Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - Môn Toán lớp 4 + 5

Trong mét tÝch, nÕu cã Ýt nhÊt mét thõa sè trßn chôc hoÆc Ýt nhÊt mét thõa sè cã tËn cïng lµ 5 vµ cã Ýt nhÊt mét thõa sè ch½n th× tÝch cã tËn cïng lµ 0.. 13..[r]

PHẦN I: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ VÀ CHỮ SỐ PHẦN I: SỐ VÀ CHỮ SỐ

I Kiến thức cần ghi nhớ

1 Dùng 10 chữ số để viết số là: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ,9. 2 Có 10 số có chữ số: (Từ số đến số 9)

Có 90 số có chữ số: (từ số 10 đến số 99) Có 900 số có chữ số: (từ số 100 đến 999) …

3 Số tự nhiên nhỏ số Khơng có số tự nhiên lớn nhất. 4 Hai số tự nhiên liên tiếp (kém) đơn vị.

5 Các số có chữ số tận 0, 2, 4, 6, gọi số chẵn Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) đơn vị

6 Các số có chữ số tận 1, 3, 5, 7, gọi số lẻ Hai số lẻ liên tiếp hơn (kém) đơn vị

II Bài tập

Bài 1: Cho chữ số 2, 3, 4, 6.

a) Có số có chữ số khác viết từ chữ số trên? Đó số nào?

b) Có số có chữ số khác viết từ chữ số trên? Hãy viết tất cỏc s ú?

Bài giải

Lp bng sau ta đợc: Hàng

trăm Hàng chục Hàng đơn vị Viết đợc số

2 234

2 236

2 243

2 246

2 263

2 264

Nhận xét: Mỗi chữ số từ chữ số vị trí hàng trăm ta lập đợc số có chữ số khác Vởy có tất số có chữ số khác là: x = 24 (số)

Tơng tự phần (a) ta lập đợc: x = 24 ( số)

Các số là: 2346; 2364; 2436; 2463; 2643; 2634; 3246; 3264; 3426; 3462; 3624; 3642; 4236; 4263; 4326; 4362; 4623; 4632; 6243;6234; 6432; 6423

Bài 2: Cho chữ số 0, 3, 6,

a) Có số có chữ số đợc viết từ chữ số trên?

b) Tìm số lớn số bé có chữ số khác đợc viết từ chữ s trờn?

Bài giải

a, Chọn chữ số hàng trăm có ba cách: ( không chọn số 0) Chọn chữ số hàng chục có ba cách :

Chọn chữ số hàng đơn vị có hai cách: Số số có ba chữ số là:33218 (số) b, Số lớn là: 9630; số bé là: 3069

Bài 3: a) HÃy viết tất số tự nhiên có chữ số mà tổng chữ số bằng 3?

Bài giải

Vì = 3+0+0 ta có số :300;120;102;210;201;111 = 1+2+0

=2+1+0 =1+1+1

Bài 4: Cho số 1960 Số thay đổi nh nào? Hãy giải thích? a) Xố bỏ chữ số

b) Viết thêm chữ số vào sau số c) Đổi chỗ hai chữ số cho

a, Xóa bỏ chữ số số giảm 10 lần;

b, Viết thêm chữ số vào bên phải số số gấp lên 10 lần đơn vị; c,Khi đổi chữ số số cho ta có : 1960 - 1690 = 270 (đơn vị) Bài 5: Hỏi có số có chữ số mà số có:

a) ch÷ sè b) ch÷ sè

Bài giải

a, Chọn chữ số hàng trăm: Có cách chọn : chọn ( Lu ý toán không yêu cầu chữ số khác nhau)

-Chn ch sụ hàng chục có cách:( chọn 0;1;2;3;4;6;7;8;9) - Chọn Chữ số hàng đơn vị có cấch : ( chọn 0;1;2;3;4;6;7;8;9) Ta có : 19981 (số)

b, Chọn chữ số hàng chục cách : ( chọn 5) - Chọn chữ số hàng trăm có c¸ch:

- Chọn chữ số hàng đơn vị cách:

Ta cã : 18972 (sè)

c, Chọn chữ số hàng đơn vị có cách.Tơng tự ta có : 18972 (số) Tổng số lập đợc là: 81+72+72= 225 (số)

Đáp số: 225 số

Bài 6: Cho ba chữ số: a, b, c khác chữ số a > b; b > c.

a) Với ba chữ số đó, lập đợc số có ba chữ số? (trong số, khơng có chữ số lặp lại hai lần)

b) Tính nhanh tổng số vừa viết đợc, tổng ba chữ số a, b, c 18

c) Nếu tổng số có ba chữ số vừa lập đợc 3330, hiệu số lớn số bé số 594 ba chữ số a, b, c bao nhiờu?

Bài giải a) số

b) 222(abc)=22218=3996

c) Theo kÕt qu¶ ý b) ta cã: 222(abc)=3330 Hay a+b+c =3330:222=15

Mặt khác :abc>cbanên abc-cba=595 Đặt cét däc ta cã : -595

cba abc

Vì c<a nên1c-a=5 nhớ 1.Xét hàng chục 1b-(b+1) =9 nhớ Vaạy hàng trăm a- (c+1) =5 hay a-c=6

Vậy a=9 c=3 b= 15 -9-3 =3 loại b=c=3 Nếu a=8 c=2 b= 15-8-2=5 chọn a>b>c Nếu a=7 c=1 b=15-7-1=7 loại

PhÇn hai

Bèn phÐp tính với số tự nhiên, phân số số thập phân A Phép cộng

I Kiến thức cần ghi nhí 1 a + b = b + a

2 (a + b) + c = a + (b + c) 3 + a = a + = a

4 (a - n) + (b + n) = a + b

5 (a - n) + (b - n) = a + b - n x 2 6 (a + n) + (b + n) = (a + b) + n x 2

7 Nếu số hạng đợc gấp lên n lần, đồng thời số hạng lại đợc giữ nguyên tổng đợc tăng lên số (n - 1) lần số hạng đợc gấp lên

8 Nếu số hạng bị giảm n lần, đồng thời số hạng lại đợc giữ ngun tổng bị giảm số (1 -

n

) số hạng bị giảm 9 Trong tổng có số lợng số hạng lẻ lẻ tổng số lẻ.

10 Trong tổng có số lợng số hạng lẻ chẵn tổng số chẵn. 11 Tổng số chẵn số chẵn.

12 Tỉng cđa mét số lẻ số chẵn số lẻ. 13 Tổng hai số tự nhiên liên tiếp số lẻ.

Bài 1: Tính nhanh:

a) 4823 + 1560 + 5177 + 8440)

b) 10556 + 8074 + 9444 + 926 + 1000 c) 576 + 789 + 467 + 111

Bài giải:

(4823 + 5177) + ( 1560 + 8440) = 10.000 + 10.000 = 20.0000

(10556 + 94444) + ( 8074 + 926) + 1000 = 19500 + 9000 + 1000 = 29500

576 + 467 + 789 +111 = 1043 + 900 = 1943 Bµi 2: TÝnh nhanh:

a)75137 1319569759 d)

10000 4000 1000 300 100 20 10   

b) 111 112 113 114 115 116 117 118 119 1011

c) 211 212 213 214 215 1721182119212021

Bài giải: 2 15 13 26 14 13 19 13 7 5 9 13 19 13 7 )                   a 11 55 11 x5 11 11 11 11 11 11 11 11 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 ( 11 10 11 11 11 11 11 11 11 11 11 )                            b 10 21 210 21 x10 21 21 ) 11 10 ( ) 19 ( ) 20 ( 21 20 21 19 21 18 21 17 21 21 21 21 21 )                    c

Bài 3: Tìm hai số có tổng 1149, biết giữ nguyên số lớn gấp số bé lên lần thỡ ta c tng mi bng 2061

Bài giải

Khi gấp số bé lên ba lần tổng tăng:3-1 = ( lần số bé) Hai lÇn sè bÐ øng víi: 2061- 1149 =912

Sè bÐ lµ : 912 : = 456 Sè lín lµ : 1149 – 456 = 693

Đáp số : 693; 456

Bi 4: Khi cộng số thập phân với số tự nhiên, bạn quên dấu phẩy số thập phân đặt tính nh cộng hai số tự nhiên với nên đợc tổng 807 Em tìm số tự nhiên số thập đó? Biết tng ỳng ca chỳng l 241,71

Bài giải

Nhìn vào tổng số thập phân có hai chữ số phần thập phân, viết nhầm nh số thập phân tăng lên 100 lần Vậy tổng tăng lên 100 -1 = 99 (lần số thập phân)

99 lần số thập phân ứng với : 807 – 241,71 = 565,29 Sè thø hai lµ : 565,29 : 99 = 5,71

Sè lín lµ : 241,71 – 5,71 = 236

Đáp số :236; 5,71

Bi : Cho số có hai chữ số Nếu viết số theo thứ tự ngợc lại ta đợc số bé số phải tìm Biết tổng số với s mi l 143

Bài giải Vì a+b =13

a=7 th× b=6 76 Đáp số : 94;85 ; 76

b PhÐp trõ I KiÕn thøc cÇn ghi nhí

1 a - (b + c) = (a - c) - b = (a - b) - c

2 Nếu số bị trừ số trừ tăng (hoặc giảm) n đơn vị hiệu chúng khơng đổi

3 Nếu số bị trừ đợc gấp lên n lần giữ nguyên số trừ hiệu đợc tăng thêm một số (n -1) lần số bị trừ (n > 1)

4 Nếu số bị trừ giữ nguyên, số trừ đợc gấp lên n lần hiệu bị giảm (n - 1) lần số trừ (n > 1)

5 Nếu số bị trừ đợc tăng thêm n đơn vị, số trừ giữ nguyên hiệu tăng lên n đơn vị. 6 Nếu số bị trừ giảm n đơn vị, số trừ giữ nguyên hiệu giảm n đơn vị.

II Bµi tËp Bµi 1: TÝnh nhanh:

a) 32 - 13 - 17

c) 45 - 12 - – 23 b) 1732 - 513 - 732 d) 2834 - 150 834 Bài giải

a, 32 13 -17 = 32 – (13+17 ) = b, 1732 – 513 -732 = 1732 -732 -513

= 1000 -513 = 487 c, 45 -12 -5 -23= 45 – 5-( 12+23 )

= 40 - 30 = 10 Bµi 2: TÝnh nhanh:

a) 3431 1928 313 =

28 28 19

1 

b) 13184655 135 =1 +

46 101 46

55 

c) 37115  34=1 +

5 16 11



d) 2725  49 252  95=0

Bµi 3: TÝnh nhanh

Bµi gi¶i

a,46,55 - (20,33+25,67 )=0,55 b, 20- (0,5+5,5) –( 1,5+4,5) - (2,5+3,5)

= 20 – - – =

Bài 4: Hiệu hai số 3,8 Nếu gấp số trừ lên hai lần đợc số số bị trừ là 4,9 Tìm hai số cho (Vẽ sơ đồ gii)

Bài giải

Cỏch gii khụng v sơ đồ Gọi số trừ Â, sơ bị trừ A+3,8

Theo bµi ta cã : A2 (A3,8)4,9 Hay : A – 3,8 = 4,9

A = 4,9 +3,8 = 8,7 Số bị trừ : 8,7+3,8 =12,5

Đáp số : 12,5; 8,7

Bài 5: Một mảnh vờn hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 6,8m Nếu ta bớt chiều 0,2m chu vi gấp lần chiều rộng Tính diện tích mảnh vờn ban đầu

Bài giải

Khi bớt chiều 0,2 m nửa chu vi gấp chiều rộng số lần là: 6: = (lÇn chiỊu réng)

Coi nửa chu vi ba phần chiều rộng phần nh Vây chiều dài ứng với: – = (phần) Mặt khác bớt chiều dài chiều rộng số hiệu chiều rộng chiều dài khơng đổi.Nên phần lúc sau (hay chiều rộng lúc sau ) ứng với :

6,8 16,8(m)

Đáp số : 96,6 (m2)

Bài 6: Thay chữ a, b, c chữ số thích hợp phép tính sau: (mỗi chữ khác đợc thay chữ số khác nhau)

BiÕt a + b = 11

Bài giải

a,Xột ch s hng n vị ab – c = nên suy hàng phần mời b – c = a có nhớ nhớ nhiều ab – (c+1) = Suy c = từ suy ab= 10=> a= 1; b=

b, V× a+b =11 nên b,a +a,b =12,1

Mặt kh¸c b,a – a,b =2,7 (ý b) Suy b,a > a,b Đa toán tổng hiệu ta có b,a lµ: (12,1+2,7 ) : = 7,4

a,b : 7,4 -2,7 =4,7 Từ suy a= ; b=

Đáp số a, a= 1; b=0; c=9 B, a= 4; b=

C.Phép nhân I Kiến thức cần nhớ

1 a x b = b x a

2 a x (b x c) = (a x b) x c 3 a x = x a = 0

4 a x = x a = a

5 a x (b + c) = a x b + a x c 6 a x (b - c) = a x b - a x c

7 Trong tích thừa số đợc gấp lên n lần đồng thời có thừa số khác bị giảm n lần tích khơng thay đổi

8 Trong tích có thừa số đợc gấp lên n lần, thừa số cịn lại giữ ngun tích đợc gấp lên n lần ngợc lại tích có thừa số bị giảm n lần, thừa

số lại giữ nguyên tích bị giảm ®i n lÇn (n > 0)

9 Trong tích, thừa số đợc gấp lên n lần, đồng thời thừa số đợc gấp lên m lần tích đợc gấp lên (m x n) lần Ngợc lại tích thừa số bị giảm m lần, thừa số bị giảm n lần tích bị giảm (m x n) lần (m n khác 0)

10 Trong tích, thừa số đợc tăng thêm a đơn vị, thừa số cịn lại giữ ngun tích đợc tăng thêm a lần tích thừa số cịn lại

11 Trong tích, có thừa số chẵn tích chẵn.

12 Trong mét tÝch, nÕu cã Ýt nhÊt mét thõa sè trßn chơc hc Ýt nhÊt mét thõa sè cã tËn cïng có thừa số chẵn tích có tận

13 Trong tích thừa số lẻ có thừa số có tận thì tích có tận

II Bµi tËp Bµi 1: TÝnh nhanh:

a x x 125 x 25 d 500 x 3,26 x 0,02

b x 178 x e 0,5 x 0,25 x 0,2 x

c 2,5 x 16,27 x g 2,7 x 2,5 x 400 Bài giải

a,8 (125)(425)1000100100000 d, 5000,023,2632,6 b,251781780 e,0,5 0,20,254 c,2,5 416,2716,27

Bµi 2: TÝnh nhanh: a) 74x65 73x65

c) 97 x58 97x53

b) 95x4194x123

d) 20052006x43 43 x20051 Bài giải

a,65(7473)65, b, 41(59 94)41

c,97(58 53) 97 d, 1 Bài 3: Tính cách thuận tiện nhất:

a,61 b,101

Bµi 4: TÝnh nhanh:

a) (81,6 x 27,3 - 17,3 x 81,6) x (32 x 11 - 3200 x 0,1 - 32) b) (13,75 - 0.48 x 5) x (42,75 : + 2,9) x (1,8 x - 0,9 x 10) c) (792,81 x 0,25 + 792,81 x 0,75) x (109 - 900 x 0,1 - 9)

Bµi gi¶i a,81,26 (27,3 17,3)(3211 32100101  32) = 81,26 10(32(11 10 1)0

Bài 5: Tìm số có tích 5292, biết giữ nguyên thừa số thứ và tăng thừa

s th hai thờm đơn vị đợc tích 6048 Bài giải

Sáu lần thừa số thứ là:6048 -5292=756 Thừa sè thø nhÊt lµ: 756 : =126

Thõa sè thø hai lµ:5292 :126 =42

Bài 6: Một hình chữ nhật giảm chiều dài 25% chiều dài chiều rộng phải thay đổi nh để diện tích hình khơng thay đổi?

