Vui chơi đã quá!!!

a) Coù 6 caùch choïn moät ngöôøi tuyø yù ngoài vaøo choã thöù nhaát. Tieáp ñeán, coù 3 caùch choïn moät ngöôøi khaùc phaùi ngoài vaøo choã thöù 2. Laïi coù 2 caùch choïn moät ngöôøi k[r]

(1)

ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Chương I

QUY TẮC CƠ BẢN CỦA PHÉP ĐẾM

Mơn đại số tổ hợp (có sách gọi giải tích tổ hợp) chun khảo sát hốn vị, tổ hợp, chỉnh hợp, nhằm xác định số cách xảy tượng mà khơng thiết phải liệt kê trường hợp

1 Trong đại số tổ hợp, ta thường dùng hai quy tắc phép đếm, quy tắc cộng quy tắc nhân

a) Quy tắc cộng :

Nếu tượng có m cách xảy ra, tượng có n cách xảy hai tượng khơng xảy đồng thời số cách xảy tượng hay tượng : m + n cách

Ví dụ Từ thành phố A đến thành phố B có đường đường thuỷ Cần chọn đường để từ A đến B Hỏi có cách chọn ?

Giải

Có : + = cách chọn

Ví dụ Một nhà hàng có loại rượu, loại bia loại nước Thực khách cần chọn loại thức uống Hỏi có cách chọn ?

Giải

Có : + + = 13 cách chọn b) Quy tắc nhân :

Nếu tượng có m cách xảy ra, ứng với cách xảy tượng tiếp đến tượng có n cách xảy số cách xảy tượng “rồi” tượng : m × n

Ví dụ Giữa thành phố Hồ Chí Minh Hà Nội có loại phương tiện giao thông : đường bộ, đường sắt đường hàng không Hỏi có cách chọn phương tiện giao thơng để từ thành phố Hồ Chí Minh đến Hà Nội quay về?

Giaûi

(2)

Ví dụ Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu chủ tịch, phó chủ tịch, uỷ ban thư ký không bầu người vào hay chức vụ Hỏi có cách ?

Giải

Có 15 cách chọn chủ tịch Với cách chọn chủ tịch, có 14 cách chọn phó chủ tịch Với cách chọn chủ tịch phó chủ tịch, có 13 cách chọn thư ký

Vậy có : 15 14 × 13 = 2730 cách chọn × 2) Sơ đồ

Người ta dùng sơ đồ để liệt kê trường hợp xảy tốn có tượng liên tiếp tượng có trường hợp Chú ý ta dùng sơ đồ để kiểm tra kết

Ví dụ Trong lớp học, thầy giáo muốn biết ba mơn Tốn, Lý, Hóa học sinh thích mơn theo thứ tự giảm dần Số cách mà học sinh ghi :

T L H

L H T H T L

H L H T L T

3 Các dấu hiệu chia hết

– Chia hết cho : số tận 0, 2, 4, 6,

– Chia hết cho : tổng chữ số chia hết cho (ví dụ : 276)

– Chia hết cho : số tận 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số chia hết cho (ví dụ : 1300, 2512, 708)

– Chia hết cho : số tận 0,

– Chia hết cho : số chia hết cho chia hết cho

– Chia hết cho : số tận 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số chia hết cho (ví dụ : 15000, 2016, 13824)

– Chia hết cho : tổng chữ số chia hết cho (ví dụ : 2835) – Chia hết cho 25 : số tận 00, 25, 50, 75

(3)

Ví dụ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số đôi khác không chia hết cho

Giải Gọi : n = abc số cần lập

m = a b c′ ′ ′ số gồm chữ số khác

m′ = a b c1 1 số gồm chữ số khác mà chia hết cho

Ta có : tập số n = tập số m – tập số m′

* Tìm m : có cách chọn a′ (vì a′ ≠ 0), có cách chọn b′ (vì b ), có cách chọn (vì c

′ ≠ a′ c′ ′ ≠ a′ c′ ≠ b′) Vaäy có :

5 × × = 100 số m

* Tìm m : chữ số cho, chữ số có tổng chia hết cho ′

{

}

{

}

{

}

• Với

{

}

2 × ì = s m ã Vi

{

}

• Với

{

}

Chú ý : Qua ví dụ trên, ta thấy số cách chọn thỏa tính chất p nhiều, ta làm sau :

Số cách chọn thỏa p số cách chọn tuỳ ý trừ số cách chọn không thỏa p Người ta gọi cách làm dùng “phần bù”

Bài Có tuyến xe buýt A B Có tuyến xe buýt B C Hỏi : a) Có cách xe buýt từ A đến C, qua B ?

b) Có cách xe buýt từ A đến C, qua B ?

