tri ển tính toán quỹ đạo các thi ên th ể trong vật lí c ổ điển, hay tính toán các mức năng lượng của nguy ên t ử trong vật lí lượng tử. Một ví dụ khác là bài toán dao động tử điều[r]
(1)TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Phan Ngọc Hưng tgk _
TÍNH SIÊU KHẢ TÍCH
CỦA BÀI TỐN MICZ-KEPLER CHÍN CHIỀU
PHAN NGỌC HƯNG*, LÊ VĂN HỒNG** TĨM TẮT
Bài tốn MICZ-Kepler chín chiều với đơn cực SO(8) khẳng định có đối xứng SO(10) Trên sở sử dụng đối xứng này, hệ gồm toán tử độc lập giao hoán trong chứa Hamiltonian chúng tơi xây dựng tường minh Một toán tử bất biến độc lập khác Sự tồn đồng thời hai toán tử cho phép khẳng định tính siêu khả tích tối đa tốn
Từ khóa:bài tốn MICZ-Kepler, đối xứng ẩn, siêu khả tích, khơng gian chín chiều,
đối xứng SO(10)
ABSTRACT
Superintegrability of the nine-dimensional MICZ-Kepler problem
The nine-dimensional MICZ-Kepler system with the SO(8) monopole potential has been regarded to have SO(10) symmetry recently Based on this symmetry, in the present paper, a set of nine functionally independent, commutative each to other, and invariant operators including the Hamiltonian of the system is built explicitly Also, another set of eight invariant operators is built From the combination of those set, which are seventeen operators we conclude that the considered MICZ-Kepler problem is maximally superintegrable
Keywords: MICZ-Kepler problem, hidden symmetry, superintegrability, nine-dimensional space, SO(10)symmetry
1. Khái niệm siêu khả tích
Trong nghiên cứu hệ vật lí, việc xây dựng mơ hình tốn học khảo sát
tính chất mơ hình hướng tiếp cận thơng dụng Cách tiếp cận thu
rất nhiều thành công vật lí cổ điển lẫn vật lí lượng tử Tuy nhiên, mơ hình tốn học thường dẫn đến phương trình hệ phương trình vi phân phức tạp, mà đa phần khơng có lời giải giải tích, giải số Chỉ có số tốn có lời giải xác tường minh, gọi toán khả tích Một nhóm
thậm chí cịn nhiều tốn có đồng thời lời giải giải tích lời giải đại
số, gọi tốn siêu khả tích Các tốn siêu khả tích đóng vai trị
quan trọng phát triển lí thuyết vật lí học, thường xem
*
ThS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM; Email: hungpn@hcmup.edu.vn **
(2)TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(87) năm 2016 _
bài tốn sở để tính tốn cho hệ phức tạp nhờ lí thuyết nhiễu loạn Một ví
dụ tốn siêu khả tích tốn Kepler, xem tốn để phát
triển tính tốn quỹđạo thiên thể vật lí cổ điển, hay tính tốn mức lượng ngun tử vật lí lượng tử Một ví dụ khác tốn dao động tử điều
hịa, xem sở tính tốn cho hệ boson
Tuy hệ có tính siêu khả tích tốn Kepler-Coulomb hay dao động tử điều hịa quan tâm nghiên cứu từ lâu, lí thuyết đại cấu trúc
và phân loại hệ xem cơng trình Smorodinsky,