Bµi gi¶i

Ta đổi 25% = 14 Nếu chiều dài bớt 14 tức chiều dài chia cho để diện tích khơng đổi chiều rộng phải gấp lên lần Thât ta có:

S = ab <=> S =a b4ab

1

.Bµi to¸n chøng minh xong

Bài 7: Tìm số, biết tổng gấp lần hiệu 16 tích ca chỳng.(50 Nguyn ỏng)

Bài giải

Biểuthị Hiệu phần , tổng phần nh Nh tích ứng với phần Đa toán tỉng hiƯu ta cã:

Sè lín øng víi sè phần là:(5+1): = ( phần) Do vậy, Số bÐ øng víi:3 - = ( phÇn)

Nh ,tích lần số bé Mà tích số lớn nhân với số bé Nên số lín b»ng : 6: =

Sè bÐ lµ : 6: 3= Thư l¹i ta cã :Tỉng : 3+ 2= HiƯu: 3-2=

TÝch :3 2 6

Rõ ràng tổng gấp lần hiệu nöa tÝch: (1 5 5; :1 = 6)

Bài 8: Tìm số, biết tổng gấp lần hiệu nửa tích chúng.(50 đề ,đề số 3 )

Bài giải

Biểuthị Hiệu phần , tổng phần nh thÕ Nh vËy th× tÝch sÏ øng víi phần Đa toán tổng hiệu ta có:

Số lớn ứng với số phần là:(3+1): = ( phÇn) Do vËy, Sè bÐ øng víi:3-2 = ( phÇn)

Nh thÕ ,tÝch sÏ b»ng lÇn số bé Mà tích số lớn nhân với số bé Nên số lớn

Số bé : 6:2 =3 Thư l¹i ta cã :Tỉng : 3+6 = HiÖu:6-3= TÝch :3 18

Rõ ràng tổng gấp ba lần hiƯu vµ b»ng nưa tÝch: (33 9;18 :2 = 9) D PhÐp chia

I Kiến thức cần ghi nhớ (đọc kĩ trớc làm tập ) 1 a : (b x c) = a : b : c = a : c : b (b, c > 0)

2 : a = (a > 0)

3 a : c - b : c = ( a - b) : c (c > 0) 4 a : c + b : c = (a + b) : c (c > 0)

5 Trong phép chia, số bị chia tăng lên (giảm đi) n lần (n > 0) đồng thời số chia giữ

nguyên thơng tăng lên (giảm đi) n lÇn

6 Trong phép chia, tăng số chia lên n lần (n > 0) đồng thời số bị chia giữ nguyên thơng giảm n lần ngợc lại

8 Trong phép chia có d, số bị chia số chia đợc gấp (giảm) n lần (n > 0) số d đợc gấp (giảm ) n lần

II Bµi tËp Bµi 1: TÝnh nhanh:

a) 1875 : + 125 : b) 20,48 : 3,2 + 11,52 : 3,2 c) 62,73 : 8,4 + 21,27 : 8,4 d) 43,3 : 2,5 - 19,3 : 2,5

Bài giải

a, (1875+125):2= 1000 b,(20,48 +11,52 ):2 = 16 c,(62,73 +21,27 ) : =42 d,(43,3 +19,3 ):2,5=31.3

Bài 2: Nam làm phép chia có d số d lớn có Sau Nam gấp số bị chia số chia lên lần phép chia này, số thơng 12 số d 24 Tìm phép chia Nam thực ban đầu

Bài giải

Trong mt phộp chia ,nếu gấp số bị chia;số chia lên ba lần thơng khơng thay đổi nhng số d tăng lên ba lần Do thơng phép chia Nam 12 số d ban đầu là: 24 : =

Sè chia lµ ban đầu : + = Số bị chia : 912+8= 116 Đáp số : 116;

Bài 3: Số A chia cho 12 d Nếu giữ nguyên số chia số A phải thay đổi nh thế để thơng tăng thêm đơn vị phép chia khơng có d?

Bài giải

Nu phộp chia tng n v số A cần tăng: 12 – = Để thơng tăng đơn vị số A cần tng: 12 +4 = 16

Đáp số : 16

Bài 4: Một số chia cho 18 d Để phép chia khơng cịn d thơng giảm lần phải thay đổi số bị chia nh th no?

Bài giải

phộp chia khơng có d thơng khơng đổi số bị chia cần bớt đơn vị Để thơng giảm lần số bị chia giảm lần

Vậy số bị chia phải giảm lần đơn vị

Bài 5: Nếu chia số bị chia cho lần số chia ta đợc Nếu ta chia số bị chia cho lần số thơng đợc Tìm số bị chia số chia phép chia

Bài giải Nếu chia lần số chia ta có thơng là: 2= 12 Chia lần cho 12 ta cã sè chia lµ: : = Vậy số bị chia là: 122=24 Đáp số : 24

Bài 6: Một phép chia có thơng 6, số d Tổng số bị chia, số chia số d 195Tìm số bị chia số chia?

Bài gi¶i

Vì số d thơng nên số bị chia gấp lần số chia đơn vị.Bớt 3+3 =6 ta đa tốn tổng tỉ ta có: tổng 195 -6 = 189

Tổng số phần là: +1 =7 ( phần ) Số bị chia : 189 : 6+3 = 165

Sè chia lµ ( 165 -3) : = 27

Đáp số : 165 ;27

Bi 7: Cho số, lấy số lớn chia cho số nhỏ đợc thơng số d lớn cóđợc 48 Tìm số

Bài giải

Vì số d số lớn có nên số chia là: 48 +1 = 49 Vây số lớn 49 7= 343

Đáp số : số lớn :343 ; số bé : 49

Bài 8: Hiệu số 33 Lấy số lớn chia cho số nhỏ đợc thơng số d Tìm 2 số

Bài giải

Coi s l phn thỡ số lớn phần đơn vị Vạy hiệu số phần số lớn số bé (hay 33 ứng với )là: phần + – phần = phần + đơn vị

VËy phÇn øng víi : 33 -3 = 30 Vậy phần : 30 :2 = 15

Sè lín lµ : 15 3 +3 = 48 Sè bÐ lµ 48 – 33 = 15

Đáp số : 48 ; 15

PHN III Tính giá trị biểu thøc I KiÕn thøc cÇn ghi nhí

1 Biểu thức khơng có dấu ngoặc đơn có phép cộng phép trừ (hoặc có phép nhân phép chia) ta thực phép tính theo thứ tự từ trái sang phải

VÝ dô: 542 + 123 - 79 482 x :

= 665 - 79 = 964 :

= 586 = 241

2 Biểu thức khơng có dấu ngoặc đơn, có phép tính cộng, trừ, nhân, chia ta thực phép tính nhân, chia trớc thực phép tính cộng trừ sau

VÝ dô: 27 : - x 2 = - =

3 Biểu thức có dấu ngoặc đơn ta thực phép tính ngoặc đơn trớc, phép tính ngồi dấu ngoặc đơn sau

VÝ dô: 25 x (63 : + 24 x 5) = 25 x (21 + 120) =25 x 141

=3525 II Bµi tËp

Bµi 1: ViÕt d·y sè cã kÕt qu¶ b»ng 100:

a) Víi ch÷ sè b) Víi ch÷ sè Bài giải

a, 111 -11 =100 b,( 5+5+5+5)5 =205 = 100

Bài 4: Cho dãy tính: 128 : x 16 x + 52 : Hãy thêm dấu ngoặc đơn vào dãy tính ú cho:

a) Kết nhỏ có thể? b) Kết lớn ? Bài giải

a,128 : (8 16 ) (4 + 52 ) : = 114 = 14

Hc 128 : (8 16  + 52 ) : =128 : 564 :4 =14132 :41418 b,128:8 16(4 +52:4) = 3328

Bài 5: Hãy điền thêm dấu ngoặc đơn vào biểu thức sau: A = 100 - x 20 - 15 + 25 :

a) Sao cho A đạt giá trị lớn giá trị lớn bao nhiêu? b) Sao cho A đạt giá trị nhỏ giá tr nh nht ú l bao nhiờu?

Bài giải a,(100- 4)20 – (15 + 25) : =1920- 8=1912 b,100- (4 20) – (15 +25 : )= 20 -20 =

Bài 6: Tìm giá trị số tự nhiên củ a để biểu thức sau có giá trị nhỏ , giá trị nhỏ bao nhiêu?

A = (a - 30) x (a - 29) x x (a - 1) Bài giải

a= 30 A =0 A =( 30 – 30 )(30 29) (30 1)012 290 Bài 7: Tìm giá trị số tự nhiên a để biểu thức sau có giá trị lớn nhất, giá trị lớn bao nhiêu?

A = 2006 + 720 : (a - 6)

Bài giải

A lớn 720 : ( a- 6) đạt giá trị lớn a -6 đạt giá trị nhỏ lớn Hay a- = => 720 : (a – ) = 720 => 2006 +720 : ( a – ) = 2006 + 720 = 2726

Bµi 8: TÝnh:

a)

2 1

1

1

  

b)

2 1

1

1

  

c) 1  

d) 1 4

1

  

e) 2 3

1

 

 Phân số tỉ số có nhiều tập kiểu Nếu đề thicó kết nên giải ngợc từ cuối. Ví dụ dới chứng tỏ điều ú:

Bài 8b,Tìm số tự nhiên a,b,c cho: A= 52 =5+ c b a 1   A=  52

5+97 (đổi hỗn số)

=5+ 79

=5+1 72  =5+ 1  =5+ 1   =5+ c b a 1   =.> a=1;b=3;c=2

Bài tập tơng tự S= 61 =8+ c b a 1   B= 52 =7+ c b a 1   Bµi 9:

2+ y   =7 y  

=7 -2 =5( t×m sè hạng)

-21 y =3:5=53(tìm số chia)

21y =4 -53 =175 (t×m sè trõ)

– y =1 : 175 =175 (t×m sè chia)

y= -175 (t×m sè trõ)

y= 1729

b, 2+

y   = 68 157 y   = 68 157

-2 =68 21 (t×m sè h¹ng) 3+   y

1: 68 21 = 21 68 (t×m sè chia)   y 21 68 -3=21

1y 215  421520 51(PSTS)

Bµi 10 a,TÝnh tỉng S = 1+ 4+ 9+ +1 00 = 112233 1010= 10 (10+1) (2 10 +1 ) : 6=385

b,Điền dấu ngoặc vào chỗ thích hợp để A= 1004, biết A= 119124:53 Ta có A= 119124:(53)=1004

Bài 11: a, Tìm số tự nhiên n cho:

126 25 : 21 100 11 54 27 121  

 n Ta cã :

126 25 : 21 100 11 54 27 121    n

= 22 < n < 24 => n =23

Bài 12: Tìm x số tự nhiên biết: a)17x 20460 Vì 207:17=12nên ta có b)

204 60 17

x

=1751212=175 =>x =5 633x117 =117333321=>6+x=21

c) 1243 xx23 d) 5x37 e) 111x 2 g111x 2

h,1a b1 992 (ab)v× baba 992 9211 => b-a =2 nªn a<b; ab =99 vËy a=9 ;b=11

Bµi 17 TÝnh:

a,253751001614737122533,5525,8:0161,1 63 =            4600 ) 161 253 ( 100 58 42 4700 ) 63 37 ( 161 ) 25 75 ( 253 4600 9200

c,20043343732120040 20132422004 324200410118593242004 d, A=2427645 5514271618 Bài 18 Các toán tìm x,y

a, Tìm y, biết:(y - 12):(1216121 901)31 Giải:Tính ngoặc trớc

b,Tìm x,biết 1+1316101 x(x11):2 119331935

Phân số có dạng:1 + 1935

1933 ) ( ) ( 2 ) (          

 x x

(bít c¶ vÕ)

= 1935

1933 ) ( ) ( 2 ) (         

 x x

=223 324  425 + x(2x1) =19351933

=2( 213 341  415 +x(1x1) )=19351933

= 2(21 x11)=19351933

=2((xx1)12)19351933 => xx 11)19351933=>x=1934

Bài tập tơng tự : 1+1316101 x(x11):2 120112013

1+1316101   x(x11):2 1935933

c,27x  92 186 ( §Ị thi ks HSG VÜnh Têng 2011) 27x 186 92 =

27 15

=> x= 15

Bài 19: Tìm y:

y                           1 : 1 1 2 : 3

=64 B=x+ 18090

6

2       

 x x x

x (khảo sát huyện Sông Lô)

Cùng bít c¶ hai vÕ x6 ta cã x9 = 18090

x = 18090 : = 2010 Bµi 20 Tim x,biÕt

a, x -4332 4344 =>x = 43 76

b, x -1073 1172 => x =21

c,x5125100125 d, 0,5 2 , 100      x

b, Ta cã : 1+2=3 (1) 4+5+6= 7+ (2) +10+11 +12 =13 +14 +15 (3) a,Em h·y viÕt tiếp hàng thứ t

b,Trong ô thứ 100 cã bao nhiªu sè,sè cuèi cïng b»ng bao nhiªu ? (Đề thi HSG năm 2009)

Giải

a,16+17+18+19+20 =21+22+23+24 (4)

b, XÐt nhãm (1) bên phải có số hạng ,bên trái có(1+1 =)2 số hạng Xét nhóm (2) bên phải có số hạng, bên trái có(2+1 =) số hạng Xét nhóm (3) bên phải có số hạng, bên trái có(3+1 =) số hạng

Suy nhóm thứ 100 bên phải có 100 số hạng , bên trái có 100+1 = 101 (số hạng )

Vậy nhóm thứ 100 có tất số hạng :

100+101 =201 (số hạng ) Số hạng bên trái nhóm (1)cã d¹ng :11 =

Sè h¹ng bên trái nhóm (2)có dạng :22 = Số hạng bên trái nhóm (3)có dạng :33 = Vậy

Số hạng bên trái nhóm (100)có dạng :100100 =10000 Số hạng cuối nhóm thứ 100 : 1000 +1 (201 -1) =10200 Đáp số :a, 16+17+18+19+20 =21+22+23+24 (4

b, 201 :10200 Bài tập tơng tù (§Ị thi KSCL HSG VÜnh Phóc)

