Ứng dụng phương pháp đại số tổ hợp để tính độ đo xác suất rời rạc

ĐẠ I H Ọ C Q U Ó C GIA HÀ NỘI T R Ư Ờ N G ĐẠI H Ọ• C G IÁ O DỤC • • Ứ N G D Ụ N G • Đ Ẻ T Í N H P H Đ Ư ộ Ơ N G Đ O P H Á P X Á C Đ Ạ I S U Ấ T S Ĩ • R Ờ I T Ỏ H Ợ P R Ạ C CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI: PGS.TS N G U Y ỄN NHỤY T RƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO D Ụ C , ĐẠI HỌC QUỔC GIA H À NỘI Hà Nội - 2009 • DANH SÁCH NHỮNG NGƯỜI THAM GIA T H ự C HIỆN ĐÈ TÀI PG S.TS N g u y ễn N h ụ y, Trường Đại học G iáo dục, Đ H Q G Hà N ộ i - Chủ nhiệm đề tài ThS N gu yễn Đ ứ c Can, Trường Đ H Giáo dục, Đ H Q G H N - Thư ký đề tài T S V ũ T hị H n g T h a n h , K h o a T oán , Đ i h ọ c V in h - T hành v iê n T S L ê X u â n S n , K h ố i c h u y ê n T oán , Đ i h ọ c V in h - T hàn h v iê n T h S N g u y ễ n N g ọ c Q u ỳ n h , H V iệ n Y h ọ c cổ tru yền H N -T h n h v iên MỤC LỤC Trang Muc luc • • Mtf đ ầ u C h o n g Độ đ o x c s u ấ t rời rạc D ãy số F ib o n a c c i v T ỷ s ố v n g 1.1 Sự đời dãy Fibonacci mối liên hệ với tự nhiên 1.2 Khái niệm dãy Fibonacci 10 1.3 Tỷ số vàng 14 1.4 Hệ thức truy hồi tìm số Fibonacci 22 1.5 M rộng dãy số Fibonacci 25 1.6 Đ ộ đo x c suất rời rạc 28 C h n g ứ n g d ụ n g d ã y số F ib o n a c c i v T ỷ số v n g đ ể tìm đ ộ đ o 29 xác suất B ài toán (0,1,4) 2.1 Một số khái niệm 30 2.2 Các kết 34 bổ trợ 2.3 Dãy nguyên tổ dãy bội 38 2.4 M iền giá trị hàm chiều địa phương Bài toán (0,1,4) 45 Chương Sử dụ n g dãy số Fibonacci tính giá trị lớn độ đo xác su ất tích chập lần độ đo C a n to r chuẩn 50 3.1 Một số kết bỗ trợ 51 3.2 Chứng m inh kết 61 Tóm tắt kết Đe tài 66 Daah mục cơng trình tác giả liên Tài liêu tham khảo quan đến Đề tài 67 68 M Ở ĐẦU Lý chọn đề tài M ơn Tốn trường phổ thơng coi trọng N gay bậc học này, học sinh truyền thụ khối lượng kiến thức Toán học phong phú với nhiều chủ đề thú vị tiếp thu công cụ sắc bén Tuy nhiên, ngư ời sinh viên bước vào học đại học ngành Tốn, mơn Tốn học nhiều hơn, sâu sắc phương pháp tư khác Các cơng trình nghiên cứu khoa học Toán học phần lớn dựa vào kiến thức bậc đại học m chủ yếu sau đại học Chính thế, bắt tay vào nghiên cứu, người ta thường n g h ĩ đến việc phải sử dụng cơng cụ Tốn học bậc cao Các g trình Tốn học m ang tính thời nhiều người quan tâm nghĩ đến sử dụng cơng cụ chủ yếu Tốn học bậc phổ thơng V thế, tạo tâm lý cơng cụ Tốn học phổ thông dùng để nghiên cứu khoa học viết cơng trình khoa học nghiêm túc Đ ề tài phần nhằm khắc phục cách suy nghĩ Ở đây, sử dụng Đ ại số tổ hợp để tính