(4)

Giaûi

a) Có cách từ A đến B, có cách từ B đến C Do đó, theo quy tắc nhân, có x = 12 cách từ A đến C, qua B

b) Có 12 cách từ A đến C, qua B có 12 cách quay Vậy, có : 12 × 12 = 144 cách từ A đến C, qua B

c) Có cách từ A đến B, có cách từ B đến C; để tránh lại đường cũ, có cách từ C quay B cách từ B quay A

Vaäy coù : x x x = 72 cách

Bài Một văn phịng cần chọn mua tờ nhật báo ngày Có loại nhật báo Hỏi có cách chọn mua báo cho tuần gồm ngày làm việc ?

Giải

Có cách chọn cho ngày Vậy, số cách chọn cho ngày tuần : 46

= 4096 cách

Bài Trong tuần, Bảo định tối thăm người bạn 12 người bạn Hỏi Bảo lập kế hoạch thăm bạn :

a) Có thể thăm bạn nhiều lần ? b) Không đến thăm bạn lần ?

Giaûi

a) Đêm thứ nhất, chọn 12 bạn để đến thăm : có 12 cách Tương tự, cho đêm thứ hai, thứ ba, thứ tư, thứ năm, thứ sáu, thứ bảy

Vậy, có : 127 = 35831808 caùch

b) Đêm thứ nhất, chọn 12 bạn để đến thăm : có 12 cách Đêm thứ hai, chọn 11 bạn lại để đến thăm : có 11 cách Đêm thứ ba : 10 cách Đêm thứ tư : cách Đêm thứ năm : cách Đêm thứ sáu : cách Đêm thứ bảy : cách

Vaäy có : 12.11.10.9.8.7.6 = 3991680 cách

Bài Một tuyến đường xe lửa có 10 nhà ga Hỏi có cách chọn hành trình bắt đầu nhà ga chấm dứt nhà ga khác, biết từ nhà ga tới nhà ga khác?

Giải

(5)

Bài Có nam nữ cần xếp ngồi vào hàng ghế Hỏi có cách xếp cho :

a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ?

b) Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam A, người nữ B phải ngồi kề ?

c) Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam C, người nữ D khơng ngồi kề ?

Giaûi

a) Có cách chọn người tuỳ ý ngồi vào chỗ thứ Tiếp đến, có cách chọn người khác phái ngồi vào chỗ thứ Lại có cách chọn người khác phái ngồi vào chỗ thứ 3, có cách chọn vào chỗ thứ 4, có cách chọn vào chỗ thứ 5, có cách chọn vào chỗ thứ

Vậy có : 6.3.2.2.1.1 = 72 cách

b) Cho cặp nam nữ A, B ngồi vào chỗ thứ chỗ thứ hai, có cách Tiếp đến, chỗ thứ ba có cách chọn, chỗ thứ tư có cách chọn, chỗ thứ năm có cách chọn, chỗ thứ sáu có cách chọn

Bây giờ, cho cặp nam nữ A, B ngồi vào chỗ thứ hai chỗ thứ ba Khi đó, chỗ thứ có cách chọn, chỗ thứ tư có cách chọn, chỗ thứ năm có cách chọn, chỗ thứ sáu có cách chọn

Tương tự cặp nam nữ A, B ngồi vào chỗ thứ ba thứ tư, thứ tư thứ năm, thứ năm thứ sáu

Vậy có : ( × × × × 1) = 40 caùch

c) Số cách chọn để cặp nam nữ khơng ngồi kề số cách chọn tuỳ ý trừ số cách chọn để cặp nam nữ ngồi kề

Vậy có : 72 – 40 = 32 caùch

Bài Một bàn dài có dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói Hỏi có cách xếp chỗ ngồi trường hợp sau :

a) Bất kì học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường b) Bất kì học sinh ngồi đối diện khác trường

Đại học Quốc gia TP HCM 1999

(6)

a)

V V

Vậy số cách xếp học sinh ngồi cạnh đối diện phải khác trường : 12 × × 52 × 42 × 32 × 22 × 12 = 1036800

b)

Gheá 12 11 10 Số cách xếp chỗ ngồi 12 10 2

Vậy số cách xếp học sinh ngồi đối diện phải khác :

12 × × 10 × × × × × × × × = 33177600 Bài Cho chữ số 2, 3, 5, 6, 7, Hỏi từ chữ số cho, lập số đôi

khác : a) gồm chữ số ?

b) gồm chữ số nhỏ 400 ? c) gồm chữ số chẵn ?

d) gồm chữ số chia hết cho ? Giải Đặt n = abc

a) Có cách chọn a, cách chọn b (b ≠ a), cách chọn c (c ≠ a, c ≠ b) Vậy có : × = 120 số ×

b) Chọn a = hay a = 3, có cách Sau đó, có cách chọn b (b a), cách chọn

c (c a, c ≠ ≠ b) ≠

Vậy có : 2.5.4 = 40 số nhỏ 400

c) Vì n chẵn, có cách chọn c (c = hay c = 6) Sau đó, có cách chọn a (a ≠ c), có cách chọn b (b a, b ≠ ≠ c)

Vậy có : 2.5.4 = 40 số chẵn

Ghế 10 11 12

Số cách xếp chỗ ngồi 12 5 4 3 2 1

1 4

11

(7)

d) Vì n chia hết cho 5, có cách chọn c (c = 5) Sau đó, có cách chọn a (a ≠ c), có cách chọn b (b a, ≠ ≠ c)

Vậy có : 1.5.4 = 20 số chia hết cho

Bài Có 100000 vé đánh số từ 00000 đến 99999 Hỏi số vé gồm chữ số khác

Đại học Quốc gia Hà Nội Khối G 1997

Giải Gọn n = a a a a a1 số in vé

Số cách chọn a1 10 (a1 0)

Số cách chọn a2

Vậy số vé gồm chữ số khác : 10 × × × × = 30240

Bài Xét dãy số gồm chữ số (mỗi chữ số chọn từ 0, 1, …., 8, 9) thỏa chữ số vị trí số số chẵn, chữ số cuối không chia hết cho 5, chữ số 4, 5, đôi khác Hỏi có cách chọn

Đại học Quốc gia TP.HCM 1997

Gọi số cần tìm n = a a a1 2 7 Số cách chọn a3 (do a3 chẵn)

Số cách chọn a7 (do a7≠0 ≠5)

4

Số cách chọn a 10 Số cách chọn a Số cách chọn a laø

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

(do a4, a5, a6 đôi khác nhau)

Số cách chọn a1 10 (do n dãy số nên a1 0)

Số cách chọn a2 10

Vậy số cách chọn : × × 10 × × × 10 × 10 = 2880000

Bài 10 Cho 10 chữ số 0, 1, 2, …, 7, 8, Có số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 xây dựng từ chữ số

(8)

Giaûi

Gọi số cần tìm n = a a a1 2 6 với ≤ a1 ≤ a6 lẻ

Đặt X =

{

}

• Trường hợp : a1 lẻ

a1 ∈

{

}

a6 ∈

{

}

{ }

a2 ∈ X\

{

}

a3 ∈ X\

{

}

a4 ∈ X\

{

}

a5 ∈ X\

{

}

• Trường hợp : a1 chẵn

a1 ∈

{

}

a6 ∈

{

}

Tương tự a2, a3, a4, a5 có × × × cách chọn

Do số số n thỏa yêu cầu tốn :

(4 × + × 5) x × × × = 36960

Bài 11 Cho X =

{

}

Giải Xét hộc có ô trống

Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc (do a1≠0)

Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc cịn hộc trống Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc hộc trống Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc cịn hộc trống Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc hộc trống

(9)

Vậy số số thỏa u cầu tốn : × × × × = 5880

Bài 12 Người ta viết ngẫu nhiên chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lên phiếu, sau xếp ngẫu nhiên thành hàng

a) Có số lẻ gồm chữ số tạo thành b) Có số chẵn gồm chữ số tạo thành

Đại học Huế 1999

Giải Gọi X =

{

}

Số cần tìm n = a a a a a a1 6 a) a6 ∈

{

}

a1 ∈ X\

{

}

a2 ∈ X\

{

}

a3 ∈ X\

{

}

a4 ∈ X\

{

}

a5 ∈ X\

{

}

Số số lẻ cần tìm : × × × × = 288 b) Số số gồm chữ số (a1 0) :

× × × × × = 720 Số số gồm chữ số mà a1 = :