Winternitz cộng năm 1965 [2, 3] Tính siêu khả tích hệ xác định thông qua việc khảo sát đối xứng toán, thường liên quan đến “đối xứng ẩn” hệ Các hệ siêu khả tích thừa nhận có đối xứng tối đa, dẫn đến khả giải phương pháp đại số lẫn giải tích [1-4, 7]
Xét hệ lượng tử cóphương trình Schưdinger dừng khơng gian N -chiều:
, H E
hệ gọi khả tích, tồn n tốn tử độc lập tuyến tính Xa thỏa:
[Xa,Xb]0, a b, 1, , ,n
trong đó, tốn tử X1H Hamiltonian hệ
Hệ gọi siêu khả tích ngồi n tốn tử Xa kể trên, cịn tồn k
tốn tử { ,Y1,Yk} bảo tồn, tức
[H Y, j]0, j 1, , ,k
đồng thời 2n1 toán tử gồm { ,H X2,,X Yn, ,1,Yk} độc lập với Ở đây, tốn tử Yj khơng cần giao hốn với tốn tử Xa khơng cần giao hốn với
nhau Số lượng toán tử Yj thỏa:
1kn1
Trường hợp k1, hệ gọi “siêu khả tích tối thiểu” Trường hợp kn1, hệ gọi “siêu khả tích tối đa” [4]
Trong trường hợp cổ điển, khái niệm khả tích, siêu khả tích có định
nghĩa tương tự trên, quan hệ giao hoán tử toán tử thay
các ngoặc Poisson
Các hệ siêu khả tích nhận quan tâm đặc biệt tính chất sau
[4], [5]:
1 Trong học cổ điển, hệ siêu khả tích tối đa chứng tỏ có quỹđạo khép
kín chuyển động mang tính chu kì
(3)TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Phan Ngọc Hưng tgk _
3 Theo định lí Bertrand, hệ đối xứng cầu, có hai trường
hợp có quỹđạo khép kín: dao động tử điều hịa hệ Kepler-Coulomb
4 Trong trường hợp đại số đại lượng bảo tồn bậc hai, phương trình Hamilton-Jacobi Schödinger tương ứng hệ siêu khả tích tách
biến
5 Với hệ lượng tử, tính siêu khả tích dẫn đến tăng suy biến mức lượng, gọi “suy biến ngẫu nhiên” (accidental degenaracy) Sự gia tăng bậc suy
biến giải thích tính siêu khả tích có liên quan đến “đối xứng ẩn” hệ
6 Đối với hệ siêu khả tích cực đại lượng tử biết, lượng hệ
giải phương pháp đại số giải tích
2. Đối xứng toán MICZ-Kepler chiều
Bài toán MICZ-Kepler mở rộng tốn Kepler-Coulomb, hệ xét gồm hạt có điện tích isospin chuyển động dyon
(một hạt có điện tích từ tích) Bài tốn MICZ-Kepler chín chiều mở rộng
cách tự nhiên từ toán ba chiều năm chiều với đơn cực tương ứng thỏa tính
chất đại số SO(8) giới thiệu cơng trình nhóm tác giả Van-Hoang Le
năm 2009 [5, 6], nhóm tác giả gọi đơn cực SO(8) Trong mục này, chúng tơi tóm tắt kết đáng ý cơng trình [6] nhóm đối xứng
toán để làm sở khảo sát tính siêu khả tích
Phương trình Schưdinger dừng toán hệ đơn vị nguyên tử
(mc e 1) có dạng:
2
2
,
2
Q Z
H E
r r
(1)
trong đó,
, ( 1, , 9) với thành phần xung lượng có dạng tường
minh:
Các số hạng A r Qk( ) kj đặc trưng cho tương tác hạt có isospin với đơn cực
(8)
SO với vector có dạng tường minh:
Toán tử
kj kj
Q Q Q ( ,j k 1, ,8) với Qkj vi tử nhóm so(8), nghĩa thỏa
mãn hệ thức giao hoán:
, ,
jk mn jm kn kn jm jn km km jn
Q Q i Q i Q i Q i Q
9
( )
( )
k k
x A r
r r x
9
9
( ) , , 1, ,8,
j k kj
j
i A r Q j k
x i
x
(4)TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(87) năm 2016 _
trong đó, jk kí hiệu delta Kronecker
Cũng giống trường hợp toán MICZ-Kepler ba chiều năm chiều,