chiều địa phương độ đo xác suất rời rạc, m ột vấn đề T ốn học m ang tính thời hấp dẫn, nhiều nhà Toán học giới quan tâm N hiệm v ụ phương pháp nghiên cứu Các tập Fractal bắt đầu để ý từ cuối kỷ X IX thập niên đầu kỷ X X , đặc biệt quan tâm vào cuối năm 70 kỷ trước, xuất m ột loạt công trình nghiên cửu có ý nghĩa B en o it M andelbrot đặc biệt tác phẩm tiếng ông: “T h e F r a c t a l G e o m e t r y o f N a t u r e Chủ đề trở thành m ột khoa học thực thụ vào cuối năm 80 thể kỷ X X Sự đời H ình học Fractal giúp giải thích đặc thù cấu trúc phức tạp, tinh tế tự nhiên xã hội Có thể nói, Hình học Fractal cung cấp cho nhà khoa học m ột cụng cụ khảo cứu mạnh m ẽ v lý thú hầu hết lĩnh vực, từ Toán học, Vật lý học, Thiên văn h ọc, H óa học, Sinh học, N g ô n ngữ học N gh ệ thuật,  m nhạc, Kinh t ế , v đặc biệt C ông nghệ thông tin truyền thơng Chính thế, m ơn H ình học Fractal giới thiệu sách Hình học lớp 11 phổ thông trung học C ông cụ để khảo sát đối tượng Fractal phổ biến chiều Ban đầu ngư ời ta có m ột cơng cụ hữu hiệu để m ô tả tập Fractal chiều H ausdorff Tuy nhiên, chiều H ausdorff đo đối tượng m ức độ tương đối “thô” v để m ô tả tập Fractal khía cạnh tổng thể, cịn m uốn tìm kiếm cấu trúc tinh tế Fractal, ta phải tìm hiểu tính chất “địa phương” đ ối tượng Fractal Người ta thấy rằng, h -lân cận đủ nhỏ điểm s, ký hiệu f! l độ đo fractal v g ọ i a(s) chiều địa p h n g c ủ a độ đo Fractal điểm s ta c ó thể x ấp xỉ | i ( [ s - h , s + h ] ) ~ h a ^s\ N h vậy, n ếu x c định chiều địa p h n g m ộ t độ đo Fractal, ta biết gần khối lư ợng tạp Fractal lân cận điểm Thực chất m ột số tốn v iệc tìm chiều địa phương độ đo thiết lập g thức tính số cách biểu diễn m ỗi phần tử tập thông qua phần tử tập nhờ vào dãy số Fibonacci Tỷ số vàng Trong Chương C hương chúng tơi thiết lập cơng thức tính độ đo xác suất rời rạc thông qua dãy Fibonacci Giải hệ thức truy hồi dãy ta xác định giá trị cần thiết lập toán đặt V ới ký trên, chọn đề tài dùng phương pháp Đại số tổ hợp, chủ đề đưa vào Sách giáo khoa Đ ại số lớp 11 trung học phổ thông, m cụ thể sử dụng tính chất dãy số Fibonacci Tỷ số vàng để tìm độ đo x c s u ấ t rờ i rạ c tro n g v iệ c tín h c h iề u đ ịa p h n g tro n g H ìn h h ọ c F rac ta l B ố c u c c ủ a đ ề tà i N g o i p h ầ n M đ ầ u , M ụ c lụ c v T i liệ u th a m k h ả o , n ộ i d u n g Đ e tà i đ ợ c trìn h b y tro n g c h n g , d y 68 tra n g C h n g g iớ i th iệ u v ề b iế n n g ẫ u n h iê n , đ ộ đ o x c x u ấ t rờ i rạ c , d ã y số F ib o n a c c i v T ỷ số v n g C h n g n ê