Đang tải... (xem toàn văn)
kì thi trung học phổ thông chuyển đổi từ tự luận trong trắc nghiệm, cần quý trọng thời gian làm bài, vì vậy phân tích những sai lầm trong quá trình giải bài toán trong quá trình làm bài tập trắc nghiệm
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TỐN CHO HỌC SINH QUA VIỆC PHÂN TÍCH NHỮNG SAI LẦM CƠ BẢN CỦA HỌC SINH TRONG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM ƠN THI TRUNG HỌC PHỔ THƠNG” Lĩnh vực/Mơn: Tốn Ngành: Giáo dục thường xuyên Tên tác giả: HÀ THỊ TUYẾT Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trung tâm GDNN- GDTX Đông Anh Năm học: 2018 - 2019 / 19 MỤC LỤC A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài II Mục đích đề tài III.Đối tượng phạm vi nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu .3 B NỘI DUNG I Nhầm lẫn loại điều kiện II Nhầm lẫn giả thiết câu hỏi trắc nghiệm giả thiết định lý sách giáo khoa .5 III Xét thiếu trường hợp trình tìm kết cuối .6 IV Ngộ nhận kết tổng quát biết số trường hợp riêng V Ngộ nhận tập hợp kết dự đoán số kết 10 VI Quên điều kiện dẫn đến thừa kết toán 11 VII Đưa điều kiện dẫn đến giảm số kết toán 11 VIII Sai lầm khách quan lỗi máy tính điện tử 12 IX Biến đổi sai, tính tốn sai 13 X Một vài giải pháp khắc phục sai lầm 13 C HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 14 D KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO .18 / 19 A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài: Mơn Tốn mơn học quan trọng trường phổ thơng, có tiềm to lớn việc phát triển lực cho học sinh rèn luyện phát triển thao tác tư phẩm chất tư học sinh Đồng thời rèn luyện tín thơng minh, sáng tạo, đức tính cần cù, kiên nhẫn, cẩn thận người lao động Ngày 04/12/2018, Bộ Giáo dục Đào tạo công bố phương án tổ chức kì thi Trung học phổ thơng quốc gia năm 2019 với hình thức thi mơn Toán tiếp tục thi trắc nghiệm khách quan Trong câu hỏi trắc nghiệm thường gặp nay, có phương án gồm phương án phương án nhiễu Phương án nhiễu thường xây dựng dựa sai lầm học sinh Vì vậy, học sinh cần phải nắm kiến thức định chọn phương án thời gian ngắn Vì vậy, để giúp học sinh bồi dưỡng lực giải tốn trắc nghiệm mà tơi chọn viết đề tài: “Bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh qua việc phân tích sai lầm giải toán trắc nghiệm” Với mong muốn học sinh tránh sai lầm phổ biến giải tốn trắc nghiệm từ giúp em rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo giải tập trắc nghiệm để em học tập tốt đạt kết cao II Mục đích đề tài: - Đề tài nghiên cứu nhằm giúp học sinh tránh sai lầm đáng tiếc giải tốn trắc nghiệm, từ bồi dưỡng lực giải toán trắc nghiệm cho học sinh - Mục tiêu tơi đem đề tài trao đổi với đồng nghiệp nhằm mục đích nâng cao nghiệp vụ cơng tác thân góp phần vào việc nâng cao lực giải toán học sinh, giúp học sinh đạt kết cao học tập thi cử III Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Kiến thức chương trình tốn THPT - Một số đề thi trung học phổ thông quốc gia năm gần - sai lầm thường gặp học sinh việc giải toán trắc nghiệm / 19 - Cách đáp án đề thi trắc nghiệm, phương án nhiễu gặp đề thi trắc nghiệm