× × × × = 120 Vậy số số gồm chữ số (a1≠0) lấy từ X

720 – 120 = 600

Mà số số lẻ 288 Vậy số số chẵn : 600 – 288 = 312

Cách khác

Có 5! Số chẵn với a6 =

(10)

Vậy số số chẵn thỏa ycbt laø 5! + 2.4.4! = 312

Bài 13 Có thể lập số chẵn gồm chữ số khác lấy từ 0, 2, 3, 6,

Đại học Y Hà Nội 1999

Giải

Đặt X =

{

}

• Trường hợp a1 lẻ

a1 ∈

{

}

a5 ∈

{

}

a2 ∈ X\

{

}

a3 ∈ X\

{

}

a4 ∈ X\

{

}

Vậy có : × × × = 36 số n chẵn • Trường hợp a1 chẵn

a1 ∈

{

}

a5 ∈

{

}

{ }

Tương tự số cách chọn a2, a3, a4 × ×

Vậy có : 2 × × × = 24 số Vậy số số n chẵn : 36 + 24 = 60 số Cách 2:

Có 4! Số chẵn với a5 =

Có 2.3.3! số chẵn với a5 = hay a5 =

Vaäy số số chẵn thỏa ycbt 4! + 2.3.3! = 60

Bài 14 Có số tự nhiên gồm chữ số cho tổng chữ số số số lẻ

(11)

Goïi n = a a a a1 2 6 7 (a1≠0)

Nếu a1 + a2 + … + a6 số chẵn để n lẻ a7 ∈

{

}

Nếu a1 + a2 + … + a6 số lẻ để n lẻ a7 ∈

{

}

Vậy chọn a1, a2, a3, a4, a5, a6 ln có cách chọn a7 để tổng

chữ số n số lẻ

Mà số cách chọn (i = 1,6) :

a1 a2 a3 a4 a5 a6

Số cách chọn 10 10 10 10 10 Do số số n thỏa yêu cầu toán

× 105 × = 45 × 105

Bài 15 Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho Giải

Goïi n = a a a1 2 7 (a1≠0)

Để n chia hết cho a7 = hay a7 =

• Trường hợp a7 =

a1 a2 a3 a4 a5 a6

Số cách chọn

Vậy có : × × × × × số • Trường hợp a7 =

a1 a2 a3 a4 a5 a6

Số cách chọn 8

Vậy có : 8 × × × × × số

Do số số tự nhiên có chữ số mà chia hết cho : (9 + 8) ×8 × × × × = 114240

(12)

a) Có số chẵn có chữ số khác đơi b) Có số có chữ số khác chia hết cho c) Có số có chữ số khác chia hết cho

Đại học Huế 2000

Giải a) Gọi n = a a a a1 4 (a1 ≠ 0)

• Nếu a1 chẵn

a1 a4 a2 a3

Số cách chọn 2

• Nếu a1 lẻ

a1 a4 a2 a3

Số cách chọn 3

Vậy số số chẵn có chữ số khác :

2 × × × + × × × = 48 + 108 = 156 b) Goïi m = a a a1 3 (a1≠0)

• Nếu a3 =

a1 a2

Số cách chọn • Nếu a3 =

a1 a2

(13)

c) Gọi k = a a a1 3 với a1 + a2 + a3 = 9, a1≠0

Xeùt X1 =

{

}

a1 a2 a3

Soá cách chọn 2 Xét X2 =

{

}

a1 a2 a3

Số cách chọn Xét X3 =

{

}

a1 a2 a3

Số cách chọn Vậy số số k chia hết cho laø : + + = 16

Bài 17 Cho X =

{

}

Đại học Lâm Nghiệp 1999

Giải Gọi số cần tìm n = a a a1 3 (a1 ≠ 0)

n chia heát cho ⇔ a1 + a2 + a3 bội số

• Số số n chọn từ X × × = 100

a1 a2 a3

(14)

X1 =

{

}

{

}

{

}

{

}

X5 =

{

}

{

}

{

}

{

}

Số số n chia hết cho chọn từ X1, X2, X3, X4 :

× × × = 16 soá

Số số n chia hết cho chọn từ X5, X6, X7, X8 :

× × × = 24 số

Vậy số số n chia hết cho : 16 + 24 = 40 soá

Do số số n khơng chia hết cho : 100 – 40 = 60 số

(còn tiếp)

PHẠM HỒNG DANH - NGUYỄN VĂN NHÂN - TRẦN MINH QUANG