Vấn đề nội suy cho kết quả là hàm số một biến số là bài toán cơ bản của phương pháp tính, được trình bày trong mọi tài liệu về phương pháp tính.. Tuy nhiên, nội suy với dữ liệu cho trư[r]
(1)Tạp chí Khoa học Kỹ thuật Mỏ - Địa chất Tập 60, Kỳ (2019) 87 - 92 87
Một số vấn đề sai số nội suy Nguyễn Văn Ngọc *, Tô Văn Đinh
Khoa Khoa học bản, Trường Đại học Mỏ - Địa chất, Việt Nam
THÔNG TIN BÀI BÁO TĨM TẮT
Q trình:
Nhận 18/12/2018 Chấp nhận 22/02/2019 Đăng online 28/02/2019
Mọi tính tốn có sai số Bài báo cung cấp cách nhìn tổng quan sai số, trong sai số tính tốn đề cập điển hình Các tốn kỹ thuật địa chất, xây dựng, … thường đặt với liệu khảo sát rời rạc Nội suy giải pháp nhân rộng kết khảo sát Bài báo mở rộng nội suy hàm số biến số cho hàm số hai biến số
© 2019 Trường Đại học Mỏ - Địa chất Tất quyền bảo đảm Từ khóa:
Sai số Nội suy
Nội suy nhiều biến
1 Mở đầu
Tiếp xúc trực tiếp với thầy/cô khoa Xây dựng, Địa chất… trường, học viên cao học nhiều ngành nghề; đọc tài liệu trắc địa, địa chất, xây dựng (Võ Trọng Hùng, 1992, 1993), chúng tơi thấy số vấn đề tính tốn đặt Bài trình bày bản, ngắn gọn vấn đề đó, hy vọng cung cấp cách nhìn tổng quan cơng cụ cho lĩnh vực kỹ thuật trường, sai số nội suy
Về sai số, liệt kê tất loại sai số nhằm phác thảo tranh tồn cảnh để tình cụ thể nhà kỹ thuật đưa giải pháp hữu hiệu hạn chế sai số, đặc biệt loại sai số khơng thể đánh giá xác
Trong mục 2.2 phần 4, lấy ví dụ cụ thể để trình bày sai số hệ thống hay sai số phương pháp với lưu ý đặc biệt là: có nhiều phương pháp giải cho tốn Mỗi
phương pháp có thuật tốn riêng với độ phức tạp sai số kết cuối khác Việc lựa chọn phương pháp (quy trình) cơng việc quan trọng Trong thực tế ta thường thấy “đúng quy trình” khơng cho kết ý, quy trình q phức tạp (khơng khả thi) sai số lớn (không người việc)
Vấn đề nội suy cho kết hàm số biến số tốn phương pháp tính, trình bày tài liệu phương pháp tính Tuy nhiên, nội suy với liệu cho trước điểm M(xi, yi) kết hàm số hai biến số
đặt thầy/côtrong trườngđã thúc mạnh dạn mở rộng kết cho toán với hy vọng thầy/cơ ápdụng vào cơng việc mong nhận phản hồi từ thực tế để chúng tơi hồn chỉnh đánh giá lý thuyết sai số Trước mắt thuyết phục thơng qua ví dụ minh họa phần cuối