u lên c c h th ứ c ứ n g d ụ n g d ã y số F ib o n a c c i v T ỷ số v n g v o v iệ c g iả i B i to n (0 ,1 ,4 ) b ài to n tư n g đ n g v i B ài to n (0 ,1 ,3 ) n ổ i tiế n g tro n g H ìn h h ọ c F rac ta l C h n g tr ìn h b y v ề ứ n g d ụ n g d ã y số F ib o n a c c i v T ỷ số v n g để tín h g iá trị b é n h ấ t c ủ a đ ộ đ o đ ợ c x c đ ịn h b i tíc h c h ậ p lầ n c ủ a đ ộ đo C a n to r c h u ẩ n C H Ư Ơ N G Đ ộ Đ O X Á C S U Ấ T R Ờ I R Ạ C D à Y S Ố F I B O N A C C I VÀ TỶ SỐ V À N G 1.1 S ự r a đ ò i c ủ a d ã y F ib o n a c c i v m ố i liê n h ệ v ó i t ự n h iê n F ib o n a c c i tê n v iế t tắ t c ủ a m ộ t n h to n h ọ c lớ n c h â u  u th i tru n g đại, ô n g sin h 1 m ấ t , tê n đ ầ y đ ủ c ủ a ô n g L e o n a rd o o f P isa V ì n g đ ợ c sin h P is a (Ita ly ) v th u ộ c d ò n g h ọ B o n a c c i B a n đ ầ u , ô n g F ib o n a c c i x é t b i to n sau : Giả sử có cặp thỏ mắn đẻ cuối tháng lại sinh cặp Neu cặp lại đẻ sau tháng khơng có bị chết sau năm có cặp thỏ? V đ ó tiề n th â n c ủ a d ã y số F ib o n a c c i đ ợ c x c đ ịn h b ằ n g c c h liệ t k ê p h ầ n tử n h sau : 1 13 21 55 89 144 3 7 T ro n g đó: c c p h ầ n tử n ằ m tro n g d ã y số n y lu ô n lu ô n b ằ n g tổ n g c ủ a số liền trư c n ó N ế u lấ y tổ n g h a y h iệ u c ủ a c c số liê n tiế p ta đ ợ c m ộ t d ã y số tư n g tự D ã y số F ib o n a c c i đ ợ c c ô n g b ố n ă m 1202 v đ ợ c “ tiế n h ó a ” h ầ u n h v ô tậ n C h ín h đ iề u đ ó , đ ã th u h ú t đ ợ c rấ t n h iề u s ự q u a n tâ m c ũ n g n h làm c h ú n g ta s a y m ê n g h iê n c ứ u , k h m p h c c tín h c h ấ t c ủ a D ã y F ib o n a c c i x u ấ t h iệ n k h ắ p n i tro n g tự n h iê n N h ữ n g c h iế c trê n m ộ t n h n h c â y m ọ c c c h n h a u n h ữ n g k h o ả n g tư n g ứ n g v i d ã y số F ib o n a c c i C ác số F ib o n a c c i x u ấ t h iệ n tro n g n h ữ n g b ô n g h o a H ầ u h ế t c c b ô n g h o a có số c n h h o a m ộ t tr o n g c c số : 1, 2, 3, 5, , 13, ,3 4, 55 h o ặ c , H o a L o a k è n có c n h , h o a T a i b m có c n h , h o a Đ ịa la n c ó c n h , h o a M a o lư n g v n g c ó c n h , h o a P h i y ế n th n g c ó c n h , h o a V n c ú c th ọ có 13 c n h , h o a C ú c tâ y c ó 21 c n h , h o a C ú c th n g c ó , h o ặ c 55 h o ặ c 89 c n h , C ác số F ib o n a c c i c ũ n g x u ấ t h iệ n tro n g c ác b ô n g h o a H n g d u n g N h ữ n g n ụ n h ỏ k ế t th n h h t đ ầ u b ô n g h o a H n g d n g đ ợ c x ế p th n h h tậ p đ n g x o ắ n ốc: m ộ t tậ p c u ộ n th e o c h iề u k im đ n g h , c ò n tậ p k ia c u ộ n n g ợ c th e o c h iề u k im đ n g h s ố c c đ n g x o ắ n ố c h n g th u ậ n c h iề u k im đ n g hồ th n g 34 c ò n n g ợ c c h iề u k im đ n g h 55 Đ ô i k h i, c c số n y 55 v 89, v th ậ m c h í v 144 M ộ t số h ìn h ả n h s a u c h o c h ú n g ta th ấ y đ iề u n ó i : Hoa Ly cánh Hoa cánh Hoa Tai bướm cánh Hoa cánh _/ H o a cá n h ~ V Sô nhánh môi giai đoạn phát triên r # sô Fibonacci 1.2 K h i n iệ m d ã y F ib o n a c c i 1.2.1 Định nghĩa Dãy Fibonacci dãy v ô h n c ác số tự n h iê n b ắ t đ ầ u b ằ n g h p h ầ n tử v , c ác p h ầ n tử s a u đ ợ c th iế t lập th e o q u y tắ c m ỗ i p h ầ n tử lu ô n b ằ n g tổ n g h p h ầ n tử trư c n ó C n g th ứ c tru y h i c ủ a d ã y F ib o n a c c i là: [n — ) H~ F ( n — ) n = ; n = 1; k h i n > 1.2.2 Mơt số tính chất đăc biêt dãy số Fibonacci a) Tỉnh chất đặc biệt G ọi An số h n g th ứ n tro n g d ã y số, ta có: A n X A n+1 — A n-1 X A n+2 i A n X A n+1 A n.2 X A n+3 i An X A n+1 A n_3 X A n+4 i An X A n+1 —■A n_4 X A n+5 i 15 C h ú n g ta h ã y th lại đ ẳ n g th ứ c đ ầ u tiê n b ằ n g c c h c h ọ n m ộ t số A n b ấ t k ỳ (A n số v ị trí th ứ n c ủ a c h u ỗ i), c h ẳ n g h n 34 đ â y , An = (n = ), A n+| = 55, A„- 1= , A n+2=89 T a có: X 55 = 21 X + C c đ ẳ n g th ứ c n y đ ợ c áp d ụ n g tro n g to n d ã y số L ấ y m ộ t c ặ p số b ấ t k ỳ k h c , c h ẳ n g h n x = ( x ) - l N ế u lấy th ê m c c v í d ụ k h c n ữ a , ta n h ậ n rằ n g n ế u n số c h ẵn ta c ộ n g N ế u n số lẻ ta trừ B â y g iờ , ta x e m x é t đ ẳ n g th ứ c th ứ h ai: 54 b) N ếu y n- = th ì từ {yi, ,yn- i ) ~ ( , , , ,3 ) t a có (y i - )3 n- + (y2 - )3 n" + + (ỹ n_2 - 3)3 - = K éo th e o (yi - )3 " - + (í /2 - )3 " - + + (pn—3 - 2)3 + ị/„_2 - = (3) Do đó, yn _ - = (m o d 3) V ì y n- e -D, n ên y n_2 = h o ặc y n- = T a x é t h trư n g hợ p sa u Trường hợp y n-2 = 4, th ì (yn _ , 2/ n - i , ỉ/n) = ( ,0 ,0 ) v y n_ - = T (3) t a có ( ĩ / i , , y „ _ 3) e ( ( ,3 , , , , ) ) V ì ( ,0 ,0 ) ~ ( ,2 ,3 ) , n ê n t (1) t a c ó ( y i , , ĩ / „) = ( y i , / „ _ , 4,0,0) •••) Un—ì) € ( ( ^ ) •••) %n—2) %n—2 )} — ((2 , 3, T a ng m in h rằ n g ( 2/ , T h ậ t vậy, v ì (2/ , 2, 3, 2, )) 2/n) € ( ( s i , Vn-i) e (( ,3 , , , , , )), n ên 0/1 - )3 n- + ( 2/2 - )3 n- + + (ỉ/n - - 2)3 + yn _ i - = ( 6) Do đó, y n- = h a y yn _ i - a) N ếu yn_ i = kh i t ( 6), t a có (yi, ,yn- ) € ((2 ,3 , ,2 ,3 ,2 ) ) ( ỉ/n - iiĩ/n ) = (2 ,5 ) V ì (2 ,5 ) ~ (3 ,2 ) , n ê n từ ( ) t a có (ỉ/1) •••)Un) e ( ( , , , , , ) ) = ( ( x i , x n ) ) b) N ếu y n- = từ ( 6), t a