bổ sung đơn cực khơng làm phá vỡ tính chất đối xứng hình học SO(9) tốn Kepler-Coulomb chín chiều Cụ thể, nhóm đối xứng hình học tốn MICZ-Kepler chín chiều biểu diễn N N( 1) / 236 thành phần moment xung lượng độc lập dạng tensor:
2
, , , 1, , 9,
x x ir
(2)
Các hệ thức giao hoán thành phần chứng tỏ tốn có đối xứng
(9) SO
,H 0,
, i i i i
(3)
Đối xứng ẩn toán thể qua vector Runge-Lenz suy rộng 9-chiều
với thành phần có dạng tường minh:
1
, 1, ,9
2
x
M Z
r
(4)
Các thành phần thỏa mãn hệ thức giao hoán:
, 0,
M H
, ,
,
M i M i M
M M iH
Nhóm đối xứng so(10) tốn MICZ-Kepler chín chiều xác định từ 45 thành phần {ˆ,Mˆ} Trong hệ thức trên, Hđóng vai trị “hằng số” nhóm đối xứng Các thành phần nhóm đối xứng chúng tơi sử dụng để khảo sát tính siêu khả tích tốn phần
3. Tính siêu khả tích tối đa toán MICZ-Kepler chiều
Trong trường hợp tốn MICZ-Kepler chín chiều, N 9 nên để hệ khả tích,
cần tốn tử độc lập tuyến tính giao hốn với (trong có Hamiltonian H)
Thêm vào đó, để hệ siêu khả tích, ta cần thêm k tốn tử bảo tồn khác tạo với
tốn tử trước tạo thành độc lập (0kn1)
3.1. Tính khả tích
Nhóm đối xứng khơng gian so(9) (và đầy đủ nhóm đối xứng so(10)) toán xây dựng dựa toán tử bất biến sở tốt để chúng tơi
(5)TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Phan Ngọc Hưng tgk _
cấu tạo từ toán tử bất biến Cụ thể, nhóm đối xứng khơng gian so(9) tốn MICZ-Kepler chín chiều biểu diễn tường minh qua ma trận 9 :
12 13 14 15 16 17 18 19
21 23 24 25 26 27 28 29
31 32 34 35 36 37 38 39
41 42 43 45 46 47 48 49
51 52 53 54 56 57 58 59
61 62 63 64 65 67 68 69
71 72 73 74 75 76 78 79
81 82 83 84 85 86 87
0 0 0 0
89
91 92 93 94 95 96 97 98
trong đó, thành phần ma trận thỏa mãn tính chất phản đối xứng ij ji
Trên sở nhóm đối xứng này, chúng tơi chọn nhóm bất biến
gồm {so(2),so(3),,so(9)} theo quy tắc: nhóm so( )m gồm thành phần ma
trận khối m m góc bên trái ma trận , với biểu diễn tường minh sau:
12 13
21 23
31 32
1
0 0 m m m
m m m
Với cách chọn nhóm vậy, từ tính chất ma trận , dễ dàng nhận thấy X m( ) ma trận hoàn toàn phản đối xứng với thành phần tạo thành nhóm kín thỏa mãn tính chất giao hốn (3) đại số SO m( )
Ứng với nhóm so( )m , toán tử (m)
S chúng tơi định nghĩa tốn tử
Casimir bậc nhóm đối xứng so( )m :
( )
1
( ) ( ) , 2, , 9,
2
m
ij ji ij i j m
S X m X m m
(5)
trong đó, số i, j lặp lại hiểu lấy tổng từ đến m Vì tốn tử
Casimir nhóm đối xứng, nên tốn tử hồn tồn thỏa mãn tính chất bất biến:
( )
[Sm ,H]0
(6)
Ngoài ra, cách chọn nhóm thỏa mãn so(2)so(3) so(9), nên tốn tử Casimir tương ứng nhóm hoàn toàn độc lập với Đặc
(6)TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(87) năm 2016 _
có thể xem vi tử nhóm so(1) nhóm bất biến tất nhóm này, nên H độc lập với toán tử (m)
S
Giao hoán tử toán tử bình phương moment xung lượng tính trực tiếp
từ hệ thức giao hốn nhóm so(9):