2 Sai số sai số tính tốn
_
*Tác giả liên hệ
E - mail: nguyenvanngoc@humg edu
(2)88 Nguyễn Văn Ngọc, Tơ Văn Đinh/Tạp chí Khoa học Kỹ thuật Mỏ - Địa chất 60 (1), 87 - 92
(1)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7) (8)
2.1 Phân loại sai số
Vấn đề sai số đặt lĩnh vực kinh tế, khoa học, kỹ thuật: kỹ thuật dầu khí, kỹ thuật địa chất, kỹ thuật xây dựng… Sai số đánh giá trữ lượng mỏ dầu; đo tốc độ phương tiện; đánh giá kết công việc, thi Sai số giá trị biểu thức toán hạng tham gia biểu thức có sai số Vậy với đại lượng, sai số hiểu nào? Để trả lời câu hỏi người ta phân chia loại sai số khác với cách nghiên cứu khác Một đại lượng cần nghiên cứu U xấp xỉ bằng số a Nếu U hiểu biến ngẫu nhiên sai số |U-a| biến ngẫu nhiên sai số trường hợp gọi sai số ngẫu nhiên Sai số ngẫu nhiên nghiên cứu lý thuyết xác suất thống kê toán phương sai, ước lượng kỳ vọng …
Người ta xem đại lượng U biến số thực, |U-a| biến số thực Sai số trường hợp gọi sai số tính tốn nghiên cứu giải tích hàm
Một đại lượng đánh giá phương pháp, hệ thống quy tắc khác Sai số phát sinh trường hợp gọi sai số phương pháp hay sai số hệ thống Có nhiều cách đánh giá sai số hệ thống làm thực nghiệm, kiểm định, dùng giải tích hàm, v.v…
Trở lại sai số tính tốn Đại lượng cần xác định U có sai số phụ thuộc vào toán hạng tham gia q trình tính U Để nghiên cứu sai số trường hợp này, trước hết phải nghiên cứu sai số toán hạng riêng lẻ, chi tiết trình bày sau
2.2 Sai số tính tốn
Để tiện theo dõi, nhắc lại vài khái niệm (Tô Văn Đinh nnk, 2016)
Xét đại lượng A (nói chung A khơng biết xác, ta xem biến số)
Ta nói số a (cho trước) xấp xỉ A với sai số (sai số tuyệt đối hay sai số tuyệt đối giới hạn) ∆a
nếu a - ∆a ≤ A ≤ a - ∆a
Tức là: | a - A | ≤ ∆a
Nói cách khác, số dương ∆a gọi sai số
tuyệt đối a nếu: | a - A | ≤ ∆a
Khi ta viết: A = a ± ∆a
Đại lượng δ gọi sai số tương đối số a:
𝛿 =∆𝑎
|𝑎|
Sai số tương đối cho biết mức độ tin cậy số xấp xỉ Sai số tuyệt đối khơng phản ánh điều Giả sử đo chiều dài hai cung đường, được kết S1 = 1500m ± 50cm; S2 = 10m ±
50cm
Hai phép đo có sai số tuyệt đối phép đo sau xác phép đo trước
Tuy nhiên, biết sai số tuyệt đối suy sai số tương đối ngược lại Mở rộng (1) A = f(X1,X2,…,Xn); a=f(x1,x2,…,xn) Trong x1, x2,…, xn
