Tính chính quy của hàm Green đa phức với nhiều cực Tính chính quy của hàm Green đa phức với nhiều cực Tính chính quy của hàm Green đa phức với nhiều cực luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––––––––– ĐỖ THỊ LAN HƢƠNG TÍNH CHÍNH QUI CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI NHIỀU CỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––––––––– ĐỖ THỊ LAN HƢƠNG TÍNH CHÍNH QUI CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI NHIỀU CỰC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN – 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các tài liệu tham khảo luận văn trung thực Luận văn chưa công bố cơng trình Tác giả Đỗ Thị Lan Hương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn Thầy hướng dẫn tận tình, hiệu với kinh nghiệm trình nghiên cứu để hoàn thành luận văn Xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường THPT Kháng Nhật - Tuyên Quang đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt q trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2013 Tác giả Đỗ Thị Lan Hương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii MỤC LỤC Lời cam đoan………………………………………………………………… i Lời cảm ơn………………………………………………………………… ii Mục lục…………………………………………………………………… iii MỞ ĐẦU Chƣơng 1: TÍNH C 1,1 - CHÍNH QUY CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI MỘT CỰC 1.1 Hàm đa điều hoà 1.2 Hàm đa điều hoà cực đại 1.3 Hàm cực trị tương đối 1.4 Tính C 1,1 - qui hàm Green đa phức với cực 11 Chƣơng 2: TÍNH CHÍNH QUY CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI NHIỀU CỰC 16 2.1 Các ước lượng 17 2.2 Các ước lượng Gradient 22 2.3 Các ước lượng đạo hàm cấp hai 25 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hàm Green đa phức đóng vai trị quan trọng lý thuyết vị phức, nhiều nhà tốn học nước quan tâm nghiên cứu như: Siciak, Zaharjuta, Lelong, Klimek, Zeriahi, Dan Coman, đạt nhiều kết sâu sắc hàm Green đa phức xấp xỉ hàm chỉnh hình Đó tổng quát hoá kết Siciak - Zaharjuta £ n trường hợp đại số Một số kết hàm Green đa phức với cực logarit đa tạp siêu lồi, tổng qt hố hàm Green đa phức với cực hữu hạn, nghiên cứu Lelong, Klimek, Demailly, Zaharjuta, E Amar, P.J Thomas, Dan Coman, Tuy nhiên cấu trúc hàm Green đa phức với nhiều cực biết Ở chúng tơi chọn đề tài ” Tính qui hàm Green đa phức với nhiều cực” Cụ thể, nghiên cứu tính C 1,1 - qui hàm Green đa phức với cực, từ nghiên cứu tính qui hàm Green đa phức với nhiều cực Đề tài có tính thời sự, nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết việc nghiên cứu tính qui hàm Green đa phức với cực nhiều cực 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: - Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, hàm cực trị tương đối, tính C 1,1 - qui hàm Green đa phức với cực Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - Trình bày số kết Z Blocki năm 2001 tính quy hàm Green đa phức với nhiều cực Phƣơng pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương pháp lý thuyết đa vị phức - Sử dụng phương pháp kết Zbigniew Blocki Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 37 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dưới, hàm đa điều hoà cực đại, hàm cực trị tương đối, tính C 1,1 - qui hàm Green đa phức với cực Chương phần 1.4 chương nội dung luận văn, trình bày kết nghiên cứu tính quy hàm Green đa phức với nhiều cực Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng TÍNH C 1,1 - CHÍNH QUY CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI MỘT CỰC 1.1 Hàm đa điều hoà dƣới 1.1.1 Định