a) Coù 6 caùch choïn moät ngöôøi tuyø yù ngoài vaøo choã thöù nhaát. Tieáp ñeán, coù 3 caùch choïn moät ngöôøi khaùc phaùi ngoài vaøo choã thöù 2. Laïi coù 2 caùch choïn moät ngöôøi k[r]
(1)ĐẠI SỐ TỔ HỢP Chương I
QUY TẮC CƠ BẢN CỦA PHÉP ĐẾM
Mơn đại số tổ hợp (có sách gọi giải tích tổ hợp) chun khảo sát hốn vị, tổ hợp, chỉnh hợp, nhằm xác định số cách xảy tượng mà khơng thiết phải liệt kê trường hợp
1 Trong đại số tổ hợp, ta thường dùng hai quy tắc phép đếm, quy tắc cộng quy tắc nhân
a) Quy tắc cộng :
Nếu tượng có m cách xảy ra, tượng có n cách xảy hai tượng khơng xảy đồng thời số cách xảy tượng hay tượng : m + n cách
Ví dụ Từ thành phố A đến thành phố B có đường đường thuỷ Cần chọn đường để từ A đến B Hỏi có cách chọn ?
Giải
Có : + = cách chọn
Ví dụ Một nhà hàng có loại rượu, loại bia loại nước Thực khách cần chọn loại thức uống Hỏi có cách chọn ?
Giải
Có : + + = 13 cách chọn b) Quy tắc nhân :
Nếu tượng có m cách xảy ra, ứng với cách xảy tượng tiếp đến tượng có n cách xảy số cách xảy tượng “rồi” tượng : m × n
Ví dụ Giữa thành phố Hồ Chí Minh Hà Nội có loại phương tiện giao thông : đường bộ, đường sắt đường hàng không Hỏi có cách chọn phương tiện giao thơng để từ thành phố Hồ Chí Minh đến Hà Nội quay về?
Giaûi
(2)Ví dụ Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu chủ tịch, phó chủ tịch, uỷ ban thư ký không bầu người vào hay chức vụ Hỏi có cách ?
Giải
Có 15 cách chọn chủ tịch Với cách chọn chủ tịch, có 14 cách chọn phó chủ tịch Với cách chọn chủ tịch phó chủ tịch, có 13 cách chọn thư ký
Vậy có : 15 14 × 13 = 2730 cách chọn × 2) Sơ đồ
Người ta dùng sơ đồ để liệt kê trường hợp xảy tốn có tượng liên tiếp tượng có trường hợp Chú ý ta dùng sơ đồ để kiểm tra kết
Ví dụ Trong lớp học, thầy giáo muốn biết ba mơn Tốn, Lý, Hóa học sinh thích mơn theo thứ tự giảm dần Số cách mà học sinh ghi :
T L H
L H T H T L
H L H T L T
3 Các dấu hiệu chia hết
– Chia hết cho : số tận 0, 2, 4, 6,
– Chia hết cho : tổng chữ số chia hết cho (ví dụ : 276)
– Chia hết cho : số tận 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số chia hết cho (ví dụ : 1300, 2512, 708)
– Chia hết cho : số tận 0,
– Chia hết cho : số chia hết cho chia hết cho
– Chia hết cho : số tận 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số chia hết cho (ví dụ : 15000, 2016, 13824)
– Chia hết cho : tổng chữ số chia hết cho (ví dụ : 2835) – Chia hết cho 25 : số tận 00, 25, 50, 75
(3)Ví dụ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số đôi khác không chia hết cho
Giải Gọi : n = abc số cần lập
m = a b c′ ′ ′ số gồm chữ số khác
m′ = a b c1 1 số gồm chữ số khác mà chia hết cho
Ta có : tập số n = tập số m – tập số m′
* Tìm m : có cách chọn a′ (vì a′ ≠ 0), có cách chọn b′ (vì b ), có cách chọn (vì c
′ ≠ a′ c′ ′ ≠ a′ c′ ≠ b′) Vaäy có :
5 × × = 100 số m
* Tìm m : chữ số cho, chữ số có tổng chia hết cho ′ {0,4,5},
{1,3,5}, {2,3,4}
• Với {0,4,5} : có cách chọn a1, cách chọn b1, cách chọn c1,
2 × ì = s m ã Vi {1,3,5} : có 3! = số m′
• Với {2,3,4} : có 3! = số m′ Vậy có : + + = 16 số m′ Suy có : 100 – 16 = 84 số n
Chú ý : Qua ví dụ trên, ta thấy số cách chọn thỏa tính chất p nhiều, ta làm sau :
Số cách chọn thỏa p số cách chọn tuỳ ý trừ số cách chọn không thỏa p Người ta gọi cách làm dùng “phần bù”
Bài Có tuyến xe buýt A B Có tuyến xe buýt B C Hỏi : a) Có cách xe buýt từ A đến C, qua B ?
b) Có cách xe buýt từ A đến C, qua B ?
