Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây A  200 , vẽ tam giác đều DBC D Bài 5: 4 điểm Cho tam giác ABC cân tại A có A nằm trong tam g[r]

Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ Tìm x, y, biết : a) (x – 1)2 + (y + 2)2 = b) x  2005 + y  = Trong chạy đua tiếp sức  100m ( Mỗi đội tham gia gồm vận động viên, VĐV chạy xong 100m truyền gậy tiếp sức cho VĐV Tổng số thời gian chạy VĐV là thành tích đội, thời gian chạy đội nào càng ít thì thành tích càng cao ) Giả sử đội tuyển gồm : chó, mèo, gà, vịt có vận tốc tỉ lệ với 10, 8, 4, Hỏi thời gian chạy đội tuyển là ? giây Biết vịt chạy hết 80 giây? x Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn :   y QuËn t©n phó - Năm học 2003 – 2004 (90 phút) Bài (3đ): 1, Tính: 1   P = 2003 2004 2005 5   2003 2004 2005  2   2002 2003 2004 3   2002 2003 2004 2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 x3  x  0, 25 xy  x2  y Tính giá trị A biết x  ; y là số nguyên âm lớn 3, Cho: A = Bài (1đ): Tìm x biết: 3x + 3x + + 3x + = 117 Bài (1đ): Một thỏ chạy trên đường mà hai phần ba đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại qua đầm lầy Thời gian thỏ chạy trên đồng cỏ nửa thời gian chạy qua đầm lầy Hỏi vận tốc thỏ trên đoạn đường nào lớn ? Tính tỉ số vận tốc thỏ trên hai đoạn đường ? Bài (2đ): Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngoài ∆ABC các ∆ ABD và ACE Gọi M là giao điểm BE và CD Chứng minh rằng: 1, ∆ABE = ∆ADC A 2, BMC  1200 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán năm học 2009 - 2010 Lop7.net Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước Bài (3đ): Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm 1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó 2, Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E Chứng minh: AE = AB thị xã hà đông – hà tây Năm học 2003 – 2004 (120 phút) Bài (4đ): Cho các đa thức: A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 16 1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) 2, Tính giá trị M(x) x =  0, 25 3, Có giá trị nào x để M(x) = không ? Bài (4đ): 1, Tìm ba số a, b, c biết: 3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60 2, Tìm x biết: 2x   x   x Bài (4đ): Tìm giá trị nguyên m và n để biểu thức có giá trị lớn 6m 8n 2, Q = có giá trị nguyên nhỏ n3 1, P = Bài (5đ): Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b Qua M là trung điểm BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác góc A, cắt các đường thẳng AB, AC D, E 1, Chứng minh BD = CE 2, Tính AD và BD theo b, c Bài (3đ): A Cho ∆ABC cân A, BAC  1000 D là điểm thuộc miền ∆ABC A A cho DBC  100 , DCB  200 Tính góc ADB ? Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán năm học 2009 - 2010 Lop7.net Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước Tp Năm học 2004 – 2005 (90 phút) Bài (3đ): Tính:   1 3  1    1  1, 6       1    1         2, (63 + 62 + 33) : 13 3, 1 1 1 1          10 90 72 56 42 30 20 12 Bài (3đ): 1, Cho a b c   và a + b + c ≠ 0; a = 2005 b c a Tính b, c 2, Chứng minh từ hệ thức ab cd  ta có hệ thức: ab cd a c  b d Bài (4đ): Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? Bài (3đ): Vẽ đồ thị hàm số: 2 x ; x  x ; x  y=  Bài (3đ): Chứng tỏ rằng: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 là số chia hết cho 100 Bài (4đ): Cho tam giác ABC có góc A = 600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E Các tia phân giác đó cắt I Chứng minh: ID = IE quÕ vâ – bn Năm 2007 – 2008: (120 phút) Bài (5đ): 1, Tìm n  N biết (33 : 9)3n = 729 2, Tính : Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán năm học 2009 - 2010 Lop7.net Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước    2 A =    + 0, (4)      Bài (3đ): Cho a,b,c  R và a,b,c  thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng: a (a  2007b) = c (b  2007c) Bài (4đ): Ba đội công nhân làm công việc có khối lượng Thời gian hoàn thành công việc đội І, ІІ, ІІІ là 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ là người và suất công nhân là Hỏi đội có bao nhiêu công nhân ? Câu (6đ): Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngoài ∆ABC các ∆ ABD và ACE 1, Chứng minh: BE = DC 2, Gọi H là giao điểm BE và CD Tính số đo góc BHC Bài (2đ): Cho m, n  N và p là số nguyên tố thoả mãn: mn p = p m 1 Chứng minh : p2 = n + §Ò sè Bµi 1: (2 ®iÓm) a, Cho A  (0,8.7  0.82 ).