IV Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lí thuyết - Phương pháp nghiên cứu tài liệu sản phẩm hoạt động sư phạm - Phương pháp tổng hợp - Phương pháp thống kê, so sánh / 19 B NỘI DUNG I Nhầm lẫn loại điều kiện (điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần đủ) 1.1 Khi mệnh đề: " A � B " (nếu có A có B ) đúng, học sinh ngộ nhận kết quả: Khẳng định " B � A" (nếu có B có A ) Ví dụ 1: Nếu hàm số y f x có đạo hàm x a hàm số liên tục x a Tuy nhiên, khẳng định sau sai: Nếu hàm số y f x liên tục x a hàm số có đạo hàm x a Chẳng hạn, hàm số y x a liên tục x a khơng có đạo hàm x a Ví dụ 2: Nếu hàm số y f x có đạo hàm điểm x x0 đạt cực trị điểm f ' x0 Tuy nhiên, khẳng định sau sai: Nếu hàm số y f x có đạo hàm điểm x x0 f ' x0 hàm số đạt cực trị f x x3 x x điểm Chẳng hạn, hàm số có đạo hàm x f ' không đạt cực trị điểm x Ví dụ 3: Hàm số f x x x 8x A 0; B 1; C 2; có điểm cực trị? D 3; Trong ví dụ học sinh dễ sai lầm lựa chọn đáp án C tính đạo hàm hàm số cho f ' x x3 12 x có hai nghiệm x x 2 Tuy nhiên đây, x nghiệm kép, đạo hàm f ' x không đổi dấu qua x nên hàm số không đạt cực trị điểm Phương án B 1.2 Khi mệnh đề: " A � B " (nếu có A có B ) đúng, học sinh bị ngộ nhận kết quả: Khẳng định " A � B " (nếu khơng có A khơng có B ) Ví dụ 4: Nếu hàm số y f x có đạo hàm x a hàm số liên tục x a Tuy nhiên, khẳng định sau sai: Nếu hàm số y f x khơng có đạo / 19 hàm x a hàm số khơng liên tục x a Chẳng hạn, hàm số y x a khơng có đạo hàm x a liên tục x a 1.3 Khi mệnh đề: " A � B " (nếu có A có B ) đúng, học sinh bị ngộ nhận kết quả: Khẳng định " A � B " (nếu khơng có A có B ) sai Ví dụ 5: Nếu z số thực mơđun z số không âm Khẳng định sau đúng: Nếu z khơng số thực mơđun z số không âm Trong trường hợp này, học sinh cần phân biệt rõ: Mệnh đề tương đương mệnh đề hệ quả; Mệnh đề điều kiện cần, mệnh đề điều kiện đủ, để tránh gạp nhầm lẫn II Nhầm lẫn giả thiết câu hỏi trắc nghiệm giả thiết định lí sách giáo khoa Ví dụ 6: Xét khẳng định sau: i) Nếu hàm số y f x xác định � thỏa mãn f 1 f đồ thị hàm số y f x trục hồnh có điểm chung ii) Nếu hàm số y f x xác định � thỏa mãn f 1 f f f 1 đồ thị hàm số y f x trục hồnh có điểm chung Phát biểu sau đúng? A Khẳng định i) khẳng đinh ii) đúng; B Khẳng định i) khẳng định ii) sai; C Khẳng định i) sai khẳng định ii) đúng; D Khẳng định i) sai khẳng định ii) sai; Đây câu hỏi khó, học sinh liên tưởng đến định lí giá trị trung gian hàm số liên tục đọc giả thiết hai khẳng định Tuy nhiên, giả thiết thiếu điều kiện quan trọng hàm số liên tục Ta tình để thấy khẳng định i) ii) sai / 19 � 1 f x � � Xét hàm số x x ��\ 0 x0 Hàm số khơng liên tục Ta có f 1 f 0, f f 1 đồ thị hàm số khơng có điểm chung với Ox Chọn phương án D Ví dụ 7: Điểm cực tiểu đồ thị hàm số y x 3x là: A xCT 1 ; B xCT 1; C 1;2 ; D 1;6 ; Trong ví dụ học sinh dễ nhầm lẫn phương án A phương án C Nếu hàm số f x đạt cực tiểu x0 x0 gọi điểm cực tiểu hàm số; f x0 gọi giá trị cực tiểu hàm số, điểm M x0 ; f x0 gọi điểm cực tiểu đồ thị hàm số Bởi phương án phải C lim y Ví dụ 8: Cho hàm số y f x xác định �\ 1;3 có x�� , lim y � lim y � , x�1 Khẳng định sau sai? x �3 A Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang đường thẳng y hai tiệm cận đứng đường thẳng x x ; B Đường thẳng x tiệm cận đứng đồ thị hàm số; C Đường thẳng x tiệm cận đồ thị hàm số; D Hàm số có hai tiệm cận đứng x x ; Trong ví dụ học sinh gặp khó khăn việc lựa chọn phương án đọc phương án có cảm giác khẳng định Trong sách giáo khoa đưa định nghĩa tiệm cận đứng (tiệm cận ngang) nêu rõ đồ thị hàm số Ở phương án D thiếu kiện đồ thị hàm số Chọn phương án D III Xét thiếu trường hợp trình tìm kết cuối / 19 y mx3 mx 2m 1 x Ví dụ 9: Tìm m để hàm số đồng biến tập xác định Học sinh cần ý xét riêng trường hợp m trước dùng định lí dấu tam thức bậc hai Trong tình này, m thỏa mãn yêu cầu toán Với hàm số trên, người ta xây dựng phương án nhiễu thiếu số tập hợp kết mx3 y m 1 x x Ví dụ 10: Tập hợp số thực m đề hàm số có cực trị là: A �\ 1 ; C �\ 0;1 ; B �; D �\ 0 ; Trong ví dụ học sinh dễ quên trường hợp m , hàm số bậc hai ln có cực trị, m thuộc tập hợp kết Phương án A Ví dụ 11: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm B 0;2;0 C 0;0;2 Phương trình mặt phẳng P chứa BC cách điểm M 1;2; 1 khoảng là: A y z ; B C D 2x 1 y z 1 2 ; 2x 1 y z 1 2 y z ; 2x 1 y z 1 2 y z ; Trong ví dụ học sinh thường có hướng giải theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Gọi giao điểm mặt phẳng P với trục Ox điểm / 19 A a;0;0 Phương trình mặt phẳng P có dạng: x y z � x ay az 2a a 2 Theo giả thiết: d M ; P 2a 2a 1 �a 2 1 2x y z P 2 Phương trình mặt phẳng là: Khi giải đến học sinh dễ mắc sai lầm lựa chọn phương án B mà quên trường hợp mặt phẳng P khơng viết dạng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Ở học sinh cần phải P ‖ Ox xét thêm trường hợp Khi đó, vectơ pháp tuyến r uuu rr � � n AB P � , i � 0;2;2 Ta lập phương trình mặt phẳng tính: mặt phẳng P theo trường hợp là: y z Trường hợp thỏa mãn yêu cầu toán nên phương án D y x m m2 x 3m 1 x m Ví dụ 12: Cho hàm số Tìm m để hàm số đạt cực trị điểm x 2 A m ; B m m ; C m ; D Đáp án khác; Trong ví dụ học sinh dễ nhầm lẫn phương án B phương án C Đạo hàm hàm số: y ' x m m x 3m 1 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị x 2 y ' 2 � 4 m m 3m2 1 m 1 � �� m3 � / 19 Khi giải đến hàm số vội vàng lựa chọn phương án B mà quên việc xét điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị x 2 Điều kiện đủ: +, Với m y ' x x x �0, x �� Bởi hàm số nghịch biến � nên khơng có cực trị +, Với m y ' x 16 x 28 y '' 2 x 16 y ' 2 � � �� y '' 2 12 � Khi hàm số đạt cực đại x 2 Vậy m hàm số đạt cực trị x 2 Chọn phương án C IV Ngộ nhận kết tổng quát biết số trường hợp riêng Ví dụ 13: Số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số A �\ 1 ; y x x là: C �\ 0;1 ; B �; D �\ 0 ; Khi nhìn mẫu số có nghiệm 2, học sinh đưa đáp án cho câu hỏi đáp án C Trong tình này, phương án C phương án vì: lim x �1 1 � , lim � ,lim a � 1;2 x �a a 3a x �2 x x x 3x Tuy nhiên số tiệm cận đứng đồ thị lúc số nghiệm phân biệt mẫu số Chẳng hạn câu hỏi sau: Số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số A 3; B 2; C 0; y x3 2 x2 x là: D 1; Mẫu số có hai nghiệm phân biệt đồ thị khơng có tiệm cận