Bài giảng Toán 1: Chương 2 - Nguyễn Anh Thi

trong Y laø moät quy taéc cho töông öùng moãi soá x thuoäc X vôùi moät soá. y duy nhaát thuoäc Y.[r]

Bài giảng Tốn 1

Giảng viên Nguyễn Anh Thi

Chương

Hàm số

Định nghóa

Cho hai tập hợp X, Y ⊂ R. Hàm sốf xác định X, nhận giá trị

trong Y quy tắc cho tương ứng số x thuộc X với số

y thuộc Y Ta vieát

f : X −→ Y x 7−→ y = f(x)

Nghĩa với x ∈ X, tồn y ∈ Y cho y = f(x). Ví dụ

Định nghóa

Số L gọi làgiới hạn hàm sốf(x) điểm a viết

lim

x→af(x) = L, với  > cho trước, ta tìm được

δ() > cho |x − a| < δ() |f(x) − L| <  Dùng ký hiệu

tốn, ta viết

∀ > 0, ∃δ() > 0, ∀x ∈ D, |x − a| < δ() ⇒ |f(x) − L| < 

Định nghóa

Giới hạn f(x) x tiến bên trái alà L nếu ∀ > 0, ∃δ() > : a − δ() < x < a ⇒ |f(x) − L| < 

Định lý lim

x→af(x) = L ⇔ limx→a+f(x) = limx→a−f(x) = L

Ví dụ Tính

1 lim

x→0+ |x|

x ;

2 lim

x→0− |x|

x ;

3 lim

x→0

|x|

Định nghóa

I lim

x→af(x) = ∞nếu: ∀M ∈ R, ∃δ > :

0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) > M.

I lim

x→af(x) = −∞neáu: ∀N ∈ R, ∃δ > :

0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) < N.

I lim

x→∞f(x) = Lneáu: ∀ > 0, ∃M ∈ R :

x > M ⇒ |f(x) − L| < .

I lim

x→−∞f(x) = L neáu: ∀ > 0, ∃N ∈ R :

x < N ⇒ |f(x) − L| < .

Tương tự cho giới hạn

Tính chất

Nếu tồn lim

x→af(x) limx→ag(x) thì

1 lim

x→acf(x) = c limx→af(x).

2 lim

x→a(f(x) + g(x)) = limx→af(x) + limx→ag(x)

3 lim

x→af(x)g(x) = limx→af(x) limx→ag(x)

4 lim x→a f(x) g(x) = lim x→af(x) lim x→ag(x) lim

x→a[f(x)]

n= [lim

x→af(x)]

n

6 lim

x→ac = c vaø limx→ax = a

7 lim

x→a

n

pf(x) = q limn

x→af(x) (limx→af(x) > n chẵn.)

Nếu f làmột đa thứchayhàm hữu tỉ và a nằm miền xác

định thì

lim