Ngêi ta cã 10 bao g¹o nh sau : 1kg ; 3kg ; 6kg ; 10kg ; a,Em h·y ghi tiÕp khối lợng bao lại

b Nếu ngời ta muốn lấy tạ từ bao nguyên chọn bao ? Giải

a,

Ta cãbao sè lµ 1=1 Ta cãbao sè lµ 3=1+2 Ta cãbao sè lµ 6=1+2+3

Ta cãbao sè lµ 10=1+2+3+4 nên ta có bao :

Ta cãbao sè lµ 15=1+2+3+4+5 Ta cãbao sè lµ 21=1+2+3+4+5+6 Ta cãbao sè lµ 28=1+2+3+4+5+6+7 Ta cãbao sè8 lµ 36=1+2+3+4+5+6+7+8 Ta cãbao sè lµ 45=1+2+3+4+5+6+7+8+9 Ta cóbao số 10 55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 b, tạ = 100kg mµ 100= 45+55=45+36+15+3+1=

Bài 22 Điền dấu ngoặc vào phép tính để đợc kết 2009 a, 345924:62

Gi¶i a, 345924:(62) =2009

b, Điền dấu ngoặc để biểu thức có giá trị lớn B=3459 6:2 Để B có giá trị lớn B = 34 (59+ : 2) =34 62 = 2108

c,XÐt d·y sè sau : 21;53;138 ;3421; ViÕt sè h¹ng thø d·y Giải Quy luật dÃy số : 1+2=3

2+3=5 5+8=13 8+13 =21 VËy tử phân số : 13+21=34 Vậy mẫu phân số : 21+34 =55

- Biết 109646765 số hạng dãy , viết số hạng đứng trớc nó(Đề thi HSG 2008)

Gi¶i

Tư số phân số trớc : 6765 4199=2566 Vậy phân số cần tìm :

4199 2566

Bài 23 Đề thi HSG năm 2010 -2011

A, TÝnh A = 12,3 3,512,32,412,34,1= 12,3 (3,5 +2,4 +4,1 )=12,3  10=123

b, ViÕt tÊt c¶ phân số có tổng tử số mẫu số 10 nhỏ giải 10=0+10 ;1+9 ; 2+8 ;3+7 ;4+6 =>ta cã100 ;91;82;73;64

Bµi tËp tơng tự :Viết tất PS có tổng tử mẫu 11 lớn Bài 24 Cho nhãm sè (1) ; (2,3) ; (4,5,6) ; a, ViÕt nhãm thø

b, Nhãm thø 100 có số hạng c, Số hạng thứ nhóm thứ 100 số ?

Bài giải

+ Nhóm có dạng :(7,8,9,10)

+Nhãm cã sè h¹ng ; nhãm cã sè h¹ng ; nhãm cã sè h¹ng ; ; nhãm 100 cã 100 sè hạng

+Số hạng cuối nhóm :1 - Sè ci cïng cđa nhãm lµ :1+2=3 - Sè ci cïng cđa nhãm lµ :1+2+3 =6

- Sè h¹ng ci cïng cđa nhãm 99 :1+2+3+ +99=(1+99)99 :2=4950 Vậy số hạng thứ hai nhóm thứ 100 :4950+2 =4952

Bài tập tơng tù : Cho d·y sè: 1115151 .341  a, ViÕt tiÕp ph©n sè tiÕp theo

b,Ph©n sè thứ 100 mẫu có số hạng

c, Sè h¹ng thø mÉu sè cđa PS thø 100 số nào? (Đề toán Khôi sáng tác) Gi¶i

a,Xét tử tất phân số Xét mẫu phân số ta có: Mẫu số phân số thứ là:1=1

Mẫu số phân số thứ hai là: 5=2+3

Mẫu số phân số thứ ba là:15=4+5+6 Mẫu số phân số thứ t là: 7+8+9+10=34

Mẫu số phân số thứ năm là: 11+12+13+14+15=65 Mẫu số phân số thứ sáu là: 16+17+18+19+20+21=91 Vậy ta có phân số lµ:341 ;651 ;911

b,XÐt mÉu cđa phÊn thø có số hạng.(Theo cách giải ý a) Xét mẫu phấn thứ haicó số hạng.(Theo cách giải ý a) XÐt mÉu cña phÊn thø ba cã số hạng.(Theo cách giải ý a)

Xét mẫu phấn thứ 100 có 100 số hạng.(Theo cách giải ý a) c/+Số hạng cuối mẫu PS :1

- Sè ci cïng cđa PS lµ :1+2=3 - Sè ci cïng cđa PS lµ :1+2+3 =6

- Sè h¹ng ci cïng cđa PS 99 :1+2+3+ +99=(1+99)99 :2=4950 Vậy số hạng thứ hai nhãm thø 100 lµ :4950+2 = 4952

Bài 23 b/ Dự kiến đề thi học sinh giỏi 2011-2012.(Đề khôi sáng tác) Cho dãy số :11;155 ;3465

a, H·y viÕt tiÕp ph©n sè tiÕp theo

b,NÕu viết phân số thứ 50 tử mẫu dới dạng tổng tử mẫu gồm số hạng

c, Số hạng thứ mẫu số nào?

Bài giải Phân số thứ có dạng :1=1

Tử phân số thứ hai có dạng:5=2+3

Mẫu phân số thứ hai có dạng: 15=4+5+6 Tử phân số thứ ba có dạng : 34=7+8+9+10

Mẫu phân số thứ ba có dạng: 65=11+12+13+14+15

MÉu cđa ph©n sè thø t là: 22+23+24+25+26+27+28=155 ta có phân số: 155111 b, Gọi mẫu phân số thứ nhóm số hạng cuối mẫu PS lµ :1

- Gäi tư sè cđa PS thø hai nhóm số hạng cuối tư PS thø lµ :1+2=3

- Sè ci cïng cđa mÉu PS thø lµ :1+2+3 =6

Ta l¹i cã mÉu PS thø 50 thc nhãm : 50 2-1 =99,vËy tư PS thó 50 thc nhãm 99-1= 98

Sè h¹ng ci cïng cđa nhãm thø 98 hay tư PS thø 50 lµ :1++2+3+4+ 98=4751 VËy sè h¹ng thø hai nhãm thø 99 hay số hạng thú mẫu phân số thø 50 lµ :4751+1=4752

Bµi 24 Cho d·y sè :31;113 ;7;313 ; a, TÝnh tỉng cđa 100 sè h¹ng đầu

b, Trong 100 số hạng đầu cã bao nhiªu sè tù nhiªn

c, Tính tổng số tự nhiên 100 số hạng đầu

Bài giải a,Khoảng cách số hạng :103

Số hạng thứ 100 : 13+103 (100-1)=9913 Tổng 100 số hạng đầu : (31 +9913 )100 :2=496003

b,Các số tự nhiên dÃy phân số mà tử chia hết cho theo nguyên tắc số thø nhÊt chia d ; sè thø chia d 2, sè thø ba chia d XÐt ph©n sè 9913 chia

3 d nên phân số trớc số tự nhiên.Số tự nhên : 9913 -103 =327 c, Ta códãy ;17 ;27 ; ;327

Khoảng cách số tự nhiên : 17 -7 =27 -17 = =10 Số số hạng : (327 -7) : 10 +1 =33(số hạng)

Tổng số tự nhiên 100 số hạng đầu : (7 +327)33 :2 =5511

Bài tập tơng tự :Cho dÃy số 31;332;7;1031; a, Tìm số hạng thứ 100 dÃy b,Đếm 100 SH đầu có bao nhiªu sè tù nhiªn ;

c,Tính tổng 100 SH đầu tổng số tự nhiên vừa tìm đợc ý b G, Các tốn chọn lọc

Bµi

a,TÝnh : S = 2009200920082008200820072007 2008200820092009

Ta cã S = 2009200920082008100012007 2008100012008200910001

S = 20092008200810012007(100012009 2008)(Rót gän)

S = 20072009

Bài tập tơng tự 1a/ 1111101010202010101111

1b/ 2011201120102010201020092009 2010201020112011

Bµi TÝnh S = -2 + 3- +5 – -100 +101 P = – 5216 621  9912100

A = 9,8 + 8,7 + 7,6 + + 2,1 - 2,1 - 1,2- - 8,9 Gỵi ý (9,8 -8,9)

Bài Tìm x biết : (x+1) + (x+4) + + (x +28) = 155

Khoảng cách số hạng : (x + 4) - (x+1) = (x +7) – (x + 4) = = Số số hạng : (x+28) - (x +1) :3 +1 = 10( sè h¹ng)

Bµi TÝnh tỉng S =10,11+11,12+12,13 + + 98,99 +99,100 S =10,10 +11,11 +12,12+ +98,98 + 99,99

Khoảng cáchcủa dÃy số :11,11-10,10 = 12,12-11,11= = 99,99 - 98,98 =1,01 Số số hạng là:(99,99 - 10,10) :1,01+1 = 90(số hạng)

Tổng dÃy là:(10,10 + 99,99)90 : = 4954,05

Bài Cho A = 391990,48177283:(a396,)48 Tìm giá trị a để A có giá trị lớn

Gi¶i :

Để A có giá trị lớn 1990- 72 : (a- 6) lớn lớn ( kh«ng thĨ chia cho 0)

đó72 :( a-6) phải lớn nhỏ 1990)

B= (1 + 1141121432214212234 434):23 ( Tìm khoảng cách) Bài Tính giá tị biểu thức (đề thi khảo sát HSG huyện Sông Lô năm 2011) a, T =2367121320213031

T=1+211611121 1201 1301

T=15(1216121 201 301 ) =5( )

1

1

1

1

1

       

 =5

25

 b,T×m x , biÕt : (x -35 ) 6 = 300 : 25 = 12

(x -35) = 12 :

c,so sánh 5221 523213 ; 1627 1529

Gi¶i a,5221=1-52311 520310 (1)

523 213

=1-523 310

(2) Tõ (1) vµ (2) => 520 

310

523 310

nªn  520 

310

1 1- 523310 => 5221<

523 213

b, 29 15

<29 

16

27 16

nªn29 15

<27 16

Bài đề thi KSCL HSG Vĩnh Tờng năm 2011 a, Tính nhanh 200220031420021988503200150420022002 b, So sánh

2001 1999

vµ 1210 c, 27x  92 186 Gi¶i

b, 19992001=1-20012 ;1210=1-122 v× 122 >20012 c, 27x 92186 = 18 10

=1527 => x=15

nªn1-20012 < 1-122 hay1210<19992001

Bµi a,TÝnh nhanh : 2046 (247448847 51247241024 24 23)

b, T= 51 41 201 (*) b

a

ba Tối giản

c,Tìm y biết y(1216121 201 301 43 (Đề thi huyện thị) Gi¶i :

a,20462 (474848 47512471024(2423)=2204648(47 (48512 471024 1) 2482046 5121024 Đặt S = 2+4+8+ +512+1024 ta có

S2=4+18+ +1024+2048

b,(51 ) 41 201 b

a

=>  b a 20   = 10

Bài 10Tính giá trị biểu thức sau ;

a, 0,1 +0,2 +0,3 + + 1,9 =(0,1+1,9)19 : = 19 b, (2010 201120122013)

3 1 1 : 1 (    ) = 0

c, 1,3 -3,2 +5,1 -7 +8,9 -10,8 + +35,5 -37,4 + + 41,2 43,1 Giải : Khoảng cách số :1,9

Số số hạng : (43,1 -1,3) :1,9 +1=23 (số số hạng)

(3,2-1,3)+(7-5,1)+(10,8-8,9)+ +(43,1-41,2) =1,9 23 =43,7 Bµi 11 a, Chøng tá r»ng 201 211 221  271  278 ( Vì 201 271 )

Giải 201 211 221  271  271 8=278 nªn201 211 221  271 278 Bài 12 : a, tìm y, biết y+y :21y:0,25y:81 15

b, Không tính hÃy so sánh : 3220,09 0,75

10 20

( Đề thi KSHSG LËp Th¹ch 2010)

Gi¶i : y+y :21y:0,25y:8115 ; Hay y+y12y:14y1815

y+y12y14y1815 y(1248)15

y15 15 => y =

b, 32 0,7534 Mặt khác 20,09 <20101 20,1 nên3220,09< 0,7520101

Bài 13 a, So sánh 4925và3571 b,1513và 153133(Đề thi hết học phần Đại häc SP Hµ Néi)

c, TÝnh tỉng S = 132435 810

Đề xuất lời giải cho toán tơng tự (Đề thi Đại học SPHN 2) Gi¶i a, 4925 5025=

71 35 70 35   49 25

=>4925>3571

b, 1513 =1-152 = 1-15020 (1)

153133 =1-15320 (2) Vì 15020 > 15320 nên 1-15020 < 1-15320 nên 153133 > 1513

HD Tách =2+1 ; 4=3+1 ; 5= 4+1 Do vËy ta cã : S=1 ) ( ) ( ) ( ) (            

=(122334 89)+(112131 81) =8 (8+1) (8+2) :3 +(1+8) 8 : 2=276

Bµi toán tơng tự S= (122334 89)Hoặc 1122 88 Bài 14 a, tìm x,biết : x : 7,21,3xx:21519,95

b, So sánh :2005200120052011với (Đề thi KSCL HSG VÜnh Phóc 2011) Gi¶i :

a,x 1610721013xx211519,95 x(1012101321) =19,95 -15=4,95 x9 =4,95=> x =5

b,(2001 4) 2005 ) 2005 ( 2001     = 2005 2005 2001 2001 2005 2001       >1

ài 15 a, Tìm y,biết : 52:53y741374 b,

27 23 11 7     

 (VÜnh

Phóc)

a, 25:53y47 1374

= y 3 7   

=> y =31:32 12

b,347 7 411 23427 

 

=13 1441 51 231  241 =

24 24  

Bài 16 So sánh cách hợp lí nhÊt

a,1360 vµ 10027 b,nn10081 vµnn1009 (VÜnh Phúc) Giải

a, Vì 1360 =12026 12027 10027

nªn 1360 <10027

b,nn10081 > nn1008 >nn1009

nªn nn10081 >nn1009

CáC bái toán hay trích dẫn từ toán tuổi thơ Bµi

Cho sè A biÕt: A = 444 4252525 25( 100 thõa sè 4, 100 thõa sè 25) Hỏi A có chữ số

Giải

Ta cø ghÐp ( 425) thµnh nhãm ta cã 100 nh Ta lại có 425=100mỗi nhóm cho ta hai ch÷ sè 0.VËy 100 nhãm cho ta: 1002 200( chữ số 0)

b/Tìm M, biết M = 311513353363619997 (TTT sè 121 lêi gi¶i 123) Gi¶i

M = (1-23)(1 152)(1 352 )(1 632 )(1 992 )=1 ) 99 63 35 15 (

5    



= - (123 325 527 7299211)      

 = 5-( 11)

1

1  =

-11 45 11 10

Bài Tìm x , biết S = 1316101   x(x11):2 20092011 (TTT sè 113) Giải Vì tách =1+2; = 1+2+3 ; nên ta cã:

S = ) ( ) ( 2 ) (        

 x x

=      ( 1)  3 2 x

x 2011

2009

S =2 (213314 x(1x1)) 2(21 (x11))  2 (2x(x11))= 20092011 x-1 =2009

x+1 2011=> x=2010 Bài Xét dÃy phân số: 11;12,12;31,22,13;41,32,23,41;

a, HÃy nêu quy luật dÃy viết tiếp năm PS tiÕp theo cña d·y

b,Phân số 3150 PS thuộc nhóm thứ PS thứ dãy Giải

a,Các PS đợcviết thành nhóm( phân cách dấu chấm phảy);có tổng tử mẫu lần lợt là2;3;4;5 Trong nhóm mẫu đợc viết theo thứ tự tăng

dÇn1;2;3

Dodos PS tiÕp theo lµ:15,24,33,42,51

b, Theo cách chia nhóm nh trên, tổng ntử mẫu nhóm thứ 2, nhóm thứ hai 3; nhóm thứ ba 4, PS

31 50

thuéc nhãm thø (50+31 -1 =)80 phân số thứ 31 nhóm

Số lợng phân số trớc nhóm thứ 80 :1+2+3+ +79 =3160 PS 5031là phân số thứ :3160+31=3191

Bài tập tơng tự :

Xét dÃy phân số: 11;12,12;31,22,13;14,32,23,41;

a, HÃy nêu quy luật dÃy viết tiếp năm PS cđa d·y

b,Phân số 2556 PS thựơc nhóm thứ PS thứ dãy (Hoặc

c, Phân số 3170 PS thuộc nhóm thứ PS thứ dãy Bài Tìm x:

a,518811111114 x(x13) 154598

b, Tìm số a,b, c để ab1c 0,abc(Tìm đọc phân số,tỉ số tr ang 14) Giải

a,S=518811111114 x(x13) 1545098

S3 =538831111314 x(3x3) 1545294

=15 8181 111 111  141  1x x13=15 x13=5x(x23)=

S =5x(x23):3=1545294 :3=15x(x23) 154598 => x =100

b,Tóm tắt ab1c 1000abc Quy đồng tử số ta có abc(abcabc)  1000abc

abc(a+b+c)=1000 1000=2005=2504 1258 Lập bảng ta có ; a=1; b=2 ;c=

Đáp số abc = 125

Bài Tìm số a,b,c số thích hợp khác cho1111 c b

a (TTT)

Gi¶i :Ta quy íc a < b < c th× a1 b1 c1hay 131

a => 1<a< vËy a=2

ta cã :211b1c 1

lập bảng ta tìm đợc giá trị bvà c

Bài a, Tìm x,biết + +12+ +2xx12285; (Nhân đôi hai vế tính)

b, BiÕt: 2a b3 c4 vµ abc648 TÝnh a+b+c=?(Đề thicác huyện thị năm 2010) Giải



3

b a

;  b a

2 4  42 c a c a

Mặt khác: abc648 LËp b¶ng ta cã:

a b c abc648 KÕt luËn 23424 lo¹i 468192 lo¹i 12 69 12=64

8 Chän

a = th× b = 9; c = 12 VËy a + b + c = + + 12 = 27

Bµi tËp bỉ sung a/BiÕt: 2a b3 c4 vµ abc 192 TÝnh a + b + c =?

b/ BiÕt: 2a 3b 4c vµ a b c=1536 TÝnh a + b + c =?

Bµi 10TÝnh A=3447 74114 954 994

Giải 3474 34 74 Nên ta cã.A=43 7474 114  954  994 34 994 12899

b, tìmy,biết: 3y(1261121 301 )43 (Đề thi huyện thị năm 2010)

Bài 11 a,Tìm số tự nhiên a,bsao cho: 2a 3b a23b giải Vơí a khác b khác 2a 5a tơng tù ta cã

5

b b

 nªn => 

     

3 5

b a b a b a

5 b a 

VËy chØ s¶y dÊu b»ng nÕu a=b =0

b,Tìm a,b,c khác cho :a,bc: (a+b+c)=0,25 (nhân 100 vế)

Giải : a,bc: (a+b+c) = 0,25 (nhân 100 với SBC SC ta cã)

Bài 12: Cho M=20112009 40222010:(x20112009) Tìm x để biểu thức có giá trị nhỏ nhất.Giá trị nhỏ bao nhiêu? Gii

Để M nhỏ tử số nhá nhÊt hay 2011- 4022:(x-2009) =0

Khi 4022:(x-2009)=2011 Hay (x-2009)=2=> x=2009+2=2011 Bài 13 Tính:

a)111 (1212111120201111  72721111)

b)

512 52

2 , , , 18 ,

    

      

a+b+c =(0,25100abc) (a+b+

c); Thö l¹i KÕt luËn

4 100 1+0+0=1<4 lo¹i

5 125 1+2+5=8>5 lo¹i

6 150 1+5+0=6 =6 Chän

7 175 1+7+5=13>7 lo¹i

8 200 2+0+2=2< lo¹i

9 225 2+2+5=9=9 loại a=b

10 250 2+5+0=7<10 lo¹i

11 275 2+5+7=17>11 lo¹i

PHÇN IV: D·y sè I KiÕn thøc cÇn ghi nhớ

1 Đối với số tự nhiên liên tiếp :

a) DÃy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu số chẵn kết thúc số lẻ bắt đầu số lẻ kết thúc số chẵn số lợng số chẵn số lợng số lẻ

b) DÃy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu số chẵn kết thúc số chẵn số lợng số chẵn nhiều số lợng số lẻ

c) DÃy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu số lẻ kết thúc số lẻ số l -ợng số lẻ nhiều số l-ợng số chẵn

2 Một số quy lt cđa d·y sè thêng gỈp:

a) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) số hạng đứng liền trớc cộng trừ số tự nhiên d

b) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) số hạng đứng liền trớc nhân chia số tự nhiên q (q > 1)

c) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) tổng hai số hạng đứng liền trớc d) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) tổng số hạng đứng liền tr ớc cộng với số tự nhiên d cộng với số thứ tự số hạng

e) Mỗi số hạng đứng sau số hạng đứng liền trớc nhân với số thứ tự số hạng

f) Mỗi số hạng số thứ tự nhân với số thứ tự số hạng đứng liền sau

3 Dãy số cách đều:

a) Tính số lợng số hạng dãy số cách đều:

Sè sè h¹ng = (Số hạng cuối - Số hạng đầu) : d + (d khoảng cách số hạng liên tiếp) Ví dụ: Tính số lợng số hạng dÃy sè sau:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …, 94, 97, 100 Ta thÊy:

4 - = - = 10 - =

97 - 94 = 100 - 97 =

Vậy dãy số cho dãy số cách đều, có khoảng cách số hạng liên tiếp đơn vị Nên số lợng số hạng dãy số cho là:

(100 - 1) : + = 34 (sè h¹ng)

b) Tính tổng dãy số cách đều: (đọc kĩ trớc làm tập )

Sè sè h¹ng = (số cuối - số đầu ) : khoảng cách + 1

Số hạng cuối = Số đầu + khoảng cách x (số số hạng 1)

VÝ dơ : Tỉng cđa d·y sè 1, 4, 7, 10, 13, …, 94, 97, 100 lµ:

2 34 ) 100

(  x

= 1717 II Bµi tËp

Bµi 1: Viết tiếp số hạng vào dÃy số sau:

a) 1, 3, 4, 7, 11, 18, … d) 1, 4, 7, 10, 13, 16, … b) 0, 3, 7, 12, … e) 0, 2, 4, 6, 12, 22, … c) 1, 2, 6, 24, … g) 1, 1, 3, 5, 17, Bài 2: Viết tiếp số hạng vµo d·y sè sau:

a) 10, 13, 18, 26, … k) 1, 3, 3, 9, 27, … b) 0, 1, 2, 4, 7, 12, … l) 1, 2, 3, 6, 12, 24,… c) 0, 1, 4, 9, 18, … m) 1, 4, 9, 16, 25, 36, … d) 5, 6, 8, 10, … o) 2, 12, 30, 56, 90, … e) 1, 6, 54, 648, … p) 1, 3, 9, 27, …

g) 1, 5, 14, 33, 72, … q) 2, 6, 12, 20, 30, … h) 2, 20, 56, 110, 182,… t) 6, 24, 60, 120, 210, Bài 3: Tìm số hạng dÃy sau Biết dÃy có 10 số hạng:

a) , 17, 19, 21, b) ., 64, 81, 100, Bài 4: Tìm số hạng đầu dãy số, dãy có 15.:

c) ., 23, 25, 27, 29

Gi¶i :

1a,KĨ tõ sè h¹ng thø ba b»ng tỉng hai số hạng trớc cộng với Nên ta có : Số hạng thứ bảy :11+18=29

Số hạng thứ tám :18+29=47

Số hạng thứ chín : 29+47 =76.VËy ta cã d·y a) 1, 3, 4, 7, 11, 18,29,47,76

b, Kể từ số hạng thứ ba tổng số hạng đứng trớc cộng với số thứ tự nhóm cộng Nên ta cú :

Số hạng thứ năm :12+5+1=18 ; Số hạng thứ sáu :18+6+1=25

Số hạng thứ bảy : 25+7+1 =33.Vậy ta có dÃy b) 0, 3, 7, 12,18, 25,33

c,Kể từ số hạng thứ hai số hạng đứng trớc nhân với số thứ tự số hạng Nên ta có:

Sè hạng năm là: 245120; Số hạng thứ sau là:1206 720

Số hạng thứ bảy :7207 5040.Vậy ta cã d·y: c) 1, 2, 6, 24,120,720,5040 e, KÓ tõ sè h¹ng thø ba b»ng tỉng cđa ba sè hạng trớc Nên ta có :

Số hạng thứ bảy :6+12+22=40

g,K t s hng th ba tích hai số hạng đứng trớc cộng với Nên ta có: Số hạng thứ năm :517287

Số hạng thứ sáu là: 17 8721481

Bài giải

2a,K t s hng th ba tổng hai số hạng trớc trừ Nên ta có: Số hạng thứ :18+26-5=39

b,Kể từ số hạng thứ ba tổng hai số hạng đứng trớc cộng với Nên ta có : Số hạng thứ bảy :7+12+1= 20

c,Kể từ số hạng thứ ba tổng hai số hạng nđứng trớc nócongj với số số thứ tự nhúm.Nờn ta cú :

Số hạng thứ sáu lµ :9+18+6 =33

d, Kể từ số hạng thứ ba tổng hai số hạng đứng trớc trừ số số thứ tự nhóm Nên ta cú :

Số hạng thứ năm là:8+10-5 = 13

d, KĨ tõ sè h¹ng thø hai ta cã :6 = 12 3 54 = 63 3 648 = 543 Vậy số thứ năm : = 6483 5 g,Sè th hai cã d¹ng :(1+1)2+1 =

Sè thø ba cã d¹ng :(5+1)2214 Sè thø thø t cí d¹ng :(14+1)2+3 = 33 VËy sè thø sÊu cã d¹ng :(72+1)2+5 = 151

Sè thứ bảy có dạng : (151+1)2+6 =310 Vậy ta có d·y sè : g) 1, 5, 14, 33, 72,151,310

h, ta cã quy luËt cña d·y sè : 2=12; 20=45 56 =78 o, Ta cã quy luËt cña d·y sè : 12 2

34=12 56 30

Số hạng thứ sáu : 1112 132 Số hạng thứ bảy : 1314 182 Ta cã d·y : o) 2, 12, 30, 56, 90, 132,182 t, Ta cã quy luËt: 6=12 3

24=23 4 60=34 5 Vậy số hạng thứ sáu là: 678336 Số hạng thứ bảy : 78 9= 567 Ta có dÃy sè: 6, 24, 60, 120, 210,336,567 Néi dung bµi 3,4 dễ Bài 5: Cho dÃy số : 1, 4, 7, 10, , 31, 34,

a) Tìm số hạng thứ 100 dÃy b) Số 2002 có thuộc dÃy không? Giải :a)Khoảng cách dÃy số :3

Nên số hạng thứ 100 lµ :1+3(100 1)318

b) NÕu 2002 lµ sè hạng dÃy : (2002 -1)3 Thật (2002-1) :3= 667

Bµi 6: Cho d·y sè : 3, 18, 48, 93, 153,

Giải :Kể từ số hạng thứ ta có : 3=150+3 18=151 3 48=15(12)3 93=15(123)3

Vậy số hạng thứ 100 : 15(123 99)3=74253

b) Muốn xác định 11703 có thuộc dãy khơng Ta xét 11703-3 có chia hết cho 15 khơng?

thËt vËy :11703-3 = 11700

11700:15 = 780.Theo quy luËt ë ý ( a)nªn ta cã :

780 = 1+2+3+ +n = ( n+1) n:2 Hay ( n+1)n =7802 = 1560;

( n+1)n tích hai số tự nhiên liên tiếp có chữ số tận Mặt khác n <100 theo kết ý( a).Nên n có chữ số n+1 số tròn chục.1560 chia hết cho 10 Ta dễ dàng tìm thừa số cịn lại

1560 :(410) =39 Vậy n=39 để n+1 =40 Bài tập tơng tự: Cho dãy số : 3, 16, 42, 81,

a) Tìm số hạng thứ 100 dÃy b) Số 10142 số hạng thứ dÃy?

Bài 7: Cho dÃy số : 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; ; 108,9 ; 110,0

a) D·y sè nµy cã số hạng? b) Số hạng thứ 50 dÃy số nào?

Giải:

a) D dng tìm đợc khoảng cách quy luật b) Giải theo công thức SĐ+ KC(50-1) Bài 8: Hãy cho biết :

a) Các số 50 133 có thuộc dÃy 90, 95, 100, … hay kh«ng? b) Sè 1996 thuéc d·y 2, 5, 8, 11,… hay kh«ng?

c) Sè số 666, 1000, 9999 thuộc dÃy 3, 6, 12, 24, ? HÃy giải thích sao?

Giải

a) Số hạng dÃy 90 nên 50 không thuộc dÃy; DÃy số chia hết cho mà133 không chia hết cho 5nên không thuộc dÃy

b) Dãy chia d 1996 chia d1 nên không thuộc dãy Kể từ số hạng thứ hai dãy số chẵn Dứng trớc 666 333 (lẻ) nên 666 không thuộc dãy

c) Tơng tự 1000;9999 không thuộc dãy

Bài 9: Cho dãy số 1, 7, 13, 19, 25, … Hãy cho biết số: 351, 400, 570, 686, 1975 có thuộc dãy số cho hay khơng?

Gi¶i

Quy lt cđa d·y chia d mµ 351:6=58 d nên không thuộc dÃy Tơng tự xét trờng hợp lại

Bi 10: a)Cho dóy số 1, 5, 9, 13, , 2005 Hỏi: Dãy số có số hạng? b)Cho dãy số :1, 5,15,34, Hãy biến đổi số hạng nhóm thành tổng viết đến số hạng thứ 20

Gi¶i b,1=1 5=2+3 15=4+5+6

34=7+8+9+10

Phần V: Dấu hiệu chia hết I Kiến thức cần ghi nhớ (đọc kĩ trớc làm tập ) 1 Những số có tận 0, 2, 4, 6, chia hết cho 2.