đứng vì: 10 / 19 lim x32 x2 x x �0 lim x �0 x32 x �1 x2 x lim sin x x3 2 2 x 1 khác vô cực x lim x sin x sin1 x x 1 x khác vô cực x �1 Chọn phương án C Ví dụ 14: Xét mệnh đề sau: Đồ thị hàm số ngang y x có tiệm cận đứng tiệm cận x x2 x y x Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang tiệm cận đứng Đồ thị hàm số đứng y x 2x x2 có tiệm cận ngang hai tiệm cận Số mệnh đề là: A 1; B 2; C 3; D 0; Học sinh dễ dàng kiểm tra nhanh mệnh đề mệnh đề Trong ví dụ học sinh dễ mắc sai lầm mệnh đề Học sinh dễ dàng tìm đồ thị y x 2x có tiệm cận ngang đường y ngộ nhận đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng x 1 x Lí sai nhầm hàm số x2 giống ví dụ trên, mẫu số có hai nghiệm phân biệt 1 đồ thị khơng có đường tiệm cận đứng x 1 không tồn giới hạn x � 1 x � 1 Mệnh đề sai Chọn phương án B ab � a b �� a b � Ví dụ 15: Nếu a b hai số thực 11 / 19 a b � a b �� a b � Khẳng định sau sai: Nếu a b hai số phức V Ngộ nhận tập hợp kết dự đoán số kết x Ví dụ 16: Số nghiệm thực phương trình x là: A 0; B 1; C 2; D 3; Trong ví dụ học sinh mò nghiệm khơng mị thêm nghiệm khác ngộ nhận số nghiệm phương trình Học sinh vẽ đồ thị hàm số để thấy số nghiệm phương trình Ngồi ra, học sinh xét hàm số liên tục �, h x 3x x 2, h 1 0, h 2 0, h 1 , tồn c � 2; 1 , h c h '' x 3x ln 3 0, x �� nên phương trình h x có tối đa nghiệm Chọn phương án C Học sinh sử dụng số loại máy tính để tìm số nghiệm phương trình VI Quên điều kiện dẫn đến thừa kết toán log x x Ví dụ 17: Số nghiệm thực phương trình A 0; B 1; C 2; 12 / 19 log x 0 là: D 3; Nếu học sinh ý đến điều kiện x giải phương trình log x x , có kết x 4 (không thỏa mãn x ) x chọn phương án B Tuy nhiên, x không thỏa mãn điều kiện mẫu số khác Vì phải chọn phương án A VII Đưa điều kiện dẫn đến giảm số kết toán 2log x log x 2 Ví dụ 18: Số nghiệm thực phương trình là: A 0; B 1; C 2; D 3; Vì có hệ số vế trái nên học sinh nghĩ đến công thức log x 2log x x dương, học sinh biến đổi 3x x � x 1 Giá trị khơng thỏa mãn điều kiện để thực công thức log x 2log x , học sinh kết luận phương trình cho vơ nghiệm Sai lầm học sinh đưa điều kiện x để biến đổi làm nghiệm Lời giải sau: � 3x � � 2log x log x � �x � log x log x � � �x � ۹۹� �x � 3x x � � � �x � �x � x 12 x � � x Chọn phương án B Học sinh cần phải cảnh giác với biến đổi dẫn đến phương trình có tập xác định khác với tập xác định ban đầu VIII Sai lầm khách quan lỗi máy tính điện tử Ví dụ 19: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số y x 3x hai đường thẳng x 15, x 15 A S 2250 ; B S 2259 ; 13 / 19 C S 1593 ; D S 2925 ; Trong ví dụ học sinh có lời giải sau: Diện tích hình phẳng cần tính: S 15 �x � x 3x dx 15 15 3x dx �x 3x dx 15 x � x dx 2259 Chọn phương án B Tuy nhiên dạng tập kiểu học sinh thường S S �x 3x dx Khi dùng máy tính x dx 2259 15 VINACAL: Ta tính S �x 15 sử dụng máy tính điện tử để tính điện tử có hai khả sau: 15 15 15 Đúng với kết tính tay �x x dx 2250 15 CASIO: Ta tính tính tay Khơng với kết Lý hai loại máy tính cho ta hai kết khác vì: Máy CASIO “thường khơng đúng” cho tích phân trị tuyệt hai cận chứa đoạn đổi dấu trở nên Ví dụ 