%2 ^ ^ - x N11 , - A iN Vn (C.21) /NV 1 Eỉh = — — ta có: N iVi! ^13^3 ^14^4 ^\b ’ ( 2 ) Phương trìn h (C.22) gọi dòng kh Ej T hế dòng khử vào hệ phương trình b an đầu (C.20), ta loại ẩn sô’x {: N ĩ X + N Ĩ X + N 24x + M '1 = N g x + N g x + Nị\)x4 + bịV) = A ^ + à^ +T O m+ (C.23) C =0 Hệ phương trìn h (C.23) sử dụng ký hiệu: N ™ = N tJ + N n E,j = N tJ + = 7V, + £ „ ^ , 24) ỏ/, ) =ồxj Trong công thức trên, số / chạy từ đến n , số m chạy từ n đến C hú ý phần tử Ljm ma trậ n L p h ầ n tử Lmj í ! Để m inh họa cho kiến thức trìn h bày trên, áp dụng phướng pháp Cholesky để giải hệ phương trìn h chuẩn ví dụ 4.5 Theo công thức (C.32) (C.34), ma trậ n R hệ phương trìn h phân tích sau: R = LL' , với: 46,6592 0 167,3929 173,4988 0 47,5087 -66,1752 38,4219 185,3396 -137,1572 51,7739 30,1157 Áp dụng cơng thức (C.36)-(C.38) tìm nghiệm hệ phương trình 179 chuẩn với k ết quả: V= [14,55528 -10,04697 5,11496 -4,32235f, At = x = [0,38159 -0,04683 0,32653 -0 ,l4 f Để tìm ma trậ n nghịch đảo Q, - /?"', trước tiên sử dụng công thức (C 13) để tìm ma trậ n D - ' : 0,0214320 n = L -7 ' 0,0206778 0,0091132 -0,0533914 0,0057637 0,0099270 0,0091838 0,0260268 -0,0447444 0 0 0,0332053 Ma trậ n Q, xác định theo công thức (C.14): 0,0038206 -0,0002807 Q, =DD 0,0026262 -0,0017729 -0,0002807 0,0026262 -0,0017729 0,0002161 -0,0001526 0,0003050 -0,0001526 0,0026795 -0,0014858 0,0003050 -0,0014858 0,0011026 Các k ết hồn tồn phù hợp với ví dụ 4.5 C.6 DẠNG MA TRẬN CỦA P H É P TÍNH VI PH ÂN c.6 C ơng th ứ c tổ n g q u t Giả sử / hàm tuyến tín h vectơ v = [xl,x2, ,x„]/ : f ( x ị, x 2, ,x„) = a ìx ị + a 2x + + anxn = Á ' X = x ' A , (C.39) ta có th ể viết vi p h ân d f sau: dx] df = suyra:-f^ = [a, dx õ f' õxnn 'ổ / ôxx dxx = [a, X dx„ (C.40) a„]x dx„ (C.41) a „ ] = Ar Trong trường hợp tổng quát, F vectd hàm số X fì(x) (C.42) F = F (x ) = f,rSX) th ì ta có: 180 ổ /,1 # |U ) dXị = J ! cLx X 'ề £ C D ci> X CỈF = dx dxn (C.43) dxn_ Như vậy: ÕF_ õx Ẽẫ dx] Ẽẫ õxn (C.44) J ! với JỊ = %n Ỡ.X, ỂL õx„ Ma trậ n JỊ gọi ma trận Jacobi vectơ hàm F Nếu F vectơ hàm tuyến tính có dạng F - Bx th ì JỊ - B c.6 Đ ạo h àm củ a V = v' Pv Xét tích ma trậ n u - x ' Py với JC, V vectơ cỡ n X1,p ma trận đổì xứng cấp n Từ công thức (C.39) (C.41), vi phân bằng: dí! = ^ - d x + ^ - d y = y ' p ' dx + x ' Pdy õx õy Hàm V trường hợp đặc biệt u vói X = y = V Do p ma trậ n đối xứng nên ta có [7]: d V = VTP Tdv + v r