2 Những số có tân chia hết cho 5.

3 Các số có tổng chữ số chia hết cho chia hết cho 3. 4 Các số có tổng chữ sè chia hÕt cho th× chia hÕt cho 9.

5 Các số có hai chữ số tận lập thành số chia hết cho chia hết cho 4. 6 Các số có hai chữ số tận lập thành số chia hết cho 25 chia hết cho 25. 7 Các số có chữ số tận lập thành số chia hết cho chia hết cho 8. 8 Các số có chữ sè tËn cïng lËp thµnh sè chia hÕt cho 125 th× chia hÕt cho 125. 9 a chia hÕt cho m, b còng chia hÕt cho m (m > 0) tổng a + b hiệu a- b (a > b) còng chia hÕt cho m

10 Cho mét tỉng cã mét sè h¹ng chia cho m d r (m > 0), số hạng lại chia hÕt cho m th× tỉng chia cho m cịng d r

11 a chia cho m d r, b chia cho m d r th× (a - b) chia hÕt cho m ( m > 0).

12 Trong tích có thừa số chia hết cho m tích chia hết cho m (m >0). 13 Nếu a chia hết cho m đồng thời a chia hết cho n (m, n > 0) Đồng thời m n

cïng chia hÕt cho th× a chia hÕt cho tÝch m x n

VÝ dơ: 18 chia hÕt cho vµ 18 chia hÕt cho (2 vµ chØ cïng chia hÕt cho 1) nªn 18 chia hÕt cho tÝch x

Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Mét sè a chia hết cho số x (x ≠ 0) th× tÝch cđa sè a víi mét sè (hoặc với tỉng , hiệu, tÝch, th¬ng ) n o còng chia hết cho số x

Tổng hay hiệu số chia hết cho số thứ ba v hai số cà ũng chia hết cho số thứ ba lại chia hết số thứ ba

Hai số chia hết cho số thứ tổng hay hiệu chúng chia hết cho số

Trong hai số, cú số chia hết v số khơng chia hết cho số thứ ba tổng hay hiệu chúng chia hết cho số thứ ba

Hai số chia cho số thứ ba v cho số d hiệu chúng chia hết cho số thứ ba

Trong trêng hỵp tỉng số chia hết cho x tổng hai số d phải chia ht cho x

x a) (A x

a   

x b x a x b

a );    (

x b a x b x

a;   (  )

x b) (a x b x;

a    

a:x dư r; b:x dư r (a-b) chia hÕt cho x

a:x dư r1 ; b:x dư r2

NÕu (r1+r2) : x x b a ) ( 



II Bµi tËp

Bài 1: Tìm x để 372x5 chia hết cho

Gi¶i (372x5)3 2x5chia d hay (2+5+x )chia d 2.=>x=1,4,7

Bài 2: Tìm a b để số a391b chia hết cho chia cho d

Giải a391bchia d b=1;6.Với b=1 Ta cã :a39113 Hay (a+14)9 =>a=5 Víi b=6 Ta cã : a39163 Hay( a+19)9=>a=8 Bài 3: Tìm tất số có chữ số khác abc, biết:

3 7

b ac

Gi¶i : 732

b ac

=2718 => ac=18;bc=27

Bài 4: Tìm số có chữ số, biết số chia cho d 3, chia cho d 1, chia cho 3 vừa hết chữ số hàng trăm

Giải.: Số chia d chia d nên số có chữ số tận Vậy số có dạng

3

8a  hay 11+a chia hÕt cho 3=> a=1;4;7 Ta cã c¸c sè : 813;843;873

Bài 5: Tìm số lớn 80, nhỏ 100, biết lấy số cộng với chia cho d Nếu lấy số cộng với 17 chia cho d

Giải : Số cộng chia d nên suy số cọng chia hết cho Suy số đóm chia hết cho Lập luận tơng tự số chi hết cho => số vừa chia hết cho 3và số số 90

Bài 6: Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia số cho 3, 4, d chia cho khơng d

Bài 7: Hãy viết thêm chữ số vào bên phải chữ số vào bên trái số 45 để đ ợc số lớn có chữ số thoả mãn tính chất chia số cho d 3, chia cho d 4, chia cho d

Giải Nếu thêm đơn vị số chia hết cho 4;5;9 Vậy thêm đơn vị số số có chữ số tận Vậy số cuối Suy hai chữ số tận 23;43;63;83 để chia d (khơng chọn đợc số có 2chữ số tận chia d 3)

để số lớn chữ số hàng chục nghìn phải lớn chia d Ta có x+4+5+2+3 chia d nên x=3

x+4+5+4+3 chia d nªn x=2 x+4+5+6+3 chia d nªn x=8

x+4+5+8+3 chia d nªn x=7 VËy ta cã số lớn : 84563

Bài 8: Tìm sè abc(víi c kh¸c 0), biÕt sè abc chia hÕt cho 45 abc cba396

Giải abc cba396 nên abc>cba hay a>c;abc45 hay abc mà c khác nên

c=5

Đặt cột dọc ta cã : -396

cba abc

Xét hàng đơn vị ,Vì c<a nên 1c – a=9 nhớ hay 15 -a=6 => 15-6 =9 a=9 Ta có 9+b+5 chia hết cho => b=4

Bài 9: a,Cho A số tự nhiên có chữ số Viết chữ số A theo thứ tự ng ợc lại ta đợc số tự nhiên B Hỏi hiệu số có chia hết cho hay khơng? Vì sao? b, Cho số tự nhên A, Viết chữ số A theo thứ tự ngợc lại ta đợc số tự nhên B Biết B gấp lần A Hỏi B có chia hết cho khơng?

Giải a)Gọi số abc viết ngợc lại ta có cba Hiệu chúng chia hết cho

ThËt vËy theo bµi ta cã : abc-cba=a99 c9999(a c)3

b)B=A3=> B3=> tæng chữ số B chia hết cho 3.Mặt khác tổng chữ số B tổng chữ sè cđa A nªn A chia hÕt cho Gäi k thơng cửa A cho ta có : A=3k hay

B=3k3k9=B9

Bài 10: Tìm số tự nhiên nhỏ khác 1, cho chia số cho 2, 3, 4, 5 d

Giải Số mhỏ chia hết cho 2;3;4;5;7 420 Để tìm số nhỏ chia cho 2;3;;;;;;4;5;7 d ta cộng số thêm S ú l: 420+1 =421

Bài 11: Tìm chữ số a, b, c cho a7b8c9 chia hết cho 1001

Giải a7b8c9: 1001 thơng phải nlà số có chữ số thơng sè cã ch÷ sè

lín nhÊt tÝch sÏ là:991001 99099<a7b8c9 thơng có chữ số nhỏ

thì tích :100010011001000 a7b8c9 Gọi mnplà thơng ta cã : a7b8c9=

mnp 1001

Đặt cột dọc ta có : ta tính đợc giá trị cách dễ dàng

Bài 12: Một số chia cho 11 d 6, chia cho 12 d Hỏi số chia cho 132 d bao nhiêu?

Giải Gọi số A ta có : A=11q6 (1)

A= 12p5(2) nh©n 12 víi (1) nh©n 11 víi (2) ta cã A12 (11q6)12=132q+72 (3)

A11(12p5)11=132p55 (4) Tr (3) cho (4) ta cã :

A1=132 (q  p)+17 Vậy A chia cho 132 đợc thơng q-p d 17

Bµi 13: Sè chia cho d 5, chia cho d Hái sè a chia cho 30 th× d bao nhiêu? Đáp án d 29

Bi 14: Hóy chng tỏ hiệu số có dạng 1ab1 số đợc viết chữ số

nhng theo thø tự ngợc lại số chia hết cho 90 Giải

Viết ngợc lại ta có :1ba1Ta chứng tá 1ab1-1ba1 90(nÕu a<b) thËt vËy ta cã : 1001 + b10 + a - (1001 + a10+b) = b9 a9 = 9(b  a)=>1ab1-1ba19 cßn 1ab1-1ba1 90 b-a =0

Bài 15: Với chữ số a, b, c vµ a > b H·y chøng tá r»ng abab  baba chia hÕt cho

9 vµ 101

Gi¶i abab  baba = ab 101 ba 101 =101( ab-ba ) 101

LËp luËn t¬ng tù ta cã ab-ba) 9

Bài 16: Biết số A đợc viết 54 chữ số Hãy tìm số tự nhiên nhỏ mà cộng số với A ta đợc số chia hết cho 45

Giải Tổng chữ số A chia hết cho Đế tìm số cộng với A chia hết cho 45 tổng chia hết hay chữ số tận Nh số cộng thêm thỏa mãn chi hết cho có chữ số tận Thử chọn số nhỏ 36

mảnh nhỏ … Khi ngừng xé, theo quy luật ngời ta đếm đợc 1999 mảnh lớn nhỏ thảy Hỏi ngời đếm hay sai? Vì sao?

Bài 18: Hai bạn Minh Nhung mua gói bánh gói kẹo Nhung đa cho cơ bán hàng hai tờ giấy bạc loại 50000 đồng cô trả lại 36000 đồng Minh nói ngay: “Cơ tính sai rồi!” Bạn cho biết Minh nói hay sai? Giải thích sao? (Biết giá tiền gói bánh gói kẹo số nguyên đồng)

Dùa vào dấu hiệu chia hết cho 3( nên có tËp bæ sung)

Bài tập bổ sung : An mua bút chì giá 400 đồng , mua bút máy giá 800 đồng, muan cáo thớc giá 900 đồng , mua sổ giá 1200 đồng , mua 12 tập giấy giá iền số chăn trăm đồng Cô bán nhẩm tính hết 57000 đồng Hỏi tính hay sai

Bài 19: Cho tam giác ABC Nối điểm cạch tam giác với tiếp tục nh (nh hình vẽ) Sau số lần vẽ, bạn Minh đếm đợc 2003 tam giác, bạn Thông đếm đợc 2004 tam giác Theo em bạn đếm đúng, bạn đếm sai?

LËp b¶ng xÐt quy lt cđa d·y

Bài 20 Ngời ta viết liên tiếp chữ số từ 19 đến 80 để dợc sơ A=192021222324 7980.Hỏi A có chia hết cho 1980 khơng?

Gi¶i

Sè chia hÕt 1980 chia hết cho 10 9.A có chữ số tận nên A chia hết cho10 Ta chøng minh A chia hÕt cho

Vì 1+2+3+ +9 = 45 từ 20 đến 79 chữ số hàng chục xuất 10 lần Do ta có tổng chữ số là:

(1+9+8+0) +210+45+3104541045510456104571045 =18+64510(234567)=(18+645+270)9=> A9

Những lại điển hình nên khơng thể bỏ qua

Phần VI: Các Toán dùng chữ thay số I Kiến thức cần nhớ

1 Sử dụng cấu tạo thập phân số

1.1 Phân tích làm rõ ch÷ sè ab = a x 10 + b

abc = a x 100 + b x 10 + c Các bớc giải toán cấu tạo số

Bớc (tóm tắt toán) Dựa vào cấu tạo số thập phân

Bc 2: Phõn tích số, làm xuất thành phần giống bên trái bên phải dấu bằng, đơn giản thành phần giống để có biểu thức đơn giản Dựa vào mối quan hệ cỏc ch s

Bớc 3: Tìm giá trị (Biện luận) : Dựa vào -Tính chất chăn lẻ ;

-DÊu hiƯu chia hÕt hc dÊu hiƯu chia cã d ; -TÝnh chÊt LíN nhÊt – bÕ nhÊt

-Lập toán dọc

-Tìm mối quan hệ chữ số

Bc : (Thử lại, kết luận, đáp số) (Có thể đọc thêm tài liệu Hệ thống PP giả Toán Tiểu học)

Ví dụ: Cho số có chữ số, lấy tổng chữ số cộng với tích chữ số số cho số Tìm chữ số hàng đơn vị số cho

Bài giải Bớc (tóm tắt toán)

Gọi số có chữ số phải tìm ab (a > 0, a, b < 10) Theo bµi ta cã ab = a + b + a x b

Bớc 2: Phân tích số, làm xuất thành phần giống bên trái bên phải dấu bằng, đơn giản thành phần giống để có biểu thức đơn giản

a x 10 + b = a + b + a x b

a x 10 = a + a x b (cïng bít b)

a x 10 = a x (1 + b) (Mét sè nh©n víi mét tỉng) 10 = + b (cïng chia cho a) Bíc 3: Tìm giá trị :

b = 10 -

Số lần vẽ Số hình tam tam giác tạo đợc

1 14 0

2 1+42

3

b =

Bớc : (Thử lại, kết luận, đáp số)

Vậy chữ số hàng đơn vị số là: Đáp số: 1.2 Phân tích làm rõ số

ab = a0 + b

abc = a00 + b0 + c

abcd = a00 + b00 + c0 + d

= ab00 + cd

Ví dụ : Tìm số có chữ số, biết viết thêm số 21 vào bên trái số ta đợc số lớn gấp 31 ln s cn tỡm

Bài giải Bớc 1: Gọi số phải tìm ab(a > 0, a, b < 0)

Khi viết thêm số 21 vào bên trái số abta đợc số 21ab Theo ta có:

ab

21 = 31 x ab

Bíc 2: 2100 +ab = 31 x ab (ph©n tÝch sè 21ab = 2100 + ab)

2100 + ab= (30 + 1) x ab

2100 + ab = 30 x ab + ab (mét sè nh©n mét tỉng)

2100 = ab x 30 (cïng bít ab)

Bíc 3: ab = 2100 : 30 ab = 70

Bíc 4: Thư l¹i

2170 : 70 = 31 (ỳng) Vy s phi tỡm l: 70

Đáp số: 70

2 Sử dụng tính chất chẵn lẻ chữ số tận số tự nhiên

2.1 KiÕn thøc cÇn ghi nhí

- Sè cã tËn 0, 2, 4, 6, số chẵn - Sè cã tËn cïng lµ: 1, 3, 5, 7, số lẻ - Tổng (hiệu) số chẵn số chẵn - Tổng (hiệu ) số lẻ số chẵn

- Tổng (hiệu) số lẻ số chẵn số lẻ - Tổng hai số tự nhiên liên tiếp số lẻ

- Tích có thừa số chẵn số chẵn - Tích a x a có tận 2, 3,

2.2.Vớ dụ: Tìm số có chữ số, biết số gấp lần chữ số hàng đơn vị ca nú

Bài giải Cách 1:

Bớc 1: Gọi số phải tìm ab (0 < a < 10, b < 10)

Theo đề ta có: ab = x b

Bíc 2: Sư dụng tính chất chẵn lẻ chữ số tận cùng. Vì x b số chẵn nên ablà số chẵn

b > nên b = 2, 4,

Bớc 3: Tìm giá trị phơng pháp thử chọn Nếu b = th× ab= x = 12 (chän)