có (ĩ/1 - ) n - + ( y - ) n - + + ( y n - - ) + y n _ - = (7) 56 D o đó, y n- = o r y n- = b l ) N ếu y n- = k h i từ (7), t a có ( y i , y n _ 3) e (( , , , ) ) ( ĩ/n - ,ỉ / n - i ,ỉ / n ) = ( ,5 ,5 ) V ì ( ,5 ,5 ) ~ ( ,3 ,2 ) , n ên th e o (1) t a có (z/i) •••) Vu) £ ( ( , , , , ) ) = ( ( x i , xn)) b2) N ếu y n_2 = th ì từ (7), t a có (yi, ,yn- 3) e ( ( , , , ,2 ,2 ) ) v ( y n - ,y n - i ,y n ) = ( ,5 ,5 ) V ì ( ,5 ,5 ) ~ ( ,3 ,2 ) , từ (1) t a có (yi, ,yn) e (( ,3 , .2 ,3 , , , )) D o đó, b ằ n g c h lặ p lại lậ p lu ậ n tư n g tự n h trư ò n g hợp tr ê n t a có y n-2 = ( 2/ , - ỉ / n - 3) € ((^1) ^ n —2) 2-71—2 )) = ( ( , , , , ,2 ) ) K h ẳ n g đ ịn h đ ợ c ch ứ n g m in h T M ện h đề 3.1.3 t a có hệ q u ả s a u H ệ q u ả Lấy X — — ( , , , , ) -ơ°° Với n n n e N , đặt sn = Ỵ s'n — (x\, ,3:Ịl 1)x ,n ) = i= l i= l ( 3^1 J •••) ^»71—1 ) ^ 71—1 )» Khỉ đo td co i) ụ*i ( s i) — M i(s í ) — 2^) /^2 (^ ) = 2$- ^ ( 52 ) = 2^ , ii) /in (s n) = ^ M n - l í S n - l ) + Ặ ự n - l (s n - l ) • Chứng minh, ỉ) Với n = t a có (( )) = ((® i)) = { (2 )} D o đó, M i ( s i ) = Mi ( s i ) = P (^1 = ) = 25* V in = t a có ( O r i ,z 2)) = { ( ,3 ) , ( , )} v ( ( x Ị , x'2)) = { ( , ), (1 ,5 )} D o đó, 10 10 H2\S2) — 25-^5 10 _ 110 + qP ' qE ~ 21QÌ , 10 10 ^ Á s2) — '2 5 ■*" 10 ■ 105 2$'25 ~ ii) T h e o M ện h đề 3.1.3, t a có a) N ế u n s ố c h ẵ n t h ì ( (*^ ) ■• •) %n)) ((■£ 1) • • •) 2-71—l i 3) ) u ( ( x J , • • ■, %n—\ > ) ) • 57 b) N ế u n l s ố lẻ t h ì ( ( x i, ,x n )) = ((xi, ,xn- , )) U '( ( x i, x'n_ Xi )) Do đó, với m ọi n e N t a có ụnisn) = P ( X n = )/in _ i (sti—i) + P ( X n = )/i n—1 (sn_ i) 10 / N / / X — 25 M n -H S n -l) + ^ n ~ 1' Sn~ 1' ' Hệ q u ả c h ứ n g m in h Đ ể th u đư ợ c cô n g th ứ c tr u y hồi cho v iệc tín h /in(-Sn), t a c ầ n k ết q u ả sau M ệ n h đ ề Lấy X — (X\,X , ) = ( , , , , ) e D00 Vốĩ n e N , đặt (x[, ,x'n) = ( x i , X n - , s n _ i ) Khi ta có i) Nếu n số chẵn (y i, ,yn) e ((a ^ , ■■■,x'n)) = ( ( , , , , , )) nế-ii m (Vh •••) Vn) e < ( x i , I n - ,2)> u ((® , x n - , ,5 )) u ( ( x í , a _ , ,5 ) ) ii) N ế u n số lẻ (yi, ,y n) £ ((a^i, ■■■,z'n)) — (( ,3 , ,2 ,3 ,3 ) ) nếw wà c h ỉ n ế u iyiì •••) Vn) € (( 2-1 ) •••) 2-rì—1 ) 3)) u ( ( ^ ) Xn—2 , 4,0 )) u ((^ I) Ị 2-71—2) ^ ) }• Chứng minh, i ) X é t trư n g hợp n số ch ẵn a) N ếu ( y i , , y n ) e ( ( x i, , x n _ i , ) ) th ì = v (y i, ,2 /n -i) e ( ( x i, , x n _ i ) ) D o đó, th e o ( ) t a có (z/i) •••) z/n) ẽ {(2 , b) N ếu (y i, , ,3 , , )) = ( ( # , ,xn)) G ( O i , , z n - , ,5 )) th