Pdv = v ' Pclv, suy ra: õ{yTPv) _ÕV dv õv (C.45) 2v' p C.7 TÍNH TỐN VỚI MA TRẬN BANG ph an MEM M ICROSOFT EXCEL Các phép tín h với ma trậ n thường có khối lượng tính tốn r ấ t lớn nên việc ứng dụng phần mềm tin học cho phép cải thiện đáng kể tốc độ tín h tốn độ xác xử lý ma trận Hiện nay, có nhiều phần mềm cho phép tính tốn với ma trận , ví dụ M atLab, M athC ad, Excel, Trong sơ" phần mềm Excel hãng M icrosoft (gọi tắ t MS Excel) khơng có nhiều chức xử lý ma trậ n song lại phần mềm h ết sức phổ biến Do đó, mục giới thiệu sơ lược vê khả xử lý ma trận MS Excel để giải tốn bình sai đơn giản 181 MS Excel có hàm xử lý ma trận sau: - T R A N SP0SE (/1): tìm ma trận chuyển vị A l , - M M ULT(/4,B) : nhàn ma trận A với ma trận B, - M IN V ERSE(/4): tìm ma tr ậ n nghịch đảo A - MDETERM04): tính định thức det(/4) Để thực phép cộng, trừ ma trận nhân m a trậ n với sơ" vơ hưóng, sử dụng tốn tử thơng thường Để nhập tham sô" ma trận, ta cần rõ khoảng địa mà ma trận bơ”trí bảng tính Khi xử lý ma trận kết thường ma trận Do đó, thao tác tính tốn với ma trậ n khác so với tính tốn thơng thường điểm sau: - Phải xác định trước kích thước (cỡ) ma trận kết quả, chọn vùng hiển thị kết phù hợp với kích thước nhập cơng thức - Các cơng thức có ma trận cơng thức mảng (Array íbrm ulas) nên sau nhập cơng thức cần bấm tổ hợp phím C trl+Shift+E nter khơng phải E nter bình thường, H ình c l minh họa phương pháp giải hệ phương trìn h chuẩn RAt + b - ví dụ 4.1 MS Excel Ma trận hệ số R nằm miền B2:C3, vectơ sô' hạng tự b nằm m iền E2:E3 Ta ước tính kích thước vectơ nghiệm A/ 2x1 dự kiến bơ" trí miền G2:G3 Để tìm nghiệm = - R ]b, ta chọn (bôi đcn) miền k ết dự kiến G2:G3 (hình c l a ) n h ậ p công thức sau: = - M M U L T ( M I N V E R S E ( B : C3), E2:E3) Sau bấm tổ hợp phím Ctrl+Shift+Enter kết hình c lb (a) (b) Đ Microst Excel - Tinh toan giao trinh LTSS E3 Microsoft Excel - Tinh toan giao trinh LTSS va pp SBP NN.xls @ Fi!e £dit ỵiew Ịnsert Ffirmot Tools Oata ỵgindovv Do> y á? m : ể§ íầ V & % m - ■' o z ® Fiie £dit Vievv Insert F2rmot Xoo!s ồata Window Do D iể H d » tìa i3 i^ Arial I D C Ma ơàn R 03 -1 18 E Vectơ b -1.18' 66 74.46' -9 62 F i: G ■ " Nsĩhiệm _ í h).E2:E3) j E M a ưận R 03 -1.18 -1 18 66 F V cctơ b 74 46 -9 62 H ìn h C.1 C n g thứ c (a) kết (b) giải hệ phương trình c h u ẩ n ví dụ 4.1 hàm xử lý ma trận phần m ềm MS E x ce l 182 • ^5 ^ f* ▼ ịo ị B A CD A l Gà (S •