(1,25.7  1,25)  31,64 B (11,81  8,19).0,02 : 11,25 Trong hai sè A vµ B sè nµo lín h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ? b) Sè A  101998  cã chia hÕt cho kh«ng ? Cã chia hÕt cho kh«ng ? C©u 2: (2 ®iÓm) Trên quãng đường AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tèc An so víi B×nh lµ 2: §Õn lóc gÆp nhau, thêi gian An ®i so víi B×nh ®i lµ 3: Tính quãng đường người tới lúc gặp ? C©u 3: a) Cho f ( x)  ax  bx  c víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ Chøng tá r»ng: f (2) f (3)  BiÕt r»ng 13a  b  2c  b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A  6 x cã gi¸ trÞ lín nhÊt C©u 4: (3 ®iÓm) Cho ABC dùng tam gi¸c vu«ng c©n BAE; BAE = 900, B vµ E n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c bê AC Dùng tam gi¸c vu«ng c©n FAC, FAC = 900 F vµ C n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c bê AB a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán năm học 2009 - 2010 Lop7.net Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước b) FB  EC C©u 5: (1 ®iÓm) T×m ch÷ sè tËn cïng cña A  19 89 51 2 96 91 §Ò sè C©u 1: (2 ®iÓm) 3   0,375  0,3    1,5   0,75  1890 11 12  : a) TÝnh A    115  2,5   1,25  0,625  0,5    2005   11 12   1 1 1 b) Cho B       2004  2005 3 3 3 Chøng minh r»ng B  C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu a c 5a  3b 5c  3d   th× b d 5a  3b 5c  3d (giả thiết các tỉ số có nghĩa) b) T×m x biÕt: x 1 x  x  x     2004 2003 2002 2001 C©u 3: (2®iÓm) a) Cho ®a thøc f ( x)  ax  bx  c víi a, b, c lµ c¸c sè thùc BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn b) Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba đường cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC0 Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối tia CB lÊy ®iÓm E cho BD = CE C¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E cắt AB, AC M, N Chứng minh rằng: a) DM = EN b) §­êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN c) Đường thẳng vuông góc với MN I luôn qua điểm cố định D thay đổi trên cạnh BC C©u 5: (1 ®iÓm) Tìm số tự nhiên n để phân số 7n  cã gi¸ trÞ lín nhÊt 2n  §Ò sè C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán năm học 2009 - 2010 Lop7.net Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước 3   11 11    :    2,75  2,2  13   13    10 1,21 22 0,25   225  :  B =      49      b) Tìm các giá trị x để: x   x   3x A =  0,75  0,6   C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho a, b, c > Chøng tá r»ng: M  a b c   kh«ng lµ sè ab bc ca nguyªn b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = Chøng minh r»ng: ab  bc  ca  C©u 3: (2 ®iÓm) a) Tìm hai số dương khác x, y biết tổng, hiệu và tích chúng tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12 b) VËn tèc cña m¸y bay, « t« vµ tµu ho¶ tØ lÖ víi c¸c sè 10; vµ Thêi gian máy bay bay từ A đến B ít thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B bao lâu ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là Trên các cạnh AB, AD lấy các ®iÓm P, Q cho chu vi APQ b»ng Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450 C©u 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: 1 1      15 25 1985 20 §Ò sè Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Chứng minh