tương ứng xấp xỉ X1, X2, …, Xn với sai số tuyệt
đối ∆𝑥1, ∆𝑥2, … , ∆𝑥𝑛 thì:
|𝐴 − 𝑎| = |∑ 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝑛
𝑖=1 (𝑐1, … , 𝑐𝑛)| ≤
|∑ 𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 (𝑐1, … , 𝑐𝑛)| ∆𝑥𝑖
Trong ci nằm xi Xi với i
Khi đó: ∆𝑎= |∑
𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 (𝑐1, … , 𝑐𝑛)| ∆𝑥𝑖
là sai số a Tương tự, sai số tương đối a 𝛿𝑎=∆𝑎
|𝑎| Ví dụ
Cho u = x + y Tìm ∆𝑢 biết ∆𝑥, ∆𝑦 Giải: Theo (4), 𝜕𝑢
𝜕𝑥= 𝜕𝑢 𝜕𝑦= nên ∆u = ∆x + ∆y ;
Vậy ∆𝑥+𝑦= ∆𝑥+ ∆𝑦 Ví dụ
Cho u = x + y Tìm 𝛿𝑢 biết 𝛿𝑥, 𝛿𝑦 Giải: Theo (3), ta có ∆𝑢= |𝑦|∆𝑥+ |𝑥|∆𝑦
𝛿𝑢 = ∆𝑢 |𝑢|=
|𝑦|∆𝑥+ |𝑥|∆𝑦
|𝑥𝑦| =
∆𝑥 |𝑥|+
∆𝑦 |𝑦| = 𝛿𝑥+ 𝛿𝑦
Vậy 𝛿𝑥𝑦= 𝛿𝑥+ 𝛿𝑦 Chú ý
1) Tương tự ví dụ 2, ta có cơng thức (7) 𝛿𝑥/𝑦 = 𝛿𝑥+ 𝛿𝑦
2) Từ công thức (5) ta suy công thức (8) 𝛿𝑥𝑛 = 𝑛𝛿𝑥
Ví dụ
(3)Nguyễn Văn Ngọc, Tơ Văn Đinh/Tạp chí Khoa học Kỹ thuật Mỏ - Địa chất 60 (1), 88 - 93 89
(9)
(10) (11)
(12) Thể tích hình cầu đường kính d tính
𝑉 =1 6𝜋𝑑
3
Cho d=3,7±0,05 𝜋 =3,14 Tính 𝛿𝑣 ∆𝑉 Giải: Theo cơng thức (5) (8) ta có 𝛿𝑣= 𝛿𝜋+ 𝛿𝑑3= 𝛿𝜋+ 3𝛿𝑑
Mặt khác 𝛿𝜋=0,0016
3,14 = 0,0005, 𝛿𝑑= 0,05
3,7 = 0,0135
Vậy 𝛿𝑉 = 0,0005 + 3.0.0135 = 0,04 ∆𝑉= 𝑉 𝛿𝑉=
1
6 3,14 3,7
3 0,04 = 1,06
2.3 Sai số hệ thống sai số tính tốn
Nói chung sai số hệ thống hay sai số phương pháp xác định thơng qua sai số tính tốn phương pháp Để sáng tỏ điều ta xét chi tiết ví dụ sau:
Ví dụ
Tính 𝐴 = (√2 − 1)10 phương pháp Cách 1: Tính trực tiếp 𝐴 = (√2 − 1)10 Cách 2: Áp dụng khai triển Newton ta A=3363-2378√2
√2 (√2 − 1)10 3363-2378√2
1,4 0,0001048576 33,8
1.41 0,00013422659 10,02 1,41421 0,00014866399 0,00862 1,414213563 0,00014867678 0,0001472
Kết khác biệt xảy theo cơng thức (3), phương pháp có sai số tính tốn khác Cụ thể theo cơng thức (3)
Sai số tính tốn theo cách A=(x-1)10
Suy ra: ∆𝑎= 10 (𝑥 − 1)9∆𝑥 Sai số tính tốn theo cách
A=3363-2378x Suy ra: ∆𝑎= 2378∆𝑥
Ta nhận thấy xấp xỉ x = 1,4 có sai số tuyệt đối x = 0,05 Tính sai số dễ dàng lý giải khác biệt kết Bảng (các dịng sau Bảng có sai số tính tương tự)
Sự ổn định
Xét q trình tính vơ hạn (tức gồm vơ
số bước) để tính đại lượng Ta nói q trình tính ổn định sai số tính tốn tức sai số quy trịn tích lũy lại khơng tăng vơ hạn
Nếu sai số tăng vơ hạn ta nói q trình tính khơng ổn định