20: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số y x x hai đường thẳng x 12, x 12 A S 1152 ; B S 3457 ; C S 3457 ; D S 1154 ; Trong ví dụ học sinh có lời giải sau: Diện tích hình phẳng cần tính: S 12 �x 12 x dx � x 12 x dx �x x dx 12 x � x dx 3457 Chọn phương án C Tuy nhiên dạng tập kiểu học sinh thường S sử dụng máy tính điện tử để tính 14 / 19 12 �x 12 x dx Đối với ví dụ hai loại máy CASIO VINACAL cho đáp số 1152 Kết kết gần Khi học sinh dễ chọn phương án sai lầm phương án A IX Biến đổi sai biểu thức, tính tốn sai Học sinh phải thận trọng biến đổi biểu thức Tránh tình trạng tin tưởng vào máy tính xử lí biểu thức biến đổi sai yên tâm dùng kết tìm nhờ máy tính X Một vài giải pháp khắc phục sai lầm Để hạn chế sai lầm giải toán trắc nghiệm, học sinh cần ý: Học cẩn thận khái niệm, định lí toán học Chú ý điều kiện liên quan mệnh đề biết để không bị lừa câu hỏi có nội dung gần giống với mệnh đề điều kiện thay đổi Học cẩn thận mệnh đề phương trình tương đương, hệ phương trình tương đương bất phương trình tương đương Không ngộ nhận kết tổng quát thông qua số trường hợp riêng Biến đổi biểu thức cẩn thận tính tốn cẩn thận Trong số trường hợp, cần dùng máy tính điện tử hình vẽ để kiểm tra lại kết Tuy nhiên, sử dụng máy tính điện tử nên nắm bắt rõ số lỗi thông thường mà máy tính điện tử dễ mắc phải nên biến đổi biểu thức bước đơn giản sau sử dụng máy tính điện tử Với loại câu hỏi trắc nghiêm có phương án gồm phương án phương án nhiễu nay, cần kết hợp việc loại trừ phương án nhiễu để tìm phương án C HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào trình nghiên cứu giảng dạy mang lại kết tích cực - Đối với thân sau nghiên cứu kĩ sai lầm học sinh, , giúp tơi có kiến thức kinh nghiệm việc giảng dạy cho 15 / 19 em Từ định hướng cho em cách phát tư việc giải toán mức độ vận dụng vận dụng cao - Với đồng nghiệp, việc sử dụng tài liệu nhỏ tài liệu để tham khảo hướng dẫn cho học sinh làm toán - Đối với học sinh sau áp dụng cách tránh sai lầm việc giải toán giúp học sinh phát triển tư Học sinh có khả định hướng cách làm với dạng tập khó khác Học sinh tự tin trình làm bài, tạo hứng thú cho em trình học tập Việc làm tập trắc nghiệm với em trở nên nhanh chóng xác Cụ thể, tơi khảo sát thực tế lớp mà dạy hai năm học 2017 – 2018 2018 – 2019 Năm học trước, chưa áp dụng phương pháp học sinh lớp: 12A9 12A8, kết đạt chưa tốt, nhiều học sinh mắc sai lầm, chọn phương án trả lời sai có biết cách làm dạng tốn Kết cụ thể mơn tốn kỳ thi THPT năm 2018 sau: Năm học 2017 - 2018: HS đạt LỚP HS đạt HS đạt từ 0–3 điểm từ 3–5 điểm từ 5–6 điểm HS đạt Tổng Trên điểm Lớp 12A8 25 – 62,5% 13 – 32,5% – 5% – 0% 40 Lớp 12A9 19 – 70,4% – 29,6% 0% 0% 27 Năm học 2018 – 2019, áp dụng phương pháp tránh gặp sai lầm học sinh Trong nội dung ôn tập, triển khai kĩ sai lầm mà học sinh thường mắc phải cho ví dụ minh họa cụ thể Trong nhiều kiểm tra, học sinh áp dụng tương đối tốt, nhiều học sinh yếu áp dụng Tơi đề kiểm tra, mức độ đề thi trung học phổ thông năm học 2017 – 2018, ngày kiểm tra: 01/3/2019 hai lớp mà trực tiếp giảng dạy 12A1 12A5, kết đạt sau: Năm học 2018 - 2019: HS đạt LỚP