Một số bài toán của môi trường đàn hồi và môi trường đàn dẻo

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN TÊN ĐÉ TÀI: MỘT SỐ BÀI TỐN CỦA MƠI TRƯỜNG ĐÀN H ổ i VÀ MƠI TRƯỜNG ĐÀN DẺO MÃ SỐ: QT-05-04 CHỦ T R Ì ĐỂ TÀI: PGS TS PH Ạ M C H Í VĨNH HÀ NỘI - 2006 — — — — — — — — — ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN *** TÊN ĐÉ TÀI MỘT SỐ BÀI TỐN CỦA MƠI TRƯỜNG ĐÀN H ổ i VÀ MÔI TRƯỜNG ĐÀN DẺO MÃ SỐ: QT-05-04 CH Ủ T R Ì ĐỂ TÀI: PGS TS PH Ạ M C H Í V ĨNH Các cán tham gia: GS TSKH ĐÀO HUY BÍCH PG STS ĐÀO V ÃN DŨNG HÀ NỘI - 2006 BÁO CÁO TÓM TẮT Tên đề tài: M ột số toán môi trường đàn hồi m ôi trường đàn dẻo M ã số: Q T -05 -04 Chủ trì đề tài: PGS TS Phạm Chí Vĩnh Các cán th am gia: GS TSKH Đ ẳo H uy Bích PGS TS Đào Văn Dũng M ục tiêu nội d u n g n ghiên cứu đè tài a M ục tiêu n g h iên cứu - Các cô ng thức vận tốc sóng R ayleigh m trường đàn hồi trực hướng - N ghiên cứư tương tác củ a m ột vết nứt thẳng với m ộ t lỗ hìn h v ng-vết nứt đàn hồi, tác dụng dòng nhiệt b Nội d u n g n g h iên cứu: - Xây dựng ng thức vận tơc sóng R ay leig h m ôi trường đàn hồi trực hướng tập khác tham số - Chỉ m ộ t tron g chúng m rộng cô n g thức vận tốc sóng R ayleigh m trường đàn hồi đẳng hướng - Áp dụng phương p h p hàm biến phức tìm n g h iệm tốn: + L ỗ hình vng-vết nứt tác dụng dịng nhiệt + Lỗ hình v uông-vết nứt tác dụng lệch nhiệt đ ộ phân b ố liên tục đoạn thẳng vết nứt + Lỗ hình v ng-vết nứt tác dụng lệch ứng suất phân b ố liên tục đoạn thẳng vết nứt + Sử dụ ng n g u y ên lý c h n g chất nghiệm , xây dựng n g h iệm củ a toán tương tác m ột vết nứt thẳng với lỗ hình v ng -vết nứt củ a đàn hồi tác d ụ n g củ a d ò n g n hiệt -Tính tốn số m ột số ví dụ cụ thể c Các kết q u ả đạt được: (i) V ề NCCB: - Xây dựng cô ng thức củ a vận tốc són g R ay leig h tro ng m ôi trường đàn hồi trực hướng m iền khac n hau củ a th am số M ột chúng m rộn g c ô n g thức V ận tốc sóng R ay leig h m ôi trường đàn hồi đẳng hướng - Tìm n g h iê m dạng đóng tốn: + Lỗ hìn h v ng -vết nứt tác dụng d ò n g nhiệt + Lỗ hình v u ng -vết nứt tác dụ n g củ a lệch n hiệt độ phân b ố liên tục đo ạn thẳng + Lỗ hình v u ơn g-v ết nứt tác dụng củ a lệch ứng suất phân b ố liên tục m ột đ oạn thẳng -Thiết lập phư ơng trình tích phân để giải to án tương tác - Giải số m ộ t số ví dụ cụ thể Các kết q u ả tính to án đ u a đến m ột kết luận đ ý: Dưới tác d ụ n g củ a dòng nhiệt, tương tác củ a vết nứt có thê dẫn đến triệt tiêu hệ s ố tập trung ứng suất Các kết ch ính củ a đề tài đăng 02 b o sau: Pham Chi V in h an d R O gden, O n the R ay leig h w ave speed in orthotropic elastic solids, M accanica, (2005), 147-161 Pham Chi V inh, N orio H asebe, X ian g -F en g W a n g and T a kah iro Saito, Interaction b etw een a cracked hole and a line crack u n d er u n ifo rm heat flux, Int J Fracture, 131 (2005), 367-384 (ii) Về triển khai ứng dụng: Áp dụng c n g thức vận tốc sóng R ayleigh để phát h iện vết nứt, hư hỏn g vật liệu Sử d ụ n g kết q uả toán tương tác lỗ với vết nứt dưói tác dụng củ a dò ng nh iệt để khử tác dụng xấu vết nứt