ì yn = 5, yn _ i = {y i , , y n- ) G ( ( x i , , x n _ 2)) = (( , , , , ) ) V ì (1 ,5 ) ~ (2, 2), n ê n th e o (1) t a có (ỉ/ ) •••>ỉ/n) ẽ (( , , , , , )) = ( ( x j , x n )) 58 c) N ếu (ỉ/ , ,yn) e (O n , ,xn- , ,5 ) ) = ( ( , , , , , , , ) ) k h i từ ( ) t a có ( y i > - , ỉ / n ) e ((2, 3, ,2 ,3 , 2, )) = < ( r r ì , r r ^ ) ) ( , ,4 ,5 ) ~ ( , , , ) N gược lại, n ế u ( y i , yn) e (( , , , , ,2 ) ) th ì t a có (yi - )3 n ~ + (w - ) " - + + (Ịfc - - 2)3 + y„ - = Do đó, yn = h o ặ c yn — (9) a) N ếu yn — th ì yn — = D o đó, từ (9), t a có (y i, - , / n - i ) e (( ,3 , , , , ) ) = ( ( x i, , £ n - i ) ) Do đó, ( y i , , í / n ) e ( ( x i , Xn-1,2)) b) N ếu yn — th ì yn — = D o đó, t (9 ), t a (»1 - 2)3 ” - + ( w - ) " - + + (Vn-Ì - )3 + Vn-1 - = Đ iề u n y d ẫ n đ ế n y n- = h a y y n- = b l) N ếu y n- = k hi t (10) t a có ( y i , , y n _ 2) € (( ,3 , ,2 ,3 ) ) = < (xi, ,a :„ _ )> Do đó, (y i, ( ( x i, X n_ , ,5 )) b2) N ếu yn _ i = k h i t (10), t a có ( y i , - , 2/n- ) € ((2,3, ,2,3, ,2)) = ((xị, ,a4_2)) D o đó, (y i, 2/n) € ( ( ^ l) •••) xn - ỉ ,5 ) ) u ) X é t trư n g h ợ p n số lẻ a) Rõ rằ n g rằ n g n ê u ( y i , , y n ) e ( ( x i, ,rcn _ i , ) ) th ì ( ỉ / i , - » / n ) e ( ( , , , , , ) ) = ( { x [ , ,x 'n )) có (10) 59 b) N ếu (y i , ,y n) e ( ( i i , , x n _ , , )> = ( ( ,3 , , , , , , ) ) từ ( ), t a có {y\i •••) Urì) £ (( , , , , ) ) = ( ( a ? ! , £ n )), ( , ) - ( , ) c) N ếu (y i, ,y n ) e ((x' ; a _ , , )) = ( ( ,3 , , , , , , 0)} từ ( ), t a có (ĩ/l» -,ỉ/n ) e ((2 ,3 , ,2 ,3 ,3 )) = ((z ì, ,a )), ( ,1 ,0 ) ~ ( ,3 ,3 ) N gược lại, n ế u (yi, ,yn) e ( ự v x'n)) = (( , , ,3 ,3 ) ) , t a có - 3)3 + y n - = (ị/, - ) " - ' + (ị/2 - )3 n -2 + + (11) D o đó, yn = h a y y n = a) N ếu yn = th ì yn — — D o đó, k h i từ (11), t a có (ỉ / 1 •••) ỉ/n—ì) £ (( , , ,3 ) ) = ( ( ^ , D o đó, t ( ) t a có ( y i , y n) e { b) N ếu yn = (ỉ/! - { x £ n _i ) ) i , )) th ì yn — = —1 D o đó, từ (11), t a có 2)3 n- + (V2 - )3 " - + + (y n_2 - 2)3 + Vn-1 - = 0.(12) Đ iều n y kéo th e o yn- i — h a y y n- = b l) N ếu y n- = th ì yn _ i — = —3 Do vậy, từ (12) t a có ( y i , - , / n - ) e < (2 ,3 , , , , ) ) = ( ( z ì , - , Z n - ))Vì th ế n-l{Sn-i) + iõ [M n - (S n - ) + H n - {s'n _ )}- b) N ếu n số lẻ th ì (W » -» ® íi)> = < ( z i , - , z n - i , ) ) u ( ( a : i , xn- , , ) ) u ( ( x /1, ,x'n_2ì ,0 )) Vì th ế , A^n(^n) = ■^5'/i n - l ( S n - l ) + 10 — 25 - ^ ^ -2 (5 - ) + ^5 •^5/i n - ( s rì_2) (^n—1 ) + [/^71- ( 571- ) + ^ 71- ( 5^1- )]' Do đó, 10 ^ n { s 'n ) — ^ r / z n _ i ( s n _ i ) + ^ j õ ( / i n - Hệ q u ả c h ứ n g m inh 2( S n - 2) + H n - { s 'n - 2) ) • 61 T hai H ệ q ủ a trê n , t a có H ệ q u ả Lấy X = ( x i, £ , ) = (2 ,3 , ,3 , ) e D°° Với n n e N , đặt sn — _ íZị Khi ta có i= , X 10 , , Mn(s n) — 25 f^n—1(Sn—l) + 210 /^71—2 ( 371—2 ) — Ĩ5 ^ n —3 (^ 71—3)' Chứng minh T Hệ q u ả 3.1.5 v 3.1.7, t a có ( )^ —- 25 10 Atn - l ( 5n - l ) + Tpi M r i - l ^ n - l ) M n(sn 10 P 'n - li'S n - l) = (13) ^5 ^7 -2 ( s n - ) + 7^0 (M n ~ (sn -3 ) + ^n -^iS n -s)) Vn - ĩ i Sn - ĩ ) + ^ M n - (S n _ ) (1 ) (1 ) T (13), (14) v (1 ), t a có k h ẳ n g đ ịn h p h t b iểu tro n g H ệ qu ả C h ứ n g m i n h k ế t q u ả c h í n h BỔ đ ề Lấy X = (X\,X , ) = ( , , , , ) e D °° tíớỉ' m ỗ i n G N , n đặt sn — _ i Xị Khi ta có ^ n ( S n ) > l^n{tn) với t n e supp Ịln 2=1 Chứng minh B ổ đề đư ợ c ch ứ n g m in h b ằ n g q u y n p với n = t a có / N r,/v ^ 10 M i(s i) = ^ ( * = 2) = ^ với m ọi Í / > M i(íi) N G r 510, {ỷ, ỳ , Gs u p p Ị1 \ G iả sử Bổ đề đ ú n g với n — k, n g h ĩa là, Mfc(sfc) > ụ>k(h) for all t k e su p p ỊjLk T a ch ứ n g m in h B ổ đề đ ú n g với n = k + 1.Với y = ( y i , 2/ , đ ặ t tn —3 ~lVi với m ỗi n e N, i= l hợp s a u đ â y c ủ a Vk+1 - •■•) £ -ơ00, ijfci = 3~lyi- T a x é t trư ò n g 2=1 Trường hợp N ếu Vk+1 = (h ay 4), k h i đ ó th e o Bổ đề 3.2.1 th ì Íjfc+ có n h iề u n h ấ t h a i s ự b iể u d iễ n tk+1 = t k + 1.3_(fc+1) = t'k + -(fc+1) 62 Do th e o g iả th iế t q u y n p t a có ự k + i i t k + ì ) — ị i k ( t k ) P ( X k+l — 1) + Ị j j ỵ ( t ỵ ) P( Xk + \ = 4) , w 5 10 ( ^ 25) = 7^5^kv-k)- — T h e o H ệ q u ả 1.5 (ii), t a có Hk+l{sk+l) > ~^^k^sk) ^ Mfc+ l(^fc+l)Trường hợp N ếu Vk+1 = (o r 3), k h i đ ó th e o Bổ đề 3.2.1 th ì tk+ i có n h iều n h ấ t h a i b iể u d iẽ n tk+1 = tk + _(fc+1) = t'k + 3 “ (/c+1) a) N ếu yk = (o r ), th ì {yk, yk+i) e { ( ,0 ) , (0 ,3 )} D o đó, th e o B ổ đề t a c ó {y[, ,y'k+1) e ((yi, ,Vk+i)) n ế u v c h ỉ n ế u ( ĩ / í l / i + l ) e { ( , ) , ( ,0 ) , ( ,3 ) , ( ,3 ) , ( ,3 ) , ( ,0 ) , ( ,3 ) , ( ,0 ) ,} K ết h ợ p với g iả t h iế t q u y Pk+i(tk+i) < n p t a có P k - l( s k - i ) [ P ( X k = )P (X fc + i = 0) + ppfjfc = )P (X fc + i = 0) + P ( X fc = ) P ( X k+1 = 3) + P ( X k = ) P ( X fc+1 = 3) + P ( X fc = ) P ( X k+1 = 3) + P ( X k = ) P ( X k+1 = 3) + P ( X fc = l ) P ( X k+ĩ = 0) + P(X fc = ) P ( X fc+1 = 0)] v i- i — _ _ — i— — + ^ -^ + ^ '2 + 25 ' ^ 10 10 10 _5_ _1_ 5_ J_ + ^ - + 25-25 + 25 + 25 25 241 = ~2ĨÕ^k~ĩ{sk-l)T g iả th iế t q u y n p v H ệ q u ả 3.1.5 (ii), t a