với số n nguyên dương có: A= 5n (5n  1)  6n (3n  2)  91 b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè P cho P  14 lµ sè nguyªn tè Bµi 2: ( ®iÓm) a) T×m sè nguyªn n cho n   n  b) BiÕt bz  cy cx  az ay  bx   a b c a b c Chøng minh r»ng:   x y z Bµi 3: (2 ®iÓm) An và Bách có số bưu ảnh, số bưu ảnh người chưa đến 100 Số bưu ¶nh hoa cña An b»ng sè b­u ¶nh thó rõng cña B¸ch Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán năm học 2009 - 2010 Lop7.net Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước + B¸ch nãi víi An NÕu t«i cho b¹n c¸c b­u ¶nh thó rõng cña t«i th× sè b­u ¶nh cña b¹n gÊp lÇn sè b­u ¶nh cña t«i + An tr¶ lêi: cßn nÕu t«i cho b¹n c¸c b­u ¶nh hoa cña t«i th× sè b­u ¶nh cña t«i gÊp bèn lÇn sè b­u ¶nh cña b¹n Tính số bưu ảnh người Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho ABC cã gãc A b»ng 1200 C¸c ®­êng ph©n gi¸c AD, BE, CF a) Chøng minh r»ng DE lµ ph©n gi¸c ngoµi cña ADB b) TÝnh sè ®o gãc EDF vµ gãc BED Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n: 52 p  1997  52 p  q §Ò sè Bµi 1: (2 ®iÓm) 5  13   10  230  46 27 6 25 TÝnh:  10     1   : 12  14  7  10   Bµi 2: (3 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: A  3638  4133 chia hÕt cho 77 b) Tìm các số nguyên x để B  x   x  đạt giá trị nhỏ c) Chøng minh r»ng: P(x)  ax  bx  cx  d cã gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn vµ chØ 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ sè nguyªn Bµi 3: (2 ®iÓm) a c  Chøng minh r»ng: b d ab a  b a  b2 ab  vµ    cd c  d c2  d cd  a) Cho tØ lÖ thøc b) Tìm tất các số nguyên dương n cho: 2n  chia hết cho Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q cho chu vi APQ b»ng Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450 Bµi 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: 3a  2b  17  10a  b  17 (a, b  Z ) §Ò sè 10 Bµi 1: (2 ®iÓm) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán năm học 2009 - 2010 Lop7.net Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước a) Tìm số nguyên dương a lớn cho 2004! chia hết cho 7a 1 1     2005 b) TÝnh P  2004 2003 2002     2004 Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho x y z t    y zt zt  x t  x y x y z chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn P x y y z zt t  x    zt t  x x y y z Bµi 3: (2 ®iÓm) Hai xe máy khởi hành cùng lúc từ A và B, cách 11 km để đến C Vận tốc người từ A là 20 km/h Vận tốc người từ B là 24 km/h Tính quãng đường người đã Biết họ đến C cùng lúc và A, B, C th¼ng hµng Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC KÎ AH  BC (H  BC) VÏ AE  AB vµ AE = AB (E và C khác phía AC) Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đường thẳng AH (M, N  AH) EF c¾t AH ë O Chøng minh r»ng O lµ trung ®iÓm cña EF Bµi 5: (1 ®iÓm) So s¸nh: 5255 vµ 2579 §Ò sè 11 C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh : 1   512 512 512 512 A  39 51 ; B  512      10 1 2 2   52 68 C©u 2: (2 ®iÓm) a) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = b) T×m x, y, z biÕt: x y z    x yz z  y 1 x  z 1 x  y  (x, y, z  ) C©u 3: (2 ®iÓm) a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dương ta có: S  3n   2n   3n  2n chia hÕt cho 10 b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: 7( x  2004)  23  y C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, AK lµ trung tuyÕn Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B, bê lµ AC, kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AC; trªn tia Ax lÊy ®iÓm M cho AM = AC Trªn nöa Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán năm học 2009 - 2010 Lop7.net Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước mÆt ph¼ng kh«ng chøa C, bê lµ AB, kÎ tia Ay vu«ng gãc víi AB vµ lÊy ®iÓm N thuéc Ay cho AN = AB LÊy ®iÓm P trªn tia AK cho AK = KP Chøng minh: a) AC // BP b) AK  MN C©u 5: (1 ®iÓm) Cho a, b, c lµ sè ®o c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng víi c lµ sè ®o c¹nh huyÒn Chøng minh r»ng: a n  b n  c n ; n lµ sè tù nhiªn lín h¬n §Ò sè 12 C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh: 16 3 19 : A  24  14    34 34   17 1 1 1 B       54 108 180 270 378 C©u 2: ( 2, ®iÓm) 1) Tìm số nguyên m để: a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + b) 3m   2) Chøng minh r»ng: 3n   2n   3n  2n chia hÕt cho 30 víi mäi n nguyªn dương C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m x, y, z biÕt: x y y z  ;  vµ x  y  16 b) Cho f ( x)  ax  bx  c Biết f(0), f(1), f(2) là các số nguyên Chøng minh f(x) lu«n nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn C©u 4: (2,5 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, ®­êng cao AH ë miÒn ngoµi cña tam gi¸c ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF nhận A làm đỉnh góc vuông Kẻ EM, FN cïng vu«ng gãc víi AH (M, N thuéc AH) a) Chøng minh: EM + HC = NH b) Chøng minh: EN // FM C©u 5: (1 ®iÓm) Cho 2n  lµ sè nguyªn tè (n > 2) Chøng minh 2n  lµ hîp sè §Ò sè 13 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán năm học 2009 - 2010 Lop7.net Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh nhanh: 1 1 1 (1     99  100)    (63.1,2  21.3,6) 2 9 A      99  100 1 2     14  35  ( 15 )  B 1 2      10 25    C©u 2: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A  3x  x  víi x  b) Tìm x nguyên để x  chia hÕt cho x 3 C©u 3: ( ®iÓm) a) T×m x, y, z biÕt 3x y 3z   vµ x  y  z  64 216 b) Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % đó đến B sớm dự định 15 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là ®­êng th¼ng AB dùng ®o¹n AE vu«ng gãc víi AB vµ AE = AB Trªn nöa mÆt ph¼ng chứa đỉnh B bờ là đường thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC và AF = AC Chøng minh r»ng: a) FB = EC b) EF = AM c) AM  EF C©u 5: (1 ®iÓm) Chøng tá r»ng:      1 1 1       99 200 101 102 199 200 §Ò sè 14 C©u 1: (2 ®iÓm) 2 1   0,25  11  a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: M  7 1,4    0,875  0,7 11 1 1 1 b) TÝnh tæng: P        10 15 28 21 0,4  C©u 2: (2 ®iÓm) 1) T×m x biÕt: x    x  10 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán năm học 2009 - 2010 Lop7.net Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước 2) Trên quãng đường Kép - Bắc giang dài 16,9 km, người thứ từ Kép đến Bắc Giang, người thứ hai từ Bắc Giang đến Kép Vận tốc người thứ so với người thứ hai 3: Đến lúc gặp vận tốc người thứ so với người thứ hai ®i lµ 2: Hái gÆp th× hä c¸ch B¾c Giang bao nhiªu km ? C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho ®a thøc f ( x)  ax  bx  c (a, b, c nguyªn) CMR f(x) chia hết cho với giá trị x thì a, b, c chia hết cho a  5ac 7b  5bd a c  b) CMR: nÕu  th× (Giả sử các tỉ số có nghĩa) a  5ac 7b  5bd b d C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, tõ M kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, c¾t tia nµy t¹i N, c¾t tia AB t¹i E vµ c¾t tia AC t¹i F Chøng minh r»ng: a) AE = AF b) BE = CF c) AE  AB  AC C©u 5: (1 ®iÓm) Đội văn nghệ khối gồm 10 bạn đó có bạn nam, bạn nữ Để chào mõng ngµy 30/4 cÇn tiÕt môc v¨n nghÖ cã b¹n nam, b¹n n÷ tham gia Hỏi có nhiều bao nhiêu cách lựa chọn để có bạn trên tham gia §Ò sè 15 C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:  11   2 1 31  15  19   14  31   1 A   1 1 93  50     12      1 1  b) Chøng tá r»ng: B       2 3 2004 2004 C©u 2: (2 ®iÓm) Cho ph©n sè: C  3x 2 x 5 (x  Z) a) Tìm x  Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn đó b) Tìm x  Z để C là số tự nhiên C©u 3: (2 ®iÓm) 11 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán năm học 2009 - 2010 Lop7.net Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước Cho a c ab (a  b)  