(4)Giaûi
a) Có cách từ A đến B, có cách từ B đến C Do đó, theo quy tắc nhân, có x = 12 cách từ A đến C, qua B
b) Có 12 cách từ A đến C, qua B có 12 cách quay Vậy, có : 12 × 12 = 144 cách từ A đến C, qua B
c) Có cách từ A đến B, có cách từ B đến C; để tránh lại đường cũ, có cách từ C quay B cách từ B quay A
Vaäy coù : x x x = 72 cách
Bài Một văn phịng cần chọn mua tờ nhật báo ngày Có loại nhật báo Hỏi có cách chọn mua báo cho tuần gồm ngày làm việc ?
Giải
Có cách chọn cho ngày Vậy, số cách chọn cho ngày tuần : 46
= 4096 cách
Bài Trong tuần, Bảo định tối thăm người bạn 12 người bạn Hỏi Bảo lập kế hoạch thăm bạn :
a) Có thể thăm bạn nhiều lần ? b) Không đến thăm bạn lần ?
Giaûi
a) Đêm thứ nhất, chọn 12 bạn để đến thăm : có 12 cách Tương tự, cho đêm thứ hai, thứ ba, thứ tư, thứ năm, thứ sáu, thứ bảy
Vậy, có : 127 = 35831808 caùch
b) Đêm thứ nhất, chọn 12 bạn để đến thăm : có 12 cách Đêm thứ hai, chọn 11 bạn lại để đến thăm : có 11 cách Đêm thứ ba : 10 cách Đêm thứ tư : cách Đêm thứ năm : cách Đêm thứ sáu : cách Đêm thứ bảy : cách
Vaäy có : 12.11.10.9.8.7.6 = 3991680 cách
Bài Một tuyến đường xe lửa có 10 nhà ga Hỏi có cách chọn hành trình bắt đầu nhà ga chấm dứt nhà ga khác, biết từ nhà ga tới nhà ga khác?
Giải
(5)Bài Có nam nữ cần xếp ngồi vào hàng ghế Hỏi có cách xếp cho :
a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ?
b) Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam A, người nữ B phải ngồi kề ?
c) Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam C, người nữ D khơng ngồi kề ?
Giaûi
a) Có cách chọn người tuỳ ý ngồi vào chỗ thứ Tiếp đến, có cách chọn người khác phái ngồi vào chỗ thứ Lại có cách chọn người khác phái ngồi vào chỗ thứ 3, có cách chọn vào chỗ thứ 4, có cách chọn vào chỗ thứ 5, có cách chọn vào chỗ thứ
Vậy có : 6.3.2.2.1.1 = 72 cách
b) Cho cặp nam nữ A, B ngồi vào chỗ thứ chỗ thứ hai, có cách Tiếp đến, chỗ thứ ba có cách chọn, chỗ thứ tư có cách chọn, chỗ thứ năm có cách chọn, chỗ thứ sáu có cách chọn
Bây giờ, cho cặp nam nữ A, B ngồi vào chỗ thứ hai chỗ thứ ba Khi đó, chỗ thứ có cách chọn, chỗ thứ tư có cách chọn, chỗ thứ năm có cách chọn, chỗ thứ sáu có cách chọn
Tương tự cặp nam nữ A, B ngồi vào chỗ thứ ba thứ tư, thứ tư thứ năm, thứ năm thứ sáu
Vậy có : ( × × × × 1) = 40 caùch
c) Số cách chọn để cặp nam nữ khơng ngồi kề số cách chọn tuỳ ý trừ số cách chọn để cặp nam nữ ngồi kề
Vậy có : 72 – 40 = 32 caùch
Bài Một bàn dài có dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói Hỏi có cách xếp chỗ ngồi trường hợp sau :
a) Bất kì học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường b) Bất kì học sinh ngồi đối diện khác trường
Đại học Quốc gia TP HCM 1999
(6)a)
V V
Vậy số cách xếp học sinh ngồi cạnh đối diện phải khác trường : 12 × × 52 × 42 × 32 × 22 × 12 = 1036800
b)
Gheá 12 11 10 Số cách xếp chỗ ngồi 12 10 2
Vậy số cách xếp học sinh ngồi đối diện phải khác :
12 × × 10 × × × × × × × × = 33177600 Bài Cho chữ số 2, 3, 5, 6, 7, Hỏi từ chữ số cho, lập số đôi
khác : a) gồm chữ số ?
b) gồm chữ số nhỏ 400 ? c) gồm chữ số chẵn ?