có sẵn (iii) Về đào tạo: G ó p phần đào tạo 01 cử nhân 01 thạc sỹ Tinh hình sử d ụ ng kin h phí: a Đươc cấp: 0 00 00 b.Chi tiêu: - Thuê k ho án c h u y ê n m ôn: 12.000.000 - Hội nghị, hội thảo k h o a học: 3.000.000 - Chi khác: 000.000 T ổ n g cộng: KHOA QUẢN LÝ đ đ đ đ 0.00 0.0 0 đ CHỦ T R Ì ĐỂ TÀI (Ký TRƯ ỜNG đ i h ọ c k h o a h ọ c t ự n h i ê n 'Ầ iiỳ V a M i SUMMARY Title o f the Project: Som e problem s o f elastic and elstoplastic m edia Code o f the project: Q T -0 5-0 Head o f the research group: Ass Prof Dr Pham Chi Vinh Participants: Prof Dr Sc Dao Huy Bich Ass Prof Dr Dao Van Dzung A im s and C o nten ts o f the Project: a Aim s o f the project: - F orm ulas for R ay leig h wave speed in orthotropic elastic m edia - Studying the interaction betw een a line crack and a cracked square hole o f a elastic plate u n d er un ifo rm heat flux b Contents o f the project: - To find form ulas for R ayleigh wave speed in orthotropic elastic m edia corresponding d ifferent sets of param eters - To show that one o f them is an extention o f the fo rm ula for R ayleigh wave speed in isotropic elastic media - To find the solutions o f the following problem s applying the theory o f co m plex functions: + A crack ed square hole under an uniform heat flux + A cracked square h ole un der distributed tem p eratu re dislo cation along the line crack surface + A crack ed squ are hole subjected to distribu ted edg e dislo catio n along the line crack surface - To construct the so lution o f the problem o f interaction b etw een a line crack and a cracked square hole o f a elastic plate u n d er u n ifo rm h eat flux using the principle o f superposition - To investigate n u m eric ally som e exam ples c M ain o b tain ed resu lts : - The fo rm u las for R ayleigh wave speed in o rth o tro p ic elastic m edia c o rre sp o n d in g different sets o f param eters have been found O ne o f them is an ex ten tio n o f ex ten tio n o f the form ula for R ay leig h w ave ^pecd in isotropic elastic m edia - The solution in the closed form o f the follw ing p ro blem s have been obtained: + A cracked sq uare hole under an uniform heat flux + A cracked square hole under distributed tem p erature dislocation along the line crack surface + A cracked square hole subjected to distributed ed g e dislocation along the line crack surface - The integral eq u atio n s for the interaction betw een the crack ed square hole and the line crack have been established - Some ex am p les are investigated num erically and m u m erica l results show n that under u n ifo rm heat, the interaction o f cracks m ay lead to v anishing SIFs (stress intensity factors) - The m ain results o f the project are presented in the fo llow ing papers: (i) Pham Chi V in h and R Ogden, O n the R ayleigh w ave speed in orthotropic elastic solids, M accanica, 40 (2005), 147-161 (ii) Pham Chi V inh, N orio H asebe, X ian g -F en g W a n g and T a k ah iro Saito, Interaction betw een a cracked hole and a line crack u n d er unifo rm heat flux, Int