Rõ ràng q trình tính khơng ổn định khó có hy vọng tính đại lượng cần tính với sai số nhỏ sai số cho phép Cho nên tính tốn nên tránh q trình tính khơng ổn định
Để kiểm tra tính ổn định q trình tính thường người ta giả sử sai số xảy bước, sau phép tính làm khơng có sai số, cuối sai số tính tốn khơng tăng vơ hạn xem q trình tính ổn định
Ví dụ2
Xét q trình tính
yi+1 = qyi
yo q cho trước
Giả sử bước i xác định tính yi ta
phạm sai số 𝛿𝑖 (đây khơng phải kí hiệu sai số tương đối trước đây), nghĩa thay cho yi ta thu 𝑦̃ Giả sử: 𝑖
|𝑦̃𝑖− 𝑦𝑖| = 𝛿, 𝛿 >
Sau thay cho 𝑦𝑖+1 ta có 𝑦̃𝑖+1 với (11) 𝑦̃𝑖+1= 𝑞𝑦̃𝑖
Lấy (11) trừ (9) vế với vế ta được: 𝑦̃𝑖+1− 𝑦𝑖+1 = 𝑞𝑦̃𝑖− 𝑞𝑦𝑖 𝑦̃𝑖+1− 𝑦𝑖+1= 𝑞(𝑦̃𝑖− 𝑦𝑖) Tiếp theo ta có:
𝑦̃𝑖+2= 𝑞𝑦̃𝑖+1 𝑦𝑖+2= 𝑞𝑦𝑖+1 Bằng phép trừ ta lại có:
𝑦̃𝑖+2− 𝑦𝑖+2 = 𝑞(𝑦̃𝑖+1− 𝑦𝑖+1) = 𝑞2(𝑦̃𝑖− 𝑦𝑖)
Một cách tổng quát ta có (12) 𝑦̃𝑖+𝑛− 𝑦𝑖+𝑛 = 𝑞𝑛(𝑦̃𝑖− 𝑦𝑖)
Như vậy, bước thứ i ta mắc sai số |𝑦̃𝑖− 𝑦𝑖| = 𝛿 sau phép tính làm bước i+n ta mắc sai số:
(4)90 Nguyễn Văn Ngọc, Tơ Văn Đinh/Tạp chí Khoa học Kỹ thuật Mỏ - Địa chất 60 (1), 87 - 92
(13)
(14) Ta thấy có hai trường hợp cần phân biệt: 1) Trường hợp |q|≤1 lúc |𝑞|𝑛≤ nên sai số
𝑦̃𝑖+𝑛− 𝑦𝑖+𝑛≤ 𝛿, ∀𝑛
Nghĩa sai số tính tốn bị chặn (khơng tăng vơ hạn) Vậy q trình tính ổn định
2) Trường hợp |q|>1 lúc |𝑞|𝑛 tăng n tăng |𝑞|𝑛→ ∞ 𝑛 → ∞, nên sai số
|𝑦̃𝑖+𝑛− 𝑦𝑖+𝑛| → ∞ 𝑘ℎ𝑖 𝑛 → ∞ Vậy q trình tính khơng ổn định
Trong thực tế, q trình tính vơ hạn, người ta làm số hữu hạn bước, phải địi hỏi q trình tính ổn định hy vọng với số hữu hạn bước đạt mức độ xác mong muốn
4 Nội suy hàm số hai biến số
Các tài liệu phương pháp tính đề cập toán nội suy cho hàm số biến số Theo yêu cầu nhà kỹ thuật mở rộng nội suy cho hàm số hai biến số theo hai phương pháp sau
4.1 Nội suy theo phương pháp Lagrange Bài toán
Cho trước hệ lưới điểm ba chiều
x x1 x2 xn
y y1 y2 yn
z z1 z2 zn
Tìm hàm số z = F(x,y) thoả mãn bảng dạng đa thức Lagrange
Hàm F(x,y) thành lập theo hai bước sau Bước
Lập hàm số sau, gọi đa thức Lagrange sở: 𝐼𝑖(𝑥, 𝑦) =
(𝑥−𝑥1)…(𝑥−𝑥𝑖−1)(𝑥−𝑥𝑖+1)…(𝑥−𝑥𝑛)
(𝑥𝑖−𝑥1)…(𝑥𝑖−𝑥𝑖−1)(𝑥𝑖−𝑥𝑖+1)…(𝑥𝑖−𝑥𝑛)∗
(𝑦−𝑦1)…(𝑦−𝑦𝑖−1)(𝑦−𝑦𝑖+1)…(𝑦−𝑦𝑛)
(𝑦𝑖−𝑦1)…(𝑦𝑖−𝑦𝑖−1)(𝑦𝑖−𝑦𝑖+1)…(𝑦𝑖−𝑦𝑛)
xi, yi (1 ≤ I ≤ n) cho Bảng
Bước Lập hàm số
𝐹(𝑥, 𝑦) = ∑𝑛𝑖=1𝐼𝑖(𝑥, 𝑦)𝑧𝑖
Dễ dàng kiểm nghiệm z = F(x,y) nghiệm Bảng