NÕu b = th× ab= x = 24 (chän)

NÕu b = th× ab= x = 36 (chän)

NÕu b = th× ab= x = 48 (chän)

Bớc 4: Vậy ta đợc số thoả mãn đề là: 12, 24, 36, 48. Đáp số: 12, 24, 36, 48 Cỏch 2:

Bớc 1: Gọi số phải tìm lµ ab (0 < a < 10, b < 10)

Theo đề ta có: ab= x b

Bíc 2: XÐt ch÷ sè tËn cïng

Vì x b có tận b nên b là: 2, 4, Bớc 3: Tìm giá trị phơng pháp thử chän

NÕu b = th× ab= x = 12 (chän)

NÕu b = th× ab= x = 24 (chän)

NÕu b = th× ab= x = 36 (chän)

NÕu b = th× ab= x = 48 (chän)

Bớc 4: Vậy ta đợc số thoả mãn đề là: 12, 24, 36, 48. Đáp số: 12, 24, 36, 48 3 Sử dụng kỹ thuật tính thực phép tính

3.1 Mét sè kiÕn thøc cÇn ghi nhí

Trong phÐp céng, cộng hai chữ số hàng có nhớ nhiều 1, cộng chữ số hàng có nhớ nhiều lµ 2, …

3.2 VÝ dơ

VÝ dơ 1: T×m abc = ab + bc + ca

Bài giải

abc = ab + bc + ca

abc = (ab +ca ) + bc (tính chất kết hợp giao hoán phép céng)

abc - bc = ab +ca (t×m mét sè h¹ng cđa tỉng)

00

a = aa + ca

Ta đặt tính nh sau:

Nhìn vào cách đặt tính ta thấy phép cộng có nhớ sang hàng trăm Mà phép cộng hai số hạng nên hàng trăm tổng Vậy a = Với a = ta có: 100 = 11 + cb

cb= 100 - 11 cb= 89

VËy c = ; b = Ta cã sè abc= 198

Thử lại: 19 + 98 + 81 = 198 (ỳng) Vy abc= 198

Đáp số: 198

Ví dụ 2: Tìm số có chữ số, biết xoá chữ số hàng đơn vị và hàng chục số giảm i 1188 n v

Bài giải Bớc 1: (Tóm tắt)

Gọi số phải tìm abcd (a > 0; a, b, c, d < 10)

Khi xoá cd ta đợc số ab

Theo đề ta có:

abcd= 1188 + ab

Bớc : (Sử dụng kĩ thuật tính) Ta đặt tính nh sau:

Trong phÐp céng, céng chữ số hàng có nhớ nhiều nên abchỉ 11 12

- Nếu ab= 11 abcd= 1188 + 11 = 1199

- NÕu ab= 12 th× abcd = 1188 + 12 = 1200

Bớc 3: (kết luận đáp số)

Vậy ta tìm đợc số thoả mãn đề là: 1199 1200

Đáp số: 1199 1200

4 Xỏc nh giá trị lớn giá trị nhỏ số biểu thức:

4.1 Mét sè kiÕn thøc cµn ghi nhí

- Mét sè cã 2; 3; 4; chữ số tổng chữ số có giá trị nhỏ giá trị lớn lần lợt là: x = 18; x = 27; x = 36; …

- Trong tổng (a + b) thêm vào a đơn vị bớt b nhiêu đơn vị (hoặc ngợc lại) tổng khơng thay đổi Do (a + b) không đổi mà a đạt giá trị lớn b đạt giá trị nhỏ ngợc lại Giá trị lớn a b phải nhỏ tổng (a + b) - Trong phép chia có d số chia ln lớn số d

4.2 Ví dụ: Tìm số có chữ số, biết số chia cho chữ số hàng đơn vị của đợc thơng d

Bài giải Bớc 1: (tóm tắt)

Gọi số phải tìm ab (0 < a < 10, b < 10)

Theo đề ta có:

ab: b = (d 5) hay ab= b x +

Bớc 2: (Xác định giá trị lớn nhỏ nhất).

Sè chia lu«n lớn số d nên b > < b < 10

Nếu b đạt giá trị lớn abđạt giá trị nhỏ x + = 41 Suy

ra a nhỏ Vậy a = +) Nếu a = 4b= b x +

+) NÕu a = th× 5b= b x +

Bíc 3: Kết hợp cấu tạo thập phân số +) XÐt 4b= b x +

40 + b = b x + 35 + + b = b x + b + 35 = b x

b = 35 : = Ta đợc số: 47

+) xÐt 5b= b x +

50 + b = b x + 45 + + b = b x + b +

1188 +

45 = b x b = 45 : = Ta đợc số: 59

Bớc 4: (Thử lại, kết luận, đáp số) Thử lại: x + = 47 (chọn)

x + = 59 (chän)

Vậy ta tìm đợc số thoả mãn yêu cầu đề là: 47 59 Đáp số: 47 59 5 Tìm số biết mối quan hệ chữ số:

Ví dụ: Tìm số có chữ số, biét chữ số hàng trăm gấp đôi chữ số hàng chục, chữ số hàng chục gấp lần chữ số hàng n v

Bài giải Gọi số phải tìm abc(0 < a < 10; b, c < 10)

Vì a = x b b = x c nªn a = x x c = x c, mµ < a < 10 nªn < x c < 10

Suy < c < VËy c = NÕu c = th× b = x =

a = x = Vậy số phải tìm là: 631

Đáp số: 631 6 Phối hợp nhiều cách giải:

Vớ dụ: Tìm số có chữ số, biết số cộng với tổng chữ số của thỡ bng 555

Bài giải Gọi số phải tìm lµ abc (a > 0; a, b, c < 10)

Theo đầu ta có: abc+ a + b + c = 555

Nhìn vào biểu thức trên, ta thấy phép cộng nhớ sang hàng trăm Vậy a =

Khi ú ta có: 5bc+ + b + c = 555

500 + bc + + b + c = 555

505 + bb + c + c = 555

bb+ c x = 555 - 505

bb+ c x = 50

Nếu c đạt giá trị lớn bbđạt giá trị nhỏ :

50 - x = 32, b >

V× bb + c x = 50 nªn bb< 50 nªn b <

Vì < b < nên b = hc

Vì c x 50 số chẵn nên b phải số chẵn Do b = Khi ta có:

44 + c x = 50 c x = 50 - 44 c x =

c = : = VËy abc= 543

Thử lại 543 + + + = 555 (ỳng) Vy s phi tỡm l: 543

Đáp sè: 543 II Bµi tËp

Bài 1: Tìm số có chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên trái số đó, ta đợc số gấp lần số phải tìm

Bµi giải :(lời giải tóm tắt)

Gọi số phải tìm :abnên số :4ab

Theo ta có : 4ab= ab 9 Phân tích cấu tạo sè

400+ab= ab 9

400 =ab 8

=>ab= 400 :8 = 50

Bài 2: Tìm số có chữ số, viết thêm chữ số vào bên trái số ta đợc một số gấp 13 lần số phải tìm

Gi¶i 9ab=ab 13

900 = 12ab=>ab=900 :12 = 75

Bài 3: Tìm số có chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên phải số đó ta đợc số số phải tìm 1112 đơn vị

Gi¶i :abc5=abc+1112 abc10+5=abc+1112

abc 9 =1112-5=1107=>abc=1107 : =123

Bài 4: Tìm abcbiết: abcd- bcd x = ac

T×m abcbiÕt: a + ab+ abc = bcb

T×m abcd biÕt: dcba+ dcb+ dc+ d = 4321

T×m abcd biÕt: abcd- abc- ab- a = 2086

Gi¶i (tãm t¾t)

a) a 1000-b 100 +c 10 +d)=a 10+c

a 990 =b 100 +c 10 +d+c a 990=b 100+c11+d LËp luËn ta cã a=1 ;b=9 ; c=8 ; d=2 ( d=2 thõa )

Bµi 5: T×m abcdbiÕt: (abx c + d) x d = 1977

Giải

1977d 1977 số lẻ nên kh«ng chia hÕt cho ;4 ;6 ;8

1977 có chữ số tận nên không chia hết cho ; 1977không chia hết cho

1977 chia hÕt cho nªn d=3 =>(abx c + d)=1977 :3=659 hay=>abx c+3=659

abx

c=659-3=656

656 kh«ng chia hÕt cho ; 5;7;9

656 chia hết cho nên 656 chia hÕt cho vËy c=2 ;4 ;8 thö trờng hợp ta có :c=8

Bi 6: Cho số có chữ số mà tổng chữ số Chữ số hàng vạn bằng số chữ số có mặt số Chữ số hàng nghìn số chữ số 1, chữ số hàng trăm số chữ số 2, chữ số hàng chục số chữ số 3, chữ số hàng đơn vị số chữ số có mặt số Tìm số cho.(Đề thi HSG Hà Nội 1995)

HD : = 5+0+0+0+0 (1) = 4+1+0+0+0 (2) = 3+1+1+0+0 (3) = 2+1+2+0+0 (4) = 1+1+1+1+1 (5)

Trêng hợp (1) loại chữ số hàng vạn mà chữ số

Trờng hợp (2) loại số chữ số mà chữ số hàng vạn là ; Trờng hợp (3)loại số chữ số mà d·y sè kh«ng cã sè ;

Trờng hợp (4) chọn dãy số chữ số chữ số hàng đợn vị chữ số hàng vạn số chữ số dãy, chữ số hàng nghìn chữ s

Trờng hợp (5) loại chữ số hạng vạn mà dÃy chữ số phần VII : Phân số - tỉ số phần trăm

I Tính ph©n sè

1 Khi ta nhân chia tử mẫu số phân số với một số tự nhiên lớn 1, ta đơc phân số phân số ban đầu

2 Vận dụng tính chất phân sè:

2.1 Rót gän ph©n sè

b a

= ba mm dc : :

(m > 1; a b phải chia hết cho m)

d c

đợc gọi phân số tối giản c d chia hết cho (hay c d không chia hết cho số tự nhiên khác 1)

- Khi rút gọn phân số cần rút gọn đến phân số tối giản Ví dụ: Rút gọn phân s 7254

Cách làm: 7254 7254::1818 43.

- Rút gọn phân số đợc phân số hay số tự nhiên: Ví dụ: Rút gn phõn s 1272

Cách làm: 1272 1272::1212 16 6.

- Đối với phân số lớn viết dới dạng hỗn số Ví dụ: 1441243.

2.2 Quy đồng mẫu số - Quy đồng tử số:

* Quy đồng mẫu số phân số: ba bc (b, d 0)

Ta cã: ba bxdaxd

dxb cxb d c



Ví dụ: Quy đồng mẫu số phân số 72 và83

Ta cã: 72 72 88 1656;38 38 77 5621 x

x x

Trêng hợp mẫu số lớn chia hết cho mẫu số bé mẫu số chung mẫu số lín h¬n

Ví dụ: Quy đồng mẫu số phõn s 31 v 65

Cách làm: Vì : = nªn 3113xx 22 62

Chú ý: Trớc quy đồng mẫu số cần rút gọn phân số thành phân số tối giản (nếu có thể)

* Quy đồng tử số phân số: ba dc (a, b, c, d 0)

Ta cã: ba ba xx cc ; dcdc xxbb

Ví dụ: Quy đồng tử số phân số 32 75  15 10 5  x x 14 10 7   x x II Bốn phép tính với phân số 1 Phép cộng phân số

1.1 Cách cộng

* Hai phân số mẫu: ) (     b b c a b c b a

* Hai ph©n sè kh¸c mÉu sè:

- Quy đồng mẫu số phân số đa trờng hợp cộng phân số có mẫu số

* Céng mét sè tự nhiên với phân số

- Vit s tự nhiên thành phân số có mẫu số mẫu số phân số cho - Cộng hai tử số giữ nguyên mẫu số

VÝ dô:

2 + 43 4843 114

1.2 TÝnh chÊt phép cộng - Tính chất giao ho¸n:

b a d c d c b a    .

- TÝnh chÊt kÕt hỵp:                  n m d c b a n m d c b a

- Tổng phân số số 0:

b a b a b a    0 2 Phép trừ phân số

2.1 Cách trừ

* Hai ph©n sè cïng mÉu:

b c a b c b a   

* Hai phân số khác mẫu số:

- Quy ng mẫu số phân số đa trờng hợp trừ phân số mẫu số b) Quy tắc bản:

- Mét tỉng ph©n sè trõ ®i mét ph©n sè:                  n m d c b a n m d c b a

(Víi dc mn )

= dc ab mn (Víi ba mn ) - Một phân số trừ tổng phân số:

n m d c b a n m d c b a                  = d c n m b a         - Mét ph©n sè trõ ®i sè 0:

b a b a  

3 PhÐp nh©n ph©n sè

3.1 Cách nhân: ba xdc bxdaxc

3.2 Tính chất bạn phép nhân: - Tính chất giao hoán:

b a x d c d c x b a 

n m d c b a         =         n m d c b a

- Mét tæng ph©n sè nh©n víi mét ph©n sè:

n m d c n m b a n m d c b a            

- Mét hiƯu ph©n sè nh©n víi mét ph©n sè:

n m d c n m b a n m d c b a            

- Mét ph©n sè nh©n víi sè 0:

0

0 

b a x x b a

3.3 Chó ý:

- Thùc hiƯn phÐp trõ ph©n sè:

2 1 2 2 1 x    

 Do đó:

2 1 1 x   6 3 x    

 Do đó:

3 x   12 12 12 4 x    

 Do đó:

4 x   ) ( ) ( ) ( 1 1             n n n n n n n n n

n Do đó: ( 1)

1 1      n n n n

- Muốn tìm giá trị phân số số ta lấy phân số nhân với số đó.

VÝ dơ: T×m 12 cđa ta lÊy: 2163

T×m 12 cña 31 ta lÊy: 2113 61 4 PhÐp chia phân số

4.1 Cách làm: ba:dc axdbxc

4.2 Quy tắc bản:

- Tích phân sè chia cho mét ph©n sè              n m d c x b a n m d c x b a : :

- Mét ph©n sè chia cho mét tÝch ph©n sè: : : : n m d c b a n m x d c b a             

- Tæng ph©n sè chia cho mét ph©n sè:

n m b a n m b a n m d c b a : : :         

- HiƯu ph©n sè chia cho mét ph©n sè:

n m d c n m b a n m d c b a : : :         

- Sè chia cho mét ph©n sè: 0: 0 b a

- Muốn tìm số biết giá trị phân số ta lấy giá trị chia cho phân số tơng ứng

VÝ dơ: T×m sè häc sinh líp 5A biÕt 52 sè häc sinh cđa líp 5A 10 em Bài giải

Số học sinh cđa líp 5A lµ: 10 : 52 25 (em)

* Khi biÕt ph©n sè ba cđa x b»ng dc cña y (a, b, c, d 0)

- Muèn tìm tỉ số x y ta lấy dc :ba

- Muốn tìm tỉ số y x ta lÊy ba :dc

VÝ dô: BiÕt 52 số nam 43 số nữ Tìm tỉ số nam nữ Bài giải

III Tỉ số phần trăm

Cách giải toán Tỉ số phần trăm

Dạng1:Tìm tỉ số phần trăm hai số.