J Fracture, 131 (2005), 367-384 Finance a R eceiving: 0 0 0 V N Đ b Spending: - F o r research works: 12.000.000 V N Đ - F o r C o nferen ces and Seminars: 00 00 V N Đ - F or o th er works: 0 0 0 V N Đ Total: 0 0 0 V N Đ MỤC LỤC Trang M đầu Chương I: C ơng thức vận tốc sóng R ayleigh m ô i trường đàn hồi trực hướng 1 Đặt to án Phương trình tán sắc Công thức m rộ n g củ a vận tốc sóng R ayleigh Các cơng thức k h ác Tài liệu tham k h ảo 14 18 Chương II: Sự tương tác lỗ hình vuông- vết nứt m ột vết nứt thẳng tác d ụ n g dòng nhiệt 19 Đặt toán 19 Á nh xạ hữu tỷ 21 Các côn g thức 22 N g h iệm củ a to án B 23 N g h iệm củ a to án c 26 N g h iệm toán D 29 N g h iệm to án A: Các phương trình tích phân 31 Các kết q u ả b ằn g số 34 Kết luận 35 Tài liệu tham k h ả o Kết luận 36 41 MỞ ĐẦU Sóng m ặt R ay leig h L ord R ayleigh phát n g h iên cứu từ m ột th ế kỷ qua, n ăm 1885 N ó tiếp tục n g hiên cứu k h m phá nhữ ng ứng dụng to lớn củ a nhiều lĩnh vực k h ác n h au củ a k h o a học kỹ thuật như: Â m học, K h o a học vật liệu, K h o a hoc đ n h giá k h ô n g hư hại (N ondestructive evaluation), K hoa học kiểm tra k h ô n g h h ỏ ng (N ondestructive Testing), Đ ịa vật lý, C ô ng nghệ viễn th ô n g , Đối với sóng R ay leig h , vận tốc m ột đại lượng b ản q u an trọng N ó thu hút quan tâm đặc biệt nhà nghiên cứu lĩnh vưc kh oa học ứng dụng nói H ơn nữa, cịn sử dụng đẻ xây dựng hàm G reen toán đ ộ n g củ a bán khơng gian Cho nên viêc tìm n g thức vận tốc són g R ay leig h , dạng hiện, cần thiết có ý n g h ĩa hai phương diện: lý th uy ết lẫn ứng dụng Do tính chất quan trọng vận tốc sóng R ayleigh , trước tìm cơng thức xác (năm 2000), nhà n gh iên cứu tìm m ột số cơng thức xấp xỉ dạng đơn giản, dễ sử dụng Đến nêm 2000, ng thức xác hồn ch ỉnh c ủ a vận tốc sóng R ayleigh m ôi trường đàn hồi dẳng hướng tìm M alisch ew sk y (W ave M otio n 31 (2000), 93-97) b ằn g cách sử d ụ n g trực tiếp M A T H E M A T IC A Sự chứng m inh chặt chẽ m ặt toán học c n g thức đuọc hồn th àn h vào 0 Pham O g den (W av e M o tion 39 (2004), 191­ 197) Dựa vào ph n g p h áp chứng m inh, hai tác giả P ham O g d en cịn tìm m ột c ô n g thức k h ác vận tốc sóng R ay leig h với đói m ô i trường đàn hồi dẳng hướng Ngoài vật liệu đ ẳn g hướng, vật liệu dị hướng đ an g sử d ụ n g rộng rãi nh ữ n g ứng d ụn g to lớn chúng D o vậy, việc tìm g thức vận tốc sóng R ay leig h m ôi trường đ àn hồi dị hướng cần thiết M ục tiêu thứ nh ất củ a đề tài là: Tìm cơng thức vận tốc sóng R ayleigh mơi trường đàn hồi trực hướng nén Sử dụ ng lý thu yết phương trình bậc ba, tác giả tìm n g thức khác củ a vận tốc só ng R ayleig h m ôi trường đàn hồi trực hướng, tương ứng với m iền khac tham số M ột c h ú n g m rộng cô ng thức M alisch ew sky Bản đàn hồi có lỗ m ộ t kết cấu sử d ụ n g rộng rãi tro ng lĩnh vực khác củ a kỹ thuật Sau m ộ t thời gian sử d ụng, tác d ụ n g củ a tải trọng học yếu tố nhiệt, tro m g xuất vết n út Bài toán đ àn hồi có lỗ vết nứt tác dụ ng củ a tải trọng học nhiều tác giả n g h iên cứu Tuy nhiên, cịn kết q u ả ch o tốn đàn