Ví dụ
Tìm đa thức nội suy Lagrange biết lưới điểm Bảng
TT x y z
1 2
2 2
3 -2
4
5 0
6 -1
7 -2
8 -2
9 -2 -2
Giải Bảng
x y Tử số đa thức Lagrange sở Đa thức sở Mẫu số z 2 x(x+2)(y-1)y (y+1)(y+2) 192 (y-1)(y+1)(y+2) x(x+2)(y-2) 32 2 -2 x(x+2)(y-2) (y-1)y(y+1) 192 0 (x-2)(x+2)(y-2) y(y+1)(y+2) 24 0 (y-1)(y+1)(y+2) (x-2)(x+2)(y-2) -16 -1 (x-2)(x+2)(y-2)
(𝑦 − 1)𝑦(𝑦 + 2) 24
-2 (𝑥 − 2)𝑥(𝑦 − 1)𝑦
(𝑦 + 1)(𝑦 + 2) 192
-2 (𝑥 − 2)𝑥(𝑦 − 2)
(𝑦 − 1)(𝑦 + 1)(𝑦 + 2) 32 -2 -2 (𝑥 − 2)𝑥(𝑦 − 2)
(𝑦 − 1)𝑦(𝑦 + 1) 192 Vậy hàm số cần tìm:
𝐹(𝑥, 𝑦) =𝑥(𝑥+2)(𝑦−2)(𝑦−1)(𝑦+1)(𝑦+2)
32 +
(𝑥−2)(𝑥+2)(𝑦−2)(𝑦−1)(𝑦+1)(𝑦+2)
16 +
(𝑥−2)𝑥(𝑦−2)(𝑦−1)(𝑦+1)(𝑦+2)
32
Bảng Bảng giá trị hàm số n điểm cho trước
Bảng Lưới điểm đa thức nội suy Lagrange
(5)Nguyễn Văn Ngọc, Tơ Văn Đinh/Tạp chí Khoa học Kỹ thuật Mỏ - Địa chất 60 (1), 87 - 92 91
(15)
(16) 𝐹(𝑥, 𝑦) =
16[𝑥(𝑥 + 2)(𝑦 − 2)(𝑦 − 1)(𝑦 + 1)(𝑦 + 2) + (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑦 − 2)(𝑦 − 1)(𝑦 +
1)(𝑦 + 2) + (𝑥 − 2)𝑥(𝑦 − 2)(𝑦 − 1)(𝑦 + 1)(𝑦 + 2)]
4.2 Nội suy hệ hàm độc lập tuyến tính Bài tốn
Chọn trước họ gồm n hàm số, gọi họ hàm sở
𝑓1(𝑥, 𝑦); 𝑓2(𝑥, 𝑦); … ; 𝑓𝑛(𝑥, 𝑦) Tìm z = F(x,y) thỏa mãn bảng dạng
𝑧 = 𝑎1𝑓1(𝑥, 𝑦) + 𝑎2𝑓2(𝑥, 𝑦) + … + 𝑎𝑛𝑓𝑛(𝑥, 𝑦)
Trong đó: 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛 tham số Hàm F(x,y) thành lập theo bước sau: Bước
Giải hệ phương trình tuyến tính sau với 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎𝑛 ẩn, xi, yi, zi (1 ≤ i ≤ n) cho Bảng
{
𝑎1𝑓1(𝑥1, 𝑦1) + 𝑎2𝑓2(𝑥1, 𝑦1) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑓𝑛(𝑥1, 𝑦1) = 𝑧1 𝑎1𝑓1(𝑥2, 𝑦2) + 𝑎2𝑓2(𝑥2, 𝑦2) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑓𝑛(𝑥2, 𝑦2) = 𝑧2
…
𝑎1𝑓1(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) + 𝑎2𝑓2(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑓𝑛(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) = 𝑧𝑛 Bước
Lập hàm số z = F(x,y) theo công thức (15) Để giải hệ cần điều kiện cho hệ hàm sở ma trận hệ (16) không suy biến
Ví dụ
Tìm hàm nội suy cho lưới điểm Ví dụ Giải: Do tính đối xứng hàm lưới, nên ta cần nội suy cho điểm lưới góc phần tư I, và hệ hàm sở hàm chẵn theo x y
Trong góc phần tư I có điểm lưới Chọn hàm sở 𝑥2 ; 𝑦2 ; 𝑦4 ;
Hàm nội suy có dạng 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑦2+ 𝑐𝑦4+ 𝑑