d) gồm chữ số chia hết cho ? Giải Đặt n = abc
a) Có cách chọn a, cách chọn b (b ≠ a), cách chọn c (c ≠ a, c ≠ b) Vậy có : × = 120 số ×
b) Chọn a = hay a = 3, có cách Sau đó, có cách chọn b (b a), cách chọn
c (c a, c ≠ ≠ b) ≠
Vậy có : 2.5.4 = 40 số nhỏ 400
c) Vì n chẵn, có cách chọn c (c = hay c = 6) Sau đó, có cách chọn a (a ≠ c), có cách chọn b (b a, b ≠ ≠ c)
Vậy có : 2.5.4 = 40 số chẵn
Ghế 10 11 12
Số cách xếp chỗ ngồi 12 5 4 3 2 1
1 4
11
(7)d) Vì n chia hết cho 5, có cách chọn c (c = 5) Sau đó, có cách chọn a (a ≠ c), có cách chọn b (b a, ≠ ≠ c)
Vậy có : 1.5.4 = 20 số chia hết cho
Bài Có 100000 vé đánh số từ 00000 đến 99999 Hỏi số vé gồm chữ số khác
Đại học Quốc gia Hà Nội Khối G 1997
Giải Gọn n = a a a a a1 số in vé
Số cách chọn a1 10 (a1 0)
Số cách chọn a2
Số cách chọn a3
Số cách chọn a4
Số cách chọn a5
Vậy số vé gồm chữ số khác : 10 × × × × = 30240
Bài Xét dãy số gồm chữ số (mỗi chữ số chọn từ 0, 1, …., 8, 9) thỏa chữ số vị trí số số chẵn, chữ số cuối không chia hết cho 5, chữ số 4, 5, đôi khác Hỏi có cách chọn
Đại học Quốc gia TP.HCM 1997
Gọi số cần tìm n = a a a1 2 7 Số cách chọn a3 (do a3 chẵn)
Số cách chọn a7 (do a7≠0 ≠5)
4
Số cách chọn a 10 Số cách chọn a Số cách chọn a laø
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
(do a4, a5, a6 đôi khác nhau)
Số cách chọn a1 10 (do n dãy số nên a1 0)
Số cách chọn a2 10
Vậy số cách chọn : × × 10 × × × 10 × 10 = 2880000
Bài 10 Cho 10 chữ số 0, 1, 2, …, 7, 8, Có số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 xây dựng từ chữ số
(8)Giaûi
Gọi số cần tìm n = a a a1 2 6 với ≤ a1 ≤ a6 lẻ
Đặt X = {0, 1, ., 8, 9}
• Trường hợp : a1 lẻ
a1 ∈ {1, 3, 5} có cách chọn
a6 ∈ {1, 3, 5, 7, 9}\ { }a1 coù cách chọn
a2 ∈ X\{a , a1 6} có cách chọn
a3 ∈ X\{a , a , a1 2} có cách chọn
a4 ∈ X\{a , a , a , a1 3}có cách chọn
a5 ∈ X\{a , a , a , a , a1 4} có cách chọn
• Trường hợp : a1 chẵn
a1 ∈ {2, 4} có cách chọn
a6 ∈ {1, 3, 5, 7, 9} có cách chọn
Tương tự a2, a3, a4, a5 có × × × cách chọn
Do số số n thỏa yêu cầu tốn :
(4 × + × 5) x × × × = 36960
Bài 11 Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}có thể lập số có chữ số từ X mà chữ số có mặt lần cịn chữ số khác có mặt lần
Giải Xét hộc có ô trống
Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc (do a1≠0)
Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc cịn hộc trống Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc hộc trống Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc cịn hộc trống Có cách lấy chữ số bỏ vào hộc hộc trống
(9)Vậy số số thỏa u cầu tốn : × × × × = 5880
Bài 12 Người ta viết ngẫu nhiên chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lên phiếu, sau xếp ngẫu nhiên thành hàng
a) Có số lẻ gồm chữ số tạo thành b) Có số chẵn gồm chữ số tạo thành
Đại học Huế 1999
Giải Gọi X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Số cần tìm n = a a a a a a1 6 a) a6 ∈ {1, 3, 5} có cách chọn
a1 ∈ X\{0, a6} có cách chọn
a2 ∈ X\{a , a6 1} có cách chọn
a3 ∈ X\{a , a , a6 2} có cách chọn
a4 ∈ X\{a , a , a , a6 3} có cách choïn