có , , 10 , 241 , f^k+l\s k+l) -> ~^pịJik\s k) ^ TịĩQ ^k-iySk-l) — H’k+lv'k+l)• 63 b) N ếu yk = (h a y ), th ì {yk,Vk+1 ) e { ( ,0 ) , (4 ,3 )} D o đ ó th e o Bổ đề 3.2.1 t a có (y[, ,y'k+l) e ( / , ,yjfc+i)> n ế u v n ếu t ó ĩ + ) e { ( ,0 ) , ( ,0 ) , ( ,3 ) , (4 ,3 ) , ( ,3 ) , ( ,0 ) , (3 ,3 ) , ( ,0 ) ,} T h e o g iả th iế t q u y n p t a có < H k - i( t k - i ) ịP ( X k M t+ ite + i) = ) P ( X t + i = 0) + P ( X * = )P (X fc+ I = + P ( X t = l ) P ( X t + i = 3) + P ( X h = i ) P ( X M 0) = 3) + P ( X t = ) P ( X M = 3) + P ( X k = ) P ( X k+1 = 0) + P ( X k = ) P ( X k+l = 3) + p ( x t = ) P ( X k+l = 0)] 10 1 5_10 _5 10 — / % - l ( s fc -l) (^ -^ + '2 5 '2 25 ‘ 25 j _ 10 5_ _Ị_ 10 10 £ J_ + ¥ ' ¥ + ¥ ' ¥ + ' + 25 ' 25 ^ k - l \( sk-l)\ ~- 2210 T h e o g iả th iế t q u y n p v H ệ q u ả 3.1.5 (ii), t a có 10 231 ị^k+l {s k+l) ^ ^ ^ k ( s k) — T^Jo'P'fc—l ( fc-l) — l^k+l{^k+l)■ c) N ếu yk = (h o ặ c 5), th ì (yk,Vk+ĩ) € { ( ,0 ) , (2 ,3 ) } D o đó, th e o Bổ đ ề t a s u y r a (y[, ,y'k+1) e {{yi, ,2/fc+i)) n ế u v n ế u ( ĩ /Í> ĩ /'*+ i ) é { ( ,0 ) , ( ,0 ) , ( ,3 ) , ( ,3 ) , ( ,3 ) , ( ,3 ) , (2 ,0 ) , ( ,0 ) ,} T h e o g iả th iế t q u y n p , t a có Vk+ĩitk+ì) < = ) P ( X k+l = 0) + P { X k = ) P ( X k + i = 0) + P ( X k = ) P ( X k+1 = 3) + P ( X k = 5) P { X k+1 = 3) + P ( X fc = ) P ( Z fc+1 = 0) + p ( x fc = ) P ( X fc+1 = 0) + P ( X fc = l)P (X jfc+ i = 3) + P { X k = 4) P ( X k+ĩ = 3)] JL _ _ _ JL ì ? 15 - /^/c—1 (s fc -i) (25 • 25 + '2 + '2 + 25 ' 25 10 10 + '2 + ‘25 + 231 — 2^-0 10 _1_ J_ ^ + '2 ' 64 V ì t h ế , t h ệ q u ả ( ii ) , t a c ó 10 231 ụ*k+l is k+l) ^ ^ 5'ị^ki^k) — 210 {s k—l) Trường hợp N ếu Vk+\ = ^k+li^k+l)- (h o ặc 5) T a có th ể ch ứ n g m in h trư n g hợp tư n g tự n h ch ứ n g m in h trư n g h ợp Vây, b ổ đề đ ợ c c h ứ n g m in h T Hệ q u ả 1.8 t a có / \ _ 10 l^n\s n) , M ĩ i - l vs n - l j + 15 l ^í n - ( s n - j 45 , l ^ ' n ~ v s T i-3 ,)' B ằn g cách giải p h n g tr ìn h đ ặ c trư n g Y — 12 Y — -1Ẽ- Y 4—n - ặ õ X + ^L5 = (*) x t a có n g h iệm 427 a rc c o s" X i = - ^ [ v ^ c o s t - ^ 9V— ) + 5] ~ ,3 5 5 Ĩ•ù o 427 _2 , a r c c o s —T7= r 7T X.2 = — ^ [ \ / Ĩ c o s ( 59V145 + + 5j ^ ổ o o 0j 04959875748 427 nr X z = — ^ [ \ / Ĩ c o s ( - W 45 - | ) + 5] ~ - , 8 o z o Ó _9 a rc co s r ~ 7= _ B ằn g việc g iải hệ th ứ c tr u y hồi F ib o n a c c i đ ể tín h ụ,n(sn)tro n g Hệ q u ả trê n , t a có hệ q u ả sau H ệ q u ả Lấy X = (XI, X2 , ) — ( , , , , ) G -D00 Với n n e N , đặt sn = J2 3~ixi- Khi ta có 2=1 ụ-nisn) — a iX Ĩ +