Chøng minh r»ng:  b d cd (c  d ) C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC), tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc B vµ C c¾t AC và AB E và D a) Chøng minh r»ng: BE = CD; AD = AE b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD AI c¾t BC ë M, chøng minh r»ng c¸c MAB; MAC lµ tam gi¸c vu«ng c©n c) Tõ A vµ D vÏ c¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BE, c¸c ®­êng th¼ng nµy c¾t BC K và H Chứng minh KH = KC C©u 5: (1 ®iÓm) T×m sè nguyªn tè p cho: p  ; 24 p  lµ c¸c sè nguyªn tè §Ò sè 16 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 3  13 ; A 11 11 2,75  2,2   B  (251.3  281)  3.251  (1  281) 0,75  0,6  b) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y cho: 51x + 26y = 2000 C©u 2: ( ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c  17 nÕu a - 11b + 3c  17 (a, b, c  Z) bz  cy cx  az ay  bx   (=0) a b c a b c Chứng minh rằng:   (Biến đổi đưa về: ay = bx, bz = cy…) x y z b) BiÕt C©u 3: ( ®iÓm) Bây là 10 phút Hỏi sau ít bao lâu thì hai kim đồng hồ nằm đối diÖn trªn mét ®­êng th¼ng C©u 4: (2 ®iÓm) Cho ABC vu«ng c©n t¹i A Gäi D lµ ®iÓm trªn c¹nh AC, BI lµ ph©n gi¸c cña ABD, ®­êng cao IM cña BID c¾t ®­êng vu«ng gãc víi AC kÎ tõ C t¹i N TÝnh gãc IBN ? C©u 5: (2 ®iÓm) Số 2100 viết hệ thập phân tạo thành số Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số ? §Ò sè 17 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 12 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán năm học 2009 - 2010 Lop7.net Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước 3   2,5   1,25   0,375  0,3   11 12  P  2005 :    0,625  0,5   1,5   0,75    11 12   b) Chøng minh r»ng: 19  2  2   2  2 3 10 C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chứng minh với số nguyên dương n thì: 3n   3n 1  2n   2n  chia hÕt cho b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: D  2004  x  2003  x C©u 3: (2 ®iÓm) Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % đó đến B sớm dự định 10 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, M lµ trung ®iÓm cña BC Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C có bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với AC Trên tia đó lấy ®iÓm E cho AE = AC Chøng minh r»ng: a) DE = AM b) AM  DE C©u 5: (1 ®iÓm) Cho n sè x1, x2, …, xn mçi sè nhËn gi¸ trÞ hoÆc -1 Chøng minh r»ng nÕu x1 x2 + x2 x3 + …+ xn x1 = th× n chia hÕt cho §Ò sè 18 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:    81,624 :  4,505   125   A  11      13   : 0,88  3,53  (2,75)  :  25   25  b) Chøng minh r»ng tæng: S 1 1 1     n   n   2002  2004  0,2 2 2 2 2 Bµi 2: (2 ®iÓm) a) T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n 2005  x   x  10  x  101  x  990  x  1000 13 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán năm học 2009 - 2010 Lop7.net Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước b) Cho p > Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè p, p + d , p + 2d lµ c¸c sè nguyªn tè th× d chia hÕt cho Bµi 3: (2 ®iÓm) a) §Ó lµm xong mét c«ng viÖc, mét sè c«ng nh©n cÇn lµm mét sè ngµy Mét b¹n häc sinh lËp luËn r»ng nÕu sè c«ng nh©n t¨ng thªm 1/3 th× thêi gian sÏ gi¶m 1/3 Điều đó đúng hay sai ? vì ? b) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d ab bc cd d a    TÝnh M  cd d a ab bc Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC, AB > AC ph©n gi¸c BD vµ CE c¾t t¹i I a) TÝnh c¸c gãc cña DIE nÕu gãc A = 600 b) Gọi giao điểm BD và CE với đường cao AH ABC là M và N Chøng minh BM > MN + NC Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho z, y, z là các số dương Chøng minh r»ng: x y z    2x  y  z y  z  x 2z  x  y §Ò sè 19 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) T×m x biÕt: x  x   x  b) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®­îc