Ghi nhớ:-Tìm thơng hai số ( viết dới dạng số thập phân)

- Nhõn thng ú với 100 viết kí hiệu% vào bên phải kết tìm đợc Dạng 2: Tìm giá trị phần trăm số.

Ghi nhí:

- Muốn tìm n% của số, ta lấy số chia cho 100 nhân với n nhnhân số đố với n chia cho 100

Dạng 3: Tìm số biết giá trị phần trăm số đó. Ghi nhớ:

-Mn t×m a, biÕt n% cđa a lµ k ta lÊy k chia cho nrồi nhân với 100 lấy k nhân víi 100 råi chia cho n

- Tỉ số phần trăm A B 80% đợc hiểu: B đợc chia thành 100 phần A l 80 phn nh th

- Cách tìm tỉ số % A B

* Cỏch 1: Tìm thơng hai số nhân thơng vừa tìm đợc với 100, viết thêm kí hiệu phần trăm vào bên phải tích vừa tìm đợc

VÝ dụ: Tìm tỉ số phần trăm 4. Tỉ số phần trăm là:

2 : = 0,5 = 50% * C¸ch 2:

A : B x 100%

VÝ dô: Tìm tỉ số % 4; 2. - Tỉ số % lµ:

2 : x 100% = 50% - Tỉ số % là:

4 : x 100% = 200%

IV dạng toán tính nhanh phân số

Dạng 1: Tổnh nhiều phân số có tử số mẫu sè cđa ph©n sè liỊn sau gÊp mÉu sè cđa phân số liền trớc lần

Ví dụ: 12  14  81 161  321  641

Cách giải: Cách 1:

Bớc 1: Đặt A = 12  14  81 161  321  641

Bíc 2: Ta thÊy: 21 1 21

14 21  14

81 41  81

Bíc 3: VËy A = 

  

 

      

 

     

 

     

 



64 32

1 4

1 2

1

A = 1 12  12  14  41  18   321  641

A = - 641

A = 6464 641 6463

Đáp số: 6463 Cách 2:

Bớc 1: Đặt A = 12  14  81 161  321  641 Bíc 2: Ta thÊy:

2 1

 

4 1 4

8 1 8      ………

Bíc 3: VËy A = 12  14  81 161  321  641

= - 641 = 6464  641 6463

Dạng 2: Tính tổng nhiều phân số có tử số mẫu số phân sè liỊn sau gÊp mÉu sè cđa ph©n sè liỊn tríc n lÇn (n > 1)

VÝ dơ: A = 21  14  81 161  321  641

Cách giải: Bớc 1: Tính A x n (n = 2)

Ta cã: A x = x 21  14  18 161  321  641 

= 22  24  82  162  322  642

= 1 21 41  81  161  321 Bíc 2: TÝnh A x n - A = A x (n - 1)

A x - A =  

          32 16 1            64 32 16

A x (2 - 1) = 1 12 14  81 161  321 -

64 32 16     

A = - 641

A = 6464  641 6463

VÝ dô 2: B = 52 56  185  545  1625  4865

Bíc 1: TÝnh B x n (n x 3)

B x = x 25 56 185  545  1625  4865 

= 152  52  65  185  545 1625 Bíc 2: TÝnh B x n - B

Bx3 - B = 

          162 54 18 5 15 -            486 162 54 18 5

B x (3 - 1) = 152  52  65 185  545 1625 -

486 162 54 18 5     

B x = 152  4865

B x = 3645 486

B x 3640486

B = 3640486 :

B 1820486 910243

Bµi tËp Bµi 1: TÝnh nhanh

a) 21  14  81 161  321 641  1281  2561

b) 23  26  122  242  482  962  1922 ( Gỵi ý nhãm ngoµi råi tÝnh)

c) 31  91  271  811  2431  7291

d) 23  83  323 1283  5123 (Quan sát kĩ quy luật mẫu định nhân mấy)

g) 51  101  201 401   12801

h) 31  91 271  811   590491

D¹ng 3: Tính tổng nhiều phân số có tử số n (n > 0); mÉu sè lµ tÝch cđa thõa sè cã hiƯu b»ng n vµ thõa sè thø mẫu phân số liền trớc thừa số thø nhÊt cđa mÉu ph©n sè liỊn sau:

VÝ dô: A = 2 1x 3  31x4  41x5 51x6

A = 23x23  43x43  54x54 56x65

= 2 3x 3  22x3  34x4  33x4  45x5  44x5 56x6  5x56

= 21  13  13  41  14  51  15  61

= 21  16 63  61 26 13 VÝ dô:

B = 23x5  53x8  8x311  113x14

B = 52x52  85x85  118x118  1411x1411

B = 25x5  22x5  58x8  55x8  811x11  8x811 1114x14  1111x14

= 21  15  15  81  18  111  111  141

= 21  141 147  141 146 73

Bµi tËp Bµi 1: TÝnh nhanh:

a 34x7  7x411 11x415 154x19  194x23 23x427

b,123 325 527 9211 

   

c,132 233 334 9310 

  

 (Lu ý tư)

d 3x46  64x99x412124x15 ®

21 17 17 13 13 9 7 x x x x

x    

e 1216121 201 301 421  1101 g

340 138 154 88 40 10      ý e, ý g phải tách mẫu thành tích ví dụ 110= 1011

Bµi 2:

Cho tỉng:S347741111415 1995664 (Mn lµm ýb đa dạng toán tìm SSH)

a) Tìm số h¹ng ci cïng cđa d·y S b) Tỉng S cã số hạng? Bài 3: Tính nhanh:

a) 561211192030294241555672719089 (Bï råi t¸ch)

b) TÝnh tỉng cđa 10 ph©n sè phÐp céng sau:

110 109 90 89 72 71 56 55 42 41 30 29 20 19 12 11        

 (Bù tách)

Bài 4: Cho dÃy số: 12, 16, 121 , 201 , 301 ,421 (XÐt quy luËt mẫu) HÃy tính tổng 10 số hạng dÃy số

b) Số 102001 có phải số hạng dÃy số không? Vì sao? Bµi 5: TÝnh nhanh:

50 1 1 1 1              

 Ta cã:1+2+3+ +50=

Bµi 6: So s¸nh S víi 2, biÕt r»ng: 45 10

1    



S Ta cã 1+2+3+ +45=

2 45 ) 45 (  

Bµi 7: Chøng minh r»ng:

1 91 73 57 43 31 21 13        

 ( Lu ý

90 91 ; 

 råi viÕt mÉu

thành tích)

Bài 8: Điền dấu >,< = vào ô trống:

100 16   

  Ta viÕt

2 1 2   

 T¬ng tù

Dạng 4: Tính tổng nhiều phân số có tử số n, có mẫu số tích thừa số thừa số thứ thừa số thứ n đơn vị hai thừa số cuối mẫu phân số liền trớc thừa số đầu mẫu phân số liền sau

VÝ dô: TÝnh:

A = 1x34x5  3x54x75x74 x97x94x119x114x13

= 11 13

9 13 11 7 11 5 3 1 x x x x x x x x x x          13 11 9 13 11 13 11 7 11 11 5 9 3 7 1 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x           = 13 11 11 11 9 7 5 3 1 x x x x x x x x x

x         

=11x3 111x13

=113xx1113x133143429 3140429

PHẦN IX So s¸nh phân số 1 Kiến thức cần ghi nhớ

1.1: So sánh phân số cách quy đồng mẫu số, quy đồng tử số a) Quy đồng mẫu số

Bớc 1: Quyđồng mẫu số

Bớc 2: So sánh phân số vừa quy đồng

VÝ dơ: So s¸nh 21 vµ 31

+) Ta cã:

3 3     3   

+) Vì 63 62 nên

 b) Quy đồng tử số Bớc 1: Quy đồng tử số

Bớc 2: So sánh phân số quy đồng tử số

Ví dụ: So sánh hai phân số 52 43 cách quy đồng tử số +) Ta có :

15 5     4 

+) Vì 156 86 nên



2 So sánh phân số cách so sánh phần bù với đơn vị phân số - Phần bù với đơn vị phân số hiệu phân số

- Trong hai phân số, phân số có phần bù lớn phân số nhỏ ngợc lại

VÝ dơ: So s¸nh phân số sau cách thuận tiện nhất.

2001 2000

20022001 Bớc 1: (Tìm phần bï)

Ta cã : 1 2000200120011

1-2002 2002 2001

Bíc 2: (So sánh phần bù với nhau, kết luận hai phân số cần so sánh) Vì 20011 20021 nên

2002 2001 2001

2000 * Chú ý: Đặt A = MÉu - tö B = mÉu - tö

Cách so sánh phần bù đợc dùng A = B Nếu trờng hợp A B ta sử dụng tính chất phân số để biến đổi đa phân số có hiệu mẫu số tử số hai phân số nhau:

VÝ dơ: 20002001vµ 20032001

+) Ta cã: 20002001 2001200022 40024000

- 40024000 40022

1-2003 2003 2001



+)V× 40022 20032 nªn

2003 2001 4002

4000

 hay

2003 2001 2001

2000 

3 So sánh phân số cách so sánh phần với đơn vị phân số: - Phần với đơn vị phân số hiệu phân số

- Trong hai phân số, phân số có phần lớn phân số lớn Ví dụ: So sánh: 20002001 v 20022001

Bớc 1: Tìm phần hơn

Ta cã:20002001 120001

2001 1 2001 2002



 Bơc 2: So sánh phần đơn vị, kết luận hai phân số cần so sánh.

V× 20001  20011 nªn

2001 2002 2000

2001 * Chú ý: Đặt C = tử - mÉu D = tö - mÉu

Cách so sánh phần đợc dùng C = D Nếu trờng hợp C D ta sử dụng tính chất phân số để biến đổi đa hai phân số có hiệu tử số mẫu số hai phân s bng

Ví dụ: So sánh hai phân sè sau: 20002001 vµ 20012003

Bíc1: Ta cã: 4000

4002

2000 2001 2000

2001

   

40004002140002 20012003120012

Bớc 2: Vì 40002 20012 nên

2001 2003 4000

4002

 hay

2001 2003 2000

2001 

4 So sánh phân số cách so sánh hai ph©n sè víi ph©n sè trung gian

VÝ dơ 1: So sánh 53 94 Bớc 1: Ta có:

533621 944821

Bíc 2: V× 53 21 94 nªn



Ví dụ 2: So sánh 1960 9031 Bớc 1: Ta cã:

6019602013 9031309013

Bớc 2: Vì 6019 319031 nên

90 31 60 19



VÝ dơ 3: So s¸nh 100101 100101

Vì 100101 1100101 nên

101 100 100 101



VÝ dô 4: So sánh hai phân số cách nhanh nhất. 5740 5541

Bài giải +) Ta chọn phân số trung gian : 5540

+) VËy5740 5541

* C¸ch chän ph©n sè trung gian :

- Trong số trờng hợp đơn giản, chọn phân số trung gian phân số dễ tìm đợc nh: 1, ,

3 ,

cách tìm thơng mẫu số tử số ( Tøc lµ mÉu

chia cho tư NÕu b:a = ph©n sè b»ng

nÕu b : a= 2, phân số nhỏ

nhnng lớn 1/3)của phân số chọn số tự nhiên nằm hai thơng vừa tìm đợc Số tự nhiên mẫu số phân số trung gian tử số phân số trung gian

- Trong trờng hợp tổng quát: So sánh hai phân số ba dc (a, b, c, d khác 0)

- Nếu a > c b < d (hoặc a < c b > d) ta chọn phân số trung gian

d a

(hc

b c

)

- Trong trờng hợp hiệu tử số phân số thứ với tử số phân số thứ haivà hiệu cđa mÉu sè ph©n sè thø nhÊt víi mÉu sè cđa ph©n sè thø hai cã mèi quan hƯ víi tỉ số (ví dụ: gấp 3lần,hay b»ng ,

5 , ,

) ta nhân tử số mẫu số hai phân số lên số lần cho hiệu hai tử số hiệu hai mẫu số hai phân số nhỏ Sau ta tiến hành chọn phân số trung gian nh

VÝ dơ: So s¸nh hai phân số 1523 11770

Bớc 1: Ta có: 1523 15235511575

Ta so s¸nh 11770 víi 11575

Bớc 2: Chọn phân số trung gian là: 11570

Bớc 3: Vì 11770 11570 11575 nên

115 75 117

70

 hay

23 15 117

70  5 Đa hai phân số dạng hỗn số để so sánh

- Khi thực phép chia tử số cho mẫu số hai phân số ta đợc thơng ta đa hai phân số cần so sánh dạng hỗn số, so sánh hai phần phân số hai hỗn số

VÝ dơ: So s¸nh hai phân số sau: 1547 6521

Ta có: 15473152 65213212

Vì 152 212 nên

21 15

2

3  hay

21 65 15 47



- Khi thực hiên phép chia tử số cho mẫu số, ta đợc hai thơng khác nhau, ta đa hai phân số hỗn số để so sánh

Ví dụ: So sánh 1141 1023 Ta có:

11413118 10232103 Vì > nên 3118 2103 hay

11 41

> 1023

* Chú ý: Khi mẫu số hai phân số chia hết cho số tự nhiên ta nhân hai phân số với số tự nhiên đa kết vừa tìm đợc hỗn số so sánh hai hỗn số ú vi

Ví dụ: So sánh 1547 6521

+) Ta cã: 1547 x = 475 925 65213657 927

+) Vì 52 72 nên 925 927 hay 1547 > 6521 6 Thực phép chia hai phân số để so sánh

Ví dụ: So sánh 95 107

Ta có: 95 : 107 = 63501 VËy

< 107 Vẽ sơ đồ

8 Viết PS thành tổng phân số có tổng phân số có tử mẫu số khác råi so s¸nh

9 Nghịch đảo hai phân số so sánh 10 So sans với 9Còn nữa)

Phần B: Một số dạng toán điển hình a trung bình cộng

I Kiến thức cần ghi nhớ

1 Muốn tìm trung bình cộng nhiều số ta lấy tổng chia cho số số hạng. 2 Muốn tìm tổng số hạng ta lấy trung bình cộng nhân với số số hạng. 3 Trong dãy số cách đều:

- Nếu số lợng số hạng lẻ số hạng dãy số số trung bình cộng số hạng

- Muốn tìm số trung bình cộng dãy số cách ta lấy giá trị cặp chia cho

VÝ dơ: H·y t×m sè trung b×nh céng cđa 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Bài giải Số trung bình céng lµ : (1 + 9) : =

(Hoặc dãy số có số hạng liên tiếp từ đến nên số số trung bình cộng số 5)

4 Trong số, có số lớn mức trung bình cộng số n đơn vị thì trung bình cộng số tổng số lại cộng với n đơn vị chia cho số hạng cịn lại

Ví dụ: An có 20 viên bi, Bình có sè bi b»ng 21 sè bi cña An Chi cã số bi mức trung bình cộng ba bạn viên bi Hỏi Chi có viên bi?