a5 ∈ X\{a , a , a , a , a6 4} có cách chọn
Số số lẻ cần tìm : × × × × = 288 b) Số số gồm chữ số (a1 0) :
× × × × × = 720 Số số gồm chữ số mà a1 = :
× × × × = 120 Vậy số số gồm chữ số (a1≠0) lấy từ X
720 – 120 = 600
Mà số số lẻ 288 Vậy số số chẵn : 600 – 288 = 312
Cách khác
Có 5! Số chẵn với a6 =
(10)Vậy số số chẵn thỏa ycbt laø 5! + 2.4.4! = 312
Bài 13 Có thể lập số chẵn gồm chữ số khác lấy từ 0, 2, 3, 6,
Đại học Y Hà Nội 1999
Giải
Đặt X = {0, 2, 3, 6, 9} vaø n = a a a a a1 5 (a1≠0)
• Trường hợp a1 lẻ
a1 ∈ {3, 9} có cách chọn
a5 ∈ {0, 2, 6} có cách chọn
a2 ∈ X\{a , a1 5} có cách chọn
a3 ∈ X\{a , a a có cách chọn 1 5, 2}
a4 ∈ X\{a , a , a , a1 3} có cách chọn
Vậy có : × × × = 36 số n chẵn • Trường hợp a1 chẵn
a1 ∈ {2, 6} có cách chọn
a5 ∈ {0, 2, 6}\{ }a1 có cách chọn
Tương tự số cách chọn a2, a3, a4 × ×
Vậy có : 2 × × × = 24 số Vậy số số n chẵn : 36 + 24 = 60 số Cách 2:
Có 4! Số chẵn với a5 =
Có 2.3.3! số chẵn với a5 = hay a5 =
Vaäy số số chẵn thỏa ycbt 4! + 2.3.3! = 60
Bài 14 Có số tự nhiên gồm chữ số cho tổng chữ số số số lẻ
(11)Goïi n = a a a a1 2 6 7 (a1≠0)
Nếu a1 + a2 + … + a6 số chẵn để n lẻ a7 ∈ {1, 3, 5, 7, 9}
Nếu a1 + a2 + … + a6 số lẻ để n lẻ a7 ∈ {0, 2, 4, 6, 8}
Vậy chọn a1, a2, a3, a4, a5, a6 ln có cách chọn a7 để tổng
chữ số n số lẻ
Mà số cách chọn (i = 1,6) :
a1 a2 a3 a4 a5 a6
Số cách chọn 10 10 10 10 10 Do số số n thỏa yêu cầu toán
× 105 × = 45 × 105
Bài 15 Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho Giải
Goïi n = a a a1 2 7 (a1≠0)
Để n chia hết cho a7 = hay a7 =
• Trường hợp a7 =
a1 a2 a3 a4 a5 a6
Số cách chọn
Vậy có : × × × × × số • Trường hợp a7 =
a1 a2 a3 a4 a5 a6
Số cách chọn 8
Vậy có : 8 × × × × × số
Do số số tự nhiên có chữ số mà chia hết cho : (9 + 8) ×8 × × × × = 114240
(12)a) Có số chẵn có chữ số khác đơi b) Có số có chữ số khác chia hết cho c) Có số có chữ số khác chia hết cho
Đại học Huế 2000
Giải a) Gọi n = a a a a1 4 (a1 ≠ 0)
• Nếu a1 chẵn
a1 a4 a2 a3
Số cách chọn 2
• Nếu a1 lẻ
a1 a4 a2 a3
Số cách chọn 3
Vậy số số chẵn có chữ số khác :
2 × × × + × × × = 48 + 108 = 156 b) Goïi m = a a a1 3 (a1≠0)
• Nếu a3 =
a1 a2
Số cách chọn • Nếu a3 =
a1 a2
(13)c) Gọi k = a a a1 3 với a1 + a2 + a3 = 9, a1≠0
Xeùt X1 = {0, 4, 5} X ⊂
a1 a2 a3
Soá cách chọn 2 Xét X2 = {2, 3, 4} ⊂ X
a1 a2 a3
Số cách chọn Xét X3 = {1, 3, 5} X ⊂
a1 a2 a3
Số cách chọn Vậy số số k chia hết cho laø : + + = 16
Bài 17 Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Hỏi lập số có chữ số khác mà số khơng chia hết cho
Đại học Lâm Nghiệp 1999
Giải Gọi số cần tìm n = a a a1 3 (a1 ≠ 0)
n chia heát cho ⇔ a1 + a2 + a3 bội số
• Số số n chọn từ X × × = 100
a1 a2 a3
(14)X1 = {0, 1, 2}, X2 = {0, 1, 5}, X3 = {0, 2, 4}, X4= {0, 4, 5}
X5 = {1, 2, 3}, X6 = {1, 3, 5}, X7 = {2, 3, 4}, X8= {3, 4, 5}
Số số n chia hết cho chọn từ X1, X2, X3, X4 :
× × × = 16 soá
Số số n chia hết cho chọn từ X5, X6, X7, X8 :
× × × = 24 số
Vậy số số n chia hết cho : 16 + 24 = 40 soá
Do số số n khơng chia hết cho : 100 – 40 = 60 số
(còn tiếp)
PHẠM HỒNG DANH - NGUYỄN VĂN NHÂN - TRẦN MINH QUANG