nghĩa Cho W tập mở ca Ê n v u : Wđ [- Ơ , ¥ ) hàm nửa liên tục khơng trùng với - ¥ thành phần liên thông W Hàm u gọi đa điều hồ với a Ỵ W b Ỵ £ n , hàm l a u(a + l b) điều hoà trùng - ¥ thành phần liên thông tập hợp {l Ỵ £ : a + l b Ỵ W} Trong trường hợp đó, ta viết u Ỵ P SH (W) (ở P SH (W) lớp hàm đa điều hồ W) Tính đa điều hồ đặc trưng dạng đạo hàm suy rộng (hay theo nghĩa phân bố) Nhắc lại, u Ỵ C2(W), a Ỵ W, b Ỵ £ n L u(a )b, b = D l (u(a + l b) l =0 Ta có định lý sau: 1.1.2 Định lý Giả sử WÐ £ n tập mở u Ỵ P SH (W) Khi với b = (b1, , bn ) Ỵ £ n ta có ¶ 2u bj bk ³ å j ,k = ¶ z j ¶ z k n z Ỵ W theo nghĩa suy rộng, tức với hàm khơng âm j Ỵ C 0¥ (W) ị u(z )áL j (z )b, bðdl (z ) ³ W Ngược lại, v Ỵ L1loc (W) cho với z Ỵ W, b = (b1, , bn ) ẻ Ê n ả 2v åj ,k = ¶ z ¶ z k bj bk ³ j n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.1) http://www.lrc-tnu.edu.vn theo nghĩa suy rộng hàm u = lim(v * c e ) hàm đa điều hoà e® W v hầu khắp nơi W Chứng minh Cho u Ỵ P SH (W) u e = u * c e với e > Lấy hàm khơng âm j Ỵ C 0¥ (W) véctơ b = (b1, , bn ) Ỵ £ n Định lý hội tụ chặn Lebesgue kết hợp với tích phân phần suy ò u (z ) L j (z )b, b dl (z ) = lim e® ị u (z ) L j (z )b, b dl (z ) e W W = lim e® ò L u (z )b, bðj (z ) dl (z ) e W Phần định lý chứng minh Giả sử v Ỵ L1loc (W) (1.1) thoả mãn Đặt v e = v * c e với e > Khi D v ³ W, theo nghĩa suy rộng Theo Định lý 2.5.8 [13], tồn hàm điều hoà u W trùng với v hầu khắp nơi u = lim v e e® Định lý Fubini (1.1) suy ị L v e (z )b, b j (z ) dl (z ) 0, W với b Ỵ £ n , j ẻ C 0Ơ (We ) , j ³ Bởi L v e (z )b, b ³ , với z Ỵ We , b Ỵ £ n , v e Î P SH (We ) Khi v e1 < v e2 e1 < e2 , hàm giới hạn u đa điều hoà 1.1.3 Định lý Cho W tập mở £ n Khi (i ) Họ P SH (W) nón lồi, tức a , b số khơng âm u, v Ỵ P SH (W) , a u + b v Ỵ P SH (W) (ii ) Nếu W liên thông {u j } jẻ Ơ é P SH (W) l dãy giảm, u = lim u j Ỵ P SH (W) hoc u - Ơ jđ Ơ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (iii ) Nếu u : W® Ă , v nu {u j } jẻ Ơ é P SH (W) hội tụ tới u tập compact W, u Ỵ P SH (W) (iv ) Giả sử {u a } A Ð P SH (W) cho bao u = sup u a bị A chặn địa phương Khi hàm qui nửa liên tục u * đa điều hoà W 1.1.4 Hệ Cho W tập mở £ n w tập mở thực sự, khác rỗng W Nếu u Ỵ P SH (W) , v Ỵ P SH (w) , lim sup v( x) £ u( y) với x® y mi y ẻ ả w ầ W, thỡ hm ìï max {u, v } w w = ïí ïï u W\ w ïỵ hàm đa điều hoà W 1.1.5 Định lý Cho W tập mở £ n (i ) Cho u, v hàm đa điều hoà W v > Nếu f : ¡ ® ¡ lồi, vf (u / v ) đa điều hoà W (ii ) Cho u Ỵ P SH (W) , v Ỵ P SH (W) , v > W Nếu f : ¡ ® ¡ lồi tăng dần, vf (u / v ) đa điều hoà W (iii ) Cho u, - v Ỵ P SH (W) , u ³ W, v > W Nếu f : [0, ¥ ) ® [0, ¥ ) lồi f (0) = , vf (u / v ) Ỵ P SH (W) 1.1.6 Định lý Cho W tập mở £ n F = {z Î W: v(z ) = - ¥ } tập đóng W v Ỵ P SH (W) Nếu u Ỵ P SH (W\ F ) bị chặn trên, hàm u xác định ìï u (z ) (z Ỵ W\ F ) ïï u (z ) = í lim sup u (y ) (z ẻ F ) ùù y đ z ùùợ y Ï F Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... trúc hàm Green đa phức với nhiều cực cịn biết Ở chúng tơi chọn đề tài ” Tính qui hàm Green đa phức với nhiều cực? ?? Cụ thể, nghiên cứu tính C 1,1 - qui hàm Green đa phức với cực, từ nghiên cứu tính. .. Chƣơng 1: TÍNH C 1,1 - CHÍNH QUY CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI MỘT CỰC 1.1 Hàm đa điều hoà 1.2 Hàm đa điều hoà cực đại 1.3 Hàm cực trị tương đối 1.4 Tính C 1,1... Hàm cực trị tương đối 1.4 Tính C 1,1 - qui hàm Green đa phức với cực 11 Chƣơng 2: TÍNH CHÍNH QUY CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI NHIỀU CỰC 16 2.1 Các ước lượng 17 2.2