Bài giải Số bi Bình : 20 x 21 = 10 (viªn)

Nếu Chi bù viên bi cho hai bạn lại chia số bi ba bạn trung bình cộng ba bạn

Vậy trung bình cộng số bi ba bạn là: (20 + 10 + 6) : = 18 (viªn) Sè bi cđa Chi lµ:

18 + = 24 (viên)

Đáp số: 24 viên bi

5 Trong số, số trung bình cộng số tn đơn vị trung bình cộng số tổng số lại trừ n đơn vị chia cho số lợng số hạng cịn lại

VÝ dơ: An cã 20 nh·n vë, B×nh cã 20 nh·n vë Chi cã sè nh·n vë kÐm trung b×nh céng cđa ba bạn nhÃn Hỏi Chi có nÃnh vở?

Bài giải

Nu An v Bình bù cho Chi viên bi chia số bi ba bạn trung bình cộng ba bạn

VËy số trung bình cộng ba bạn là:

(20 + 20 - 6) : = 17 (nh·n vë) Sè nh·n vë cđa Chi lµ:

17 - = 12 (nhÃn vở) Đáp số: 12 nhÃn

6 Bài tốn có thêm số hạng để mức trung bình cộng tất tăng thêm n đơn vị, ta làm nh sau:

Bíc 1: TÝnh tỉng ban đầu

Bc 2: Tớnh trung bỡnh cng ca số cho

Bớc 3: Tính tổng = (trung bình cộng số cho + n) x số lợng số hạng

Bớc 4: Tìm số = tổng - tổng ban đầu

Ví dụ: Một tơ đầu, đợc 40km, sau, mỗi đợc 50 km Nếu muốn tăng mức trung bình cộng tăng thêm 1km đến thứ 7, tơ cần bao nhiờu ki-lụ-một na?

Bài giải

Trong gi đầu, trung bình tơ đợc: (40 x + 50 x ) : = 45 (km) Quãng đờng ô tô :

(45 + 1) x = 322 (km) Giờ thứ ô tô cần là:

B Ứng dụng phơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng dạy học. 1 ứng dụng phơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải toán về cấu tạo số tự nhiên:

Ví dụ: Khi viết thêm chữ số vào bê trái số tự nhiên có hai chữ số số tăng gấp 26 lần Tìm số tự nhiên ú?

Phân tích:

? Khi viết thêm chữ số vào bên trái số tự nhiên có hai chữ sốcó nghĩa

ta ó thờm vo số cũ đơn vị? ( 800 đon vị )

? Bài toán cho biết gì?

( Khi viết thêm chữ số vào bên trái số tự nhiên có hai chữ số số tăng gấp 26 lần.)

? Bài toán yêu cầu gì? ( Tìm số tự nhiên cho )

? Muốn tìm số tự nhiên cho ta làm nh nào?

( Xác lập mối liên hệ số tự nhiên cho số sau viết thêm số vào bên trái)

? Ta biểu diễn mối liên hệ sơ đồ đợc khơng? Vẽ sơ đồ tóm tắt tốn

Tãm t¾t:

Số tự nhiên cho: 800 Số mới:

26 lần ? Bài toán thuộc dạng toán nào?

( Tìm hai số biết hiệu tỉ số hai số ) Bài giải:

Số cần tìm là:

800 : ( 26 – ) = 32

§¸p sè: 32

2 ứng dụng phơng pháp dùng sơ đồ đoạng thẳng để giải các bài toán chuyển động đều:

Ví dụ: Một ngời dự định xe đạp từ nhà với vận tốc 14 km/giờ, để lên tới huyện lúc 10 Do ngợc gió nên đợc 10 km/ tới huyện lúc 10 36 phút tính quãng đờng từ nhà lên huyện

? Bài toán cho biết gì?

( Mt ngi d định xe đạp từ nhà với vận tốc14 km/giờ, để lên tới huyện lúc 10 Do ngợc gió nên đợc 10 km/ tới huyện lúc 10 36 phú t)

? Bài toán yêu cầu gì?

( Tớnh quóng ng từ nhà lên huyện )

Muốn tính đợc quãng đờng từ nhà lên huyện ta cần biết gì? ( Theo công thức: S = v x t

Quãng đơng = vận tốc x thời gian

Ta cần biết vận tốc thời gian từ nhà lªn hun)

? Trong hai đại luợng cần biết đó, đại lợng cho đại lợng phải tìm?

( Vận tốc từ nhà lên huyện biết, ta cần phải tìm thời gian từ nhà lên huyện)

? Với vận tốc dự đinh vận tốc thực thời điểm tới huyện theo dự định thời điểm tới huyện thực biết ta tìm thời gian ngời đo từ nhà lên huyện nh nào?

( Vận dụng tính chất “ Trên quãng đờng vận ttóc thời gian hai đại lợng tỉ lệ nghịch với nhau, ta tìm đợc tỉ số gia thời gian dự định thời gian thực Biết tỉ số, biíet hiệu ta tìm đợc hai khong thi gian cha bit ú)

Bài giải

Tỉ số gữa vận tốc dự định vận tốc thực là: 14 : 10 = 75

Tỉ số thời gian dự định thời gian thực là: 75

Vì vận tốc thời gian hai đại lợng tỉ lệ nghịch quãng đờng là:

Hiệu số thời gian dự định với thời gian thực là: 10 36 phút – 10 = 36 phút

Ta có sơ đồ:

Thời gian dự định : 36 phút Thời gian thực đi:

Thời gian dự định di là:

14 x 1,5 = 21 (km) Đáp số 21 km

3 ng dng phơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải tốn có nội dung hình học.

Ví dụ: Chu vi mảnh vờn hình chữ nhật 140 m Biết chiều dài gấp bốn lần chiều rộng Hãy ttính diện tích mảnh vờn đó?

Phân tích:

? Bài toán yêu cầu tìm gì?

( Diện tích mảnh vờn chữ nhật ) ? Bài toán cho ta biết gì?

( Chu vi mảnh vờn 140 m chiều dài gấp bốn lần chiều rộng ) ? Dể tìm đợc diện tích mảnh vờn ta cần phải biết gì?

( Theo c«ng thøc S = a x b th×

Diện tích hình chữ nhật = chiều dài x chiều rộng Ta phải tính chiều dài, chiều rộng mảnh vờn )

? Chiều dài, chiều rộng mảnh vờn có mối liên hệ nh nào? ( Chu vi 140 m chiều dài gáp bốn lần chiều rộng)

? Ta tìm đợc chiều dài chiều rộng mảnh vờn dựa vào mối liên hệ khơng? Tìm cách nào?

( Tìm đợc cách tìm nửa chu vi hình chữ nhật Sau lấy nửa chi vi chia cho ta đợc chiều rộng, lấy chiều rộng nhân với ta đợc chiều di)

? Để tìm chiều rộng chiều dài mảnh vờn ta quy dạng toán

( Tìm hai số biết tổng tØ sè cđa hai sè)

Bµi giải:

Nửa chu vi mảnh vờn là: 140 : = 70( m)

Theo ta có sơ đồ:

ChiỊu réng:

ChiỊu dµi: 70 m

ChiỊu réng cđa m¶nh vên lµ: 70 : ( + 1) = 14 ( m) ? m

ChiỊu dµi mảnh vờn là: 14 x = 56 (m) Hc 70 – 14 = 56 ( m) DiƯn tÝch mảnh vờn là:

14 x 56 = 644( m2 ) Đáp số: 644 m2

4 ng dng phơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải tốn về tìm số biết tổng tỉ số chúng.

Ví dụ: Ba đơn vị vận tải đợc giao vận chuyển 420 hàng đo số hàng đội thứ ba số hàng đội thứ hai số hàng đội thứ Hỏi đội đợc giao vận chuyển tân hàng?

Tãm t¾t: ? tÊn

Số hàng đội thứ nhất:

Số hàng đội thứ hai: 420 Số hàng i th ba:

Bài giải :

Tổng số phần là: + + = 14 ( phần ) Số hàng phần là:

420 : 14 = 30 ( tÊn)

Số hàng đội Ba vận chuyển là: 30 x = 90 ( tấn)

Số hàng đội Hai vận chuyển là: 30 x = 120 ( )

Số hàng đội Một vận chuyển là: 30 x = 210 ( tn )

Đáp sè: §éi Mét : 210 tÊn §éi Hai : 120 tÊn

§éi Ba : 90 tÊn

Ví dụ: Các khối Ba, Bốn Năm trờng tiểu học tham gia tết trồng Số khối Ba trồng đợc 113 số khối Năm,

4

7 số khối Bốn khối Bốn 90 Hi mi trng c bao

nhiêu cây?

Bài giải: Theo đề ta có sơ đồ:

Sè c©y cđa khèi Ba: Sè c©y cđa khèi Bèn:

Số khối Ba trồng đợc là: 90 : ( – ) x = 120 ( cây)

Số khối Bốn trồng đợc là: 120 + 90 = 210 ( cây)

Ta có sơ đồ :

Sè c©y cđa khèi Ba: Số khối Năm:

S khối Năm trồng đợc là: 120 : x 11 = 440 ( cõy

Đáp số: Khèi Ba: 120 c©y Khèi Bèn: 210 c©y

Khối Năm: 440

6 ứng dụng phơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải tốn có văn điển hình, tập phân số

VÝ dơ:

? C©y

? C©y

90 c©y

120c©y

Hai đội vận tải đợc giao vận chuyển số hàng Biết 25số hàng đội Một

bằng 47số hàng đội Hai đội Hai 60 Tính số hàng đội vận

chun?

Ph©n tÝch:

Bài tốn u cầu ta tìm số hàng đội Một đội Hai vận chuyển mà đội Hai vận chuyển đội Một 60 hàng số hàng đọi Một ssố hàng đội Hai

§éi Mét : §éi Hai = 47 : 25 = 107

Từ ta giải tốn theo cách tìm hai số biết hiệu tỉ số hai số

Bài giải : Theo ta có sơ đồ:

Số hàng đội Một: Số hàng đội Hai:

Số hàng đội Một là: ( 60 : ( 10 – ) ) x 10 = 200 ( ) Số hàng đội Hai là: 200 – 60 = 140 ( tn )

Đáp số : §éi Mét : 200 tÊn §éi Hai : 140 tÊn

7 ứng dụng phơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải tốn tính tuổi.

Ví dụ: Tổng số tuôit hai chị em năm 25 tuổi Biết tuổi em bằng tuổi chị Tính tuổi ngời?

Phân tích:

? Bài toán cho biết gì?

( Tổng số ti cđa hai chÞ em b»ng 25 ti, ti cđa em 2/3 tuổi chị) Bài toán yêu cầu gì?

( Tính tuổi ngời )

? Bài toán thuộc dạng toán gì?

( Tìm hai số biết tổng tỉ số hai số ) Tóm tắt:

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 43 ? tÊn

60 tÊn

Tuổi em:

Tuổi chị:

Bài giải: Tuổi em là:

25: ( + ) = 10 ( ti ) Ti cđa chÞ lµ:

25 – 10 = 15 ( ti ) Đáp số: Em: 10 tuổi

Chị: 15 tuæi

8 ứng dụng phơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải toán vui tốn cổ.

Ví dụ: Một đàn cị bay đến đạu vờn cây, cò đạu thì ba cị khơng có để đậu, có ba cị ba cõy s

đậu Hỏi có cây, cò? Bài giải:

Cách 1:

Giả sử số số cò Nghĩa số có thêm nữa, ba cò đậu vào số cò đậu là:

Ta cú sơ đồ: ( Khi ba cò đậu cõy) S cõy:

Số cò đậu:

Số ( hay số cò đàn) là:

: ( – ) x = ( c©y ) = ( ) Số thực có vờn là:

- = ( c©y )

Đáp số: cây, cò Cách 2:

Giải sử số cò số Nghĩa số cò có Khi cò đậu số cò đậu là:

+ = ( c©y )

( Vì cị nhiều theo đề không đậu cây) Khi ta có sơ đồ:

Số vờn:

Số có cò đậu:

Trong vờn có số là: : ( -1 ) x = ( ) Số cị thực có đàn là: + = ( )

Đáp số: cây, cò

9 ứng dụng phơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải toán về cấu tạo số thập phân.

Ví dụ: Khi cộng số tự nhiên với số thập phân có chữ số phần thập phân Do sơ xuất học sinh bỏ quên dấu phẩy số thập phân đặt phép cộng nh hai số tự nhiên nên kết tăng thêm 310,5 đơn vị Tím số thập phân đó?

Ph©n tÝch:

Bài tốn u cầu ta tìm số thập phân có chữ số phần thập phân mà cộng sơ xuất học sinh bỏ quên dấu phẩy Do bỏ đáu phẩy số thập phâncó chữ số phần thập phân đod tăng lên 10 lần Số tự nhiên( hay số hạng thứ phép cộng) đợc giữ nguyên nên kết phép tính tăng thêm 310,5 đơn vị số thập phân tăng thêm 10 lần

Ta có sơ đồ tóm tắt tốn nh sau: Phép tính đúng:

310,5 PhÐp tÝnh sai:

Nhìn vào sơ đồ ta thấy 310,5 tơng ớng với phần phầ số thập phân phải tìm

Bµi giải:

Số thập phân cần tìm là: 310,5 : ( 10 - ) = 34,5 Đáp số : 34,5

Trờn õy l số ứng dụng phơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải số toán điển hình Từ học sinhcó thể giải đợc toán tơng tự giải theo đề

4 c©y

315,5

Ta có sơ đồ:

Lo¹i 1:

Lo¹i 2:

Bài giải:

Theo s , hiờu s phõnd là: – = (phần ) Số lít nớc mắm loại hai là: 12 : =6 ( l )

Số nớc mắm loại lµ: + 12 = 18 ( l )

Đáp số: 18l 6l

- Cha bi trờn bảng - Gọi học sinh đọc đề bài:

? Bài tốn cho em biết gì? ? Bài tốn u cầu ta tính gì? ? Ta biết liên qua đến chiều rộng chiều dài?

- Yêu cầu học sinh làm

- học sinh nhËn xÐt Bµi 3( 18-sgk) Chu vi vµ tØ số

- Tìm chiêu dài chiêu rộng - lần chiều dài chiều rộng

- học sinh lên bảng Bài giải:

? l

12l

Nửa chu vi vờn hoa là: 120 : = 60 ( m) Ta có sơ đồ:

ChiỊu réng:

ChiỊu dµi:

Theo sơ đồ, tổng số phần là: + =12 ( Phần ) Chiêu rộng mảnh vờn là:

60 : 12 x = 25 (m) Chiều dài cảu mảnh vờn là:

60 25 = 35 ( m) Diện tích mảnh vờn là:

25 x25 = 875 ( m2)

DiÖn tÝch lối là:

875 : 25 = 35 (m2)

Đáp số: Chiều dài: 35 m, chiều rộng: 25 m Lèi ®i: 35 m2

? m

? m

https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/