HS đạt HS đạt từ 0–3 điểm từ 3–5 điểm từ 5–6 điểm 16 / 19 HS đạt Trên điểm Tổng Lớp 12A1 – 7,4% 14 – 34,1% 15 – 36,6% – 21,9% 41 Lớp 12A5 – 12,5% 17 – 53,1% 8– 25% – 9,4% 32 So sánh kết thu từ hai bảng ta thấy: sau áp dụng phương pháp tránh sai lầm học sinh làm tốt khả tư phát triển Điển hình có câu khó dạng gặp em làm tốt D KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Qua việc vận dụng đề tài nghiên cứu vào trình giảng dạy học tập học sinh thu đươc kết tích cực bảng số liệu phân tích Đề tài giúp cho giáo viên nhiều việc truyền đạt tư tưởng, phương pháp kiến thức cho học sinh Bản thân học sinh giảng dạy thông qua đề tài giúp em phát triển tư duy, biết định hướng để giải toán Khơi dậy em niềm thích thú, ham học hỏi đặc biệt giúp em đạt hiệu cao làm tập thi THPT quốc gia Việc áp dụng đề tài không dừng lại số toán số phức mức độ vận dụng cao, mà cịn mở rộng nhiều dạng toán khác Bản thân đề tài động lực cho giáo viên học sinh tìm tịi phát triển để có phương pháp cách truyền thụ kiến thức cảm hứng cho học sinh tốt Kiến nghị Đối với sở giáo dục đào tạo Hà Nội: Thông qua việc chấm sáng kiến kinh nghiệm hàng năm, lựa chọn đề tài có chất lượng cần phổ biến rộng rài cho trường tỉnh để trường có điều kiện tương đồng triển khai áp dụng hiệu Nên đưa SKKN có chất lượng vào mục “tài ngun” sở để giáo viên tồn tỉnh tham khảo cách rộng rãi 17 / 19 Đối với Trung tâm GDNN – GDTX Đông Anh: Mỗi sáng kiến kinh nghiệm lựa chọn cần phổ biến rộng rãi phạm vi tổ, nhóm Cần có lưu thư viện để giáo viên học sinh tham khảo Đối với tổ chuyên môn: Cần đánh giá chi tiết mặt đạt được, hạn chế hướng phát triển đề tài cách chi tiết cụ thể để hoàn thiện sáng kiến Đối với đồng nghiệp: Trao đổi ý tưởng, kinh nghiệm hỗ trợ việc áp dụng rộng rãi sáng kiến lớp học Phản hồi mặt tích cực, mặt hạn chế sáng kiến Đề tài nghiên cứu thời gian hạn chế, mong Hội đồng khoa học nghiên cứu, góp ý bổ sung để sáng kiến hồn thiện Đơng Anh, ngày tháng năm 2019 XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM ĐỐC Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm tôi, không chép nội dung người khác Người viết sáng kiến HÀ THỊ TUYẾT 18 / 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK giải tích 12 – Nhà xuất giáo dục 2009 Sách tập giải tích 12 – Nhà xuất giáo dục 2009 Đề minh họa lần 1, lần 2, lần giáo dục đào tạo năm học 20162017, 2017 – 2018, 2018 – 2019 Website: http://www.dethithu.net Website: http://www.luyenthithukhoa.vn 19 / 19 ... SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào trình nghiên cứu giảng dạy mang lại kết tích cực - Đối với thân sau nghiên cứu kĩ sai lầm học sinh, , giúp tơi có kiến thức kinh nghiệm. .. ý bổ sung để sáng kiến hồn thiện Đơng Anh, ngày tháng năm 2019 XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM ĐỐC Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm tôi, không chép nội dung người khác Người viết sáng kiến HÀ THỊ... cụ thể để hoàn thiện sáng kiến Đối với đồng nghiệp: Trao đổi ý tưởng, kinh nghiệm hỗ trợ việc áp dụng rộng rãi sáng kiến lớp học Phản hồi mặt tích cực, mặt hạn chế sáng kiến Đề tài nghiên cứu