TT x y x2 y2 y4 1 z
1 0 0 1
2 1 1
3 2 4 16
4 0
Vậy a, b, c, d nghiệm hệ
( 0 1 1 4 16 1 ) ( 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ) = ( 0 ) Giải hệ nghiệm:
( 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ) = ( 0,25 −0,16667 0,166667 ) Vậy hàm số cần tìm
0.25𝑥2− 1,16667𝑦2+ 0,166667𝑦4 + Ví dụ
Giải ví dụ với hệ hàm sở khác
Giải: Trong góc phần tư I có điểm lưới Chọn hàm sở chẵn theo biến x y cos 𝑥 ; cos 𝑦 ; cos 2𝑦 ;
Hàm nội suy có dạng 𝐹(𝑥, 𝑦) = a cos 𝑥 + 𝑏 cos 𝑦 + 𝑐 cos 2𝑦 + 𝑑
Lập bảng giá trị
x y cos(x) cos(y) cos(2y) 1 z
0 1 1
0 1 0.540302 -0.41615 2 -0.41615 -0.41615 -0.65364
2 -0.41615 1
Vậy a, b, c, d nghiệm hệ ( 1 −0,41615 −0,41615 0,540302 −0,41615 1 −0,41615 −0,65364 1 1 ) ( 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ) = ( 0 ) Giải hệ nghiệm
( 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ) = ( −0,70614 0,946482 0,398902 0,360757 ) Vậy hàm nội suy cần tìm
𝐹(𝑥, 𝑦) = −0,70614 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 0,946482 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + +0,398902 𝑐𝑜𝑠 2𝑦 + 0,360757
Bảng Bảng giá trị
(6)92 Nguyễn Văn Ngọc, Tơ Văn Đinh/Tạp chí Khoa học Kỹ thuật Mỏ - Địa chất 60 (1), 87 - 92
5 Kết luận
Bài báo trình bày phương pháp nội suy hàm số hai biến số theo định hướng ứng dụng Chúng tơi lựa chọn cách lấy ví dụ để chứng minh cho hiệu phương pháp trình bày, phù hợp với tư biện chứng nhà kỹ thuật
Chúng chân thành cám ơn đồng nghiệp tin tưởng đặt vấn đề Tác giả vui sẵn sàng tiếp tục trao đổi bạn lĩnh vực liên quan đến ứng dụng toán học kỹ thuật
Tài liệu tham khảo
Tô Văn Đinh, 2016, Phương pháp tính Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam
Võ Trọng Hùng, 1992, Nghiên cứu xây dựng sơ đồ tính tốn lớp đất đá bảo vệ đáy moong khai thác chịu tác dụng nước ngầm cao áp Tạp chí Cơng nghiệp Mỏ 12-14
Võ Trọng Hùng 1993, Nghiên cứu tính tốn chiều dày lớp đất đá bảo vệ chịu ảnh hưởng áp lực nước ngầm khai thác lộ thiên Tuyển tập cơng trình khoa học Hội nghị Cơ học Toàn quốc Lần thứ Tập 78-83
ABSTRACT
Some problems about errors and interpolation
Ngoc Van Nguyen, Dinh Van To
Faculty of General Education, Hanoi University of Minning and Geology, Vietnam