hổi có lỗ vết nứt tác dụ ng tải trọng nhiệt Mục tiêu thứ hai đề tài là: Sự tương tác vết nứt thẳng với lỗ hình vng - vết nứt đàn hòi tác dụng dòng nhiệt Áp dụng n g u y ên lý c h n g chất nghiệm , tốn đ ù a tìm n gh iệm ba tốn sau: - Bản có lỗ hình vng-vết nứt dưc tác dụ ng củ a d ị n g nh iệt đểu - Bản có lỗ hình vụông-vết nứt tác dụng củ a lệch nhiệt độ phân bố dọc theo đoạn thăng vết nứt - Bản có lỗ hìn h vng-vết nứt tác d ụn g lệch ứng suất phân b ố dọc theo đoạn thăng vết nứt Bài toán ttương tác dẫn đ ến việc giải phương trình tích phân Các kết số dẫn đến kết luận quan trọng: K hác với trường h ợ p tải trọ ng học, tác dụng d ò n g nhiệt, tương tác vết nứt dẫn đến triệt tiêu hệ số tập trung ứng suất Các kết củ a đề tài trình bầy hai báo sau: Pham Chi V inh and R O gden, On the R ayleig h wave speed in orthotropic elastic solids, M accan ica, 40 (2005), 147-161 Pham Chi V inh, N orio H asebe, X ian g -F en g W an g and T a k ahiro Saito, Interaction betw een a cracked hole and a line crack u n d er uniform heat flux, Int J Fracture, 131 (2005), 367-384 0* Chương I Cơng thức vận tố c sóng R ayleigh m ôi trường đàn hồi trực hướng Đ ặt tốn Sóng mặt Rayleigh Lord Rayleigh [7] phát nghiên cứu cách dây kỷ, vào năm 1885 Nó dược nghiên cứu khám phá cách mạnh mẽ ứng dụng to lớn nhiều lĩnh vự khác khoa học kỷ thuật nhu: Am học, Dịa vật lý, Khoa học vật liệu, Khoa học đánh giá không hư hỏng, công nghệ viồn thõng, Dối vứi soil”, Rayleigh, vận tốc dại lượng ban quan trong, thu hút quail tâm dặc biệt cùa nhà nghiên cứu lĩnh YƯC ứng đụng Hơn 11Ĩ cịn đưực sứ dụng dể xây dựng hàm Green cho toán động bán không gian, nên công thức vận tốc sóiig Rayleigh vừa có ý nghĩa lý thuyết lẫn ứng dụng Dối với môi trường đàn hồi dẳng hướng nén dược Rahmann and Barber [6] tìm Gơng thức vận tốc súng Rayleigh miền hạn chế tham số 7/ = + 2fj)vho năm 1995, cách sử dụng lý thuyết phương trình bậc ba, A ỊJ số Lame Năm 1997, Nkemzi [5] tìm cơng thức vận tốc sóng Rayleigh miền đầy đủ tham số ĩ] phương pháp hàm phức, song cồng kềnh sai in ấn Với số trường hợp đem í;ian cua vật liệu monclinic nén được, vận tốc sóng Ravleigh tìm dược bới Ting [9] Dcstmclc nghiệm phương trình bậc hai Gần day báng cách sử dụng phần mền MATHEMATICA, Ma]ischmvsk\ 4' dã tìm cơng thức vận tốc sóng Rayleigh chơ giá trị tham số Pc2/ l l = g í - ự ìệ iv ) + sign[M vj] T], có dạng sau: (1) Interaction between a cracked hole and a line crack 111 y(t) = Vb - t G(t) (46) where G(f) denotes an unknown function By the transformation of integral variable t = - b cos e and the standard integral method, the unknown function G(t) can be obtained numerically (Erdogan, 1969; Erdogan and Gupta, 1972) We define the edge dislocation densities as (Chen and Hasebe, 1992): M O = "2.G d (47) j=n,T From the traction-free condition (px = Py = 0) on the line crack surfaces, represented by ( 1 ), the singular integral equation for the determination of hjU) is: h Ị {hnự)[Nll(t,s) + iTllự,s)] + hrự)[Nĩ ( t s ) +i Tĩ ự.s)])àt ~h = - [ N B(s) + Nc(s) + i(TB(s) + Tc (s))], \s\