sau bá dÊu ngoÆc biÓu thøc: A(x) = (3  x  x ) 2004 (3  x  x ) 2005 Bµi 2: (2 ®iÓm) Ba đường cao tam giác ABC có độ dài 4; 12; x biết x là số tự nhiªn T×m x ? Bµi 3: (2 ®iÓm) Cho x y z t    y zt zt  x t  x y x y z CMR biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn: P x y y z zt t  x    zt t  x x y y z Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A cã gãc B =  Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E cho góc EBA=  Trên tia đối tia EB lấy điểm D cho ED = BC Chøng minh tam gi¸c CED lµ tam gi¸c c©n 14 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán năm học 2009 - 2010 Lop7.net Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước Bµi 5: (1 ®iÓm) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn : a  3a   5b vµ a   5c §Ò sè 20 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh A   32  33  34   32003  32004 b) T×m x biÕt x   x   Bµi 2: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng: x y z   a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c a b c   Th× x  y  z 2x  y  z 4x  y  z NÕu Bµi 3: (2 ®iÓm) Hai xe máy khởi hành cùng lúc từ A và B, cách 11km để đến C (ba địa điểm A, B, C cùng trên đường thẳng) Vận tốc người từ A là 20 km/h Vận tốc người từ B là 24 km/h Tính quãng đường người đã Biết họ đến C cùng lúc Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc A kh¸c 900, gãc B vµ C nhän, ®­êng cao AH VÏ c¸c điểm D, E cho AB là trung trực HD, AC là trung trực HE Gọi I, K lµ giao ®iÓm cña DE víi AB vµ AC TÝnh sè ®o c¸c gãc AIC vµ AKB ? Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho x = 2005 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x 2005  2006 x 2004  2006 x 2003  2006 x 2002   2006 x  2006 x  đề thi học sinh giỏi M«n To¸n líp ( Thêi gian 120 phót) đề bài: C©u ( 2®) Cho: a b c   b c d a abc Chøng minh:    d bcd  C©u (1®) T×m A biÕt r»ng: a c b   bc ab ca Câu (2đ) Tìm x  Z để A Z và tìm giá trị đó x3  2x a) A = b) A = x2 x3 A= C©u (2®) T×m x: 15 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán năm học 2009 - 2010 Lop7.net Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước x3 = a) b) ( x+ 2) = 81 c) x + x+ = 650 C©u (3®) Cho  ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM E  BC, BH,CK  AE, (H,K  AE) Chøng minh  MHK vu«ng c©n §Ò thi häc sinh giái to¸n líp C©u 1: (2®) Rót gän A= x x2 x  x  20 C©u (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y Mçi häc sinh líp 7A trång ®­îc c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®­îc c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®­îc c©y, Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh Biết số cây lớp trồng C©u 3: (1,5®) Chøng minh r»ng 102006  53 lµ mét sè tù nhiªn C©u : (3®) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc đó Từ điểm B trên Ax vẽ đường th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C vÏ Bh  Ay,CM Ay, BK  AC.Chøng minh r»ng a, K lµ trung ®iÓm cña AC b, BH = AC c, A KMC C©u (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t gi¶i 1,2,3,4 Biết câu câu đây đúng nửa và sai nửa: a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải Em hãy xác định thứ tự đúng giải cho các bạn ĐỀ THI THÔNG TIN PHÁT HIỆN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP THỊ Xà NĂM HỌC 2008 -2009 Môn: Toán Bài 1: (3 điểm): Tính 2 3    18  (0, 06 :  0,38)  : 19  4  Bài 2: (4 điểm): Cho a2  c2 a a) 2  b c b a c  chứng minh rằng: c b b2  a b  a b) 2  a c a 16 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán năm học 2009 - 2010 Lop7.net Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: a) x    2 b)  15 x  x 12 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây A  200 , vẽ tam giác DBC (D Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD là phân giác góc BAC b) AM = BC Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y  