2
[ , ] { , , } { , , }
{ , , } { , , },
ij mn im ij mn jn jn ij mn im
in ij mn jm jm ij mn in
i i
i i
(7)
trong đó, kí hiệu { , }A B ABBA phản giao hoán tử { , , }A B C { ,{ , }}A B C Tính tốn trực tiếp từ đinh nghĩa toán tử bất biến (m)
S sử dụng hệ thức (7),
chúng thu kết quả:
( ) ( )
[Sm ,S n ]0, m n, 2,,9,
(8)
tức toán tử (m)
S hồn tồn tạo thành giao hốn với Như vậy, nhóm tốn tử ( 2) ( 3) ( 9)
{ ,H S ,S ,,S } tạo thành toán tử bất biến độc lập, giao hốn với nhau, cho phép chúng tơi kết luận tốn MICZ-Kepler chín chiều có tính khả tích
3.2. Tính siêu khả tích tối đa
Một cách khác để xây dựng nhóm {so(2), so(3), ,so(9)} theo quy tắc: nhóm so( )m gồm thành phần ma trận khối m m góc bên phải
của ma trận , với biểu diễn tường minh sau:
10 ,7 10 ,8 10 ,9
7,10 78 79
8,10 87 89
9,10 97 98
0
0
0
0
m m m
m
m
m
Một cách tương tự phần trước, chúng tơi định nghĩa tốn tử bất biến
là tốn tử Casimir bậc nhóm này:
2 ( )
9
1
( ) ( ) , 2, ,
2
m ij ji ij
m i j
S Y m Y m m
(9)
Từ định nghĩa ma trận X m( ) Y m( ), dễ nhận hai ma trận
(9)
X Y(9) trùng (và trùng với ma trận ), đó, (9) (9)
S S Đối với hệ
7 tốn tử cịn lại {S( 2),,S(8)}, tính tốn trực tiếp dựa định nghĩa
(7)TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Phan Ngọc Hưng tgk _
9
( )
( ) ( )
2
, 2, ,8,
j
m j j j
j j
j m
S aH b S c S m
(10)
đều khơng có nghiệm ( ,a b cj, j), tức biểu diễn toán tử số
bảy toán tử {S( 2),,S(8)} dạng tổ hợp toán tử lại ( )
{ ,H S m} Từ đây, kết luận 16 toán tử { ,H S( 2),,S(9),S( 2),,S(8)}độc lập với Ngoại trừ Hamiltonian H, tốn tử cịn lại tạo từ nhóm đối xứng so(9)
đặc trưng cho đối xứng khơng gian tốn
Tốn tử cuối chúng tơi chọn để hồn thiện 17 tốn tử bất biến độc
lập thành phần AM1 vector Runge-Lenz, đặc trưng cho đối xứng ẩn toán Toán tử toán tử bậc giống 16 toán tử
( 2) (9)
( 2) (8)
{ ,H S ,,S ,S ,,S } Toán tử A cấu tạo từ thành phần nhóm thương so(10) /so(9) nên chắn độc lập với 16 toán tử nêu
Như vậy, ngồi tốn tử bậc { ,H S( 2),,S(9)} độc lập giao hoán phần (3.1), xác định thêm k9 1 8 toán tử bậc độc lập khác
gồm {S( 2),,S(8), }A Chúng kết luận tốn MICZ-Kepler chín chiều có tính siêu đối xứng tối đa bậc
Chúng lưu ý rằng, cách chọn 17 toán tử khơng phải Chẳng hạn, ta chọn toán tử độc lập giao hoán
1 (2) ( 9)
{X X, ,,X } { , H S ,,S } , cộng thêm toán tử bất biến độc lập khác
(2) (8)
1
{ ,Y Y ,, } { ,Y A S ,,S }, đó, A tổ hợp thành phần
vector Runge-Lenz 4. Kết luận
Dựa tính chất đối xứng SO(10) tốn MICZ-Kepler, chúng tơi
ra cách xây dựng tường minh toán tử bất biến độc lập giao hốn, qua
khẳng định tốn khả tích Bên cạnh đó, chúng tơi xây dựng tường minh
một toán tử bất biến độc lập khác cho phép kết luận tốn có tính chất siêu khả
tích cực đại bậc Đây kết khẳng định thêm cho nhận định trước
chúng tơi khả có lời giải đại số khả tách biến toán theo nhiều
hệ tọa độ khác