A biết: 25  y  8( x  2009) ĐÁP ÁN ĐỀ THI Bài 1: điểm 2 3    18  (0, 06 :  0,38)  : 19  4  = 15 17 38   19  109 ( :  )  : 19   =  0.5đ 100 100   4  109  17 19    38  =       : 19      50 15 50    109  1đ 323   19 =     :   250 250   0.5  109 13    =  10  19 506 253  = 30 19 95 = 0.5đ 0.5đ Bài 2: a) Từ a c  suy c  a.b c b a  c a  a.b đó 2  b c b  a.b a ( a  b) a  = b( a  b) b b) Theo câu a) ta có: 0.5đ 0.5đ 0.5đ a2  c2 a b2  c2 b    b2  c2 b a2  c2 a 0.5đ 17 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán năm học 2009 - 2010 Lop7.net Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước b2  c2 b b2  c2 b   1  1 2 2 a c a a c a 2 2 b c a c ba  hay 2 a c a 2 b a ba 2  a c a từ 1đ 0.5đ 0.5đ Bài 3: a) x   2  2  0.5đ 1 x    x   x   2 5 1 Với x    x   hay x  5 1 11 Với x   2  x  2  hay x   5 x 1đ 0.25đ 0.25đ b) 15 x  x 12 x x   0.5đ 13 (  )x  0.5đ 14 49 13 x 0.5đ 20 14 130 x 0.5đ 343  Bài 4: Cùng đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z là thời gian chuyển động với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s 5.x  y  3.z và x  x  y  z  59 Ta có: 1đ hay: x y z x  x  y  z 59      60 1 1 1 59    5 60 0.5đ Do đó: x  60  12 ; x  60  15 ; x  60  20 Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) 0.5đ 0.5đ 18 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán năm học 2009 - 2010 Lop7.net Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước Bài 5: -Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0.5đ a) Chứng minh  ADB =  ADC (c.c.c) 1đ A A suy DAB  DAC A Do đó DAB  200 :  100 AA  200 (gt) b) cân A, mà  ABC A 20 nên A ABC  (1800  200 ) :  800 A  ABC nên DBC  600 Tia BD D nằm hai tia BA và BC suy A ABD  80  60  200 Tia BM là phân giác góc ABD nên A ABM  100 M B C Xét tam giác ABM và BAD có: A A AB cạnh chung ; BAM A ABD  200 ; A ABM  DAB  100 Vậy:  ABM =  BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 6: 25  y  8(x  2009) Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) Vì y2  nên (x-2009)2  0.5đ 25 , suy (x-2009)2 = (x-2009)2 =1 0.5đ Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) Với (x- 2009)2 = thay vào (*) ta có y2 =25 suy y = (do y  A ) Từ đó tìm (x=2009; y=5) 0.5đ 0.5đ đề thi Ô-lim -pic huyện M«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót) 1 1     1.6 6.11 11.16 96.101 Bµi TÝnh Bµi Tìm giá trị nguyên dương x và y, cho: 1   x y Bài Tìm hai số dương biết: tổng, hiệu và tích chúng tỷ lệ nghịch với các số 20, 140 vµ Bµi T×m x, y tho¶ m·n: x   x   y   x  = 19 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán năm học 2009 - 2010 Lop7.net Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước Bµi Cho tam gi¸c ABC cã gãc ABC = 500 ; gãc BAC = 700 Ph©n gi¸c gãc ACB c¾t AB t¹i M Trªn MC lÊy ®iÓm N cho gãc MBN = 400 Chøng minh: BN = MC đề thi Ô-lim -pic huyện M«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A 212.35  46.92  3   510.73  255.492 125.7   59.143 b) Chứng minh : Với số nguyên dương n thì : 3n   2n   3n  2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: a x     3,   5 b  x   Bài 3: (4 điểm) x 1   x  7 x 11 0 a) Số A chia thành số tỉ lệ theo : : Biết tổng các bình phương ba số đó 24309 Tìm số A b) Cho a2  c2 a a c  Chứng minh rằng: 2  b c b c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là điểm trên AC ; K là điểm trên EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng A A c) Từ E kẻ EH  BC  H  BC  Biết HBE = 50o ; MEB =25o A A Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) A  200 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác Cho tam giác ABC cân A có A ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: c) Tia AD là phân giác góc BAC d) AM = BC 20 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán năm học 2009 - 2010 Lop7.net